Metodo de Los Coeficientes Indeterminados_16!5!2014

7/23/2019 Metodo de Los Coeficientes Indeterminados_16!5!2014

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Metodo de los coefcientes Indeterminados

g(x) La solucin particular de (1)

(x)

Pm(x) xk

Pm(x)0

eax Pm(x) xk

eax Pm(x) a

Pm(x)cos(x) + Qn(x) xk[P

r(x)

cos(x)

+

Q

r(x)

i

eax[Pm(x)cos(x) + Qn(x) xk

eax[ Pr(x)cos(x)+ a + i

r = mximo{m, n!

k = "rden de multiplicidad del elemento de la terceracolumna, como ra#$ del polinomio caracter#stico!

Pm(x)=%olinomiogeneralde grado m! Pr(x) =%olinomio general de grador! Qr(x) = %olinomiogeneraldegrador!

i &s la 'nidad Imaginaria!

&emplo 1! *allar la solucin general de

yrr yr + y = sen(x)

----!!(.)

La solucin general de la ecuacin no /omognea(.) es


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y (x) = ce x cos 3x) + c1 1

H 12 (

22

e x sen (2

2 3x) , c , c12

constantes aritrarias! ------(!)

2 (x) = yH(x) + T(x)----!!(y)

%rimero /allamos yH(x)3 para elloestudiamos la &cua4 cin *omogneade (.): yrr yr + y = 0----!(I)

i) %olinomio 5aracter#stico6 r2 r + 1 = 0

Las

ra#ces 6 r1

=

1+

3i, r

=2 2

1

3I, ra#ces

compleo2 2

conugadas!(%'&7 estamos siempretraaando con5"&8I5I&9:&7 ;&ase )

La solucin %articularT(x) de la ecuacin 9o

*omognea (.)!Lo /acemos por el M&:"?" ?& L"75"&8I5I&9:&7I9?&:&;MI9


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%ara ello Miramos si la g(x) de (.) est en latala!


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@emos Aue si Aue est en la tercera fla3 le

damos la 8ormag(x) = sen(x), le damos la

orma de la tercera fla (al g(x))

g(x) = sen(x) + 0 cos(x), 3 = 3

%ero = P!, es un polinomio de grado 0 (5&;") B:odas

las constantes sonpolinomios de grado 5&;")

0 = P" eL %olinomio 9ulo es por 5onCencinde grado #! r= mximo {0, # = 0,entonces, r =0!


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&sta es la solucin particular de la ec no/omognea planteada (.)

) 5lculo de los coefcientes Indeterminados < 2>!

5"M" TP(x) = [%cos(3x) + > sen( 3x) $ &7 7"L'5I"9 ?&(.) 3 7


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rr (x) Tr (x) + T (x) = sen(x) ---!! (

')

*acemos los

calculosTrr

?e (&) otenemos6

(x), y Tr (x)

Tr (x)= 3% en(3x) + > cos(x) ---(II)

rr (x) = J < cos (x) J > sen(x)---!(III)

;eempla$ando (&), (II), 2 (III) en (') tenemos6

rr (x) Tr (x) + T (x) = sen(x)

J < cos (x) J > sen(x) B3% en(3x) + >cos(x)K + %cos(3x) + > sen( 3x) = sen(x)7implifcando el lado i$Auierdo de la igualdad Aueda6

( ) cos (x) + ( > + ) cos (x) + ( > + < ) sen (x)= 0cos (x) + sen(x)?e la igualdad se tiene elsistema ,

*% 3 = !

* + 3% = 2;esolCiendo el sistema

tenemos > = 1

-3

2 < = !

-3

;eempla$ando en ----(&)Luego la solucin particular de (.) utili$ando el mtodode los coefcientes

indeterminados es! 1

TP(x) = -3 cos(3x) -3 en (3x)---!! (%)

T .

.

.

.

.

T.

T ..


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;eempla$ando (%) 2 () en (y)


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2 (x) = ce x cos 3x) + c1

12 (

22

e x sen (2

12 3x) + cos(3x)

-3

1 en (3x), para todo c , c-3 12

constantes aritrarias!

La solucin general de la ecuacin no /omognea(.) es

/a c0nane e aan c0n 40 c0n4ici0ne

iniciae5;esolucin de algunos eercicios de la gu#a!

yrr -yr = (x 1)2--- (.)Lo podemos poner as#

yrr -yr = x2 2x + 1 --!!(..)

g(x) = (x 1)2 = x2 2x + 1 = P2 (x),

polinomio de grado !?e acuerdo a la tala el g(x) est en la primera fla 2 lecorresponde lasolucin particular

T.(x) = xk P2(x), donde P2(x) = < x

2 + x + 6, esun polinomio generalde grado !

= multiplicidad del elemento de la tercera columna dela primera fla, es decir

= multiplicidad del 0 como ra#$ del polinomiocaracter#stico!

%nai7an40 las ra#ces del %5!

r2 4 Nr = 0 8 r (r4N) = 08 r= 0 @ r= N!

5omo r=0 es ra#$ del %olinomio caracter#stico('9 x+ 5 --!!() T.rr(x) = O< x + >---();eempla$ando (), () en (1)6

O< x + > N B< x2 + > x + 5K = x2 2x + 1

O < x + > 1 < x2

1 > x N 5 = x2

2x + 17& 7IM%LI8I5< &L L


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1?e donde =

, 5=

9:

1

393

Luego la solucin particular de (..) esT (x) =

1x3

21

+

x2

+

9:

1 x!

393

L< 7"L'5IG9 D&9&;


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r2 r = ! 8 (r 3) (r + ) = 0 8 r = , r = dos

raices realesdierentes!

H = 1 , pues es una Ce$ ra#$ del%5aracter#stico!

Luego T.(x) = x1 e 3 x % ; ; 5 (

3 x --!(...)5alculo

T.r(x) = 3%x e3x +


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yrr

-yr

+ y = (x 2) e2 x

---! (.)La solucin %articular de (.) , por el Mtodo delos coefcientesIndeterminados!

g (x) = (x 2) e2 xponindolo a la orma de la tala

g (x) = (x 2) e2 x = P1 (x) e2 x , con a = 2 @er lasegunda fla de latala es polinomio conexponencial

T.(x)= xk

eaxP

m(x)

T.(x)=xk

e2xP1(x), donde P1(x)=!

T.(x) = xk e2x[ < x +>K, donde H = multiplicidad del

elemento de la terceracolumna de la tala en la fla segunda

= multiplicidad de a = 2 como ra#$ del%5aracteristico %"LI9"MI" 5


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T.r(x) =< B x2 e2x + e2x

(2x) K + > B x e2x + e2x Ksimplifcando

T.r(x) = < x2 e2x + x e2xB < + >K + > e2x

T.rr(x) =K B x e2x + e2x K+ >e2x K

im.i@can40 T.rr(x)

T.rr(x)= < x2 e2x + B < + < + >K x e2x

+ B K e2x

;eempla$ando en (!')

< x2 e2x + B < + >K x e2x + B K e2x N B

< x2 e2x +

x e2xB < + >K + > e2x $ + O [% x2 e2x + > x e2x K

= x e2 x e2 x

( < 19 % + % )x2 e2x + B < + > 19 % 19

+ O > K x e2x

+ ( - ) e2x = x e2 x e2 x7implifcando

(9 %) x2 e2x + (O < >) x e2x + ( - ) e2x

= x e2 x e2 x%or la Igualdad

9 % = 0 , luego < = 0

O < > = 1


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N > =

&emplo !

yrr + 9 y = x sen (x)

/a 0AciBn .aricAar e 6


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@er la tercera fla , ledo2 la ormag (x) = x

sen (x)le do2 la orma a g(x) , como el la tala tercerafla

T. (x) = xk [Pm(x)cos(x) + Qn(x)

sen(x)$

g (x) = " cos(x) + x sen (x) + ! , = 2 ,

0 = P", m=#,

T = P1(x), polinomio de grado 1, n= 1

r= max{m,n, donde r = mximo {# , 1 = 1

entonces r = 1

T. (x)=xk

[Pr(x) cos(x)+

Qr(x) sen(x)K

>n nAer0 ca0 r = 1, = 2

T. (x)= xk

[

P1(x) cos(2x) +

Q1(x) sen(2x)$

k

H = la multiplicidad de i, es decir 2i del

polinomio caracter#stico!&l polinomiocaracter#stico

r2 + = 0 entonces las

ra#ces son 6 r = i, r= i

/Ae?0 k = 1 , .Ae 2i e rai7 4e caracerCic05

T. (x) = x1 [ (% x + ) cos(2x) + ( 6x +D)sen(2x)$

0 c0e@ciene e Eaanree.a7an40 en a ecAaciBn&ercicio

r= 1


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yrr yr + : y = R ex sen

x

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