METODO RUNGE KUTTA 4

0

DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL

TRABAJO Nº 01

MÉTODO RUNGE KUTTA

4º ORDEN

Profesor: Carlos A. A. Carbonell Huamán

Alumno: Edison André Auccapiña Pérez

Código: 06130124

Noviembre 2015

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad Ciencias Físicas – E.A.P. Ingeniería Mecánica de Fluidos

TRABAJO Nº 01 MÉTODO RUNGE KUTTA 4º

ORDEN UNMSM – FCF - E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DE

FLUIDOS

1

RESUMEN

El presente trabajo consiste en determinar la evolución temporal de la velocidad en sus componentes:

u y v en un problema de circulación inercial usando el método Runge Kutta 4 º orden.



FLUIDOS

2

DESCRICPIÓN DEL PROBLEMA

Se tiene la siguiente ecuación de movimiento para describir las corrientes inerciales.

01

V-

VKVAPV

t

V

Simplificando términos obtenemos:

0u :

0v - :

ft

vy

ft

ux

............................................................. (1)

Es decir,

,tu,vv fΔtv v

,tu,vu fΔtuu

nnnn

nnnn

1

1

Así, se tienen las siguientes condiciones iniciales:

hm sm v

hm sm u

s t

h sf

/720/2.0

/0/0

0

0036.010 116

ECUACIONES

Las ecuaciones en (1) se pueden expresar de la siguiente manera:

u

v

2

1

t,u,vfft

v

t,u,vfft

u

Para un tiempo inicial s 00 tt , se tienen las siguientes condiciones iniciales.

hm v

hm u

s t

/720

/0

0

0

0

0



FLUIDOS

3

Se escoge una (h) hora ht 1

Para un tiempo inicial h tt 11 :

Con:

m/h vv

m/h uu

h tt

720

00.0

00.0

01,0

01,0

01,0

Se tiene:

000.0,,

,,

1,01,01,022,1

1,01,01,011,1

vutfk

2.5920 vutfk

Luego,

m/h h

kvv

m/h h

kuu

h h

tt

000.02

2960.12

50.02

2,11,02,0

1,11,02,0

1,02,0

Obteniéndose:

0047.0,,

,,

2,02,02,022,2

2,02,02,011,2

vutfk

2.5920 vutfk

Luego:

m/h h

kvv

m/h h

kuu

h h

tt

0024.02

296.12

50.02

2,203,0

1,203,0

03,0

Obteniéndose

0047.0,,

,,

3,03,03,022,3

3,03,03,011,3

vutfk

2.59199 vutfk

Finalmente:

m/h hkvv

m/h hkuu

h htt

0047.0

59199.2

00.1

2,304,0

1,304,0

04,0



FLUIDOS

4

Obteniéndose

0093.0,,

,,

4,04,04,022,4

4,04,04,011,4

vutfk

2.59198 vutfk

Así obtenemos los valores de t, u y v para t1 = 3600 s:

m/h kkkkh

vv

m/h kkkkh

uu

h htt

1

1

995.719226

59199.2226

1

2,42,32,22,10

1,41,31,21,10

01

Análogamente se obtendrán los valores correspondientes a tiempos posteriores hasta describir el

fenómeno físico analizado durante los 15 días o 360 horas de análisis. Los resultados se presentan

en la siguiente sección:

RESULTADOS

Escogiendo una variación h t 1 , obtendríamos los siguientes valores para las velocidades u y v

de las corrientes inerciales estudiadas. Ver Tabla1.

5

t (h) u (m/h) v (m/s) t (h) u (m/h) v (m/s) t (h) u (m/h) v (m/s) t (h) u (m/h) v (m/s)

0 0.0000 720.0000 31 80.1853 715.5210 61 156.8440 702.7090 91 231.6760 681.7080

1 2.5920 719.9950 32 82.7607 715.2280 62 159.3730 702.1400 92 234.1280 680.8700

2 5.1840 719.9810 33 85.3349 714.9250 63 161.9000 701.5610 93 236.5780 680.0230

3 7.7759 719.9580 34 87.9081 714.6130 64 164.4240 700.9740 94 239.0240 679.1670

4 10.3676 719.9250 35 90.4801 714.2920 65 166.9470 700.3780 95 241.4680 678.3020

5 12.9593 719.8830 36 93.0510 713.9620 66 169.4670 699.7720 96 243.9080 677.4280

6 15.5508 719.8320 37 95.6207 713.6220 67 171.9850 699.1570 97 246.3450 676.5460

7 18.1421 719.7710 38 98.1891 713.2730 68 174.5010 698.5340 98 248.7790 675.6540

8 20.7331 719.7010 39 100.7560 712.9150 69 177.0140 697.9010 99 251.2100 674.7540

9 23.3239 719.6220 40 103.3220 712.5480 70 179.5260 697.2590 100 253.6370 673.8460

10 25.9144 719.5330 41 105.8870 712.1710 71 182.0350 696.6080 101 256.0620 672.9280

11 28.5045 719.4360 42 108.4500 711.7860 72 184.5410 695.9490 102 258.4830 672.0020

12 31.0943 719.3280 43 111.0110 711.3910 73 187.0460 695.2800 103 260.9000 671.0670

13 33.6837 719.2120 44 113.5720 710.9860 74 189.5470 694.6020 104 263.3140 670.1240

14 36.2726 719.0860 45 116.1300 710.5730 75 192.0470 693.9150 105 265.7250 669.1710

15 38.8611 718.9500 46 118.6880 710.1500 76 194.5430 693.2190 106 268.1320 668.2100

16 41.4491 718.8060 47 121.2440 709.7180 77 197.0380 692.5140 107 270.5360 667.2410

17 44.0365 718.6520 48 123.7980 709.2770 78 199.5300 691.8010 108 272.9360 666.2630

18 46.6234 718.4890 49 126.3500 708.8270 79 202.0190 691.0780 109 275.3330 665.2760

19 49.2096 718.3160 50 128.9010 708.3670 80 204.5050 690.3460 110 277.7260 664.2800

20 51.7952 718.1350 51 131.4510 707.8990 81 206.9890 689.6050 111 280.1160 663.2760

21 54.3802 717.9430 52 133.9980 707.4210 82 209.4700 688.8560 112 282.5020 662.2630

22 56.9644 717.7430 53 136.5440 706.9340 83 211.9490 688.0970 113 284.8840 661.2420

23 59.5479 717.5330 54 139.0880 706.4380 84 214.4250 687.3300 114 287.2630 660.2120

24 62.1306 717.3140 55 141.6300 705.9330 85 216.8980 686.5530 115 289.6380 659.1740

25 64.7126 717.0860 56 144.1710 705.4180 86 219.3680 685.7680 116 292.0090 658.1270

26 67.2936 716.8480 57 146.7090 704.8950 87 221.8350 684.9740 117 294.3760 657.0710

27 69.8739 716.6010 58 149.2460 704.3620 88 224.3000 684.1710 118 296.7400 656.0070

28 72.4532 716.3450 59 151.7810 703.8200 89 226.7610 683.3590 119 299.0990 654.9350

29 75.0315 716.0800 60 154.3130 703.2690 90 229.2200 682.5380 120 301.4550 653.8540

30 77.6089 715.8050



FLUIDOS

6


121 303.8070 652.7640 151 372.3990 616.2140 181 436.6510 572.4820 211 495.8150 522.0800

122 306.1550 651.6660 152 374.6150 614.8690 182 438.7090 570.9070 212 497.6910 520.2920

123 308.4990 650.5600 153 376.8260 613.5160 183 440.7610 569.3240 213 499.5610 518.4970

124 310.8390 649.4450 154 379.0320 612.1560 184 442.8080 567.7330 214 501.4240 516.6950

125 313.1750 648.3220 155 381.2330 610.7870 185 444.8490 566.1360 215 503.2810 514.8870

126 315.5070 647.1900 156 383.4300 609.4110 186 446.8840 564.5300 216 505.1310 513.0720

127 317.8350 646.0500 157 385.6210 608.0270 187 448.9140 562.9180 217 506.9750 511.2500

128 320.1590 644.9020 158 387.8070 606.6350 188 450.9370 561.2980 218 508.8120 509.4210

129 322.4780 643.7450 159 389.9890 605.2340 189 452.9550 559.6710 219 510.6430 507.5860

130 324.7940 642.5800 160 392.1650 603.8270 190 454.9670 558.0370 220 512.4670 505.7450

131 327.1050 641.4070 161 394.3360 602.4110 191 456.9730 556.3950 221 514.2840 503.8970

132 329.4120 640.2250 162 396.5020 600.9870 192 458.9730 554.7470 222 516.0950 502.0420

133 331.7140 639.0350 163 398.6630 599.5560 193 460.9670 553.0910 223 517.8990 500.1810

134 334.0130 637.8370 164 400.8190 598.1170 194 462.9550 551.4280 224 519.6960 498.3130

135 336.3070 636.6300 165 402.9700 596.6700 195 464.9370 549.7580 225 521.4870 496.4390

136 338.5970 635.4150 166 405.1150 595.2160 196 466.9130 548.0800 226 523.2710 494.5580

137 340.8820 634.1920 167 407.2550 593.7530 197 468.8830 546.3960 227 525.0480 492.6710

138 343.1630 632.9610 168 409.3900 592.2830 198 470.8470 544.7040 228 526.8180 490.7780

139 345.4390 631.7210 169 411.5200 590.8060 199 472.8050 543.0060 229 528.5810 488.8780

140 347.7110 630.4740 170 413.6440 589.3200 200 474.7570 541.3000 230 530.3380 486.9720

141 349.9790 629.2180 171 415.7630 587.8280 201 476.7030 539.5870 231 532.0870 485.0600

142 352.2410 627.9540 172 417.8760 586.3270 202 478.6420 537.8680 232 533.8300 483.1410

143 354.5000 626.6820 173 419.9840 584.8190 203 480.5750 536.1410 233 535.5660 481.2160

144 356.7540 625.4010 174 422.0870 583.3030 204 482.5020 534.4080 234 537.2950 479.2850

145 359.0030 624.1130 175 424.1840 581.7800 205 484.4230 532.6670 235 539.0170 477.3480

146 361.2470 622.8170 176 426.2760 580.2490 206 486.3370 530.9200 236 540.7320 475.4040

147 363.4870 621.5120 177 428.3620 578.7110 207 488.2460 529.1660 237 542.4400 473.4540

148 365.7220 620.2000 178 430.4430 577.1650 208 490.1470 527.4050 238 544.1410 471.4990

149 367.9520 618.8790 179 432.5180 575.6110 209 492.0430 525.6370 239 545.8350 469.5370

150 370.1780 617.5500 180 434.5870 574.0510 210 493.9320 523.8620 240 547.5210 467.5690



FLUIDOS

7


241 549.2010 465.5950 271 596.1880 403.6830 301 636.2270 337.0680 331 668.8530 266.5250

242 550.8740 463.6140 272 597.6370 401.5340 302 637.4370 334.7760 332 669.8080 264.1160

243 552.5390 461.6280 27 599.0790 399.3800 303 638.6380 332.4790 333 670.7550 261.7030

244 554.1970 459.6360 274 600.5130 397.2210 304 639.8300 330.1770 334 671.6920 259.2860

245 555.8480 457.6380 275 601.9390 395.0570 305 641.0150 327.8720 335 672.6210 256.8670

246 557.4920 455.6340 276 603.3570 392.8870 306 642.1910 325.5620 336 673.5420 254.4430

247 559.1290 453.6240 277 604.7670 390.7130 307 643.3590 323.2480 337 674.4530 252.0170

248 560.7580 451.6080 278 606.1700 388.5330 308 644.5180 320.9300 338 675.3560 249.5870

249 562.3810 449.5870 279 607.5650 386.3480 309 645.6700 318.6080 339 676.2500 247.1540

250 563.9950 447.5590 280 608.9520 384.1580 310 646.8120 316.2810 340 677.1360 244.7180

251 565.6030 445.5260 281 610.3310 381.9640 311 647.9470 313.9510 341 678.0120 242.2790

252 567.2030 443.4870 282 611.7020 379.7640 312 649.0730 311.6160 342 678.8800 239.8370

253 568.7960 441.4420 283 613.0650 377.5590 313 650.1900 309.2770 343 679.7390 237.3910

254 570.3820 439.3920 284 614.4200 375.3500 314 651.3000 306.9350 344 680.5890 234.9430

255 571.9600 437.3350 285 615.7680 373.1360 315 652.4000 304.5880 345 681.4310 232.4910

256 573.5300 435.2730 286 617.1070 370.9160 316 653.4930 302.2370 346 682.2630 230.0360

257 575.0940 433.2060 287 618.4380 368.6920 317 654.5760 299.8830 347 683.0870 227.5790

258 576.6490 431.1330 288 619.7620 366.4640 318 655.6520 297.5240 348 683.9020 225.1180

259 578.1980 429.0540 289 621.0770 364.2300 319 656.7190 295.1620 349 684.7080 222.6550

260 579.7390 426.9700 290 622.3840 361.9920 320 657.7770 292.7960 350 685.5050 220.1880

261 581.2720 424.8800 291 623.6830 359.7490 321 658.8270 290.4260 351 686.2930 217.7190

262 582.7980 422.7850 292 624.9740 357.5010 322 659.8680 288.0520 352 687.0730 215.2470

263 584.3160 420.6840 293 626.2570 355.2490 323 660.9010 285.6750 353 687.8430 212.7720

264 585.8270 418.5780 294 627.5320 352.9920 324 661.9250 283.2940 354 688.6050 210.2940

265 587.3300 416.4660 295 628.7990 350.7310 325 662.9400 280.9090 355 689.3570 207.8140

266 588.8250 414.3490 296 630.0570 348.4650 326 663.9470 278.5210 356 690.1010 205.3310

267 590.3130 412.2260 297 631.3080 346.1950 327 664.9460 276.1290 357 690.8360 202.8450

268 591.7930 410.0990 298 632.5500 343.9200 328 665.9360 273.7330 358 691.5610 200.3570

269 593.2660 407.9650 299 633.7840 341.6400 329 666.9170 271.3340 359 692.2780 197.8660

270 594.7310 405.8270 300 635.0100 339.3560 330 667.8890 268.9310 360 692.9860 195.3730

TABLA 1



FLUIDOS

8

Gráficamente:

Figura 1

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390

VEL

OC

IDA

D (

M/H

)

TIEMPO (H)

u,v vs t

u vs t

v vs t



FLUIDOS

9

CONCLUSIONES

Debido a las características de las ecuaciones que describen el comportamiento de las

corrientes inerciales en este problema vemos, de la gráfica 1, que a medida que el valor de u

decrece, el valor de v aumenta.

El comportamiento que describen tanto u como v es sinoidal u oscilatorio.

El comportamiento de u y v permite apreciar como la fuerza de coriolis afecta el

comportamiento de las corrientes inerciales producidas en los océanos.

El método Runge Kutta 4 orden es un procedimiento eficaz a la hora de describir el

comportamiento de fenómenos físicos descritos por fórmulas matemáticas.

LITERATURA

Métodos Numéricos para Ingenieros. Steven Chapra. 2007. Quinta edición.

Apuntes de clase



FLUIDOS

10

APÉNDICE

A continuación se muestra el código en lenguaje C++ usado para resolver este problema. Se uso el

programa Boland C++.

#include<iostream.h> #include<windows.h> #include<conio.h> #include<math.h> void main () { double u=0,v=720,t=0,tf=2,h=1,n,f=0.0036,iter; double to,uo,vo,k11,k12,k21,k22,k31,k32,k41,k42; iter=tf/h; cout<<"t u v\n"; cout<<t<<" "<<u<<" "<<v<<"\n"; for (int i=0;i<iter;i++) { to=t; uo=u; vo=v; k11=f*v; k12=-f*u; t=to+h/2; u=uo+k11*(h/2); v=vo+k12*(h/2); k21=f*v; k22=-f*u; t=to+h/2; u=uo+k21*(h/2); v=vo+k22*(h/2); k31=f*v; k32=-f*u; t=to+h; u=uo+k31*(h); v=vo+k32*(h); k41=f*v; k42=-f*u; t=to+h; u=uo+(k11+2*k21+2*k31+k41)*h/6; v=vo+(k12+2*k22+2*k32+k42)*h/6; cout<<t<<" "<<u<<" "<<v<<"\n"; } system("pause"); }

METODO RUNGE KUTTA 4

Documents

Transcript of METODO RUNGE KUTTA 4