MÉTODO DE LA GRAN M

Investigación Operativa I

Consiste en modificar el problema original y transformarlo a la forma canónica, agregando un nuevo vector, conocido como variable artificial W, a las restricciones que generan el problema de negatividad (por lo general, ocurren las restricciones de igualdad y mayor-igual).

Estas variables penalizan a la función objetivo con un costo de MW, donde M es un valor positivo arbitrario muy elevado. Como el método simplex siempre trata de mejorar la función objetivo, intentará sacar a W de la base cuanto antes posible.

Si durante la operación se llegará a una solución óptima en que W tiene un valor positivo, entonces implica que el problema original no tiene solución (o la solución no es factible).

Nota: hay que tener presente que cuando la función objetivo es una maximización, la variable artificial la penalizará con un valor negativo (-MW), en cambio, para una función objetivo de minimización, la variable artificial la penalizara con un valor positivo (+MW).

Ejemplo:

La forma estándar del modelo simplex queda:

0,,,

42

634

33

:.

4

max

4321

421

321

21

21

XXXX

XXX

XXX

XX

as

XXz

0,

42

634

3 3

:.

4

max

21

21

21

21

21

XX

XX

XX

XX

as

XXz

Pero la restricción 1 y 2 no tienen variables que desempeñen la función de variable holgura, es decir, en la primera no existe variable y en la segunda hay una variable superflua, por lo cual, para solucionar dicho problema, se le adicionan dos variables artificiales w1 y w2:

634

33

2321

121

WXXX

WXX

Entonces, el PPL queda:

0,,,,,

42

634

33

:.

4

max

214321

421

2321

121

2121

WWXXXX

XXX

WxXX

WXX

as

MWMWXXz

Tenemos tres ecuaciones y seis incógnitas, por ello, la base inicial debe incluir 6-3=3 variables básicas con valor distinto a cero e igual número de no básicas con valor igual a cero. Para ello, la función objetivo debe contener el mismo número de variables que no están en la base, pero la función objetivo esta constituida por cuatro variables, por lo cual, será necesario sustituir los términos de w1 y w2 para obtener la forma canónica adecuada; lo anterior, se efectúa reemplazando dichos términos partir de las restricciones que poseen dichas variables w1 y w2. Para nuestro caso, corresponde a la restricción 1 y 2:

3212

211

346

33

XXXW

XXW

Por lo tanto, la función objetivo queda como:

MMXMXMXZ

MXMXMXMMXMXMXXZ

XXXMXXMXXZ

9)41()74(

346334

)346()33(4

321

3212121

3212121

MMXXMXMZ 9)41()74( 321

Finalmente, el PPL queda de la siguiente manera:

0,,,,,

42

634

33

:.

9)41()74(

max

214321

421

2321

121

321

WWXXXX

XXX

WXXX

WXX

as

MMXXMXMz

El tableau inicial queda:

Z X1 X2 X3 W1 W2 X4 1 -(4+7M) -(1+4M) M 0 0 0 -9M

W1 0 3 1 0 1 0 0 3 W2 0 4 3 -1 0 1 0 6 X4 0 1 2 0 0 0 1 4 Z X1 X2 X3 W1 W2 X4 1 0 (1-5M)/3 M (4+7M)/3 0 0 4-2M

X1 0 1 1/3 0 1/3 0 0 1 W2 0 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 X4 0 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Z X1 X2 X3 W1 W2 X4 1 0 0 1/5 (8+5M)/5 -(1-5M)/5 0 18/5

X1 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 X2 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 X4 0 0 0 1 1 -1 1 1

La solución óptima es:

)(5/18$

0

0

0

1

5/6

5/3

2

1

3

4

2

1

umZ

W

WW

X

X

X

X

X

XX

N

B