Método de Las Dos Fases
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MÉTODO DE LAS DOS FASES El método de las dos fases es conocido por que evita utilizar el método de la gran Como su nombre los indica este consiste es realizar dos fases las cuales son las siguientes: Fase I Minimizar la sumatoria de las variables de Superávit o Artificiales, Usadas en el problema. Si Z=0 proceder con la pase 2, en caso de que Para resolver un problema, los pasos que se siguen son: La primera fase consiste en minimizar la función objetivo compuesta de variables artificiales has lograr que sean igual a cero. La segunda fase consiste en la optimización de la función objetivo original en base a la solución obtenida en la fase uno. Ejercicio 1 F.O Min Z = 3X1 + 8X2 Sujeto a: X1 + X2 = 200 X1 ≤ 80 X 2 ≥ 60 HACEMOS LAS VARIABLES DE LA FORMA IGUAL F.O Min Z = x 3 + x 5 X1 + X2 + x 3 = 200 X1 + X 4 = 80 X 2 - X 5 + x 6 = = 60 AHORA ENCONTRAMOS LOS COEFICIENTES PARA LA NUEVA FUNCION OBJETIVO
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MÉTODO DE LAS DOS FASES
El método de las dos fases es conocido por que evita utilizar el método de la gran Como su nombre los indica este consiste es realizar dos fases las cuales son las siguientes:
Fase I
Minimizar la sumatoria de las variables de Superávit o Artificiales,Usadas en el problema. Si Z=0 proceder con la pase 2, en caso de que
Para resolver un problema, los pasos que se siguen son:
La primera fase consiste en minimizar la función objetivo compuesta de variables artificiales has lograr que sean igual a cero.
La segunda fase consiste en la optimización de la función objetivo original en base a la solución obtenida en la fase uno.
Ejercicio 1
F.O Min Z = 3X1 + 8X2 Sujeto a: X1 + X2 = 200 X1 ≤ 80 X2 ≥ 60
HACEMOS LAS VARIABLES DE LA FORMA IGUAL
F.O Min Z = x3+ x5
X1 + X2 + x3= 200 X1 + X4 = 80 X2 - X5+x6= = 60
AHORA ENCONTRAMOS LOS COEFICIENTES PARA LA NUEVA FUNCION OBJETIVO
¿−z+x3+x5=0−x1−x2−x3=−200−x1+x5−x6=−60
– Z−2 x1−x2+x5=−260
DE LA ECUACION ANTERIOR ENEMOS LA SIGUIENTE TABLA PARA INICIAR LA FASE I
X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ -1 -2,0 0 0 -1 0 260
X3 1 1 1 0 0 0 200X4 1 0 0 1 0 0 80X6 0 1 0 0 -1 1 60
X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ -1 0,0 0 0 1 2 140
X3 1 0 1 0 1 -1 140X4 1 0 0 1 0 0 80X2 0 1 0 0 -1 1 60
X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ 0 0 0 1 -1 2 60
X3 0 0 1 -1 1 -1 60X1 1 0 0 1 0 0 80X2 0 1 0 0 -1 1 60
X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ 0 0,0 -1 0 0 1 0
X5 0 0 1 -1 1 -1 60X1 1 0 0 1 0 0 80X2 0 1 1 -1 0 0 120
COMO OBTUVIMOS Z=0 PROCEDEMOS A PASAR A AL FASE II
FASE II: Por consiguiente la segunda fase comprende de la función objetivo inicial y la información de las variables básicas del último tablero de la primera fase donde, si se desea, se puede omitir la información referente a las variables artificiales.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ -3,0 -8 0 0 0
X5 0 0 -1 1 60X1 1 0 1 0 80X2 0 1 -1 0 120
X1 X2 X3 X4 X5 X6 LDZ 0,0 0 -5 0 1200
X5 0 0 -1 1 60X1 1 0 1 0 80X2 0 1 -1 0 120
ASI HEMOS ENCONTRAMO LA SOLUCION OPTYMA PARA EL MODELO PLANTEADO, POR EL MÉTODO DE LAS DOS FASES DONDE Z=1200.
Ejercicio 2
MAXIMIZAR Z = X1 + 4X2+3X3
S. A:
X1 + 2X2 + X3 = 3
2X1 - X2 = 4
X1, X2, X3 ≥ 0
TRANSFORMAMOS EL MODELO PARA INICIAR LA FASE I
MIN Z =X4 +X5
S.A
X1+2X2+X3+X4 = 3
2X1-X2+X5 = 4
AHORA CONVERTIMOS EL MODELO DE LA SIGTE FORMA
−z+x4+x4=0−x1−2x2−x3−x4=−3
−2 x1+x2−x5=−4– Z−3 x1−x2−x3=−7
REEMPLAZANDO EN LA TABLA TENEMOS:
FASE I
X1 X2 X3 X4 X5 LDZ -3 -1 -1 0 0 -7
x4 1 2 1 1 0 3x5 2 -1 0 0 1 4
X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 0 -2,5 -1 0 1,5 -1
x4 0 2 1 1 0 1x1 1 -1 0 0 1 2
X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 0 0 0 -1 -1 0
x2 0 1 2/5 2/5 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 1/5 1/5 2,2
COMO LA SOLUCION DE LA PRIMERA FASE NOS DIO COMO RESULTO Z=0 PROCEDEMOS AL FASE 2.
FASE II
X1 X2 X3 LDZ -1 -5 -3 0
x2 0 1 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 2,2
X1 X2 X3 LDZ -1 0 -1 2
x2 0 1 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 2,2
X1 X2 X3 LDZ 0 0 -0,8 4,20
X2 0 1 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 2,2
X1 X2 X3 LDZ 0 0 0 5
x3 0 1 1 2/5 x1 1 0 0 4/5
LA SOLUCION OPTIMA QUE MAXIMIZA LA FUNCION ES X1=2/5 Y X3=4/5 QUE DA COMO RESULTADO A Z = 5.
Ejercicio 3
Minimizar:z=2 x1+3 x2+ x3
Sujeto a: x1+4 x2+2x3≥83 x1+2 x2≥6
∀ xi≥0
HACEMOS LAS VARIABLES DE LA FORMA IGUAL.
Minimizar:z=2 x1+3 x2+ x3
Sujeto a:
x1+4 x2+2x3≥8→x1+4 x2+2 x3−x4+x5=83 x1+2 x2≥6→3x1+2 x2−x6+x7=6
∀ xi≥0
AHORA ENCONTRAMOS LOS COEFICIENTES PARA LA NUEVA FUNCIÓN OBJETIVO.
−z+x5+x7−x1−4 x2−2 x3+x4+ x5=−8
−3 x1−2x2+ x6+x7=−6−4 x1−6 x2−2x3+x4+ x6+x7=−14
FASE IMinimizar
−4 x1−6 x2−2 x3+x4+x5+ x6+x7Sujeto a:
x1+4 x2+2x3−x4+x5=83 x1+2 x2−x6+x7=6
∀ xi≥0
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X6 LDZ 1 -4 -6 -2 1 0 1 0 -14
0 1 4 2 -1 1 0 1 80 3 2 0 0 0 -1 1 4
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X6 LDZ 1 -2,5 0 1 -0,5 1,5 1 0 -2X2 0 0,25 1 0,5 0,25 -0,25 0 0 2
0 2,5 0 -1 0,5 0,5 -1 1 2
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X6 LDZ 1 0 0 0 0 1 0 1 0X2 0 0 1 0,6 -0,3 3 0,1 -0,1 1,8X1 0 1 0 -0,4 0,2 -0,2 -0,4 0,4 0,8X1
FASE II: Por consiguiente la segunda fase comprende de la función objetivo inicial y la información de las variables básicas del último tablero de la primera fase donde, si se desea, se puede omitir la información referente a las variables artificiales.
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X6 LDZ 1 2 3 1 0 0 0X2 0 0 1 0,6 -0,3 0,1 1,8X1 0 1 0 -0,4 0,2 -0,4 0,8X1
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X6 LDZ 1 2 0 0,8 -0,9 -0,3 -5,4X2 0 0 1 0,6 -0,3 0,1 1,8X1 0 1 0 -0,4 0,2 -0,4 0,8
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X6 LDZ 1 0 0 0 0,5 0,5 -7X2 0 0 1 0,6 -0,3 0,1 1,8X1 0 1 0 -0,4 0,2 -0,4 0,8
ASÍ HEMOS ENCONTRAMOS LA SOLUCIÓN OPTIMO PARA EL MODELO PLANTEADO, POR EL MÉTODO DE LAS DOS FASES DONDE Z = -7.
Ejercicio 4 F.O Minimizar:
z=3 x1+2x2+3 x3
Sujeto a: x1+4 x2+x3≥72 x1+x2+x4≥10
∀ xi≥0
PARA APLICAR EL MÉTODO SE TRANSFORMA EN UNA FUNCIÓN DE MINIMIZACIÓN.
Min(z).
−z=−3 x1−2 x2−3 x3
Sujeto a: −x1−4 x2−x3+x5+x6=−7−2 x1−x2−x4+x7+ x8=−10
∀ xi≥0
EL MODELO DE LA SIGUIENTE FORMA
−z+x6+x8−x1−4 x2−x3+x5−x6=−7−2 x1−x2−x4+x7−x8=−10
−3x1−5 x2−x3−x4+x5+x7=−17
REEMPLAZANDO EN LA TABLA TENEMOS:
FASE I
V. Básica
X1 X2 X3 X4 X5 x6 X7 x8 LD
Z -3 -5 -1 -1 1 0 1 0 -17x6 1 4 1 0 -1 1 0 0 7x8 2 1 0 1 0 0 -1 1 -10
V. Básica
X1 X2 X3 X4 X5 x6 X7 x8 LD
Z -7/4 0 -1/4 -1 -1/4 5/4 1 0 -33/4
X2 1/4 1 0 0 -1/4 1/4 0 0 -7/4x8 7/4 0 0 1 1/4 -1/4 -1 1 33/4
V. Básica
X1 X2 X3 X4 X5 x6 X7 x8 LD
Z 0 0 0 0 0 1 0 1 0X2 0 1 2/7 -1/7 -1/4 2/7 1/7 -
11/74/7
X1 1 0 -1/7 4/7 1/4 -1/7 -4/7 4/7 33/7
FASE II.
V. Básica
X1 X2 X3 X4 X5 X7 LD
Z -3 -2 -3 0 0 0 0X2 0 1 2/7 1/7 -1/4 1/7 4/7X1 1 0 -1/7 4/7 1/4 -4/7 33/7
V. Básica
X1 X2 X3 X4 X5 X7 LD
Z 0 0 20/7 -10/7
1/7 10/7 -107/7
X2 0 1 2/7 -1/7 -2/7 1/7 4/7X1 1 0 -1/7 4/7 -4/7 -4/7 33/7
V. Básica
X1 X2 X3 X4 X5 X7 LD
Z 0 0 5/2 0 1/2 0 -7/2X2 0 1 1/4 0 1/4 0 7/4X4 1 0 -1/4 1 1/4 -1 33/4
Solución.
X2 = 7/4, X4 = 33/4. Con un Z = -7/2.
Ejercicio 5
Maximizar:
z=x1+5 x2+3 x3Sujeto a:
x1+2x2+x3=32 x1−x2=4
∀ xi≥0
Transformamos el modelo para iniciar la fase i
Min (Z) = X4 + X5
Sujeto a:
X1 + 2X2 + X3 + X4 = 3
2X1 – X 2 + X5 = 4
Ahora convertimos el modelo de la siguiente forma
−z+x4+x4=0−x1−2x2−x3−x4=−3
−2 x1+x2−x5=−4– Z−3 x1−x2−x3=−7
Reemplazando en la tabla tenemos:
FASE I X1 X2 X3 X4 X5 LDZ -3 -1 -1 0 0 -7x4 1 2 1 1 0 3x5 2 -1 0 0 1 4
X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 0 -2,5 -1 0 1,5 -1x4 0 2 1 1 0 1x1 1 -1 0 0 1 2
X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 0 0 0 -1 -1 0
x2 0 1 2/5 2/5 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 1/5 1/5 2,2
FASE II:
FASE II X1 X2 X3 LDZ -1 -5 -3 0x2 0 1 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 2,2
X1 X2 X3 LDZ -1 0 -1 2x2 0 1 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 2,2
X1 X2 X3 LDZ 0 0 -0,8 4,20X2 0 1 2/5 2/5 x1 1 0 1/5 2,2
X1 X2 X3 LDZ 0 0 0 5x3 0 1 1 2/5 x1 1 0 0 4/5
La solución optima que maximiza la función es x1=2/5 y x3=4/5 que da como resultado a z=5
Ejercicio 6.
Maximizar:z=2 x1+2 x2+4 x3
Sujeto a: 2 x1+x2+x3≤23 x1+4 x2+2x3≥8
∀ xi≥0
Maximizar:z=2 x1+2 x2+4 x3
Sujeto a:
2 x1+x2+x3≤23 x1+4 x2+2x3≥8
∀ xi≥0
AHORA ENCONTRAMOS LOS COEFICIENTES PARA LA NUEVA FUNCIÓN OBJETIVO.
−z−x6−2x1−x2−x3+x4=−2
−3 x1−4 x2−2x3+ x5+x6=−8−5x1−5 x2−3x3+x4+ x5=−10
FASE I
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 LDZ -1 -5 -5 -3 -1 1 0 -10X4 0 2 1 1 1 0 0 2
0 3 4 2 0 -1 1 8
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 LDZ -1 5 0 3 2 4 1 0X2 0 2 1 1 1 0 0 2
0 -5 0 -2 -4 -1 1 0
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 1 0 0 0 0 0 -1 0X2 0 0 1 0,2 -0,6 -0,4 0,4 2X1 0 1 0 0,4 0,8 0,2 -0,2 0
FASE II
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 1 -2 -2 -4 0 0 0X2 0 0 1 0,2 -0,6 -0,4 2X1 0 1 0 0,4 0,8 0,2 0
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 LDZ 1 0 0 -2,8 0,4 -0,4 4X2 0 0 1 0,2 -0,6 -0,4 2X3 0 1 0 0,4 0,8 0,2 0
V. Básica Z X1 X2 X3 X4 X5 LD
Z 7 0 0 -2,8 0,4 -0,4 4X2 0 0 1 0,2 -0,6 -0,4 2X3 0 1 0 2,5 0,8 0,2 0
Solución:X1=0; x2=2; y x3=0 con un z =4.
Ejercicios 7
F.O Maximizar:
z=3 x1+ x2Sujeto a:
x1+ x2≥32 x1+x2≥4x1+ x2=3
∀ xi≥0
Ahora Encontramos Los Coeficientes Para La Nueva Función Objetivo.
−z+x4+x6+x7−x1−x2∓ x 3−x4=−3−2 x1−x2+ x5−x6=−4
−4 x1−3 x2+x3+x5=−10
Fase 1.
V. Básica X1 X2 X3 x4 X5 X6 x7 LD
Z -4 -3 1 0 1 0 0 -10
x4 1 1 -1 1 0 0 0 3x6 2 1 0 0 -1 1 0 4x7 1 1 0 0 0 0 1 3
V. Básica X1 X2 X3 x4 X5 x6 x7 LD
Z 0 -1 1 83
1 0 0 -2
x4 0 −12
-1 1 1/2 -1/2 0 1
x1 1 12
0 0 -1/2 1/2 0 2
x7 0 17
0 0 1/2 -1/2 1 1
V. Básica
X1 X2 X3 x4 X5 x6 x7 LD
Z 0 0 1 0 0 1 2 0x4 0 0 -1 1 0 0 -1 0x1 1 0 0 0 -1 1 -1 1
x2 0 1 0 0 1 -1 2 2
FASE II
V. Básica X1 X2 X3 X5 LDZ -3 0 0 0 0x4 0 0 -1 0 0X1 1 0 0 -1 1X2 0 1 0 1 2
V. Básica X1 X2 X3 X5 LDZ 0 -1 1 -3 3x4 0 0 -1 0 0X1 1 0 0 -1 1X2 0 1 0 1 2
V. Básica X1 X2 X3 X5 LDZ 0 0 -1 -2 5x4 0 0 -1 0 0X1 1 0 0 -1 1X2 0 1 0 1 2
La solución óptima es X1 = 1, X2 =2 con z mínima de 5.
Ejercicio 8
Minimizar
z=3 x1
Sujeto a:
2x1+ x2≥63 x1+2 x2=4
∀ xi≥0
AHORA ENCONTRAMOS LOS COEFICIENTES PARA LA NUEVA FUNCIÓN OBJETIVO.
−z+x4+x5=0−2x1−x2∓ x3− x4=−6
−3 x1−2 x2−x5=−4−5 x1−3 x2+x3=10
FASE I
V. Básica X1 X2 X3 x4 x5 LDZ -5 -3 1 0 0 -10x4 2 1 -1 1 0 6x5 3 2 0 0 1 4
V. Básica X1 X2 X3 x4 x5 LDZ 0 9/2 1 0 5/3 -10/3x4 0 -2 -1 1 -2/3 10/3X 1 1 3/2 0 0 10/3 4/3
El problema no tiene solución factible.
TRABAJO DE OPERACIONESMÉTODO DE LAS DOS FASES (COMO EVITAR LA GRAN M)
CARLOS JOAQUÍN VIOLETH
ING. Msc JORGE MARIO LÓPEZ PEREIRA
UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FACULTAD DE INGENIERÍASPROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
MONTERÍA2012
![VPR Con Met a Heuristic A de Dos Fases[1]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/5571fb9c4979599169955bef/vpr-con-met-a-heuristic-a-de-dos-fases1.jpg)
