5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 1/75PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.

PDF generated at: Thu, 03 Nov 2011 17:58:33 UTC

Conjunto Numérico

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 2/75

Contenidos

Artículos

conjunto 1

Conjunto 1

números naturales 9

Número compuesto 9

Número natural 11

Número primo 17

números enteros 37

Número entero 37

número racional 43

Fracción 43

Número irracional 51

número irracional 54

Número trascendente 54

Número algebraico 57

números reales 60

Número real 60

número imaginario 68

Número imaginario 68

Referencias

Fuentes y contribuyentes del artículo 71

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 72

Licencias de artículos

Licencia 73

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 3/75

1

conjunto

Conjunto

Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los

elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección de

estos últimos — los polígonos regulares en la imagen — es otro conjunto, en

particular, un subconjunto del primero.

En matemáticas, un conjunto es una

colección de objetos considerada como un

objeto en sí. Los objetos de la colección

pueden ser cualquier cosa: personas,

números, colores, letras, figuras, etc. Cada

uno de los objetos en la colección es un

elemento o miembro del conjunto.[1] Por

ejemplo, el conjunto de los colores del

arcoíris es:

 AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde,

Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una

propiedad que todos sus elementos

comparten. Por ejemplo, para los números

naturales, si consideramos la propiedad de

ser un número primo, el conjunto de los

número primos es:

 P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se

representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no

puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

 AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil,

Violeta, Naranja}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los

planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse

mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.

Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más

elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro

lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos

matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de

axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 4/75

Conjunto 2

Definición

Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de conjunto:[2]

[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda

colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.

Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas.

La propiedad más básica de los conjuntos es el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus

elementos.

Dos conjuntos A y B que tengan los mismos elemento son el mismo conjunto, A = B.

 A y B tienen los mismos elementos si cada elemento de A es elemento de B y cada elemento de B pertenece a A.

Descripción de un conjunto

Conjunto de personas. El conjunto de "personas" mostrado en la imagen, A, tiene

8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un

diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.

Existen dos maneras de describir o

especificar los elementos de un conjunto:

Una de ellas es mediante una definición

intensiva, usando una regla o definición

semántica:

 A es el conjunto cuyos miembros son

los cuatro primeros números

naturales.

 B es el conjunto de colores de la

bandera de México.

La segunda manera es por extensión, esto

es, listando cada miembro del conjunto. En

una definición extensiva se escriben los

elementos del conjuntos entre llaves:

C = {4, 2, 3, 1}

 D = {blanco, rojo, verde}

Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas

definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo:

"El conjunto de las vocales en español" = {e, u, a, i, o}En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D

Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es

irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:

C ′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}

 D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}

Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de  D es un

elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto. Del mismo modo, y a diferencia de

un multiconjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer "más de una vez". Esto

significa que, por ejemplo:{4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 5/75

Conjunto 3

ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que

consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:

{4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}

Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al

conjunto:

{Vocales del español} = {o, u, i, e, a}

{Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

Otra notación habitual en matemáticas es:

 F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,

donde en esta expresión los dos puntos (":") significan "tal que". Así, el conjunto anterior es el conjunto de "los

números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)", o sea, el conjunto de los diez

primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza

también la barra vertical ("|").

Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la

imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.

Pertenencia

La relación clave en un conjunto es la

pertenencia: cuándo es un elemento

miembro de un conjunto. Si a es un

miembro de  B, se denota por a ∈  B, y si no

lo es, se denota por a  ∉  B. Por ejemplo,

respecto a los conjuntos  A,  B y  F  de la

sección anterior, podemos decir:

4 ∈ A , 36 ∈ F , verde ∈ B , pero

7 ∉ A , 8 ∉ F , azul ∉ B

Y se dice entonces que —por ejemplo —, 4

 pertenece al conjunto  A, es un miembro de

 A, está en A, etc.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 6/75

Conjunto 4

Subconjuntos

Subconjunto.  B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto  A de un conjunto  B, es un

conjunto que contiene algunos de los

elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Si A es un subconjunto de B, se escribe como A ⊆ B y se dice que " A está contenido en B". También puede escribirse

 B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también " B contiene a A" o " B incluye a A.

Si  A no sólo contiene algunos sino todos los elementos  B,  A no sólo es un subconjunto de  B, sino que ambos

conjuntos son iguales, A = B. El otro caso posible es que  A contenga algunos pero no todos los elementos de B: A es

un subconjunto de B pero no son iguales. Se dice entonces que A es un subconjunto propio de B y se denota A   B,es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B   A).

(También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o

subconjunto propio, A   B y B   A).

Ejemplos.

El "conjunto de todos los hombres" es un subconjunto propio del "conjunto de todas las personas".

{1, 3} {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

CardinalidadLos conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito podemos contar los elementos del

conjunto:

El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.

El cardinal se denota por | A|, card( A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que | A| = 4 (cuatro números), | B|

= 3 (tres colores) y | F | = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.

En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N =

{1, 2, 3, ...}. Sin embargo, los conjuntos infinitos pueden compararse, y resulta que existen conjuntos infinitos "más

grandes" que otros. El "número de elementos" de un conjunto infinito es un número transfinito.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 7/75

Conjunto 5

Operaciones con conjuntos

Existen varias operaciones que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos

conjuntos.

Unión de conjuntos. Unión de A y B.

Unión

Dos conjuntos pueden "sumarse". Dados  A y  B, la

unión de A con B es el conjunto que contiene todos los

elementos de ambos:

La unión de A y B, que se denota por A ∪ B, contiene a todos los miembros que están sólo en A, a todos los miembros que están sólo en  B, y

todos los que están en ambos

Ejemplos.

{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}

{5, z, ♠} ∪ {♠, a} = { z, ♠, a, 5}

{3, #} ∪ {3, #} = {3, #}

Intersección de conjuntos. Intersección de A y B.

Intersección

Dados dos conjuntos, estos pueden tener algunos

elementos en común. La intersección de dos conjuntos

es otro conjunto que contiene todos estos elementos

comunes:

La intersección de A y B, que se denota A ∩ B, contiene a todos los miembros de A que lo son también de B, y sólo estos.

Si dos conjuntos no tienen miembros en común, entonces su intersección es el conjunto vacío, y se dicen disjuntos.

Ejemplos.

{1, a, 0} ∩ {2, b} = ∅{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 8/75

Conjunto 6

{3, #} ∩ {3, #} = {3, #}

Diferencia de conjuntos. Diferencia de A menos B y B menos A.

Diferencia de conjuntos

Los conjuntos también pueden "restarse". La diferencia de A menos B contiene los elementos de A que no lo son de

 B:

La diferencia de A menos B, que se denota por A \  B (ó también A - B), contiene todos los elementos de A que no lo sean de B, y sólo estos.

Ejemplos.

{1, a, 0} \ {2, b} = {1, a, 0}{5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}

{3, #} \ {3, #} = ∅

Complemento de un conjunto

Dado el conjunto A dentro de un universo U, se llama complemento del conjunto A a todos los elementos que

pertenezcan al universo y no pertenezcan a A, o bien, que estan fuera de A y dentro del universo. Es decir

"A'={x:x∈U ; x∉ A}".

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 9/75

Conjunto 7

Diferencia simétrica de conjuntos. Diferencia simétrica de A y B.

Diferencia simétrica de conjuntos

Dados los conjuntos A y B la diferencia simétrica es el

conjunto de elementos de A y B, exceptuando los

elementos pertenecientes a la interseccion de A y B. Es

decir: "AΔB={x:x∈A ; x∈B ; x∉ A∩B}"

Producto cartesiano

Con dos objetos a y b puede formase un par ordenado

(a, b). El producto cartesiano de dos conjuntos

contiene todos los pares ordenados que pueden

formarse con los elementos de ambos:

El producto cartesiano de A por B, que se denota A × B, contiene todos los pares ordenados (a, b) donde a es un elemento de A (y b de B), ysólo estos pares ordenados.

Ejemplos.

{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

{5, z, ♠} × {♠, a} = {(5, ♠), (5, a), ( z, ♠), ( z, a), (♠, ♠), (♠, a)}

{3, #} × {3, #} = {(3, 3), (3, #), (#, 3), (#, #)}

Relaciones entre conjuntos

Una categoría matemática consta de dos partes: los objetos y los morfismos. Cuando hablamos de la categoría de

conjuntos, los objetos son los mismos conjuntos y un morfismo entre dos objetos, digamos e , en un tipo

de relación entre e dirigida i.e. un subconjunto del producto cartesiano de con , en símbolos:

y ésta es una aplicación entre los conjuntos. ejemplo: L={lunes martes miercoles jueves y viernes}

Empleo

• En la Topología

• En Probabibilidades, en muestreo.

• En la fundamentación de sistemas numéricos, al construir los números naturales como clases de equivalencia, yen esta perspectiva los enteros, los racionales y los reales como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy.

• En el álgebra moderna: orden parcial e intersección.

• En Análisis matemático para definir los dominios y contradominios de las funciones.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 10/75

Conjunto 8

Véase también

• Axiomas de Zermelo-Fraenkel

• Relación matemática

• Correspondencia matemática

• Conjunto de Borel

• Diagrama de Venn• Estructura algebraica

• Función matemática

• Georg Cantor

• Morfismo

• Teoría de conjuntos

Referencias

[1] Para esta introducción, véase Weisstein, y Courant, Robbins y Stewart, 1996, p. 108.

[2] Véase Cantor, 2006, p. 137.

• Cantor, Georg (2006) [1872-1899]. Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y

correspondencia selecta.. Edición de José Ferreirós. Crítica. ISBN 84-8432-695-0.

• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An Elementary

 Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplemento del capítulo II.

• Enderton, Herbert B. (1977). Elements of set theory. Academic Press.

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.  uv. es/ivorra/Libros/Logica.  pdf), consultado el

18-04-2011.

• Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): « Set Theory (http://plato. stanford. edu/archives/spr2009/entries/ 

set-theory/)» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el

22-04-2011.• Pla i Carrera, Josep (2003). La verdad matemàtica. publicacions Reial Acadèmia de Doctors.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ConjuntosCommons.• Weisstein, Eric W., « Set (http://mathworld. wolfram. com/Set.  html)» (en inglés), MathWorld , consultado el

22-04-2011

•  Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Set de la Wikipedia en inglés, bajo licencia

Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 y GFDL.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 11/75

9

números naturales

Número compuestoTodo número natural no primo, a excepción del 1, se denomina compuesto, es decir, tiene uno o más divisores

distintos a 1 y a sí mismo. También se utiliza el término divisible para referirse estos números.

Los 20 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 y 32.

Una característica de los números compuestos es que pueden escribirse como producto de dos enteros positivos

menores que el. Así, el número 20 es compuesto porque puede expresarse como 4 x 5; y también el 87 ya que se

expresa como 3 x 29. Sin embargo, no es posible hacer lo mismo con el 17 ó el 23 porque son números primos. Cada

número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos específicos, cuyo proceso

se conoce como factorización.

El número compuesto más pequeño es el 4 y no hay ninguno que sea mayor que todos los demás; hay infinitos

números compuestos.

La forma más sencilla de demostrar que un número n es compuesto, es encontrar un divisor d comprendido entre 1 y

n (1 < d < n). Por ejemplo, 219 es compuesto porque tiene a 3 por divisor. Y también 371 porque tiene a 7 por

divisor. Sin embargo, este método deja de ser efectivo para números que son producto de primos grandes. Una buena

alternativa es utilizar entonces el pequeño teorema de Fermat, o mejor la generalización de este teorema debida al

matemático suizo Leonhard Euler.

Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse si existirán

secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 es un

ejemplo de longitud 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un ejemplo de longitud13. La respuesta es que podemos conseguir una secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si

deseamos una secuencia de longitud 20, basta tomar los números 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, ya que el primero

es divisible por 2, el segundo por 3, etcétera.

Un teorema de Fermat afirma que si p es primo de la forma 4n+1, entonces puede expresarse de forma única como

suma de dos cuadrados. Si un número de la forma 4n+1 puede expresarse como suma de dos cuadrados de dos

formas diferentes al menos, entonces el número es compuesto. Euler halló un método de factorización a partir de este

hecho. Por ejemplo, si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entonces, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11, 10+5) =

mcd(25,15) = 5, y después 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y por último 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entonces mcd(221, 34) = 17 nos

da el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y no se consideran ni primos ni compuestos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 12/75

Número compuesto 10

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 13/75

Número natural 11

Número natural

Los números naturales pueden usarse para contar

(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).

Un número natural es cualquiera de los números que se usan para

contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque

fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Convenios de notación

Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el

cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de

los mismos. Dependiendo del autor y la tradición, el conjunto de los

números naturales puede presentarse entonces de dos maneras

distintas:

• Definición sin el cero:

• Definición con el cero:

donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".

Ambas presentaciones son utilizadas en distintas áreas de las matemáticas. Históricamente, el uso del cero como

numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la invasión musulmana de la Península Ibérica,[1] pero no se

consideraba un número natural.[cita requerida]

Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones

conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,[2] y otras, como la teoría de la

computación.[3] En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.[3] Sin embargo, en la actualidad ambos

convenios conviven.[4]

Para distinguir ambas definiciones a veces se introducén símbolos distintos. Por ejemplo, incluyendo el cero en los

naturales, a los números naturales sin el cero, o enteros positivos se les denota como

,.[5]

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para

contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.

Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una

vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor

del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en

formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de

escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 14/75

Número natural 12

en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,

mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard

Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto

de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,

resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando laexistencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege

perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la

existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del

axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de

números naturales como ordinales según von Neumann.

Construcciones axiomáticas

Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las

que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.

Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de

conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor .

Los cinco axiomas de Peano son:

1. El 1 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número naturalcualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los

números naturales. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.

Definición en teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La

idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se

quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga

precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por

Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple

1. Para cada ,

2. La relación es un orden total estricto en3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.

Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene

elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor .

Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada

número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes

expresiones:

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 15/75

Número natural 13

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por

ejemplo:

• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)

• 1 es el sucesor de 0, entonces

• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces• y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por

naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión

es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus

antecesores. Así si y sólo si .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo

axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de

demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que

si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto

inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado

 Monoide Libre con un generador . Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en

un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones

Esto convierte (esto es, con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación

binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación

biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación

verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente

los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las

operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los

conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y

unitario.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 16/75

Número natural 14

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturales

de lectura simbólica de agrupación o construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del número de raíces

u origen de un determinado objeto geométrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con un

determinado conjunto numérico.

Los conjuntos numéricos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichosconjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos. Si el resultado de la

operación siempre da elementos del conjunto numérico, se dice que el espacio es cerrado para dicha operación

(cumple con la propiedad de cierre o clausura), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces

no, se dice que el espacio es abierto para dicha operación (no es cerrado, no cumple con la propiedad de cierre o de

clausura).

De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma

(operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abierta

deconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada,

constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doble

naturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciación

cuyo resultado es potencia (operación cerrada en los naturales, constructora de objetos geométricos "perfectos"),

radicación cuyo resultado es raíz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y la

logaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raíces de un objeto potencialmente perfecto, o

de posibles propiedades dimensionales de los objetos geométricos).

Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras,

deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. A partir de esta concepción se puede

decir que:

La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de la

multiplicaciones, es decir,

si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción o

resta deconstruye el segmento de recta.

No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número al

que se le resta el otro, es mayor.

Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado,

-15, no está dentro del conjunto de los números naturales.

La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:

• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a, pues la construcción de dicho segmento conserva su

longitud sin importar que cantidad coloque primero, y a×b = b×a siempre construirá la misma área rectangular,sin importar el orden en el cual se coloquen los factores(propiedad conmutativa).

• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera

específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.

Al construir la multiplicación de números naturales áreas rectangulares, se puede observar claramente que la adición

o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades

iguales y gracias esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, ya que:

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 17/75

Número natural 15

Propiedades de los números naturales

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo

si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones

aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:

Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado

1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b

En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos

encontrar otros dos números naturales q y r , denominados cociente y resto respectivamente, tales que

y .

Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.

Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,

son estudiadas por la teoría de números.

Uso de los números naturales

Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento

en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de

un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo

de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a  N así como los cardinales finitos.

Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 18/75

Número natural 16

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias

[1] Nils-Bertil Wallin. « The history of zero (http://yaleglobal. yale. edu/about/zero.  jsp)». Consultado el 07-07-2011.

[2] Véanse textos como Jech (2006). ISBN 978-3-540-44085-7, Devlin (1993). ISBN 0-387-94094-4 o Kunen (1992). ISBN 0-444-86839-9.

[3] Véase Welschenbach, 2005, p. 4.

[4] Véase Weisstein, Eric W.. « Natural Numbers (http://mathworld. wolfram. com/NaturalNumber. html)» (en inglés). MathWorld . Consultado

el 14-08-2011.

[5] Cominos (2006). ISBN 9781852339029., p. 27.

Bibliografía

• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.

ISBN 970-32-1392-8.

• Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN

978-84-8236-049-2.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 19/75

Número natural 17

• Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés .

Número primo

Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.

Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos

y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,

61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad. A veces se habla de número primo impar para referirse a

cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de

todos los números primos por .

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas que

comprende el estudio de los números enteros. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias

tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach. La distribución de los números primos es un tema

recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar

distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

Historia de los números primos

Matemáticas anteriores a la Antigua Grecia

Las muescas presentes en el hueso de Ishango, que data de hace más de 20.000 años (anterior por tanto a la aparición

de la escritura) y que fue hallado por el arqueólogo Jean de Heinzelin de Braucourt[2] parece aislar cuatro números

primos: 11, 13, 17 y 19. Algunos arqueólogos interpretan este hecho como la prueba del conocimiento de losnúmeros primos. Con todo, existen muy pocos hallazgos que permitan discernir los conocimientos que tenía

realmente el hombre de aquella época.[3]

Numerosas tablillas de arcilla seca atribuidas a las civilizaciones que se fueron sucediendo en Mesopotamia a lo

largo del II milenio a.C. muestran la resolución de problemas aritméticos y atestiguan los conocimientos de la época.

Los cálculos requerían conocer los inversos de los naturales, que también se han hallado en tablillas.[4] En el sistema

sexagesimal que empleaban los babilonios para escribir los números, los inversos de los divisores de potencias de 60

(números regulares) se calculan fácilmente, por ejemplo, dividir entre 24 equivale a multiplicar por 150 (2·60+30) y

correr la coma sexagesimal dos lugares. El conocimiento matemático de los babilonios necesitaba una sólida

comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.

En las matemáticas egipcias, el cálculo de fracciones requería conocimientos sobre las operaciones, la división de

naturales y la factorización. Los egipcios sólo operaban con las llamadas fracciones egipcias, suma de fracciones

unitarias, es decir, aquellas cuyo numerador es 1, como , por lo que las fracciones de numerador

distinto de 1 se escribían como suma de inversos de naturales, a ser posible sin repetición en lugar de

.[5] Es por ello que, en cierta manera, tenían que conocer o intuir los números primos.[6]

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 20/75

Número primo 18

Antigua Grecia

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los números primos se remonta a alrededor del año 300 a. C. y

se encuentra en los Elementos de Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los números primos, demuestra que hay

infinitos de ellos, define el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo y proporciona un método para

determinarlos que hoy en día se conoce como el algoritmo de Euclides. Los  Elementos contienen asimismo el

teorema fundamental de la aritmética y la manera de construir un número perfecto a partir de un número primo deMersenne.

La criba de Eratóstenes, atribuida a Eratóstenes de Cirene, es un método sencillo que permite encontrar números

primos. Hoy en día, empero, los mayores números primos que se encuentran con la ayuda de ordenadores emplean

otros algoritmos más rápidos y complejos.

Matemáticas modernas

Pierre de Fermat.

Después de las matemáticas griegas, hubo pocos avances en

el estudio de los números primos hasta el siglo XVII. En

1640 Pierre de Fermat estableció (aunque sin demostración)el pequeño teorema de Fermat, posteriormente demostrado

por Leibniz y Euler. Es posible que mucho antes se

conociera un caso especial de dicho teorema en China.

Fermat conjeturó que todos los números de la forma 22n+1

eran primos (debido a lo cual se los conoce como números

de Fermat) y verificó esta propiedad hasta n = 4 (es decir,

216 + 1). Sin embargo, el siguiente número de Fermat

232 + 1 es compuesto (uno de sus factores primos es 641),

como demostró Euler. De hecho, hasta nuestros días no se

conoce ningún número de Fermat que sea primo aparte delos que ya conocía el propio Fermat.

El monje francés Marin Mersenne investigó los números

primos de la forma 2 p − 1, con p primo. En su honor, se los

conoce como números de Mersenne.

En el trabajo de Euler en teoría de números se encuentran muchos resultados que conciernen los números primos.

Demostró la divergencia de la serie , y en 1747 demostró que todos los números perfectos

pares son de la forma 2 p-1(2 p - 1), donde el segundo factor es un número primo de Mersenne. Se cree que no existen

números perfectos impares, pero todavía es una cuestión abierta.

A comienzos del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinito,

el número de primos menores o iguales que n es asintótico a , donde ln(n) es el logaritmo natural de n. Las

ideas que Bernhard Riemann plasmó en un trabajo de 1859 sobre la función zeta, describieron el camino que

conduciría a la demostración del teorema de los números primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada uno por

separado, dieron forma a este esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.

Actualmente no se comprueba la primalidad de un número por divisiones sucesivas, al menos no si el número es

relativamente grande.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 21/75

Número primo 19

Durante el siglo XIX se desarrollaron algoritmos para saber si un número es primo o no factorizando completamente

el número siguiente (p+1) o el anterior (p-1). Dentro del primer caso se encuentra el test de Lucas-Lehmer,

desarrollado a partir de 1856. Dentro del segundo caso se encuentra el test de Pépin para los números de Fermat

(1877). El caso general de test de primalidad cuando el número inmediatamente anterior se encuentra completamente

factorizado se denomina test de Lucas.

Posteriormente se encontraron algoritmos de primalidad con sólo obtener una factorización parcial de p+1 o p-1.Ejemplos de de estos algoritmos son el test de Proth (desarrollado alrededor de 1878) y el test de Pocklington (1914).

En estos algoritmos se requiere que el producto de los factores primos conocidos de p-1 sea mayor que la raíz

cuadrada de  p. Más recientemente, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desarrollaron el test BLS de primalidad

que sólo requiere que dicho producto sea mayor que la raíz cúbica de p. El mejor método conocido de esta clase es el

test de Konyagin y Pomerance del año 1997 que requiere que dicho producto sea mayor que p3/10.[7] [8]

A partir de la década de 1970 varios investigadores descubrieron algoritmos para determinar si cualquier número es

primo o no con complejidad subexponencial, lo que permite realizar tests en números de miles de dígitos, aunque

son mucho más lentos que los métodos anteriores. Ejemplos de estos algoritmos son el test APRT-CL (desarrollado

en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con mejoras introducidas por Cohen y Lenstra en 1984), donde se usan

los factores de pm-1, donde el exponente m depende del tamaño del número cuya primalidad se desea verificar, eltest de primalidad por curvas elípticas (desarrollado en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y mejorado por A. O. L.

Atkin), que entrega un certificado consistente en una serie de números que permite después confirmar rápidamente si

el número es primo o no. El desarrollo más reciente es el test de primalidad AKS (2002) que si bien su complejidad

es polinómica, para los números que puede manejar la tecnología actual es el más lento de los tres.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada fuera de la matemática

pura.[9] [10] Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números

primos formaban la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo RSA.

Desde 1951, el mayor número primo conocido siempre ha sido descubierto con la ayuda de ordenadores. La

búsqueda de números primos cada vez mayores ha suscitado interés incluso fuera de la comunidad matemática. Enlos últimos años han ganado popularidad proyectos de computación distribuida tales como el GIMPS, mientras los

matemáticos siguen investigando las propiedades de los números primos.

Primalidad del número 1

La cuestión acerca de si el número 1 debe o no considerarse primo está basada en la convención. Ambas posturas

tienen sus ventajas y sus inconvenientes. De hecho, hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo

consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número

primo, como, por ejemplo, el de Stern y Zeisel. La lista de Derrick Norman Lehmer de números primos hasta el

10.006.721, reimpresa hasta el año 1956[11] empezaba con el 1 como primer número primo.[12]

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar a 1 en la lista de los números primos. Esta

convención, por ejemplo, permite una formulación muy económica del teorema fundamental de la aritmética: «todo

número natural tiene una representación única como producto de factores primos, salvo el orden».[13] [14] Además,

los números primos tienen numerosas propiedades de las que carece el 1, tales como la relación del número con el

valor correspondiente de la función φ de Euler o la función suma de divisores.[15]

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 22/75

Número primo 20

Propiedades de los números primos

Teorema fundamental de la aritmética

Esta ilustración muestra que el 11 es un número

primo, pero el 12 no lo es.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número

natural tiene una representación única como producto de factores

primos, salvo el orden. Un mismo factor primo puede aparecer variasveces. El 1 se representa entonces como un producto vacío.

Se puede considerar que los números primos son los «ladrillos» con los

que se construye cualquier número natural. Por ejemplo, se puede

escribir el número 23.244 como producto de 22·3·13·149, y cualquier

otra factorización del 23.244 como producto de números primos será

idéntica excepto por el orden de los factores.

La importancia de este teorema es una de las razones para excluir el 1

del conjunto de los números primos. Si se admitiera el 1 como número

primo, el enunciado del teorema requeriría aclaraciones adicionales.

A partir de esta unicidad en la factorización en factores primos se desarrollan otros conceptos muy utilizados en

matemáticas, tales como el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la coprimalidad de dos o más

números. Así,

• El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de todos ellos. Para

calcularlo, se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes y no comunes con su

máximo exponente. Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 10=2·5 y 12=22·3 es 60=22·3·5.

• El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de todos ellos. Es igual al

producto de los factores comunes con su mínimo exponente. En el ejemplo anterior, el máximo común divisor de

10 y 12 es 2.• Finalmente, dos o más números son coprimos, o primos entre sí, si no tienen ningún factor primo común; es decir,

si su máximo común divisor es 1. Un número primo es, así, coprimo con cualquier número natural que no sea

múltiplo de él mismo.

Otras propiedades

• En su representación decimal, todos los números primos salvo el 2 y el 5 acaban en 1, 3, 7 ó 9. En general, en

cualquier sistema de numeración, todos los números primos salvo un número finito acaban en una cifra que es

coprima con la base.

• De lo anterior se deduce que todos los números primos salvo el 2 son de la forma 4n + 1 o bien 4n - 1.

Igualmente, todos los números primos salvo el 2 y el 3 son de la forma 6n + 1 o 6n - 1.• Lema de Euclides: Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p es divisor

de a o de b.

• Pequeño teorema de Fermat: Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces a p - a es divisible

por p.

• Si p es primo distinto de 2 y 5, siempre es un número periódico en su representación decimal, de periodo p − 1

o un divisor de p − 1. Esto se puede deducir directamente a partir del pequeño teorema de Fermat. expresado en

base q (en lugar de en base 10) tiene propiedades similares, siempre que p no sea un factor primo de q.• Teorema de Wilson: Un número natural n > 1 es primo si y solo si el factorial (n - 1)! + 1 es divisible por n.

Asimismo, un número natural n > 4 es compuesto si y sólo si (n - 1)! es divisible por n.

• La característica de todo cuerpo es, o bien cero, o bien un número primo.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 23/75

Número primo 21

• Primer teorema de Sylow: Si G es un grupo finito, p primo y pn es la mayor potencia de p que divide el orden de

G. Entonces, existe un subgrupo de G de orden pn.

• Teorema de Cauchy: Si G es un grupo finito y p es un número primo que divide al orden de G, entonces G

contiene un elemento de orden p.

• La constante de Copeland-Erdős 0,235711131719232931374143…, obtenida por concatenación de los números

primos en el sistema decimal, es un número irracional.

• El valor de la función zeta de Riemann en cada punto del plano complejo se da como una continuación

meromorfa de una función definida por un producto sobre el conjunto de todos los primos para Re(s) > 1:

En la región donde es convergente, este producto indexado por los números primos se puede calcular,

obteniéndose diversos valores, algunos de ellos importantes en teoría de números. Los dos primeros son:

(Correspondiente a la serie armónica, relacionado con la infinitud de números

primos).(Correspondiente al problema de Basilea).

En general es un número racional cuando n es un número entero positivo par.

• El anillo es un cuerpo si y solo si p es primo. Equivalentemente: p es primo si y solo si φ( p) = p − 1.

• Si p > 1, el polinomio x  p-1+ x  p-2+ ··· + 1 es irreducible sobre si y sólo si p es primo.• Un número natural n es primo si y sólo si el n-ésimo polinomio de Chebyshov de la primera especie T

n( x),

dividido entre x, es irreducible en . Además, Tn( x) ≡ xn si y sólo si n es primo.

Números primos y funciones aritméticas

Las funciones aritméticas, es decir, funciones reales o complejas, definidas sobre un conjunto de números naturales,

desempeñan un papel crucial en la teoría de números. Las más importantes son las funciones multiplicativas, que son

aquellas funciones f en las cuales, para cada par de números coprimos (a,b) se tiene

.

Algunos ejemplos de funciones multiplicativas son la función φ de Euler, que a cada n asocia el número de enteros

positivos menores y coprimos con n, y las funciones τ y σ, que a cada n asocian respectivamente el número de

divisores de n y la suma de todos ellos. El valor de estas funciones en las potencias de números primos es

,

,

.

Gracias a la propiedad que las define, las funciones aritméticas pueden calcularse fácilmente a partir del valor que

toman en las potencias de números primos. De hecho, dado un número natural n de factorización

se tiene que

con lo que se ha reconducido el problema de calcular f (n) al de calcular f sobre las potencias de los números primos

que dividen n, valores que son generalmente más fáciles de obtener mediante una fórmula general. Por ejemplo, paraconocer el valor de la función φ sobre n=450=2·32·52 basta con calcular

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 24/75

Número primo 22

.

Características del conjunto de los números primos

Infinitud de los números primos

Véase también:  Infinitud de los números primosExisten infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. en el libro IX

de su obra  Elementos[16] Una adaptación común de esta demostración original sigue así: Se toma un conjunto

arbitrario pero finito de números primos  p1,  p

2,  p

3, ···,  p

n, y se considera el producto de todos ellos más uno,

. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pide la

lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto

original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor  p que divida a q. Suponiendo que  p es

alguno de los pi, se deduce entonces que  p divide a la diferencia , pero ningún

número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que  p está en el conjunto original. La

consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen

a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.

Si se toma como conjunto el de los n primeros números primos, entonces

, donde pn# es lo que se llama primorial de  p

n. Un número primo

de la forma  pn# +1 se denomina número primo de Euclides en honor al matemático griego. También se puede

elaborar una demostración similar a la de Euclides tomando el producto de un número dado de números primos

menos uno, el lugar del producto de esos números primos más uno. En ese sentido, se denomina número primo

primorial a un número primo de la forma pn# ± 1.

No todos los números de la forma  pn# +1 son primos. En este caso, como se sigue de la demostración anterior, todos

los factores primos deberán ser mayores que n. Por ejemplo: 2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos procedentes de áreas de

las matemáticas tales como al álgebra conmutativa y la topología.[17] Algunas de estas demostraciones se basan en el

uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo

que se crea una biyección entre los términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides-Mullin, que deriva de la demostración euclídea

de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se define como el factor primo más pequeño

de uno más el producto de todos los términos anteriores. La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto

que cada uno de sus términos es igual a uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de esta

última sucesión no son necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que

se puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto resultante será un

conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 25/75

Número primo 23

Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue descubierto por

Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie es divergente. Uno de los teoremas de

Mertens concreta más, estableciendo que

[18]

donde la expresión O(1) indica que ese término está acotado entre -C y C para n mayor que n0, donde los valores de

C y n0

no están especificados.[19]

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an

= a + n·q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí, existen infinitos términos que son

primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n- 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1, entonces siempre

existe un número primo  p tal que n <  p < 2n. Esto supone que, en una progresión geométrica de primer término

entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la progresión y el siguiente, se tiene al menos un número

primo.

Frecuencia de los números primos

Véase también: Teorema de los números primos

10 4 −0,3 2,2 2,500

102 25 3,3 5,1 4,000

103 168 23 10 5,952

104 1.229 143 17 8,137

105 9.592 906 38 10,425

106 78.498 6.116 130 12,740

107 664.579 44.158 339 15,047

108 5.761.455 332.774 754 17,357

109 50.847.534 2.592.592 1.701 19,667

1010 455.052.511 20.758.029 3.104 21,975

... ... ... ... ...

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 26/75

Número primo 24

Comparación entre las funciones π(n) (azul), n / ln n (verde) y Li(n) (rojo); se

puede ver que la aproximación de π(n) con Li(n) es mejor que la que hay con

Una vez demostrado la infinitud de los

números primos, cabe preguntarse cómo se

distribuyen los primos entre los números

naturales, es decir, cuán frecuentes son y

dónde se espera encontrar el n-ésimo

número primo. Este estudio lo iniciaronGauss y Legendre de forma independiente a

finales del siglo XVIII, para el cual

introdujeron la función enumerativa de los

números primos π(n), y conjeturaron que su

valor fuese aproximadamente

.[20]

El empeño de demostrar esta conjetura abarcó todo el siglo XIX. Los primeros resultados fueron obtenidos entre

1848 y 1859 por Chebyshov, quien demostró utilizando métodos puramente aritméticos la existencia de dos

constantes A y B tales que

para n suficientemente grande. Consiguió demostrar que, si existía el límite del cociente de aquellas expresiones, éstedebía ser 1.

Hadamard y De la Vallée-Poussin elaboraron una demostración en 1896, independientemente el uno del otro, usando

métodos similares, basados en el uso de la función zeta de Riemann, que había sido introducida por Bernhard

Riemann en 1859. Hubo que esperar hasta 1949 para encontrar una demostración que usara sólo métodos

elementales (es decir, sin usar el análisis complejo). Esta demostración fue ideada por Selberg y Erdős. Actualmente,

se conoce el teorema como teorema de los números primos.

El mismo Gauss introdujo una estimación más precisa, utilizando la función logaritmo integral:

.

En 1899 De la Vallée-Poussin demostró que el error que se comete aproximando de esta forma es

para una constante positiva a y para cada entero m. Este resultado fue ligeramente mejorado a lo largo de los años.

Por otra parte, en 1901 Von Koch mostró que si la hipótesis de Riemann era cierta, se tenía la siguiente estimación,

más precisa:[21]

Una forma equivalente al teorema de los números primos es que pn, el n-ésimo número primo, queda bien

aproximado por nln(n). En efecto, pn es estrictamente mayor que este valor.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 27/75

Número primo 25

Diferencia entre dos primos consecutivos

Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de los intervalos entre dos primos

consecutivos. Este intervalo, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3, debe ser siempre igual o mayor que

2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay un número par y por tanto compuesto. Si dos

números primos tienen por diferencia 2, se dice que son gemelos, y con la salvedad del "triplete" formado por los

números 3, 5 y 7, los números gemelos se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entretres números impares consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto. Los

primeros pares de números primos gemelos son (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) y (29, 31).

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un número natural

n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales comprendidos entre 1 y n. Los

números

(n+1)!+2, (n+1)!+3,···,(n+1)!+n+1

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≤ n+1, entonces (n+1)!+i es divisible entre i, por tanto, es compuesto. La sucesión,

que comprende n enteros consecutivos, no contiene ningún número primo. Por ejemplo, si n=5, estos valores

corresponden a:6!+2=722=2·361

6!+3=723=3·241

6!+4=724=4·181

6!+5=725=5·145

6!+6=726=6·121

El siguiente valor, 6!+7=727, es primo.[22] De todas formas, el menor número primo que dista del siguiente en n es

generalmente mucho menor que el factorial, por ejemplo, el caso más pequeño de dos primos consecutivos separados

de ocho unidades es (89, 97), mientras que 8! es igual a 40.320.

La sucesión de las diferencias entre primos consecutivos[23] ha sido profusamente estudiada en matemáticas, yalrededor de este concepto se han establecido muchas conjeturas que permanecen sin resolver.

Conclusión

La distribución de todos los números primos

comprendidos entre 1 y 76.800, de izquierda a

derecha y de arriba abajo. Cada pixel representa

un número. Los píxeles negros representan

números primos; los blancos representan números

no primos.

El modelado de la distribución de los números primos es un tema de

investigación recurrente entre los teóricos de números. La primalidad

de un número concreto es (hasta ahora) impredecible a pesar de que

existen leyes, como el teorema de los números primos y el postulado

de Bertrand, que gobiernan su distribución a gran escala. Leonhard

Euler comentó:Hasta el día de hoy, los matemáticos han intentado en vano encontrar

algún orden en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos

para creer que es un misterio en el que la mente jamás penetrará.[24]

En una conferencia de 1975, Don Zagier comentó:

Hay dos hechos sobre la distribución de los números primos de los que

espero convencerles de forma tan incontestable que quedarán

permanentemente grabados en sus corazones. El primero es que, a

pesar de su definición simple y del papel que desempeñan como

ladrillos con los que se construyen los números naturales, los números

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 28/75

Número primo 26

Imagen con 2310 columnas que conserva

múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11 en las columnas

respectivas. Como cabe esperar, los números

primos caerán en columnas concretas si los

números están ordenados de izquierda a derecha y

el ancho es un múltiplo de un número primo. Sin

embargo, los números primos también quedan

distribuidos de manera ordenada en

construcciones espirales como la espiral de Ulam,

ya que tienden a concentrarse en algunas

diagonales concretas y no en otras.

primos crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no

parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede

predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho es aún más

asombroso, ya que dice justo lo contrario: que los números primos

muestran una regularidad pasmosa, que hay leyes que gobiernan su

comportamiento, y que obedecen estas leyes con precisión casimilitar.[25]

Encontrar números primos

Tests de primalidad

Véase también: Test de primalidad 

La criba de Eratóstenes fue concebida por Eratóstenes de Cirene, un matemático

griego del siglo III a. C. Es un algoritmo sencillo que permite encontrar todos los

números primos menores o iguales que un número dado.

La criba de Eratóstenes es una manera

sencilla de hallar todos los números primosmenores o iguales que un número dado. Se

basa en confeccionar una lista de todos los

números naturales desde el 2 hasta ese

número y tachar repetidamente los múltiplos

de los números primos ya descubiertos. La

criba de Atkin, más moderna, tiene una

mayor complejidad, pero si se optimiza

apropiadamente también es más rápida.

También existe una reciente criba de

Sundaram que genera únicamente númeroscompuestos, siendo los primos los números

faltantes.

En la práctica, lo que se desea es determinar

si un número dado es primo sin tener que

confeccionar una lista de números primos.

Un método para determinar la primalidad de

un número es la división por tentativa, que

consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si

alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dadon

menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el

siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120. Es el test de primalidad más sencillo, y rápidamente pierde su

utilidad a la hora de comprobar la primalidad de números grandes, ya que el número de factores posibles crece

demasiado rápido a medida que crece el número potencialmente primo.

En efecto, el número de números primos menores que n es aproximadamente

.

De esta forma, para determinar la primalidad de n, el mayor factor primo que se necesita no es mayor que √n,

dejando el número de candidatos a factor primo en cerca de

.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 29/75

Número primo 27

Esta expresión crece cada vez más lentamente en función de n, pero, como los n grandes son de interés, el número de

candidatos también se hace grande: por ejemplo, para n = 1020 se tienen 450 millones de candidatos.

Asimismo, existen otros muchos tests de primalidad determinísticos que se basan en propiedades que caracterizan a

los números primos, pero su utilidad computacional depende mucho del test usado. Por ejemplo, se podría emplear el

teorema de Wilson para calcular la primalidad de un número, pero tiene el inconveniente de requerir el cálculo de un

factorial, una operación computacionalmente prohibitiva cuando se manejan números grandes. Aquí entre en juegoel tiempo de ejecución del algoritmo empleado, que se expresa en la notación de Landau. Para poder determinar la

primalidad de números cada vez más grandes (de miles de cifras) se buscan aquellos algoritmos cuyo tiempo de

ejecución crezca lo más lentamente posible, a ser posible, que se pueda expresar como un polinomio. Si bien el test

de primalidad AKS cumple con esta condición, para el rango de números que se usa en la práctica este algoritmo es

extremadamente lento.

Por otra parte, a menudo basta con tener una respuesta más rápida con una alta probabilidad (aunque no segura) de

ser cierta. Se puede comprobar rápidamente la primalidad de un número relativamente grande mediante tests de

primalidad probabilísticos. Estos tests suelen tomar un número aleatorio llamado "testigo" e introducirlo en una

fórmula junto con el número potencialmente primo n. Después de varias iteraciones, se resuelve que n es

"definitivamente compuesto" o bien "probablemente primo". Estos últimos números pueden ser primos o bienpseudoprimos (números compuestos que pasan el test de primalidad). Algunos de estos tests no son perfectos: puede

haber números compuestos que el test considere "probablemente primos" independientemente del testigo utilizado.

Esos números reciben el nombre de pseudoprimos absolutos para ese test. Por ejemplo, los números de Carmichael

son números compuestos, pero el test de Fermat los evalúa como probablemente primos. Sin embargo, los tests

probabilísticos más utilizados, como el test de Miller-Rabin o el obsoleto test de Solovay-Strassen, superado por el

anterior, no tienen este inconveniente, aun siendo igualmente tests probabilísticos.

Algunos tests probabilísticos podrían pasar a ser determinísticos y algunos tests pueden mejorar su tiempo de

ejecución si se verifican algunas hipótesis matemáticas. Por ejemplo, si se verifica la hipótesis generalizada de

Riemann, se puede emplear una versión determinística del test de Miller-Rabin, y el test de primalidad por curvas

elípticas podría mejorar notablemente su tiempo de ejecución si se verificaran algunas hipótesis de teoría analítica de

números.

Algoritmos de factorización

Un algoritmo de factorización es un algoritmo que separa uno a uno los factores primos de un número. Los

algoritmos de factorización pueden funcionar también a modo de tests de primalidad, pero en general tienen un

tiempo de ejecución menos ventajoso. Por ejemplo, se puede modificar el algoritmo de división por tentativa de

forma que no se detenga cuando se obtenga una división exacta, sino que siga realizando nuevas divisiones, y no

sobre el número original, sino sobre el cociente obtenido. Después de la división por tentativa, los métodos más

antiguos que se conocen son el método de Fermat, que se basa en las diferencias entre cuadrados y que esespecialmente eficaz cuando n es el producto de dos números primos próximos entre sí, y el método de Euler, que se

basa en la representación de n como suma de dos cuadrados de dos formas distintas.

Más recientemente, se han elaborado algoritmos basados en una gran variedad de técnicas, como las fracciones

continuas o las curvas elípticas, aunque algunos son mejoras de métodos anteriores (la criba cuadrática, por ejemplo,

se basa en una mejora del método de Fermat y posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de

cifras de n). Otros, como el método rho de Pollard, son probabilísticos, y no garantizan hallar los divisores de un

número compuesto.

Hoy por hoy, el algoritmo determinístico más rápido de uso general es el general number field sieve, que también

posee complejidad computacional subexponencial sobre el número de cifras de n.[26] Se ha propuesto un algoritmo

cuyo tiempo de ejecución es polinómico sobre el número de cifras de n (el algoritmo de Shor), pero requiere ser

ejecutado en un ordenador cuántico, ya que su simulación en un ordenador normal requiere un tiempo exponencial.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 30/75

Número primo 28

No se conocen algoritmos para factorizar en una computadora tradicional en tiempo polinómico y tampoco se

demostró que esto sea imposible.

Fórmulas que sólo generan números primos

Véase también:  Fórmula de los números primos

A lo largo de la historia, se han buscado numerosas fórmulas para generar los números primos. El nivel más alto deexigencia para una fórmula así sería que asociara a cada número natural n el n-ésimo número primo. De forma más

indulgente, se puede pedir una función f que asocie a cada número natural n un número primo de tal forma que cada

uno de los valores tomados sólo aparezca una vez.

Además, se desea que la función se pueda calcular en la práctica.[27] Por ejemplo, el teorema de Wilson asegura que

 p es un número primo si y sólo si ( p-1)!≡-1 (mod p). Otro ejemplo: la función f(n) = 2 + ( 2(n!) mod (n+1)) genera

todos los números primos, sólo los números primos, y sólo el valor 2 se toma más de una vez. Sin embargo, ambas

fórmulas se basan en el cálculo de un factorial, lo que las hace computacionalmente inviables.

En la búsqueda de estas funciones, se han investigado notablemente las funciones polinómicas. Cabe subrayar que

ningún polinomio, aun en varias variables, toma sólo valores primos.[28] Por ejemplo, el polinomio en una variable

 f (n) = n² − n + 41 devuelve valores primos para n = 0,…, 40, 43, pero  f (41) y  f (42) son compuestos. Si el término

constante vale cero, entonces el polinomio es múltiplo de n, por lo que el polinomio es compuesto para valores

compuestos de n. En caso contrario, si c es el término constante, entonces  f (cn) es múltiplo de c, por lo que si el

polinomio no es constante, necesariamente deberá incluir valores compuestos.

Sin embargo, hay polinomios en varias variables cuyos valores positivos (cuando las variables recorren los números

naturales) son precisamente los números primos. Un ejemplo es este polinomio descubierto por Jones, Sato, Wada y

Wiens en 1976:[28]

Al igual que ocurre con las fórmulas con factoriales, este polinomio no es práctico de calcular, ya que, aunque los

valores positivos que toma son todos primos, prácticamente no devuelve otra cosa que valores negativos cuando se

hacen variar las variables a a z de 0 a infinito.

Otro enfoque al problema de encontrar una función que sólo genere números primos viene dado a partir del teorema

de Mills, que indica que existe una constante θ tal que

es siempre un número primo, donde es la función piso.[29] Todavía no se conoce ninguna fórmula para calcular

la constante de Mills, y las aproximaciones que se emplean en la actualidad se basa en la sucesión de los así 

llamados números primos de Mills (los números primos generados mediante esta fórmula), que no pueden ser

obtenidos rigurosamente, sino sólo de manera probabilística, suponiendo cierta la hipótesis de Riemann.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 31/75

Número primo 29

Clases de números primos

De mayor interés son otras fórmulas que, aunque no sólo generen números primos, son más rápidas de implementar,

sobre todo si existe un algoritmo especializado que permita calcular rápidamente la primalidad de los valores que

van tomando. A partir de estas fórmulas se obtienen subconjuntos relativamente pequeños del conjunto de los

números primos, que suelen recibir un nombre colectivo.

Primos primoriales y primos factoriales

Véanse también:  Número primo primorial y número primo factorial

Los números primos primoriales, directamente relacionados con la demostración euclidiana de la infinitud de los

números primos, son los de la forma  p = n# ± 1 para algún número natural n, donde n# es igual al producto

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · … de todos los primos ≤ n. Asimismo, un número primo se dice primo factorial si es de la forma

n! ± 1. Los primeros primos factoriales son:

n! − 1 es primo para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, …[30]

n! + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …[31]

Números primos de Fermat

Véase también:  Número de Fermat 

Construcción de un pentágono regular. 5 es un

número primo de Fermat.

Los números de Fermat, ligados a la construcción de polígonos

regulares con regla y compás, son los números de la forma

, con n natural. Los únicos números primos de Fermat

que se conocen hasta la fecha son los cinco que ya conocía el propio

Fermat, correspondientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4, mientras que para valores

de n entre 5 y 32 estos números son compuestos.[32]

Para determinar su primalidad, existe un test especializado cuyotiempo de ejecución es polinómico: el test de Pépin. Sin embargo, los

propios números de Fermat crecen tan rápidamente que sólo se lo ha

podido aplicar para valores de n pequeños. En 1999 se lo aplicó para n

= 24. Para determinar el carácter de otros números de Fermat mayores

se utiliza el método de divisiones sucesivas y de esa manera a fecha de

 junio de 2009 se conocen 241 números de Fermat compuestos, aunque

en la mayoría de los casos se desconozca su factorización completa.[32]

Números primos de Mersenne

Véase también:  Número primo de Mersenne

Los números de Mersenne son los de forma M p

= 2 p  – 1, donde  p es primo.[33] Los mayores números primos

conocidos son generalmente de esta forma, ya que existe un test de primalidad muy eficaz, el test de Lucas-Lehmer,

para determinar si un número de Mersenne es primo o no.

Actualmente, el mayor número primo que se conoce es  M 43.112.609

= 243.112.609 - 1, que tiene 12.978.189 cifras en el

sistema decimal. Se trata cronológicamente del 45º número primo de Mersenne conocido y su descubrimiento se

anunció el 23 de agosto de 2008 gracias al proyecto de computación distribuida «Great Internet Mersenne Prime

Search» (GIMPS). Desde entonces, se han descubierto otros dos números primos de Mersenne, pero son menores

que el 45º.[34] [35]

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 32/75

Número primo 30

Otras clases de números primos

Existen literalmente decenas de apellidos que se pueden añadir al concepto de número primo para referirse a un

subconjunto que cumple alguna propiedad concreta. Por ejemplo, los números primos pitagóricos son los que se

pueden expresar en la forma 4n+1. Dicho de otra forma, se trata de los números primos cuyo resto al dividirlos entre

4 es 1. Otro ejemplo es el de los números primos de Wieferich, que son aquellos números primos  p tales que  p2

divide a 2 p-1

- 1.Algunas de estas propiedades se refieren a una relación concreta con otro número primo:

• Números primos gemelos: p y p+2 lo son si son los dos primos.

• Número primo de Sophie Germain: dado p primo, es de Sophie Germain si 2 p + 1 también es primo. Una

sucesión de números p1, p

2, p

3,··· , p

ntodos ellos primos, tales que p

i+1=2 p

i+1 para todo i ∈ {1,2,···,n-1 }, se

denomina cadena (completa) de Cunningham de primera especie, y cumple por definición que cada uno de los

términos, salvo el último, es un número primo de Sophie Germain. Se cree que para todo n natural existen

infinitas cadenas de Cunningham de longitud n,[36] aunque hasta la fecha nadie ha proporcionado prueba de que

dicha afirmación sea cierta.

• Número primo de Wagstaff: p lo es si , donde q es otro número primo.[37] [38]

También se les da nombres especiales a algunas clases de primos que dependen de la base de numeración empleada

o de la forma de escribir los dígitos, y no de una fórmula mat emática. Es el caso de los números somirp ( primos al

revés), que son aquellos números primos tales que el número obtenido al invertir el orden de sus cifras también es

primo. También es el caso de los números primos repunit, que son aquellos números primos que son concatenación

de unos. Si, en lugar de considerarse el sistema de numeración decimal se considera el binario, se obtiene otro

conjunto distinto de números primos repunit que, además, coincide con el de los números primos de Mersenne.

Finalmente, los números primos triádicos son aquellos números que son primos, capicúas y simétricos respecto de

una recta horizontal.

El que se le dé un nombre a una clase de números primos con una definición precisa no significa que se conozca

algún número primo que sea de esa clase. Por ejemplo, no se conoce hasta el momento ningún número primo deWall-Sun-Sun, pero su relevancia radica en que en 1992, antes de la demostración de Wiles del último teorema de

Fermat, se descubrió que la falsedad del teorema para un número primo p dado implicaba que p era un número primo

de Wall-Sun-Sun. Esto hizo que, durante un tiempo, la búsqueda de números primos de esta clase fuera también la

búsqueda de un contraejemplo del último teorema de Fermat.[39]

Conjeturas

Existen numerosas preguntas abiertas acerca de los números primos. Muchas de ellas son problemas bien antiguos, y

una de las más significativas es la hipótesis de Riemann, varias veces mencionada en este artículo como una

conjetura que, de ser cierta, permitiría conocer numerosos resultados relevantes en diversos campos de lasmatemáticas.

Hipótesis de Riemann

Véase también:  Hipótesis de Riemann

Para entender la hipótesis de Riemann, una conjetura enunciada en 1859 pero que, hasta la fecha, sigue sin

resolverse, es necesario entender la función zeta de Riemann. Sea un número complejo con parte real mayor que

1. Entonces,

La segunda igualdad es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética, y muestra que la función zeta

está íntimamente relacionada con los números primos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 33/75

Número primo 31

Existen dos tipos de ceros de la función zeta, es decir, valores s para los cuales ζ(s) = 0: los triviales, que son s=-2,

s=-4, s=-6, etc. (los enteros pares negativos) y los no triviales, que son aquellos ceros que no se encuentran en el eje

real. Lo que indica la hipótesis de Riemann es que la parte real de todos los ceros no triviales es igual a 1/2.

La veracidad de la hipótesis implica una profunda conexión con los números primos, en esencia, en el caso de

verificarse, dice que los números primos están distribuidos de la forma más regular posible. Desde un punto de vista

«físico», dice grosso modo que las irregularidades en la distribución de los números primos sólo proceden de ruidoaleatorio. Desde un punto de vista matemático, dice que la distribución asintótica de los números primos (según el

teorema de los números primos, la proporción de primos menores que n es ) también es cierta para intervalos

mucho menores, con un error de aproximadamente la raíz cuadrada de n (para intervalos próximos a n). Está

ampliamente extendido en la comunidad matemática que la hipótesis sea cierta. En concreto, la presunción más

simple es que los números primos no deberían tener irregularidades significativas en su distribución sin una buena

razón.[40]

Otras conjeturas

Infinitud de ciertos tipos de números primosMuchas conjeturas tratan sobre si hay infinitos números primos de una determinada forma. Así, se conjetura que hay

infinitos números primos de Fibonacci[41] e infinitos primos de Mersenne, pero sólo un número finito de primos de

Fermat.[42] No se sabe si hay infinitos números primos de Euclides.

Distribución de los números primos

También hay numerosas conjeturas que se ocupan de determinadas propiedades de la distribución de los números

primos. Así, la conjetura de los números primos gemelos enuncia que hay infinitos números primos gemelos, que

son pares de primos cuya diferencia es de 2. La conjetura de Polignac es una versión más general y más fuerte de la

anterior, ya que enuncia que, para cada entero positivo n, hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en

2n. A su vez, una versión más débil de la conjetura de Polignac dice que todo número par es la diferencia de dosnúmeros primos.

Asimismo, se conjetura la infinidad de los primos de la forma n2 + 1. Según la conjetura de Brocard, entre los

cuadrados de primos consecutivos mayores que 2 existen siempre al menos cuatro números primos. La conjetura de

Legendre establece que, para cada n natural, existe un número primo entre n2 y (n+1)2. Finalmente, la conjetura de

Cramér, cuya veracidad implicaría la de Legendre, dice que .

Teoría aditiva de números

Otras conjeturas relacionan algunas propiedades aditivas de los números con los números primos. Así, la conjetura

de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos, aunquetambién existe una versión más débil de la misma conjetura según la cual todo número impar mayor que 5 se puede

escribir como suma de tres números primos. El matemático chino Chen Jingrun demostró, en 1966, que en efecto,

todo número par suficientemente grande puede expresarse como suma de dos primos o como la suma de un primo y

de un número que es el producto de dos primos. ("semi-primo").[43]

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 34/75

Número primo 32

Los cuatro problemas de Landau

En 1912, Landau estableció en el Quinto Congreso Internacional de Matemáticos de Cambridge una lista de cuatro

de los problemas ya mencionados sobre números primos, que se conocen como los problemas de Landau. Ninguno

de ellos está resuelto hasta la fecha. Se trata de la conjetura de Goldbach, la de los números primos gemelos, la de

Legendre y la de los primos de la forma n2 + 1.[44]

Generalización del concepto de número primo

El concepto de número primo es tan importante que se ha visto generalizado de varias maneras en diversas ramas de

las matemáticas.

Elementos primos en un anillo

Representación de los primos gaussianos de norma menor o igual a

500. Los primos gaussianos son, por definición, los enteros

gaussianos que son primos.

Se pueden definir los elementos primos y los elementos

irreducibles en cualquier dominio de integridad.[45] En

cualquier dominio de factorización única, como por

ejemplo, el anillo de los enteros, el conjunto deelementos primos equivale al conjunto de los elementos

irreducibles, que en es {…, −11, −7, −5, −3, −2, 2,

3, 5, 7, 11, …}.

Considérense por ejemplo los enteros gaussianos ,

es decir, los números complejos de la forma a+bi con a,

b  ∈ . Este es un dominio de integración, y sus

elementos primos son los primos gaussianos. Cabe

destacar que el 2 no es un primo gaussiano, porque

admite factorización como producto de los primosgaussianos (1+i) y (1-i). Sin embargo, el elemento 3 sí 

es primo en los enteros gaussianos. En general, los

primos racionales (es decir, los elementos primos del

anillo ) de la forma 4k +3 son primos gaussianos,

pero no lo son aquellos de la forma 4k +1.

Ideales primos

En teoría de anillos, un ideal I es un subconjunto de un anillo A tal que

• si i, j ∈ I , entonces la suma i + j pertenece a I • y si x ∈ A, i ∈ I , entonces los productos a × i, i × a pertenecen a I .

Un ideal primo se define entonces como un ideal que cumple también que:

• para cualquier par de elementos a, b del anillo A tales que su producto a × b pertenece a I , entonces, al menos uno

de los dos elementos, a o b, está en I .

•  I no es el anillo A entero.

Los ideales primos son una herramienta relevante en álgebra conmutativa, teoría algebraica de números y geometría

algebraica. Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), …

Un problema central en teoría algebraica de números es la manera en que se factorizan los ideales primos cuando se

ven sometidos a una extensión de cuerpos. En el ejemplo de los enteros gaussianos, (2) se ramifica en potencia de un

primo (ya que y generan el mismo ideal primo), los ideales primos de la forma son inertes

(mantienen su primalidad) y los de la forma pasan a ser producto de dos ideales primos distintos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 35/75

Número primo 33

Primos en teoría de la valoración

En teoría algebraica de números surge otra generalización más. Dado un cuerpo , reciben el nombre de

valoraciones sobre determinadas funciones de en . Cada una de estas valoraciones genera una topología

sobre , y se dice que dos valoraciones son equivalentes si generan la misma topología. Un  primo de es una

clase de equivalencia de valoraciones. Con esta definición, los primos del cuerpo de los números racionales

quedan representados por la función valor absoluto así como por las valoraciones  p-ádicas sobre para cadanúmero primo p.

Nudos primos

Algunos nudos primos.

En teoría de nudos, un nudo primo es un nudo no trivial que no se puede descomponer en dos nudos más pequeños.

De forma más precisa, se trata de un nudo que no se puede escribir como suma conexa de dos nudos no triviales.

En 1949 Horst Schubert demostró un teorema de factorización análogo al teorema fundamental de la aritmética, que

asegura que cada nudo se puede obtener de forma única como suma conexa de nudos primos.[46] Por este motivo, los

nudos primos desempeñan un papel central en la teoría de nudos: una clasificación de los nudos ha sido desde finales

del siglo XIX el tema central de la teoría.

Aplicaciones en la computación

El algoritmo RSA se basa en la obtención de la clave pública mediante la multiplicación de dos números grandes

(mayores que 10100) que sean primos. La seguridad de este algoritmo radica en que no se conocen maneras rápidas

de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales.

Números primos en el arte y la literatura

Los números primos han influido en numerosos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen se valió

de ellos para crear música no métrica. En obras tales como   La Nativité du Seigneur (1935) o Quatre études de

rythme (1949-50) emplea simultáneamente motivos cuya duración es un número primo para crear ritmos

impredecibles. Según Messiaen, esta forma de componer fue «inspirada por los movimientos de la naturaleza,

movimientos de duraciones libres y desiguales».[47]

En su novela de ciencia ficción Contact , posteriormente adaptada al cine, Carl Sagan sugiere que los números primos

podrían ser empleados para comunicarse con inteligencias extraterrestres, una idea que había desarrollado de manerainformal con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975.[48]

 El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, que describe en primera persona la vida de un joven

autista muy dotado en matemáticas y cálculo mental, utiliza únicamente los números primos para numerar los

capítulos.

En la novela  PopCo de Scarlett Thomas, la abuela de Alice Butler trabaja en la demostración de la hipótesis de

Riemann. El libro ilustra una tabla de los mil primeros números primos.[49]

 La soledad de los números primos, novela escrita por Paolo Giordano, ganó el premio Strega en 2008.

También son muchas las películas que reflejan la fascinación popular hacia los misterios de los números primos y la

criptografía, por ejemplo, Cube, Sneakers, El amor tiene dos caras y Una mente maravillosa. Esta última se basa enla biografía del matemático y premio Nobel John Forbes Nash, escrita por Sylvia Nasar.[50]

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 36/75

Número primo 34

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Criptografía

• Espiral de Ulam

• Matemática

• Test de primalidad• Anexo:Números primos

• Anexo:Tabla de factores primos

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 37/75

Número primo 35

Referencias

[1] (sucesión A000040 (http://en.  wikipedia. org/wiki/Oeis:a000040) en OEIS)

[2] Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers P.42 (en francés)

[3]  Préhistoire de la géométrie: le problème des sources (http://www.  reunion. iufm.fr/recherche/irem/telecharger/Keller/Keller3.  pdf),

artículo de Olivier Keller (en francés)

[4] « Nacimiento de las matemáticas. (http://almez. pntic. mec.es/~agos0000/Nacimiento. html)». Consultado el 7 de Junio de 2009.

[5] Arnaldez, Roger y otros (1988). Las antiguas ciencias del Oriente.. Barcelona: Ediciones Orbis S.A.. ISBN 84-402-0159-1.[6] Planetmath.org. « History of prime numbers. (http://planetmath.org/encyclopedia/HistoryOfPrimeNumbers. html)». Consultado el 7 de

 junio de 2009.

[7] Crandall, Richard (2001). Prime numbers, a computational perspective. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94777-9.

[8] Bernstein, Daniel. « Prime tests (http://cr.yp. to/primetests. html)». Consultado el 1 de julio de 2009.

[9] Singh, Simon (1998). «Pag. 126». El enigma de Fermat . Editorial Planeta S.A. ISBN 978-84-08-02375-3..

[10] Carles Pina i Estany (2005). « Curiosidades sobre números primos. (http://pinux. info/primos/curiosidades. html)». Consultado el 5 de

 junio de 2009.

[11] Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (en inglés)

[12] Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (en inglés)

[13] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. pp. 118. ISBN 0-19-285361-9. «La exclusión

aparentemente arbitraria del 1 de la definición de número primo … no expresa ningún conocimiento profundo sobre los números: se trata

simplemente de un convenio útil, adoptado para que sólo haya una manera de factorizar cualquier número en sus factores primos»[14] " Why is the number one not prime? (http://primes. utm.edu/notes/faq/one.  html)" (en inglés), accedido el 31-05-2009.

[15] " Arguments for and against the primality of 1 (http://www.geocities. com/primefan/Prime1ProCon.html)" (en inglés), accedido el

31-05-2009.

[16] , Euclides (1991-1996). «Vol. II, libro IX, proposición 20.». Elementos. Obra completa, Madrid, Editorial Gredos. ISBN

978-84-249-1463-9.

[17] DiAmOnD (2008). « Demostración topológica de la infinitud de los números primos. (http://gaussianos. com/ 

demostracion-topologica-de-la-infinitud-de-los-numeros-primos/)». Consultado el 5 de junio de 2009.

[18] Véase, por ejemplo, An Introduction to the Theory of Numbers, p. 24. (en inglés)

[19] En general, en la notación de Landau, indica que está dominada asintóticamente por , es decir,

. Para más información, lea notación de Landau.

[20] Con esta expresión se quiere decir que el límite de la razón entre las dos expresiones tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

[21] von Koch, Helge (1901). « Sur la distribution des nombres premiers (http://www.springerlink.  com/content/077g4j008x57p021/)».

SpringerLink. Consultado el 6 de junio de 2009.

[22] Nótese que esto no tiene por qué ser verdad en general, por ejemplo, si n es impar, se tiene que n!+(n+1) es divisible entre 2.

[23] (sucesión A001223 (http://en. wikipedia. org/wiki/Oeis:a001223) en OEIS)

[24] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 163 (en inglés)

[25] Julian Havil, Gamma: Exploring Euler's Constant (tapa dura). Princeton: Princeton University Press (2003): 171

[26] Eric W. Weisstein. « Number Field Sieve (http://mathworld. wolfram. com/NumberFieldSieve. html)» (en inglés). Consultado el 31 de

mayo de 2009.

[27] Introducción del capítulo 3 del libro de Ribenboim The new book of prime number records.

[28] Prime Glossary - Matijasevic's Polynomial (http://primes. utm.  edu/glossary/xpage/MatijasevicPoly. html), accedido el 06-06-2009

[29] W. H. Mills, A prime-representing function (1947) (en inglés)

[30] (sucesión A002982 (http://en. wikipedia. org/wiki/Oeis:a002982) en OEIS)

[31] (sucesión A002981 (http://en. wikipedia. org/wiki/Oeis:a002981) en OEIS)

[32] Keller, Wilfrid (2009). « Fermat factoring status (http://www.  prothsearch. net/fermat. html)». Consultado el 1 de junio de 2009.[33] DiAmOnD (2008). « Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto (http://gaussianos. com/ 

todo-numero-de-mersenne-con-exponente-compuesto-es-tambien-compuesto/)». Consultado el 7 de junio de 2009.. Por contraposición, se

deduce que, para buscar números primos de Mersenne, basta con buscar entre los números de Mersenne con exponente primo.

[34] DiAmOnD (2008). « ¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!! (http://gaussianos. com/¡¡tenemos-dos-nuevos-primos-de-mersenne/ 

)». Consultado el 5 de junio de 2009.

[35] GIMPS (2009). « 47th Known Mersenne Prime Found! (http://mersenne.  org/)». Consultado el 13 de junio de 2009.

[36] Nicholas Anderson, Andrew J. Havens, Brian Hydefrost, Sean Murphy y Steve Sarasin. « Prime Numbers and the Riemann Hypothesis

(http://www.  gang.umass.edu/~franz/teaching/group1.pdf)» pág. 6. Consultado el 7 de junio de 2009.

[37] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!. « A000979. Wagstaff primes. (http://www.  research. att. com/~njas/sequences/ 

A000979)». Consultado el 23 de abril de 2010.

[38] Eric W. Weisstein. « Wagstaff Prime (http://mathworld. wolfram. com/WagstaffPrime. html)» (en inglés). Consultado el 23 de abril de

2010.[39] Caldwell, Chris (2005). « Wall-Sun-Sun prime (http://primes.  utm.  edu/glossary/page. php?sort=WallSunSunPrime)». Consultado el 6 de

 junio de 2009.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 38/75

Número primo 36

[40] Bombieri, Enrico (2000). « The Riemann hypothesis (http://www.claymath.  org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann. pdf)» (en

inglés). Clay Mathematics Institute. Consultado el 6 de junio de 2009.

[41] Caldwell, Chris, The Top Twenty: Lucas Number (http://primes.utm.  edu/top20/page. php?id=48) en The Prime Pages. Consultado el 1 de

 junio de 2009 (en inglés)

[42] Por ejemplo, véase Unsolved Problems in Number Theory, Springer-Verlag, 1981, problema A3, pp. 7 –8.

[43] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[44] Mathworld - Landau's Problems (http://mathworld. wolfram. com/LandausProblems. html) (en inglés)

[45] « Números algebraicos (http://www. iesmurgi. org/matematicas/materiales/numeros/node18. html)» (2004). Consultado el 7 de junio de2009.

[46] En Mathworld (http://mathworld. wolfram. com/PrimeKnot. html). (en inglés)

[47] Peter Hill (1994). Amadeus Press. ed. The Messiaen companion. ISBN ISBN 0-931340-95-0..

[48] Carl Pomerance, Prime Numbers and the Search for Extraterrestrial Intelligence (http://www. math. dartmouth.edu/~carlp/PDF/ 

extraterrestrial.pdf), accedido el 31-05-2009

[49] A Mathematician reviews PopCo (http://math. cofc. edu/kasman/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf476) (en inglés), accedido el

31-05-2009

[50] Music of the Spheres (http://www. musicoftheprimes. com/films.htm), Selección de Marcus du Sautoy de películas que versan sobre los

números primos (en inglés), accedido el 31-05-2009

Enlaces externos• The Prime Pages (http://www. utm. edu/research/primes)

• Sobre el artículo de Manindra Agrawal et al. PRIMES IS IN P, en donde afirman: "We present a deterministic

polynomial-time algorithm that determines whether an input number n is prime or composite" mathmistakes

(http://members.  cox.net/mathmistakes/primes.  htm)

• Algoritmos eficientes para calcular números primos, por Steve Litt (http://www.troubleshooters. com/codecorn/ 

primenumbers/primenumbers. htm)

• ¿Es este número primo? (http://www. mste. uiuc. edu/html.  f/resource/prime.html)

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 39/75

37

números enteros

Número entero

Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural

cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en

la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano

"debido" o "negativo" (en rojo).

Los números enteros son un conjunto de

números que incluye a los números

naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los

negativos de los números naturales (..., −3,

−2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos,

como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos

tres", etc.), son menores que todos los

enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero.

Para resaltar la diferencia entre positivos ynegativos, a veces también se escribe un

signo "más" delante de los positivos: +1, +5,

etc. Cuando no se le escribe signo al número

se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que

proviene del alemán Zahlen ("números", pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:

−783 y 154 son números enteros

45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma

similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para

contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100

alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero

también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del

Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por

debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 40/75

Número entero 38

Historia

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,

aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad

de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos

italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de

ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de

la India. [cita requerida]

Aplicación en contabilidad

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la

cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo

que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance

positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de

3 sueldos.

Introducción

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:

3 − 5 = ?

Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en

las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:

Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde

1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde

2000, se dice que  perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades

se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 −

1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una

ganancia negativa.

Números con signo

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos

(«−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se

leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama

números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que

sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados "enteros".

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por laletra Z, también escrita en "negrita de pizarra" como :

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 41/75

Número entero 39

La recta numérica

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están

ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir,

cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se

representa por dos barras verticales "| |".

Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.

El orden de los números enteros puede resumirse en:

El orden de los números enteros se define como:

• Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.

• Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de

mayor valor absoluto, si el signo común es "−"

• El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números

naturales.

Suma

En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del

círculo y su color.

En la suma de dos números enteros, se

determina por separado el signo y el

valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de

los sumandos.

• Si ambos sumandos tienen distinto signo:

• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 42/75

Número entero 40

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:

La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propiedad conmutativa:

(+9) + (−17) = −8

(−17) + (+9) = −8

Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:

Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 ,

(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicación

La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor

absoluto del resultado.

En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

• El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

• El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "−" si son distintos.

Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

Regla de los signos

• (+) × (+)=(+)  Más por más igual a más.

• (+) × (−)=(−)  Más por menos igual a menos.

• (−) × (+)=(−)  Menos por más igual a menos.

• (−) × (−)=(+)  Menos por menos igual a más.

Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:

La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.

• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 43/75

Número entero 41

Ejemplo.

1. Propiedad asociativa:

[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

2. Propiedad conmutativa:(−6) × (+9) = −54

(+9) × (−6) = −54

La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad

distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.

Ejemplo.

• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21

• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

Propiedades algebraicas

El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma y producto y su relación de

orden, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.

Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.

Véase también

• Parte entera

• Entero (tipo de dato)

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 44/75

Número entero 42

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias

• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006) (en inglés). Mathematics.

 Applications and Concepts. Course 2. McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.nso:Integer

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 45/75

43

número racional

FracciónEn matemáticas, una fracción, o número fraccionario, o quebrado (del vocablo latín  frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o

quebrado)[1] es la expresión de una cantidad dividida entre otra; es decir que representa un cociente no efectuado de

números. Por razones históricas también se les llama   fracción común,   fracción vulgar o   fracción decimal. El

conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales, denotado .

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones

matemáticas (no necesariamente números).

tres cuartos más un cuarto

Representación y modelización de fracciones

Numerador y denominador

Las fracciones se componen de: numerador , denominador  y línea

divisoria entre ambos (barra horizontal u oblícua). El denominador

representa la cantidad de partes en que se ha  fraccionado la unidad, y

el numerador es la cantidad de éstas consideradas.

La expresión genérica representa una división algebraica, por lo que

el divisor debe ser distinto de cero, esto es: b ≠ 0; en una fracción

común, a y b son números enteros (con b ≠ 0), y el cociente da por

resultado un número racional, es decir, que una fracción común

representa un número racional, por lo que las fracciones comunes

heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales.

Representación gráfica y analítica

Suelen utilizarse círculos o rectángulos (los cuales

representan la unidad) divididos en tantas partes como

indique el denominador, y se colorean (u omiten) tantas

de estas partes como indique el numerador.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 46/75

Fracción 44

• Notación y convenciones:

• en una fracción a/b, el denominador b se lee como número partitivo (ejemplos: 1/4 se lee «un cuarto», 3/5 selee «tres quintos»);

• una fracción negativa se escribe con el signo menos delante de la fracción (ejemplos: -1/4 o , pero no

3/-4);• una fracción genérica a/b representa el producto de a por el recíproco multiplicativo de b, de tal modo que

; si tanto a como b son números negativos , el producto es positivo, por lo que

se escribe: a/b;• toda expresión matemática escrita en esta forma (con b ≠ 0) recibe el nombre de fracción.

Ejemplos

• ; 3/4 ; 3 / 4

; (¾) ; fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75;

• ; fracción: numerador x² y denominador (x+3)(x-3), el valor decimal dependerá del valor de la

variable x.

Clasificación de fracciones

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 47/75

Fracción 45

1/2 un medio

1/3 un tercio

1/4 un cuarto

1/5 un quinto

1/6 un sexto

1/7 un séptimo

1/8 un octavo

1/9 un noveno

1/10 un décimo

1/11 un onceavo

1/12 un doceavo

• Según la relación entre el numerador y el denominador:• Fracción propia: fracción que tiene su denominador mayor que su numerador:• Fracción impropia: fracción en donde el numerador es mayor que el denominador:

• Fracción mixta: suma de un entero y una fracción propia. Las fracciones mixtas se pueden expresar como

fracciones impropias: ¼.

• Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser

simplificada:

• Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y, por tanto, no

puede ser simplificada:

• Según la relación entre los denominadores:

• Fracción homogénea: fracciones que tienen el mismo denominador: y ; y ;

• Fracción heterogénea: fracciones que tienen diferentes denominadores: y ; y ;

• Fracción equivalente: la que tiene el mismo valor que otra dada:• Según la escritura del denominador:

• Fracción decimal: el denominador es una potencia de diez: 1/10, -2/100... En general: , con a un entero

y n un natural.• Según la escritura del numerador:

• Fracción unitaria: es una fracción común de numerador 1.

• Fracción egipcia: sistema de representación de las fracciones en el Antiguo Egipto en el que cada fracción se

expresa como suma de fracciones unitarias.

• Fracción gradual[2] : .

• Otras clasificaciones:

• Fracción continua: formada por una sucesión de enteros positivos es una

expresión del tipo: .

• Fracción parcial: véase método de las fracciones parciales para reducir un cociente de polinomios.• Fracción compuesta: fracción cuyo numerador o denominador (o los dos) contiene a su vez fracciones.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 48/75

Fracción 46

• Fracción aparente o entera: fracción que representa cualquier número perteneciente al conjunto de los

enteros: 3 / 3=1, ¹⅔=4…

• Fracción inversa

• Una fracción irracional es una término autocontradictorio (dado que todas las fracciones deben poder ser

expresadas como fracciones vulgares). Un número irracional es, por definición, no racional, es decir, no puede

ser expresado como una fracción vulgar.

• Fracción como razón: véase proporcionalidad y regla de tres, para la la relación que mantienen un par de

números que pueden provenir de una comparación.

• Fracción como porcentaje: Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100,

utilizando el signo porcentaje %.

Operaciones con fracciones

Ejemplo de fraccción aparente.

Operaciones aritméticas

• Algoritmo para la suma y resta:

• Algoritmo para la multiplicación y la división:

Fórmula para el producto: .

Fórmula para el cociente: .

Fracción mixta

Toda fracción impropia puede escribirse como fracción mixta: a / b, en donde a / 

bdenota (donde

, es la parte entera). Ejemplos:

• ,

• .

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 49/75

Fracción 47

Fracción equivalente

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad, y se escriben distinto.

• Ejemplos:

las fracciones , , y son equivalentes, ya que representan la cantidad «un medio».

Dos fracciones son equivalentes si pueden obtenerse una a partir de la otra, multiplicando (o dividiendo) por uno.

• Ejemplos:

en donde .

en donde .

Dada una fracción reducible (el numerador y el denominador no son primos entre sí) siempre se puede reducir (o

simplificar ) hasta obtener una fracción equivalente irreducible.

El conjunto de todas las fracciones equivalentes a una fracción dada, se llama número racional, y suele representarse

por la única fracción equivalente irreducible del conjunto.

Simplificación de fracciones

Véase también:  Máximo común divisor 

Fracción como porcentaje

• Porcentaje (100%), por mil (1.000‰), partes por millón (ppm), etc.

Fracción decimal

Véase también:  Representación decimal

Una fracción decimal es una fracción del tipo , es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número

decimal exacto. Ejemplos: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008. Inversamente, un

número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por un

potencia apropiada de . Ejemplos: 1=10/10 1.23=123/100.

Una fracción decimal no es necesariamente irreducible, pero todo número decimal finito puede escribirse como una

fracción irreducible , con b un entero primo relativo con 5 y 2, y m y p enteros naturales.

La representación decimal de los números reales (y por tanto de los racionales) se basa en el límite de series del tipo

: . La teoría sobre las fracciones decimales fue desarrollada por Stevin, en el siglo xvi.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 50/75

Fracción 48

Historia

Las primeras fracciones fueron utilizadas para representar las «partes de un entero», por medio del concepto de

recíproco de un número entero.[3] Esto equivale a considerar fracciones como: un medio, un tercio, un cuarto, etc.

Posteriormente, se introdujo la «raya horizontal» de separación entre numerador y denominador, y el numerador dejó

de restringirse al número uno solamente, dando origen a las llamadas fracciones vulgares o comunes. Finalmente, se

introducen las «fracciones decimales», en donde el denominador se escribe como una potencia de diez.En el Antiguo Egipto se calculaba utilizando fracciones cuyos denominadores son enteros positivos; cualquier

fracción que escribimos con un numerador no unitario, en el sistema egipcio se escribe como suma de fracciones

unitarias distintas, de ahí que las sumas de   fracciones unitarias se conozcan como   fracción egipcia. Además, se

puede demostrar que cualquier número racional positivo se puede escribir como fracción egipcia.

El jeroglífico de una boca abierta () denotaba la barra de fracción (/), y un arte numérico escrito debajo de la "boca abierta", denotaba el

denominador de la fracción.

Los babilonios utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que el sistema egipcio

utiliza sobre todo las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que

significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

El sistema chino de numeración con varillas permitía la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron

también las fracciones unitarias, cuya utilización persistió hasta la época medieval.

Khwarizmi introduce las fracciones en los países islámicos en el siglo IX. La forma de representar las fracciones

provenía de la representación tradicional china, con el numerador situado sobre el denominador, pero sin barra

separadora. Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en su  Liber Abaci ( Libro del Ábaco[2] ), escrito en 1202, expone una

teoría de los números fraccionarios. Las fracciones se presentan como  fracciones egipcias, es decir, como suma de

fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos.

Cronología[4]

Año Acontecimiento

1800 a.C. Registro de uso de fracciones por el Imperio Babilónico.

1650 a.C. Sistema egipcio con fracciones unitarias.

100 d.C. Sistema chino de cálculo de fracciones con varillas (Suanpan).

1202 Fibonacci difunde la notación con barra para separar numerador y denominador.

1585 Teoría sobre las fracciones decimales de Simón Stevin.

1700 Uso generalizado de la línea fraccionaria (barra horizontal u oblícua).

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 51/75

Fracción 49

Fracción unitaria

Fracción común en que el numerador es siempre 1 y el denominador un entero positivo.

Fracción egipcia

Una fracción egipcia es la representación deuna fracción común, por medio de suma de

fracciones unitarias distintas (es decir, de

numerador 1 y denominadores enteros

positivos distintos).

Todo número racional positivo se puede

expresar como suma fracciones egipcias,

esta representación no es única.

Fracción continua

Se llama fracción continua de orden n a

toda expresión de la forma:

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 52/75

Fracción 50

Véase también

• Número racional

• Matemáticas en el Antiguo Egipto

• Historia de la matemática

• Sistema de numeración

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 53/75

Fracción 51

Notas y referencias

[1] « fracción (http://buscon. rae. es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=fracción)», Diccionario de la lengua española (vigésima

segunda edición), Real Academia Española, 2001,

[2] Estudiadas por Fibonacci

[3] Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics (6th ed. edición).

Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.

[4] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

• Weisstein, Eric W. "Fraction." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld. wolfram.com/ 

Fraction.html

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Fracción. Commons

• Wikcionario tiene definiciones para fracción.Wikcionario• Operaciones con fracciones (http://www. ematematicas. net/fracciones.php)

Número irracional

En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no

puede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta

fracción es irreducible.

Notación

No existe una notación universal para indicarlos, como que no es generalmente aceptada. Las razones son que el

conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ),los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( ) y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan

apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo

cual puede crear confusión.

Fuera de ello, , es la denotación del conjunto por definición.

Clasificación

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría

parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los

números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan losnúmeros racionales.

Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos

enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al

número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo

una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número racional 1,4142135

es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual posee infinitas cifras

decimales no periódicas.

Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135

en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135… donde los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que

hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 54/75

Número irracional 52

Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres

principales son los siguientes:

1. (Número "pi" 3,14159 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

2. e (Número "e" 2,7182 ...):

3. (Número "áureo" 1,6180 ...):

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de

radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante

operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden

son irracionales algebraicos. Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica

, por lo que es un número irracional algebraico.

2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen

de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al

escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente,como los dos siguientes:

0,193650278443757…

0,101001000100001…

Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación

algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.

Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los

números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los

irracionales.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 55/75

Número irracional 53

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 56/75

54

número irracional

Número trascendenteUn número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no

nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número

algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad

fundamental de las matemáticas.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero,

diremos que es trascendente sobre si no existe ningún polinomio del que es raíz (

).El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo

tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable. Sin embargo, existen muy pocos números

trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo,

todavía no se sabe si la constante de Euler ( ) lo es, siendo = , cuando

. De hecho, ni siquiera se sabe si es racional o irracional.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

Historia

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre

ellos la Constante de Liouville:

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0

en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente

construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una

demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente

estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos

problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadraturadel círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas

griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir

con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos: es significativo que estos otros dos

problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla,

acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto

que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 57/75

Número trascendente 55

Ejemplos

Una lista de los números transcendentes más comunes:

• e

• π

• o, de forma más general, donde es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso

general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si es trascendental cuando es

algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el teorema de Gelfond-Schneider.

• si a es positivo, racional y diferente de 1. Véase logaritmo natural

• y (véase función Gamma).

• número de Champernowne: C10

= 0.123456789101112131415161718192021...

• , constante de Chaitin.

•

donde es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es0,1010001000000010000000000000001000...

• número de Liouville

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 58/75

Número trascendente 56

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Enlaces externos

• Prueba de que es trascendente (en inglés) [1]

• Prueba de que es trascendente (PDF) (en alemán) [2]

• Prueba de que es transcendente (PDF) (en alemán) [3]

Referencias

[1] http://planetmath. org/encyclopedia/EIsTranscendental.html

[2] http://www. mathematik. uni-muenchen.de/~fritsch/euler. pdf 

[3] http://www. mathematik. uni-muenchen.de/~fritsch/pi. pdf 

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 59/75

Número algebraico 57

Número algebraico

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la

forma:

Donde:

, es el grado del polinomio.

, los coeficientes del polinomio son números enteros.

Ejemplos

• Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de

.

• Algunos números irracionales como: y también son algebraicos porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y

8 x3 - 3 = 0, respectivamente.• Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son, en consecuencia,

trascendentes.[1]

• i es algebraico, siendo raíz de .

Clasificación de los complejos

• Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente.

• Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es solución de una ecuación

polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).

Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional , siempre

podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros cuya solución es

precisamente .

En cambio, los irracionales -aunque pueden ser números algebraicos- nunca pueden ser números algebraicos de

grado 1.

Propiedades del conjunto de los números algebraicos

1. La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los

números algebraicos constituyen un cuerpo matemático.

2. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando

solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números

algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la

Teoría de Galois.

3. Puede demostrarse que si los coeficientes aison números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación

volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente

cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los

racionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como forma un cuerpo con las operaciones heredadas

de los complejos . A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable.

[2]

y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros

es numerable.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 60/75

Número algebraico 58

Enteros algebraicos

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con an

= 1 se denomina entero algebraico.

Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3×21/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enteros

algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El

nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos

son los propios enteros.

Extensiones algebraicas

Las nociones de número algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros campos, no sólo aplican

al de los complejos; véase extensión algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos y de forma que el segundo es extensión del primero,

diremos que es algebraico sobre si existe un polinomio del que es raíz ( ).

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 61/75

Número algebraico 59

Referencias

[1] Weisstein, Eric W. "Transcendental Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource (http://mathworld. wolfram. com/ 

TranscendentalNumber. html).

[2] Hecho conocido demostrado por Dedekind, tal como testimonia su correspondencia

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 62/75

60

números reales

Número real

Diferentes clases de números reales.

Recta real.

Un número real es el valor puede tener la distancia entre dos puntos

cualesquiera en una recta o, también el cero o el opuesto de un número

positivo. Ejemplos de números reales son el uno, o, también, .

En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto

a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los

números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden

expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no

periódicas, tales como: .

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias

formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los

propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el

rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque

carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se

consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban

expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición

precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que

hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para lamatemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas

(aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En una

sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de

sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Historia

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C.

un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.

Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en Chinapoco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler

descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se

utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición

rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de

teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el

siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor

(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind

(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números

reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la

antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 63/75

Número real 61

Cauchy y Weierstrass.

Evolución del concepto de número

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas

prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de

número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían acocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo

expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras

dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes

tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta

forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o

la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un

triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :

Si es un número racional donde está reducido a sus términos mínimos (sin factor común)

entonces 2q²= p².La expresión anterior indica que  p² es un número par y por tanto  p también, es decir,  p=2m. Sustituyendo

obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2m².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es

imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de

un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante lasmagnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo

consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.[2]

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia

a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de

proporciones de Eudoxo. Así , los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética

puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos

encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales que

 p/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una

mejor aproximación.

[3]

Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidasmediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones,

originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los

números reales con los puntos de una línea recta.

Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la

notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y

longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma

mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora

conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando

primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica

este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse ennúmeros, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 64/75

Número real 62

Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos

métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de

límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por

ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la

intuición geométrica) mediante la serie:

entre muchas otras expresiones similares.

Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con

la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como

continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las

demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.

Tipos de números reales

Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos quepueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los

irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya

representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal

aperiódica:

Ejemplos

1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.

5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un

polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los

números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la

ecuación qx= p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales.

Ejemplos

El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

Un ejemplo de número trascendente es

Operaciones con números reales

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque

sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).

2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal

que 0· x=1).

Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas

verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de

la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable

en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 65/75

Número real 63

en geometría analítica.

Notación

Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una

secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por

ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos

consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan

más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un

número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción

decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como

proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde

íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis

matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse

que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y elanálisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la

continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número

no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo

supone que todos los números reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos

programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por

ejemplo, " ") en vez de su respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto detodos los números reales.

La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor

consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de

los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Construcciones de los números reales

Caracterización axiomática

Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la

caracterización más común mediante las siguientes tres propiedades:

Un conjunto es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

1. es un campo.

2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:

Si entonces ;

Si y entonces .

3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:

Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras que la tercera propiedad es de

naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 66/75

Número real 64

Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y

que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas

estructuras serían esencialmente la misma.

Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.

En vista de lo anterior podemos hablar de el conjunto de los números reales (y no de un conjunto de números reales)y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo para representarlo.

Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es completo en el sentido de Dedekind, pues

existen otros axiomas que se pueden usar y que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente

equivalentes. Algunos de estos son:

• (Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de Cauchy es convergente.

• (Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.

• Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tiene intersección no vacía.

Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección corresponden a su vez a otra serie de

axiomas, de modo que si se hace un desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como unconjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.

1. Si , entonces (Cerradura en la suma)

2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)

3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)

5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)

6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)

7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)

8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)

9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)

11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)

12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)

•

•

•

13. Si , y entonces (Transitividad)

14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)

15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)

16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma

del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que

distingue de otros cuerpos ordenados como .

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 67/75

Número real 65

Construcción por números decimales

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que

, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una

secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es un

elemento del conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.

Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se le

llama el conjunto de los números reales positivos.

Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se le

llama el conjunto de los números reales negativos.

Al número decimal se le llama cero.

Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.

Se define la relación de orden total de los números decimales como

1. para todo

2. siempre que y3. para todo

4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquiera

de los casos siguientes:

•

• y además existe tal que para todo y

Construcción por cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro que

se puede aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los

números racionales en dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los números

racionales y en todos los números racionales tales que .Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura

es el "espacio" que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que

y .Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reduce

simplemente a .

También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de

esta manera es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de losnúmeros reales bajo la teoría de conjuntos.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 68/75

Número real 66

Construcción por sucesiones de Cauchy

Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por

ejemplo, la ecuación.

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma , sin embargo el resultado

final es el número irracional . Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a .Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una

sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por .

Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes.

Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo

existe un tal que para todo se cumple .

De esta manera es posible definir al número real como la sucesión de números racionales:

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 69/75

Número real 67

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

Irracionales

Algebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Referencias

[1] Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.

[2] Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.

[3] Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. 19269766. ISBN 3-540-96981-0.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número real. Commons• Weisstein, Eric W. "Real Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld. wolfram.

com/RealNumber.html

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 70/75

68

número imaginario

Número imaginario

Ilustración del plano complejo. Los números

imaginarios se encuentran en el eje de

coordenadas vertical.

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo( ). Fue en el año 1777

cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i, por imaginario de manera despectiva dando a entender que

no tenían una existencia real. Aunque si suponemos un plano con ejes cartesianos en el que los reales se encuentran

sobre el eje horizontal y los imaginarios sobre el eje vertical, complejo, estos son un concepto totalmente válido.

Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que era una especie de anfibio entre el ser y la nada.En campos de ingeniería eléctrica, electrónica y relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como  j para

evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Propiedades

(se repite el

patrón

de la zona azul)

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 71/75

Número imaginario 69

(se repite el

patrón

de la zona azul)

Todo número imaginario puede ser escrito como donde es un número real e es la unidad imaginaria, con la

propiedad

,

puesto entonces:

que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario,

de esta forma:

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resulta un número imaginario, así por ejemplo:

Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos .

Usos

• La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos,

confirmando el teorema fundamental del algebra.

• Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en

general es otro número complejo.

• Gracias a la fórmula de De Moivre los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no

unívoca) mediante , así aunque cualquier número imaginario de la forma

satisface que . Curiosamente, .

• En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos

variables en el tiempo.

• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como

fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 72/75

Número imaginario 70

Referencias

Véase también

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

NaturalesUno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 73/75

Fuentes y contribuyentes del artículo 71

Fuentes y contribuyentes del artículoConjunto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50946440 Contribuyentes: .José, .Sergio, AFLastra, ALE!, Aeoris, Albertobsd, Aleator, Aloriel, Alvaro qc, Andreasmperu, Arcibel,Argentinoo, AstroNomo, Atila rey, Banfield, Camilo, Cgb, Chanchicto, Chien, Cyberdelic, DJ Nietzsche, Daniel unam, Davius, Demiannnn, Diegusjaimes, Dnu72, Echani, Eligna, Farisori,Fsd141, Galandil, Gusgus, Götz, HUB, HiTe, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Ialad, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, JMCC1, Jcaraballo, Jkbw, Jorge c2010, Juan Marquez, Juana Banana, Kn,Leonpolanco, Linkedark, Lipedia, Loku, Luis Felipe Schenone, Maestro de matemáticas, Mafores, MarcoAurelio, Marianov, Matdrodes, Mctpyt, Moriel, Nachosan, Netito777, Olivares86, PhJ,Pilaf, Piolinfax, PoLuX124, Porao, Rafamarley, Savh, Sergio Andres Segovia, Serser, Sittsam, Technopat, Tesla91, The crazy01, Tirithel, Tomatejc, UAwiki, Unf, Vargenau, Wewe, Xerox0x5B,Yayoloco, Yormilenio, conversion script, w066.z064003107.lax-ca.dsl.cnc.net, 213 ediciones anónimas

Número compuesto  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50511673 Contribuyentes: Aleposta, Alexav8, Dianai, Diegusjaimes, Dnu72, ElVaka, Faustito, GermanX, Jgomez53,Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, LMLM, Loro 2, Lourdes Cardenal, Magister Mathematicae, Maleiva, Matdrodes, Maugemv, Mel 23, Muro de Aguas, NeVic, Palcianeda, Quetzal02, Raulshc, Rodricyberdog, SaGuMa, Sabbut, Sergio Andres Segovia, Tirithel, 60 ediciones anónimas

Número natural  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50984596 Contribuyentes: -jem-, 217-127-165-236.uc.nombres.ttd.es, 2fast4all, Airunp, Akhram, Akma72, Alephcero,Alexander-Venezuela, Alvaro qc, Amadís, Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arrt-932, Arturo Reina, Ascánder, AstroNomo, Ayleen, BL, Banfield, Barteik, Belb, Beto29,BetoCG, BlackBeast, Blitox, Carloszelayeta, Cgb, Chanchicto, Charly Toluca, Cinabrium, Cobalttempest, Criscam.11, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Damián del Valle, Dangelin5, Daniel JG, Dark,David0811, DayL6, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Domaniom, Dorieo, Drappy Dan, Dreitmen, Eduardo 09fut, Eduardosalg, Efe rro, Eloy, Elsenyor, Emiduronte, Ernessaul, Ernesto Trento,Erudición, Faustito, Feministo, Fmariluis, Foundling, Fran89, Fsd141, GermanX, Ggenellina, Gizmo II, Grillitus, Gusgus, Gustronico, Góngora, HUB, House, Hugoses, Humberto, JMCC1, Jkbw,Jndvdrm, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Julio grillo, Kn, Komputisto, Lahi, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Locos epraix, Lourdes Cardenal, Luienrike, Lulu123,Macheledesma, Mafores, Magister Mathematicae, Manwë, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Mel 23, MiguelMTN, Montgomery, Moriel, Mortadelo, Mortadelo2005, Msdus, Muro de Aguas,Nachosan, Netito777, Nihilo, Ornitododo, Oscarthebig, Pan con queso, Platonides, PoLuX124, Poco a poco, Queninosta, Raulshc, RoyFocker, Rumpelstiltskin, Sabbut, Saloca, Sigmanexus6,Sittsam, Super braulio, Superzerocool, Taichi, Technopat, Tguardia, Toad32767, Tonatihu, Tuncket, Valentin vendetta, Vatelys, Vitamine, Vivero, Vubo, WILLIAM ARANGO RESTREPO,Wesisnay, Wikipedico wikipedico, Xatufan, Yeza, Ysidoro, Zorosandro, conversion script, dup-200-65-89-249.prodigy.net.mx, 561 ediciones anónimas

Número primo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50743413 Contribuyentes: 4lex, ALEJANDRO PRENSA MARTINEZ, Adrruiz, Airunp, Aleph0, Allforrous, Alpertron,Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arturo Reina, Ascatala, Ascánder, Asimal, AstroNomo, B25es, Baiji, Barcex, Barct, Beto29, BlackBeast, Brindys, Bryant1410, Bucho, C'estmoi, CaStarCo, Carlos Alberto Carcagno, Carlosblh, Cgb, Charly genio, Cobalttempest, Comae, Comu nacho, Corrector1, Dangelin5, Daniel JG, Dark, Delphidius, Diegusjaimes,

Diogeneselcinico42, Dnu72, Dorieo, Drini2, EL Willy, Eamezaga, Edmenb, Edslov, Eduardosalg, El nawe, Emijrp, Er Komandante, Ezarate, Farisori, Fer nando101, Frutoseco, GermanX,Ggenellina, HUB, Heliocrono, Heriotza, Hpasten, Hugone, Humberto, Icvav, Ingenioso Hidalgo, Interscope, Interwiki, JMCC1, Jarisleif, Javierito92, Jerowiki, Jjafjjaf, Jo-Con-El, JorgeGG,Joseantoniopeke, Joseaperez, Juan Mayordomo, Julio grillo, Kn, KnightRider, Kronin, L'abbaco spagnolo, Lagarto, Leon-sotelo, Macarse, Mafores, Magister Mathematicae, Maldoror, ManelC,Manwë, Mar del Sur, Marianorbc, Mario peral manzo, Matdrodes, MatiasBellone, Metrónomo, Miguel.izquierdo.garcia, Moriel, Mrbrocoli, Muro de Aguas, Mushii, Ncc1701zzz, NeVic,Netito777, NicolasAlejandro, Nixón, Noluz, Nueva era, Pabloallo, Paintman, Paulienator, Pedro.patino, Petronas, Pieter, PoLuX124, Pyr0, Qwertyytrewqqwerty, RGLago, Raulshc, Ricardogpn,Roberpl, Roberto Fiadone, Rodri cyberdog, Rrecillas, S80236g, Sabbut, Sanbec, Schummy, Siddhartazen, Sive, Slimtrax, Snakeeater, Sofista, Strato79, Super braulio, Tamorlan, Tano4595,Thebossking13, Tirithel, Tomatejc, Toshi8956, Userwiki, Vitamine, Wilfredor, Yeza, Youandme, Youssefsan, ^ DeViL ^, Ñuño Martínez, 448 ediciones anónimas

Número entero  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51060588 Contribuyentes: 217-125-66-179.uc.nombres.ttd.es, Abgenis, Adriansm, Airunp, Airwolf, Alephcero,Andreasmperu, Angel GN, Ascánder, AstroNomo, Açipni-Lovrij, Bachi 2805, Baiji, Belb, Beto29, BuenaGente, Camilo, Camiz10, Chanchicto, Charly Toluca, Comae, David0811, Davius,Diegusjaimes, Dnu72, Doctor C, Dodo, Dreitmen, Edp3, Eduardosalg, Eli22, Eligna, Eloy, Especiales, Esteban474, FAR, Faco, Farisori, Foundling, Fran89, FrancoGG, Furti, GermanX,Ggenellina, Gilaaa, Greek, Gsrdzl, Gusbelluwiki, Gustronico, Hawking, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Jacastrou, Jacoki, Jarev, Jarisleif, Javierito92,Jcaraballo, Jjafjjaf, Jkbw, Jonathan11117, Joseaperez, Juan Marquez, Juancri, KanTagoff, Karlozshida, Karshan, Kelvin539, Kn, Kved, Laura Fiorucci, Leonpolanco, M S, Maaavilapa, Macar,MadriCR, Magister Mathematicae, Maleiva, Manwë, Matdrodes, Maveric149, Mel 23, MiguelAngel fotografo, MiguelAngelCaballero, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Mushii, Netito777, Nicop,Nixón, Otnirebal, Pabcar, Pan con queso, Pieter, Pimer, PoLuX124, Poco a poco, Rastrojo, Raulshc, Raystorm, Rob Hooft, Roninparable, RoyFocker, Rubenerm, Sabbut, Savh, Sebrev, SergioAndres Segovia, Sofiaa B, Super braulio, Technopat, Tharasia, Tirithel, Tortillovsky, Txo, Valentin vendetta, Vitamine, Vivero, Wewe, Xqno, Xsm34, Yearofthedragon, Youssefsan, Zanaqo,conversion script, 628 ediciones anónimas

Fracción  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51056108 Contribuyentes: 13on%, 142857, Addicted04, Airunp, Alejandro24, Alexav8, Allforrous, Amadís, Angel GN, Angelo

Fernandez, Antur, Ascánder, Açipni-Lovrij, Banfield, Beto29, Biasoli, BlackBeast, Bolt58, Bonaire, CF, Camilo, Canislupusarctos, Charly genio, Cobalttempest, Dark Bane, David0811, Davius,Dianai, Diegusjaimes, Dodo, Don Depresor, Dreitmen, Eduardosalg, Eligna, Elliniká, Emijrp, Entalpia2, Farisori, Fer nando101, Flores,Alberto, Fmcastellanosr, Foundling, Fran89, George deMoraes, Ggenellina, Gieze, Greek, Guatonchico, Guillermo-, Gusgus, HUB, HiTe, House, Hprmedina, Humberto, Iiiangeliii, Ingenioso Hidalgo, J.delanoy, JMCC1, Javisoar, Jcaraballo, Jerowiki,Jgtr, Jkbw, Jlgarciag, JorgeGG, Josep Maria 15., Juan Mayordomo, Julgon, Kved, Leonpolanco, Leugim1972, Locovich, Lopezpablo 87, Lucien leGrey, Luis Fernando Nuñez Hernandez,MadriCR, Mafores, Maldoror, Maleiva, Manolo456, Marco94, Marcosbolda, Markoszarrate, Matdrodes, Mauricio oswaldo villegas, Maveric149, Millars, Nachosan, Netito777, NicolasAlejandro,Nioger, Ortisa, PACO, PACOandMOLOTOV, Paintman, Panxxo's, PoLuX124, Poceobrasil, Ppja, Republicanito, Roberto Fiadone, Rodriguillo, RoyFocker, Rαge, Sabbut, SaeedVilla, Savh,Sebasgs, Sebrev, Sejemjet, Shadree, Sking, SpeedyGonzalez, Sweetkami, Taichi, Tano4595, Technopat, Temox, Terminal Mix, Tirithel, Tortillovsky, Tronch, Vitamine, Wikiléptico, Wilfredor,XalD, Xgarciaf, Xsm34, Zeoroth, Zoilo J, 523 ediciones anónimas

Número irracional  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50786290 Contribuyentes: .Sergio, 3coma14, Abajo estaba el pez, Adriansm, Angel.F, Aparejador, Axxgreazz,Açipni-Lovrij, Banfield, BlackBeast, Ca in, Carabás, Charly genio, Cobalttempest, Decot, Diegusjaimes, Dnu72, Edslov, Eligna, Especiales, Gato ocioso, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek,HanniballL, HiTe, Hispa, Humberto, Ialad, Iulius1973, JMCC1, Jarke, Jkbw, Joseaperez, Julian Mendez, Kn, Lsdelrio, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Manolo456, Matdrodes, Mencey,Moriel, Mortadelo2005, Mr-lonxito, Msdus, Muro de Aguas, Netito777, Nicoguaro, Nikho 98, Otnirebal, PACO, PoLuX124, Poco a poco, Radical88, Ramjar, RamonExio, Raulshc, Raystorm,Rosarinagazo, Sabbut, SaeedVilla, Sanbec, Savh, Snakefang, Tano4595, Technopat, Tirithel, Tomatejc, Tortillovsky, Varano, Vivero, Wewe, Will vm, Xenoforme, YoaR, Youssefsan, conversionscript, 245 ediciones anónimas

Número trascendente  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51063368 Contribuyentes: Canela2, Cdlfd, Comu nacho, Digigalos, Dnu72, Faustito, GermanX, Ggenellina, Govalant,Idleloop, Jerowiki, Joseaperez, Leonpolanco, LittleAngryAlien, Marsal20, Miyeve 18, Moriel, Muro de Aguas, Nicoguaro, Quintanar, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Ronald2308, Rosarinagazo,SMP, Sabbut, Serrano23, Vivero, Wewe, Wiles, 34 ediciones anónimas

Número algebraico  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=51064385 Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, GermanX, Ggenellina, Grillitus, Humberto,Joseaperez, Jtico, Komputisto, Marsal20, Moriel, Muro de Aguas, Psobrino, Raulshc, Rosarinagazo, Sabbut, Scott MacLean, Serlack, VictorMiguelGS, Wewe, YoaR, Yrithinnd, 40 edicionesanónimas

Número real  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50976101 Contribuyentes: 3coma14, Akael, Alvaro qc, Andre Engels, Andreasmperu, Antur, Aparejador, AstroNomo,Açipni-Lovrij, Balderai, Banfield, Bucephala, BuenaGente, C'est moi, CASF, Camiloalcubo2, Carloszelayeta, CayoMarcio, Charly Toluca, Charly genio, Chfiguer, DJ Nietzsche, Daniel JG, DarkBane, Dat, Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen, Drini2, Eduardosalg, Eligna, Elliniká, Emiduronte, Erfil, Foundling, Gemini1980, GermanX, Ggenellina, Gonis, Greek, Gsrdzl, Guanxito,Hawking, Henry1103-2009, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Kadellar, Kikegall, Klemen Kocjancic, Kn, KnightRider, Kved,Kybernia, Lauranrg, Lenincomp, Leonpolanco, Linkedark, Lojano, Lsdelrio, MI GENERAL ZAPATA, Magister Mathematicae, Maldoror, Maleiva, Manwë, Martorell, Matdrodes, Matiasasb,Maveric149, Miguel, Miss Manzana, Moriel, Msdus, Muro de Aguas, Mutari, Nachosan, Nicop, Nory caro, OMenda, Oscar ., Paintman, Parras, Pee jayem, Petruss, PoLuX124, Poco a poco,Point-set topologist, Rastrojo, Raulshc, Ravave, Rovnet, Rupert de hentzau, Sabbut, Santiperez, Savh, Sebrev, Sigmanexus6, Snakeyes, Soulreaper, Super braulio, Susleriel, Technopat, Thctase,Tirithel, Txo, Vitamine, Vivero, Walter closser, Wewe, Yeah2323, Youssefsan, conversion script, 311 ediciones anónimas

Número imaginario  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50857874 Contribuyentes: .Sergio, Airunp, Allforrous, Biasoli, Bjankuloski06es, BlackBeast, Davius, Diegusjaimes,Dnu72, Electronvolt, Emmanuele, GTubio, Gengiskanhg, GermanX, Guervos, Guevonaso, Gusgus, Götz, Interwiki, J.delanoy, Knaverit, Leonpolanco, Mafores, Magister Mathematicae,Marsal20, Mccuack, Moriel, Mpeinadopa, Msdus, Muro de Aguas, Nicanor G, Nicoguaro, PACO, Pati, Poco a poco, R2D2!, Randyc, Raulshc, Ricardogpn, Roberto Fiadone, Rosarinagazo, SMP,Super braulio, TML, Tano4595, Tortillovsky, Totowe123, Wikiwert, XalD, Youssefsan, 76 ediciones anónimas

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 74/75

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 72

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:PolygonsSet.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsSet.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:PersonsSet.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PersonsSet.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Toilets_unisex.svg:AIGA symbol signs collection derivative work: chanchicto

Archivo:Membership.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Membership.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:Subset-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Subset-2.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:SetUnion.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetUnion.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:SetIntersection.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetIntersection.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:SetDifferenceA.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetDifferenceA.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:SetDifferenceB.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetDifferenceB.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:SetSymmetricDifference.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:SetSymmetricDifference.svg  Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes:User:Chanchicto

Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.

Archivo:Three apples.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Three_apples.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Oleg Alexandrov

Archivo:Pierre de Fermat.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pierre_de_Fermat.jpg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: -

Archivo:Prime rectangles.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Prime_rectangles.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Fredrik Johansson

Archivo:PrimeNumberTheorem.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumberTheorem.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:FredStober

Archivo:PrimeNumbersSmall.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeNumbersSmall.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Original uploader wasJabberWok at en.wikipedia

Archivo:Primenumbers2310inv.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Primenumbers2310inv.png  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:Original uploader was Flimsy.twiddle at en.wikipedia

Archivo:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif   Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: 6Sixx, Brian0918, Jahobr, JohnBlackburne, Waldir, 3 ediciones anónimas

Archivo:Pentagon construct.gif   Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Pentagon_construct.gif  Licencia: Public domain Contribuyentes: TokyoJunkie at the EnglishWikipedia

Archivo:Gaussian primes.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gaussian_primes.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Hack

Archivo:TrefoilKnot-01.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:TrefoilKnot-01.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: AnyFile, Maksim, Marnanel,Schneelocke, 2 ediciones anónimas

Archivo:PrimeKnot-4-1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-4-1.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: AnonMoos, Guybrush Threepwood,Maksim, 1 ediciones anónimas

Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Knot-cinquefoil-sm.png  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: AnonMoos,AnyFile, Maksim, Svgalbertian, 2 ediciones anónimas

Archivo:PrimeKnot-5-2.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PrimeKnot-5-2.png  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Guybrush Threepwood, Maksim, 1ediciones anónimas

Archivo:Nuvola apps edu mathematics-p.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg  Licencia: GNU Lesser General Public License Contribuyentes: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion)

Archivo:Subtraction.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Subtraction.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: File:Fruit.svg:Gage. File:WikiVoc-banana.svg: Andrew c. Derivative work: Chanchicto.

Archivo:Integers-line.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Integers-line.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: Chanchicto

Archivo:AdditionRules-2.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:AdditionRules-2.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0,2.5,2.0,1.0 Contribuyentes: AdditionRules.svg: Ezra Katz derivative work: chanchicto

Archivo:PieChartFraction threeFourths oneFourth-colored differently.svg  Fuente:http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PieChartFraction_threeFourths_oneFourth-colored_differently.svg Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: User:Canislupusarctos, User:Ezra_Katz

Archivo:Fraction3 4.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fraction3_4.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: HB, 1ediciones anónimas

Archivo:Cake quarters.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Cake_quarters.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Acdx, R. S. Shaw

Archivo:Kbruch.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Kbruch.png  Licencia: GNU General Public License Contribuyentes: DBGthekafu

Archivo:Percent 18e.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Percent_18e.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: Farmer Jan and bdesham

Archivo:Oudjat.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Oudjat.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: User:BenduKiwi

Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Licencia: logo Contribuyentes: es:Usuario:Pybalo

Archivo:Números reales.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Números_reales.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Drini (PedroSánchez)

Archivo:Real number line.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Real_number_line.svg  Licencia: Public Domain Contribuyentes: User:Phrood

Archivo:Latex real numbers.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Latex_real_numbers.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:Arichnad

Archivo:Complex conjugate picture.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_conjugate_picture.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Oleg Alexandrov

5/11/2018 Libro conjunto num rico - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/libro-conjunto-numerico 75/75

Licencia 73

Licencia

Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/