Mtodos energticos para clculo de deformaciones:::

Trabajo: El trabajo hecho por una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia que se

mueve al aplicar la misma. Bajo cargas aplicadas, la estructura se deforma y sus fibras

desarrollarn esfuerzos y deflexiones. El producto de las fuerzas internas por los

desplazamientos es el trabajo interno del sistema.

Trabajo externo: Si una estructura es de un material elstico y tiene una carga Fi en un punto

i y una deformacin infinitesimal dvi es inducida en el punto i , por otra carga, entonces si

Fipermanece constante el trabajo de Pidebido al desplazamiento dvi es dW = Fi * dvi . El

trabajo es el rea bajo la curva esfuerzo-deformacin es:

Si la deformacin es inducida por la carga misma, para un material elstico, el

desplazamiento es proporcional a la carga, y tiene un valor vi = Fi / K , donde K es

una constante de proporcionalidad. El trabajo de Fi para una deflexin dvi es el rea

bajo la curva fuerza-deformacin o sea,

Para un material no linear, se puede calcular el trabajo elstico como la integral del

rea bajo la curva de fuerza-deformacin . El rea por encima del diagrama es

llamado trabajo complementario y es definido como:

Para materiales linealmente elsticos el trabajo complementario es igual al trabajo

elstico, pero para materiales elsticos no lineales el trabajo complementario y el

trabajo elstico son diferentes.

Fuerzas internas: son desarrolladas en la estructura elstica en respuesta a las cargas

aplicadas y sus deformaciones tienen la capacidad de desarrollar trabajo y restaurar la

estructura a su configuracin original una vez las cargas han sido removidas.

Para un Elemento infinitesimal de la estructura bajo cargas causando un esfuerzo normal s ,

la fuerza normal en esta seccin es s dy dz , y el cambio de longitud es el producto de la

deformacin unitaria con el largo del elemento. Puesto que las cargas se incrementan desde

cero hasta sus valores actuales, as mismo lo hacen los esfuerzos y las deformaciones.

Entonces, el trabajo interno de un elemento infinitesimal cuando la carga se ha aplicado en su

totalidad y esta causando una deformacin unitaria e es:

Trabajo interno total: El trabajo interno de un sistema bajo cargas normales o esfuerzo axial

es la integral de la energa de un elemento infinitesimal sobre el volumen del sistema.

Para deformaciones debidas directamente a cortante, la energa elstica puede ser encontrada

de manera similar sustituyendo esfuerzos normales y deformacin por esfuerzos y

deformaciones de cortante.

El factor es llamado el factor de forma y puede ser calculado determinando determinado el

valor de la constante la cual depende de la configuracin de la seccin. Para secciones

rectangulares es 1.2 y para circulares es 1.1. Para secciones en forma de I se puede

considerar igual a 1.0.

Por conservacin de energa si una estructura se deforma no hay cambio en la energa total

del sistema. Por tanto, el trabajo externo debido a las cargas externas que actan sobre la

estructura debe ser igual al trabajo interno desarrollado por las fuerzas internas a travs de las

respectivas deformaciones.

We = Wi We = Usistema

Para una viga en voladizo con luz L y carga F en extremo libre, la deformacin es:

Utilizando energa de deformacin debido a cortante, se obtiene:

Si una estructura es sometida a desplazamientos virtuales adicionales o fuerzas virtuales,

resultan igualmente desplazamientos adicionales o fuerzas adicionales. El trabajo de las

fuerzas reales sobre los desplazamientos virtuales, o el de los desplazamientos reales sobre

las fuerzas virtuales, es el TRABAJO VIRTUAL DEL SISTEMA.

Podemos inducir TRABAJO VIRTUAL imponiendo desplazamientos virtuales o fuerzas

virtuales . Para una barra axial, la cual es en equilibrio bajo las fuerzas extremas F1 y F2 ,

requiere que F1= F 2 = F, donde F es la fuerza axial en un punto x . El trabajo virtual de un

elemento infinitesimal es F*d( u) / dx , y para toda la barra el trabajo virtual es:

El trabajo virtual de las fuerzas externas es:

En trminos del principio de trabajo virtual el trabajo externo es igual al interno y puesto que

se incluye todo el elemento, los desplazamientos virtuales deben ser compatibles con las

condiciones de borde, o lo que es lo mismo, los desplazamientos virtuales en soportes sin

movimiento deben se cero.

El trabajo virtual puede ser descrito e n trminos de esfuerzos y deformaciones unitarias en

lugar de utilizar fuerzas y desplazamientos. Para una viga con carga axial , en trminos de

trabajo virtual, podemos sustituir F = * A, e = d( u) / dx y adicionalmente d(vol)=A*dx,

el trabajo virtual interno ser:

We = W1 W = e Usistema

En la anterior expresin de se refiere a los desplazamientos virtuales unitarios. En esta

expresin se observa que debe la energa interna de una barra con fuerzas axiales, trminos

de trabajo virtual, es igual es a la variacin de la energa elstica del sistema. Por tanto,

W1 = * * d(vol)

Es decir, la variacin de la energa elstica del sistema es igual al trabajo externo. Para un

sistema real con varias cargas Fi , induciendo esfuerzos y deformaciones reales vi , si la

estructura est sometida a esfuerzos o desplazamientos virtuales, la anterior ecuacin se

puede plantear como:

En cerchas el trabajo externo virtual hecho por una carga unitaria es ( 1 * n ) , mientras que el

trabajo interno virtual hecho por las fuerzas virtuales en las barras es i f i * L i , entonces

la ecuacin de trabajo virtual es: }

L i son los cambios de longitud en las barras de la cercha debido a las fuerzas internas Fi ,

las cuales a su vez son inducidas por un sistema de cargas Pi. Para cada barra con rea Ai y

longitud L i el cambio de longitud y la deformacin vertical son:

Los pasos para su calculo son:

1. Encontrar las fuerzas F i bajo las cargas aplicadas. 2. Remover las cargas, aplicar una carga unitaria en el nudo y direccin en la cual la

deflexin es buscada, y encontrar las fuerzas internas fi debidas a la carga unitaria.

3. Calcular la deflexin usando la ecuacin de .

En vigas y prticos, si asumimos una carga simple unitaria vertical igual a Pi = 1, entonces

los esfuerzos virtuales debidos a la carga virtual son s = m*y/I donde m es momento debido

a la fuerza virtual. La deformacin unitaria debida a las cargas aplicadas y la deformacin

final son:

Involucrando todas las fuerzas internas la deformacin final se calcula usando:

Para calcular la deflexin de una viga, se procede de acuerdo a los siguientes pasos:

1. Encontrar la expresin para el momento, debido a las cargas aplicadas a lo largo de la estructura.

2. Remover las cargas aplicadas y adicionar una carga unitaria en el punto y direccin en la cual la deflexin es buscada. Encontrar la expresin para momentos m en toda la

estructura debida a la carga unitaria. Para hallar el ngulo, en un punto, m es

encontrado aplicando un momento unitario en el punto.

3. Calcular la deflexin usando la ecuacin de v, la cual es aplicable para ngulos q si m es debido a un momento unitario aplicado en i.

Clculo de deflexiones en cerchas simples

Calcular las deflexiones vertical y horizontal en el punto 4.

Ver

animacin

Considerar el rea A = 10 cm2 y el modulo de elasticidad E = 2*106

kg/cm2.

Inicialmente se calculan las fuerzas internas en la estructura E o

debido a cargas aplicadas en nudo4

Barra F1

1 0.0

2 -2.0 (C)

3 2.83 (T)

4 2.0 (T)

5 -2.0 (C)

A continuacin se colocan las fuerzas puntuales unitarias en el

donde se quieren calcular las deformaciones ( nudo 4), en direccin

vertical para el caso 1 y en la direccin horizontal para el caso 2.

Barra 1 2 3 4 5

fv1 0.0 - 1.0 1.414 0.0 - 1.0

Barra 1 2 3 4 5

fv1 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0

A continuacin se colocan las fuerzas puntuales unitarias en el

donde se quieren calcular las deformaciones (nudo 4), en

direccin vertical para el caso 1 y en la direccin horizontal

para el caso 2.

Barra Incidencia

nudos Li(m)

Fuerza

Estructura

E0(Fi)

Fuerza

Estructura

E1(Fvi)

Fuerza

Estructura

E2(FHi)

Fi*fvi*Li

(Ton*m)

Fi*fHi*Li

(Ton*m)

1 1 4.0 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

2 1 4.0 2 -2.0 -1.0 0.0 8.0 0.0

3 3 5.66 2 +2.828 +1.414 0.0 22.63 0.0

4 3 4.0 4 +2.0 0.0 +1.0 0.0 8.0

5 4 4.0 2 -2.0 -1.0 0.0 8.0 0.0

Utilizando A = 10 cm2 y E =

2*106 kg/cm2.

Los resultados son positivos, lo que indica que las direcciones de

los desplazamientos son en los mismos sentidos

supuestos para las cargas unitarias.

Determinar las Reacciones de la estructura y la deformacin

vertical en el punto 7

= 38.63 8.0

Clculo de fuerzas internas

Estructura F: Clculo de Fuerzas internas para la cercha con cargas

externas aplicadas en nudos.

Estructura f: Fuerzas internas para la cercha con carga unitaria

aplicada en el punto 7 donde se quiere hallar la deformacin.

Elemento Incidencia

de Nudos

longitud

Li(mts) Fi (Tn) fi (Tn) Li*Fi*fi

1 N1-N2 4.0 +151.0 -0.20 -120.8

2 N2-N3 4.0 +151.0 -0.20 -120.8

3 N3-N4 4.0 +233.0 -0.60 -559.2

4 N4-N5 4.0 +233.0 -0.60 -559.2

5 N5-N6 4.0 -25.0 -1.00 +100.0

6 N6-N7 4.0 -25.0 -1.00 +100.0

7 N1-N8 5.66 -213.5 +0.28 -338.4

8 N2-N8 4.0 +50.0 0.00 0.0

9 N3-N8 5.66 +93.3 -0.28 -147.9

10 N3-N9 4.0 0.0 0.00 0.0

11 N3-N10 5.66 -22.6 +0.28 -35.8

12 N4-N10 4.0 +50.0 0.0 0.0

13 N5-N10 5.66 -147.1 -0.28 +233.1

14 N5-N11 4.0 0.0 0.0 0.0

15 N5-N12 5.66 +217.8 +0.28 +345.2

16 N6-N12 4.0 -214.0 -1.20 +1027.2

17 N7-N12 5.66 +35.4 +1.41 +282.5

18 N8-N9 4.0 -217.0 +0.40 -347.2

19 N9-N10 4.0 -217.0 +0.40 -347.2

20 N10-N11 4.0 -129.0 +0.80 -412.0

21 N11-N12 4.0 -129.0 -0.80 -412.0

Viga continua

Hallar las deformaciones verticales en las articulaciones

Las cargas, reacciones y orden de anlisis de las estructuras estn

mostrados en la siguiente figura

Ver

animacin

Cuando colocamos las fuerzas unitarias en los nudos articulados 3 y 6

estas solo afectan la Estructura III y es en ltimas por esta donde se

transmiten dichas cargas. Esto porque por orden de jerarqua las cargas

unitarias no actuaran en las estructuras superiores sino que tienes que ser

absorbidas por la Estructura III , que sirve de sustento a las Estructuras I y

II a travs de los nudos articulados 3 y 6

Solo definimos los momentos para la estructura primaria Eo , en el tramo

3-4-5 de izquierda a derecha y en el tramo 6-5-4 de derecha a izquierda, lo

mismo que en las estructuras secundarias E1 y E2.

Tramo 3 - 4 - 5:

La deformacin vertical en la articulacin del punto 3 es:

Tramo 6 - 5 - 4:

La deformacin vertical en la articulacin del punto 5 es :

Entramado

Ver

animacin

Hallar la deformacin horizontal y vertical en el punto 2

Clculo de reacciones, en kN:

Determinar las Reaciones de la estructura y la deformacin vertical

en el punto C.

Estructura Tramo 1 - 4 Tramo 4 - 2 Tramo 3 - 2

E0 M14 = 120* x M42 = 1080 - 60* x M32 = -170*x + 1.5*x2

E1 M14 = 0.33* x M42 = 0.33* x M32 = - 0.471* x

E2 M14 = 0.0 M42 = 0.0 M32 = - 0.0

Cargas

Momentos estrucutras E0

Momentos estrucutras E1

Momentos estrucutras E2

Prtico

Hallar la deformacin horizontal y vertical en el punto B, donde se

halla la articulacin.

Ver

animacin

Clculo de reacciones:

Diagramas de momento del prtico

Estructura Tramo A - D Tramo B - D Tramo B - E Tramo C - E

E0 MAD =

-16.67* x

MBD =

20* x 2-24*x

MBE =

- 20*x2- 24*x MCE= 36.37*x

E1 mAD =

- 0.21* x mBD = 0.5* x mAD = - 0.5* x MCE= 0.21*x

Momentos estructura E1

Momentos estructura E1

Momentos en cada tramo:

Estructura Tramo A - D Tramo B - D Tramo B - E Tramo C - E

E0 MAD =

-16.67* x

MBD =

20* x 2- 24*x

MBE =

- 20*x2- 24*x MCE= 36.37*x

E1 mAD =

- 0.21* x mBD = 0.5*x mAD = - 0.5* x MCE= 0.21*x