Método de Amarre Fuerte I

7/26/2019 Método de Amarre Fuerte I

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setiembre 2008 amarre fuerte 1

Introducción al Estado Sólido:

El amarre fuerte

(tight-binding, en inglés)

R. Baquero

Departamento de Física

Cinvestav

Introducción al Estado Sólido. R. Baquero





¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?

Uno de los objetos de estudio del Estado Sólido, es el estudio de lamateria en estado cristalino.

El estado cristalino es un arreglo periódico de átomos en interacción.

El arreglo periódico se llama red. Una red cubre, en teoría todo el espacio.

La periodicidad se describe por medio de la Teoría de Grupos

Hay diferentes tipos de periodicidad, es decir diferentes grupos cristalinosque se manifiestan por la colocación de los átomos en la red.

El grupo cúbico tiene simetría cúbica, es decir la misma que tiene un cubo. A

ese grupo pertenecen tres redes:1- Cúbica simple (CS): simple cubic, en inglés (sc).

2- Cúbica centrada en el cuerpo (CCC); body centered cubic, en inglés, (bbc).

3- Cúbica centrada en las faces (CCF); face centered cubic, en inglés, (fcc)






Red Cúbica Simple, CS

Simple cubic lattice (sc)

Encontrar 4 elementos de simetría






Red Cúbica centrada (CC)

Body centered cubic lattice (bcc)







Red Cúbica centrada en las

caras (CCC)Face cubic centered (fcc)







Interacciones en la

Red Cúbica Simple, CSSimple cubic lattice (sc)

a

R2

R4

R6

R1 R3

R5

i j

k

R = pa i + qa j + ra k

Encontrar lossegundos y losterceros vecinos






Interacciones en la

Red Cúbica Simple, CSSimple cubic lattice (sc)

a

i j

k


Metal

Semi-conductor

aislante

Dependiendo del enlace:






Interacciones en la



a

i j

k


Metal

Los electrones están

“ libres” dentro delespacio de la red

I d ió l E d Sólid R B






Interacciones en la



a

i j

k


Semi-conductor yaislante

Los electronesse

encuentran atrapadosen los enlaces





De amarre(bonding)

Anti-enlace

(anti-bonding)

Ejemplos de estadoselectrónicos en el enlace




Introducción al Estado Sólido. R. Baquero¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?

¿QUÉ QUEREMOS SABER?

1- Estados electrónicos (función de onda y energía

2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías)

(fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estadosvibracionales)

3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energíaentre ellos. (interacción electrón-fonón)




Introducción al Estado Sólido. R. Baquero¿Por qué estudiamos el método de amarre fuerte?

¿QUÉ QUEREMOS SABER?

1- Estados electrónicos (función de onda y energía

2- Estados de vibración de los iones (función de onda y energías)

(fonón es la diferencia en energía y momento entre dos estadosvibracionales)

3- Interacción entre iones y electrones: cómo se intercambia energíaentre ellos. (interacción electrón-fonón)

PARA CALCULAR, EN FORMA SENCILLA, AUNQUE APRXIMADA, LOS ASPECTOS ANTERIORES,ESTUDIAMOS EL MÉTODO DE AMARRE FUERTE

Á




Introducción al Estado Sólido. R. BaqueroLINEAMIENTOS GENERALES DEL CÁLCULO

EL método es útil porque preserva la simetría exacta del sistema, es decir, elHamiltoniano tiene la misma simetría que la red cristalina descrita.

.( ) ( ) j

j

i

n n jeφ ψ = −∑ k R

R

r r R

Para construir la matriz hamiltoniana, necesitamos una base completa de

funciones. En nuestros caso, si queremos describir un metal (los electrones,las vibraciones y la interacción electrón-fonón) , esas funciones deben sersoluciones de la Ecuación de Shrödinger que incluya la periodicidad delsistema. Los electrones pueden ser descritos por medio de ondas de Bloch(que tienen la periodicidad de la red), de la forma:

Calcular las energías significa obtener el Hamiltoniano y resolver la Ecuaciónde Shrödinger.

I t d ió l E t d Sólid R B1 k R




Introducción al Estado Sólido. R. Baquero.1( ) ( ) j

j

i

n n je N

φ ψ = −∑ k R

R

r r R

Los elementos de la matriz Hamiltoniana toman la forma

.( ) *

,

1( ) ( ) j i

j i

i

n i m j

e d H N

ψ ψ −

− −

∑ ∫

k R R

R R

r r R r R

Vector de desplazamiento desde el átomo donde seencuentra el orbital n al átomo donde se encuentra

el orbital m

( )l

l

H H = −

∑R

r R

El hamiltoniano es esférico:

En general, detres centros

Número decelda unitarias

Introducción al Estado Sólido R Baquero





.( ) *

,

( ) ( ) j i

j i

i

n i m je d H ψ ψ

−− −∑ ∫

k R R

R R

r r R r R

Hipótesis:

Entre más lejos se encuentren los dos átomos en cuestión, más pequeñova a ser el integral. ¿Por qué?

Hay traslape porque están más cerca

No hay traslape porque están más lejos

Entre mayor sea el traslape, mayor será el integral.

Podemos limitar el número de vecinos !!!


P i d t i




Primeros, segundos y terceros vecinos:¿cuántos hay de cada uno?

a

i

jk

VECINOS EN LA REDCÚBICA SIMPLE

PRIMEROS VECINOS

SEGUNDOS VECINOS

TERCEROS VECINOS

6

12

8

Introducción al Estado Sólido R Baquero





PRIMEROS VECINOS

SEGUNDOS VECINOS

TERCEROS VECINOS






.( ) *( ) ( ) j i

j

i

n i m je d H ψ ψ −

− −∑ ∫k R R

R

r r R r R

Para calcular el elemento Hnm de la matriz Hamiltoniana debemos elegir:

1- la distancia máxima que tomaremos en cuenta para el cálculoconcreto. Decimos, entonces, que el cálculo está hecho a primerosvecinos, a segundos vecinos, a terceros vecinos, etc.

Podemos eliminar la suma por Ri que repite los términos de la sumapor R

j

y así eliminamos el prefactor 1/N. Obtenemos:

2- Los estados u orbitales atómicos (n y m) que tomaremos encuenta en cada uno de los átomos. A esto le llamaremos “ La base” .





q

El concepto de “ Base”

ión

Órbitas externas





El concepto de “ Base”

Electrones atómicosexternos (de valencia)

Electrones

libres metálicos

En un sól ido, los electrones atómicos externos (de valencia)

constituyen los enlaces entre iones (en semi-conductores oaislantes) o se convierten en electrones libres (en metales)tal y como lo ilustra la figura.

EN UN SÓLIDO:





.( ) *( ) ( ) j i

j

i

n i m je d H ψ ψ −

− −∑ ∫k R R

R

r r R r R

Por la razón anterior, para calcular la matriz hamiltoniana,H

nm, seleccionamos como “ base” (como los estados

electrónicos n y m) los orbitales atómicos externos delátomo que constituye el sólido. Es decir,

Orbitales atómicos externos





.( ) *( ) ( ) j i

j

i

n i m je d H ψ ψ

−− −∑ ∫

k R R

R

r r R r R

Un cálculo de amarre fuerte de la matriz Hmn del Hamiltoniano:

Comienza por especificar

El número de vecinos quese toma en cuenta.

Los orbitales átómicos que setoma en cuenta (número y tipo).


Orbitales atómicos:




Orbitales atómicos:

Los números cuánticospara un átomo son:

El número cuántico principal “ n”

El número cuántico del momento

angular “ l” (0, 1, 2, …n-1)

El número cuántico de la proyeccióndel momento angular “ m” (- l, - l + 1,- l + 2, …, 0 , 1, 2, …+ l)

Nótese que para cada n hay n2 estados atómicos diferentes sin

tomar en cuenta el espín. Si lo tomamos en cuenta, habrá 2n2.





DEMOSTRACIÓN:

1 1

0 0

1 (2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)n l n

l m l l

l n− −

= =− =

= + = + + + + + −∑ ∑ ∑

2

1 3 5 ... (2 1)

(2 1) (2 3) (2 5) ... 12 2 2 ... 2 2 * 2

n

n n nn n n n n n n

+ + + + −

− + − + − + +

+ + + + = =

1 12

0 0

1 (2 1) 1 3 5 7 ... (2 1)n l n

l m l l

l n n− −

= =− =

= + = + + + + + − =∑ ∑ ∑





En el caso de los sólidos definimos

s

p

d

l = 0 Un solo orbital m = 0

l = 1

l = 2

Tres orbitales

Cinco orbitales

px

py

pz

dxy

dzx

dyz

dx2-y2

d3z2+r

2

Introducción al Estado Sólido. R. BaqueroLa aproximación de dos centros




.( ) *( ) ( ) j i

j

i

n i m je d H ψ ψ

−− −∑ ∫

k R R

R

r r R r R

p

Para calcular la expresión:

1- Consideraremos sólo los términos H(r-Ri) y H(r-R j) : A esta consideraciónse le conoce como “ la aproximación de dos centros” .

2- Tomaremos el origen en Ri.

.( ) *( ) ( ) j

j

i

n m je d H ψ ψ −∑ ∫k R

R

r r r R





Con R = pa i + qa j + ra k

*

* ,

( ) ( )

( ) ( ) ( , , )

n m j

n m n m

d H

d H pa qa ra E p q r

ψ ψ

ψ ψ

− =

− − − ≡

∫

∫

r r r R

r r r i j k

.( ) *( ) ( ) j

j

i


R

r r r R


EJEMPLO: RED CÚBICA SIMPLE




Primeros vecinos, orbital s

a

R2

R4

R6

R1 R3

R5

i

jk


R = +a iR = -a i

Etc.


( ) *( ) ( )jid H∑ ∫

k RR




.( ) *( ) ( ) j

j

i


R

r r r R

(1) (1)( | | ) ( | )s H s s s≡ =

. * . *00 00 00 00( ) ( ) ( ) ( )ia ia

n n n ne d H a e d H aψ ψ ψ ψ −+ − + + +∫ ∫

q i q ir r r i r r r i

. * . *00 00 00 00( ) ( ) ( ) ( )i ia

n n n ne d H a e d H aψ ψ ψ ψ −+ − + + +∫ ∫

q j q jr r r i r r r i

. * . *00 00 00 00( ) ( ) ( ) ( )ia ia

n n n ne d H a e d H aψ ψ ψ ψ −+ − + −∫ ∫

q k q kr r r i r r r i

*00 00( ) ( )n nd H ψ ψ +∫ r r r





. * . *

. . . .

( ) ( ) ( ) ( ) .( 100) (100) (100)[ ]

ia ia

s s s s

ia ia ia ia

ss ss ss

e d H a e d H a etc

e E e E E e e

ψ ψ ψ ψ −

− −= − + + + == − + = +

∫ ∫q i q i

q i q i q i q i

r r r i r r r i

x y zak ak ak ξ η ζ = = =

. .(100)[ ] 2 (100)cosia ia

ss ss E e e E ξ −+ =q i q i





(1) (1)( | | ) ( | )s H s s s≡ =

Con lo cual obtenemos,

(000) 2 (100)[cos cos cos ]ss ss E E ξ η ζ = + + +

TAREA: Obtener la Tabla II del artículo Phys. Rev. 94, 1498 (1954)


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