Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones...
-
Upload
carolina-ramirez-torregrosa -
Category
Documents
-
view
231 -
download
4
Transcript of Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones...
![Page 1: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/1.jpg)
Método Simplex
Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones factibles en un problema de programación lineal (PPL).
![Page 2: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/2.jpg)
Principales características
Algoritmo eficiente y rápido para encontrar el óptimo.
Determina la solución óptima sin evaluar todos los puntos extremos factibles.
Capaz de detectar si existen múltiples soluciones, si la solución no está acotada, y si existe incompatibilidad de restricciones.
![Page 3: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/3.jpg)
Ejemplo de PPLPara ilustrar el desarrollo del método simplex, consideremos el problema de los bolsos y mochilas presentado anteriormente, cuyo modelo matemático se expresa de la siguiente manera:
MAX Z = 3 x1 + 5 x2
s.a. x1 4
2 x2 12
3 x1 + 2 x2 18
x1 , x2 0
Hemos visto que este modelo matemático tiene la forma de un problema de programación lineal (PPL).
![Page 4: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/4.jpg)
Ejemplo de PPLEl modelo anterior de PPL se puede expresar gráficamente de la siguiente manera, donde la recta en azul representa la FO en el punto óptimo:
62 4
6
4
2
x1
x2
x2 = 6
x1 = 4
3 x1 + 2 x2 = 18
Región Factible
3 x1 + 5 x2 = 36
![Page 5: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/5.jpg)
Variables de Holgura
El método Simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones. Para convertir cada restricción del tipo () en (=) se debe agregar una nueva variable positiva llamada variable de holgura (hi).
A las variables hi se les denomina de holgura porque representan la cantidad no utilizada del recurso i , es decir, es la diferencia entre la cantidad disponible del recurso i y la cantidad utilizada.
![Page 6: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/6.jpg)
Variables de HolguraSi agregamos las variables de holgura al ejemplo anterior, obtenemos el siguiente modelo matemático:
MAX Z = 3 X1 + 5 X2
s.a. X1 + h1 = 4
2 X2 + h2 = 12
3 X1 + 2 X2 + h3 = 18
X1 , X2 0 h1, h2, h3, 0
![Page 7: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/7.jpg)
Modelo PPL
El modelo matemático anterior es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones, para las cuales se debe encontrar la solución que entregue el mayor valor para la variable Z, y se sabe que todas las otras variables deben ser mayores que cero:
Z - 3 X1 - 5 X2 = 0
X1 + h1 = 4
2 X2 + h2 = 12
3 X1 + 2 X2 + h3 = 18
![Page 8: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/8.jpg)
Modelo PPL
En este caso existen 6 incógnitas (Z,X1,X2,h1,h2,h3) y sólo 4 ecuaciones.
Luego, para obtener una solución, se debe:
asignar un valor a 2 variables, y encontrar el valor de las otras 4 variables, resolviendo
el sistema de ecuaciones resultante.
![Page 9: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/9.jpg)
Modelo PPL
Supongamos que en el sistema de ecuaciones anterior se asigna el valor cero a X1 y X2 (X1=X2=0), entonces se obtienen las siguientes ecuaciones:
Z = 0
h1 = 4
h2 = 12
h3 = 18
De donde se puede obtener en forma directa el valor de las otras variables.
![Page 10: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/10.jpg)
Modelo PPL
Para el problema anterior, existen muchas alternativas para elegir las variables a las cuales les asignamos un valor, y para elegir el valor de estas variables.
Cuando se asigna un valor de cero a las variables en exceso (respecto al número de ecuaciones), y se obtiene el valor de las variables restantes, la solución obtenida se llama Solución Básica.
En la representación gráfica del problema, esta solución básica (Z,X1,X2,h1,h2,h3)=(0,0,0,4,12,18) corresponde al origen (X1=X2=0), y el valor de la FO es cero. El valor de las variables de holgura es igual a la disponibilidad total de recurso, porque cuando las variables de decisión son cero, no se consumen recursos.
![Page 11: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/11.jpg)
Solución básica
Cuando se tiene N variables y n ecuaciones (n<N), entonces una solución básica está compuesta por:
N - n variables = 0 (var. no básicas) n variables > 0 (var. básicas)
![Page 12: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/12.jpg)
Forma canónica
En el sistema de ecuaciones anterior, al hacer X1=X2=0, se obtuvieron en forma inmediata los valores de las otras variables (Z,h1,h2,h3).
Esto se debe a que las ecuaciones estaban en forma canónica para Z, h1, h2 y h3.
Siempre es posible llevar un sistema de ecuaciones a forma canónica, realizando operaciones algebraicas con las ecuaciones.
![Page 13: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/13.jpg)
Forma canónica
Ejemplo:
Para el sistema de ecuaciones anterior, expresarlo en forma canónica para Z, X2, h1, h3, suponiendo que ahora X1, h2 valen cero.
Z - 3 X1 - 5 X2 = 0 (1)
X1 + h1 = 4 (2)
2 X2 + h2 = 12 (3)
3 X1 + 2 X2 + h3 = 18 (4)
![Page 14: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/14.jpg)
Forma canónicaPara ello:
1 Se multiplica la ecuación (3) por 1/2.2 Se remplaza la ecuación (1) por (1) + 5 x (1 modificada).3 Se reemplaza la ecuación (4) por (4) - 2 x (1 modificada).
Con lo cual se obtiene lo siguiente:
Z - 3 X1 + 5/2 h2 = 30
X1 + h1 = 4
X2 + 1/2 h2 = 6
3 X1 - h2 + h3 = 18
![Page 15: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/15.jpg)
Forma canónica
En el ejemplo anterior, se ha cambiado la solución, porque se ha cambiado una variable básica por una no básica, según se detalla a continuación:
Antes Después
Var Básicas (BASE) Z, h1, h2, h3 Z, h1, X2, h3
Var No básicas X1, X2 X1, h2
En la situación anterior, se dice que:
La variable X2 entró a la base (tomó un valor > 0)
La variable h2 salió de la base (tomó un valor = 0)
![Page 16: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/16.jpg)
Ejemplo de PPLEn el modelo anterior de PPL, este cambio de solución básica equivale a moverse desde el punto (0,0) al punto (0,6) de la gráfica.
(Z,X1,X2,h1,h2,h3)=(0,0,0,4,12,18) ---> (Z,X1,X2,h1,h2,h3)=(30,0,6,4,0,18)
62 4
6
4
2
x1
x2
x2 = 6
x1 = 4
3 x1 + 2 x2 = 18
Región Factible
3 x1 + 5 x2 = 36
![Page 17: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejemplo de PPLEs importante notar que cada vértice corresponde a una solución básica, y que las variables no básicas corresponden a las rectas que definen cada vértice.
Vértice Solución
(0,0) (0,0,0,4,12,18)
(0,6) (30,0,6,4,0,18) , y de igual forma para cada vértice
Vértice Vars No Básicas Rectas correspondiente
(0,0) X1 , X2 X1= 0 , X2 = 0
(0,6) X1 , h2 X1= 0 , 2 X2 + h2 = 12
![Page 18: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/18.jpg)
Ejemplo de PPL
Pregunta:
Cuál es la solución básica y las rectas de definición correspondientes al vértice (2,6) ?
62 4
6
4
2
x1
x2
x2 = 6
x1 = 4
3 x1 + 2 x2 = 18
Región Factible
3 x1 + 5 x2 = 36
![Page 19: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/19.jpg)
Fundamentos del método simplex
1 Los vértices de la región factible se llaman soluciones factibles en el vértice (FEV).
2 Si el problema es acotado (existe una región factible) entonces existe un número finito de soluciones FEV.
3 Si el problema es acotado, existe al menos una solución óptima factible que corresponde a una solución FEV.
![Page 20: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/20.jpg)
Fundamentos del método simplex
4 Si una solución FEV es mejor (o igual) que todas las soluciones FEV adyacentes, entonces esta solución es óptima.
5 Las soluciones FEV siempre corresponden a una solución básica para el sistema de ecuaciones obtenido al agregar las variables de holgura al modelo de programación lineal.
![Page 21: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/21.jpg)
Método simplex
Consiste en avanzar hacia el óptimo a través de los puntos extremos (vértices), en el sentido en que la función objetivo (Z) aumenta.
Para ello, utiliza una solución básica factible, evalúa si es óptima, y si no lo es, extrae una variable de la base y se introduce otra, de manera que aumente el valor de la función objetivo.
![Page 22: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/22.jpg)
Método simplexINICIALIZACION
SOLUCION OPTIMA ? FIN
ITERACION:
1 DEFINIR VARIABLE QUE ENTRA (hacia dónde)
2 DEFINIR VARIABLE QUE SALE (hasta dónde)
3 DETERMINAR NUEVA SOLUCION BASICA
SI
NO
![Page 23: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/23.jpg)
Presentación tabular Para trabajar se utiliza un cuadro resúmen llamado “Tableau”.
cm
zm-cm
hm
..
..
..
c2
z2-c2
h2
cn
zn-cn
xn
c2
z2-c2
x2
c1..c1
z1-c1..z1-c1Z
h1..x1XBCBVB
Max/Min
Variables de Decisión Variables de Holgura
Coeficientes en la Función Objetivo
![Page 24: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/24.jpg)
Presentación tabular Para trabajar se utiliza un cuadro resúmen llamado “Tableau”.
cm
zm-cm
hm
..
..
..
c2
z2-c2
h2
cn
zn-cn
xn
c2
z2-c2
x2
c1..c1
z1-c1..z1-c1Z
h1..x1XBCBVB
Max/Min
Coeficientes de las variables en las ecuaciones
“Lado derecho” de las ecuaciones
![Page 25: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/25.jpg)
Coeficientes en la FO de las variables básicas actuales
Presentación tabular Para trabajar se utiliza un cuadro resúmen llamado “Tableau”.
cm
zm-cm
hm
..
..
..
c2
z2-c2
h2
cn
zn-cn
xn
c2
z2-c2
x2
c1..c1
z1-c1..z1-c1Z
h1..x1XBCBVB
Max/Min
Variables básicas de la solución actual
![Page 26: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/27.jpg)
Ejemplo de PPLEn la transparencia siguiente se muestra el problema de los bolsos y mochilas, expresado en le formato tabular (este cuadro corresponde al tableau inicial para el método simplex).
MAX Z = 3 X1 + 5 X2
s.a. X1 + h1 = 4
2 X2 + h2 = 12
3 X1 + 2 X2 + h3 = 18
X1 , X2 0 h1, h2, h3, 0
![Page 28: Método Simplex Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022062500/5665b4e61a28abb57c949b55/html5/thumbnails/28.jpg)
Ejemplo PPL en formato tabular