Metodo de Rayleigh Ritz-ejercicios

7/29/2019 Metodo de Rayleigh Ritz-ejercicios

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INGENIERA ANTISSMICA

SISTEMA CON n GRADOS DE LIBERTAD MTODO DE RAYLEIGH RITZ 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PER FACULTAD DE INGENIERA CIVIL

INTRODUCCIN

Cuando los sistemas son complejos, es muy difcil o imposible en la prctica encontrar

soluciones para el problema de encontrar las respuestas del sistema a un conjunto

(probablemente complejo) de excitaciones. Como un medio practico de resolucin, Lord

Rayleigh propuso inicialmente sustituir el problema inicial de 1 grados de libertad con

uno de 1 grado de libertad. Posteriormente Ritz extendi el mtodo para utilizar varios

grados de libertad.

Posteriormente (aos 60) se comenz a explorar el mtodo de los elementos finitos,

que puede ser considerado como una aplicacin particular del mtodo de Rayleigh-Ritz.

En trminos muy bsicos consiste en subdividir el sistema en un numero finito de

elementos de geometra simple, y que tienen un comportamiento estructural bienconocido (barras, vigas, placas,..). En cada elemento se dispone de un set pequeo de

funciones de forma que dependen de los valores en ciertos puntos del elemento

(nodos). Al imponer condiciones de continuidad entre los elementos se llega a una

solucin que puede ser muy cercana al valor exacto.


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SISTEMAS CON GRADOS DE LIBERTAD

MTODO DE RAYLEIGH RITZ

Este mtodo expresa el desplazamiento de cualquier punto x como una combinacin de

funciones dependientes de x que son ponderadas por una amplitud dependiente del

tiempo:

(1)

Ntese que las negrillas indican cantidades vectoriales. La ecuacin anterior puede ser

convenientemente escrita como:

(2)Donde N(x) ordena las funciones de forma:

Y

{

}

Observacin: Ntese que en el mtodo de Rayleigh Ritz, el vector q corresponde solo a una

ponderacin para las funciones de forma N. Sin embargo en el mtodo de elementos finitos el

vector de desplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos de ciertosgrados de libertad.


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Modos propios, frecuencias naturales y FRFs de una viga

A fin de expresar la energa potencial se definen los siguientes vectores (en el caso

ms general):

{

}

{

}

Y el operador de diferenciacin espacial D (para el caso general):

Lo que nos permite expresar fcilmente la deformacin :

La energa cintica puede ser expresada como:


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Usando:

Donde la matriz de masa se define por:

Observacin: Una matriz de masa definida por (3) es llamada consistente utiliza las mismas

aproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez.

Observacin:El uso de las matrices de masa no consistentes hace perder la garanta de que las

frecuencias naturales encontradas son sobre estimadas.

Por su lado, la energa potencial se expresa como:

Donde la densidad de energa de deformacin es:

Y dado que para: Donde H es la matriz de Hooke. La energa se expresa en trminos de :


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Donde la matriz de rigidez K se define por:

El vector de carga g se calcula a partir de la energa potencial externa asociada a las

fuerzas de cuerpo y de superficie :

Con:

Lo que nos permite escribir la ecuacin del movimiento:

Funciones de forma y desplazamientos axiales de la barra


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Barra Empotrada:

Expresemos las deformaciones posibles como:

Entonces:

[ ]

Y la matriz de rigidez

Con lo que el problema homogneo queda:


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PROBLEMAS DE APLICACIN

PROBLEMA N1:

Para la estructura mostrada en la figura, se pide:

Encontrar los valores propios

Hallar los modos de vibracin

Solucin:

Ciclo 1:

Para la aplicacin del mtodo de Rayleigh, supongamos que la deformacin produce

desplazamientos:

X1(t) = 1 y X2(t) = 2La mxima energa potencial es entonces:

(a)

Y la mxima energa cintica es:

(b) Igualando la mxima energa potencial con la mxima energa cintica y despejando la

frecuencia natural da:

m2

m1

k2

k1

x2(t)

x1(t)


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La frecuencia natural calculada como f=2.782 cps es solamente una aproximacin al

valor exacto, puesto que la forma general de la deformacin fue supuesta con el

propsito de aplicar el mtodo de Rayleigh. Para mejorar este valor calculado para la

frecuencia natural, consideremos el modelo matemtico del sistema estudiado: Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los

diagramas de cuerpos libres del sistema, dan:

(1)

(2) Y resolviendo: O en la razn:

Ciclo 2:

Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las

ecuaciones (a) y (b), para recalcular la mxima energa potencial y la mxima energa

cintica, resulta:

Que despus de igualar Vmax y Tmax, obtenemos:

Este ltimo valor calculado para la frecuencia natural f=2.729 cps, podra mejorarse

con la aplicacin de una nueva carga inicial en el sistema, basada en este ltimo valor de

la frecuencia natural, repitiendo un nuevo ciclo de clculos.


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Ciclo 3:

Tambin: (1) (2) Y resolviendo:

O en la razn: Energas cintica y potencial mximas:

Frecuencia angular y natural:

Ciclo 4:

Tambin: (1) (2) Y resolviendo:


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O en la razn:

Energas cintica y potencial mximas: Frecuencia angular y natural:

Ciclo 5: Tambin: (1)

(2)

Y resolviendo: O en la razn:



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La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos.

Ciclo Razn de

deformacin

Carga inercial Frecuencia

natural

(cps)

Frecuencia

angular

(rad/seg)

Periodo

(seg)F1 F2

1 1: 2.00 2.782 17.480 0.3595

2 1: 1.69 59.888 80.054 2.729 17.145 0.3664

3 1: 1.64 57.614 65.078 2.727 17.132 0.3667

4 1: 1.63 57.527 63.057 2.727 17.133 0.3667

5 1: 1.63 57.534 62.680 2.727 17.133 0.3667

Cuadro comparativo Mtodo Rayleigh Mtodo polinomio caracterstico

Frecuencia 17.133 rad/seg 17.132 rad/seg

Periodo 0.3667 seg 0.366 seg

m2

m1

k2

k1

x2(t)

x1(t)

Modelo

dinmico

1.63

1.00

1 er

modo


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PROBLEMA N2:

Para el sistema de 2 niveles que se muestra en la figura, determinar sus periodos y

formas de modo de vibracin (g = 980 cm/seg2)

Solucin:

Ciclo 1:

Para la aplicacin del mtodo de Rayleigh, supongamos que la deformacin produce

desplazamientos:

X1(t) = 1 y X2(t) = 2

La mxima energa potencial es entonces:

(a)

Y la mxima energa cintica es:

(b) () () Igualando la mxima energa potencial con la mxima energa cintica y despejando la

frecuencia natural da:

x2(t)

x1(t)

w2 = 118 ton

w1 = 192 ton

m2

m1

k1 = 120 ton/cm

k2 = 100 ton/cm


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La frecuencia natural calculada como f=2.868 cps es solamente una aproximacin al

valor exacto, puesto que la forma general de la deformacin fue supuesta con el

propsito de aplicar el mtodo de Rayleigh. Para mejorar este valor calculado para la

frecuencia natural, consideremos el modelo matemtico del sistema estudiado:

() ()

Las ecuaciones de equilibrio obtenidas igualando a cero la suma de las fuerzas en los

diagramas de cuerpos libres del sistema, dan:

(1) (2) Y resolviendo:

O en la razn: Ciclo 2:

Introduciendo estos valores mejorados de los desplazamientos x1 y x2 en las

ecuaciones (a) y (b), para recalcular la mxima energa potencial y la mxima energa

cintica, resulta:

Que despus de igualar Vmax y Tmax, obtenemos:


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Este ltimo valor calculado para la frecuencia natural f=2.802 cps, podra mejorarse

con la aplicacin de una nueva carga inicial en el sistema, basada en este ltimo valor de

la frecuencia natural, repitiendo un nuevo ciclo de clculos.

Ciclo 3:

() ()

Tambin:

(1)

(2) Y resolviendo: O en la razn:

Energas cintica y potencial mximas:

Frecuencia angular y natural:

Ciclo 4:

() ()

Tambin: (1)


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(2)



Ciclo 5:

() () Tambin: (1)

(2)


Energas cintica y potencial mximas:


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Frecuencia angular y natural: La tabla muestra los resultados obtenidos en cinco ciclos.

Ciclo Razn de

deformacin

Carga inercial Frecuencia

natural

(cps)

Frecuencia

angular

(rad/seg)

Periodo

(seg)F1 F2

1 1: 2.00 2.868 18.019 0.3487

2 1: 1.66 63.612 78.189 2.802 17.604 0.3569

3 1: 1.61 60.715 61.942 2.800 17.592 0.3571

4 1: 1.60 60.633 59.995 2.800 17.590 0.3571

5 1: 1.60 60.619 59.608 2.800 17.590 0.3571

Cuadro comparativo Mtodo Rayleigh Mtodo polinomio caracterstico

Frecuencia 17.590 rad/seg 17.150 rad/seg

Periodo 0.3571 seg 0.366 seg

m2

m1

k2

k1

x2(t)

x1(t)

Modelo

dinmico

1.60

1.00

1 er

modo

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