7/24/2019 Metodo Reducible

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metodo reducible y'+p(x)Y=q(x)

16. 7 Ecuaciones diferenciales lineales (primer orden)

Son ecuaciones de la forma:

{16

dondeP(x) y Q(x)son funciones dependientes dexo constantes!

"#$%&% & S%*,-.:

Se trata de buscar una soluci/n0y(x)0 como producto de dos funciones dex:

y(x) = u(x) . v(x) {1

cuya deri2ada es: 0 que sustituyendo en {16nos conduce a:

que reordenamos:

{13

y a4ora debe tenerse en cuenta que somos nosotros quienes expresamos lafunci/nycomo produto de dos funciones cualesquiera (u.v)0 pues bien0 siempre

podemos esco5er v de tal manera que el parntesis de {13 se anule0 es decir0

tomamos vtal que cumpla:

{17

lo cual implica: 0 o sea:

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% si despe8amos vtenemos:

{9

on una v(x)obtenida se5;n la expresi/n {9 0 a4ora s/lo queda conocer u(x)0 yse5;n {13 tenemos:

la cual es una ecuaci/n de 2ariables separadas:

{91

que inte5rando nos da directamente u(x)! n definiti2a0 la soluci/n de unaecuaci/n diferencial lineal 2iene dada por:

{99

(%,-.: ?allaremos en primer lu5ar el primer factor de {99 0 es decir0 v(x)0 alreali@ar la inte5ral de (-P(x) dx) nos aparecerA una constante de inte5raci/n 0

pero como v(x)es una funci/n BcualquieraB0 nosotros podemos ele5ir = ocualquier otro 2alor simpleC una 2e@ 4allado vpodemos reali@ar la inte5ral delse5undo factor0 u0 de donde a4ora sD aparecerA una constante indeterminada deinte5raci/n!)

E"F%:

esol2amos como e8emplo la ecuaci/n:

omo puede apreciarsese trata de una ecuaci/n lineal de la forma:

y + P(x) y = Q(x)0

en la queP(x) = -2/(x+1)0 Q(x) = (x+1)3! a soluci/n tendrA la forma y = u(x).v(x) que2iene expresada en {99 0 es decir:

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Frimeramente: 0 que en este caso es:

donde0 como se 4a dic4o en la obser2aci/n anterior0 se 4a tomado la constante deinte5raci/n como = !

>4ora0 una 2e@ conocida esa v(x)0 la funci/n u(x)se determina mediante la

expresi/n: 0 que en este caso es:

por lo tanto0 la soluci/n 5eneral de esta ecuaci/n diferencial es: