Mtodo de parmetros concentrados.Considere un cuerpo de dimensiones pequeas, como el ilustrado en la figura 4.1.2.1, el cual se encuentra a una temperatura inicial uniforme . Suponga que repentinamente se sumerge el cuerpo en un fluido a menor temperatura , cuyo valor permanece constante. Si la resistencia interna del cuerpo a la conduccin es insignificante respecto a la externa de conveccin del fluido, la temperatura del cuerpo depende exclusivamente del tiempo . Un balance de energa de acuerdo con la primera ley de la termodinmica para un sistema cerrado, indica que:

Puesto que , entonces:

sta expresin, representa al calor disipado por conveccin desde el cuerpo hacia el fluido, en cualquier instante de tiempo, el cual se refleja en una disminucin de la energa interna del mismo. Adems, sugiere el planteamiento de la siguiente ecuacin diferencial:

La cul puede escribirse, como:

Esta ecuacin diferencial homognea de primer orden, requiere para su solucin particular de una condicin inicial de frontera, es decir , en . Definiendo , y , como las diferencias de potencial que sirven para transferir el calor por conveccin, la condicin inicial de frontera puede escribirse como cuando , y la ecuacin anterior puede reinscribirse como:

Mediante operadores diferenciales, se tiene:

Factorizando:

Puesto que solo existe una raz que satisface la solucin, entonces:

As, la solucin general es:

Sustituyendo la condicin inicial de frontera, se tiene:

Lo cual implica que,

En consecuencia, la solucin particular de la ecuacin es;

O bien,

Despejando la temperatura,

Esta ecuacin, permite calcular la variacin de la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo ; en funcin de la temperatura inicial y las propiedades del cuerpo como su densidad, calor especfico, volumen y superficie; considerando tambin la temperatura del fluido y el coeficiente de transferencia de calor por conveccin. Dicha variacin se ilustra esquemticamente en la figura 4.1.2.2.

La ecuacin tambin puede escribirse en forma adimensional, considerando que:

Donde:

Se denomina constante de tiempo del sistema. Observando que el trmino:

Se puede escribir como:

Se puede establecer la analoga entre un sistema elctrico y un sistema trmico, escribiendo sta expresin, como:

Donde:

Estos trminos son equivalentes a una capacitancia elctrica y una resistencia elctrica respectivamente, con la diferencia que en el sistema elctrico se almacena carga elctrica, mientras que en el sistema trmico se almacena energa. La figura 4.1.2.3, muestra el circuito trmico equivalente.

Por consiguiente, la ecuacin en forma adimensional puede escribirse como:

En sta ecuacin se puede observar, que cuando el tiempo vara, la temperatura se aproxima al valor de cero; as para:

Lo que implica, que cuando el tiempo es igual a la constante de tiempo , la variacin de la temperatura ha alcanzado el 63.2 % de su valor total y cuando la variacin ha alcanzado el 98 % de su valor total, es decir ha logrado prcticamente el equilibrio, como se ilustra en la figura 4.4.3.

La tabla 4.1.2 muestra algunas de las longitudes caractersticas usadas con mayor frecuencia para el clculo del nmero de Biot.

Tabla 4.1.2 Longitud caracterstica utilizada para el clculo del No. De Biot.

Geometra

Cubo-Lado (a)

Pared plana-espesor (2L)

Cilindro Largo-radio

Esfera- radio

Ejemplo 4.1.2.2Una esfera de cobre puro tiene un peso de 49 N y una temperatura inicial de 275 C. sta se sumerge repentinamente en un fluido cuya temperatura inicial es de 25 C. Suponiendo un coeficiente de transferencia de calor h = 30 w/m2-C. Determine el tiempo que se requiere para enfriar el cobre hasta 75 C.Solucin: El tiempo requerido est dado por la expresin:

En el apndice segn la tabla (2-c) los valores para las propiedades del cobre puros son: Para asegurar que la temperatura sea funcin solo del tiempo, calculemos primero el nmero de Biot, as:

Segn la tabla 4.1.2., la longitud corregida para una esfera es:

Pero el volumen de una esfera es:

Adems,

Pero la masa por la ley de newton, es:

Entonces, sustituyendo los valores de la masa y la densidad del cobre en la expresin del volumen, se tiene:

Despejando el radio de la expresin que relaciona el volumen con el radio tenemos.

Entonces la longitud corregida, es:

Entonces el valor del nmero de Biot, se calcula como:

As, el mtodo de parmetros concentrados puede utilizarse.Pero;

Entonces, el tiempo requerido para alcanzar la temperatura de 75 C; es:

Sustituyendo valores se obtiene;

Por ltimo, aplicando las leyes de los logaritmos se tiene: