“Año de la diversificación productiva y del fortalecimiento de la educación”

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ADMINISTRATIVA Y CONTABLES

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO

Asignatura: Calculo II

Docente:

Alumnas(os) :

Natali Fatima Ugaz Morveli 013300308-G Merilu Anita Zuñiga Choquehuanca 013300 013300 013300

Semestre: 2015-1

Cusco – Perú 2015

Multiplicadores de Lagrange

PRESENTACION

Nos es grato presentar a nuestro docente en esta oportunidad un tema de mucha importancia ejemplificando sobre el Método de los Multiplicadores de Lagrange y así aportar a nuestro conocimiento, a nuestra carrera profesional, a esta asignatura y otros tal información. Esperando que el trabajo con la información aportada este acorde con las expectativas de nuestro docente y demás personas y a la vez esperando que sepa entender nuestros errores.

Gracias las alumnas y alumnos

INTRODUCCION

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados

así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y

mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el

problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es

igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente.

Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas

multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un

extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una

nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las

funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias

variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las

condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables

independientes de la función sean iguales a cero.

CAPITULO I

HISTORIA DE LOS MULTIPLICADORES DE LANGRANGE

CAPITULO II

EL METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Ejemplo #1[editar]

Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima

entropía. Entonces

Podemos usar los multiplicadores de Lagrange para encontrar el punto de máxima

entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n,

necesitamos

lo que nos da

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

Esto muestra que todo pi es igual (debido a que depende solamente

de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la

mayor entropía.

Ejemplo #2[editar]

Determinar los puntos en la esfera   que

están más cercanos al punto 

la distancia al punto  :

para hacer más sencilla la operación se maximiza o minimiza el

cuadrado de la distancia:

la restricción: 

De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, se

resuelven las ecuaciones "   " y " " y el

resultado es:

(1)

(2)

(3)

(4)

la manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es dejar x, y,

z en función de   y luego sustituimos en la ecuación (4).

de la ecuación (1) obtenemos   se observa que   ≠ 1

por que si   no se puede realizar la operación.

lo mismo sucede con la ecuación (2) y (3)

sustituyendo en la ecuación (4)

se obtiene que 

y entonces los puntos (x, y, z) son :

 y 

se puede observar que el punto más cercano entonces

es 

Ejemplo #3 (restricciones múltiples)[editar]

Restricciones:

Aplicar el método: 

Entonces:

Por lo tanto, los puntos críticos son:

Bastará entonces evaluar la función en esos puntos para

determinar que:

por lo que en ambos puntos   tiene un máximo si está restringida

de esta manera.

Criterio de la segunda derivada para Extremos con Restricción[editar]

El caso bidimensional[editar]

Como en el caso no restringido en el que usamos la matriz Hessiana y el criterio de

Sylvester para determinar la naturaleza de los puntos críticos, en presencia de

multiplicadores de Lagrange existe un método análogo para descubrir si un punto crítico

v0 es máximo, mínimo, o punto silla.

Sea f:U⊂ℝ2→ℝ y g:U⊂ℝ2→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal

que g(v0)= c y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que  g(v0)≠0 y

existe un número real   tal que  f(v0) =  g(v0). Para la función auxiliar h = f - 

g tenemos la matriz hessiana limitada:

 evaluada en v0

1. Si |H|>0 entonces v0 es un máximo local en f limitada a S

2. Si |H|<0 entonces v0 es un mínimo local en f limitada a S

3. Si |H|=0 entonces el criterio no concluye nada

El caso n-dimensional[editar]

Análogamente al caso bidimensional, consideramos el caso n-dimensional,

Sea f:U⊂ℝn→ℝ y g:U⊂ℝn→ℝ dos curvas suaves de clase C2. Sea v0∈U tal

que g(v0)= c y sea Selconjunto de nivel de g con valor c. Asumimos que  g(v0)≠0 y

existe un número real   tal que  f(v0) =  g(v0). Para la función auxiliar h = f - 

g construimos la matriz hessiana limitada:

 evaluada en v0

Examinamos los determinantes de las submatrices en la diagonal de orden mayor

o igual a 3:

1. Si todos ellos son mayores que 0, tenemos un mínimo local en v0

2. Si el primer subdeterminante de tamaño 3x3 es mayor que cero, el

siguiente (el de 4x4) es menor que cero, y de esa manera los

subdeterminantes van alternando su signo, tenemos un máximo local en

v0

3. Si todos los subdeterminantes son distintos de cero, pero no siguen

ninguno de los dos patrones anteriores, tenemos un punto silla en v0

4. Si no se da ninguno de los tres casos anteriores, el criterio no concluye

nada

CAPITULO IV

CONCLUSION

En este artículo hemos intentado poner de manifiesto que los multiplicadores de Lagrange son mucho más que meras variables auxiliares y poseen interesantes interpretaciones, en especial en el caso de problemas de naturaleza económica. Además, a pesar de haber cumplido ya más de doscientos años, siguen gozando de buena salud; en efecto, aún hoy continúan siendo objeto de investigación en relación con otros problemas de optimización más sofisticados que los considerados en este artículo. El lector interesado puede constatar la veracidad de esta afirmación consultando el reciente libro [8] y las referencias allí citadas. Otra lectura altamente recomendable, que constituye una excelente invitación a profundizar en la teoría de los multiplicadores de Lagrange y temas relacionados, es el artículo

CAPITULO V

BIBIOGRAFIA Y WEBGRAFIA

F.H. Clarke: Generalized gradients and applications. Trans. Amer. Math. Soc. 205 (1975), 247–262.

J.L. Lagrange: Méchanique Analitique. Veuve Desaint, 1788.

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/l/lagrange.htm

http://www.ehowenespanol.com/metodo-lagrange-economia-sobre_73850/