Métodos Estadísticos para la Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida

Resumen:

El sector asegurador europeo se encuentra en un proceso de reforma con la Directiva Solvencia II. Esta Directiva persigue lograr una armonización jurídica en el sector, que elimine las desigualdades entre las empresas aseguradoras, fomente su rentabilidad, la transparencia y una mayor protección de los asegurados y beneficiarios. Para lograr estos objetivos, entre otros aspectos, las aseguradoras deben actualizar sus métodos de estimación de provisiones técnicas de seguros de no vida. En este documento, se realiza una revisión y comparativa de los principales métodos de estimación de las provisiones técnicas, resultando los métodos estocásticos como los más ventajosos, especialmente, la técnica Double Chain Ladder.

Palabras claves:

Sector Asegurador, Solvencia II, Seguros de No Vida, Provisiones Técnicas, Métodos de Estimación de Provisiones Técnicas, Chain Ladder, Link Ratio, Grossing Up, Modelo de Mack, Bootstrap Chain Ladder, Modelo Lineal Generalizado, Munich Chain Ladder, Double Chain Ladder.

Índice de Contenido.

Introducción.

Capítulo 1: El Sector Asegurador.

1.1 El Sector Asegurador: caso español. 1.2 La Solvencia en el Sector Asegurador: caso español.

Capítulo 2: Provisiones Técnicas de Seguros.

2.1 Definición y Tipologías.

Capítulo 3: Métodos de Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida.

3.1 Los Datos.3.2 La Estructura de los Datos: el triángulo de siniestros.3.3 Métodos Estadísticos para la Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida. 3.3.1 Métodos Clásicos. 3.3.1.1 Chain Ladder. 3.3.1.2 Link Ratio. 3.3.1.3 Grossing Up. 3.3.2 Métodos Estocásticos. 3.3.2.1 Modelo de Mack. 3.3.2.2 Bootstrap Chain Ladder. 3.3.2.3 Modelo Lineal Generalizado. 3.3.2.4 Munich Chain Ladder. 3.3.2.5 Double Chain Ladder.

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Capítulo 4: Aplicación Práctica en la Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida mediante R Project.

4.1 R Project.4.2 Libros en R Project sobre Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida.

4.2.1 El Libro ChainLadder. 4.2.2 El Libro DCL.

4.3 Ejemplos Prácticos en R Project.

4.3.1 Ejemplo 1: Chain Ladder. 4.3.2 Ejemplo 2: Link Ratio. 4.3.3 Ejemplo 3: Grossing Up. 4.3.4 Ejemplo 4: Modelo de Mack. 4.3.5 Ejemplo 5: Bootstrap Chain Ladder. 4.3.6 Ejemplo 6: Modelo Lineal Generalizado. 4.3.7 Ejemplo 7: Munich Chain Ladder. 4.3.8 Ejemplo 8: Double Chain Ladder. 4.3.9 Comparativa. 4.3.10 Ejemplos Adicionales: Double Chain Ladder.

Conclusiones.

Bibliografía.

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Índice de Figuras.

Figura 1: Evolución del Sector Asegurador Español I.

Figura 2: Evolución del Sector Asegurador Español II.

Figura 3: Evolución del Sector Asegurador Español III.

Figura 4: Evolución del Sector Asegurador Español IV.

Figura 5: Evolución del Sector Asegurador Español V.

Figura 6: Evolución del Sector Asegurador Español VI.

Figura 7: Evolución del Sector Asegurador Español VII.

Figura 8: Cronología Directivas Solvencia Europea.

Figura 9: Ciclo de Vida Reclamaciones Siniestros.

Figura 10: Presentación de los Datos: el triángulo de siniestros I.

Figura 11: Presentación de los Datos: el triángulo de siniestros II.

Figura 12: Clasificación Métodos Estimación Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida.

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Introducción.

Históricamente, el origen del seguro moderno lo encontramos en el seguro marítimo, con el préstamo a la gruesa, que se dio en la Europa de la Edad Media, coincidiendo con la expansión del comercio por el Mediterráneo y la necesidad de proteger a los transportistas.

Hoy en día, la figura del seguro ha evolucionado y tiene un alcance mucho mayor. El seguro no solo tiene una función protectora frente el riesgo; sino que la actividad aseguradora tiene también importantes implicaciones para el conjunto de las economías de mercado. Así, el seguro, al reducir la incertidumbre, va a estimular la inversión empresarial, el empleo, el ahorro, reducción de desigualdades sociales; etc.

El seguro es una de las principales instituciones financieras y de previsión. El sector asegurador es un sector con un peso notable en la economía internacional. Las primas de seguros, actualmente, representan entre el 7-8 % del PIB mundial. En España, este porcentaje se sitúa, aproximadamente, en el 5% del PIB.

El primer apartado del Capítulo 1 de este trabajo está dedicado a analizar el sector asegurador español, recogiendo un resumen acerca de las características y de la evolución reciente del mismo.

Las empresas aseguradoras en el ejercicio de su actividad están sujetas a toda una serie de normas nacionales e internacionales. En este sentido, en Europa tenemos que destacar el marco regulador que suponen las directivas sobre solvencia. Actualmente, nos encontramos en un proceso de reforma con la Directiva Solvencia II. Esta Directiva persigue lograr una armonización jurídica en el sector, que elimine las desigualdades entre las empresas aseguradoras, fomente su rentabilidad, la transparencia y una mayor protección de los asegurados y beneficiarios.

En el segundo apartado del Capítulo 1 de este documento se lleva a cabo un estudio sobre la solvencia del sector asegurador español y sobre las Directivas europeas de solvencia.

Las empresas aseguradoras para hacer frente a sus futuras responsabilidades derivadas de siniestros asegurados van a hacer uso de la reservas de seguros o provisiones técnicas. Las reservas de seguros obedecen al principio contable de prudencia valorativa; ya que con estas se pretende tener una cobertura

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adelantada ante la incertidumbre de desconocer el momento en que tendrán lugar los siniestros y el importe de sus correspondientes indemnizaciones.

El Capítulo 2 está dedicado a la figura de las provisiones técnicas de seguros en sus distintas modalidades.

Para estimar el importe de las provisiones técnicas se requiere de toda una serie de técnicas y métodos. En el Capítulo 3 se hace un repaso de los principales métodos estadísticos de la literatura, distinguiéndose entre métodos clásicos y estocásticos, en el contexto de seguros de no vida, ya que este trabajo está centrado en esta modalidad o ramo.

La complejidad de los métodos estadísticos empleados, especialmente, la de los estocásticos hace necesario el emplear aplicaciones informáticas para practicar los cálculos correspondientes. En este documento de trabajo se ha optado por R Project y, así, en el Capítulo 4 se recogen toda una serie de ejemplos en este programa para explicar los métodos de estimación de las provisiones técnicas de seguros analizados.

En resumen, a lo largo de los cuatro capítulos que conforman este trabajo nos encontramos con una revisión de la figura de las provisiones técnicas de seguros de no vida. El objetivo básico que se ha perseguido ha sido el de desarrollar, sobre todo, la vertiente estadística de esta temática. Así pues, se ha pretendido realizar un documento que pudiese servir de guía y comparativa en el empleo de los métodos de estimación de provisiones técnicas a través de R Project; tratando de poner de manifiesto, a través de toda una serie de ejemplos, las ventajas y la facilidad en su manejo.

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Capítulo 1:

El Sector Asegurador.

1.1 El Sector Asegurador: caso español.

El sector asegurador se puede definir como el conjunto de medios, entidades y organismos, así como sus prácticas, cuya finalidad última consiste en trasladar los riesgos a que están sometidos los particulares a una organización empresarial con capacidad económica suficiente para soportarlos.

A nivel nacional, la regulación jurídica básica del sector está conformada por las siguientes normas:

- Ley 50/1980, de 8 de octubre, de Contrato de Seguro.

- Real Decreto Legislativo 6/2004, de 29 de octubre, por el que se aprueba el Texto Refundido de la Ley de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados.

- Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre, por el que se aprueba el Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados.

- Ley 26/2006, de 17 de julio, de Mediación de Seguros y Reaseguros Privados.

- Real Decreto 1317/2008, de 24 de julio, por el que se aprueba el Plan de Contabilidad de las Entidades Aseguradoras.

El sector asegurador basa su actividad en la figura del seguro. El seguro proporciona una cobertura ante sucesos inciertos que ponen en riesgo la vida y/o patrimonio de las personas y/o entidades. Este se materializa a través del contrato de seguro.

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Según artículo 1 de la Ley de Contrato de Seguro (en adelante, LCS):

“El contrato de seguro es aquel por el que el asegurador se obliga, mediante el cobro de una prima y para el caso de que se produzca el evento cuyo riesgo es objeto de cobertura a indemnizar, dentro de los límites pactados, el daño producido al asegurado o a satisfacer un capital, una renta u otras prestaciones convenidas”.

Las organizaciones empresariales que conforman el sector asegurador se encuadran dentro de los intermediarios financieros no bancarios, en el sector servicios y, por tanto, están comprendidas como tales en el conjunto del sistema financiero.

Las empresas aseguradoras realizan, fundamentalmente, un servicio de seguridad o cobertura frente al riesgo soportado por otros sectores de actividad.

El riesgo es un elemento fundamental en el seguro. Así, según el artículo 4 LCS: “El contrato de seguro será nulo, salvo en los casos previstos por la Ley, si en el momento de su conclusión no existía el riesgo o había ocurrido el siniestro”.

El profesor GARRIGUES define el riesgo como: “posible ocurrencia por azar de un acontecimiento que produce una necesidad económica y cuya aparición real o existencia se previene y garantiza en la póliza y obliga al asegurador a efectuar la prestación, normalmente indemnización, que le corresponde”.

Además de esta función de seguridad frente al riesgo, la actividad del sector asegurador va a tener otras importantes implicaciones para el conjunto de una Economía, por ejemplo, la eliminación de la incertidumbre económica sobre el futuro va a favorecer la inversión y el espíritu emprendedor, estabilización de la riqueza, fomento del ahorro, financiación; etc.

Por otra parte, según el artículo 7.1 del Texto Refundido de la Ley de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados (en adelante, LOSSP): “La actividad aseguradora únicamente podrá ser realizada por entidades privadas que adopten la forma de sociedad anónima, mutua, cooperativa y mutualidad de previsión social. Las mutuas, las cooperativas y las mutualidades de previsión social podrán operar a prima fija o a prima variable”.

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El apartado 2 del mismo artículo añade: “También podrán realizar la actividad aseguradora las entidades que adopten cualquier forma de derecho público, siempre que tengan por objeto la realización de operaciones de seguro en condiciones equivalentes a las de las entidades aseguradoras privadas”.

Así pues, este sector se centra en el seguro privado, sin incluir, por tanto, el seguro estatal o Seguridad Social, donde es el Estado el que ejerce la función tutelar, regulando las bases y estructura del seguro y asumiendo el riesgo en todo o en parte. No obstante, es un organismo público, la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones, la que ejerce una función de supervisión y control de la actividad aseguradora privada, conforme a lo establecido en el Real Decreto 672/2014, de 1 de agosto.

En cuanto a la composición del seguro privado, del artículo 6 LOSSP se van a distinguir dos ramos fundamentales: ramo de vida y no vida.

Según el artículo 6.2, apartado A, LOSSP:

“El ramo de vida comprenderá:

a) El seguro sobre la vida, tanto para caso de muerte como de supervivencia, o ambos conjuntamente, incluido en el de supervivencia el seguro de renta; el seguro sobre la vida con contraseguro; el seguro de «nupcialidad», y el seguro de «natalidad». Asimismo, comprende cualquiera de estos seguros cuando estén vinculados con fondos de inversión. Igualmente, podrá comprender el seguro de dependencia.

b) Las operaciones de capitalización del artículo 3.1.b) de esta ley.1

c) Las operaciones de gestión de fondos colectivos de jubilación y de gestión de operaciones tontinas.

Se entenderá por:

1.º Operaciones de gestión de fondos colectivos de jubilación aquellas que supongan para la entidad aseguradora administrar las inversiones y, particularmente, los activos representativos de las reservas de las entidades que otorgan prestaciones en caso de muerte, en caso de vida o en caso de cese o reducción de actividades. También estarán comprendidas tales operaciones

1 El artículo 3.1.b) LOSSP se refiere a las operaciones de capitalización basadas en técnica actuarial que consistan en obtener compromisos determinados en cuanto a su duración y a su importe a cambio de desembolsos únicos o periódicos previamente fijados.

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cuando lleven una garantía de seguro, sea sobre la conservación del capital, sea sobre la percepción de un interés mínimo. Quedan expresamente excluidas las operaciones de gestión de fondos de pensiones, regidas por el texto refundido de la Ley de regulación de planes y fondos de pensiones, aprobado por el Real Decreto Legislativo 1/2002, de 29 de noviembre, que estarán reservadas a las entidades gestoras de fondos de pensiones.

2.º Operaciones tontinas aquellas que lleven consigo la constitución de asociaciones que reúnan partícipes para capitalizar en común sus aportaciones y para repartir el activo así constituido entre los supervivientes o entre sus herederos”.

En cuanto al ramo de no vida, teniéndose en cuenta el artículo 6.1 LOSSP, este está integrado por seguros como:

1. Accidentes.

2. Enfermedad (comprendida la asistencia sanitaria y la dependencia).

3. Vehículos terrestres (no ferroviarios).

4. Vehículos ferroviarios.

5. Vehículos aéreos.

6. Vehículos marítimos, lacustres y fluviales.

7. Mercancías transportadas (comprendidos los equipajes y demás bienes transportados).

8. Incendio y elementos naturales: incluye todo daño sufrido por los bienes (distinto de los comprendidos en los ramos 3, 4, 5, 6 y 7) causado por incendio, explosión, tormenta, elementos naturales distintos de la tempestad, energía nuclear y hundimiento de terreno.

9. Otros daños a los bienes: incluye todo daño sufrido por los bienes (distinto de los comprendidos en los ramos 3, 4, 5, 6 y 7) causado por el granizo o la helada, así como por robo u otros sucesos distintos de los incluidos en el ramo 8.

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10. Responsabilidad civil en vehículos terrestres automóviles (comprendida la responsabilidad del transportista).

11. Responsabilidad civil en vehículos aéreos (comprendida la responsabilidad del transportista).

12. Responsabilidad civil en vehículos marítimos, lacustres y fluviales (comprendida la responsabilidad civil del transportista).

13. Responsabilidad civil en general: comprende toda responsabilidad distinta de las mencionadas en los ramos 10, 11 y 12.

14. Crédito: comprende insolvencia general, venta a plazos, crédito a la exportación, crédito hipotecario y crédito agrícola.

15. Caución (directa e indirecta).

16. Pérdidas pecuniarias diversas: incluye riesgos del empleo, insuficiencia de ingresos (en general), mal tiempo, pérdida de beneficios, subsidio por privación temporal del permiso de conducir, persistencia de gastos generales, gastos comerciales imprevistos, pérdida del valor venal, pérdidas de alquileres o rentas, pérdidas comerciales indirectas distintas de las anteriormente mencionadas, pérdidas pecuniarias no comerciales y otras pérdidas pecuniarias.

17. Defensa jurídica.

18. Asistencia: asistencia a las personas que se encuentren en dificultades durante desplazamientos o ausencias de su domicilio o de su lugar de residencia permanente. Comprenderá también la asistencia a las personas que se encuentren en dificultades en circunstancias distintas, determinadas reglamentariamente, siempre que no sean objeto de cobertura en otros ramos de seguro.

19. Decesos: incluye operaciones de seguro que garanticen únicamente prestaciones en caso de muerte, cuando estas prestaciones se satisfagan en especie o cuando su importe no exceda del valor medio de los gastos funerarios por un fallecimiento.

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A continuación, analizamos la evolución reciente del sector asegurador en España. A tal efecto, se considera el Informe de Predicción de la Actividad Aseguradora en España de la fundación MAPFRE y la fundación de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) [15], correspondiente a la Cátedra de Patrocinio UAM-MAPFRE. Comentar que a falta de publicación de los datos del sector del año 2015, en dicho informe se dispone de datos del año 2014 y anteriores; y predicciones para los años 2015, 2016 y siguientes.

El análisis de la evolución del sector se divide en 3 apartados: total, ramo vida y ramo no vida.

Total Sector.

Tras unos años de caída, coincidentes con el inicio de la actual crisis económica, a partir del año 2014, el sector experimenta un crecimiento positivo en el total de primas devengadas, siendo este cercano al 3%. Las previsiones para el año 2015 y 2016, por su parte, son de continuo crecimiento dentro de la senda de recuperación iniciada. Así pues, para el 2015 se prevé alcanzar un 4,9% de primas y 7,2% para el 2016.

Figura 1: Evolución del Sector Asegurador Español I.

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El crecimiento experimentado en el sector se debe a diversas razones, una de las más relevantes la encontramos en la cierta recuperación experimentada de la economía española, puesta de manifiesto en la mejoría de indicadores económicos como el PIB, el consumo de los hogares, las viviendas y las matriculaciones.

Figura 2: Evolución del Sector Asegurador Español II.

En este sentido, se prevé una mejora progresiva de las expectativas de crecimiento del PIB a corto plazo hasta alcanzar unos ritmos que, aun siendo moderados, permitirán la generación neta de empleo.

Figura 3: Evolución del Sector Asegurador Español III.

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La recuperación de la actividad será más acusada en los componentes de inversión no residencial y exportaciones, manteniéndose muy moderados tanto el consumo privado como el público y la inversión en viviendas.

La reactivación de la actividad inducirá a una progresiva recuperación de los establecimientos productivos y los flujos de transporte, mientras el mercado del automóvil podría experimentar un importante repunte a corto plazo.

Tanto los tipos de interés como la inflación se mantendrán en valores muy moderados aunque con cierta tendencia al alza en el caso de la inflación.

Figura 4: Evolución del Sector Asegurador Español IV.

Los escasos avances esperados en la renta de los hogares moderarán las tasas de ahorro, mientras que los flujos de crédito podrían empezar a recuperarse muy levemente.

Figura 5: Evolución del Sector Asegurador Español V.

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Ramo Vida.

En la recuperación experimentada en el conjunto del sector asegurador, el ramo de vida fue el que más influencia tuvo en la misma. Así, en el 2014 se alcanzó un 3,7% de primas devengadas. La evolución para 2015 y 2016 se espera positiva, siendo los seguros de “Vida Riesgo” los que más importancia tengan en el crecimiento del ramo.

Figura 6: Evolución del Sector Asegurador Español VI.

Ramo No Vida.

El crecimiento del ramo de no vida se situó en el 2,3% de primas en el 2014. Dentro del ramo, la mayoría de las modalidades mejoraron a excepción de “Responsabilidad Civil” y “Resto de Ramos No Vida”. En el 2015 y 2016, se espera también que continúe la senda creciente, sin descensos en ninguna modalidad; siendo “Automóvil” la que tenga una mayor importancia.

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Figura 7: Evolución del Sector Asegurador Español VII.

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1.2 La Solvencia en el Sector Asegurador: caso español.

Con la finalidad de proteger a los asegurados y de garantizar la estabilidad de los mercados financieros, las compañías aseguradoras deberán mantener una cantidad de activos suficiente que sirva de respaldo ante posibles desviaciones desfavorables de los pasivos de la compañía; dicho de otro modo, estas deben ser solventes en el ejercicio de su actividad.

La solvencia se puede definir como la capacidad de una empresa para hacer frente a sus obligaciones de pago.

La IAIS (International Association of Insurance Supervisor), en el año 2002, definió la solvencia, señalando que:

“Una compañía de seguros será solvente si es capaz de cumplir todas sus obligaciones contractuales bajo circunstancias razonablemente previsibles”.

Posteriormente, en el año 2003, la definición se modificó por:

“La capacidad del asegurador para cumplir en cualquier momento con sus obligaciones (pasivos) derivadas de sus contratos”.

En la práctica actuarial, suele ser habitual distinguir entre dos tipos de solvencia: estática y dinámica.

La solvencia estática se trata de la capacidad técnica y financiera para hacer frente en un determinado momento a los compromisos adquiridos por la empresa, es decir, la solvencia estática implica que se efectúe un cálculo, cobertura e inversión en activos aptos en provisiones técnicas suficientes. Se encuentra regulada en el artículo 16 LOSSP y en los artículos 29 a 57 del Reglamento de Ordenación y Supervisión de los Seguros Privados (en adelante, ROSSP).

Según el artículo 16.1 LOSSP: “Las entidades aseguradoras tendrán la obligación de constituir y mantener en todo momento provisiones técnicas suficientes para el conjunto de sus actividades. A estos efectos, deberán estar adecuadamente calculadas, contabilizadas e invertidas en activos aptos para su cobertura.

Son provisiones técnicas las de primas no consumidas, de riesgos en curso, de seguros de vida, de participación en los beneficios, de prestaciones, la reserva de

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estabilización y aquellas otras que, con arreglo al reglamento de desarrollo de esta Ley, sean necesarias al objeto de cumplir la finalidad a que se refiere el párrafo anterior”.

En otro orden, tenemos la solvencia dinámica que tiene en cuenta el futuro de la entidad y, con el fin de garantizarla, las legislaciones de los distintos países establecen determinados mínimo fijados en función de los ramos de seguro en los que opera la entidad y en relación con el volumen de negocio.

Desde los estudios realizados por los profesores CAMPAGNE y DE MORI, que tomaron como base la teoría del riesgo colectivo, se considera que el sistema más apropiado para garantizar la solvencia dinámica de las empresas aseguradoras está constituido por los llamados margen de solvencia y fondo de garantía.

La exigencia de un margen de solvencia mínimo es una de las estipulaciones habituales en las normativas de control de la actividad aseguradora. Dentro de nuestro Ordenamiento jurídico, el margen de solvencia se encuentra regulado en el artículo 17 LOSSP y en los artículos 58 a 62 ROSSP.

Según el artículo 17.1 LOSSP: “Las entidades aseguradoras deberán disponer en todo momento de un margen de solvencia suficiente respecto al conjunto de sus actividades”.

El apartado 2 del mismo artículo define el margen de solvencia, señalando:

“El margen de solvencia estará constituido por el patrimonio de la entidad aseguradora libre de todo compromiso previsible y con deducción de los elementos inmateriales”.

Por su parte, el fondo de garantía se encuentra regulado en el artículo 18 LOSSP y en el artículo 63 ROSSP.

El artículo 18.1 LOSSP estipula que:

“La tercera parte de la cuantía mínima del margen de solvencia constituye el fondo de garantía, que no podrá ser inferior a tres millones doscientos mil euros para las entidades que operen en algunos de los ramos de vida, caución, crédito y cualquiera de los que cubran el riesgo de responsabilidad civil, y a dos millones doscientas mil euros para las restantes.

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En todo caso, el fondo de garantía no podrá ser inferior a tres millones doscientos mil euros para aquellas entidades de seguro que lleven a cabo actividades de reaseguro en las que concurra alguna de las siguientes condiciones:

a) que las primas aceptadas en reaseguro excedan en un 10 por ciento sus primas totales,

b) que las primas aceptadas en reaseguro superen 50 millones de euros,

c) que las provisiones técnicas del reaseguro aceptado superen el 10 por ciento de sus provisiones técnicas totales”.

Según el artículo 63 del ROSSP, “El fondo de garantía deberá estar constituido por los elementos que con carácter general tengan la consideración de patrimonio propio no comprometido señalados en el apartado 1.uno del artículo 59, por las plusvalías de activos que resulten computables en el patrimonio propio no comprometido y por las partidas previstas en el artículo 59.2”.

Además de la normativa nacional, la integración de España en la Unión Europea (UE) y, por ende, en su acervo comunitario, hace necesario el estudio de la regulación jurídica europea sobre solvencia. La evolución de esta normativa se puede resumir en tres marcos jurídicos diferentes: Solvencia 0, I y II.

El análisis de Solvencia 0, I y II se realiza tomando como referencia básica la tesis doctoral: “Incidencia de los riesgos técnicos en la solvencia de las compañías de seguros de vida (concreción en el riesgo de longevidad)” de ARIZA (2013) [3]; y el artículo: “El proyecto Solvencia II: marco conceptual, normativo e institucional” de SOLÁ (2013) [18], perteneciente a la Cátedra PÉREZ-LLORCA/IE de Derecho Mercantil.

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Solvencia 0.

En 1957, con la constitución de la Comunidad Económica Europea (CCE), se inicia la cooperación entre las autoridades supervisoras del sector asegurador. Así, desde del Insurance Supervisory Authorities de la CEE se comienza a discutir acerca de los pasos que habría que dar para alcanzar la liberalización del mercado del seguro. Los principales temas de debate se centraron en el tratamiento de las reservas técnicas, los activos que deberían cubrir estas reservas y las medidas de control sobre estos activos. Las conversaciones mantenidas entre los organismos supervisores y la industria del seguro, con la colaboración de la OCDE (Organización para la Cooperación y Desarrollo Económicos), concluyeron con un plan basado en el Modelo de Campagne.

La Comisión de Estudio de este proyecto propuso un criterio para hallar el margen mínimo de solvencia, basándose en tres ratios:

1. Activos disponibles sobre las primas recaudadas durante el último ejercicio.

2. Activos disponibles para cubrir los siniestros incurridos a lo largo de los últimos 3 ejercicios.

3. Activos disponibles para las reservas técnicas.

Las primeras directivas sobre los seguros de no vida y de vida fueron publicadas por la CEE el 24 de julio de 1973 y el 5 de marzo de 1979, respectivamente. Estas dos directivas marcaron los primeros pasos hacia el establecimiento de un libre mercado del sector asegurador europeo, y en las que se documentaron los requerimientos necesarios para que las compañías pudieran cumplir sus requisitos de solvencia.

Los trabajos de CAMPAGNE (1961) son la base principal de estos requisitos. Así, como las provisiones técnicas suponen la magnitud más importante para las compañías de seguros, CAMPAGNE consideró un margen mínimo de solvencia (MSM), resultado de aplicar un coeficiente sobre estas provisiones técnicas. Además propuso otras alternativas como la de obtener el MSM, aplicando un porcentaje sobre el capital asegurado y otro sobre el capital en riesgo.

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La fórmula básica para el margen de solvencia requerido en las compañías de seguros de vida, se estableció en la Primera Directiva de Vida de la siguiente manera:

4% de las reservas de seguros de vida (brutas de reaseguro)

+

0,3% de la suma del capital en riesgo

Esta fórmula básica se complementaría con las siguientes premisas:

- Reaseguro: la asignación máxima de las reservas de seguros de vida será del 15% y el 50% de la suma del capital en riesgo.

- Seguro temporal a corto plazo: es posible una reducción del 0,3% del margen.

- Coberturas complementarias: se aplican los márgenes de no vida.

Sin embargo, el MSM definido anteriormente no sería un límite, pero sí una señal de alarma. El fondo de garantía, por su parte, sí que sería la barrera imposible de franquear por la compañía. En la Primera Directiva, el cálculo de solvencia se trata en los artículos 18 y 19, y el fondo de garantía en el artículo 20.

En la Segunda Directiva de Vida, del 8 de noviembre de 1990, se hizo una distinción entre el control gestionado desde el país de origen y el control gestionado desde el país de destino. Para el seguro de vida, la naturaleza del control tiene un efecto mucho más importante que en el seguro de no vida a la hora de poner los productos de una compañía en el mercado, sin embargo, no se cambiaron las reglas de solvencia definidas en la Primera Directiva. Esta se centraría, principalmente, en la supervisión.

Al igual que sucedería para el negocio de no vida, la Comisión no quedó del todo satisfecha con esta Directiva, por lo que se terminó adoptando en 1992 una Tercera Directiva para el negocio de vida, donde se modificarían las normas de solvencia definidas en la Primera. Pretendía, fundamentalmente, la aproximación de los mercados nacionales hacia un mercado integrado, realizando previamente una armonización básica en los sistemas de autorización y supervisión de la actividad aseguradora.

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Centrándonos ahora en el ramo de no vida, el margen de solvencia requerido bajo la Primera Directiva, debería ser el mayor entre dos índices: el índice de primas y el índice de siniestros.

Para el índice de primas:

- 18% de las primas brutas hasta los 10 millones de unidades monetarias.

- 16% de las primas brutas que excedieran sobre los 10 millones de unidades monetarias.

Para el índice de siniestros:

- 26% de los siniestros brutos incurridos hasta los 7 millones de unidades monetarias.

- 23% de los siniestros brutos incurridos que excedan sobre los 7 millones de unidades monetarias.

La Segunda Directiva de No Vida (1988), se centra en los grandes riesgos y establece la necesidad de reciprocidad de moneda entre la prima y la prestación. La Tercera Directiva de No Vida (1992), se centra, al igual que la de vida, en la supervisión y en el control de la suficiencia de las provisiones técnicas constituidas.

Finalmente, señalar que el principal inconveniente de este Modelo de Campagne y, por tanto, de Solvencia 0 es que cuanto más prudente era el cálculo de las provisiones técnicas, mayor era el MSM. En otras palabras, cuanto más prudente era una compañía, más tenía que pagar para conseguir su solvencia.

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Ramo No Vida. Ramo Vida.

Figura 8: Cronología Directivas Solvencia Europea.

Solvencia I.

Ya durante le elaboración de la Tercera Directiva en 1992, se discute la posibilidad de revisar aquellas disposiciones que afectaban al margen de solvencia, pero para no retrasar la implantación de un mercado único del seguro, se decidió dejarlo para más adelante. Sin embargo, sí se incluyeron algunos artículos que obligaban a la Comisión a presentar un informe al Insurance Committe (IC) con el objetivo de homogeneizar el margen de solvencia. En el congreso celebrado por el IC, en abril de 1994, se retoma la cuestión de la revisión de la solvencia de las compañías de seguros, creándose un grupo de trabajo dirigido por HELMUT MÜLLER, cuyas conclusiones se recogieron en 1997 en un informe bajo el nombre de “Informe Müller”.

Al respecto, el Informe Müller concluyó: “Se demuestra que aunque las normas de solvencia se hubieran observado y aplicado de forma más estricta, y aunque estas contaran con requerimientos mucho más exigentes, algunos de los colapsos económicos sufridos por algunas compañías no podían haberse prevenido. Como regla básica, el margen de solvencia cumple con las funciones de alarma y seguridad, pero no remplaza por completo a lo que pueda ser un

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1º Directiva

(1973)

2º Directiva

(1985)

3º Directiva

(1992)

Solvencia I

(2002)

1º Directiva

(1979)

2º Directiva

(1990)

3º Directiva

(1992)

análisis exhaustivo de cada empresa, y aunque en menor medida, establece el principio de prudencia en la cobertura de las provisiones técnicas”.

A pesar de todo esto, la Comisión consideró que debería mantener los principios operacionales en vigor, lo que significaba que determinadas cuestiones pendientes no pudieran ajustarse o ser mejoradas. Además, la Comisión también estableció que: “todos los esfuerzos deberían encaminarse a evitar cualquier coste adicional para la industria del seguro, pero sugiriendo que en un futuro sería deseable llevar a cabo dentro de la UE una amplia revisión del sistema de cálculo del margen de solvencia, considerando la necesidad de un análisis más explícito de los riesgos”.

Con el propósito de mejorar la legislación vigente, la Comisión se centró en revisar la composición y el cálculo del margen de solvencia, las inversiones más adecuadas para su cobertura, posibles medidas de las autoridades supervisoras y conseguir cierto nivel de homogeneización.

Estos trabajos previos fueron el embrión para que, el 5 de marzo de 2002, el Parlamento Europeo adoptara las nuevas Directivas para los Seguros de Vida y de No Vida, Directivas que se harían obligatorias el 1 de enero de 2004 (Solvencia I).

Así pues, bajo la denominación de Solvencia I se agrupó el sistema de supervisión prudencial de los seguros en el ámbito comunitario vigente hasta la entrada en vigor del marco Solvencia II.

Los principios que configuraron Solvencia I fueron tres:

1. Un margen de solvencia, que se concibe como una reserva adicional para hacer frente a las oscilaciones del negocio, y que se puede cubrir con los elementos del patrimonio (contable o extracontable) no afectos a las obligaciones derivadas de los contratos de seguro.

2. Unas provisiones (o reservas técnicas) calculadas de forma prudente, entendiendo por tal característica la inclusión de márgenes que no aparecen explícitos como parte de las mismas, no pretendiéndose que el cálculo de estos márgenes obedezcan a unas reglas armonizadas en el ámbito comunitario.

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3. Unos activos de calidad para cubrir el importe de las provisiones técnicas así calculadas, lo que implica una limitación en el poder de decisión inversora de la entidad.

Estos tres principios, por tanto, se basaban en establecer una suerte de blindaje de las obligaciones derivadas de los contratos (reflejadas en las provisiones técnicas) por la vía de la prudencia valorativa e inversora, a lo que se añade una cantidad (margen de solvencia) que pretende hacer las veces de capital regulatorio para encarar las fluctuaciones que la marcha del negocio puede sufrir más allá del ejercicio económico (recogido en las provisiones técnicas), contribuyendo así a la solvencia dinámica de la entidad.

Las carencias técnicas de este marco fueron ya puestas de manifiesto por la doctrina actuarial poco después de su puesta en funcionamiento.

Así, autores como SOLÁ (2013), en relación al margen de solvencia, denunciaron lo siguiente:

- Considerar solo los riesgos de suscripción de la entidad a la hora de proceder a su cálculo, incluyendo solo datos sobre primas y provisiones. Los riesgos procedentes de las inversiones de la entidad no se consideraban a la hora de su cálculo, no considerando así una fuente de inestabilidad de la empresa aseguradora, cuyo carácter de gestora-inversora de fondos ajenos es innegable. Además, también se han criticado las propias bases sobre las que se calcula el margen de solvencia, ya que el riesgo de suscripción que se calcula no incorpora ningún elemento que valore la calidad de la cartera aseguradora, al incluir indiscriminadamente todas las primas. Igualmente, se generan efectos paradójicos, al suponer una mayor carga el caso de unas provisiones más prudentes (por ejemplo en Vida si se descuenta con tipos más bajos). La experiencia en la aplicación de este margen de solvencia también probó cómo no había cumplido la función de alerta temprana que el capital regulatorio debe cumplir, permitiendo al supervisor la adopción de medidas de anticipación a las crisis.

- Sobre las provisiones técnicas, la Directiva de Cuentas de Entidades Aseguradoras no reguló su cálculo, limitándose a definir los conceptos “provisionables”, o, lo que es lo mismo, las provisiones mínimas a constituir por

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las entidades aseguradoras comunitarias. Por lo tanto, la interpretación del concepto de “prudencia” quedó a la plena determinación de cada jurisdicción nacional. La falta de armonización era el tributo que se tenía que pagar por este sistema, generando una casi imposible comparación de los estados financieros de las entidades aseguradoras europeas, donde las provisiones técnicas constituyen el principal elemento patrimonial de su Pasivo, al reflejar los riesgos derivados del negocio asegurador. Igualmente, el hecho de que el componente prudencial de la provisión no esté explícito no favorece la buena gestión ni el exacto conocimiento de los riesgos que la cartera de seguros contiene. Así, al analizar los pagos por prestaciones no se puede conocer el impacto de las pérdidas no esperadas, dado que no se diferencia este componente de las provisiones al calcularlas. No se conocen tampoco los cambios atribuibles al capital, al no discernir la pérdida esperada (resultante de la siniestralidad atribuible a la cartera) de la debida a las desviaciones sobre lo esperado.

- Por último, la obligación de invertir en determinado tipo de activos el importe de las provisiones técnicas suponía añadir una prudencia arbitraria que trataba de compensar la falta de consideración de los riesgos de los activos en el cálculo del margen de solvencia. Cualquier sistema que fuera capaz de captar los riesgos asociados a las inversiones y fuera capaz de traducirlo en necesidades de capital llevaría a la eliminación de estas restricciones en favor de una gestión integral de la entidad aseguradora.

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Solvencia II.

Las desventajas del marco de Solvencia I junto con otros aspectos como la globalización del mercado financiero, la aparición de nuevos productos aseguradores o, en general, la exposición a un entorno continuamente cambiante pusieron de manifiesto la necesidad de un nuevo marco regulador para el sector asegurador europeo. Así pues, surge el proyecto Solvencia II.

El proyecto de Solvencia II se configuraría en dos fases. La primera, desarrollada entre los años 2001 y 2003, tuvo como principal objetivo analizar características generales a que debía obedecer el futuro sistema de solvencia en la UE.

En este sentido, las fuentes del diseño fueron varias:

- Estudios generales como el encargado por la Comisión a la compañía KPMG (Informe KPMG).

- Informe del grupo de trabajo de la Conferencia de la Insurance Supervisory Authorities de los estados miembros de la UE (Informe Sharma).

- Sistemas de control y evaluación de otros sectores económicos (Basilea II).

- Estudios de otros sistemas de solvencia como los sistemas “Risk-Based Capital” (RBC); los estudios previos al modelo inglés de requisitos de capital ampliado (ECR) y estándares de evaluación del capital ampliado (ICA); el test de solvencia suizo (SST); o el modelo estándar alemán de la GDV para el cálculo de las necesidades de capital.

- Modelos internos de riesgos de las compañías aseguradoras europeas.

- Exposiciones de los estados miembros sobre sistemas prudenciales (principios de supervisión, Finlandia; análisis anual y “early warning system”, Alemania; “stress testing”, Reino Unido; evaluación del capital en tres horizontes temporales, Holanda; el control permanente e instrumentos de control, Francia; métodos cualitativos y cuantitativos para el sector financiero, Suecia).

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Como conclusión a la primera fase de reflexión inicial sobre el futuro cuadro de solvencia en la UE, se dio a conocer el inicio de una nueva fase del proyecto de desarrollo de trabajos técnicos. Así, la segunda fase estaba destinada a definir los detalles del sistema.

En este sentido, el marco acogido por el Comité de Seguros de la Comisión Europea contenía los siguientes aspectos principales:

- El nuevo sistema debía dotar a las autoridades de supervisión de los instrumentos adecuados para valorar la solvencia global de una empresa de seguros, lo que significa que el sistema debía consistir no solo en un conjunto de ratios e indicadores cuantitativos, sino igualmente indicadores de referencia cualitativos sobre otros aspectos que influyen sobre la situación de las empresas en términos de riesgo (gestión, control interno del riesgo, situación concurrente, etc).

- El sistema de solvencia debía ser concebido como base de una estructura con tres pilares del tipo Basilea II, aunque adaptada a las necesidades de supervisión aseguradora.

-Un enfoque sensible al riesgo que debía animar e incentivar a las aseguradoras para la valoración y gestión de los respectivos riesgos; incluyendo el reconocimiento de modelos internos que contribuyan a la mejora de la gestión del riesgo y a la adaptación más adecuada al perfil de riesgo real de la aseguradora con relación a las fórmulas normalizadas a desarrollar.

- Un enfoque de dos niveles de los requisitos de capital: una exigencia de capital de solvencia basada en el capital económico necesario con una determinada probabilidad de ruina (SCR: “Solvency Capital Requirement”), y una exigencia de capital mínimo absoluto más baja y más fácil de calcular (MCR: “Minimum Capital Requirement”).

- El nuevo sistema de solvencia debía tener por objetivo una supervisión más eficiente de los grupos aseguradores y de los conglomerados financieros, podrían y deberían ser desarrolladas ciertas formas de cooperación y coordinación entre autoridades prudenciales.

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- El futuro sistema debía conducir a una mayor armonización de los métodos de supervisión cuantitativos y cualitativos, contribuyendo así a la creación de condiciones concurrentes equitativas dentro del sector asegurador, así como entre los sectores financieros (coherencia en todos los sectores financieros).

- Por último, la incorporación de desarrollos internacionales con el objeto de promover una mayor convergencia en el establecimiento de normas prudenciales, especialmente con la International Association of Insurance Supervisor (IAIS), la International Actuarial Association (IAA) y el International Accounting Standards Board (IASB).

A partir del 1 de enero de 2016, la Directiva 2009/138/CE (Solvencia II), modificada por la Directiva 2014/51/UE (Ómnibus II), será de aplicación en la UE y sustituirá a una serie Directivas vigentes, comúnmente conocidas como Solvencia I.

La Directiva Solvencia II se desarrolla y complementa con el Reglamento Delegado (UE) 2015/35 de la Comisión, de 10 de octubre de 2014.

Solvencia II es una iniciativa originada en la UE que busca definir una plataforma común para la administración de riesgos en las aseguradoras europeas, al igual que los modelos de actuación de las mismas. Esta iniciativa ha sido aceptada internacionalmente y existen acciones en muchos países no europeos para adoptarla también dentro de sus marcos regulatorios.

La Directiva Solvencia II se configura como una norma de nivel 1 del procedimiento de Lamfalussy, a las que les seguirán medidas de implementación del nivel 2 y de supervisión del nivel 3, para su traslación e integración en el Ordenamiento jurídico de los estos miembros de la UE.

En el caso español, la Directiva se va a transponer al Ordenamiento jurídico a través del ALOSSEAR (Anteproyecto de Ley de Ordenación, Supervisión y Solvencia de las Entidades Aseguradoras y Reaseguradoras) y PROSSEAR (Proyecto de Reglamento de Ordenación, Supervisión y Solvencia de las Entidades Aseguradoras y Reaseguradoras).

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En cuanto a la estructura de la Directiva Solvencia II, está formada por un total de 312 artículos, que se reparten a lo largo de 6 Títulos:

- Título I: “Disposiciones generales sobre el acceso a la actividad de seguro directo y de reaseguro y su ejercicio”.

- Título II: “Disposiciones específicas para los seguros y los reaseguros”.

- Título III: “Supervisión de las empresas de seguros y de reaseguros que formen parte de un grupo”.

- Título IV: “Saneamiento y liquidación de las empresas de seguros”.

- Título V: “Otras disposiciones”.

- Título VI: “Disposiciones transitorias y finales”.

Los Títulos, por su parte, se van a desglosar en Capítulos, y los Capítulos en Secciones.

A este desglose hay que añadirle también una serie de Anexos que complementan la Directiva.

De manera general, el objetivo principal de Solvencia II es revisar el marco europeo de control cautelar de las compañías de seguros. Solvencia II pretende reforzar la armonización de las normas y prácticas prudenciales para mejorar la integración del mercado único europeo y evitar así distorsiones entre compañías.

De una forma más específica, otros objetivos destacados de Solvencia II son:

- Mejorar la protección de los asegurados y beneficiarios.

- Mejorar la rentabilidad de las aseguradoras.

- Mejorar la transparencia de los aseguradores en sus comunicaciones públicas y privadas, orientadas hacia el futuro, para crear disciplina en el mercado y generar confianza.

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Para alcanzar estos objetivos, Solvencia II está diseñada sobre tres pilares de actuación:

- Pilar 1: Requisitos armonizados de valoración y requisitos armonizados de capital basados en los riesgos.

- Pilar 2: Requisitos armonizados de gobernanza y gestión de riesgos.

- Pilar 3: Requisitos armonizados de información con fines de supervisión y publicación de datos.

El Pilar I se ocupa del ámbito cuantitativo. Se proponen las reglas para el cálculo y revisión de seis indicadores: valoración de activos y pasivos, provisiones técnicas, fondos propios, requerimientos de capital de solvencia, requerimientos de capital mínimo, e inversiones. Estos indicadores suponen una base financiera sólida para que las empresas aseguradoras ofrezcan mayor confianza a sus clientes y que estén protegidas para la ocurrencia de siniestros.

El Pilar II se caracteriza por su componente cualitativo. Tiene un doble impacto en las aseguradoras: por un lado se busca mejorar los sistemas de responsabilidad corporativa, de gobierno y de gestión; y por otra parte, se pretende una migración del actual sistema de orden y control a un sistema de regulación por autosupervisión. En este nuevo esquema deberán existir organismos de gobierno como un Consejo de Administración, un Comité de auditoría interna, un Comité de riesgos y en algunos casos un Comité de prácticas societarias. Estos organismos generan un contrapeso a la Dirección para la toma de decisiones.

El Pilar III se centra en la revelación de información. Se obliga a la entidad a revelar al mercado, a través de la información financiera su situación no solo patrimonial, sino los componentes de su perfil de riesgo y su actitud frente al mismo. De este modo, se cede al mercado un cierto papel supervisor, al entender que sus decisiones con respecto a la entidad (que no se circunscriben solamente a las propias de los mercados de instrumentos financieros) se basarán en esa revelación.

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Capítulo 2:

Provisiones Técnicas de Seguros.

2.1 Definición y Tipologías.

A la espera de las modificaciones que supondrá la entrada en vigor de la Directiva 2009/138/CE (Solvencia II), la actual regulación de provisiones técnicas de seguros en el Ordenamiento jurídico nacional se encuentra recogida, principalmente, en el artículo 16 LOSSP y en los artículos 29 a 48 bis ROSSP.

Según el artículo 16.1 LOSSP: “Las entidades aseguradoras tendrán la obligación de constituir y mantener en todo momento provisiones técnicas suficientes para el conjunto de sus actividades […]”.

Las provisiones técnicas, sin duda alguna, constituyen la partida más importante del pasivo en el balance de las entidades aseguradoras.

El artículo 29.1 ROSSP define las provisiones técnicas de la siguiente manera: “Las provisiones técnicas deberán reflejar en el balance de las entidades aseguradoras el importe de las obligaciones asumidas que se derivan de los contratos de seguros y reaseguros. Se deberán constituir y mantener por un importe suficiente para garantizar, atendiendo a criterios prudentes y razonables, todas las obligaciones derivadas de los referidos contratos, así como para mantener la necesaria estabilidad de la entidad aseguradora frente a oscilaciones aleatorias o cíclicas de la siniestralidad o frente a posibles riesgos especiales […]”.

Teniéndose en cuenta el artículo 16.1 LOSSP y el artículo 29.2 ROSSP, se pueden distinguir los siguientes tipos de provisiones técnicas:

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- De primas no consumidas.

- De riesgos en curso.

- De seguros de vida.

- De participación en beneficios y para extornos.

- De prestaciones.

- La reserva de estabilización.

1. Provisión para primas no consumidas (artículo 30 ROSSP). Tiene por objeto la periodificación de las primas devengadas y comprenderá la parte de prima destinada al cumplimiento de obligaciones futuras no extinguidas al cierre del ejercicio corriente. Su determinación es individual o por póliza.

2. Provisión técnica para riesgos en curso (artículo 31 ROSSP). Es una provisión complementaria a la anterior y surgirá cuando las primas se hayan demostrado insuficientes para cubrir la siniestralidad de los contratos de seguro. Pretende corregir la insuficiencia de las primas que a su vez daría lugar a una insuficiencia de la provisión para primas no consumidas.

3. Provisión técnica de seguros de vida (artículo 32 ROSSP). Si la prima cobrada siguiese la evolución del riesgo a lo largo de los años, en los últimos años de vida del asegurado la prima alcanzaría niveles prohibitivos. Por ello, se cobra a lo largo de todos los años una prima constante cuya diferencia con la “prima de riesgo” constituye la “prima de ahorro” que, capitalizada, permite formar la provisión matemática.

4. Provisión de participación en beneficios y para extornos (artículo 38 ROSSP). Obedece a razones de armonización comunitaria. Recoge el importe estimado de una parte de los posibles beneficios futuros que pueda obtener la entidad y que, de acuerdo con los contratos, correspondan a los asegurados o beneficiarios, y el de las primas que proceda restituir a los tomadores o asegurados, en su caso, en virtud del comportamiento experimentado por el riesgo asegurado, en tanto no hayan sido asignados individualmente a cada uno de ellos.

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5. Provisión técnica de prestaciones (artículo 39 ROSSP). Deberá representar el importe total de las obligaciones pendientes del asegurador derivadas de los siniestros ocurridos con anterioridad a la fecha del cierre del ejercicio y será igual a la diferencia entre su coste total estimado o cierto y el conjunto de los importes ya pagados por tales siniestros y estará integrada:

- Provisión de prestaciones pendientes de liquidación o pago (artículo 40 ROSSP) que incluirá el importe de todos aquellos siniestros ocurridos y declarados antes del cierre del ejercicio.

- Provisión de siniestros pendientes de declaración (artículo 41 ROSSP) que recogerá el importe estimado de los siniestros ocurridos antes del cierre del ejercicio y no declarados en esa fecha.

- Provisión de gastos internos de liquidación de siniestros (artículo 42 ROSSP) que recogerá los gastos internos de la entidad para la total finalización de los siniestros que han de incluirse en la provisión de prestaciones.

6. Reserva de estabilización (artículo 45 ROSSP). Tiene carácter acumulativo y su finalidad es alcanzar la estabilidad técnica de cada ramo o riesgo. Se calculará y dotará en aquellos riesgos que por su carácter especial, nivel de incertidumbre o falta de experiencia así lo requieran, por el importe necesario para hacer frente a las desviaciones aleatorias desfavorables de la siniestralidad

De esta clasificación, por su especial importancia para el sector asegurador y, sobre todo, en el ramo de no vida, nos vamos a centrar en el estudio de las provisiones de prestaciones.

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Capítulo 3:

Métodos para la Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida.

3.1 Los Datos.

En el estudio de los métodos de estimación de las provisiones técnicas de seguros de no vida, los datos objeto de análisis se corresponden con los siniestros.

Siniestro es la manifestación concreta del riesgo asegurado, que produce unos daños garantizados en la póliza hasta determinada cuantía. Se trata, pues, de un acontecimiento que, por causar unos daños concretos previstos en la póliza, motiva la aparición del principio indemnizatorio, obligando a la entidad aseguradora a satisfacer, total o parcialmente, al asegurado o a sus beneficiarios, el capital garantizado en el contrato.

El ciclo de vida de un siniestro se puede resumir en las siguientes fases:

1. Ocurrencia: el siniestro tiene lugar pero se encuentra pendiente de notificación a la aseguradora.

2. Notificación: el siniestro acontecido es comunicado a la entidad aseguradora y esta toma constancia del mismo con la apertura del correspondiente expediente.

3. Liquidación: la fase de liquidación tiene por objeto determinar las circunstancias en que se ha producido el siniestro, comprobar si este se encuentra amparado por la cobertura del seguro contratado y ,en caso

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afirmativo, determinar el importe de la indemnización a pagar por la aseguradora.

4. Pago: se abona la indemnización para reparar los daños causados por el siniestro.

Figura 9: Ciclo Vida Reclamaciones Siniestros.

Puede suceder que los siniestros no sigan linealmente estas fases. Esto ocurre cuando el siniestro entra en una situación o estado “pendiente”. Así, un siniestro puede estar pendiente de declaración, de liquidación o de pago. Estos estados generan toda una serie de retrasos en el ciclo de vida de los siniestros y, en consecuencia, van a afectar a la constitución de las reservas de seguros, dando lugar a dos tipos de reservas como las IBNR (“Incurred But Not Reported” -incurrida pero no declarada-) y RBNS (“Reported But Not Settled” -declarada pero no liquidada-).

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Ocurrencia Notificación Liquidación Pago

IBNR RBNS

3.2 La Estructura de los Datos: el triángulo de siniestros.

En el ámbito de las reservas de seguros de no vida, los datos suelen venir dados bajo la estructura del triángulo de siniestros (“run-off triangle”). El triángulo de siniestros se trata de una matriz de datos, donde se recoge la siniestralidad de análisis para la estimación de las reservas o provisiones técnicas de seguros. En dicha matriz, a medida que los siniestros son más recientes, se reduce la información; por lo que va a adoptar forma de triángulo o escalera.

Figura 10: Presentación de los datos: triángulo de siniestros I.

Año

de o

rigen

Año de desarrollo

Pasado

Futuro

Figura 11: Presentación de los datos: triángulo de siniestros II.

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Con respecto al triángulo de siniestros, hay que tener en cuenta también los siguientes aspectos:

- Se pueden distinguir dos triángulos en los datos. El triángulo superior, que se corresponde con las observaciones del pasado, y el triángulo inferior, que va a estar vacío y donde se recogerán las predicciones futuras.

- Los datos suelen venir expresados en años2, aunque también se admiten otras divisiones temporales como meses, trimestres, cuatrimestres; etc.

- Se puede tomar como momento inicial el año “0”, aunque también es posible empezar desde el año“1”.

- Las filas de los datos hacen referencia a los años de origen u ocurrencia de los siniestros. Las columnas, a los años de desarrollo o pago de los mismos. La columna “∞” se introduce, en ocasiones, cuando se considera que la liquidación de los siniestros no finaliza al final del último año de desarrollo, sino que puede tardar más tiempo.

-Como notación habitual, el último año de origen se suele notar como “I”; mientras que el último año de desarrollo como “J”. No obstante, es habitual trabajar con el supuesto de que I=J.

- El número de años de origen se corresponde con I+1 o con I y el número de años de desarrollo se corresponde con J+1 o J, según se comience en el momento 0 o 1, respectivamente.

- De manera general, el triángulo de siniestros suele recoger datos referentes a número de reclamaciones de siniestros o cantidades de pagos de siniestros; ya sea de forma incremental o acumulada:

2 En este trabajo se toma como división temporal de referencia el año para explicar los distintos contenidos.

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ni , j: número de reclamaciones de siniestros que han ocurrido en un momento “i” y que han sido registradas en un momento “j”. Se les suele denominar: “count claims”.

c i , j: cantidad monetaria de reclamaciones de siniestros que han ocurrido en un momento “i” y que han sido pagadas en un momento “j”. Se les suele denominar: “paid claims”.

N i , j: número acumulado de reclamaciones de siniestros que han ocurrido en un momento “i” y que han sido registradas en un momento “j”. Se verifica:

N i , j=∑h=0

j

ni ,h ; i=0 ,…, I

C i , j: cantidades monetarias acumuladas de reclamaciones de siniestros que han ocurrido en un momento “i” y que son pagadas en un momento “j”. Se verifica:

C i , j=∑h=0

j

c i ,h ; i=0 ,…, I

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3.3 Métodos Estadísticos para la Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida.

El artículo 16.1 LOSSP, con respecto a las provisiones técnicas, estipula que: “[…] deberán estar adecuadamente calculadas, contabilizadas e invertidas en activos aptos para su cobertura”.

Por su parte, el artículo 16.2 añade: “La cuantía de dichas provisiones se determinará con arreglo a hipótesis prudentes y razonables. Reglamentariamente se fijarán los métodos y procedimientos de cálculo de las provisiones técnicas, así como el importe de éstas que debe cubrir la entidad aseguradora”.

La determinación de las provisiones técnicas resulta fundamental para las empresas aseguradoras, ya que, su incorrecta estimación puede acarrear problemas como:

- Una subvaloración de las provisiones técnicas puede suponer a largo plazo insolvencia.

- Coste de oportunidad al tener reservados recursos que se podrían dedicar a otras inversiones más rentables.

- Alteración de la cuenta de resultados y balance contable de la empresa.

- Inadecuación en el pago de impuestos; etc.

El artículo 43 ROSSP destaca las siguientes ideas sobre los métodos estadísticos en el cálculo de las provisiones técnicas de prestaciones:

“Las entidades aseguradoras podrán utilizar métodos estadísticos para el cálculo de la provisión de prestaciones que incluyan tanto los siniestros pendientes de liquidación o pago como los siniestros pendientes de declaración, en cuyo caso no será necesario efectuar el desglose de la provisión entre ambos componentes. Asimismo, se podrán utilizar métodos estadísticos únicamente para el cálculo de la provisión de siniestros pendientes de declaración. Los métodos estadísticos a utilizar y las hipótesis contempladas para los mismos, así como las modificaciones de los métodos o hipótesis utilizados, acompañados de una justificación detallada de los contrastes de su bondad y del periodo de

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obtención de información, deberán recibir autorización de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones, la cual se entenderá concedida si en el plazo de tres meses desde la solicitud por parte de la entidad no se hubiere dictado resolución expresa. Cuando la entidad deje de utilizar dichos métodos estadísticos deberá comunicarlo a la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones.

La estimación del importe final de la provisión se hará tomando en consideración los resultados de, al menos, dos métodos pertenecientes a grupos de métodos estadísticos diferentes. Se consideran pertenecientes al mismo grupo aquellos métodos que se basen en las mismas hipótesis o que obtengan sus resultados a partir de las mismas magnitudes o variables.

La determinación de la provisión de prestaciones utilizando métodos estadísticos requerirá:

- Que la entidad tenga un volumen de siniestros suficiente para permitir la inferencia estadística y que disponga de información histórica relativa a los mismos, al menos de un número de ejercicios suficiente para valorar la provisión según la vida media de los siniestros y las características concretas de cada ramo, y que comprenda las magnitudes relevantes para el cálculo.

- Que los datos a utilizar sean homogéneos y procedan de estadísticas fiables. Se excluirán de la base de datos utilizada para el cálculo estadístico los siniestros o grupos de siniestros que presenten características, o en los que concurran circunstancias, que justifiquen estadísticamente su exclusión. Estos siniestros serán valorados y provisionados de forma individual.

- La entidad deberá realizar, al menos anualmente, un contraste de la bondad de los cálculos realizados.

El Ministro de Economía y Hacienda podrá establecer que, en determinados ramos o riesgos, la provisión de prestaciones se calcule por métodos estadísticos en su conjunto o en alguna de sus partes.

En este caso, la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones dará publicidad a los métodos estadísticos que serán obligatorios en ausencia de otros propuestos por la entidad.

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La entidad podrá solicitar de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones la no aplicación de métodos estadísticos cuando pueda acreditar que el método utilizado de estimación siniestro a siniestro ha conducido a resultados suficientes durante los últimos siete ejercicios.

La Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones podrá obligar, mediante resolución motivada, a que el importe de la provisión se determine por otros métodos estadísticos si considera que el importe estimado por la entidad, utilizando un método de valoración individual o un método estadístico, resulta insuficiente y puede comprometer su solvencia”.

Desde una perspectiva más técnica, los métodos para la estimación de las provisiones técnicas o reservas de seguros de no vida son múltiples. Una clasificación habitual en la literatura es aquella que distingue entre métodos clásicos (o determinísticos) y métodos estocásticos (TAYLOR, 1986).

Figura 12: Clasificación Métodos Estimación Provisiones Técnicas.

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Clásicos

Estocásticos

Individuales

Globales

- Método caso a caso.- Método del coste medio del siniestro. - Método del tiempo medio de liquidación.

- Grossing Up.- Link Ratio.- Chain Ladder.- Loss Ratio.- Bornhuetter-Ferguson.- Benktander-Hovinen.- Cap Cod.

- Modelo de Mack.- Munich Chain Ladder.- Modelo Lineal Generalizado.- Bootstrap Chain Ladder.- Double Chain Ladder.- Micro-Level Stochastic Loss Reserving- Continuous Chain Ladder

Los métodos clásicos se caracterizan por utilizar un enfoque determinístico en la estimación de las provisiones o reservas de seguros. En estos métodos no se va a considerar explícitamente ningún supuesto probabilístico.

Dentro de los métodos clásicos, podemos diferenciar entre métodos individuales y globales.

Los métodos individuales, como su nombre indica, consideran los siniestros de forma individual para el cálculo de las reservas de seguros. En este sentido, podemos destacar: el método caso a caso, el del coste medio del siniestro y el del tiempo medio de liquidación.

Los métodos globales, por su parte, consideran los siniestros en su conjunto. Dentro de los métodos globales, podemos mencionar: el método Grossing Up, Link Ratio, Chain Ladder, Loss Ratio, Bornhuetter-Ferguson, Benktander-Hovinen, Cap Cod; etc.

En otro orden, además de los métodos clásicos, tenemos los métodos estocásticos. Estos van a suponer, por su parte, que la evolución de la siniestralidad a lo largo del tiempo para cualquier año de ocurrencia es aleatoria (KASS et al., 2001). Según los autores ENGLAND y VERRALL (2002), los métodos englobados en este grupo buscan obtener estimaciones tanto del valor como la variabilidad de las provisiones de seguros, a través de funciones de distribución de probabilidad. Como métodos estocásticos, podemos destacar: el Modelo Lineal Generalizado, el Modelo de Mack, Munich Chain Ladder, Bootstrap Chain Ladder; etc.

Los últimos avances en la formulación de modelos estocásticos se están orientando hacia los denominados “métodos basados en modelos estadísticos”, que tratan de describir las componentes estocásticas que subyacen en modelos ya definidos para la estimación de reservas de seguros. Se incluyen modelos como: Double Chain Ladder, Micro-Level Stochastic Loss Reserving, Continuous Chain Ladder; etc.

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A continuación, por su especial importancia en el ámbito actuarial, nos vamos a centrar en el estudio de algunos de estos métodos de una forma más detallada. Concretamente, analizaremos:

- Chain Ladder.

- Link Ratio.

- Grossing Up.

- Modelo de Mack.

- Bootstrap Chain Ladder.

- Modelo Lineal Generalizado.

- Munich Chain Ladder.

- Double Chain Ladder.

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3.3.1 Métodos Clásicos.

3.3.1.1 Chain Ladder.

Chain Ladder, sin duda alguna, es uno de los métodos más utilizados en la literatura actuarial para la estimación de reservas de seguros de no vida (EEGHEN, 1981). Las razones que explican su gran difusión las encontramos, sobre todo, en su simplicidad y eficacia.

Para la explicación del procedimiento del método Chain Ladder, vamos a suponer que se parte de un triángulo de siniestros con información referente a pagos acumulados {C i , j : i=0 , …, I ; j=0 , …, J }. Así, el algoritmo o los pasos para determinar las reservas de seguros por el método de Chain Ladder se definen como:

1. Determinación de los factores de desarrollo.

Los factores de desarrollo (f j) recogen una estimación de la variación de la siniestralidad entre un año de desarrollo y el siguiente. Se calculan como:

f j=∑i=0

I− j−1

C i , j+1

∑i=0

I− j−1

Ci , j

; j=0 , …, J−1

2. Determinación de los factores de proyección.

Los factores de proyección se obtienen como la productoria de los factores de desarrollo:

F k=∏j=k

J −1

f j; k=0 ,…,J−1

3. Estimación de las cantidades acumuladas para el último año de desarrollo.

El último año de desarrollo (“ultimate”) facilita el cálculo de las reservas o provisión técnica. Así pues, sus cantidades acumulada de pagos (C i ,J) son las que primero se estiman para el triángulo de siniestros:

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C i ,J=Ci , J−i∗FJ −i ; i=1 , …, I

4. Determinación de las reservas por año de origen.

Las reservas por año de origen (Ri) se calculan, para cada año de origen, como la diferencia entre la estimación de la cantidad acumulada del último año de desarrollo y el último valor observado de la misma:

Ri=C i , J−C i ,J −i ; i=1 ,…, I

5. Determinación de la reserva total.

La reserva total (R) se calcula como la sumatoria de las reservas de origen (Ri):

R=∑i=1

I

Ri

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3.3.1.2 Link Ratio.

El método Link Ratio para la estimación de reservas de seguros de no vida se caracteriza por el cálculo de los ratios de enlace individuales (“link ratios”), los cuales van a expresar la tasa de variación de la siniestralidad, para un ejercicio de ocurrencia, entre un ejercicio de desarrollo y el siguiente.

Considerándose un triángulo de siniestros con información referente a pagos acumulados {C i , j : i=0 , …, I ; j=0 , …, J }, los pasos de este método son exactamente los mismos que en Chain Ladder, tan solo, con el paso previo de calcular los ratios de enlace individuales:

1. Determinación de los ratios de enlace.

Los ratios de enlace o “link ratios” (Ri , j) se calculan como:

Ri , j=Ci , j+1

Ci , j

; i=0 , …, I − j−1 ; j=0 ,…,J−1

2. Determinación de los factores de desarrollo.

En el cálculo de los factores de desarrollo ( f j), se distinguen diferentes enfoques en este método, podemos destacar los siguientes:

2.1 Enfoque pesimista: f j=Max {R i , j }; i=0 , …, I− j−1; j=0 , …, J−1

2.2 Enfoque optimista: f j=Min {Ri , j }; i=0 , …, I− j−1 ; j=0 ,…,J−1

2.3 Enfoque de medias simples: f j=

∑i=0

I− j−1

Ri , j

I− j; j=0 ,…, J−1

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2.4 Enfoque Chain-Ladder: f j=∑i=0

I− j−1

C i , j∗Ri , j

∑i=0

I− j−1

Ci , j

; j=0 , …,J−1

El enfoque 2.4 pone de manifiesto que el método Chain Ladder puede considerarse como un caso particular del método Link Ratio:

f j=∑i=0

I− j−1

C i , j∗Ri , j

∑i=0

I− j−1

Ci , j

=∑i=0

I− j−1 Ci , j∗C i , j+1

C i , j

∑i=0

I− j−1

C i , j

=∑i=0

I− j−1

C i , j+1

∑i=0

I − j−1

Ci , j

; j=0 , …, J−1

3. Determinación de los factores de proyección.

Los factores de proyección (F k) se calculan como:

F k=∏j=k

J −1

f j; k=0 ,…,J−1

4. Estimación de las cantidades acumuladas para el último año de desarrollo.

Las cantidades acumulada de pagos para el último año de desarrollo (C i ,J) se calculan como:

C i ,J=Ci , J−i∗FJ −i ; i=1 ,…, I

5. Determinación de las reservas por año de origen.

Las reservas por año de origen (Ri) se calculan como:

Ri=C i , J−C i ,J −i ; i=1 , …, I

6. Determinación de la reserva total.

La reserva total (R) se calcula como:

48

R=∑i=1

I

Ri

3.3.1.3 Grossing Up.

El método Grossing Up para la estimación de las reservas o provisiones técnicas de seguros de no vida se caracteriza por calcular el porcentaje del total de siniestros pagados en cada año de desarrollo.

También en este caso, se va a considerar un triángulo de siniestros con información referente a pagos acumulados {C i , j : i=0 , …, I ; j=0 , …, J }. Así pues, los pasos que describen a este método se definen como:

1. Determinar los porcentajes del total de siniestros pagados por año de desarrollo.

Los porcentajes ( p j) se pueden calcular bajo diferentes criterios, entre estos, podemos destacar los siguientes:

1.1 Criterio según primer año de origen:

p j=C0 , j

C0 , J

; j=0 , …,J−1

1.2 Criterio según información previa de “n” años anteriores:

p j=1

n+1∑t=0n

p−t ; j=0 ,…,J−1

1.3 Criterio conservador con información previa de “n” años anteriores:

p j=min { p−t ; t=0 ,…, n }; j=0 , …, J−1

49

2. Estimación de las cantidades acumuladas para el último año de desarrollo.

Las cantidades acumulada de pagos para el último año de desarrollo (C i ,J) se calculan como:

C i ,J=C i , J−i

pJ−i

; i=1 , …, I

3. Determinación de las reservas por año de origen.

Las reservas por año de origen (Ri) se calculan como:

Ri=C i , J−C i ,J −i ; i=1 , …, I

4. Determinación de la reserva total.

La reserva total (R) se calcula como:

R=∑i=1

I

Ri

50

3.3.2 Métodos Estocásticos.

3.3.2.1 Modelo de Mack.

Este modelo fue propuesto en el año 1993 por THOMAS MACK en el artículo: “Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladder reserve estimates” [13].

El modelo de Mack se trata de una generalización estocástica del método Chain Ladder clásico. Este, además de proporcionar la misma estimación de las reservas de seguros de no vida que la versión determinista de Chain Ladder, define una medida de dispersión o variabilidad de la estimación de reservas, concretamente, calcula su error cuadrático medio; suponiendo para todo ello que los datos observados no van a seguir una distribución de probabilidad concreta (“distribution-free”).

Así pues, si partimos de un triángulo de siniestros de cuantías acumuladas de pagos {C i , j : i , j=1 ,…, I }, las 3 hipótesis básicas -además del supuesto de “distribution-free”- que se plantean en el modelo de Mack se corresponden con:

- Hipótesis 1: existen factores de desarrollo f 1, …, f I−1>0 que verifican:

E [C i , j+1/Ci1 ,… ,C i ,k ]=C i , k f k ;1≤ i≤ I ;1≤ k≤ I−1

- Hipótesis 2: cada año de ocurrencia de siniestros es independiente de los demás; es decir:

{C i ,1 ,C i ,2 , …, Ci , I } , {C j ,1 , C j ,2 , …,C j , I } ;∀ i≠ j, son independientes.

- Hipótesis 3: la varianza de las cantidades acumuladas de pago C i ,k+1, condicionadas a la información disponible, se puede expresar como:

51

Var [Ci , k+1/C i ,1 ,…, C i ,k ]=C i ,k σ k2;1≤i ≤ I ;1≤ k ≤ I −1

Estimación de las reservas de seguros.

Para estimar las reservas de seguros, resulta necesario antes definir los estimadores f k y σ k

2, derivados de las hipótesis planteadas en el modelo.

El primero de los estimadores, f k, coincide con el del método Chain Ladder clásico, es decir:

f k=∑i=1

I− j

Ci , j+1

∑i=1

I − j

Ci , j

;1≤ k ≤ I−1

El segundo estimador, por su parte, se define como:

σ k2= 1

I−k−1∑i=1I−k

Ci , k (C i ,k +1

C i ,k

−f k)2

;1≤ k ≤ I−2

Esta expresión no resulta válida para j=I−1; en este caso, se proponen las siguientes posibilidades:

1. Si f I−1=1 y se espera que el desarrollo de los siniestros finalice tras I−1 periodos; entonces, se sugiera que σ 2I−1=0.

2. Extrapolar el siguiente valor de la secuencia {σ1 ,… ,σ I−3 , σ I−2}, que suele ser una sucesión de valores exponencialmente decrecientes. Para ello, se sugieren, a su vez, dos posibilidades:

- Usar una regresión log-lineal del tipo:

ln σ j2= α+ β k

; que implica:

σ 2I−1=exp {α+ β(I −1)}

52

- Imponer la siguiente condición:

σ I−3

σ I−2=

σ I−2

σ I−1; si σ I−3> σ I−2

; es decir, que el ritmo de caída de la varianza se mantenga en las últimas observaciones. Expresado de otra forma, se tendría que:

σ2

I−1=min { σ4 I−2

σ2I −3

;min { σ2I−3 ; σ2

I−2 }}Así pues, definidos tales estimadores; se estimarían las reservas por año de origen (Ri) de la misma forma que en Chain Ladder clásico; es decir:

Ri=C i , I−C i , I−i;1≤i ≤ I

; donde:

C i ,I=Ci , I−i∗F I−i;2≤ i≤ I

F k=∏j=k

I−1

f j;1≤ j ≤ I−1

La reserva total se obtendría también de la misma manera que en el método determinista:

R=∑i=2

I

Ri

Variabilidad de las reservas de seguros.

En cuanto a la medida de variabilidad de las reservas, se va a hacer uso del MSE (“Mean Square Error”).

De forma analítica, en primer lugar, se determina el MSE de las reservas de origen, a través del siguiente estimador:

53

MSE ( R i )=C iI2∗ ∑

k= I+1−i

I−1 σk2

f k2∗( 1C i , k

+ 1

∑j=1

I−k

C j ,k ); i=1 , …, I

El estimador del MSE para la reserva total se definiría, por su parte, como:

MSE ( R )=∑i=2

I {(s . e . ( R i ))2+C i , I ( ∑j=i+1

I

C j , I) ∑k=I +1−i

I−12

σk2

f k2

∑n=1

I−k

Cn , k }; donde:

s . e . ( Ri )=√ MSE ( Ri )

54

3.3.2.2 Bootstrap Chain Ladder.

El método bootstrap fue propuesto por BRADLEY EFRON en 1979. El término bootstrap hace referencia a la idea de autosuficiencia y procede de la expresión inglesa “to pull oneself up by one´s bootstrap” -levantarse tirando hacia arriba de las propias correas de las botas-, la cual está tomada de una de las Aventuras del Barón Munchausen, personaje ficticio del siglo XVIII, creado por el escritor RUDOLPH ERICH RASPE.

Sea X=¿) el vector de datos y T n(x) el estadístico de interés calculado a partir de ellos. El bootstrap es una técnica consistente en extraer de la población X un número B grande (generalmente, entre 50 y 200) de muestras aleatorias con reemplazamiento de tamaño n.

Cada una de las muestras extraídas se denominan muestras bootstrap, X ¿=¿). Por tanto, si se representa por (X ¿¿¿1 , X ¿ 2 , …, X ¿ B)¿ las B muestras bootstrap de tamaño n, los valores del estadístico en estudio, T n, en cada una de ellas, T n ( X¿1 ) , Tn ( X¿ 2 ) ,… ,T n(X¿ B), se denominan replicaciones bootstrap.

Estos B valores forman una distribución de frecuencias a partir de la cual se obtienen características de la muestra como la media, la desviación típica, etc; definidos como los estimadores bootstrap de las correspondientes características de la distribución en el muestreo del estimador T n: esperanza de T n, error de muestreo de T n, etc. Inclusive, la propia distribución de frecuencias construida a partir de las replicaciones bootstrap se denomina estimador bootstrap de la distribución en el muestreo de T n.

El método bootstrap se basa en el principio “plug-in”, que puede interpretarse como la sustitución de la distribución subyacente F por un estimador F de esta. La selección más frecuente ha sido la función de distribución empírica

55

F ( x )=1n∑i=1

n

I{X i≤ x } ; donde I {X i ≤x }= 1, si X i ≤ x ; y 0, en otro caso. En este caso,

hablamos de bootstrap no paramétrico. Si F es estimada por un modelo concreto; entonces, se tiene bootstrap paramétrico.

Si representamos por T n(.) la media arimética de las replicaciones bootstrap, se tiene:

T n ( . )= 1B∑b=1

B

Tn(x¿ b)

; y el estimador bootstrap del error de muestreo se define como:

seboot=√ 1B ∑b=1

B

(T¿¿n ( x¿ b )−T n ( . ))2¿

La aplicación de la metodología bootstrap para dar una solución al problema de la estimación de reservas de seguros de no vida fue definida por ENGLAND y VERRALL (1999).

Cuando el error de predicción tiene una expresión sumamente compleja, se recomienda la utilización del bootstrap, que como se ha visto anteriormente lo que hace es generar muestras a partir de los datos originales. Sin embargo, dado que las reservas suelen estimarse a partir de modelos de regresión, el remuestreo se realizará con los residuos de dicho modelo, tal y como sugieren EFRON y TIBSHIRANI (1993).

Además, un aspecto de suma importancia consiste en determinar cuál será la expresión de los residuos; siendo los más habituales los obtenidos a partir de la medida de dispersión, los de Pearson y los de Anscombe. Dado que se desconoce la distribución de las reclamaciones de siniestros, se remuestrearán los residuos. Para ello, se utilizará el residuo de Pearson, que tiene la propiedad de distribuirse asintóticamente como una Normal con media 0 y desviación 1.

56

Así pues, se remuestrea una variable que tiene una distribución asintótica conocida.

Para estimar las reservas, se ejecutará el siguiente algoritmo consistente en un total de 9 pasos:

1. Se calculan los factores de proyección según el método Chain Ladder clásico.

2. Se obtienen los valores acumulados estimados. Partiendo de la última diagonal, se calculan los valores de los años anteriores de forma recurrente, dividiendo el valor del año t entre el factor de proyección del año t-1.

3. Se calculan los incrementos anuales a partir de los valores estimados en el paso 2. La variación en las cantidades estimadas se calcula por filas:

mi , j={ Ci , j ; j=1Ci , j−C i , j−1;1< j ; j=N−i

; donde mi , j son los incrementos estimados.

4. Obtención de los residuos adimensionales de Pearson ¿). Para su cálculo será de aplicación la siguiente expresión:

ri , j=C i, j−mi , j

√mi , j

5. Se remuestrean los residuos obtenidos en el apartado anterior. Se utilizará la técnica bootstrap, imponiendo la condición de que todos los residuos tengan la misma probabilidad de ser remuestreados.

6. Se calculan los incrementos a partir de la muestra obtenida por el método bootstrap. Se tendrán que deshacer los pasos 3 y 4, partiendo de la expresión de los residuos de Pearson, es decir:

C i , j=ri , j√mi , j+mi , j

57

7. Con los incrementos obtenidos en el paso 6, los datos acumulados se regeneran mediante adición.

8. Se vuelven a calcular los factores de proyección según el método Chain Ladder clásico de las muestras generadas. A partir de los datos acumulados, se obtienen los factores de la muestra bootstrap.

9. Para finalizar, se obtienen las reservas a partir de la muestra bootstrap y sus factores de proyección.

El proceso de nueve pasos descrito se repite un número elevado de veces, procediendo a guardar el resultado de las reservas de cada anualidad y la reserva total.

ENGLAND, en el año 2002, modificó el método Bootstrap Chain Ladder (1999), dando lugar a una combinación de bootstrap no paramétrico y paramétrico para la estimación de reservas de seguros. El procedimiento se define como:

1. Usar la técnica bootstrap definida por ENGLAND y VERRALL (1999) y estimar los parámetros de la distribución.

2. Simular la distribución de las predicciones, suponiendo que estas siguen una distribución concreta. Normalmente, se suele considerar la distribución Gamma o la Poisson Sobredispersa.

58

3.3.2.3 Modelo Lineal Generalizado.

El Modelo Lineal Generalizado (MLG) fue propuesto en el año 1972 por los autores NELDER y WEDDERBURN, en el artículo: “Generalized Linear Models”.

La estructura básica del MLG se define de la siguiente manera:

1. X i , j: variables aleatorias, independientes, con función de densidad de probabilidad f (.), perteneciente a la familia exponencial; tal que:

X i , j →f (x ;μ i , j , ϕ )

; donde ϕ se trata de un parámetro de dispersión.

2. La esperanza y varianza de X i , j se definen como:

E [ X i , j ]=μ i, j

Var [ X i , j ]=ϕVar [μ i , j]

; con ϕ>1.

3. Función de enlace g(.), monótona y diferenciable; que relaciona la respuesta promedio , μi , j, con un predictor lineal , ηi , j, a través de la relación:

ηi , j=g (μ i , j)

Estimación de la reservas de seguros.

El MLG se trata de una técnica de modelización estadística aplicable al cálculo de provisiones técnicas o reservas de seguros de no vida (ENGLAND Y VERRALL, 1999).

Este modelo generaliza el método Chain Ladder desde el punto de vista estocástico. Así pues, si utilizamos MLG para modelar los datos del triángulo de siniestros en el cálculo de provisiones técnicas e imponemos que la distribución del error sea Poisson Sobredispersa, junto con una función de enlace canónica

59

logarítmica; entonces, se obtendrían las mismas estimaciones que en Chain Ladder clásico, pero con las particularidades de los modelos estocásticos.

La distribución Poisson Sobredispersa aplicada a las cuantías de pagos incrementales {ci , j : i=0 , …,k ; j=0 , …, k } del triángulo de siniestros, supuestas estas independientes, considera los siguientes valores:

E [c i , j ]=μij ; Var [c i , j ]=ϕVar [ μij ]

wij

=ϕ μ ij

w ij

; ϕ>1 ; w ij=1

Por su parte, la función de enlace logarítmica se define como:

log μi , j=η i , j

En cuanto al predictor lineal, este es de la forma:

ηi , j=c0+αi+β j

; donde:

c0: es el término que se corresponde al año de ocurrencia y desarrollo 0.

α i: factor correspondiente a los años de ocurrencia i=1 , …, k.

β j: factor correspondiente a los años de desarrollo j=1 ,…, k .

Las estimaciones de las cuantías incrementales c ij se obtienen como:

c i , j=exp {c0+α i+ β j}

En cuanto a las reservas, las reservas por año de origen (Ri) se calculan como:

Ri= ∑j=k−i+1

k

ci , j ; i=1 ,… ,k

La reserva total (R) se calcula como:

R=∑i=1

k

∑j=k−i+1

k

c i , j

60

Variabilidad de las reservas de seguros.

En lo que respecta a la variabilidad o dispersión de las reservas, se va a hacer uso de la metodología bootstrap.

La idea o procedimiento de la técnica bootstrap aplicado a este modelo es la siguiente:

- Se aplica el modelo Chain Ladder clásico al triángulo de datos originales y se calculan los residuos de Pearson de la siguiente forma:

ri , j=c i , j−c i , j

√ ci , j

- Dichos residuos se remuestrean B veces y con ellos se construyen B nuevas muestras de triángulos de cuantías no acumuladas. A tal efecto, de la fórmula de los residuos se despeja:

c¿i , j=r¿

i , j √c i , j+c i , j

- Se estima el MLG Poisson Sobredisperso en cada una de las B muestras y con él las reservas por años de origen y total.

- El resultado es que disponemos de B valores de las reservas por año de origen y total, lo que se traduce en la distribución predictiva de dichas reservas.

La variabilidad de las reservas se va a mediar mediante el error de predicción estimado mediante la metodología bootstrap (PEboot). Este para las reservas de origen (Ri) y total (R) se calcula como:

PEboot ( R i )≅ √ ϕP Ri+n

n−p(SEboot ( R i ))

2; i=1, …, k

PEboot (R )≅ √ ϕP R+ nn−p

(SEboot ( R ) )2

;donde, el parámetro ϕ P se puede obtener con el estimador de momentos basado en los residuos generalizados de Pearson y SEboot se corresponde con el error estándar de la distribución bootstrap.

61

Para la estimación del error estándar se utiliza una estimación corregida por sesgo, siendo n−p el número de grados de libertad, con p=2k+1 el número de parámetros del modelo (ENGLAND Y VERRALL, 1999).

3.3.2.4 Munich Chain Ladder.

El modelo Munich Chain Ladder (MCL) fue introducido por los autores GERHARD QUARG y THOMAS MACK en el año 2004, en su artículo: “Munich Chain Ladder:

62

a reserving method that reduces the gap between IBNR projections based on paid losses and IBNR projections based on incurred losses” [16].

El modelo MCL se caracteriza por tener en cuenta la relación de dependencia entre los datos referentes a siniestros pagados (“paid claims”) y siniestros incurridos (“incurred claims”), al estimar las reservas de seguros de no vida.

En este modelo, por tanto, se va a disponer de dos triángulos:

1. Triángulo “paid claims” : que se puede notar como P={CP

i , j:1≤ i≤ n ;1≤ j ≤ n−i+1 }, y que contiene para cada celdilla (i , j), las cantidades acumuladas de los pagos que se hicieron de reclamaciones ocurridas en el año i y resueltas en el periodo j.

2. Triángulo "incurred claims" : que se puede notar como I={C I

i , j :1≤i ≤n ;1≤ j≤ n−i+1}, y que se obtiene a partir de los datos acumulados de "paid claims", "counts claims" e información subjetiva del experto actuario.

En cuanto a las hipótesis del modelo MCL, previamente, definimos algunos conceptos a tener en cuenta:

Tanto para los siniestros pagados como incurridos, los ratios de enlace individuales se definen como:

RPi , j=

C Pi , j+1

CPi , j

R Ii , j=

C Ii , j+1

C Ii , j

La proporción entre siniestros pagados e incurridos; así como, su inversa se definen como:

Qi , j=CP

i , j

C Ii , j

Q−1i , j=

C Ii , j

CPi , j

Las observaciones de un periodo de origen i hasta un periodo de desarrollo k se van a definir como: Pi (k )={Cp

i , j : j ≤ k }, I i (k )={C Ii , j : j ≤ k } y

63

Bi ( k )={Cpi , j ,C

Ii , j : j ≤ k }, para los triángulos de siniestros pagados, siniestros

incurridos y ambos; respectivamente.

Así pues, teniendo en cuenta estos conceptos, definimos las siguientes hipótesis:

Bloque A: valores esperados.

- Hipótesis A1: para 1≤i , j≤ n, existe una constante f Pj; tal que:

E [RPi , j/P i( j)]=f P

j

- Hipótesis A2: para 1≤i , j≤ n, existe una constante f Ij; tal que:

E [R Ii , j /I i( j)]=f I

j

- Hipótesis A3: para 1≤i , j≤ n, existe una constante q−1j ; tal que:

E [Q−1i , j / Pi( j)]=q−1

j

- Hipótesis A4: para 1≤i , j≤ n, existe una constante q j ; tal que:

E [Qi , j / Ii( j)]=q j

Bloque B: varianzas.

64

- Hipótesis B1: para 1≤i , j≤ n, existe una constante σ Pj; tal que:

Var [ RPi , j /Pi( j)]=

(σ Pj)2

C pi , j

- Hipótesis B2: para 1≤i , j≤ n, existe una constante σ Ij; tal que:

Var [ R Ii , j /I i( j)]=

(σ Ij)2

C Ii , j

- Hipótesis B3: para 1≤i , j≤ n, existe una constante τ Pj; tal que:

Var [Q−1i , j /P i( j)]=

(τPj)2

C pi , j

- Hipótesis B4: para 1≤i , j≤ n, existe una constante τ Ij; tal que:

Var [Qi , j /I i( j)]=(τ I

j)2

C Ii , j

Bloque C: independencia.

65

- Hipótesis C1:

Las variables aleatorias correspondientes a los diferentes años de ocurrencia para los siniestros pagados:

{C P1, j : j=1,2, …n }, …,{CP

n , j : j=1,2 ,…n }

son estocásticamente independientes.

- Hipótesis C2:

Las variables aleatorias correspondientes a los diferentes años de ocurrencia para los siniestros incurridos:

{C I1, j : j=1,2,…n }, …,{C I

n , j : j=1,2 ,…n}

son estocásticamente independientes.

- Hipótesis C1:

Las variables aleatorias correspondientes a los diferentes años de ocurrencia para los siniestros pagados y los siniestros incurridos:

{C P1, j , C I

1 , j: j=1,2 ,… n}, …, {CPn , j ,C

In , j : j=1,2, …n }

son estocásticamente independientes.

66

Así pues, teniendo en cuenta los bloques de hipótesis A, B y C, se definen los residuos de Pearson de la siguiente manera:

r Pi , j=

RPi , j−E [RP

i , j / Pi( j)]

√Var [ RPi, j/ Pi( j)]

r Ii , j=

R Ii , j−E [R I

i , j / Ii( j)]

√Var [ RIi , j / I i( j)]

rQ−1

i , j=Q−1

i , j−E [Q−1i , j /Pi( j)]

√Var [Q−1i , j /P i( j)]

rQi , j=

Qi , j−E [Qi , j/ I i( j)]

√Var [Q i , j / I i( j)]

Bloque D: correlaciones.

- Hipótesis D1: para 1≤i , j≤ n, existe una constante ρP; tal que:

E [r Pi , j /Bi( j)]=ρPr Q−1

i , j

- Hipótesis D2: para 1≤i , j≤ n, existe una constante ρ I; tal que:

E [r Ii , j /Bi( j)]=ρ I rQ

i , j

Estimación de las reservas de seguros.

67

Para estimar las reservas de seguros, resulta necesario antes definir los estimadores f P

j , fI

j , q j , q−1j , (σ

Pj)2 , (σ I

j)2 , ( τP

j)2 , ( τ I

j)2 , ρP y ρ I, derivados de

las hipótesis planteadas en el modelo:

f Pj=∑i=1

n− j

CPi , j+1

∑i=1

n− j

C Pi , j

f Ij=∑i=1

n− j

C Ii , j+1

∑i=1

n− j

C Ii , j

q j=∑i=1

n− j+1

CPi , j

∑i=1

n− j+1

C Ii , j

q−1j=

∑i=1

n− j+1

C Ii , j

∑i=1

n− j+1

CPi , j

(σ Pj)2= 1

n− j−1∑i=1n− j

CPi , j (RP

i , j− f Pj )2

(σ Ij)2= 1

n− j−1∑i=1n− j

CPi , j (R I

i , j− f Ij )2

( τPj)2= 1

n− j∑i=1

n− j+1

CPi , j (Q−1

i , j−q−1j )2

( τ Ij)2= 1

n− j∑i=1

n− j+1

C Ii , j ( Qi , j−q j )

2

68

ρP=∑i , j

rQ−1

i , j rP

i , j

∑i , j

(rQ−1

i , j)2

ρ I=∑i , j

rQi , j r

Ii , j

∑i , j

(rQi , j)

2

Teniendo en cuenta estos estimadores, las cantidades CPi , j y C I

i , j para el triángulo de siniestros pagados y el triángulo de siniestros incurridos; respectivamente, se pueden obtener como:

CPi , j+1=CP

i , j λP

i , j ;1≤ i≤ n ;n−i+1≤ j≤ n−1

C Ii , j+1=C I

i , j λ Ii , j ;1≤i ≤ n;n−i+1≤ j≤ n−1

; donde:

λPi , j= f P

j+ ρP σ Pj

τ Pj

(Q−1i , j− q−1

j)

λ Ii , j= f I

j+ ρI σ Ij

τ Ij

(Qi , j−q j)

Para calcular las reservas de seguros, en primer lugar, se calcular las reservas por año de origen:

RPi=CP

i , n−CPi ,n−i+1

R Ii=C I

i , n−C Ii ,n−i+1

La reserva total se obtiene como la sumatoria de las reservas de origen:

RP=∑i=2

n

RPi

R I=∑i=2

n

R Ii

69

Variabilidad de las reservas de seguros.

Para estudiar la variabilidad de las reservas de seguros se va a hacer uso de la metodología bootstrap. A tal efecto, el esquema seguido es el siguiente:

- Se aplica MCL sobre los datos de siniestros pagados y siniestros incurridos; y se obtienen los siguientes residuos de Pearson:

r Pi , j=

RPi , j− f P

j

σ Pj

√CPi , j

r Ii , j=

R Ii , j− f I

j

σ Ij

√C Ii , j

rQ−1

i , j=Q−1

i , j− q−1j

τPj

√C Ii , j

rQi , j=

Qi , j−q j

τ Ij

√C Ii , j

- Se ajustan los residuos de Pearson estimados, multiplicando por √ (n− j )(n− j−1) para corregir el sesgo bootstrap.

70

- Reagrupamiento de los residuos obtenidos como:

U i , j={(rPi , j ) , (r Q−1

i , j ) , (r Ii , j) , (rQ

i , j )}

- Se repiten de manera iterativa, B veces (B≥1000), los siguientes pasos:

1. Se lleva a cabo un muestreo aleatorio con reemplazamiento sobre el grupo de residuos U i , j; obteniéndose muestras bootstrap de los residuos agrupados, U i , j

B

:

U i , jB={(r P

i , j )B, (rQ−1

i , j )B, (rI

i , j )B, (rQ

i , j )B}

2. A partir del conjunto de residuos obtenidos por el muestreo anterior, se calculan los ratios de enlace para el triángulo de siniestros pagados ((R¿¿ P¿¿ i , j)B ¿¿) y siniestros incurridos ((R¿¿ I ¿¿ i , j)B ¿¿); así como, sobre la proporción bootstrap entre siniestros pagados e incurridos ((Q¿¿ i , j)B¿) y su inversa ((Q¿¿−1¿¿ i , j)B¿¿):

(R¿¿ P¿¿ i , j)B=(r¿¿P ¿¿ i , j)B σ P

j

√C Pi , j

+ f Pj¿¿¿¿

(R¿¿ I ¿¿ i , j)B=(r¿¿ I ¿¿ i , j)B σ I

j

√C Ii , j

+ f Ij¿¿¿¿

(Q¿¿ i , j)B=(r Q

i , j)B τ I

j

√C Ii , j

+q j ¿

(Q¿¿−1¿¿ i , j)B=(r Q−1

i , j)B τP

j

√C Ii , j

+ q−1j¿¿

3. Se calculan los estimadores bootstrap de los factores f Pj , f

Ij , q j y q−1

j:

71

( f Pj)

B=∑i=1

n− j C Pi , j

∑i=1

n− j

CPi , j

(R ¿¿ P¿¿ i , j)B ¿¿

( f Ij)

B=∑i=1

n− j C Ii , j

∑i=1

n− j

C Ii , j

(R ¿¿ I¿¿ i , j)B ¿¿

(q¿¿ j)B= ∑i=1

n− j+1 C Ii , j

∑i=1

n− j+1

C Ii , j

(Q¿¿i , j)B ¿¿

(q¿¿−1¿¿ j)B= ∑i=1

n− j+1 CPi , j

∑i=1

n− j+1

CPi , j

(Q¿¿−1¿¿ i , j)B ¿¿¿¿

4. Se calculan los coeficientes de correlación a partir de los residuos obtenidos en el paso 1:

( ρ¿¿ P)B=∑i , j

(r¿¿Q−1¿¿ i , j)B (r¿¿ P¿¿ i , j)B

∑i , j

¿¿¿¿¿¿¿¿¿

( ρ¿¿ I )B=∑i , j

(r¿¿Q¿¿ i , j)B (rIi , j)

B

∑i , j

¿¿¿¿¿¿¿

5. Se calculan los estimadores de las varianzas bootstrap como:

((σ Pj)¿¿2)

B= 1n− j−1∑i=1

n− j

C Pi , j ¿¿¿¿

((σ Ij)¿¿2)

B= 1n− j−1∑i=1

n− j

C Pi , j ¿¿¿¿

72

((τ Pj)¿¿2)

B= 1n− j

∑i=1

n− j+1

CPi , j¿¿¿¿

((τ Ij)¿¿2)

B= 1n− j

∑i=1

n− j+1

C Ii , j¿¿¿¿

6. Se calculan los factores de desarrollo ajustados bootstrap como:

( λ¿¿P ¿¿ i , j)B=( f P¿¿ j)B+( ρ¿¿P)B (σ¿¿ P¿¿ j)B

( τ ¿¿ P¿¿ j)B ¿¿¿¿¿¿¿¿¿

( λ¿¿ I ¿¿ i , j)B=(f ¿¿ I ¿¿ j)B+( ρ¿¿ I )B ( σ¿¿ I ¿¿ j)B

( τ Ij )

B ¿¿¿¿¿¿¿¿

7. Se simulan los cantidades futuras de la parte inferior de los triángulos de siniestros pagados y siniestros incurridos. A tal efecto, se distinguen los siguientes pasos:

- Para las previsiones de la diagonal siguiente a la última conocida, se asume una distribución Normal:

X Pi ,n−i+2→ Normal¿

para el triángulo de pagos y

X Ii ,n−i+2→ Normal¿

para el triángulo de incurridos.

73

- Para las previsiones de las diagonales siguientes a las obtenidas en el paso anterior, también se asumen una distribución Normal:

X Pk ,l → Normal¿

3≤ k ≤n;n−k+3≤ j ≤ n

para el triángulo de siniestros pagados y

X Ik ,l → Normal ¿

3≤ k ≤n;n−k+3≤ j ≤ n

para el triángulo de siniestros incurridos.

8. Se suman los pagos simulados de la parte inferior del triángulo por año de origen y total, obteniéndose así las reservas por año de origen y total.

9. Se guardan los resultados y se vuelve al paso 1.

74

3.3.2.5 Double Chain Ladder.

Double Chain Ladder (DCL) se trata de una versión estocástica del clásico Chain Ladder para la estimación de las provisiones técnicas de seguros de no vida. Este modelo fue propuesto por MARTÍNEZ-MIRANDA, NIELSEN y VERRALL en el año 2012 en el artículo: “Double Chain Ladder” [12]. Los autores definen un método de estimación de los parámetros involucrados en el modelo, basado en el clásico algoritmo Chain Ladder. En concreto, el algoritmo del método se aplica dos veces, una al triángulo de frecuencias y otra al triángulo de pagos (de ahí el nombre del método “Double Chain Ladder”). Con los parámetros estimados, los autores además describen un sencillo método bootstrap paramétrico que permite aproximar la distribución de las reservas.

En DCL se trabaja con datos provenientes de dos triángulos de siniestros:

1. Triángulo de frecuencias de siniestros: ℵ m={N i , j :(i , j)∈T }; donde N i , j representa el número de reclamaciones de siniestros ocurridos en un año i y que han sido notificadas en un año i+ j; es decir, con j periodos de retardo desde el año i; y donde el conjunto de datos se corresponde con T={(i , j ): i=1,…,m ; j=0 , …. ,m−1 ; i+ j≤ m }.

2. Triángulo de pagos de siniestros: ∆m={X i , j :(i , j)∈T }; donde X i , j representa las cantidades monetarias de reclamaciones de siniestros ocurridos en un año i y pagados con j periodos de retraso desde el año i.

Los triángulos (ℵ m,∆m) contienen datos observables que habitualmente están disponibles en la mayoría de las líneas de negocio de las aseguradoras. DCL es un modelo estocástico para estos dos triángulos.

75

Además de estos datos observables, el retardo en la liquidación de siniestros, o retardo RBNS, es una componente estocástica que se modeliza mediante una variable latente, N paid

i , j, que representa el número total de reclamaciones de siniestros ocurridos en un año i y pagados en el año i+ j. Así pues, asumiendo que d es el máximo de periodos de retardo, con d ≤ m−1, entonces:

N paidi , j= ∑

l=0

min { j , d }

N paidi , j−l ,l

; donde N paidi , j , l es el número de pagos de los N i . j siniestros ocurridos en el año

i, notificados en el año i+ j y finalmente resueltos y pagados en el año i+ j+l.

De forma similar, se definen otras variables latentes que representan los pagos realizados por cada reclamación individual. En concreto, se define Y i , j

(k ) como la variable que representa cada uno los pagos individuales de las N paid

i , j reclamaciones ocurridas en el año i y pagados en el año i+ j, de tal forma que:

X i , j= ∑k=1

N paidi , j

Y i , j(k)

Hipótesis.

Con las definiciones anteriores, se asumen las siguientes hipótesis:

Hipótesis 1: independencia.

- Las variables con diferente año de origen son independientes.

- La variable Y i , j(k )es independiente de la variable N i , j (que representa el retardo

IBNR); así como, también de los retardos en las reservas RBNS.

- Las reclamaciones son liquidadas mediante pagos individuales o son resueltas sin ningún pago (“zero-claims”).

76

Hipótesis 2: retardo RBNS.

(N ¿¿ paid¿¿ i , j ,0 , …, N paidi , j , d)→ Multinomial ( N i , j ; p0 ,… , pd ) ;(i , j)∈ I ¿¿

; donde p=( p0 , …, pd) se corresponden con las probabilidades de retardo; tal

que, 0< p l<1 y ∑l=0

d

pl=1.

Hipótesis 3: sobre la distribución de Y i , j(k ).

Los pagos individuales Y i , j(k ) son mutuamente independientes con media μi y

varianzas σ 2i ; tal que:

E [Y i , j(k ) ]=μ γ i=μi

Var [Y i , j(k ) ]=σ 2γ 2i=σ 2i

; donde μ y σ 2 son los factores media y varianza comunes a todos los años de origen i, y γ ies un parámetro de inflación asociado a los años de origen u ocurrencia.

Hipótesis 4: retardo IBNR.

Las variables N i , j son independientes con distribución de Poisson cuya media presenta la siguiente parametrización multiplicativa:

E [ N i , j ]=α i β j

Se asume además la identificación de Mack (1991):

77

∑j=0

m−1

β j=1

Estimación de las reservas de seguros.

De las hipótesis definidas sobre el modelo, se tienen que estimar los siguientes parámetros para estimar las reservas de seguros:

- Probabilidades de retardo en el pago desde la notificación.

p0 , …, pd.

- Parámetros de la distribución de los pagos individuales de siniestros:

μ, σ 2 , {γi : i=1 , …, m}.

- Parámetros que describen la media de la distribución de las frecuencias de siniestros notificados:

{αi , β j : i=1, …, m ; j=0 , …, m−1 }

Como comentábamos anteriormente, la estimación de todos estos parámetros puede hacerse sin más que aplicar el algoritmo Chain Ladder dos veces. En concreto, se procedería como sigue:

- Para estimar las probabilidades de retardo.

1. Se aplica el algoritmo Chain Ladder sobre el triángulo ℵ m y se obtienen los estimadores {αi , β j} a partir de los factores de desarrollo λ l:

β0=1

∏l=1

m−1

λl

; β j=

λ j−1

∏l=1

m−1

λl

; j=1 , …, m−1

78

α i=∑j=0

n−i

N i , j ∏j=m−i+ l

m−1

λ j; i=1 , …, m

2. Se aplica de nuevo Chain Ladder, ahora sobre el triángulo de pagos ∆m y se

obtienen de forma similar al paso 1 los estimadores {~αi ,~β j}.

Imponiendo la condición de que la media incondicional de los pagos bajo el modelo DCL es la misma que bajo el ChainLadder clásico, obtenemos las ecuaciones que permiten estimar el resto de parámetros. En concreto, bajo el modelo DCL se deduce que la media incondicional de los pagos es:

E [ X i , j ]=αi μ γi∑l=0

j

β j−l π l

Y bajo el modelo Chain Ladder clásico, la misma media es:

E [ X ij ]=~αi~β j

De este modo, se deducen las siguientes ecuaciones que ligan los parámetros Chain Ladder que hemos estimado en los pasos 1 y 2 anteriores con el resto de parámetros en el modelo DCL:

α γi μ=~αi

∑l=0

j

β j−l π l=~β j

3. Usando la primera ecuación,~β j=∑l=0

L

β j−l π l, obtenemos el siguiente sistema:

(~β0~β1…

~βm−1

)=(β0 0 … 0

β1 β0 … 0…

βm−1

…βm−2

… …… β0

)( π0π1…

π m−1)

79

; cuya solución nos da el estimador de los parámetros de retardo en el pago π={π l : l=0 , …,m−1 }.

4. Dado que la solución del sistema anterior no tiene por qué dar un vector de probabilidades, tal y como se ha definido en la Hipótesis 2, se ajusta el estimador π obtenido en el paso 3 para obtener las probabilidades deseadas:

p=( p0 , …, pd)

- Para la estimación de los parámetros de pagos individuales.

1. Se hace uso de la segunda ecuación α i μ γi=~αi y se estima γ i como:

γ i=~α i

α i μ; i=1, …, m

2. Se asume que el factor de inflación en el primer año de origen es 1, γ 1=1, y se obtiene:

μ=~α 1α 1

3. Finalmente, se estima el parámetro varianza de la distribución de los pagos individuales. Asumiendo que los pagos agregados X i , j siguen aproximadamente un modelo de Poisson Sobredisperso, se tiene que:

Var [ X i , j /ℵ m]≈ ϕi E [ X i , j /ℵm] ;

; dondeϕi=γi φ y φ=σ2+μ2

μ.

Entonces, usando un modelo Poisson Sobredisperso se tiene:

σ 2= μ φ− μ2

80

De modo que la varianza de los pagos individuales originados en el año i, σ i2, se

estimaría como:

σ i2=σ2 γ i

2

- Para la estimación de las reservas RBNS e IBNR.

Una vez que se han estimado todos los parámetros del modelo, las reservas RBNS e IBNR se estiman usando la expresión de la media condicional de los pagos bajo el modelo, sustituyendo los parámetros desconocidos por las estimaciones que se han calculado. En concreto, la media condicional de los pagos X i , j viene dada por:

E [ X ij /ℵ m ]=∑l=0

j

N i , j−l~π l

~μl γ i=∑l=0

j

N i , j−l π l μγ i

; donde μ=∑l=0

m−1~π l

~μl y π l=~π l~μl / μ.

Y usando dicha expresión, un estimador de las reservas RBNS viene dado por:

X i , jRBNS= ∑

l=i−m+ j

min ( j , d)

N i , j−l p l μ γ i; (i , j)∈ I 1∪ I 2

De forma similar, se estiman las reservas IBNR como:

X i , jIBNR= ∑

l=0

min(i−m+ j−1 , d)

N i , j−l p l μ γ i ;(i , j)∈ I 1∪ I 2∪ I 3

; donde:

J1={i=2 , …,m ; j=0 ,…,m−1; i+ j=m+1 , …,2m−1}

J2={i=1 , …,m ; j=m, … .,2m−1; i+ j=m+1 ,…,2m−1 }

J3={i=2 , …,m; j=m, …,2m−1 ;i+ j=3m ,…,3m−2 }

81

Variabilidad de las reservas de seguros.

La variabilidad de las reservas de seguros o provisiones técnicas se determina mediante la metodología bootstrap.

El algoritmo para la provisión RBNS se corresponde con:

1. Se parte del triángulo de número de siniestros y se toma una muestra bootstrap del triángulo de pagos de siniestros.

2. A partir de estos datos, se estiman los parámetros bootstrap de inflación, probabilidad de retardo, media y varianza común.

3. Con los parámetros bootstrap se estima la provisión RBNS.

4. El proceso descrito en los puntos 1, 2 y 3 se repite “B” veces; obteniéndose la distribución de la provisión RBNS, a partir de la cual, se puede calcular la desviación típica como estimador de la variabilidad de la provisión RBNS.

El algoritmo para la provisión IBNR se corresponde con:

1. Se parte del triángulo de número de siniestros y se toma una muestra bootstrap de dicho triángulo y del triángulo de pagos de siniestros.

2. A partir de estos datos, se estiman los parámetros bootstrap de inflación, probabilidad de retardo, media y varianza común; w

3. Con los parámetros bootstrap se estima la provisión IBNR.

4. El proceso descrito en los puntos 1, 2 y 3 se repite “B” veces; obteniéndose la distribución de la provisión RBNS, a partir de la cual, se puede calcular la desviación típica como estimador de la variabilidad de la provisión RBNS.

82

Capítulo 4:

Aplicación Práctica en la Estimación de Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida mediante R Project.

4.1 R Project.

R Project se trata de una aplicación informática para la realización de análisis estadísticos y gráficos, creado por ROSS IHAKA y ROBERT GENTLEMAN en el año 1993. R tiene una doble naturaleza de programa informático y lenguaje de programación. Como lenguaje, es considerado como un dialecto de S, creado por los Laboratorios AT&T Bell.

Entre sus principales característica destacan también las siguientes:

- Licencia libre: R se distribuye gratuitamente bajo los términos GNU (General Public License).

- Idioma: inglés.

- Funciona en los sistemas operativos más habituales: el código fuente está escrito principalmente en C (y algunas rutinas en Fortran), esencialmente para maquinas Unix y Linux, o como archivos binarios precompilados para Windows, Linux (Debian, Mandrake, RedHat, SuSe), Macintosh y Alpha Unix.

83

- Fácil instalación: los archivos necesarios para instalar R, ya sea desde las fuentes o binarios precompilados, se distribuyen desde el sitio de Internet Comprehensive R Archive Network (CRAN), junto con las instrucciones de instalación.

- Continuo desarrollo del programa: su desarrollo y distribución son llevados a cabo por estadísticos, conocidos como el Grupo Nuclear de Desarrollo de R.

- Dispone de numerosos complementos o paquetes para aplicaciones estadísticas concretas.

- Manejo basado en órdenes: los análisis estadísticos se llevan a cabo a través de órdenes o código de programación.

- Adecuada visualización y manejo de resultados: los resultados de análisis estadísticos se muestran por pantalla, y algunos resultados intermedios (como p-valor, coeficientes de regresión, residuales; etc) se pueden guardar en objetos; o bien, exportar a un archivo para ser utilizados en análisis posteriores.

- Flexibilidad: al tratarse también de un lenguaje de programación, permite la definición de funciones por parte del usuario.

- Dispone de diversas interfaces gráficas para facilitar su manejo: RCommander, Rkward, RExcel, RStudio; etc.

- Buena documentación y multitud de foros de ayuda.

84

4.2 Libros en R Project sobre Provisiones Técnicas de Seguros de No Vida.

Las dos librerías más importantes que podemos encontrar en R para la estimación de las provisiones técnicas de seguros de no vida son “ChainLadder” y “DCL”.

4.2.1 El libro ChainLadder.

Descripción.

ChainLadder (versión 0.2.0) se trata de un paquete o librería creada en R Project por MARKUS GESMANN, DANIEL MURPHY, WAYNE ZHANG, ALESSANDRO CARRATO, GIUSEPPE CRUPI y MARIO WÜTHRICH en el año 2015.

El libro Chainladder recoge toda una serie de métodos y modelos estadísticos para el cálculo de provisiones técnicas o reservas en el ámbito de los seguros de no vida y bajo el marco normativo de la directiva europea Solvencia II. Concretamente, se incluyen métodos y técnicas estadísticas como:

* Chain Ladder.

* Mack Chain Ladder.

* Munich Chain Ladder.

* Chain Ladder Multivariante.

* Bootstrap Chain Ladder.

* Clark Cap-Code.

* Clark LDF.

* Modelo Lineal Generalizado.

Instalación.

85

Para la utilización del paquete ChainLadder se debe comenzar instalando el mismo con la orden:

install.packages('ChainLadder')

Posteriormente, se deberá activar con la orden:

library(ChainLadder)

Ayuda.

Para acceder a la ayuda de ChainLadder se pueden utilizar las órdenes:

help(ChainLadder)

?ChainLadder

Para un mayor detalle se puede hacer uso también de la viñeta o guía de ChainLadder, disponible en:

http://cran.r-project.org/web/packages/ChainLadder/ChainLadder.pdf

Ejemplos y demostraciones.

El paquete ChainLadder incluye toda una serie de ejemplos a los que se puede acceder mediante la orden:

example(ChainLadder)

También está dotado de una serie de demostraciones interactivas para facilitar el aprendizaje sobre el paquete. Se accede a las demostraciones mediante órdenes como:

demo(ChainLadder)

demo(MackChainLadder)

demo(DatabaseExamples)

demo(MSOffice)

Cita bibliográfica.

86

Para citar el paquete ChainLadder en publicaciones se procede de la forma:

citation(“ChainLadder”)

Markus Gesmann, Daniel Murphy, Wayne Zhang, Alessandro Carrato, Giuseppe Crupi and Mario Wüthrich (2015). ChainLadder: Statistical methods and models for the calculation of outstanding claims reserves in general insurance. R package version 0.2.0.

Licencia.

ChainLadder funciona con licencia GPL. La documentación de ChainLadder, por su parte, opera con licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

87

4.2.2 El libro DCL.

Descripción.

DCL (versión 0.1.0) se trata de un paquete o librería creada en R Project por MARÍA DOLORES MARTÍNEZ-MIRANDA, JENS PERCH NIELSEN y RICHARD VERRALL en el año 2013.

El libro DCL recoge una modelización estadística para la predicción de provisiones técnicas o reservas de seguros de no vida, a través de la técnica “Double Chain Ladder” y bajo el marco normativo establecido por Solvencia II.

Instalación.

Para la utilización del paquete DCL se debe comenzar instalando el mismo con la orden:

install.packages('DCL')

Posteriormente, se deberá activar con la orden:

library(DCL)

Ayuda.

Para acceder a la ayuda de DCL se pueden utilizar las órdenes:

help(DCL)

?DCL

Para un mayor detalle se puede hacer uso también de la viñeta o guía de DCL, disponible en:

http://cran.r-project.org/web/packages/DCL/DCL.pdf

Ejemplos.

88

El paquete DCL incluye toda una serie de ejemplos a los que se puede acceder mediante la orden:

example(DCL)

Cita bibliográfica.

Para citar el paquete en publicaciones se procede de la forma:

citation(“DCL”)

Maria Dolores Martinez-Miranda, Jens Perch Nielsen and Richard Verrall (2013). DCL: Claims Reserving under the Double Chain Ladder Model. R package version 0.1.0.

http://CRAN.R-project.org/package=DCL

Licencia.

DCL funciona con licencia GPL-2.

89

4.3 Ejemplos prácticos en R Project.

Librerías.

Los paquetes o librerías de R que se van a emplear son “ChainLadder” y “DCL”. En algunos métodos se emplearán también funciones propias programadas a tal efecto.

library(ChainLadder)library(DCL)

Datos.

Los datos han sido obtenidos del artículo: “Individual loss reserving using paid-incurred” de PIGEON et al. (2014) [13]. Se tratan de datos sobre pagos de siniestros (acumulados), siniestros incurridos (acumulados) y número de siniestros (incremental) de seguros de no vida.

#Paid claims (aggregated)

paid<-as.matrix(read.table("C:/Users/xpc/Desktop /paid_data.txt"))paid<-as.triangle(paid)colnames(paid)<-1997:2005rownames(paid)<-1997:2005paid

plot(paid)

90

# Incurred claims (aggregated)

incurred<-as.matrix(read.table("C:/Users/xpc/Desktop /incurred_data.txt"))incurred<-as.triangle(incurred)colnames(incurred)<-1997:2005rownames(incurred)<-1997:2005

incurred

plot(incurred)

91

#Number of claims (incremental)

num<-as.matrix(read.table("C:/Users/xpc/Desktop /num_data2.txt"))num<-as.triangle(num)colnames(num)<-1997:2005rownames(num)<-1997:2005

num

plot(num)

92

4.3.1 Ejemplo 1: Chain Ladder.

Procedimiento.

Para la estimación de las provisión técnica de seguros por el método Chain Ladder, en primer lugar, se aplica la función chainladder{ChainLadder}.

chainladder(Triangle, weights = 1, delta = 1)

La función chainladder nos permite calcular los diferentes modelos de regresión lineal asociados a cada año de desarrollo. En cuanto a los argumentos a utilizar para su funcionamiento, se requiere, principalmente, la especificación de los datos de análisis (Triangle). También se pueden indicar otros argumentos opcionales como los pesos o ponderaciones (weights) y una ratio utilizada para la estimación del importe de los siniestros del último año de desarrollo (delta).

A continuación, se hace uso de la función predict.TriangleModel{ChainLadder}.

predict(object,…)

Esta función se emplea para estimar el triángulo inferior de los datos. Como argumento se utiliza la salida obtenida de aplicar la función chainladder.

Finalmente, para estimar el importe de las provisión técnica se emplea la función propia reserves.

reserves(prediction)

Esta función utiliza como argumento el triángulo estimado mediante la función predict.

93

Código R Project.

#Linear Models

chldr<-chainladder(paid)

#Estimation of triangle

triangle_chldr<-predict(chldr)

#Reserves

reserves<-function(prediction=NA){ row=nrow(prediction) col=ncol(prediction) reserves<-numeric(row) j=0 for(i in 1:row){ reserves[i]=prediction[i,col]-prediction[i,col-j] j=j+1 } total_reserve=sum(reserves) return(total_reserve) }

reserves(triangle_chldr)

Resultados.

94

La estimación puntual de la provisión técnica por el método Chain Ladder ofrece una cifra de 15.261.478 unidades monetarias (u.m.).

4.3.2 Ejemplo 2: Link Ratio.

Procedimiento.

Por el método Link Ratio, la estimación de la provisión técnica se realiza mediante la función propia link_ratio.

link_ratio(triangle, criterium)

Como argumentos de dicha función, se utilizan los datos del triángulo de análisis (triangle) y la especificación del criterio (criterium) a aplicar en el cálculo de los factores de desarrollo (1 = Pesimista, 2 = Optimista, 3 = Medias simples).

Código R Project.

link_ratio<-function(triangle=NA,criterium=NA){

row=nrow(triangle)col=ncol(triangle)

#Link ratios

individual_links<-matrix(NA,row,col)

for(j in 1:col-1){ individual_links[,j]=paid[,j+1]/paid[,j]}

#Development factors

development_factors=numeric(col-1)

if(criterium==1){

for(j in 1:col-1){

95

development_factors[j]=suppressWarnings(max(individual_links[,j],na.rm=T)) } }

else if(criterium==2){

for(j in 1:col-1){ development_factors[j]=suppressWarnings(min(individual_links[,j],na.rm=T)) } }

else if(criterium==3){ for(j in 1:col-1){ development_factors[j]=mean(individual_links[,j],na.rm=T) } }

else{ print("Error: Select criterium: 1=Pessimistic , 2=Optimist , 3=Average") break() }

#Proyection factors

development_factors2=rev(development_factors)

proyection_factors=rev(cumprod(development_factors2))

#Ultimates

prediction_ultimate=numeric(col)

prediction_ultimate[1]=paid[1,col]

k=1

96

for(i in 2:row){ prediction_ultimate[i]=paid[i,col-k]*proyection_factors[col-k] k=k+1 }

#Reserves

reserves=numeric(row)

k=0

for(i in 1:row){ reserves[i]=prediction_ultimate[i]-paid[i,col-k] k=k+1 }

total_reserve=sum(reserves)

return(total_reserve)

}

link_ratio(paid,1)

link_ratio(paid,2)

link_ratio(paid,3)

Resultados.

La estimación puntual de la provisión técnica de seguros por el método de Link Ratio ofrece un resultado de 24.919.975 u.m., 8.670.711 u.m. y 15.140.056 u.m. según el criterio pesimista, optimista y medias simples; respectivamente.

97

4.3.3 Ejemplo 3: Grossing Up.

Procedimiento.

En cuanto al método Grossing Up, la estimación de la provisión técnica de seguros se realiza mediante la función propia grossing_up.

grossing_up(triangle)

Como argumentos de la función se utilizan los datos del triángulo de análisis (triangle).

Código R Project.

grossing_up<-function(triangle=NA){ row=nrow(triangle) col=ncol(triangle)

#Percentages

pj=numeric(col-1)

for(j in 1:col-1){

pj[j]=paid[1,j]/paid[1,col] }

#Ultimates

prediction_ultimate=numeric(col)

prediction_ultimate[1]=paid[1,col]

k=1

for(i in 2:row){ prediction_ultimate[i]=paid[i,col-k]/pj[col-k] k=k+1

98

}

#Reserves

reserves=numeric(row)

k=0

for(i in 1:row){ reserves[i]=prediction_ultimate[i]-paid[i,col-k] k=k+1 }

total_reserve=sum(reserves)

return(total_reserve)

}

grossing_up(paid)

Resultados.

La estimación puntual de la provisión técnica de seguros por el método de Grossing Up ofrece un resultado de 16.069.110 u.m.

99

4.3.4 Ejemplo 6: Mack Chain Ladder.

Procedimiento.

En el método Mack Chain Ladder, la estimación de la provisión técnica de seguros se realiza mediante la función MackChainLadder{ChainLadder}.

MackChainLadder(Triangle, weights = 1, alpha = 1, est.sigma = "log-linear", tail = FALSE, tail.se = NULL, tail.sigma = NULL, mse.method = "Mack")

La función MackChainLadder proporciona un resumen donde se recoge para cada año de origen y el total: el importe de los últimos siniestros observados (Latest), una ratio del importe de los últimos siniestros observados -Latest- sobre la predicción del importe de los siniestros del último año de desarrollo -Ultimate- (Dev, To. Date), la estimación del importe de los siniestros para el último año de desarrollo (Ultimate), el importe estimado de la provisión técnica (IBNR), su error típico (Mack.S.E.) y su coeficiente de variación (CV(IBNR)).

En cuanto a los argumentos de la función, se emplean los datos del triángulo de análisis (Triangle), las ponderaciones (weights), una ratio utilizada para la estimación del importe de los siniestros del último año de desarrollo (alpha), el método para la estimación del error típico de la provisión técnica (est.sigma), factor de cola (tail), el error típico del factor de cola (tail.se), la varianza del factor de cola (tail.sigma) y el método de estimación del error cuadrático medio (mse.method).

Se pueden practicar también algunos gráficos interesantes sobre valores observados y predicciones, y de los residuos en el modelo de Mack mediante la función plot{graphics}.

plot(x,y,…)

En la función plot se utiliza como argumento x la salida de MackChainLadder.

100

Código R Project.

mack<-MackChainLadder(paid,est.sigma="Mack")mack

plot(mack)

101

Resultados.

La estimación puntual de la provisión técnica de seguros por el método de Mack Chain Ladder ofrece un resultado de 15.261.478,48 u.m., con un error típico de 2.285.810,23 u.m.

102

4.3.5 Ejemplo 4: Bootstrap Chain Ladder.

Procedimiento.

El método Bootstrap Chain Ladder estima el importe de la provisión técnica de seguros mediante la función BootChainLadder{ChainLadder}.

BootChainLadder(Triangle, R = 999, process.distr = c("gamma", "od.pois"))

La función BootChainLadder nos proporciona un resumen donde se recoge para cada año de origen y el total: el importe del último pago de siniestros observado (Latest), la estimación bootstrap del importe medio del pago de siniestros para el último año de desarrollo (Mean Ultimate), la media bootstrap de la provisión técnica (Mean IBNR), su error típico (IBNR.S.E.), el percentil 75 (IBNR 75%) y el percentil 95 (IBNR 95%).

Los argumentos de la función son los datos del triángulo de análisis (Triangle), el número de réplicas bootstrap (R) y la distribución que se asumen en el proceso (process.distr), a elegir entre Gamma y Poisson Sobredispersa.

Para obtener la estimación por intervalo de confianza de la provisión técnica se hace uso de la función quantile{stats}.

quantile(x,…)

Los argumentos de esta función son los datos de análisis (x), en nuestro caso, la salida obtenida de la función BootChainLadder; y como argumentos adicionales (…) se emplea un vector con las probabilidades correspondientes a los intervalos de confianza a calcular.

Finalmente, se pueden practicar también algunos gráficos interesantes sobre la provisión técnica y sobre los valores “latest” y “ultimate”. Tan solo hay que hacer uso de la función plot{graphics}.

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plot(x,y,…)

En la función plot se utilizaría como argumento x la salida de BootChainLadder.

Código R Project.

bootstrap_chldr<-BootChainLadder(paid,process.distr=c("od.pois"))bootstrap_chldr

quantile(bootstrap_chldr,c(0.05,0.95,0.025,0.975,0.005,0.995))

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plot(bootstrap_chldr)

Resultados.La estimación puntual de la provisión técnica de seguros por el método de Bootstrap Chain Ladder ofrece un resultado de 15.395.776 u.m., con un error típico de 2.029.690 u.m.

Por intervalo de confianza al 90%, la estimación se corresponde con [12.190.007 - 18.952.967] u.m., al 95% con [11.626.213 – 19.735.570] u.m. y al 99% con [10.703.338- 21.219.403] u.m. Por su parte,

105

4.3.6 Ejemplo 5: Modelo Lineal Generalizado.

Procedimiento.

Para la estimación de la provisión técnica mediante el Modelo Lineal Generalizado se emplea la función glmReserve{ChainLadder}.

glmReserve(triangle, var.power = 1, link.power = 0, cum = TRUE, mse.method = c("formula", "bootstrap"), nsim = 1000, ...)

La función glmReserve proporciona un resumen donde se recoge para cada año de origen y el total: el importe de los últimos siniestros observados (Latest), una ratio del importe de los últimos siniestros observados -Latest- sobre la predicción del importe de los siniestros del último año de desarrollo -Ultimate- (Dev, To. Date), la estimación del importe de los siniestros para el último año de desarrollo (Ultimate), el importe estimado de la provisión técnica (IBNR), su error típico (S.E.) y su coeficiente de variación (CV).

Como argumentos de la función glmReserve se emplean los datos del triángulo de análisis (triangle), el valor del exponente de la potencia de la función varianza del modelo (var.power), el valor del exponente de la potencia de la función de enlace (link.power), especificación de si los datos son acumulados o incrementales (cum), el método de estimación del error cuadrático medio (mse.method), el número de simulaciones bootstrap (nsim) y otros argumentos adicionales (…).

Modificando el argumento var.power se puede ajustar el Modelo Lineal Generalizado para la estimación de las provisiones técnicas con diferentes distribuciones de probabilidad. Así, por ejemplo, si var.power = 1, se ajusta el modelo con distribución Poisson Sobredispersa; si var.power = 2, se ajusta con distribución Gamma y si var.power = NULL; entonces, con distribución Poisson Compuesta.

Por su parte, también cabe la posibilidad de calcular el error típico de la estimación de las provisiones mediante la metodología bootstrap. A tal efecto, habría que especificar en el argumento mse.method = ”boot”. Mediante esta

106

alternativa, también es posible obtener la estimación de las provisiones técnicas en intervalo de confianza, a través de la función quantile{stats}. La aplicación de esta función resulta recomendable consultarla directamente en el Código de R Project empleado, ya que no se utiliza de una forma directa como anteriormente se ha descrito en Bootstrap Chain Ladder.

Código R Project.

#Over Dispersed Poisson

mlg<-glmReserve(paid,var.power=1)mlg

#Gamma

mlg2<-glmReserve(paid,var.power=2)mlg2

#Bootstrap

mlg3<-glmReserve(paid,mse.method="boot")mlg3

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ic1_glm<-t(apply(reserves_glm_bootstrap$sims.reserve.pred,2,quantile,c(0.05,0.95,0.025,0.975,0.005,0.995)))total<-apply(ic1_glm,2,sum)

ic_glm<-rbind(ic1_glm,total)ic_glm

Resultados.

La estimación puntual de la provisión técnica de seguros mediante el Modelo Lineal Generalizado y distribución Poisson Sobredispersa ofrece un resultado de 15.261.478 u.m., con un error típico de 1.987.609,7 u.m.

Si se considera una distribución Gamma para el modelo, la estimación puntual es de 14.607.113 u.m., con un error típico de 2.554.128,709 u.m.

Si se aplica la metodología bootstrap para la estimación del error típico, la estimación puntual es de 15.261.478 u.m., con un error típico de 1.998.883,74 u.m. Por intervalo de confianza al 90%, la estimación se corresponde con [10.094.991,6 - 21.319.429,45] u.m., al 95% en [9.273.465,15 - 22.649.661,01] u.m. y al 99% en [7.937.450,07 - 24.949.658] u.m.

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4.3.7 Ejemplo 7: Munich Chain Ladder.

Procedimiento.

En primer lugar, se emplea la función MunichChainLadder{ChainLadder}.

MunichChainLadder(Paid, Incurred, est.sigmaP = "log-linear", est.sigmaI = "log-linear", tailP=FALSE, tailI=FALSE)

La función MunichChainLadder nos ofrece un resumen donde se recoge para cada año de origen y el total: los importes de los últimos pagos de siniestros observados (Latest Paid) y de siniestros incurridos observados (Latest Incurred), una ratio de los últimos pagos observados sobre los últimos siniestros incurridos observados (Latest P/I Ratio), los pagos de siniestros del último año de desarrollo (Paid Ult.), los siniestros incurridos del último año de desarrollo (Incurred Ult.) y la ratio de los pagos del último año de desarrollo sobre los siniestros incurridos del último año de desarrollo (Ult. P/I Ratio).

Los argumentos de la función son los datos del triángulo de pagos (Paid), los datos del triángulo de siniestros incurridos (Incurred), el método de estimación del parámetro de variabilidad sigma para los pagos (est.sigmaP), el método de estimación del parámetro de variabilidad sigma de los siniestros incurridos (est.sigmaI), especificación de colas en los pagos (tailP) y especificación de colas en los siniestros incurridos (tailI).

Se pueden practicar algunos gráficos en el modelo de Munich Chain Ladder mediante la función plot{graphics}. En dichos gráficos se compara los valores “paid” y los “incurred” y sus correspondientes ratios.

plot(x,y,…)

En la función plot se utiliza como argumento x la salida de MunichChainLadder.

109

Para estimar el importe de las provisiones técnicas de los pagos y los siniestros incurridos se emplea la función propia reserves.

reserves(prediction)

Esta función utiliza como argumento el triángulo estimado mediante la función MunichChainLadder.Finalmente, la estimación del error típico de la provisión técnica se hace mediante la metodología bootstrap, a través de la función bootMunich, basada en el código en R Project de la autora RAMOS (2013) [17].

bootMunich (PAID=NA,INC=NA,MCL=NA,Mack=NA,MackInc=NA)

Los argumentos de esta función son los datos referentes al triángulo de pagos de siniestros (PAID), los datos del triángulo de siniestros incurridos (INC), la salida de aplicar la función MunichChainLadder (MCL), la salida obtenida de aplicar la función MackChainLadder al triángulo de pagos de siniestros (Mack) y la salida de aplicar la función MackChainLadder al triángulo de siniestros incurridos (MackInc).

Código R Project.

mcl<-MunichChainLadder(paid,incurred,est.sigmaP=0.1,est.sigmaI=0.1)mcl

plot(mcl)

110

reserves<-function(prediction){ row=nrow(prediction) col=ncol(prediction) reserves<-numeric(row) j=0 for(i in 1:row){ reserves[i]=prediction[i,col]-prediction[i,col-j] j=j+1 } total_reserve=sum(reserves) return(total_reserve) }

paid_triangle<-mcl$MCLPaid

incurred_triangle<-mcl$MCLIncurred

reserves(paid_triangle)

reserves(incurred_triangle)

bootMunich<-function(PAID=NA,INC=NA,MCL=NA,Mack=NA,MackInc=NA){ nr=nrow(PAID);nc=ncol(PAID) #1-period factors, Q and Qinverse FP<-matrix(NA,nrow=nr,ncol=nc) for(j in 1:nc) FP[,(j-1)]=PAID[,j]/PAID[,(j-1)] FI<-matrix(NA,nrow=nr,ncol=nc) for(j in 1:nc) FI[,(j-1)]=INC[,j]/INC[,(j-1)] Q<-PAID/INC QInv<-1/Q

111

############## Bootstrap #################### ##### 0. Obtaining the 4 residuals ##### PRes<-t(matrix(MCL$PaidResiduals,ncol=ncol(PAID),byrow=TRUE)) IRes<-t(matrix(MCL$IncurredResiduals,ncol=ncol(PAID),byrow=TRUE)) QRes<-t(matrix(MCL$QResiduals,ncol=ncol(PAID),byrow=TRUE)) QInvRes<-t(matrix(MCL$QinverseResiduals,ncol=ncol(PAID),byrow=TRUE)) ##### 1. Adjust the Pearson Residuals ##### #Calculating the adjustmet factors Adjust <- matrix(0,ncol=nr, nrow=nc) for( j in 1:(nr-2) ) Adjust[,j] <- sqrt((nc-j)/(nc-j-1)) #Obtaining the adjusted residuals AdjPRes <- PRes*Adjust AdjIRes <- IRes*Adjust AdjQRes <- QRes*Adjust AdjQInvRes <- QInvRes*Adjust for (i in 1:nr){AdjQRes[i,(nr-i+1)]<-NA ;AdjQInvRes[i,(nr-i+1)]<-NA} ##### 2. Grouping the residuals ##### auxP <-matrix(AdjPRes[(AdjPRes!=0 & !is.na(AdjPRes)) ],ncol=1,byrow=TRUE) auxI <-matrix(AdjIRes[(AdjIRes!=0 & !is.na(AdjIRes))],ncol=1,byrow=TRUE) auxQ <-matrix(AdjQRes[(AdjQRes!=0 & !is.na(AdjQRes))],ncol=1,byrow=TRUE) auxQInv <-matrix(AdjQInvRes[(AdjQInvRes!=0 & !is.na(AdjQInvRes))],ncol=1,byrow=TRUE) AllRes<-cbind(auxP,auxI,auxQInv,auxQ) ##### 3. LOOP ##### Nboot<-10000 originP<-matrix(NA,nrow=Nboot,ncol=nc) originI<-matrix(NA,nrow=Nboot,ncol=nc) totalP<-matrix(NA,nrow=Nboot,ncol=1) totalI<-matrix(NA,nrow=Nboot,ncol=1) for (N in 1:Nboot){ #Obtaining bootstrap residuals nres <- nrow(AllRes) nsam <- (nc-1)*nc/2 auxiliar <- sample(1:nres,nsam,replace=T) ItRes<-matrix(0, nrow=nsam, ncol=4) for(i in 1:nsam){ ItRes[i,]<-AllRes[auxiliar[i],] } #transforming bootstrap residuals vectors in matrixs MatResP<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) MatResI<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) MatResQ<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) MatResQInv<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) for(j in 1:nc){ i<-1

112

while(i<=nc-j){ MatResP[i,j]<-ItRes[nsam-((nc+1-j)*(nc-j)/2)+i,1] MatResI[i,j]<-ItRes[nsam-((nc+1-j)*(nc-j)/2)+i,2] MatResQInv[i,j]<-ItRes[nsam-((nc+1-j)*(nc-j)/2)+i,3] MatResQ[i,j]<-ItRes[nsam-((nc+1-j)*(nc-j)/2)+i,4] i<-i+1 } } #obtaining boostrap increment ratios MatRatiosP<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) MatRatiosI<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) MatRatiosQ<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) MatRatiosQInv<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) for(j in 1:(nc-1)){ i<-1 while(i<=nc-j){ MatRatiosP[i,j]<-(MatResP[i,j]*Mack$sigma[j])/sqrt(PAID[i,j])+Mack$f[j] MatRatiosI[i,j]<-(MatResI[i,j]*MackInc$sigma[j])/sqrt(INC[i,j])+MackInc$f[j] MatRatiosQ[i,j]<-(MatResQ[i,j]*MCL$rhoI.sigma[j])/sqrt(INC[i,j])+MCL$q.f[j] MatRatiosQInv[i,j]<- (MatResQInv[i,j]*MCL$rhoP.sigma[j])/sqrt(PAID[i,j])+MCL$qinverse.f[j] i<-i+1 } } #obtaining bootstrap development factors BootfP<-rep(0,nc);BootfI<-rep(0,nc);BootfQ<-rep(0,nc); BootfQInv<-rep(0,nc) sumP<-rep(NA,nc);sumI<-rep(NA,nc) for(j in 1:(nc-1)){ sumP[j]<-colSums(PAID,na.rm=TRUE)[j]-PAID[nc-j+1,j] sumI[j]<-colSums(INC,na.rm=TRUE)[j]-INC[nc-j+1,j] i<-1 while(i<=nc-j){ BootfP[j]<- BootfP[j]+(PAID[i,j]/sumP[j])*MatRatiosP[i,j] BootfI[j]<- BootfI[j]+(INC[i,j]/sumI[j])*MatRatiosI[i,j] BootfQ[j]<- BootfQ[j]+(INC[i,j]/sumI[j])*MatRatiosQ[i,j] BootfQInv[j]<- BootfQInv[j] + (PAID[i,j]/sumP[j])*MatRatiosQInv[i,j] i<-i+1 } } #obtaining the bootstrap CORRELATION COEFFICIENTS LambdaP<- sum(MatResQInv*MatResP,na.rm=TRUE)/sum(MatResQInv^2,na.rm=TRUE) LambdaI<-sum(MatResQ*MatResI,na.rm=TRUE)/sum(MatResQ^2,na.rm=TRUE) #Obtaining the VARIANCES VarP<-rep(0,nc); VarI<-rep(0,nc); for(j in 1:(nc-2)){ i<-1 while(i<=nc-j){ VarP[j]<-VarP[j]+(PAID[i,j]*(MatRatiosP[i,j]-BootfP[j])^2)/(nc-j-1) VarI[j]<-VarI[j]+(INC[i,j]*(MatRatiosI[i,j]-BootfI[j])^2)/(nc-j-1) i<-i+1 }

113

} VarQ<-rep(0,nc); VarQInv<-rep(0,nc) for(j in 1:(nc-1)){ i<-1 while(i<=nc-j){ VarQ[j]<-VarQ[j]+(INC[i,j]*(MatRatiosQ[i,j]-BootfQ[j])^2)/(nc-j) VarQInv[j]<-VarQInv[j]+(PAID[i,j]*(MatRatiosQInv[i,j]-BootfQInv[j])^2)/(nc-j) i<-i+1 } } sigmaP<-sqrt(VarP) sigmaI<-sqrt(VarI) tauI<-sqrt(VarQ) tauP<-sqrt(VarQInv) #estimating the last ratio sigma/tau sigtauP<-sigmaP/tauP sigtauI<-sigmaI/tauI period<-c(1:nc) fitP<-lm(log(sigtauP) ~ period,na.action=na.exclude) fitI<-lm(log(sigtauI) ~ period,na.action=na.exclude) sigtauP[nc-1]<-exp((nc-1)*fitP$coefficients[2]+fitP$coefficients[1]) sigtauI[nc-1]<-exp((nc-1)*fitI$coefficients[2]+fitI$coefficients[1]) alphaP<-pmax(0,pmin(LambdaP*(sigtauP),0.99)) alphaI<-pmax(0,pmin(LambdaI*(sigtauI),0.99)) #Obtaining the bootstrap ADJUSTED DEVELOPMENT FACTORS BlambdaP<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) BlambdaI<-matrix(NA, nrow=nr, ncol=nc) BPAID<-PAID; BINC<-INC; BRatiosQ<-MatRatiosQ; BRatiosQInv<-MatRatiosQInv for(k in 1:(nc-1)){ j<-k while(j<=(nc-1)){ BlambdaP[nr-j+k,j]<-BootfP[j]+alphaP[j]*(BINC[nr-j+k,j]/BPAID[nr-j+k,j]-BootfQInv[j]) BlambdaI[nr-j+k,j]<-BootfI[j]+alphaI[j]*(BPAID[nr-j+k,j]/BINC[nr-j+k,j]-BootfQ[j]) BPAID[nr-j+k,j+1]<-BlambdaP[nr-j+k,j]*BPAID[nr-j+k,j] BINC[nr-j+k,j+1]<-BlambdaI[nr-j+k,j]*BINC[nr-j+k,j] j<-j+1 } } #Obtaining normal distributed observations BPAIDfinal<-PAID; BINCfinal<-INC for(k in 1:(nc-1)){ j<-k while(j<=(nc-1)){ meanP<-BlambdaP[nr-j+k,j]*BPAIDfinal[nr-j+k,j] sdP<-sqrt(VarP[j]*BPAIDfinal[nr-j+k,j]) meanI<-BlambdaI[nr-j+k,j]*BINCfinal[nr-j+k,j] sdI<-sqrt(VarI[j]*BINCfinal[nr-j+k,j]) BPAIDfinal[nr-j+k,j+1]<-rnorm(1,mean=meanP,sd=sdP) BINCfinal[nr-j+k,j+1]<-rnorm(1,mean=meanI,sd=sdI) j<-j+1

114

} } #Obtaining the origin year and the total amounts originP[N,]<-BPAIDfinal[,nc] originI[N,]<-BINCfinal[,nc] totalP[N] <- colSums(BPAIDfinal)[nc] totalI[N] <- colSums(BINCfinal)[nc] } #averages averP<-colMeans(originP) averI<-colMeans(originI) taverP<-mean(totalP) taverI<-mean(totalI) #diagonal diagonalP=numeric(nc) k=nr for(j in 1:nc){ diagonalP[j]=PAID[k,j] k=k-1 } revdiagonalP<-rev(diagonalP) diagonalI=numeric(nc) k=nr for(j in 1:nc){ diagonalI[j]=INC[k,j] k=k-1 } revdiagonalI<-rev(diagonalI) #reserves reservesP<-averP-revdiagonalP reservesI<-averI-revdiagonalI totreserveP<-sum(reservesP) totreserveI<-sum(reservesI) #standard deviations

115

stdP<-rep(NA,nrow=1,ncol=(nc-1)) for(j in 1:nc-1)stdP[j]=sd(originP[,j+1]) stdI<-rep(NA,nrow=1,ncol=(nc-1)) for(j in 1:nc-1)stdI[j]=sd(originI[,j+1]) totstdP<-sd(totalP) totstdI<-sd(totalI) list(IBNR_paid=totreserveP,se_IBNR_paid=totstdP,IBNR_incurred=totreserveI,se_IBNR_incurred=totstdI) }

bootstrap_MunichChainLadder<-bootMunich(paid,incurred,mcl,mack,mack_inc)

Resultados.El importe de la estimación puntual de la provisión técnica de los pagos de siniestros es de 15.201.962 u.m. Por su parte, el importe de la estimación puntual de la provisión técnica de los siniestros incurridos es de 2.966.146 u.m.

Mediante bootstrap, la estimación puntual de la provisión técnica de los pagos de siniestros es de 14.814.451 u.m., con un error típico de 2.121.466 u.m. La estimación puntual de la provisión técnica de los siniestros incurridos es de 3.673.243 u.m., con un error típico de 2.888.999 u.m.

116

4.3.8 Ejemplo 8: Double Chain Ladder.

Procedimiento.

En primer lugar, para estimar la provisión técnica de seguros mediante el método Double Chain Ladder se utiliza la función dcl.estimation{DCL}.

dcl.estimation(Xtriangle , Ntriangle , adj = 1 , Tables = TRUE , num.dec = 4 , n.cal = NA , Fj.X=NA , Fj.N=NA)

La función dcl.estimation estima los parámetros del modelo según el método Double Chain Ladder.

Los argumentos de esta función son los datos incrementales del triángulo de pagos de siniestros (Xtriangle), los datos incrementales del triángulo del número de siniestros (Ntriangle), el método de ajuste para las probabilidades de retardo (adj), presentación de los parámetros estimados del modelo en forma de tabla (Tables), número de decimales en los resultados (num.dec), año de calendario más actual que se considerará para el cálculo de los factores de desarrollo (n.cal), factores de desarrollo específicos para los datos de pagos de siniestros (Fj.X) y los factores de desarrollo específicos para los datos de número de siniestros (Fj.N).

En segundo lugar, se aplica la función dcl.boot{DCL}.

dcl.boot(dcl.par , sigma2 , Ntriangle , boot.type = 2 , B = 999 , Tail = TRUE , summ.by = "diag" , Tables = TRUE , num.dec = 2 , n.cal = NA)

La function dcl.boot proporciona mediante la metodología bootstrap la estimación de la provisión técnica IBNR, RBNS y total3 (IBNR+RBNS); el error típico de tales estimaciones; y los percentiles 1, 5, 50, 95 y 99.

3 Téngase en cuenta que en otros métodos, las funciones en R daban una estimación de la provisión técnica total denominando a esta IBNR. En DCL se distinguen dos provisiones, IBNR (Incurred But Not Reported) y RBNS (Reported But Not Settled), donde el total es la suma de ambas.

117

También se podría haber hecho uso de la función dcl.predict{DCL}, pero esta únicamente proporciona una estimación puntual de las provisiones técnicas pero sin calcular el error típico de la misma. Esta función se comenta en el apartado 4.3.10 Ejemplos adicionales: Double Chain Ladder.

Los argumentos de dcl.boot son los parámetros del modelo (dcl.par), la varianza común (sigma2), los datos del triángulo del número de siniestros (Ntriangle), el tipo de remuestreo bootstrap a utilizar, según se tome o no la varianza como un parámetro desconocido a estimar (boot.type), número de replicaciones bootstrap (B), si hay colas en los datos (Tail), un resumen por diagonal, fila o celdas (summ.by), presentación de los resultados en forma de tabla (Tables), el número de decimales en los resultados (num.dec) y el año de calendario más actual que se considerará para el cálculo de los factores de desarrollo (n.cal).

Finalmente, también se puede hacer uso de la función Plot.cashflow{DCL} para representar gráficamente los flujos de caja (dotaciones a la provisiones técnicas); así como, las provisiones técnicas IBNR, RBNS y total.

Plot.cashflow( cashflow )

Como argumento de esta función se emplea la salida obtenida de aplicar la función dcl.boot.

118

Código R Project.

paid<-get.incremental(paid)

dcl<-dcl.estimation(paid,num)

bootstrap_dcl<-dcl.boot(dcl, Ntriangle=num, boot.type=1,B=200)

#IBNR ibnr_dcl<-bootstrap_dcl$summ.ibnribnr_dcl

119

#RBNSrbns_dcl<-bootstrap_dcl$summ.rbnsrbns_dcl

120

#Totaltotal_dcl<-bootstrap_dcl$summ.totaltotal_dcl

121

Plot.cashflow(bootstrap_dcl)

Resultados.

La estimación puntual de la provisión técnica IBNR por el método de Double Chain Ladder ofrece un resultado de 836.431,54.u.m., con un error típico de 160.291,48 u.m. La estimación puntual de la provisión técnica RBNS es de 14.422.836,9 u.m., con un error típico de 626.807 u.m. La estimación puntual de la provisión técnica total (IBNR+RBNS) es de 15.259.268,44 u.m., con un error típico de 653.032,48 u.m.

122

4.3.9 Comparativa.

En este apartado se realiza una comparativa entre los métodos de estimación de provisiones técnicas de seguros que se han empleado en la sección 4.3 “Ejemplos prácticos en R Project”.

Métodos Clásicos.

Código R Project.

chldr<-chainladder(paid)triangle_chldr<-predict(chldr)reserves_chainladder<-reserves(triangle_chldr)

reserves_linkratio1<-link_ratio(paid,1)reserves_linkratio2<-link_ratio(paid,2)reserves_linkratio3<-link_ratio(paid,3)

reserves_grossing_up<-grossing_up(paid)

clasicos<-c(reserves_chainladder,reserves_linkratio1,reserves_linkratio2,reserves_linkratio3,reserves_grossing_up)

names(clasicos)<-c("ChainLadder","LinkRatio1", "LinkRatio2", "LinkRatio3", "GrossingUp")

clasicos

barplot(clasicos,ylim=c(0,25000000),main="Métodos Clásicos")

123

Resultados.

Entre los métodos clásicos analizados y para los datos que se han utilizado, la estimación más elevada de provisión técnica de seguros se alcanza en LinkRatio1 (criterio pesimista), con una cifra de 24.919.975 u.m. Este mayor importe viene justificado en este método por el hecho de considerar también una mayor aversión al riesgo y, por tanto, actuar con mayor prudencia en su estimación; es decir, se prefiere dar una cantidad más elevada como provisión que quedarse corto y no poder hacer frente a siniestros previstos. Este criterio está en consonancia con el principio exigido en Contabilidad de prudencia valorativa.

Por su parte, la estimación más baja del importe de provisión técnica de seguros se alcanza en LinkRatio2 (criterio optimista), con una cifra de 8.670.711 u.m. En este método se presenta una menor aversión al riesgo y, por tanto, se estima una cifra menor de provisión. Quizás, este criterio resulte el más desaconsejable; ya que, es preferible realizar una estimación por exceso que por defecto para evitar no poder hacer frente a las obligaciones derivadas de los siniestros. No obstante, tampoco es recomendable una sobrestimación muy excesiva de la provisión, por la posible pérdida de rentabilidad derivada del coste de oportunidad, como parece que ocurre en LinkRatio1.

En cuanto a los otros métodos, estos ofrecen las siguientes estimaciones: 15.261.478 u.m. en Chain Ladder, 15.140.056 u.m. en LinkRatio3 (criterio medias simples) y 16.069.110 u.m. en Grossing Up.

Al tratarse de métodos clásicos, en estos no se va a poder determinar el error típico como criterio estadístico en la elección del método de estimación. Así pues, se tendría que hacer uso de otros criterios como, por ejemplo, la experiencia del empresario asegurador para decidir que cifra resulta la más adecuada como provisión técnica de seguros. No obstante, todo parece indicar que el importe de la provisión debería ser ligeramente superior a los 15.000.000 u.m.

124

Métodos estocásticos.

Código R Project.

bootstrap_chldr<-BootChainLadder(paid,process.distr=c("od.pois"))reserves1<-summary(bootstrap_chldr)$Totals[3,]reserves_se1<-summary(bootstrap_chldr)$Totals[4,]

reserves2<- glmReserve(paid)$summary$IBNR[9]reserves_se2<- glmReserve(paid)$summary$S.E[9]

reserves3<- glmReserve(paid,var.power=2)$summary$IBNR[9]reserves_se3<- glmReserve(paid,var.power=2)$summary$S.E[9]

reserves4<- glmReserve(paid,mse.method="boot")$summary$IBNR[9]reserves_se4<- glmReserve(paid,mse.method="boot")$summary$S.E[9]

mack<-MackChainLadder(paid,est.sigma="Mack")reserves5<-summary(mack)$Totals[4,]reserves_se5<-summary(reserves_Mack)$Totals[5,]

mcl<-MunichChainLadder(paid,incurred,est.sigmaP=0.1,est.sigmaI=0.1)paid_triangle<-mcl$MCLPaidreserves6<-reserves(paid_triangle)reserves_se6<- bootMunich(paid,incurred,mcl,mack,mack_inc) $se_IBNR_paid

paid<-get.incremental(paid)dcl<-dcl.estimation(paid,num)bootstrap_dcl<-dcl.boot(dcl, Ntriangle=num, boot.type=1,B=200)total_dcl<-bootstrap_dcl$summ.totalreserves7<- total_dcl$mean.total[17]reserves_se7<-total_dcl$sd.total[17]

stochastic<-c(reserves1,reserves2,reserves3,reserves4,reserves5,reserves6,reserves7)names(stochastic)<-c("boots_chl", "glm_odp","glm_g","glm_boots","mack","munich","dcl")

stochastic

125

barplot(stochastic,ylim=c(0,20000000),main="Stochastic Methods")

stochastic_se<-c(reserves_se1,reserves_se2,reserves_se3,reserves_se4,reserves_se5,reserves_se6, reserves_se7)names(stochastic_se)<-c("boots_clm", "glm_odp","glm_g","glm_boots","mack","boots_munich",”dcl”)

stochastic_se

126

barplot(stochastic_se,ylim=c(0,3000000),main="Stochastic S.E.")

Resultados.

La estimación que presenta un menor error típico es la correspondiente al método DCL, con un error de 653.032,5 u.m. y un importe de provisión técnica de seguros de 15.259.268 u.m. Así pues, desde el punto de vista de la eficiencia estadística, la estimación proporcionada por este modelo sería la más adecuada.

127

4.3.10 Ejemplos Adicionales: Double Chain Ladder.

En este apartado se pretende ampliar, mediante ejemplos adicionales en R Project, la explicación de las posibilidades que ofrece Double Chain Ladder como método estocástico en la estimación de las provisiones técnicas de seguros.

Ejemplo 1.

Datos.

Se hace uso de datos de ejemplo recogidos en la librería DCL. Concretamente, se emplean los datos “BDCL”, correspondientes a pagos de siniestros (XtriangleBDCL) y número de siniestros (NtriangleBDCL) de seguros de no vida.

library(DCL)

# Paid claims

data(XtriangleBDCL)Xtriangle<-XtriangleBDCLXtriangle

128

Plot.triangle(Xtriangle,Histogram=TRUE,tit=expression(paste('Paid: ',X[ij])))

#Number of claims

129

data(NtriangleBDCL)Ntriangle<-NtriangleBDCL

Ntriangle

Plot.triangle(Ntriangle,Histogram=TRUE,tit=expression(paste('Counts: ',N[ij])))

130

Estimación de los parámetros del modelo.

Procedimiento.

Para la estimación de los parámetros del modelo Double Chain Ladder, se hace uso de la función dcl.estimation{DCL}.

dcl.estimation( Xtriangle , Ntriangle , adj = 1 , Tables = TRUE ,num.dec = 4 , n.cal = NA , Fj.X=NA , Fj.N=NA )

Se emplea como argumentos básicos: los triángulos incrementales de pagos de siniestros (Xtriangle) y el de número de siniestros (Ntriangle). También se pueden hacer uso de otros argumentos opcionales, anteriormente comentados (ver apartado: 3.3.8: Ejemplo 8: Double Chain Ladder).

Se obtiene como salida: el parámetro de retardo en la liquidación de siniestros (pi.delay), la media común (mu), la inflación (inflat), las probabilidades de retardo (pj), la media común ajustada (mu.adj), la varianza común (sigma2), el parámetro de sobredispersión (phi), la media de los pagos individuales (Ey), la varianza de los pagos individuales (Vy), el ajuste de las probabilidades de

131

retardo (adj), el parámetro del número total de siniestros por año de origen (alpha.N), el retardo en la notificación (beta.N), el triángulo completo con las predicciones del número de siniestros (Nhat), el parámetro de las cantidades totales de pagos de siniestros (alpha.X), el retardo en el pago (beta.X) y el triángulo completo con las predicciones de pagos de siniestros (Xhat).

Código R Project.

parameters<-dcl.estimation(Xtriangle,Ntriangle)parameters

132

133

134

135

También, se pueden practicar representaciones gráficas de los parámetros obtenidos (alpha.N, alpha.X, inflat y pi.delay) mediante la función Plot.dcl.par{DCL}.

Plot.dcl.par( dcl.par , type.inflat = 'DCL' )

Los argumentos de esta función son los parámetros estimados del modelo (dcl.par) y el método de estimación de la inflación (type.inflat).

Código R Project.

Plot.dcl.par(parameters)

136

Estimación de la provisión técnica de seguros.

Procedimiento.

Para estimar las provisiones técnicas de seguros mediante Double Chain Ladder, se pueden utilizar dos funciones: dcl.predict{DCL} y dcl.boot{DCL}.

La función dcl.boot va a calcular las predicciones futuras de las dotaciones a la provisión técnica (cash-flow), distinguiendo entre provisiones IBNR, RBNS y total (IBNR+RBNS). La suma de las dotaciones en cada tipo da el importe de cada una de las provisiones técnicas de seguros. Por su parte, también se hace una comparativa con el método Chain Ladder.

dcl.predict( dcl.par , Ntriangle , Model = 2 , Tail = TRUE , Tables = TRUE , summ.by="diag", num.dec = 2 )

Los argumentos de esta función se corresponden con los parámetros del modelo (dcl.par), el triángulo del número de siniestros, el tipo de modelo para calcular las predicciones (Model), si existe factor de cola (Tail), tabla resumen (Tables), resumen por diagonal, fila o celda (summ.by) y el número de decimales a mostrar en la tabla resumen (num.dec).

Por otra parte, también se puede emplear la función dcl.boot{DCL}, basada en la metodología bootstrap, para estimar las provisiones técnicas de seguros.

dcl.boot( dcl.par , sigma2 , Ntriangle , boot.type = 2 , B = 999 , Tail = TRUE , summ.by = "diag" , Tables = TRUE , num.dec = 2 , n.cal = NA)

La función dcl.boot calcula las predicciones de las dotaciones futuras a las provisiones técnicas de seguros (IBNR, RBNS y total) mediante bootstrap (mean.ibnr, mean.rbns y mean.total). También recoge las predicciones calculadas mediante Double Chain Ladder sin utilizar bootstrap (ibnr, rbns y total). Por su parte, dcl.boot permite también calcular el error típico de tales estimaciones (sd.ibnr, sd.rbns y sd.total) y los percentiles 1, 5, 50, 95, y 99 para cada tipo de provisión; lo cual, justifica por su mayor volumen informativo, el que resulte preferible emplear esta función.

En cuanto a los argumentos de dcl.boot, estos se explicaron en el apartado 3.3.8: Ejemplo 8: Double Chain Ladder.

137

Finalmente, con la metodología bootstrap se pueden representar gráficamente los flujos de caja y las reservas mediante la función Plot.cashflow{DCL}; anteriormente comentada (ver apartado: 3.3.8 Ejemplo 8: Double Chain Ladder).

Código R Project.

predictions<-dcl.predict(parameters,Ntriangle)

boots_dcl<-dcl.boot(parameters,Ntriangle=Ntriangle)

138

ibnr_dcl<-boots_dcl$summ.ibnribnr_dcl

rbns_dcl<-boots_dcl$summ.rbns

139

rbns_dcl

total_dcl<-boots_dcl$summ.total

140

total_dcl

Plot.cashflow(boots_dcl)

141

Resultados.

La estimación puntual de las provisiones técnicas IBNR ofrece un resultado de 27.804.645,13 u.m., con un error típico de 12.597.958,04 u.m. La estimación puntual de la provisión técnica RBNS es de 163.615.846,85 u.m., con un error típico de 36.616.127,91 u.m. La estimación puntual de la provisión técnica total (IBNR+RBNS) es de 191.420.491,98 u.m., con un error típico de 46.416.165,63 u.m.

142

Ejemplo 2.

Datos.

En este caso, se emplean los datos de ejemplo “Prior”, incluidos en la librería DCL. Se trata de datos correspondientes al número de siniestros (NtrianglePrior), número de pagos de siniestros (NpaidPrior) y cantidades monetarias de pagos de siniestros (XtrianglePrior) de seguros de no vida. Esto datos tienen la particularidad de que contienen información a priori, basada en la experiencia y el conocimiento especializado del empresario asegurador acerca de aspectos como los niveles esperados de inflación y la proporción de “zero-claims” (reclamaciones de siniestros que son recurridas y que finalmente no son pagadas por el asegurador); información útil para realizar estimaciones más adecuadas del importe de las provisiones técnicas de seguros.

library(DCL)

data(NtrianglePrior)data(NpaidPrior)data(XtrianglePrior)

Ntriangle_prior<-NtrianglePriorNtriangle_prior

143

Plot.triangle(Ntriangle_prior)

Npaid_prior<-NpaidPriorNpaid_prior

144

Plot.triangle(Npaid_prior)

Xtriangle_prior<-XtrianglePriorXtriangle_prior

145

Plot.triangle(Xtriangle_prior)

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Obtención de la información a priori.

Procedimiento.

En primer lugar, se tiene que extraer la información a priori de los datos disponibles, para ello se hace uso de la función extract.prior{DCL}.

extract.prior(Xtriangle, Npaid, Ntriangle, Plots = TRUE , n.cal = NA ,Fj.X = NA , Fj.N = NA , Fj.Npaid = NA)

La función extract.prior proporciona información sobre la inflación y los “zero-claims”.

Los argumentos básicos de esta función son los triángulos de cantidades monetarias de pagos de siniestros (Xtriangle), de número de pagos de siniestros (Npaid) y de número de siniestros notificados (Ntriangle). También se pueden emplear otros argumentos opcionales como la realización de representaciones gráficas (Plot), el año de calendario más reciente para el cálculo de los factores de desarrollo y los factores de desarrollo específicos para los pagos de siniestros (Fj.X), número de siniestros (Fj.N) y número de pagos de siniestros (Fj.Npaid).

Código en R Project.

priors<-extract.prior(XtrianglePrior,NpaidPrior,NtrianglePrior)priors

147

Estimación de la provisión técnica de seguros.

Procedimiento.

Para estimar las provisiones técnicas de seguros con información a priori se puede emplear la función dcl.predict.prior{DCL}

dcl.predict.prior( Ntriangle , Xtriangle , inflat.i , inflat.j , Qi , Model = 2, adj = 2, Tail = FALSE, Tables = TRUE, summ.by = "diag", num.dec = 2 )

y la función dcl.boot.prior{DCL}.

dcl.boot.prior( Xtriangle , Ntriangle , sigma2 , mu , inflat.i , inflat.j , Qi , Model = 2 , adj = 1 , boot.type = 2, B = 999 , Tail = TRUE , summ.by = "diag", Tables = TRUE, num.dec = 2 , n.cal = NA ,Fj.X = NA , Fj.N = NA )

Las funciones dcl.predict.prior y dcl.boot.prior tienen un funcionamiento similar a las funciones dcl.predict y dcl.boot (ver ejemplo 1), con la diferencia de que emplean información a priori para estimar los flujos de caja y las provisiones técnicas IBNR, RBNS y total. Entre ellas se distinguen, por su parte, por la utilización de la metodología bootstrap en sus estimaciones.

Los argumentos de estas funciones son similares a los de predict.dcl y dcl.boot, con la inclusión de la información a priori de inflación (inflat.i ; inflat.j) y “zero-claims” (Qi).

Por dar una mayor información (error típico, percentiles; etc), se aplica dcl.boot.prior para estimar las provisiones técnicas. Esta estimación se compara con la que se obtiene sin utilizar información a priori.

Código R Project.

inflat<-priors$inflat.jQ<-priors$Qi

prior_boots<-dcl.boot.prior(Ntriangle_prior,Xtriangle_prior,inflat.j=inflat,Qi=Q,adj=2,Tail=FALSE,boot.type=1,B=200)

148

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Plot.cashflow(prior_boots)

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boots<-dcl.boot.prior(Ntriangle_prior,Xtriangle_prior,adj=2,Tail=FALSE,boot.type=1)

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Plot.cashflow(boots)

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Resultados.

La estimación puntual de las provisiones técnicas IBNR con información a priori ofrece un resultado de 254.503,70 u.m., con un error típico de 140.905,30 u.m.; mientras que sin información a priori, el importe de IBNR es de 13.841,56 u.m., con un error típico de 4.713,07 u.m.

La estimación puntual de la provisión técnica RBNS con información a priori es de 56.224,70 u.m., con un error típico de 42.650,09 u.m.; mientras que sin información a priori, el importe de RBNS es de 5.470,58 u.m., con un error típico de 2.876,13 u.m.

La estimación puntual de la provisión técnica total (IBNR+RBNS) con información a priori es de 310.728,40 u.m., con un error típico de 147.801,51 u.m.; mientras que sin información a priori, el importe total es de 19.312,14 u.m., con un error típico de 5.417,27 u.m.

Las estimaciones con información a priori proporcionan importes más elevados de provisiones técnicas que sin información a priori. El contar con información adicional hace que las estimaciones a priori sean más fidedignas con la realidad y cubran con mayor garantía las obligaciones de siniestros de la empresa aseguradora.

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Conclusiones.

Como se señalaba en la Introducción, con este trabajo se ha pretendido elaborar un documento que sirviese de guía de los principales métodos de estimación de las provisiones técnicas o reservas de seguros de no vida, según el marco jurídico europeo de Solvencia II.

Los métodos analizados se han clasificado básicamente en métodos clásicos y estocásticos.

Los métodos clásicos han ofrecido, en los ejemplos practicados, resultados similares en el caso de Chain Ladder y Grossing Up; y dispares en el método Link Ratio, según el criterio dentro del mismo que se considerase. No obstante, el principal inconveniente de estas técnicas lo encontramos en que las estimaciones no van acompañadas de sus correspondientes errores típicos, lo cual, dificulta la comparativa y elección estadística del método más adecuado para estimar las reservas de seguros.

En cuanto a los métodos estocásticos, los resultados en los ejemplos han sido similares. Sin embargo, la estimación del método Double Chain Ladder ha resultado ser la más precisa, con un menor error típico.

Habría sido interesante el haber podido contar con un mayor volumen de datos reales para poder hacer simulaciones con las que comprobar estos resultados y ver, por ejemplo, si Double Chain Ladder proporciona siempre la estimación más precisa. No obstante, esto no ha sido posible ya que el acceso a la información de siniestros de las empresas aseguradoras está muy limitado, al ser estas muy poco reacias a compartir esta información por la competencia y espionaje empresarial.

En cualquier caso, parece claro que las empresas deben optar por los métodos estocásticos en lugar de los clásicos y que Double Chain Ladder pude resultar una muy buena opción para estimar las reservas de seguros. Las ventajas a destacar de Double Chain Ladder son: su mayor precisión estadística, el desglose de sus estimaciones en dos tipos de reservas (RBNS e IBNR), que va a permitir considerar los retardos en la notificación y liquidación de siniestros; y la posibilidad de utilizar cierta información a priori, como es la referente a la inflación de los mercados y la proporción de reclamaciones de siniestros resueltas sin pago (“zero-claims”), lo cual que hace que este método se ajuste más a la realidad empresarial.

154

En definitiva, los métodos de estimación de reservas de seguros deben de ir acercándose a las necesidades de las compañías aseguradoras y estas tratar de trabajar conjuntamente por un futuro armonizado y objetivo.

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