Método de Los Operadores Para Solucionas Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ordinarias

8/17/2019 Método de Los Operadores Para Solucionas Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ordinarias

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Método de los Operadores para solucionas sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas comprenden dos o más

ecuaciones que contienen las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola

variable independiente. Si x , y y z son funciones de la variable t , entonces

{4 d

2 y

d t 2 =−5 x+ y

2d

2 y

d t 2 =3 x− y

y { x' −3 x+ y ' + z ' =5 x

' − y ' +2 z ' =t 2

x+ y ' −6 z' =t −1

Son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas.

Solución de un sistema

Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones

diferenciales x=f (t ) , y=g (t ) , z=h (t ) , … que satisfacen cada ecuación del sistema en

algún intervalo I

.

Eliminación Sistemática

La primera técnica que consideraremos para resolver tales sistemas se basa en el

principio fundamental de eliminación algebraica sistemática de las variables. eremos que

lo análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar sobre una

ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. !ecuérdese que una ecuación

diferencial lineal

an y(n )+an−1 y

(n−1)+…+a1 y' +a0 y=g( t )

"n donde losai , siendo i=0,1,…, n constantes, puede ser escrita como

(an Dn+an−1 D

n−1+…+a1 D+a

0 ) y=g( t )

#onde y(k )= Dk , k =0,1,…n y tamb ien y ' = y(1)= D , y= y(0)= I (identidad )

"jemplo $%


2/22

"scribe el sistema de ecuaciones diferenciales

x' ' +2 x ' + y ' ' = x+3 y+sen (t )

x' + y ' =−4 x+2 y+e−t

Usando la notación de operadores.

Solución%

&omo x' = Dx , x ' ' = D2 x tenemos que

{ x' ' +2 x ' − x+ y ' ' −3 y=sen(t )

x' +4 x+ y ' −2 y=e−t

#e manera diferencial, obtenemos que

{( D2+2 D−1 ) x+( D2−3) y=sen(t )

( D+4 ) x+( D−2 ) y=e−t

MÉTODO DE SOLUCIÓN

&onsidérese el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden

{ Dy=2 x Dx=3 y (1)

' equivalentemente

{−2 x+ Dy=0 Dx−3 y=0 (2)

Si a la primera ecuación en ()* le aplicamos D y la segunda la multiplicamos por )

tenemos que%

{−2 Dx+ D2

y=02 Dx−6 y=0


3/22

Sumando las ecuaciones que tenemos, obtenemos que%

D2 y−6 y=0

' equivalentemente

y'' −6 y=0

Su polinomio caracter+stico es

m2−6=0

m2=6

m=±√ 6

m=√ 6 , m=−√ 6

uesto que las ra+ces del polinomio caracter+stico asociado a la ecuación diferencial son

reales y diferentes, por teorema sus soluciones linealmente independientes son

y1=e√ 6 t , y

2=e−√ 6 t

or el principio de superposición, su solución general es

y=c1 y

1+c

2 y

2

y=c1

e√ 6 t +c2

e−√ 6 t (3)

amos a reali-ar lo mismo para encontrar el valor de x

. Si multiplicamos la primera

ecuación por3

y aplicamos D

en la segunda ecuación, tenemos que%

{−6 x+3 Dy=0 D 2 x−3 Dy=0Sumando las ecuaciones tenemos que

D2 x−6 x=0


4/22

"quivalentemente

x' ' −6 x=0

"s una ecuación diferencial idéntica a la primera que se acaba de estudiar (es la misma solo

que con variable *, por lo tanto su solución general es

x=c3

e√ 6t +c

4e−√ 6

t (4)

/0ora bien, (1* y (2* no satisfacen el sistema ($* para cualquier valor dec1

, c2

, c3 y

c4 .

Sustituyendo x , y en la primera ecuación del sistema original ($* resulta que%

D (c1 e√ 6 t +c2 e−√ 6 t )=2 (c3 e√ 6 t +c4 e−√ 6 t )

√ 6 c1 e√ 6 t −√ 6 c2 e

−√ 6 t =2 c3

e√ 6 t +2 c4

e−√ 6 t

(√ 6c1−2c3 )e√ 6 t + (−√ 6 c2−2c4 )e

−√ 6 t =0

&omo e√ 6 t >0, e−√ 6 t >0 entonces

√ 6c1−2c3=0 ,−√ 6c2−2c4=0

2 c3=√ 6 c1 , 2 c4=−√ 6 c2

c3=√

6

2c1

, c4=−√ 62

c2

or lo tanto, concluimos que una solución del sistema debe ser

x (t )=√ 6

2c1

e√ 6 t −√ 6

2c2

e−√ 6 t , y (t )=c1

e√ 6t +c2

e−√ 6 t

"jemplo )%


5/22

!esolver

{ Dx+( D+2) y=0( D−3) x−2 y=0 (6)

Solución%

Si a la primera ecuación le aplicamos D−3 y a la segunda le aplicamos D tenemos

que

{( D−3 ) Dx+( D−3 ) ( D+2 ) y=0( D−3 ) Dx−2 Dy=0/l restar las ecuaciones (la primera menos la segunda* tenemos que

[ ( D−3 ) ( D+2 )+2 D ] y=0

( D2+2 D−3 D−6+2 D ) y=0

( D2+ D−6 ) y=0

' equivalentemente% y' ' + y ' −6 y=0

Su polinomio caracter+stico es

m2+m−6=0

(m−2 ) (m+3)=0

m−2=0 , m+3=0

m=2 , m=−3

&omo su polinomio caracter+stico tiene sus ra+ces reales y distintas, por teorema, sus

soluciones linealmente independientes son

y1=e2 t

, y2=e−3t


6/22

or el principio de superposición, su solución general es

y=c1 y

1+c

2 y

2

y=c1 e2t +c2e

−3 t (7)

3gualmente 0acemos para x , multiplicamos la primera ecuación por ) y aplicamos

D+2 en la segunda ecuación obtenemos que

{ 2 Dx+2 ( D+2) y=0( D−3) ( D+2 ) x−2 ( D+2 ) y=0Sumando las ecuaciones tenemos que

[ 2 D+ ( D−3)( D+2)] x=0

[2 D+ D 2+2 D−3 D−6 ] x=0

( D2+ D−6 ) x=0

"quivalentemente x'' + x ' −6 x=0

"s una ecuación diferencial equivalente a la primera que estudiamos en este ejercicio, por

lo que podemos decir que su solución general es

x=c3 e2 t +c4 e

−3 t (8)

4al como 0icimos notar en la discusión precedente, una solución de (5* no contiene cuatro

constantes independientes puesto que el sistema mismo restringe el número de las que

efectivamente pueden ser elegidas e forma arbitraria. Sustituyendo (6* y (7* en la primera

ecuación del sistema (5* resulta

Dx+ ( D+2 ) y=0

D(c3 e2 t +c4 e

−3 t )+ ( D+2)(c1 e2t +c2e

−3 t )=0


7/22

D (c3 e2 t +c

4e−3 t )+ D (c1 e

2 t +c2

e−3t )+2 (c1 e

2 t +c2

e−3 t )=0

2 c3 e2 t −3 c4 e

−3 t +2 c1 e2 t −3 c2e

−3 t +2 c1 e2 t +2 c2e

−3 t =0

(2 c3+4 c1 ) e2t +(−3 c4−c2 ) e−3 t =0

&omo e2t >0, e−3 t >0 entonces

2 c3+4 c

1=0 ,−3 c

4−c

2=0

2c3=−4c

1,3 c

4=−c

2

c3=−2 c1 , c4=−1

3c2

or consiguiente, una solución del sistema es

x (t )=−2c1 e2 t −

1

3c2 e

−3t , y (t )=c1 e

2 t +c2 e−3t

8ota%

uesto que, con la misma facilidad, 0ubiéramos podido despejar c3 y c4 en términos

dec

1 yc2 , la solución del ejemplo ) puede ser escrita en la forma alternativa

x=c3 e2 t +c4 e

−3 t , y (t )=

−12

c3 e2 t −3 c4 e

−3 t

/l resolver sistemas también vale la pena fijarse bien en lo que se 0ace. #e 0aber despejado

primero x y después y 0ubiéramos podido determinar la relación entre las

constantes simplemente usando la ultima ecuación del sistema (5*

y=1

2( Dx−3 x )


8/22

y=1

2[2c3 e2 t −3c4 e−3 t −3c3 e2 t −3c4 e−3 t ]

y=c3 e2t −

3

2c4 e

−3 t −3

2c3e

2 t −3

2c4 e

−3 t

y=−1

2c3e

2 t −3 c4 e−3 t

"jemplo 1%

!esolver

{ x ' −4 x+ y ' ' =t 2

x' + x+ y ' =0

(9)

Solución%

rimero escribiremos el sistema con la notación de operadores diferenciales

{( D−4 ) x+ D2

y=t 2

( D+1 ) x+ Dy=0(10)

/plicando D+1 en la primera ecuación y D−4 en la segunda ecuación de ($9*

tenemos que

{( D+1 ) ( D−4 ) x+ D2 ( D+1) y=( D+1 ) (t 2)

( D+1 ) ( D−4 ) x+ D ( D−4 ) y=0

{( D+1 ) ( D−4 ) x+ D2 ( D+1 ) y=2 t + t 2

( D+1 ) ( D−4 ) x+ D ( D−4 ) y=0

!estando las ecuaciones (la primera menos la segunda* tenemos que

[ D2 ( D+1 )− D( D−4)] y=2 t +t 2

( D3+ D2− D2+4 D ) y=2 t +t 2


9/22

( D3+4 D ) y=t 2+2 t

"quivalentemente y'' ' +4 y' =t 2+2 t

:usquemos su solución, primero la 0omogénea, para ello 0acemos y '' ' +4 y' =0

Su polinomio caracter+stico es m3+4 m=0

m ( m2+4 )=0

m=0 , m2+4=0

m=0 , m2

=−4

m=0 , m=±√ −4

m=0 , m=± 2i

"l polinomio caracter+stico tiene como ra+ces una real y dos complejas (de la misma forma*

or teorema, sus soluciones linealmente independientes son

y1=e0 t =1, y2=e

0 t cos (2 t )=cos (2 t ) , y3=e

0 t sen (2t )=sen(2 t )

or el principio de superposición su solución general es

yh=c1 y1+c2 y2+c3 y3

yh=c1+c2 cos (2t )+c3 sen(2t )

:usquemos su solución particular

y p usamos coeficientes indeterminados, para lo cual

suponemos que y p= A t 3+B t 2+Ct . or lo tanto,

y p' =3 A t 2+2 Bt +C


10/22

y p'' =6 At +2B

y p'' ' =6 A

Luego;

y p' ' ' +4 y p

' =t 2+2 t

6 A+4 (3 A t 2+2 Bt +C )=t 2+2 t

6 A+12 A t 2+8 Bt +4 C =t 2+2 t

12 A t 2+8Bt + (6 A+4C )=t 2+2 t

3gualando polinomios

12 A=1 , 8 B=2 ,6 A+4 C =0

A= 1

12, B=

1

4, 6 A+4 C =0

A=

1

12, B

=

1

4, 6

( 1

12

)+4 C

=0

A= 1

12, B=

1

4, 1

2+4C =0

A= 1

12, B=

1

4, 1+8C

2=0

A= 1

12, B=

1

4, 1+8 C =0

A= 1

12, B=

1

4,8C =−1


11/22

A= 1

12, B=

1

4, C =

−18

or lo que

y p= 112

t 3+ 1

4t

2−18

t

or consiguiente y= yh+ y p

y=c1+c

2cos (2t )+c

3sen (2 t )+

1

12t

3+1

4t

2−1

8t (11)

:usquemos x

.

/plicamos D

en a la segunda ecuación del sistema ($9*

{ ( D−4 ) x+ D2 y=t 2

D ( D+1) x+ D2 y=0

!estando las ecuaciones (la segunda menos la primera* se cumple que

[ D ( D+1)−( D−4) ] x=−t 2

( D2+ D− D+4) x=−t 2

( D2+4 ) x=−t 2

"quivalentemente x'' +4 x=−t 2

:usquemos su solución% busquemos su solución 0omogénea yh , 0acemos x

'' +4 x=0

Su polinomio caracter+stico es m2+4=0

m2=−4


12/22

m=±√ −4

m=0±2i

Sus ra+ces son complejas, por teorema, sus soluciones linealmente independientes son

x1=e0 t

cos (2t )=cos (2t ) , x2=e0 t

sen (2t )=sen(2t )

or el principio de superposición, su solución 0omogénea es%

xh=c1 x1+c2 x2

xh=c1 cos (2t )+c2 sen(2t )

:usquemos su solución particular x p , para ello, usemos el método de los coeficientes

indeterminados. Supongamos que x p= A t 2+Bt +C

x p' =2 At +B

x p' ' =2 A

Luego;

x p' ' +4 x p=−t

2

2 A+4 ( A t 2+Bt +C )=−t 2

2 A+4 A t 2+4 Bt +4 C =−t 2

4 A t 2+4 Bt +(2 A+4C )=−t 2

3gualando polinomios

4 A=−1 , 4 B=0 , 2 A+4 C =0


13/22

A=−1

4, B=0 , 2 A+4 C =0

A=−1

4, B=0 , 2(−14 )+4 C =0

A=−1

4, B=0 ,−

1

2+4 C =0

A=−14

, B=0 ,−1+8C

2=0

A=−14

, B=0 ,−1+8C =0

A=−1

4, B=0 , 8 C =1

A=−1

4, B=0 , C =

1

8

/s+;

x p=−14

t 2+ 18

or consiguiente x= xh+ x p

x=c4cos (2 t )+c

5sen (2t )−

1

4t 2+

1

8(12)

/0ora bien,c

4 yc

5 pueden ser epresadas en términos dec

2 yc

3 sustituyendo

las ecuaciones ($$* y ($)* en la segunda ecuación del sistema (


14/22

(c5−2 c4−2 c2 ) sen (2t )+(2 c5+c4+2 c3 ) cos (2t )=0

#e modo que

c5−2 c

4−2 c

2=0 ,2 c

5+c

4+2 c

3=0

Luego

{c5−2c4−2c2=02c5+c

4+2c

3=0

=ultiplicando la segunda ecuación por ) se tiene que

{ c

5−2c

4−2c

2=0

4c5+2c4+4c3=0

Sumando las ecuaciones tenemos que

5 c5−2 c

2+4 c

3=0

5 c5=2 c

2−4 c

3

c5

=2c

2−4 c

3

5

c5=2

5c2−

4

5c3

Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, tenemos que

2 c5+c

4+2 c

3=0

2

(25

c2−45

c3)+c4+2 c3=0

4

5c2−

8

5c3+c4+2 c3=0


15/22

c4+

4

5c

2+

2

5c

3=0

c4=−4

5c2−

2

5c3

or lo tanto, la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es%

x (t )=(−45 c2−25 c3)cos (2 t )+(25 c2−45 c3) sen (2t )−14 t 2+ 18

y (t )=c1+c

2cos (2 t )+c

3sen (2t )+

1

12t

3+1

4t

2−1

8t

Uso de Determinantes

Si L

1, L

2, L

3 y L

4 denotan operadores diferenciales de coeficientes

constantes, entonces un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en dos variables x

y

y puede ser escrito como

{ L

1

x+ L2

y=g1

(t ) L

3 x+ L

4 y=g

2(t )(13)

"liminando variables tal como lo 0ar+amos para ecuaciones algebraicas resulta

( L1 L4− L2 L3 ) x= L4 g1 (t )− L2 g2 (t ) , ( L1 L4− L2 L3 ) y= L1 g2 ( t )− L3 g1 ( t )(14)

Los resultados obtenidos en ($2* se pueden escribir formalmente en términos de

determinantes de manera similar a la usada en la regla de &ramer%

| L1 L2 L

3 L

4| x=|g1 L2g

2 L

4|,| L1 L2 L

3 L

4| y=| L1 g 1 L

3 g

2|(15)

"l determinante que aparece en el miembro i-quierdo de cada ecuación en ($>* puede ser

desarrollado en el sentido algebraico corriente; el resultado se aplica posteriormente a las


16/22

funciones x (t ) , y (t )

. Sin embargo, los determinantes de los segundos diferenciales

internos efectivamente actúan sobre las funcionesg1(t ) y g2(t ) .

Si

| L1 L2 L3

L4|≠ 0

"n ($>* es un operador diferencial de orden n , entonces

• "l sistema ($1* puede ser descompuesto en dos ecuaciones diferenciales de orden

n en x y y .

• La ecuación caracter+stica y por lo tanto, la función complementaria de cada una deestas ecuaciones diferenciales es la misma.

• uesto que tanto x

como y

contienenn

constantes, aparecen en total

2n constantes.

• "l número total de constantes independientes que aparecen en la solución del

sistema es n .

Si

| L1 L2 L

3 L

4|=0

"n ($1*, entonces el sistema puede tener una solución que contiene un número

cualquiera de constantes independientes, o puede, simplemente, no tener solución.

'bservaciones semejantes son validas para sistemas de mayor tama?o que el indicado

en ($1*.

"jemplo 2%

!esolver

{ x' =3 x− y−1

y' = x+ y+4e t

(16)

Solución%


17/22

"scribimos el sistema en términos de operadores diferenciales%

{ ( D−3) x+ y=−1− x+( D−1 ) y=4 et

@ luego usando determinante tenemos que

| D−3 1−1 D−1| x=|−1 14 et D−1|,| D−3 1−1 D−1| y=| D−3 −1−1 4 e t |

ara x

;

| D−3 1−1 D−1| x=|−1 14 et D−1|

[ ( D−3 ) ( D−1 )−1(−1)] x=( D−1 ) (−1 )−1∙4 et

( D2− D−3 D+3+1) x=0+1−4e t

( D2−4 D+4 ) x=1−4e t

"quivalente a

x' ' −4 x ' +4 x=1−4 e t

:usquemos su solución, busquemos su solución 0omogénea, 0acemos x' ' −4 x ' +4 x=0

Su polinomio caracter+stico es m2−4 m+4=0

(m−2 )2=0

m−2=0

m=2

Sus ra+ces son reales y repetidos dos veces, por teorema, sus soluciones linealmente

independientes son%


18/22

x1=e2t

, x2=t e2 t

or el principio de superposición

xh=c1 x1+c2 x2

xh=c1 e2 t +c2 t e

2 t

:usquemos su solución particular y p , usemos el método de los coeficientes

indeterminados. Supongamos que x p= A+B et

x p' =B et

x p' ' =B et

Luego;

x p'' −4 x p

' +4 x p=1−4et

B et −4 B e t +4 ( A+B e t )=1−4 et

B et −4 B e t +4 A+4 B et =1−4 e t

4 A+B e t =1−4 e t

3gualando tenemos que;

4 A=1 , B=−4

A=

1

4 , B=−4

/s+;

x p=1

4−4 et


19/22

or consecuencia

x= xh+ x p

x=c1 e2 t

+c2 t e2 t

+

1

4 −4

e

t

(17

)

or la naturale-a del ejercicio, podemos sustituir la ecuación ($6* en la primera ecuación

del sistema ($5* y buscamos a y

de una manera que quedara en términos de las

constantesc

1 yc

2 y as+ evitamos el problema del duplicaje de constantes arbitrarias,

por lo que

x' =3 x− y−1

2 c1

e2 t +c

2 ( 2t e2 t +e2 t )−4 et =3(c1e2 t +c2 t e2t + 14−4 e t )− y−1

y=3 c1

e2 t +3 c

2t e

2 t +3

4−12e t −1−2 c

1e

2 t −2c2

t e2 t −c

2e

2t +4 et

y=c1 e2t −c2 e

2 t +c2t e2 t −

1

4−8 et

or lo tanto la solución del sistema de ecuaciones diferenciales planteado es%

c

(¿¿1+c2t )e2 t +

1

4−4 et , y=(c

1−c

2+c

2t )e2 t −

1

4−8 et

x=¿


20/22

Introducción

!eali-aremos este trabajo con la finalidad de adquirir más conocimientos en el

campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. "n esta oportunidad se eplicara cómo

resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer y orden

superior con métodos idénticos a los métodos usados en sistemas de ecuacionesalgebraicos, y después de llegar a eliminar una variable, queda una ecuación diferencial de

orden superior de una sola variable que se resuelve con los métodos antes conocidos en esta

materia y esto se aplica con cada variable del sistema 0asta encontrar todas las variables del

sistema y queda resuelto el problema de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

ordinarios.


21/22

Conclusión

Aemos reali-ado este trabajo con la finalidad de afian-ar nuestros conocimientos

sobre el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias. "n esta oportunidad estudiamos

los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios a través del método de los operadores

diferenciales que gracias a ellos podemos ver la relación inmensa que tienen la forma

algebraica de resolverlos con los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

algebraicas vista en la preparatoria o bac0illerato. Una ve- que se aplica el método de

eliminación de variable obtenemos una ecuación diferencial de orden superior con una sola

variable la cual se resuelve por los métodos ya conocidos previos a este tema, esto se

reali-a con todas las variables del sistema y al final se reducen el número de constantes en

caso de aparecer un número de ellas igual al doble del orden de la ecuación obtenida con el

método de eliminación o por el método de determinantes.


22/22

Bibliografía

"&U/&3'8"S #3B"!"8&3/L"S &'8 /L3&/&3'8"S

/utor% Dennis G. Zill

Segunda edición

Crupo editorial 3beroamérica

/?o de edición% $

Método de Los Operadores Para Solucionas Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ordinarias

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