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MMC en la producción del petróleo Ejemplos de aplicación Conclusiones

Método de Volumen Finito en la Simulación deYacimientos

Seminarios de Modelación Matemática y Computacional : 6to Ciclo

Luis Miguel de la Cruz

Unidad de Investigación en Cómputo Aplicado–DGSCA–[email protected]

www.dci.dgsca.unam.mx/lmcs

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Contenido

1 MMC en la producción del petróleoModelo físicoModelo matemáticoModelo discreto

2 Ejemplos de aplicaciónTUNA::FVMFlujo en una faseFlujo en dos fases

3 Conclusiones



Proceso general de la MMC

La modelación matemática y computacional (MMC) consiste de la construcciónde modelos matemáticos de fenómenos que ocurren en la naturaleza y enprocesos industriales, y de la solución de éstos mediante el uso de técnicasnuméricas y computacionales





3 Conclusiones



Modelo Físico

Un yacimiento petrolero está constituido de un material sólido yporoso (la matriz), cuyos huecos están llenos de fluidos que seseparan en tres fases: agua, aceite y gas. En la fase agua sólohay H2O, pero tanto en la fase de aceite como en la fase de gashay muchos hidrocarburos de distinta composición



Modelo Físico

En la simulación de yacimientos petroleros (SYP)I Rasgos geológicos y estructurales del yacimiento.

F Fallas, delimitación de unidades geológicas, tipos de rocas y sudistribución, etc.

I Distribución de las propiedades petrofísicas de roca y fluidos.F Porosidad, permeabilidad, saturación, etc.

I Tipo de modeloF Una, dos o tres fases (petróleo, agua, aceite).F ComposicionalF Modelos térmicos.F Reacciones químicas



Modelo Físico

En un sistema multifásico, se tienen dos o más fluidos llenandoun volumen, los cuales son inmiscibles y están separados por unainterfase bien definida, a cada fluido se le llama fases.Las fases se dividen en mojadoras (wetting) y no mojadoras(non-wetting).

En general se considera el agua como fase mojadora y el petróleo(aceite) como fase no mojadora.



Modelo Físico

Un medio poroso consiste de una matriz sólida y de los poros.

La porosidad se define como:

φ =Volumen del espacio del poroVolumen representativo (VR)

φe =Volumen del espacio del poro disponible

VRφe ≤ φ



Modelo Físico

Las interacciones entre un fluido y la matriz sólida, en un medioporoso, se toman en cuenta mediante la conductividad hidráulica,que para dos o más fluidos se escribe como

K = krαkραgµα

En esta relación k es la permeabilidad intrínseca de la roca y krαes la permeabilidad relativa de la fase α. µα es la viscosidad.En general k es un tensor. En un sistema anisotrópico donde elsistema de coordenadas coincide con las direcciones del flujoprincipales se tiene:

k =

„kxx 00 kyy

«( en 2D)

Si el medio es isotrópico kxx = kyy .



Modelo Físico

La saturación de cada fase es:

Sα =Volumen de la fase α dentro en VR

Volumen del espacio del poro en VR

Se asume que el VR se llena completamente por las fases de talmanera que se cumple: ∑

α

Sα = 1

En la interfase entre un fluido mojador y uno no mojador ocurrenfuerzas interfaciales, las cuales se rigen por la presión capilar:

pc = pn − pw

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Modelo Físico

En la explotación y modelación de un yacimiento petrolero se tienentres etapas:

Producción primaria (10 – 12 %)I Se bombea a través de pozos aprovechando la presión natural del

yacimiento.I Se modela el movimiento de una o dos fases.

Producción secundariaI Se inyecta agua para desplazar al petróleoI Se modelan tres fases: agua, aceite y gas (al caer la presión parte

del petróleo pasa a ser gas)Producción terciaria (EOR)

I Se inyecta vapor, aditivos químicos, calor, y se hace combustión insitu.

I Se modela el movimiento del vapor y los aditivos químicos; loscambios de composición química de las fases; el transporte ydifusión del calor; la combustión in situ del petróleo.

Prod. secundaria + prod. terciaria 40 %LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 11 / 66




3 Conclusiones

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Modelo Matemático

La formulación matemática que se presenta a continuación sehace usando el método axiomático presentado en:

1 Allen, Herrera, y Pinder, “Numerical modeling in science andengineering”, John Wiley, 1988.

2 Herrera y Pinder, “General principles of mathematicalcomputational modeling”, John Wiley, a ser publicado.

En este método se identifican:I “Propiedades extensivas”: aquellas que se pueden expresar como

una integral de volumen.I “Propiedades intensivas” : cualquier extensiva por unidad de

volumen.

E(t) =

∫B(t)

ψ(x , t)dx

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Modelo Matemático

Al transcurrir el tiempo las propiedades extensivas solamentevarían por que se producen en el interior del sistema o porqueentran por la frontera.

dEdt

=

∫B(t)

g(x , t)dx +

∫∂B(t)

τ(x , t) · ndx

g(x , t) es la “generación” de la propiedad extensivaτ(x , t) es el vector de “flujo” de la propiedad extensivaEcuación diferencial de balance (ec. gral. de transporte):

∂ψ

∂t+∇ · (vψ) = ∇ · τ + g

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Modelo Matemático

Este proceso es sistemático:1 Identificar una familia de propiedades extensivas.2 Se expresa la condición de balance de cada una de ellas en

términos de las propiedades intensivas correspondientes.3 Las propiedades asociadas a una misma fase se mueven con la

misma velocidad.4 Se incorporan leyes constitutivas.

Modelo unificado de los sistemas multifásicos

∂ψα

∂t+∇ · (vαψα) = ∇ · τα + gα

α = 1, . . . ,m

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Modelo Matemático: recuperación secundaria

Modelo de petróleo negro (beta).I Tres fases: agua, aceite y gas. Estas fases están separadas en los

poros.I En la fase aceite hay dos componentes: aceite no volátil y gas

disuelto.I En las otras fases hay una sola componente.I Hay intercambio entre las fases aceite y gas: el gas disuelto puede

pasar a ser gas.I El medio está completamente saturado.I El medio está en equilibrio térmico.I No hay difusión.

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Propiedades extensivas:I La masa del aguaI La masa del aceite no volatil (fase aceite)I La masa del gas disuelto (fase aceite)I La masa del gas

Propiedades extensivas

Mw (t) =

∫B(t)

φSwρwdx

Mo(t) =

∫B(t)

φSoρodx

Mdg(t) =

∫B(t)

φSoρdgdx

Mg(t) =

∫B(t)

φSgρgdx

Propiedades intensivas

ψw = φSwρwdxψo = φSoρodxψdg = φSoρdgdxψg = φSgρgdxρo = ρo + ρdg

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Modelo Matemático: recuperación secundariaEcuaciones de balance global

dMw (t)dt

=

ZB(t)

gw dx

dMo(t)dt

=

ZB(t)

godx

dMdg(t)dt

=

ZB(t)

“gdg + go

g

”dx

dMg(t)dt

=

ZB(t)

“gdg + gg

o

”dx

Ecuaciones diferenciales de balance

∂(φSwρw )

∂t+∇ · (φSwρw vw ) = gw

∂(φSoρo)

∂t+∇ · (φSoρovo) = go

∂(φSoRS ρo)

∂t+∇ · (φSoρdgvo) = gdg + go

g

∂(φSgρg)

∂t+∇ · (φSgρgvg) = gg + gg

o

Sw + So + Sg = 1 y gog + gg

o = 0

Las gα corresponden a la extracción de cada fase; gog es la masa de

gas que se disuelve en la fase aceite; ggo es la masa de gas disuelto

que se volatiliza pasando a la fase gas.LMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 18 / 66



Velocidad de Darcy para flujo multifásico

uα = φSαvα, α = w ,o,g

Sustituyendo la velocidad de Darcy se obtiene:

∂(φSwρw )

∂t+∇ · (ρwuw ) = gw

∂(φSoρo)

∂t+∇ · (ρouo) = go

∂φ(Sgρg + SoRS ρo)

∂t+∇ · (ρgug + ρoRSuo) = gg + RSgo

Sw + So + Sg = 1

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Ley de Darcy : Flujo multifásico

uα = −kkrα

µα

(∇pα + ραγ

)donde γ representa la fuerza de la gravedad.Solubilidad:

ρdg = RS ρo

Presiones capilares:

pcgo(Sg) = pg − po

pcow (Sw ) = po − pw

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3 Conclusiones

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Modelo discreto

Modelo petróleo negro: 9 ecs. por nodo de la malla y el mismonúmero de incógnitas, (ρw , ρo, ρg ,Sw ,So,Sg ,uw ,uo,ug).Modelo composicional: 2× Nc + 9 ecuaciones en cada nodo, conel mismo número de incógnitas. Nc es el número decomponentes.Para 80,000 nodos:

I Petróleo negro: ≈ 7,2× 105

I Composicional: Nc = 5;≈ 1,5× 106.

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Modelo discreto

En general no existe solución analítica del modelo matemático.Se usan métodos numéricos para aproximar las soluciones bajodiferentes circunstancias.El problema se transforma en un modelo discreto:

I Discretización del espacio

I Discretización de las ecuaciones matemáticas continuas.

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Modelo discreto: espacio

En los métodos numéricos tradicionales se requiere de laconstrucción de una malla sobre el dominio físico de estudio.En SYP la generación de la malla es un proceso muy complejo,pues las mallas son irregulares y con fallas.Otra opción son los métodos libres de malla.

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Modelo discreto: ecuaciones

Algunos métodos de discretización de las ecuaciones son:Diferencias finitas (MDF), Volumen finito (MVF), Elemento finito(MEF), Métodos espectrales, Métodos libres de malla, entre otros.En años recientes el método de MVF, originalmente desarrolladopara mallas estructuradas, ha sido adaptado a mallas noestructuradas para geometrías complejas.Debido a esto el MVF ha sido utilizado en SNY, y de acuerdo convarios autores, es actualmente una buena opción a MDF y MEF.Bondades del MVF

I Menos grados de libertadI ConservativoI Más fácil de implementar que MEF.I Menos esfuerzo computacional que MEF.I Más preciso que MDF.

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Método de Volumen Finito (MVF)

Existen dos posibilidades para ubicar las variables sobre la malla:

(a) Cell-Centered (CC)(b) Vertex-Centered (VC)

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El MVF se deriva del método de residuos pesados:

L(φ) = 0 Ecuación diferencial

φ = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ amxm Una solución aproximada

La substitución de φ produce un residuo

R = L(φ)

Se desea que este residuo sea pequeño en algún sentido∫Ω

WRdx = 0

donde W es un función de peso y la integración se realiza sobreel dominio de interés Ω.

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Diferentes versiones del método resultan de la selección dediferentes tipos de funciones de peso.La función de peso más simple es

Wi(x) =

1 si x está en el volumen de control0 en otro caso

Esta variante del método de residuos pesados es conocida comométodo de volumen de control o de volumen finito.Esta formulación implica que la integral del residuo sobre cadavolumen de control debe ser cero.

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El método de volumen finito ha sido usado con éxito en laaproximación de soluciones de una amplia variedad de problemasen dinámica de fluidos, electromagnetismo, modelos biológicos ymuchas otras áreas gobernadas por leyes de conservación.Los esquemas numéricos resultantes del FVM poseenpropiedades de conservación locales intrínsecas.

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Etapas del MVF

1 Generación de la malla. El dominio de estudio se discretiza enun número de volúmenes de control no sobrepuestos, de talmanera que existe un volumen rodeando a cada punto de lamalla.

2 Integración. Se realiza una integración de las ecuacionesgobernantes del problema sobre cada volumen de control deldominio de estudio.

3 Discretización. Se discretiza cada uno de los diferentes términosresultantes de la integración usando diferentes esquemasnuméricos. Esto produce un sistema algebraico de ecuaciones.

4 Solución. Se utiliza algún algoritmo para resolver el sistemaalgebraico de ecuaciones. Dado que las matrices son en generaldispersas, se prefieren algortimos iterativos.

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Malla del dominio

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MVF : Integración

La ecuación general de transporte se puede escribir como sigue:

∂ψ

∂t+

∂

∂x(uψ) +

∂

∂y(vψ) +

∂

∂z(wψ) =

∂

∂x

“Γ∂ψ

∂x

”+

∂

∂y

“Γ∂ψ

∂y

”+

∂

∂z

“Γ∂ψ

∂z

”+ Sψ

Integrando la ecuación anterior en un volumen de control, ∆V , yen un intervalo de tiempo, ∆t , se obtiene

Z∆V

Z k+1

k

∂ψ

∂tdtdV +

Z k+1

k

Z∆V

h ∂∂x

(uψ) +∂

∂y(vψ) +

∂

∂z(wψ)

idVdt =Z k+1

k

Z∆V

h ∂∂x

“Γ∂ψ

∂x

”+

∂

∂y

“Γ∂ψ

∂y

”+

∂

∂z

“Γ∂ψ

∂z

”+ Sψ

idVdt

donde k ≡ t y k + 1 ≡ t + ∆t .

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MVF : Integración

Considerando que el valor de ψ prevalece sobre todo el volumen,es posible escribir:h

ψk+1I − ψk

I

i∆V +

Z k+1

kCdt =

Z k+1

k[D + S] dt .

donde se han agrupado los términos convectivos, difusivos y elfuente en C, D y S, respectivamente.Esquema θ Z k+1

kfdt =

hθf k+1 + (1− θ)f k

i∆t

=⇒Z k+1

kfdt =

8><>:f k ∆t para θ = 0f k+1∆t para θ = 1ˆf k+1 + f k˜ ∆t

2 para θ = 12

donde θ ∈ [0,1].

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MVF

Ahora, tomando en cuenta que el término fuente se linealizamediante S∆V = Su + SPψ

kP, se tiene:

[ψk+1

I− ψk

I

] ∆V∆t

= θ[D(ψk+1

nb)− C(ψk+1

nb) + Su + SPψ

k+1I

]+(1− θ)

[D(ψk

nb)− C(ψknb) + Su + SPψ

kP

]C y D son funciones de ψnb evaluado en el instante k y/o k + 1,dependiendo del valor de θ.La forma de dichas funciones depende de los esquemasnuméricos que se usen en la aproximación de los diferentestérminos.

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Sistema de ecuaciones algebráicas

Ecuación general discreta en 3D:

aPψP = aWψW + aEψE + aSψS + aNψN + aBψF + aBψB + Su.

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3 Conclusiones

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TUNA::FVM

Template Units for Numerical Applications: Finite Volume MethodI Building blocks para el MVFI Funciones, Clases, Espacios de nombres en C++I Parametrizados: dimension, precisión, esquemas numéricosI Código abierto, GPL.

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TUNA::FVM

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TUNA::FVM

Ecuación general de transporte:

∂ψ

∂t+∇ · (vψ) = ∇ · τ + g

Versión discreta usando FVM:

aPψP = aWψW + aEψE + aSψS + aNψN + aBψF + aBψB + Su .

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3 Conclusiones

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TUNA::FVM - Extensión

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Test: flujo en una fase

Se considera un dominio horizontal de material poroso, donde lapresión inicial es p0.Luego, la presión en un extremo se eleva a pL.La ecuación lineal, 1D, una fase, asumiendo permeabilidad,viscosidad y compresibilidad constantes, es:

φµck

∂p∂t

=∂2p∂2x

con condiciones dirichlet en los extremos.Los datos para este ejemplo de prueba son:φ = 0,2;µ = 1,0; k = 1,0; c = 10−4; L = 100; N = 10; pL = 2; PR =1; Tmax = 0,2; p0 = 1

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Usando TUNA::FVM

Construcción de la malla:I StructuredMesh<Uniform<double, 1> > mesh(length, num_nodes);I float dx = mesh.getDelta(X);

Campos escalares:I ScalarField1D p ( mesh.getExtentVolumes() );

Sistema lineal:I DiagonalMatrix< double, 1> A(num_nodes);I ScalarField1D b(num_nodes);

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Usando TUNA::FVM

Ecuación a resolver:I ScalarEquation< CDS<double, 1> > single_phase(p, A, b,

mesh.getDeltas());I single_phase.setDeltaTime(dt);I single_phase.setGamma(Gamma);I single_phase.setDirichlet(LEFT_WALL);I single_phase.setDirichlet(RIGHT_WALL);

Ciclo de solución:while (t <= Tmax) single_phase.calcCoefficients();Solver::TDMA1D(single_phase);error = single_phase.calcErrorL1();single_phase.update();t += dt;

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Resultados: flujo en una fase

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3 Conclusiones

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La siguiente formulación se basa en la presión del aceite y lavelocidad total, véase COMSOL Implementation of MultiphaseFluid Flow Model in Porous Media, M.A. Viera, D.A. Lopez, A.Moctezuma y A. Ortiz, IMP.Se define lo siguiente:

I λα = krα/µα funciones de movilidad de fase, para α = w ,o,gI λ =

∑λα, movilidad total.

I fα = λα/λ, funciones de flujo fraccional.I Se cumple

∑fα = 1.

I u =∑

uα, velocidad total.

La fase de aceite es continua y bien comportada, por lo que sedefine po como la variable de la presión p.

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Algunas consideraciones:I Se considera solo las fases de agua y aceite, ambas

incompresibles.I El gas no se disuelve en la fase aceite (RS = 0).I Se ignora el efecto de la gravedad.I El medio poroso es homogéneo e isotrópico.

Las ecuaciones que resultan son:

−∇ · (kλ∇p) +∇(

kλwdpcow

dSw∇Sw

)= qw + qo

φ∂Sw

∂t+∇

(kλw

dpcow

dSw∇Sw

)−∇ · (kλw∇p)+ = qw

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Para completar el modelo solo falta definir leyes constitutivas paralas permeabilidades relativas (krw , kro) y para la presión capilaraceite-agua pc .

krw = Sωe y kro = (1− Se)ω

donde ω = 1,2.Se es la saturación efectiva que se define como:

Se =Sw − Srw

1− Srw − Sro

donde Srw y Sro son las saturaciones residuales.Entonces la mobilidad total es función de Sw :

λ =krw

µw+

kro

µo=

1µw

(Sw − Srw

1− Srw − Sro

)ω+

1µo

(1− Sw − Srw

1− Srw − Sro

)ωLMCS (UNAM) MVF-SNY 12/06/09 52 / 66


Se considera un dominio horizontal en 1D, homogéneo ypcow = 0.No hay fuentes, es decir qw = qo = 0Las ecuaciones con estas condiciones son:

∇ · (kλ∇p) = 0

φ∂Sw

∂t−∇ · (kλw∇p) = 0

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En el trabajo de Viera et al. los datos para esta simulación son:

Las condiciones inciales son: p(t0) = 1e + 7Pa; Sw (t0) = 0

Condiciones de frontera: Sinw = 0,8; pout = 1e + 7Pa

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IMPES

Se usa un método tipo IMPES para desacoplar las ecuaciones:I Se inicia con una saturación inicial.I Se calcula la movilidad total λ.I Se resuelve implícitamente la ecuación para la presión.I Se calcula la movilidad del agua λwI Se usa la presión calculada antes para resolver la ecuación para la

saturación de manera explícita.

En cálculo de las movilidades se debe hacer en las caras de losvolúmenes de control.

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El cálculo de las movilidades se hace usando un esquemaUpwind:

λe =

usar SwP si pP ≥ pE ,

usar SwE si pP < pE ,

λw =

usar SwW si pP ≥ pE ,

usar SwP si pP < pE ,

El uso de promedios pesados causa inestabilidades.

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Usando TUNA::FVM

Ecuación de presiónI TwoPhaseEquation< MyScheme<double, 1> > pressure(p, A, b,

mesh.getDeltas());I pressure.setDeltaTime(dt);I pressure.setPermeability(permeability);I etc...I pressure.setNeumann (LEFT_WALL, -injection * mu_w /

permeability);I pressure.setDirichlet(RIGHT_WALL);I pressure.setSaturation(Sw);

Ecuación de saturaciónI TwoPhaseEquation< MySchemeExp<double, 1> > saturation(Sw,

A, b, mesh.getDeltas());I etc...I saturation.setDirichlet(LEFT_WALL);I saturation.setDirichlet(RIGHT_WALL);I saturation.setPressure(p);

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Usando TUNA::FVM

IMPES

while (t <= Tmax) pressure.calcCoefficients();Solver::TDMA1D(pressure);error = pressure.calcErrorL1();pressure.update();

saturation.calcCoefficients();Solver::solExplicit(saturation);error = saturation.calcErrorL1();saturation.update();

t += dt;

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ω = 1; µw/µo = 1; tmax = 300 días; δt = 1da; N = 120.

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ω = 1; µw/µo = 2; tmax = 300− 900 días; δt = 1da; N = 120.

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Resultado de Viera et al.

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ω = 1; µw/µo = 2/3; tmax = 300− 900 días; δt = 1da; N = 120.

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ω = 2; µw/µo = 2/3; tmax = 300− 900 días; δt = 1da; N = 120.

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Conclusiones

Se resolvió Buckley-Leverett en 1D.Se uso MVF estándar.Se usó Upwind para el cálculo de las movilidades en las carasLos resultados son cualitativamente similares a los obtenidos porViera et al..Se agregaron nuevas unidades a TUNA::FVMTrabajo futuro:

I Considerar el caso donde la presión capilar no es cero (WaterFlooding)

I Modelo de petróleo negro: tres fases.I Extensión a 2D y 3D.

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