Metodo the thomas
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMACIÓN AVANZADA INVESTIGACIÓN: “MÉTODO DE THOMAS E INTERPOLACION LINEAL” FRAGOSO GARCÍA IVÁN JAVIER (6) RICARDO JUÁREZ SANJUAN (20) PROF. ENRÍQUEZ SOLIS ADRIANA ALEJANDRA CALIFICACIÓN: 05 de octubre de 2015.
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thomas e interpolacion
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTOacuteNOMA DE MEacuteXICO
FACULTAD DE INGENIERIacuteA
PROGRAMACIOacuteN AVANZADA
INVESTIGACIOacuteN ldquoMEacuteTODO DE THOMAS E INTERPOLACION LINEALrdquo
FRAGOSO GARCIacuteA IVAacuteN JAVIER (6)RICARDO JUAacuteREZ SANJUAN (20)
PROF ENRIacuteQUEZ SOLIS ADRIANA ALEJANDRA
CALIFICACIOacuteN
05 de octubre de 2015
Antecedentes
El Meacutetodo de Thomas fue desarrollado por Llewellyn Thomas quien fue un fue un fiacutesico y matemaacutetico britaacutenico egresado de la Universidad de Cambridge y conocido por sus contribuciones a la fiacutesica atoacutemica y entre las que maacutes destacan estaacuten
El modelo de ThomasndashFermi Correlacioacuten de Thomas
En 1929 obtuvo un empleo como profesor de fiacutesica en la Universidad Estatal de Ohio ahiacute permanecioacute hasta 1943 en donde pasado ese tiempo concretamente en 1946 se convirtioacute en miembro del personal del Laboratorio de Computacioacuten Cientiacutefica Watson en la Universidad de Columbia en donde permanecioacute hasta 1968 y desarrolloacute el meacutetodo de Thomas que se define como un algoritmo del aacutelgebra lineal numeacuterica que tiene como objetivo principal hacer maacutes eficiente la resolucioacuten de matrices tridiagonales Antildeos maacutes tarde Llewellyn Thomas murioacute en Raleigh Carolina del Norte
iquestPara queacute sirve
Como ya dijimos el meacutetodo es un algoritmo de aacutelgebra lineal totalmente vaacutelido para resolver matrices triangulares
Explicacioacuten del Meacutetodo
Imaginemos que tenemos la siguiente matriz
05 de octubre de 2015
Lo que haremos seraacute trabajar con las filas en forma similar al meacutetodo de eliminacioacuten de Gauss soacutelo que aquiacute se reemplaza cada fila por una combinacioacuten lineal de filas apropiada de manera que se anulen los elementos de la diagonal inferior y los elementos de la diagonal principal sean unos Para ello en la primera fila se dividen los coeficientes por b1
y en las filas subsiguientes se trabaja de la siguiente manera
Se reemplaza la fila i por la combinacioacuten lineal fila (i) - ai fila (i-1) resultando
Para que el elemento correspondiente a la diagonal principal sea 1 se divide toda la fila por bi- ai crsquoi-1
Resumiendo la nueva matriz tendraacute por coeficientes arsquoi=0 brsquoi= 1 para cada i
Una vez obtenida la matriz triangular superior que en este caso particular tiene soacutelo dos diagonales no nulas se aplica el algoritmo de sustitucioacuten hacia atraacutes
El algoritmo de Thomas es particularmente econoacutemico requiere una cantidad de operaciones Op(n) = 8 n - 6 que crece linealmente con la cantidad de incoacutegnitas
Para prevenir problemas de mal condicionamiento es necesario que se cumpla la condicioacuten |bi|gt|ai| + |ci|
El algoritmo de Thomas puede generalizarse sin dificultades para sistemas cuya matriz de coeficientes es pentadiagonal o tridiagonal en bloques
05 de octubre de 2015
Ecuaciones Fundamentales de Thomas
a U11=b1b Ukk=bk-Lkk-1Uk-1kc Uk-1k=Ck-1d Lkk-1= a(Uk-1k-1)
Ejercicios
1 Aplique el meacutetodo de resolucioacuten de Gauss-Jordan a un sistema lineal cuya matriz de coeficientes es una matriz tridiagonal por bloques y estudie el nuacutemero de operaciones necesarias para obtener la solucioacuten
Tras aplicar el procedimiento de eliminacioacuten de Gauss obtendremos un sistema triangular superior (bidiagonal)
El caacuteculo de estos coeficientes se denomina iteracioacuten hacia adelante Inicialmente
Suponiendo que hemos realizado k minus 1 pasos tenemos para el k- esimo las siguientes ecuaciones en las filas k minus 1 y k- esima
05 de octubre de 2015
con lo que la eliminacioacuten de Gauss consiste en restar a la segunda ecuacioacuten la primera
mutiplicada por y lo que conduce a
para k = 2 3hellip n y donde hemos tenido mucho cuidado con el orden de la multiplicacioacuten porque estamos trabajando con matrices de bloques en lugar de nuacutemeros
Seguidamente obtendremos la solucioacuten del sistema resolviendo el sistema bidiagonal superior que hemos obtenido A este proceso se le denomina iteraci on hacia atraacutes
para k = n minus 1 n minus 2 1x =αminus1β nnnxk = αminus1 (βk minus γk xk+1) k
El nuacutemero de operaciones realizadas en la iteracioacuten hacia adelante es de (n minus 1) inversas 3 (n minus 1) productos y 2 (n minus 1) sumas y en la iteracioacuten hacia atraacutes 1 inversa si las inversas de αminus1 se guardan durante la iteracioacuten hacia adelante 2 n + 1 productos y n minus 1 sumas Es decir n inversas 5 n minus 2 productos y 3 (n minus 1) sumas de bloques La suma de dos bloques de m times m utiliza (m minus 1) 2 sumas el producto de dos bloques utiliza m2 (m minus 1) sumas y productos y la inversa m veces las operaciones necesarias para resolver un sistema lineal sea O11130972m331113097 sumas y productos
En resumen se requieren Cs(n m) sumas y Cp(n m) productos donde
05 de octubre de 2015
INTERPOLACIOacuteN LINEAL
INTRODUCCION
La palabra interpolacioacuten significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos
Matemaacuteticamente el problema de interpolacioacuten es que dado un conjunto de puntos
en la graacutefica de una funcioacuten encontrar una funcioacuten interpolante cuya graacutefica pase
por uno o maacutes puntos seleccionados
La interpolacioacuten es el caacutelculo de valores para una funcioacuten tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla Esto es aproximar informacioacuten discreta o funciones
complejas a funciones analiacuteticamente sencillas Esto es muy necesario en el
campo de la ingenieriacutea Los nombres de muchos matemaacuteticos famosos estaacuten
asociados con procedimientos de interpolacioacuten Gauss Newton Bessel y Stirling
por mencionar algunos
La necesidad de interpolar se inicioacute precisamente con los primeros estudios de
astronomiacutea cuando el movimiento de cuerpos celestes debiacutea de determinarse a
partir de observaciones perioacutedicas
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonomeacutetricas y logariacutetmicas por lo que ya no es necesario interpolar
para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcioacuten matemaacutetica
como se haciacutea anteriormente Sin embargo los meacutetodos numeacutericos constituyen la
base de procedimientos como derivacioacuten e integracioacuten numeacuterica y solucioacuten de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Tambieacuten estos meacutetodos demuestran resultados teoacutericos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los meacutetodos numeacutericos
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccioacuten a ciertas teacutecnicas
para trazar curvas suaves
05 de octubre de 2015
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
05 de octubre de 2015
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
05 de octubre de 2015
- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
Antecedentes
El Meacutetodo de Thomas fue desarrollado por Llewellyn Thomas quien fue un fue un fiacutesico y matemaacutetico britaacutenico egresado de la Universidad de Cambridge y conocido por sus contribuciones a la fiacutesica atoacutemica y entre las que maacutes destacan estaacuten
El modelo de ThomasndashFermi Correlacioacuten de Thomas
En 1929 obtuvo un empleo como profesor de fiacutesica en la Universidad Estatal de Ohio ahiacute permanecioacute hasta 1943 en donde pasado ese tiempo concretamente en 1946 se convirtioacute en miembro del personal del Laboratorio de Computacioacuten Cientiacutefica Watson en la Universidad de Columbia en donde permanecioacute hasta 1968 y desarrolloacute el meacutetodo de Thomas que se define como un algoritmo del aacutelgebra lineal numeacuterica que tiene como objetivo principal hacer maacutes eficiente la resolucioacuten de matrices tridiagonales Antildeos maacutes tarde Llewellyn Thomas murioacute en Raleigh Carolina del Norte
iquestPara queacute sirve
Como ya dijimos el meacutetodo es un algoritmo de aacutelgebra lineal totalmente vaacutelido para resolver matrices triangulares
Explicacioacuten del Meacutetodo
Imaginemos que tenemos la siguiente matriz
05 de octubre de 2015
Lo que haremos seraacute trabajar con las filas en forma similar al meacutetodo de eliminacioacuten de Gauss soacutelo que aquiacute se reemplaza cada fila por una combinacioacuten lineal de filas apropiada de manera que se anulen los elementos de la diagonal inferior y los elementos de la diagonal principal sean unos Para ello en la primera fila se dividen los coeficientes por b1
y en las filas subsiguientes se trabaja de la siguiente manera
Se reemplaza la fila i por la combinacioacuten lineal fila (i) - ai fila (i-1) resultando
Para que el elemento correspondiente a la diagonal principal sea 1 se divide toda la fila por bi- ai crsquoi-1
Resumiendo la nueva matriz tendraacute por coeficientes arsquoi=0 brsquoi= 1 para cada i
Una vez obtenida la matriz triangular superior que en este caso particular tiene soacutelo dos diagonales no nulas se aplica el algoritmo de sustitucioacuten hacia atraacutes
El algoritmo de Thomas es particularmente econoacutemico requiere una cantidad de operaciones Op(n) = 8 n - 6 que crece linealmente con la cantidad de incoacutegnitas
Para prevenir problemas de mal condicionamiento es necesario que se cumpla la condicioacuten |bi|gt|ai| + |ci|
El algoritmo de Thomas puede generalizarse sin dificultades para sistemas cuya matriz de coeficientes es pentadiagonal o tridiagonal en bloques
05 de octubre de 2015
Ecuaciones Fundamentales de Thomas
a U11=b1b Ukk=bk-Lkk-1Uk-1kc Uk-1k=Ck-1d Lkk-1= a(Uk-1k-1)
Ejercicios
1 Aplique el meacutetodo de resolucioacuten de Gauss-Jordan a un sistema lineal cuya matriz de coeficientes es una matriz tridiagonal por bloques y estudie el nuacutemero de operaciones necesarias para obtener la solucioacuten
Tras aplicar el procedimiento de eliminacioacuten de Gauss obtendremos un sistema triangular superior (bidiagonal)
El caacuteculo de estos coeficientes se denomina iteracioacuten hacia adelante Inicialmente
Suponiendo que hemos realizado k minus 1 pasos tenemos para el k- esimo las siguientes ecuaciones en las filas k minus 1 y k- esima
05 de octubre de 2015
con lo que la eliminacioacuten de Gauss consiste en restar a la segunda ecuacioacuten la primera
mutiplicada por y lo que conduce a
para k = 2 3hellip n y donde hemos tenido mucho cuidado con el orden de la multiplicacioacuten porque estamos trabajando con matrices de bloques en lugar de nuacutemeros
Seguidamente obtendremos la solucioacuten del sistema resolviendo el sistema bidiagonal superior que hemos obtenido A este proceso se le denomina iteraci on hacia atraacutes
para k = n minus 1 n minus 2 1x =αminus1β nnnxk = αminus1 (βk minus γk xk+1) k
El nuacutemero de operaciones realizadas en la iteracioacuten hacia adelante es de (n minus 1) inversas 3 (n minus 1) productos y 2 (n minus 1) sumas y en la iteracioacuten hacia atraacutes 1 inversa si las inversas de αminus1 se guardan durante la iteracioacuten hacia adelante 2 n + 1 productos y n minus 1 sumas Es decir n inversas 5 n minus 2 productos y 3 (n minus 1) sumas de bloques La suma de dos bloques de m times m utiliza (m minus 1) 2 sumas el producto de dos bloques utiliza m2 (m minus 1) sumas y productos y la inversa m veces las operaciones necesarias para resolver un sistema lineal sea O11130972m331113097 sumas y productos
En resumen se requieren Cs(n m) sumas y Cp(n m) productos donde
05 de octubre de 2015
INTERPOLACIOacuteN LINEAL
INTRODUCCION
La palabra interpolacioacuten significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos
Matemaacuteticamente el problema de interpolacioacuten es que dado un conjunto de puntos
en la graacutefica de una funcioacuten encontrar una funcioacuten interpolante cuya graacutefica pase
por uno o maacutes puntos seleccionados
La interpolacioacuten es el caacutelculo de valores para una funcioacuten tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla Esto es aproximar informacioacuten discreta o funciones
complejas a funciones analiacuteticamente sencillas Esto es muy necesario en el
campo de la ingenieriacutea Los nombres de muchos matemaacuteticos famosos estaacuten
asociados con procedimientos de interpolacioacuten Gauss Newton Bessel y Stirling
por mencionar algunos
La necesidad de interpolar se inicioacute precisamente con los primeros estudios de
astronomiacutea cuando el movimiento de cuerpos celestes debiacutea de determinarse a
partir de observaciones perioacutedicas
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonomeacutetricas y logariacutetmicas por lo que ya no es necesario interpolar
para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcioacuten matemaacutetica
como se haciacutea anteriormente Sin embargo los meacutetodos numeacutericos constituyen la
base de procedimientos como derivacioacuten e integracioacuten numeacuterica y solucioacuten de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Tambieacuten estos meacutetodos demuestran resultados teoacutericos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los meacutetodos numeacutericos
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccioacuten a ciertas teacutecnicas
para trazar curvas suaves
05 de octubre de 2015
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
05 de octubre de 2015
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
05 de octubre de 2015
- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
Lo que haremos seraacute trabajar con las filas en forma similar al meacutetodo de eliminacioacuten de Gauss soacutelo que aquiacute se reemplaza cada fila por una combinacioacuten lineal de filas apropiada de manera que se anulen los elementos de la diagonal inferior y los elementos de la diagonal principal sean unos Para ello en la primera fila se dividen los coeficientes por b1
y en las filas subsiguientes se trabaja de la siguiente manera
Se reemplaza la fila i por la combinacioacuten lineal fila (i) - ai fila (i-1) resultando
Para que el elemento correspondiente a la diagonal principal sea 1 se divide toda la fila por bi- ai crsquoi-1
Resumiendo la nueva matriz tendraacute por coeficientes arsquoi=0 brsquoi= 1 para cada i
Una vez obtenida la matriz triangular superior que en este caso particular tiene soacutelo dos diagonales no nulas se aplica el algoritmo de sustitucioacuten hacia atraacutes
El algoritmo de Thomas es particularmente econoacutemico requiere una cantidad de operaciones Op(n) = 8 n - 6 que crece linealmente con la cantidad de incoacutegnitas
Para prevenir problemas de mal condicionamiento es necesario que se cumpla la condicioacuten |bi|gt|ai| + |ci|
El algoritmo de Thomas puede generalizarse sin dificultades para sistemas cuya matriz de coeficientes es pentadiagonal o tridiagonal en bloques
05 de octubre de 2015
Ecuaciones Fundamentales de Thomas
a U11=b1b Ukk=bk-Lkk-1Uk-1kc Uk-1k=Ck-1d Lkk-1= a(Uk-1k-1)
Ejercicios
1 Aplique el meacutetodo de resolucioacuten de Gauss-Jordan a un sistema lineal cuya matriz de coeficientes es una matriz tridiagonal por bloques y estudie el nuacutemero de operaciones necesarias para obtener la solucioacuten
Tras aplicar el procedimiento de eliminacioacuten de Gauss obtendremos un sistema triangular superior (bidiagonal)
El caacuteculo de estos coeficientes se denomina iteracioacuten hacia adelante Inicialmente
Suponiendo que hemos realizado k minus 1 pasos tenemos para el k- esimo las siguientes ecuaciones en las filas k minus 1 y k- esima
05 de octubre de 2015
con lo que la eliminacioacuten de Gauss consiste en restar a la segunda ecuacioacuten la primera
mutiplicada por y lo que conduce a
para k = 2 3hellip n y donde hemos tenido mucho cuidado con el orden de la multiplicacioacuten porque estamos trabajando con matrices de bloques en lugar de nuacutemeros
Seguidamente obtendremos la solucioacuten del sistema resolviendo el sistema bidiagonal superior que hemos obtenido A este proceso se le denomina iteraci on hacia atraacutes
para k = n minus 1 n minus 2 1x =αminus1β nnnxk = αminus1 (βk minus γk xk+1) k
El nuacutemero de operaciones realizadas en la iteracioacuten hacia adelante es de (n minus 1) inversas 3 (n minus 1) productos y 2 (n minus 1) sumas y en la iteracioacuten hacia atraacutes 1 inversa si las inversas de αminus1 se guardan durante la iteracioacuten hacia adelante 2 n + 1 productos y n minus 1 sumas Es decir n inversas 5 n minus 2 productos y 3 (n minus 1) sumas de bloques La suma de dos bloques de m times m utiliza (m minus 1) 2 sumas el producto de dos bloques utiliza m2 (m minus 1) sumas y productos y la inversa m veces las operaciones necesarias para resolver un sistema lineal sea O11130972m331113097 sumas y productos
En resumen se requieren Cs(n m) sumas y Cp(n m) productos donde
05 de octubre de 2015
INTERPOLACIOacuteN LINEAL
INTRODUCCION
La palabra interpolacioacuten significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos
Matemaacuteticamente el problema de interpolacioacuten es que dado un conjunto de puntos
en la graacutefica de una funcioacuten encontrar una funcioacuten interpolante cuya graacutefica pase
por uno o maacutes puntos seleccionados
La interpolacioacuten es el caacutelculo de valores para una funcioacuten tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla Esto es aproximar informacioacuten discreta o funciones
complejas a funciones analiacuteticamente sencillas Esto es muy necesario en el
campo de la ingenieriacutea Los nombres de muchos matemaacuteticos famosos estaacuten
asociados con procedimientos de interpolacioacuten Gauss Newton Bessel y Stirling
por mencionar algunos
La necesidad de interpolar se inicioacute precisamente con los primeros estudios de
astronomiacutea cuando el movimiento de cuerpos celestes debiacutea de determinarse a
partir de observaciones perioacutedicas
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonomeacutetricas y logariacutetmicas por lo que ya no es necesario interpolar
para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcioacuten matemaacutetica
como se haciacutea anteriormente Sin embargo los meacutetodos numeacutericos constituyen la
base de procedimientos como derivacioacuten e integracioacuten numeacuterica y solucioacuten de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Tambieacuten estos meacutetodos demuestran resultados teoacutericos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los meacutetodos numeacutericos
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccioacuten a ciertas teacutecnicas
para trazar curvas suaves
05 de octubre de 2015
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
05 de octubre de 2015
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
05 de octubre de 2015
- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
Ecuaciones Fundamentales de Thomas
a U11=b1b Ukk=bk-Lkk-1Uk-1kc Uk-1k=Ck-1d Lkk-1= a(Uk-1k-1)
Ejercicios
1 Aplique el meacutetodo de resolucioacuten de Gauss-Jordan a un sistema lineal cuya matriz de coeficientes es una matriz tridiagonal por bloques y estudie el nuacutemero de operaciones necesarias para obtener la solucioacuten
Tras aplicar el procedimiento de eliminacioacuten de Gauss obtendremos un sistema triangular superior (bidiagonal)
El caacuteculo de estos coeficientes se denomina iteracioacuten hacia adelante Inicialmente
Suponiendo que hemos realizado k minus 1 pasos tenemos para el k- esimo las siguientes ecuaciones en las filas k minus 1 y k- esima
05 de octubre de 2015
con lo que la eliminacioacuten de Gauss consiste en restar a la segunda ecuacioacuten la primera
mutiplicada por y lo que conduce a
para k = 2 3hellip n y donde hemos tenido mucho cuidado con el orden de la multiplicacioacuten porque estamos trabajando con matrices de bloques en lugar de nuacutemeros
Seguidamente obtendremos la solucioacuten del sistema resolviendo el sistema bidiagonal superior que hemos obtenido A este proceso se le denomina iteraci on hacia atraacutes
para k = n minus 1 n minus 2 1x =αminus1β nnnxk = αminus1 (βk minus γk xk+1) k
El nuacutemero de operaciones realizadas en la iteracioacuten hacia adelante es de (n minus 1) inversas 3 (n minus 1) productos y 2 (n minus 1) sumas y en la iteracioacuten hacia atraacutes 1 inversa si las inversas de αminus1 se guardan durante la iteracioacuten hacia adelante 2 n + 1 productos y n minus 1 sumas Es decir n inversas 5 n minus 2 productos y 3 (n minus 1) sumas de bloques La suma de dos bloques de m times m utiliza (m minus 1) 2 sumas el producto de dos bloques utiliza m2 (m minus 1) sumas y productos y la inversa m veces las operaciones necesarias para resolver un sistema lineal sea O11130972m331113097 sumas y productos
En resumen se requieren Cs(n m) sumas y Cp(n m) productos donde
05 de octubre de 2015
INTERPOLACIOacuteN LINEAL
INTRODUCCION
La palabra interpolacioacuten significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos
Matemaacuteticamente el problema de interpolacioacuten es que dado un conjunto de puntos
en la graacutefica de una funcioacuten encontrar una funcioacuten interpolante cuya graacutefica pase
por uno o maacutes puntos seleccionados
La interpolacioacuten es el caacutelculo de valores para una funcioacuten tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla Esto es aproximar informacioacuten discreta o funciones
complejas a funciones analiacuteticamente sencillas Esto es muy necesario en el
campo de la ingenieriacutea Los nombres de muchos matemaacuteticos famosos estaacuten
asociados con procedimientos de interpolacioacuten Gauss Newton Bessel y Stirling
por mencionar algunos
La necesidad de interpolar se inicioacute precisamente con los primeros estudios de
astronomiacutea cuando el movimiento de cuerpos celestes debiacutea de determinarse a
partir de observaciones perioacutedicas
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonomeacutetricas y logariacutetmicas por lo que ya no es necesario interpolar
para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcioacuten matemaacutetica
como se haciacutea anteriormente Sin embargo los meacutetodos numeacutericos constituyen la
base de procedimientos como derivacioacuten e integracioacuten numeacuterica y solucioacuten de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Tambieacuten estos meacutetodos demuestran resultados teoacutericos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los meacutetodos numeacutericos
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccioacuten a ciertas teacutecnicas
para trazar curvas suaves
05 de octubre de 2015
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
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APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
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Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
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Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
con lo que la eliminacioacuten de Gauss consiste en restar a la segunda ecuacioacuten la primera
mutiplicada por y lo que conduce a
para k = 2 3hellip n y donde hemos tenido mucho cuidado con el orden de la multiplicacioacuten porque estamos trabajando con matrices de bloques en lugar de nuacutemeros
Seguidamente obtendremos la solucioacuten del sistema resolviendo el sistema bidiagonal superior que hemos obtenido A este proceso se le denomina iteraci on hacia atraacutes
para k = n minus 1 n minus 2 1x =αminus1β nnnxk = αminus1 (βk minus γk xk+1) k
El nuacutemero de operaciones realizadas en la iteracioacuten hacia adelante es de (n minus 1) inversas 3 (n minus 1) productos y 2 (n minus 1) sumas y en la iteracioacuten hacia atraacutes 1 inversa si las inversas de αminus1 se guardan durante la iteracioacuten hacia adelante 2 n + 1 productos y n minus 1 sumas Es decir n inversas 5 n minus 2 productos y 3 (n minus 1) sumas de bloques La suma de dos bloques de m times m utiliza (m minus 1) 2 sumas el producto de dos bloques utiliza m2 (m minus 1) sumas y productos y la inversa m veces las operaciones necesarias para resolver un sistema lineal sea O11130972m331113097 sumas y productos
En resumen se requieren Cs(n m) sumas y Cp(n m) productos donde
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INTERPOLACIOacuteN LINEAL
INTRODUCCION
La palabra interpolacioacuten significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos
Matemaacuteticamente el problema de interpolacioacuten es que dado un conjunto de puntos
en la graacutefica de una funcioacuten encontrar una funcioacuten interpolante cuya graacutefica pase
por uno o maacutes puntos seleccionados
La interpolacioacuten es el caacutelculo de valores para una funcioacuten tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla Esto es aproximar informacioacuten discreta o funciones
complejas a funciones analiacuteticamente sencillas Esto es muy necesario en el
campo de la ingenieriacutea Los nombres de muchos matemaacuteticos famosos estaacuten
asociados con procedimientos de interpolacioacuten Gauss Newton Bessel y Stirling
por mencionar algunos
La necesidad de interpolar se inicioacute precisamente con los primeros estudios de
astronomiacutea cuando el movimiento de cuerpos celestes debiacutea de determinarse a
partir de observaciones perioacutedicas
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonomeacutetricas y logariacutetmicas por lo que ya no es necesario interpolar
para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcioacuten matemaacutetica
como se haciacutea anteriormente Sin embargo los meacutetodos numeacutericos constituyen la
base de procedimientos como derivacioacuten e integracioacuten numeacuterica y solucioacuten de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Tambieacuten estos meacutetodos demuestran resultados teoacutericos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los meacutetodos numeacutericos
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccioacuten a ciertas teacutecnicas
para trazar curvas suaves
05 de octubre de 2015
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
05 de octubre de 2015
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
05 de octubre de 2015
- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
INTERPOLACIOacuteN LINEAL
INTRODUCCION
La palabra interpolacioacuten significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos
Matemaacuteticamente el problema de interpolacioacuten es que dado un conjunto de puntos
en la graacutefica de una funcioacuten encontrar una funcioacuten interpolante cuya graacutefica pase
por uno o maacutes puntos seleccionados
La interpolacioacuten es el caacutelculo de valores para una funcioacuten tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla Esto es aproximar informacioacuten discreta o funciones
complejas a funciones analiacuteticamente sencillas Esto es muy necesario en el
campo de la ingenieriacutea Los nombres de muchos matemaacuteticos famosos estaacuten
asociados con procedimientos de interpolacioacuten Gauss Newton Bessel y Stirling
por mencionar algunos
La necesidad de interpolar se inicioacute precisamente con los primeros estudios de
astronomiacutea cuando el movimiento de cuerpos celestes debiacutea de determinarse a
partir de observaciones perioacutedicas
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonomeacutetricas y logariacutetmicas por lo que ya no es necesario interpolar
para conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcioacuten matemaacutetica
como se haciacutea anteriormente Sin embargo los meacutetodos numeacutericos constituyen la
base de procedimientos como derivacioacuten e integracioacuten numeacuterica y solucioacuten de
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Tambieacuten estos meacutetodos demuestran resultados teoacutericos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los meacutetodos numeacutericos
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccioacuten a ciertas teacutecnicas
para trazar curvas suaves
05 de octubre de 2015
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
05 de octubre de 2015
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
05 de octubre de 2015
- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
RESENtildeA HISTORICA
La historia de la interpolacioacuten comienza con los matemaacuteticos babiloacutenicos y sus
trabajos en las tablas exponenciales que aunque presentan grandes huecos no
dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una
aproximacioacuten a sus valores intermedios
El desarrollo de la interpolacioacuten se entrelazo con los primeros desarrollos de las
diferencias finitas empezando por la cuadratura del ciacuterculo de Wallis en 1655 con
la que propuso el principio de ldquointercalculordquo o interpolacioacuten Esto fue aceptado por
Newton en 1676 lo cual le permitioacute la derivacioacuten de las series binomicas es decir
a partir de un problema de cuadraturas Newton pudo obtener el teorema binomial
Luego se continuacutea con la construccioacuten de foacutermulas praacutecticas de interpolacioacuten
Aunque ldquola historia de las foacutermulas de interpolacioacuten es complicada y muy
discutidardquo se le puede considerar como un potente estimulo en los siglos XVII y
XVIII para la evolucioacuten independiente de las operaciones fundamentales de la
teoriacutea claacutesica de las diferencias finitas las cuales se desarrollaron principalmente
para facilitar caacutelculos numeacutericos en astronomiacutea la creacioacuten de tablas y la
cuadratura mecaacutenica
La interpolacioacuten baacutesica utilizada inicialmente fue la interpolacioacuten lineal en la que si
en un intervalo [a b] conocemos los valores de una funcioacuten en los extremos f(a)
f(b) el valor de la funcioacuten en un punto intermedio x estaraacute dado en razoacuten a las
distancias a los puntos a y b
Son James Gegory Thomas Harriot y el propio Isaac Newton en el siglo XVII los
que comienzan a hacer uso de foacutermulas de interpolacioacuten de grado superior en
concreto Newton para determinar los puntos intermedios de la oacuterbita de un cometa
sugiere utilizar una liacutenea paraboacutelica (la cual para Newton es un polinomio cuyo
grado puede ir desde 2 hasta 5)
05 de octubre de 2015
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
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Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
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Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
APLICACIONES
En la ingenieriacutea y en cualquier ciencia es comuacuten contar con un conjunto de datos
(valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo Sin embargo en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacioacuten en puntos
entre los valores discretos
Ejemplos
bull En la termodinaacutemica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presioacuten y el
volumen especiacutefico a una temperatura particular
bull En los negocios se cuenta con informacioacuten de nuacutemero de piezas vendidas y la
ganancia obtenida
bull En el inicio del estudio de la astronomiacutea a partir de observaciones perioacutedicas
establecioacute las posiciones de los cuerpos celestes
Determinar el volumen especiacutefico a un presioacuten diferente de los datos que se
tienen poder calcular la ganancia obtenida con un nuacutemero cualquiera de piezas
vendidas y establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener
interpolando los datos obtenidos
La interpolacioacuten lineal Foacutermula
Uno de los meacutetodos de interpolacioacuten maacutes sencillos es el lineal En general en la
interpolacioacuten lineal se utilizan dos puntos (xaya) y (xbyb) para obtener un tercer
punto interpolado (xy) a partir de la siguiente foacutermula
La interpolacioacuten lineal es raacutepida y sencilla pero en ciertos casos no muy precisa
05 de octubre de 2015
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
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Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
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podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
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Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
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- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
Sean dos puntos (x1 y1) y (x3 y3) entonces la interpolacioacuten lineal consiste en
hallar una estimacioacuten del valor y para un valor x tal que x1ltx ltx3
Teniendo en cuenta que las variaciones en una relacioacuten lineal son constantes entonces podemos determinar por ejemplo las siguientes proporciones
De igual forma podemos determinar por ejemplo que
o lo que es equivalente
Despejando y obtenemos que
05 de octubre de 2015
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
Algunas propiedades baacutesicas de las proporciones son
En toda Proporcioacuten se cumple que
I) El producto de Medios es igual al producto de Extremos
II) Alternar Extremos
III) Alternar Medios
IV) Permutar
V) Invertir
VI) Componer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VII) Descomponer respecto al Antecedente y Consecuente respectivamente
VIII) Componer y descomponer a la vez
Ejemplo de interpolacioacuten lineal
05 de octubre de 2015
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
05 de octubre de 2015
podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
05 de octubre de 2015
Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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- APLICACIONES
- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
-
Si queremos aproximadamente determinar la mediana para el tamantildeo de las ordenes a traveacutes de interpolacioacuten lineal entonces podemos proceder de la siguiente manera
Tamantildeo de las oacuterdenes durante el pasado antildeo fiscal de la compantildeiacutea Eliot
Tamantildeo de
Ndeg de ordenes
Porcentaje de ordenes
Porcentaje acumulado
950 233 233
940 231 464
110 27 491
680 167 658
260 64 722
480 118 84
650 16 100
Observando la tabla de distribucioacuten de frecuencias vemos que el intervalo que
acumula el 50 de los datos es por lo tanto en eacutel estaacute contenida la mediana
Ahora suponiendo que las frecuencias estaacuten distribuidas proporcionalmente en el intervalo
50____________491
Me___________50
100__________658
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podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
5299
Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
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Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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podemos plantear por ejemplo la siguiente proporcioacuten
Despejando
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Nota La interpolacioacuten se puede realizar tanto con las frecuencias acumuladas absolutas como con las relativas o relativas porcentuales
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Referencias
gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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- La interpolacioacuten lineal Foacutermula
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gtgt Matemaacuteticas para Administracioacuten Economiacutea Ciencias Sociales y De La Vida Ernest F Haeussler amp Richard S Paul Prentice Hall Octava Edicioacuten Cap 6 Aacutelgebra Matricial p 220-245
gtgt Aacutelgebra de Matrices (en liacutenea) Cristina Steegmann Pascual 2003 pp18 [httpwwwuoceduin3emathdocsAlgebra_Matricespdf]
gtgtrdquoMeacutetodos Numeacutericos CAP III UNTERPOLACIONrdquo UNIVDEB pp 34
gtgtMeacutetodos Numeacutericos y Algebra Lineal TECNOLOGICO DE MONETERREY UNIDAD V pp100
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