Universidad Galileo

Maestra de Investigacin de Operaciones

Programacin No Lineal

Algoritmos para optimizacin restringida

Josu Caleb Cordn Oliva

Guatemala, 15 de diciembre de 2015

Introduccin

En el presente proyecto se explicarn 2 algoritmos de optimizacin restringida para resolver

problemas de programacin no lineal y tambin las aplicaciones en las cuales estos algoritmos se

encuentran involucrados.

Penalty Methods

El penalty methods soluciona una secuencia de problemas de optimizacin sin restricciones

cuando la solucin es usualmente infactible en el problema original con restricciones.

Consideremos el problema

: () . . () = 0

Donde g(x) es un vector i-esimos gi(x), asumimos que todas las funciones son continuas y

diferenciables 2 veces.

La penalizacin para violacin de restricciones son funciones continuas () que cumple con las

siguientes propiedades.

() = 0 () > 0

Es posible definir una penalizacin de esta forma

() =1

|()|

=1

Donde >0 , definimos una funcin de penalizacin de la siguiente forma, sumando un trmino

a f

= () + ()

El mtodo consiste en resolver una secuencia de problemas sin restriccin que toman la forma de

la funcin de penalizacin

: ()

El mnimo de la funcin de penalizacin no cumple con las condiciones g(x)=0, es decir se

encuentra fuera de la regin factible, pero gradualmente es forzado a entrar a la regin factible.

Este mtodo puede ser usado en la optimizacin de algoritmos de compresin de imgenes usando

la funcin de penalizacin para seleccionar la mejor zona de compresin de colores a un valor

representativo.

Mtodo del gradiente proyectado

Este mtodo es utilizado para resolver problemas con restricciones de cotas, estos problemas tienen

la siguiente forma.

min: () s.a.

para : continua y diferenciable , , .

Consideremos en siguiente problema

min: () s.a. 0

Como cualquier punto factible es regular tenemos que, si x* es el minimizador del problema

entonces existe 0 tal que

() = ()

=1

= 0

Notar que si la iesima restriccin esta activa entonces se obtiene que

() = , si iesima

restriccin esta inactiva entonces = 0 entonces

() = 0, si x* es un minimo local del

problema entonces se cumple

() = 0 si

> 0

() = 0 si

= 0

Dado = { : 0}, se define la proyeccin de un punto x sobre como el vector = () cuyas componentes son

= {0, < 0

, 0

Algoritmo

1. Dado x0 inicial. En un hacer los siguientes pasos:

2. Calcular

= () = () =

Si = 0 parar Si no, hacer bsqueda de Armijo en la direccin en la direccin dk

3. Definir t=1

Si ( + ) () + 1(), entoces (I)

a) Si + definir tk = t e ir al paso 2 b) Si no, hacer t = t/2 e ir a (I)

Referencias

Linear and Nonlinear Optimization SECOND EDITION, Igor Griva Stephen G. Nash Ariela Sofer

http://www.ing.una.py/pdf/umalca.pdf