Metodo numérico

Mtodos Numricos Curso SAI Tema 4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.

Tema 4

4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

4.1. Introduccin

En la prctica de la ingeniera y ciencias se tiene la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones no lineales. En temas pasados se vio la solucin de ecuaciones no lineales. La solucin de sistemas de ecuaciones no lineales esencialmente consistir en extender los mtodos de solucin de una sola ecuacin no lineal a sistemas de ecuaciones no lineales. Pero como se vera esto no es sencillo.

4.2. Conceptos Bsicos

Un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma

( )( )( )

( ) 0,,,,

0,,,,

0,,,,

0,,,,

321

3213

3212

3211

=

===

xxxx

xxxxxxxxxxxx

nn

n

n

n

f

f

f

f

en forma mas compacta

( ) 0=XF

donde F: vector de funciones. X: vector solucin. 0: vector de trminos nulos (0).

Pgina 4-1

Mtodos Numricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 Hugo Pablo Leyva

4.3. Mtodos de Solucin

Los mtodos de solucin de un sistema de ecuaciones no lineales se clasifican en:

1. Mtodo Grfico. 2. Mtodos Directos. 3. Mtodos Iterativos.

4.4. Mtodo grfico

El mtodo grfico consiste en trazar la grfica de cada ecuacin del sistema y hallar los puntos de corte, los cuales son la solucin. La desventaja de este mtodo es que no es muy preciso, y slo es aplicable cuando tenemos 2 a lo mucho 3 ecuaciones. Adems considerando que son ecuaciones no lineales, las graficas puede ser que no sean fciles de construir.

4.5. Mtodos directos

Los mtodos directos son aquellos que determinan la solucin en un numero determinado de pasos.

Estos mtodos no son los ms usuales pero cuando sea posible son los ms recomendables, por que nos dan la solucin analtica, es decir, la solucin terica del problema. Salvo raros casos estos mtodos no son siempre aplicables, ya que dependen que el sistema permita el despeje y simplificacin del mismo mediante operaciones algebraicas.

4.6. Mtodos iterativos

Si bien los mtodos directos dan la solucin terica, no siempre se pueden aplicar.

Los mtodos iterativos son aquellos que obtienen la solucin aproximndose a ella en un numero finito, pero no definido de pasos.

Estos mtodos son propiamente mtodos numricos, los cuales como ya vimos obtienen la solucin mediante una sucesin que se aproxima a la solucin del problema. En este caso los mtodos iterativos obtienen una sucesin de vectores que se aproxima a la solucin del sistema. Como ya mencionamos anteriormente en los temas pasados, los mtodos numricos requieren de un criterio de convergencia para determinar cuando parar. El criterio de convergencia basado en el error relativo, como ya se coment es muy til. Tambin por lo que se comento en el tema de solucin de ecuaciones lineales mediante mtodos iterativos el criterio de convergencia ser:

4-2


( )105 111

+

+

+

= NCSk

kk

k XXX

cc

donde ||X|| |max = xi | Es una norma vectorial natural.

1 i n k: ndice de la iteracin, no la confundas con una potencia, solo es l numero de iteracin. Xk+1 : Vector de la iteracin k+1. Xk : Vector de la iteracin k. NCS: Numero de cifras significativas deseadas.

Tambin se pide que:

( ) ( )105 11 ++ NCSkXf

y por seguridad adems

k iter> max

En general es difcil aplicar un mtodo numrico en este caso, ya que no se tiene un teorema como el de cambio de signo para hallar por donde esta la solucin. Esto es por que es difcil extender e interpretar el teorema de cambio de signo a sistemas de n ecuaciones no lineales.

Por lo anterior los mtodos basados en cambio de signo como biseccin y regula falsi NO se pueden extender a sistemas de ecuaciones no lineales con facilidad.

Por esta razn en la practica solo se emplean extensiones de los mtodos de punto fijo, newton y secante, o de algn otro mtodo que no requiera cambios de signo.

Solo consideraremos los mtodos de:

1. Mtodo de Iteracin de Punto fijo.

2. Mtodo de Newton.

4.7. Mtodo de Iteracin de Punto Fijo

Este mtodo como su contraparte de una sola variable consiste en expresar el sistema en la forma:

( )XGX = donde las funciones G se obtienen mediante manipulaciones algebraicas del sistema original de las funciones F.

Pgina 4-3


En este mtodo comenzamos con un vector inicial X0. Con este vector calculamos otro vector X1 , verificamos el criterio de convergencia. Si se cumple bien, si no realizamos otra iteracin con el vector X1, obtenemos un vector X2, nuevamente verificamos la convergencia, si se cumple bien, si no repetiremos el procedimiento hasta lograr la convergencia concluir que no la hay. Las ecuaciones generales del mtodo son:

( )kK XGX =+1

para este caso para asegurar la convergencia se debe de cumplir que:

( )nCX

xg

j

i

donde:

C: constante menor a 1.

n: numero de ecuaciones.

i: 1, 2, 3, ..., n

j: 1,2, 3, ... ,.n

Como en general esto es difcil y tardado de probar se prueba con varias combinaciones hasta hallar una que sea convergente.

4.7.1. Ejemplo del mtodo de Iteracin de Punto Fijo

Como ejemplo resolveremos el sistema no lineal:1

081602

2

1=+ xx

03510221

=+ xx 0240

321=++ xxx

Resolvamos nuestro sistema de ejemplo. Los criterios de convergencia a emplear son

1 Este sistema se obtiene al considerar las medidas de la ganadora de un concurso

de Belleza.

4-4


9 ||X||

||X-X|| 1051kk1k =++ xcck

k > 100

Despejemos una variable de cada ecuacin

xxx

x

kkk

kk

kk

x

x

x

121

3

11

2

21

1

240

3510

8160

=+==

+

+

+

Para la aproximacin inicial para este sistema probaremos como solucin aproximada (50,50,50).2

En la iteracin 1 se tiene

xxx

x

x

x

x

0

1

0

21

3

0

11

2

0

21

1

240

3510

8160

=+==

sustituyendo valores

1405050240

59.6657351050

90.0555508160

13

12

11

===+===

x

x

x

Calculemos el criterio de convergencia

cc1 = ||X -X ||

||X ||

1 0

1

X X1 0 =

2 Tomando en cuenta que por la naturaleza del problema la solucin debe de estar

para las 3 variables entre 0 y 100.

Pgina 4-5


=

505050

1406657.590555.90

906657.90555.40

=

906657.90555.40

max1 nj

90

X 1 =

=

1406657.590555.90

=

1406657.590555.90

max1 nj

140

0.64285714090 ||X|| ||X-X||

1 101 ===

cc

Como el criterio de convergencia no se cumple realizamos otra iteracin.


xxx

x

x

x

x

1

1

1

22

3

1

12

2

1

22

1

240

3510

8160

=+==


4-6


90.278759.665790.0555240

60.0005351059.6657

90.001990.05558160

23

22

21

===+===

x

x

x


cc2 = ||X -X ||

||X ||

2 1

2

X X2 1 =

=

1406657.590555.90

90.278760.000590.0019

=

49.7213-0.33480.0536-

=

49.7213-0.33480.0536-

max1 nj

49.7213

X 1 =

=

90.278760.000590.0019

=

90.278760.000590.0019

max1 nj

90.2787

0.55075390.278749.7213 ||X|| ||X-X||

2 212 ===

cc

Dado que no se cumple el criterio de convergencia continuamos. Los clculos se resumen en la tabla 1

Pgina 4-7


Tabla 1 Clculos del Mtodo de Iteracin de Punto Fijo k X1 X2 X3 cc 0 50 50 50 - 1 90.0555 59.6657 140 0.642857 2 90.0019 60.0005 90.2787 0.550753 3 90 60 89.9977 0.00312273 4 90 60 90 2.56324e-05 5 90 60 90 1.44569e-07 6 90 60 90 1.18669e-09

Podemos observar que la convergencia en este caso no es lenta. Usualmente este no es el caso.

Tambin se observa algo curioso. A partir de la iteracin 4 ya no cambio la solucin, sin embargo el criterio de convergencia sigui disminuyendo. Esto se debe a que el programa que realizo los clculos NO mostr todas cifras obtenidas en los clculos, no obstante estas cifras si afectaron l calculo del criterio de convergencia como se muestra.

4.8. Mtodo de Newton

El mtodo de Newton-Rapshon se puede extender a sistemas de ecuaciones no lineales. Se expresa en la forma:

( ) ( )XXJXX kkk Fk 11 + = donde:

Xk: vector de incgnitas en la iteracin k

J(X)-1: inversa de la matriz jacobiana.

F(X): vector de funciones.

La matriz jacobiana se define como:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

n

nnn

n

n

XXX

XXX

XXX

XJ

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

4-8


donde

( )xXf

j

i

es la derivada parcial de la funcin i respecto a la variable j. Esta derivada se calcula como las que ya conoces de una variable considerando que excepto la variable xj todas las dems son constantes.

Como ya se comento en el tema de sistemas de ecuaciones lineales, el mtodo de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales no es muy eficiente, por esta razn conviene expresar el mtodo de Newton como:

HXX kkk =+1

donde la Hk se obtiene de:

( ) ( )XHX kkk FJ =

el cual es un sistema lineal con incgnitas h1, h2,..., hn Se recomienda resolver el sistema por el mtodo ms eficiente, por lo cual recomendamos resolverlo por el mtodo de Montante con pivoteo parcial, por las razones ya comentadas en el tema pasado.

Si se considera una sola ecuacin se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )xfdxxdf

xf X

XJ1

'

1

11

1

1 ===

=

xHxf kfkk 111'

Hxxkkk11

11 =+

despejando H1 se tiene

=

xfx

H k

kfk

1

11 '

Pgina 4-9


sustituyendo y eliminado el subndice 1 se tiene

( )( )xfxxx

k

kkk

f'1

=+

que es el mtodo de Newton para una sola variable.

4.8.1. Ejemplo del mtodo de Newton

Repitamos el ejemplo otra vez. Las ecuaciones de Newton en este caso son

hxxhxxhxx

kkk

kkk

kkk

33

1

3

22

1

2

11

1

1

===

+

+

+

las hs se obtienen de la solucin de:

( ) ( )XHX kkk FJ =

para este caso

( ) ( ) 81601 221 += xxXf kk k ( ) ( ) 35102

212+= xxXf kkk

( ) 24013 32 ++= xxxXf kkkk

y la matriz jacobiana es:

4-10


( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

=

111021012

2

1

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

xx

xXf

xXf

xXf

xXf

xXf

xXf

xXf

xXf

xXf

X kk

kkk

kkk

kkk

kJ

el criterio de convergencia ser

9 ||X||

||X-X|| 1051kk1k =+

+ xcck

( ) 9105 xf X k

k > 100


( ) ( ) 816001 02201 += xxXf ( ) ( ) 351020

2

0

1

0

2+= xxXf

( ) 2400103 0302 ++= xxxXf

( )

=

111021012

0

2

0

10 x

xXJ

( ) ( )XHX FJ 000 =

Pgina 4-11


hxxhxxhxx

0

3

0

3

1

3

0

2

0

2

1

2

0

1

0

1

1

1

===

sustituyendo valores3

( ) ( ) -561081605050 201

=+=Xf ( ) ( ) 106035105050 20

2=+=Xf

( ) 9024050505003

=++=Xf

( ) ( ) ( )

=

=

1110100101100

1110502101502

0XJ

( ) ( )XHX FJ 000 = ( )

=

=

9010605610

1110100101100

0

3

0

2

0

10

hhh

XJ

o equivalentemente

9010605610

0

3

0

2

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

100100

==

=

+++

hhhhh

hh

resolviendo por el mtodo de montante con pivoteo parcial

3 Comenzaremos otra vez con los valores usados para la iteracin de punto fijo.

4-12


=

22.8517-11.1599-55.988-

0

3

0

2

0

1

hhh

( )( )( ) 72.85178517.2250

61.15991599.1150

105.988988.5550

1

3

1

2

1

1

====

==

xxx


cc1 = ||X -X ||

||X ||

1 0

1

= HXX 001

=

22.8517-11.1599-55.988-

=

22.8517-11.1599-55.988-

max1 nj

55.988

X 1 =

=

72.851761.1599105.988

=

72.851761.1599105.988

max1 nj

105.988

0.52825105.98855.988 ||X|| ||X-X||

1 101 ===

cc

Pgina 4-13


( ) =1Xf =

90-10605610-

=

90-10605610-

max1 nj

5610

Como el criterio de convergencia no se cumple realizamos otra iteracin.


( ) ( ) 816011 12211 += xxXf ( ) ( ) 351021

2

1

1

1

2+= xxXf

( ) 2401113 1312 ++= xxxXf

( )

=

111021012

1

2

1

11 x

xXJ

( ) ( )XHX FJ 111 =

hxxhxxhxx

1

3

1

3

2

3

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

2

1

===


( ) ( ) 43134.61604816061.1599988.105 211

=+=Xf

4-14


( ) ( ) 801-124.5453635101599.61988.105 212

=+=Xf ( ) -0.000424072.85171599.61988.1051

3=++=Xf

( ) ( ) ( )

=

=

1110122.3198101211.976

111061.15992101105.9882

1XJ

( ) ( )XHX FJ 111 = ( )

=

=

0.0004-01124.545368-43134.61604

1110122.3198101211.976

1

3

1

2

1

11

hhh

XJ

o equivalentemente

0004.054536801.124616044.3134

1

3

1

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

3198.122976.211

==

=

++

+hhh

hhhh

resolviendo por el mtodo de montante con pivoteo parcial

=

15.9216-1.139

14.7822

1

3

1

2

1

1

hhh

( )( )( ) 88.77339216.1572.8517

60.0209139.161.1599

91.20587822.14105.988

2

3

2

2

2

1

======

xxx


Pgina 4-15


||X|| ||X-X||

2 212

=cc

= HXX 112

=

15.9216-1.139

14.7822

=

15.9216-1.139

14.7822max1 nj

15.9216

=2X

=

88.773360.020991.2058

=

88.773360.020991.2058

max1 nj

91.2058

0.17456891.205815.9216 ||X|| ||X-X||

2 212 ===

cc

( ) =2Xf =

0.0004-01124.545368-43134.61604

=

0.0004-01124.545368-43134.61604

max1 nj

3134.7

4-16


Dado que no se cumple el criterio de convergencia continuamos. Los clculos se resumen en la tabla 2

Tabla 2 Clculos del Mtodo de Newton k x0 x1 x2 cc ccy 0 50 50 50 -1 -1 1 105.988 61.1599 72.8517 0.52825 3134.7 2 91.2058 60.0209 88.7733 0.174568 218.524 3 90.008 60.0001 89.992 0.0135393 1.43487 4 90 60 90 8.9338e-05 6.35272e-055 90 60 90 3.95438e-09 0

Podemos ver que la convergencia es ms rpida y de hecho salvo raros casos as es, es decir, generalmente Newton converge ms rpido que iteracin de punto fijo.

4.9. Primera aproximacin

La primera aproximacin es difcil de hallar ya que no es simple usar el teorema de cambio de signo, y puede ser que no se pueda trazar una grafica.

Lo ms recomendable es usar la teora referente al sistema de ecuaciones no lineales para proponer la primera aproximacin.

Si no hay alguna teora que aplicar entonces se puede tratar de usar la solucin del siguiente problema:

( )( )2min= XG f i

El mnimo de esta funcin es 0 y solo ocurre en las races del sistema original. Para hallar este mnimo se pueden usar tcnicas de optimizacin no lineal, pero esto va mas all del alcance de este curso.

Tambin se puede intentar simplificar el sistema usando series de Taylor o despreciando algunos trminos como los lineales respecto a las potencias ms altas para el caso de sistemas que tengan trminos polinomiales.

4.10. Resumen

Existen principalmente 2 formas de resolver un sistema lineal: Mtodos directos y mtodos iterativos.

Los directos se usan cuando hay solucin analtica. Los iterativos cuando no hay solucin analtica.

Los mtodos numricos son extensiones de los mtodos de una sola ecuacin.

Pgina 4-17


Solo se extienden los mtodos de newton, punto fijo y secante, por que no se puede extender fcilmente el teorema de cambio de signo a sistemas de ecuaciones, y por ende no se puede usar versiones de los mtodos de biseccin y regula falsi.

El mtodo de iteracin de punto fijo se usa cuando el sistema se tiene ya en forma iterativa por lo regular.

El mtodo de newton para sistemas de ecuaciones no lineales requiere calcular derivadas parciales y resolver un sistema de ecuaciones lineales en cada iteracin. Este sistema se recomienda resolverlo por el mtodo de Montante con pivoteo parcial.

La primera aproximacin por lo regular se obtendr de la teora pertinente al sistema de ecuaciones a resolver.

En ausencia de teora se suele transformar el problema en uno de optimizacin no lineal, del cual su solucin se usara como aproximacin para la solucin del sistema de ecuaciones no lineales.

4.11. Ejemplos prcticos

4.11.1. Hallar la mejor curva exponencial

Como veremos mas adelante en el tema de ajuste de curvas, una de las ecuaciones mas usadas para representar fenmenos de la naturaleza es la curva exponencial.

AeBxpy =

Dada una tabla de NP puntos de datos experimentales o de una funcin matemtica complicada se pueden obtener las constantes A y B de esta ecuacin resolviendo el siguiente sistema no lineal.

Ae y eBx iBxi i2 =

Ae x y e xBx i iBx

ii i2 =

todas las sumatorias son desde 1 hasta NP. Para una PRIMERA APROXIMACIN la teora dice que las constantes pueden obtenerse resolviendo el sistema lineal

=

yxy

aa

xxxNP

lnln

1

02

donde

A ea= 0

4-18


B a= 1

esto lo veremos mas detalladamente en el tema 6 de Ajuste de curvas.

Si se tiene la siguiente tabla

Tabla 3

x y

0.05 0.956

0.11 0.890

0.15 0.832

0.31 0.717

0.46 0.571

0.52 0.539

0.70 0.378

0.74 0.370

0.82 0.306

0.98 0.242

1.17 0.104

La ecuacin exponencial que la representa

AeBxpy =

se puede obtener resolviendo el sistema no lineal

( )++++++++++ 34.296.164.148.140.104.192.062.030.022.01.0 BBBBBBBBBBB eeeeeeeeeeeA0

104.0242.0306.0370.0378.0539.0571.0717.0832.0890.0956.0

17.198.082.074.070.052.0

46.031.015.011.005.0

=

++++++++++

BBBBBB

BBBBB

eeeeeeeeeee

++++++++++

17.198.082.074.070.052.0

46.031.015.011.005.034.296.164.148.140.104.1

92.062.030.022.01.0

BBBBBB

BBBBB

eeeeeeeeeee

A

23716.025092.027380.02646.028028.026266.02227.01248.00979.00478.0

98.082.074.070.052.0

46.031.015.011.005.0

++++++++++

BBBBB

BBBBB

eeeeeeeeee

0 12168.0 17.1

=

Be

la primera aproximacin se puede calcular del sistema lineal

Pgina 4-19


11 6 010 1a a+ =. -8.69000470253179 6 01 4 65450 1. .a a+ = -7.15128319177075

con

A ea= 0 B a= 1

resolviendo por el mtodo de newton con los siguientes criterios de convergencia

9 ||X||

||X-X|| 1051kk1k =+

+ xcck

( ) 9105 xf X k

k > 100

se tiene la siguiente tabla

Tabla 4 k A B cc ccy 0 1.18 -1.75 -1 -1 1 1.0404 -1.4025 0.247775 0.0141769 2 1.05514 -1.45424 0.0355824 0.000720143 3 1.05557 -1.45642 0.00149539 1.84958e-06 4 1.05557 -1.45642 3.0453e-06 8.97001e-12 5 1.05557 -1.45642 1.34684e-11 5.08106e-16

Por lo cual la ecuacin buscada es

xey 45642.105557.1 =

como se vera en el tema de ajuste de curvas se sugiere otra forma mas fcil de hallar las constantes A y B.

4.11.2. Hallar las poblaciones de equilibrio

4-20


En un ecosistema es muy comn que la poblacin de una especie dependa de otra. Esto ocurre si una especie es un depredador y la otra su presa. O tambin si ambas especies se alimentan de la misma fuente.

Supongamos que para cierto ecosistema tenemos 2 especies compiten por la misma fuente de alimento. Supongamos tambin que las ecuaciones que representan las poblaciones de las especies son:

( ) ( ) ( ) ( )( )tttdt

tpppdp 2111 0005.00004.05 =

( ) ( ) ( ) ( )( )tttdt

tpppdp 2122 0002.00003.03 =

Si deseamos hallar las poblaciones de equilibrio de ambas especies entonces las ecuaciones anteriores deben de cumplir que:

( )01 =

dt

tdp

( )02 =

dt

tdp

Esto se puede cumplir si se considera que se extingue una especie y la otra se queda con la fuente de alimento. Si se extingue la primera especie se tendr de la segunda ecuacin una poblacin de 15000 para la segunda especie. Si se extingue la segunda especie de la primera ecuacin se tendr una poblacin de 12500 para la primera especie.

Deseamos saber si se puede lograr el equilibrio sin que se extinga alguna especie. Esto nos lleva al siguiente sistema:

( ) ( ) ( )( ) 00005.00004.05211

= ttt ppp ( ) ( ) ( )( ) 00002.00003.03

212= ttt ppp

las incgnitas sern las poblaciones p1(t) y p2(t).

Resolvamos por el mtodo de Newton. Hagamos cambios de variables:

( )tpx 11 = ( )tpx =2 2

las funciones son:

Pgina 4-21


( ) ( ) 00005.00004.051 211 == xxxxf ( ) ( ) 00002.00003.03

2122== xxxf x

la matriz jacobiana es:

( )( ) ( )( ) ( )

=

=

xxx

xxx212

121

2

2

1

2

2

1

1

1

.0004-.0003-30.0003-0.0005-.0005-.0008-5

xf

xf

xf

xf

XX

XX

XJ

Para la primera aproximacin supondremos que las poblaciones de equilibrio sern la mitad de la poblacin de cada especie suponiendo que se extinga la otra. Por esto para la primera especie supondremos una poblacin de 7000 y para la segunda de 6000.

Los criterios de convergencia sern:

9 ||X||

||X-X|| 1051kk1k =++ xcck

( ) 9105 xf X k

k > 100

los clculos se resumen en la siguiente tabla:

Tabla 5

k x0 x1 cc ccy 0 7000 6000 -1 -1 1 9333.33 2000 0.428571 2488.89 2 4666.67 6000 0.777778 2400 3 6480.25 4919.43 0.279863 354.386 4 7093.68 4315.25 0.0864747 38.1786 5 7142.34 4286.2 0.00681285 0.25529 6 7142.86 4285.71 7.30136e-05 2.8855e-05 7 7142.86 4285.71 5.75011e-09 2.3837e-13 8 7142.86 4285.71 5.54461e-17 2.3837e-13

4-22


Por lo cual para la primera especie en el equilibrio se tiene 71424 individuos y para la segunda 42855

Es importante tener una buena primera aproximacin. Para ver esto supongamos que invertimos los valores de la primera aproximacin. En este caso se tiene:

Tabla 6 k x0 x1 cc ccy 0 6000 7000 -1 -1 1 10352.9 411.765 0.636364 6759.86 2 17679.3 -3219.33 0.414404 8168.92 3 14249.4 -1220.21 0.240708 1277.37 4 12858 -268.896 0.108211 216.09 5 12521.7 -16.8953 0.0268583 12.7243 6 12500.1 -0.0698994 0.00172824 0.0524254 7 12500 -1.16762e-06 7.06882e-06 8.75716e-07 8 12500 -3.21373e-16 1.1732e-10 2.99039e-12

En este caso se obtiene la solucin en la que se extingue la segunda especie.

4 Lo mas correcto es redondear hacia arriba es decir 7143, al menos que se

considere un individuo chaparrito de 0.86. 5 Lo mas correcto es redondear hacia arriba es decir 4285, al menos que se

considere un individuo chaparrito de 0.71

Pgina 4-23


4.12. ndice

4. Solucin de Sistemas de Ecuaciones No Lineales ................................................ 4-1 4.1. Introduccin ................................................................................................................... 4-1 4.2. Conceptos Bsicos.......................................................................................................... 4-1 4.3. Mtodos de Solucin ...................................................................................................... 4-2 4.4. Mtodo grfico ............................................................................................................... 4-2 4.5. Mtodos directos ............................................................................................................ 4-2 4.6. Mtodos iterativos.......................................................................................................... 4-2 4.7. Mtodo de Iteracin de Punto Fijo............................................................................... 4-3

4.7.1. Ejemplo del mtodo de Iteracin de Punto Fijo .................................................................... 4-4 4.8. Mtodo de Newton ......................................................................................................... 4-8

4.8.1. Ejemplo del mtodo de Newton .......................................................................................... 4-10 4.9. Primera aproximacin................................................................................................. 4-17 4.10. Resumen.................................................................................................................... 4-17 4.11. Ejemplos prcticos ................................................................................................... 4-18

4.11.1. Hallar la mejor curva exponencial....................................................................................... 4-18 4.11.2. Hallar las poblaciones de equilibrio .................................................................................... 4-20

4.12. ndice ......................................................................................................................... 4-24

4-24

Solucin de Sistemas de Ecuaciones No LinealesIntroduccinConceptos BsicosMtodos de SolucinMtodo grficoMtodos directosMtodos iterativosMtodo de Iteracin de Punto FijoEjemplo del mtodo de Iteracin de Punto Fijo

Mtodo de NewtonEjemplo del mtodo de Newton

Primera aproximacinResumenEjemplos prcticosHallar la mejor curva exponencialHallar las poblaciones de equilibrio

ndice

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