MEKANIKA KLASIKOA

Juan M. AguirregabiriaFisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila

etaEuskara Institutua

Universidad

eman ta zabal zazu

Euskal Herrikodel País Vasco Unibertsitatea

ii

Mekanika Klasikoa

Copyright c© 2000–2004 Juan M. Aguirregabiria

Euskal Herriko Unibertsitatea,Zientzia eta Teknologia Fakultatea,Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila,P. K. 644, 48080 Bilbo.

Telefonoa: +34 946015915Faxa: +34 946015399Posta elektronikoa: wtpagagj@lg.ehu.esWWW orria: http://tp.lc.ehu.es/jma.html

Osorik edo zatiz, eskuz, makinaz zein informatikaz kopiatzea, jabearenidatzizko baimenik gabe, debekaturik dago.

LEHEN ARGITARALDIA : 2004.EKO UZTAILAREN 2

Egileak berak konposatu du testu hau LATEX 2ε formatuan eta egin ditu ar-gazki gehienak. Halaber, irudi gehienak egilearenDynamics Solverprogramaren bidez marraztu dira.

ISBN 84-8373-631-4

Azalean:Brakistokronoaren problema: Hiru bolatxo berdin aldi berean askatzen badira ezkerreko zuloetatik, zeinheltzen da lehenago eskuineko ontzira? (Ikus6.48problema.)

Aurreko orrialdean :Pendulu bikoitzaren eboluzio laua marruskadurarik gabe. Bi hagatxoak berdinak eta masa gabekoak diraeta mutur batetik loturik daude. Hagatxo baten beste muturra puntu finko batetik eseki da eta besteareneanmasa bat dago. Hasieran hagatxoak geldirik eta (ia) posiziobertikalean zeuden, puntu finkoa duena gorantzeta bestea beherantz. Masaren higidura jarraitua marraztuarren, hagatxoenak hobeto ikusteko estrobosko-pio bat erabili da. Ikus242. orriko 6.10problema eta hurrengo simulazioa:http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/bikoitza.ds

iii

NIRE IKASLEEI

iv

HITZAURREA

Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean, Fisika lizentziaturarenbigarren ikasturtean, «Mekanika eta Uhinak I» eta «Mekanika eta Uhinak II» ikasten ari dire-nentzat idatzi da testu hau —baina honek ez du esan nahi, inondik ere, ikasleak beste testuli-bururik erabili behar ez duenik: ikasten dena ulertzen eta sakontzen laguntzen dute ikuspuntudesberdinek—. Azken hamaika ikasturteetako esperientziaz baliatu naiz liburu hau idazteko etaazken lau urteetan ikasleek erabili dituzte aurreko idatzaldiak.

Lehen ikasturtean mekanikari buruz ikasten denaren laburpen aurreratua da1. gaia, ikasleakhan lortu zuen ezagutza finkatzen laguntzeko asmoz idatzia.Gai horretako oinarrizko kontzeptufisiko emankorrak oso lagungarriak izango zaizkio beste gaiak ondo ulertzeko.2. gaia ere lehenikasturtean ikusi da, baina hemen tresna matematiko ahaltsuagoak —matrizeak, hain zuzen—erabiltzen dira.3. gaian erlatibitate berezirako sarrera erraz bat egiten daeta4.ean indar zentra-lak aztertzen dira. Solido zurruna da5. gaiaren aztergaia eta mekanika analitikoa6.arena. Oszi-lazio linealak7. gaian ikasi ondoren, kasu ez-linealak aztertu beharko lirateke; baina ikastorduakurriak direnez, ez dira programan sartzen. Hala ere,8. gaian kaos deterministarako sarrera batjarri da. Uhinak aztertzen dira9. gaian eta elastikotasuna eta fluidoen mekanika10.ean. Materialgehigarria ugaria da: datu fisiko, astronomiko eta matematikoen taulakA eranskinean biltzen di-ra eta osagarri matematikoakB delakoan. Badago, gainera, problemak ebazteko lagungarrigertadaitezkeen metodo orokorren bilduma batC eranskinean. Ariketa asko tartekatzen dira testuan,ikasleak teorian azaldutakoa ulertu ote duen egiazta dezan. Enuntziatuan agertzen ez bada, ari-keta bakoitzaren soluzioaD eranskinean dago. Gaien amaieran berrogeita hamar bat problemaebazten dira: batzuek teoria garatzen dute, beste batzuetan kalkulua nahiko luzea da eta, asko-tan, problemak ebazteko teknika interesgarriak erakustendira. Gainera, ebatzi gabeko problemaklaurehun baino gehiago dira eta gehienen soluzioak egiaztatzeko behar denaE eranskinean dago.Amaieran hiztegitxo tekniko bat dago, ikasleak jakin dezannola esaten den euskaraz ikasi duenafrantsesez, gaztelaniaz eta ingelesez.

Testuan ikasturte batean ikus daitekeena baino gehiago badago ere, aitortu behar da testuli-buru on askotan aztertzen diren zenbait gai —hala nola potentzialaren teoria— falta direla etabeste batzuen azalpena —solido zurrunaren kasuan, adibidez— ez dela sakonegia. Bestalde, gaierakargarrienak —astrofisika, adibidez— ikasi baino lehenago egin behar den fisikaren ikasketasistematiko luzeak aspertzea eta etsipena sorraraz ditzake batzuetan ikasleengan. Problema haugainditzen laguntzeko, askotan liburuetan ikusten ez diren problema eta gai interesgarri batzuksartu dira testuan. Horrela, goian esan dugun bezala, programan ez dagoen kaos determinista az-tertzen da. Gai hau, ahal dela, ordutegi normaletik at irakatsiko da ordenagailu-gelan, bide batezikasleak zenbakizko simulazioa egiten ikas dezan. Ikaslearen jakin-mina sortzeko asmo berakbultzatu nau Interneten simulazio askotxo jartzera: dagozkien helbideak testuan agertzen dira etazuzenean erabil daitezke idatzaldi elektronikotik.

v

vi HITZAURREA

Dokumentu elektronikoaren erabilera

Testu honen idatzaldi elektronikoa ikusteko edo inprimatzeko, Acrobat Reader programabehar duzu. Doakoa da eta, oraindik ez badaukazu, hurrengo orrian lor dezakezu:http://www.adobe.com/products/acrobat/readermain.html.

Testu hau ordenagailuaren pantailan ikusten ari bazara, paperezko idatzaldiak ez dituen hi-pertestuaren abantailak erabil ditzakezu. Horrela, formula bat aipatzen den bakoitzean, bere zen-bakian klik eginez gero, formula dagoen orria ikusiko da pantailan. Aurreko posiziora itzultzeko,erabiliView/Go To/Previous Viewmenua edo sakatu atzera egiteko botoia:

Gauza bera egin daiteke irudien, taulen, atalen, erreferentzien, orrien, orri-oinen zenbakietan etahatz erakuslea agertzen den bakoitzean, hala nola WWW helbide baten gainean dagoenean. Az-ken kasuan, Internetekin konektatuta egonez gero, dagokion orria zabalduko da edo, dokumentubaten helbidearen kasuan, dokumentua ekartzeko edo zabaltzeko aukera edukiko duzu. Gogora-tu dokumentu batzuk zabaltzeko, programa egokia behar duzula ordenagailuan. Testu honetangehien erabiltzen dena, hurrengo orritik doan lor daitekeen Dynamics Solver da:http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html.

Huts-zuzenketak eta material osagarria

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika.html orrian aurki dezakete goian aipaturiko biikasgaietan matrikulatutako ikasleek material osagarria: ikasgaien programak, problema-zerren-dak, liburu honenhutsen zuzenketak, azterketen soluzioak, zenbakizko simulazioak, eta abar.

Eskerrak

Eskerrik asko Ruben Alfonsori eta Unai Iriondori aurkitu zituzten hutsengatik eta Javi Zúñi-gari9.77irudiko Laue-ren diagramagatik.

Zunbeltz Izaolak asmatu zuen nola idatzi LATEX 2ε delakoan marratxo bat hurrengo lerroarenhasieran, lerro-aldaketa hitz elkartu baten marratxoan gertatzen denean1. Eskerrik asko Zunbeltz.

Jazinto Iturbek [38] liburuari buruz egin zizkidan oharrak kontuan eduki dituttestu honenazken orrazketan.

Euskara Zerbitzuko Xabier Alberdik egin zizkidan oharrak eta zuzenketak onuragarriak izandira. Besteak beste, jakinarazi zidan «kontserbakor» eta «konjokatu» hitzak, aspaldidanik erabil-tzen baditugu ere, ez direla egokiak: orain «kontserbatzaile» eta «konjugatu» erabiltzen ditut.

Bereziki eskertu nahi dut Martín Rivasen laguntza, ezin ordainduzkoa izan baita5.14 irudikoesperimentua egiterakoan. Gainera, Martíni zor diot, besteak beste,9.40 irudiko ostadarrarenargazkia.

Leioa, 2000–2004 ikasturteak

1Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/basque.html.

AURKIBIDE OROKORRA

HITZAURREA vDokumentu elektronikoaren erabilera . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . viHuts-zuzenketak eta material osagarria . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . viEskerrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vi

IRUDIEN ZERRENDA xxiv

TAULEN ZERRENDA xxv

1 Oinarrizko kontzeptuak 11.1 Partikula puntualaren zinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2

1.1.1 Geometria euklidearra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21.1.2 Posizioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.3 Denbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.1.4 Abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.1.5 Azelerazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2 Partikula puntualaren dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 81.2.1 Galileo-ren inertziaren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81.2.2 Newton-en bigarren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111.2.3 Akzio eta erreakzioaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

1.3 Bulkada, lana eta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 151.3.1 Bulkada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.3.2 Potentzia eta energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 161.3.3 Lana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.3.4 Indar kontserbatzaileak eta energia potentziala . . .. . . . . . . . . . . 171.3.5 Indar-eremu zentralak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191.3.6 Dimentsio bakarreko indar-eremua . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 191.3.7 Osziladore harmonikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.8 Energia mekanikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.9 Marruskadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.4 Ebazpen-metodoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.4.1 Denboraren menpeko indarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221.4.2 Higidura-konstanteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231.4.3 Aldagaien banantzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.4.4 Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealak . . . . . . . . . 251.4.5 Hurbilketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4.6 Metodo kualitatiboak: energia-diagramak . . . . . . . . .. . . . . . . 27

vii

viii AURKIBIDE OROKORRA

1.5 Partikula-sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 311.5.1 Magnitude kolektiboak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.5.2 Eboluzio-ekuazio kolektiboak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 331.5.3 Kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 331.5.4 Talkak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.5.5 Masa-zentroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.5.6 Bi gorputzen problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361.5.7 Talka elastikoak bi gorputzen probleman . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

1.6 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431.6.1 Abiadura limitea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431.6.2 Bulkada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431.6.3 Oreka erlatiboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441.6.4 Talka elastikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451.6.5 Soluzio triangeluarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 45

1.7 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2 Higidura erlatiboa 532.1 Translazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.1.1 Partikula-sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 552.1.2 Masa-zentroaren sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55

2.2 Orientazioa eta biraketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 562.3 Euler-en angeluak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58

2.3.1 ϕ angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582.3.2 θ angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.3.3 ψ angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2.4 Abiadura angeluarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 612.5 Erreferentzia-sistema ez-inertzialak . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 642.6 Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 67

2.6.1 Laborategiko sistema erraztua . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 672.6.2 Grabitate-azelerazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 692.6.3 Higidura bertikala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702.6.4 Higidura horizontala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702.6.5 Foucault-en pendulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .712.6.6 Grabitatearen eraginpeko higidura . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 72

2.7 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 732.7.1 Alderanzketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732.7.2 Biraketa-ardatza eta biraketa-angelua . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 742.7.3 Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra . . . . . . .. . . . . . . . 742.7.4 Lagrange-renL4 etaL5 puntuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .752.7.5 Coriolis-en efektua ekuatorean . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 76

2.8 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

3 Erlatibitate berezia 813.1 Mekanika «galilearra» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 82

3.1.1 Erreferentzia-sistema inertzialak . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 823.1.2 Gertaerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.2 Einstein-en postulatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84

AURKIBIDE OROKORRA ix

3.3 Minkowski-ren diagramak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 853.3.1 Aldiberekotasuna erlatiboa da. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4 Lorentz-en transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 873.4.1 Minkowski-ren diagramak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

3.5 Luzeraren uzkurdura eta denboraren zabalkuntza . . . . . .. . . . . . . . . . . 903.5.1 Lorentz eta Fitzgerald-en uzkurdura . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 903.5.2 Denboraren zabalkuntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92

3.6 Espazio-denborako tartea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 943.6.1 Espazio motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .953.6.2 Denbora motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .963.6.3 Argi motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .973.6.4 Argi-konoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

3.7 Abiaduraren transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 993.8 Momentu lineala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1013.9 Masa eta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

3.9.1 Pausaguneko energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1053.9.2 Energiaren eta momentu linealaren transformazioa . .. . . . . . . . . 1063.9.3 Masa gabeko partikulak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1073.9.4 Energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

3.10 Indarra eta potentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1083.11 Compton-en sakabanatzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1083.12 Fotoien igorpena eta xurgapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 110

3.12.1 Fotoi-igorpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1103.12.2 Fotoi-xurgapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

3.13 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1113.13.1 Bikien paradoxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1113.13.2 Doppler efektua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1113.13.3 Grabitate artifiziala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1123.13.4 Masa-zentroaren sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1133.13.5 Fotoi-suziria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

3.14 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

4 Indar zentralak 1214.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 123

4.1.1 Dimentsio bakarreko problema baliokidea . . . . . . . . . .. . . . . . 1244.1.2 Higidura erradiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1244.1.3 Higidura angeluarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1254.1.4 Orbitaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1254.1.5 Binet-en formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1264.1.6 Orbita zirkularren egonkortasuna . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 127

4.2 Indar newtondarrak: Kepler-en problema . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1284.2.1 Energia potentzial eraginkorra . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1284.2.2 Orbitaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

4.3 Kepler-en orbitak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1304.3.1 Orbita zirkularrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1314.3.2 Orbita eliptikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1314.3.3 Kepler-en hirugarren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 133

x AURKIBIDE OROKORRA

4.3.4 Bertrand-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1334.3.5 Kepler-en ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1354.3.6 Energia mekanikoa eta ardatz nagusia . . . . . . . . . . . . . .. . . . 136

4.4 Orbita irekiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1374.4.1 Orbita parabolikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1374.4.2 Orbita hiperbolikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

4.5 Sakabanatze newtondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1414.5.1 Sekzio eragilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1424.5.2 Rutherford-en sakabanatzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1444.5.3 Sekzio eragile osoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1454.5.4 Perizentroa eta nukleoen dimentsioa . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1464.5.5 Batez besteko ibilbide askea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1464.5.6 Sekzio eragileak masa-zentroan eta laborategian . . .. . . . . . . . . . 147

4.6 Hiru gorputzen problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1484.6.1 Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra . . . . . . .. . . . . . . . 148

4.7 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1504.7.1 Newton-en problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1504.7.2 Kurba konikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1514.7.3 Sateliteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1514.7.4 Kometa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1524.7.5 Hohmann-en orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

4.8 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

5 Solido zurruna 1615.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 162

5.1.1 Askatasun-graduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1625.1.2 Abiadura-eremua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1635.1.3 Higidura-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1645.2.1 Momentu angeluarra eta inertzia-momentua . . . . . . . . .. . . . . . 1655.2.2 Indar-momentua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1665.2.3 Biraketa-erradioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1675.2.4 Energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1675.2.5 Pendulu fisikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

5.3 Inertzia-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1685.3.1 Tentsoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1695.3.2 Inertzia-ardatz nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1705.3.3 Balio propioen problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1705.3.4 Inertzia-momentu nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 171

5.4 Ziba simetrikoaren prezesioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1745.5 Euler-en ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175

5.5.1 Higidura askea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1775.5.2 Ziba simetriko askea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1785.5.3 Higidura askea ardatz nagusi baten inguruan . . . . . . . .. . . . . . . 179

5.6 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1815.6.1 Ardatz paraleloen teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1815.6.2 Steiner-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

AURKIBIDE OROKORRA xi

5.6.3 Eraztuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1825.6.4 Esferaerdi hutsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1835.6.5 Esfera birakorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

5.7 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

6 Mekanika analitikoa 1916.1 Koordenatu orokortuak eta loturak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 192

6.1.1 Problema mekaniko batzuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1926.1.2 Lotura holonomoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1996.1.3 Desplazamendu birtualak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2006.1.4 Konfigurazio-espazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

6.2 D’Alembert-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2036.3 Indar orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205

6.3.1 Indar kontserbatzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2066.3.2 Potentzial orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207

6.4 Estatika analitikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2086.5 Bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2106.6 Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 213

6.6.1 Problemen ebazpena mekanika analitikoan . . . . . . . . . .. . . . . . 2146.7 Hamilton-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 217

6.7.1 Ekintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2176.7.2 Ekintza minimoaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 218

6.8 Lotura-indarrak eta Lagrange-ren biderkatzaileak . . .. . . . . . . . . . . . . 2206.8.1 Lotura-indar orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2216.8.2 Estatika analitikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 222

6.9 Momentu kanoniko konjugatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2236.9.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . . 223

6.10 Hamiltondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2256.10.1 Hamiltondarra eta energia mekanikoa . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2266.10.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa: Jacobi-ren integrala . . . .227

6.11 Legendre-ren transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2286.11.1 Hamiltondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

6.12 Hamilton-en ekuazio kanonikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2306.12.1 Fase-espazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

6.13 Aldagai dinamikoak fase-espazioan . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2326.13.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . .2326.13.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa . . . . .. . . . . . . . . . . 2326.13.3 Poisson-en makoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2336.13.4 Liouville-ren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 234

6.14 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2356.14.1 Lotura-indarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2356.14.2 Gaugealdaezintasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2376.14.3 Higidura-konstanteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2386.14.4 Oreka erlatiboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2386.14.5 Problema baliokideak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 240

6.15 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

xii AURKIBIDE OROKORRA

7 Oszilazioak 2517.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 252

7.1.1 Fasoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2547.2 Osziladore indargetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255

7.2.1 Indargetze ahula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2567.2.2 Gainindargetzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2567.2.3 Indargetze kritikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257

7.3 Osziladore bortxatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2577.3.1 Indar sinusoidala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2587.3.2 Inpedantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2597.3.3 Erresonantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2617.3.4 Energia-erresonantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2637.3.5 Gainezarmenaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2647.3.6 Indar periodikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2647.3.7 Indar orokorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2657.3.8 Oinarrizko problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

7.4 Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan . . . .. . . . . . . . . . . . 2677.4.1 Modu normalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2687.4.2 Lissajous-en irudiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268

7.5 Oszilazio mihiztatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2707.5.1 Modu normalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2707.5.2 Oszilazio bortxatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2747.6.1 Pendulu mihiztatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2767.6.2 Modu normal endekatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2817.6.3 Modu normal nuluak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

7.7 Tentsiopeko soka diskretua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2857.8 Tentsiopeko soka jarraitua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2887.9 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 290

7.9.1 Kalitate-faktorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2907.9.2 Oszilazio ez-linealen periodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2917.9.3 Pendulu matematikoaren periodoa . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2917.9.4 Pendulu bikoitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2927.9.5 Oszilazio elektrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 295

7.10 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297

8 Kaos determinista 3078.1 Tresna mekaniko baten eredu matematiko sinplifikatua . .. . . . . . . . . . . . 3088.2 Oszilazio periodikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3098.3 Oszilazio indargetuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3108.4 Oszilazio bakartuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3118.5 Erakarleak eta Poincaré-ren sekzioak . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3128.6 Oszilazio kaotikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 313

8.6.1 Erakarle bitxiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3148.7 Fraktalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315

8.7.1 Dimentsio fraktala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3168.8 Okinaren transformazioa eta Liapunov-en berretzaileak . . . . . . . . . . . . . 317

AURKIBIDE OROKORRA xiii

8.9 Osin-muga fraktalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3188.10 Sakabanatze kaotikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3208.11 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 322

8.11.1 Duffing-en ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3228.11.2 Von Koch-en elur-maluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 322

8.12 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

9 Uhinak 3259.1 Definizioa eta uhin-ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3269.2 Uhin harmonikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328

9.2.1 Fase-abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3299.3 Uhin periodikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3299.4 Fourier-en analisia eta espektroa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3319.5 Talde-abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3339.6 Uhin elastikoak barra batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 334

9.6.1 Deformazio- eta tentsio-eremuak . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3359.6.2 Higidura-ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3369.6.3 Energia eta momentu linealaren hedapena . . . . . . . . . . .. . . . . 337

9.7 Presio-uhinak gas-zutabe batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3389.7.1 Soinua gas idealetan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3409.7.2 Intentsitatea eta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 340

9.8 Zeharkako uhinak tentsiopeko soka batean . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3419.8.1 Inpedantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3439.8.2 Polarizazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343

9.9 Uhinak egitura periodiko batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3449.10 Uhinak kanal batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3449.11 Uhinak bi eta hiru dimentsiotan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 346

9.11.1 Uhin esferikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3489.12 Uhin elektromagnetiko lauak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 349

9.12.1 Polarizazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3529.12.2 Poynting-en bektorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3569.12.3 Argiaren abiadura ingurune materialetan . . . . . . . . .. . . . . . . . 3579.12.4 Espektro elektromagnetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 358

9.13 Doppler efektua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3609.13.1 Talka-uhinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3619.13.2 Doppler efektu elektromagnetikoa . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 362

9.14 Islapena eta errefrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3649.14.1 Islapen eta errefrakzioaren legeak . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3659.14.2 Barne-islapen osoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3699.14.3 Islapen- eta transmisio-koefizienteak . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 370

9.15 Interferentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3749.15.1 Bi zirrikituren esperimentua . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3759.15.2 Iturri sinkronoen interferentzia . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3779.15.3 Interferentzia film mehetan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 379

9.16 Uhin geldikorrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3819.16.1 Modu normalak eta aldagaien banantzea . . . . . . . . . . . .. . . . . 3829.16.2 Uhin geldikorrak bi dimentsiotan . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 384

xiv AURKIBIDE OROKORRA

9.16.3 Uhin geldikorrak simetria zilindrikoan . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3859.16.4 Uhin geldikorrak hiru dimentsiotan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3879.16.5 Uhin-gidak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388

9.17 Difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3909.17.1 Fraunhofer-en difrakzioa zirrikitu luze batean . . .. . . . . . . . . . . 3909.17.2 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batean . . . .. . . . . . . . . . 3939.17.3 Fraunhofer-en difrakzioa bi zirrikitu luze berdinetan . . . . . . . . . . .3959.17.4 Difrakzio-sareak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3969.17.5 Fresnel-en difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3989.17.6 X izpien difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

9.18 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4019.18.1 Erradiazio-presioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4019.18.2 Doppler efektua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4019.18.3 Fermat-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4019.18.4 Bi iturri sinkrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4029.18.5 X izpien difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

9.19 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404

10 Ingurune jarraituak 41710.1 Elastikotasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41810.2 Solido elastiko isotropoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 419

10.2.1 Bolumenaren deformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42010.2.2 Zeharkako deformazio nulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42110.2.3 Kontrako esfortzuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42210.2.4 Ebakidura-esfortzuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42210.2.5 Zeharkako uhinak barra batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 42410.2.6 Bihurdura-uhinak barra batean . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 425

10.3 Deformazio-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42610.3.1 Luzetarako deformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42810.3.2 Ebakidura-deformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42810.3.3 Bolumenaren deformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 430

10.4 Esfortzu-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 43110.4.1 Presioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435

10.5 Elastikotasun-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43510.5.1 Gorputz homogeneo isotropoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 435

10.6 Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioak . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 43610.6.1 Indar elastikoen dentsitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 43710.6.2 Eboluzio-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43810.6.3 Indar elastikoen momentuen dentsitatea . . . . . . . . . .. . . . . . . 43810.6.4 Solido homogeneo isotropoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 43810.6.5 Uhin elastikoak mugagabeko ingurune homogeneo isotropoetan . . . .439

10.7 Fluidoak eta abiadura-eremua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 44010.7.1 Korronte-lerroak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44110.7.2 Bortizitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44210.7.3 Denborarekiko deribatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 44210.7.4 Fluxua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44310.7.5 Jarraitutasunaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 444

AURKIBIDE OROKORRA xv

10.7.6 Fluido konprimiezinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44510.8 Hidrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 445

10.8.1 Manometroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44610.8.2 Barometroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44610.8.3 Arkimedes-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 447

10.9 Fluido idealak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44710.9.1 Bortizitatearen eboluzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44810.9.2 Bernoulli-ren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 450

10.10 Fluido likatsuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45210.10.1 Poiseuille-ren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45210.10.2 Navier eta Stokes-en ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 454

10.11 Reynolds-en zenbakia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45510.12 Stokes-en eta Newton-en legeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45610.13 Gainazal-tentsioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 458

10.13.1 Mintz esferiko baten bi aldeetako presioen diferentzia . . . . . . . . . . 45910.13.2 Ukipen-angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46010.13.3 Kapilaritatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 461

10.14 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 46110.14.1 Deformazio-tentsorearen balio eta bektore propioak . . . . . . . . . . .46110.14.2 Uraren konprimigarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 46310.14.3 Pitot-en hodia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46310.14.4 Biskosimetroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46410.14.5 Azalera osoaren bektorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 465

10.15 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467

ERANSKINAK 477

A Datu-taulak 479A.1 Konstante fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 479A.2 Partikulen masak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 480A.3 Astronomia-unitateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 480A.4 Astroen ezaugarri fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 481A.5 Astroen orbita-parametroak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 481A.6 Inertzia-momentu nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 482A.7 Koloreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483A.8 Errefrakzio-indizeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 483A.9 Solidoen ezaugarri fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 484A.10 Fluidoen ezaugarri fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 485A.11 Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 485A.12 (sinα/α)2 funtzioaren maximoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486

B Osagarri matematikoak 487B.1 Koordenatu-sistema erabilienak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 487

B.1.1 Koordenatu cartesiarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 487B.1.2 Koordenatu polar zilindrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 488B.1.3 Koordenatu polar esferikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 489

B.2 Eremu bektorialak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 490

xvi AURKIBIDE OROKORRA

B.2.1 Nabla eragilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .490B.2.2 Gradientea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .490B.2.3 Errotazionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491B.2.4 Dibergentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492B.2.5 Laplacetarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494B.2.6 Eremu irrotazionalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495B.2.7 Eremu solenoidalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495B.2.8 Helmholtz-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496B.2.9 Adibideak elektromagnetismoan . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 497

B.3 Zenbaki konplexuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 498B.3.1 Definizioak eta Argand-en diagrama . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 498B.3.2 Aljebra konplexua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .499B.3.3 Konplexu konjugatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .499B.3.4 Berreketa eta erroketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 499

B.4 Integral eta funtzio eliptikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 500B.5 Dirac-en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501B.6 Aldakuntzen kalkulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 504

B.6.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak . . . . . . . .. . . . . . . 504B.6.2 Loturadun muturrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506B.6.3 Funtzionalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .508B.6.4 Muturreko kurbak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .508B.6.5 Loturadun muturrekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .511

C Problemak ebazteko metodoak 513C.1 Problema ebazten hasi baino lehenago . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 513C.2 Problemaren planteamendua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 513C.3 Kalkuluak egiteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 513C.4 Emaitzen egiaztapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 514C.5 Bestelako laguntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 514

D Ariketa batzuetarako iradokizunak eta soluzioak 515

E Problema batzuen soluzioak 527

BIBLIOGRAFIA 547

AURKIBIDE ALFABETIKOA 553

HIZTEGIA 573

IRUDIEN ZERRENDA

1.1 Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Posizio-bektorearen osagaiak erreferentzia-sistemabatean. . . . . . . . . . . . 21.3 OXY planoko puntu baten koordenatu polarrak. . . . . . . . . . . . . . . .. . 31.4 Abiaduraren definizioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51.5 Abzisa lerromakurra eta arkua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 61.6 Triedro intrintsekoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 71.7 Bi erreferentzia-sistema inertzial. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 101.8 Pendulu matematikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 121.9 Posizio-bektoreak estalitako azalera infinitesimala.. . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 Akzioa eta erreakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 141.11 Desplazamendu infinitesimala eta indarra. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 161.12 Malgukiaren deformazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 201.13 Oszilazio indargetua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 251.14 Energia-diagrama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 271.15 Energia potentzial elastikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 281.16 Energia elastikoaren eboluzioa marruskadura dagoenean. . . . . . . . . . . . . 291.17 Indarraren noranzkoa oreka-puntuen inguruan. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 291.18 Hurbilketa parabolikoa energia potentzialaren minimo baten inguruan. . . . . . 301.19 Masa-zentroaren sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 351.20 Bi gorputzen problemaren geometria. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 361.21 Jaurtigaia eta jomuga talka aurretik eta ondoren. . . . .. . . . . . . . . . . . . 371.22 Talka elastikoa masa-zentroaren sisteman. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 381.23 Laborategiaren eta masa-zentroaren arteko transformazioak. . . . . . . . . . . . 391.24 Laborategiko sisteman egindako azterketa. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 391.25 Talka elastikoaren grafiko osoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 401.26 Energia zinetikoaren transferentzia maximoa. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 411.27 Sakabanatze-angeluen arteko erlazioa. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 411.28 Sakabanatze-angelua laborategian eta masa-zentroaren sisteman. . . . . . . . .421.29 Norantz higituko da? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 49

2.1 Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. . . . . . . . . . . 532.2 Bi erreferentzia-sistema eta partikula bat. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 542.3 Jatorri berekoS etaS ′ triedroak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.4 OZ ardatz bereko bi erreferentzia-sistema. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 582.5 S etaS1 erreferentzia-sistemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.6 S1 etaS2 erreferentzia-sistemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.7 S2 etaS ′ erreferentzia-sistemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.8 Euler-en angeluak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

xvii

xviii IRUDIEN ZERRENDA

2.9 Bi triedro orokorren arteko erlazioa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 612.10 Modulu konstanteko bektorearen biraketa infinitesimala. . . . . . . . . . . . . 632.11 Tarteko erreferentzia-sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 642.12 Higidura zirkularra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 652.13 Partikularen sistema propioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 662.14 Lurra eta laborategiko sistema erraztua. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 672.15 Laborategiaren abiadura eta azelerazioa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 682.16 Pisua neurtzeko dinamometroa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 692.17 Erakarpen grabitatorioa eta indar zentrifugoa meridianoaren planoan. . . . . . .702.18 Coriolis-en indarra higidura horizontalean. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 712.19 Foucault-en penduluaren oszilazio-planoaren biraketa. . . . . . . . . . . . . . . 712.20 Tiro parabolikoa plataforma birakor batean . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 78

3.1 Argiaren abiadura neurtzeko Foucault-ek erabili zuen tresna. . . . . . . . . . . 813.2 Bi erreferentzia-sistema inertzialakv > 0 denean. . . . . . . . . . . . . . . . .833.3 S etaS ′ erreferentzia-sistemen Minkowski-ren diagramak. . . . . . .. . . . . 853.4 S ′ sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan. . . . . . . 853.5 I iturritik igorritako fotoiakD1 etaD2 detektagailuetara iristen dira. . . . . . .863.6 γ koefiziente zinematikoaren grafikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 883.7 S ′ sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta gertaera aldiberekoak. . . . . . . . . 893.8 Luzera propioaren neurketa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 903.9 Gorputz higikorraren luzeraren neurketa. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 913.10 Denbora propioaren neurketa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 923.11 Erloju higikorraren denboraren neurketa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 923.12 Rossi eta Hall-en esperimentua Lurraren eta muoien sistemetan. . . . . . . . . 933.13 Espazio motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 953.14 Denbora motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 963.15 Argi motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 973.16 G0 gertaeraren argi-konoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .983.17 Buruz buruko talka elastiko simetrikoa. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1013.18 Talka simetrikoa partikula baten higidura horizontala kendu ondoren. . . . . . .1023.19 Talka simetrikoa lerro batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1033.20 Compton-en sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 109

4.1 Simulazio mekanikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1214.2 Partikula bat indar-eremu zentral batean eta bi partikulen problema. . . . . . . .1224.3 Momentu angeluarra eta koordenatu polarrak higidura-planoan. . . . . . . . . .1234.4 Posizio-bektoreak∆t tartean estalitako azalera. . . . . . . . . . . . . . . . . .1244.5 Energia potentzial eraginkorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1284.6 Perizentroaren posizioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1304.7 Orbita bornatuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1314.8 Orbita eliptikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1324.9 Potentzial eraginkorra eta absideen prezesioaV = kr kasuan. . . . . . . . . . .1344.10 Bi orbitaV = kr kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1344.11 Anomalia eszentrikoa eta benetakoa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1354.12 Anomalia eszentrikoaren eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1364.13 Orbita parabolikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 138

IRUDIEN ZERRENDA xix

4.14 Orbita hiperbolikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1394.15 Sakabanatze newtondarra ardatzen bi aukera desberdinekin. . . . . . . . . . . .1414.16 Sorta baten sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1424.17 Esfera tinkoa eta partikulen sakabanatzea. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1434.18 Geiger eta Marsden-en esperimentuaren eskema. . . . . . .. . . . . . . . . . . 1444.19 α partikulen sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1454.20 Ibilbide askea eta partikula-sortaren intentsitatea. . . . . . . . . . . . . . . . .1464.21 Bi gorputzen problema murriztu zirkularraren orbita bat. . . . . . . . . . . . .1484.22 Puntu lagrangearrak eta bi orbita Lurraren eta Ilargiaren sisteman. . . . . . . .1494.23 Arenstorf-en orbita bat sistema birakorrean eta masa-zentroarenean. . . . . . .1494.24 Arenstorf-en beste bi orbita sistema birakorrean. . . .. . . . . . . . . . . . . . 150

5.1 Giroskopioaren prezesioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1615.2 Solido zurrunaren konfigurazioa ezagutzeko metodoa. . .. . . . . . . . . . . . 1625.3 Solido zurruna eta bi erreferentzia-sistemak. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1635.4 Ardatz finko baten inguruko biraketa. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1655.5 Hagatxo birakorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1665.6 Pendulu fisikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1685.7 Solidoaren higidura bere puntu baten inguruan. . . . . . . .. . . . . . . . . . 1685.8 Hagatxo arin batez loturiko bi masa. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1725.9 OY Z simetria-planoa da etaOZ simetria-ardatza. . . . . . . . . . . . . . . . .1735.10 Ziba simetriko arina grabitate-eremuan. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1755.11 Laborategiko, espazioaren eta solidoaren sistemak. .. . . . . . . . . . . . . . 1765.12 Solidoaren eta espazioaren konoakIx > Iz etaIx < Iz kasuetan. . . . . . . . .1795.13 Tenis-erraketaren ardatz nagusiak. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1805.14 Xafla eta bolatxoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 189

6.1 Roberval-enenigma estatikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1916.2 Pendulu esferikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1946.3 Abiadura angeluar konstantez biratzen ari den hari erdizirkularra. . . . . . . . .1956.4 Atwood-en makina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1966.5 Plano aldapatsua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1976.6 Eraztun bat plano aldapatsuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1986.7 Plano aldapatsu higikorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1996.8 Pendulu bikoitza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1996.9 Plano aldapatsu higikorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2006.10 Desplazamendu birtuala planoaren higidura ezaguna denean. . . . . . . . . . .2016.11 Bigarren desplazamendu birtuala planoaren higidura ezezaguna denean. . . . .2016.12 Indarrak plano aldapatsu higikorraren kasuan. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2026.13 Hagatxoaren oreka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2096.14 Ekintza kalkulatzeko bi bide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2176.15 Osziladore harmonikoaren bi konfigurazio lotzen dituzten bide batzuk. . . . . .2196.16 Pendulu matematikoaren fase-espazioa. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2316.17 Fase-espazioko eremu baten eboluzioa. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2346.18 Energia potentzial eraginkorra eta orbita bat. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 240

7.1 Milurtekoaren zubia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2517.2 Osziladore harmonikoaren(t, x) diagrama eta fase-espazioa. . . . . . . . . . .253

xx IRUDIEN ZERRENDA

7.3 Elongazioa, abiadura eta dagozkien fasoreak. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2557.4 Osziladore harmoniko indargetuaren(t, x) diagrama eta fase-espazioa. . . . . .2567.5 Osziladore harmoniko gainindargetuaren(t, x) diagrama eta fase-espazioa. . . .2567.6 Osziladore indargetuaren denbora karakteristikoa. . .. . . . . . . . . . . . . . 2577.7 RLC zirkuitua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2577.8 Osziladore bortxatuaren kanpo-indarra, hiru soluzio eta fase espazioa. . . . . .2587.9 Kanpo-indarraren eta soluzio iraunkorraren fasoreak.. . . . . . . . . . . . . . 2597.10 Erantzun iraunkorrarenA anplitudea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2617.11 Anplitudeaγ/ω balio desberdinetarako. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2627.12 Batez besteko energia zinetikoa eta potentzia. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2637.13 Bulkada infinitesimalen batura modura uler daitekef(t) indarra. . . . . . . . .2677.14 Lissajous-en irudiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2697.15 Pendulu batek egindako Lissajous-en irudiak. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2697.16 Oszilazio mihiztatuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2707.17 Lehen modu normala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2717.18 Bigarren modu normala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2717.19 C1 etaC2 koefizienteak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2737.20 Modu normalak Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2777.21 Pendulu mihiztatuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2787.22 Pendulu mihiztatuen modu normalak. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2797.23 Penduluen eboluzioa mihiztadura ahularen kasuan. . . .. . . . . . . . . . . . 2807.24 Penduluen eboluzioaθ2(0) = −θ1(0)/2 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .2807.25 Penduluen eboluzioa luzeren arteko erlazioal2 = 2l1 denean. . . . . . . . . . .2817.26 Malguki batzuen gainean jarritako xafla. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2817.27 Molekula lineal triatomikoaren eredu bakuna. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2837.28 Formaldehidoaren bibrazio-modu normalak. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2857.29 Tentsiopeko soka diskretuaN = 3 partikula berdinekin. . . . . . . . . . . . . .2857.30 N = 14 kasuko modu normalak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2877.31 N = 50 etaN = 100 kasuetako soka diskretuaren pultsazio propioak. . . . . .2877.32 Tentsiopeko soka jarraitua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2887.33 Soka jarraituaren lehenengo bost modu normalen anplitudeak. . . . . . . . . .289

8.1 Sakabanatze kaotikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3078.2 Tresna mekanikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3088.3 Tresna mekanikoaren eredua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3088.4 Fase-espazioa eta soluzio batzukγ = f = 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . .3098.5 Fase-espazioa eta soluzio batzukγ = 0.2, f = 0 kasuan. . . . . . . . . . . . .3108.6 Erakarpen-osinakγ = 0.2, f = 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3118.7 Duffing-en ekuazioaγ = 0.2, f = 0.23 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .3118.8 Proiekzioak eta Poincaré-ren sekzioa. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3138.9 Duffing-en ekuazioaγ = 0.2, f = 0.3 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3138.10 Hasieran oso hurbil dauden bi orbitaγ = 0.2, f = 0.3 kasuan. . . . . . . . . .3148.11 Duffing-en erakarlearen sekzio estroboskopikoat mod 2π = 0 kasuan. . . . . .3158.12 Duffing-en erakarlearen sekzio estroboskopikoaren bihandipen. . . . . . . . .3158.13 Cantor-en multzoa eraikiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3168.14 Von Koch-en elur-maluta eraikiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3168.15 Segmentuaren eta karratuaren estalkiak. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 317

IRUDIEN ZERRENDA xxi

8.16 Von Koch-en kurbaren estalkiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3178.17 Okinaren transformazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3188.18 Duffing-en ekuazioaren osinakf = 0.1, 0.15 kasuetan. . . . . . . . . . . . . .3198.19 Duffing-en ekuazioaren osinakf = 0.2, 0.23 kasuetan. . . . . . . . . . . . . .3198.20 Duffing-en ekuazioaren osinen handipenakf = 0.2 kasuan. . . . . . . . . . . .3208.21 Energia potentziala eta lau orbitaE = 0.26 denean. . . . . . . . . . . . . . . .3208.22 Sakabanatze-funtzioaE = 1.2 denean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3218.23 Sakabanatze-funtzioaE = 0.26 denean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3218.24 Sakabanatze-denboraE = 0.26 denean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3218.25 8.3problemako fraktala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

9.1 Interferentzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3259.2 Funtzio baten bi transladatuaka > 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3269.3 Magnitude baten hedapenav > 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3279.4 Uhinarent = ktea. etax = ktea. ebakiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3279.5 Uhin harmonikoaren eboluzioa puntu batean eta une batean duen profila. . . . .3289.6 Uhin angeluzuzena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3309.7 Gibbs fenomenoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3309.8 Pultsu karratua eta bere espektroa. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3329.9 Modulazio osoa eta partziala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3339.10 Uhin-pakete baten eboluzioa ingurune sakabanatzailebatean. . . . . . . . . . .3349.11 Barra elastikoaren estatika eta dinamika. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3359.12 Tarte infinitesimal batean sekzio normala zeharkatzenduen energia. . . . . . .3389.13 Gas-zutabea orekan eta higiduran. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3399.14 Zeharkako uhina soka batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3429.15 Polarizazio zirkularreko uhina tentsiopeko sokan. . .. . . . . . . . . . . . . . 3439.16 Partikulen ibilbideak kanal batean hedatzen den uhin harmonikoan. . . . . . . .3459.17 Uhin laua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3469.18 Uhina mintz tenkatuan eta elementu diferentzialak pairatutako indarrak. . . . .3479.19 Uhin zirkularrak ur-azalean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3509.20 Uhin elektromagnetiko laua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3519.21 Uhin elektromagnetiko lau harmonikoaOX ardatzean. . . . . . . . . . . . . .3529.22 Malus-en legea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3539.23 Kaltzitaren birrefringentzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3549.24 Fotoelastikotasuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3559.25 Kristal likidoak, zerua eta polarizazioa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3559.26 Tarte infinitesimal batean sekzio bat zeharkatzen duenenergia. . . . . . . . . .3569.27 Espektro elektromagnetikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3589.28 Argi zuria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3599.29 Doppler efektua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3609.30 Doppler efektua kasu desberdinetan. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3619.31 Talka-uhina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3629.32 Talka-uhinak uretan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3629.33 Doppler efektuaren Minkowski-ren diagrama. . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3639.34 Xurgapen-espektro baten gorriranzko eta urdineranzko lerrakuntza. . . . . . . .3649.35 Islapena eta errefrakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3659.36 Uhin-fronteen eta izpien islapena eta errefrakzioa. .. . . . . . . . . . . . . . .365

xxii IRUDIEN ZERRENDA

9.37 Islapen eta errefrakzioaren geometria. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3669.38 Ispilu-islapena eta islapen lausoa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3679.39 Argiaren errefrakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3689.40 Prisma batek sortutako espektro ikusgaia eta ostadar bikoitza. . . . . . . . . . .3689.41 Islatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3699.42 Eskuinean barne-islapen osoa gertatzen da. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3699.43 Islapen osoa eta zuntz optikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3709.44 Zeharkako uhinak bi soka desberdin lotutan. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3709.45 Pultsuak ezkerreko (eskuineko) soka astunagoa denean. . . . . . . . . . . . . . 3729.46 Eremu elektrikoaren osagaiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3729.47 Argi islatuaren polarizazioa angelu desberdinetan. .. . . . . . . . . . . . . . .3749.48 Bi iturri puntualetatiko uhin esferikoen interferentzia. . . . . . . . . . . . . . .3759.49 Bi zirrikituren esperimentua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3769.50 Bi zirrikituren esperimentuaren intentsitatea eta interferentzia-zerrendak. . . . .3779.51 N iturri sinkrono berdin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3789.52 Iturri sinkronoen interferentzia. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3799.53 Lau antena sinkronoen intentsitatea. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3799.54 Islapena film mehean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3809.55 Interferentzia film meheetan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3819.56 Modu normalak gas-zutabe batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3839.57 Uhin geldikorrak mintz karratu batean. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3849.58 Harea pilatzen da mintz bibrakor bateko nodo-lerroetan. . . . . . . . . . . . . .3859.59 Uhin geldikorrak mintz zirkular batean. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3869.60 (nx, ny, nz) koordenatuetako espazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3879.61 Bi plano infinitu paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3889.62 Lehen modu normalak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3899.63 Zuntz optikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3909.64 Difrakzioa zirrikitu estu luze batean. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3919.65 Fraunhofer-en difrakzioa zirrikitu estu batean. . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3929.66 tanα = α ekuazioaren ebazpen grafikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3929.67 Difrakzio-ereduak iturri batekin eta birekin. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3939.68 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batean. . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3949.69 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batekin eta birekin. . . . . . . . . . . . .3949.70 Fraunhofer-en difrakzioa bi zirrikitutan. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3959.71 Bi zirrikituren interferentzia eta difrakzioa. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .3969.72 Interferentzia-diagrama difrakzio-sare batean. . . .. . . . . . . . . . . . . . .3969.73 Difrakzioa ehun batean zehar eta holograma bat. . . . . . .. . . . . . . . . . . 3979.74 Fresnel-en difrakzioa zirrikitua zabaltzean. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3989.75 Fresnel-en difrakzioa geometria desberdinekin. . . . .. . . . . . . . . . . . . 3989.76 X izpien difrakzioa kristal-sare batean. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3999.77 Laue-ren difrakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 400

10.1 Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 41710.2 Gorputz elastikoen portaera eskematikoa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 41810.3 Barra elastikoa deformatzen daF indarrak pairatzean. . . . . . . . . . . . . . .41910.4 Barra elastikoa presio hidrostatiko uniformearen menpean. . . . . . . . . . . .42010.5 Zeharkako deformazio nulua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 421

IRUDIEN ZERRENDA xxiii

10.6 Kontrako esfortzuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 42210.7 Ebakidura-esfortzuak kubo batean. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 42310.8 Zeharkako uhinak barra batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 42410.9 Bihurdura barra batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42510.10 Barraren elementu infinitesimala. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42510.11 dr elementu infinitesimalaren deformazio orokorra. . . . . . . . .. . . . . . . 42610.12 Ebakidura-deformazioa eta biraketa. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 42910.13 Bolumenaren aldaketa infinitesimala. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43010.14 Gainazal infinitesimal bat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43210.15 Esfortzuak elementu infinitesimal batzuetan. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 43210.16 Orekan dagoen kubo bat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43310.17 Bi gainazal kuboaren barruan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43410.18 Gorputz elastiko baten barruko bolumen bat. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 43710.19 Korronte-lerroak une batean eta bi une hurbiletan. . .. . . . . . . . . . . . . . 44110.20 Kurba itxia eta mugatzen duen gainazal orientatua. . .. . . . . . . . . . . . . . 44210.21 Gainazal bat eta bere elementu infinitesimal bat. . . . .. . . . . . . . . . . . . 44310.22 Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 44410.23 Manometroa eta barometroa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 44610.24 Arkimedes-en printzipioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44710.25 Zilindro luze bat jario konprimiezin irrotazionalean. . . . . . . . . . . . . . . .44910.26 Ontzi baten hustea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45010.27 Hodi horizontala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45110.28 Fluido bat abiadura erlatiboa duten bi plano infinituren artean. . . . . . . . . .45210.29 Fluidoaren abiadura hodi horizontal batean. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 45310.30 Fluidoen hustea hodi horizontal batean barrena. . . . .. . . . . . . . . . . . . 45410.31 Millikan-en esperimentuaren eskema. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 45710.32 Xaboi-uraren mintza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45810.33 Xaboi-burbuila baten erdia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45910.34 Solido, likido eta gasaren arteko geruzak. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 46010.35 Detergentearen eragina olio-tanta batean. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 46010.36 Kapilaritatea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 46110.37 Descartes-en urpekaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 47010.38 Buruz behera jarritako edalontzia. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 474

B.1 Koordenatu cartesiarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 487B.2 Koordenatu polar zilindrikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 488B.3 Koordenatu polar esferikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 489B.4 Integrazio-bide irekia eta itxia. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 491B.5 Gainazala eta muga itxia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 492B.6 Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 493B.7 Eremu bektorial (a) irrotazionala eta (b) solenoidala.. . . . . . . . . . . . . . .497B.8 Integral eliptiko osoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 501B.9 Dirac-en delta doan segida bat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 502B.10 f(x) funtzioaren aldaketa infinitesimalak. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 505B.11 f(x, y) funtzioaren aldaketa infinitesimalak maximoan. . . . . . . . . .. . . . 505B.12 Funtzionalaren bi integrazio-biden = 1 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .509

xxiv IRUDIEN ZERRENDA

D.1 Integrazio-bideak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 516D.2 Osziladorearen soluzioak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 516D.3 S sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan. . . . . . .518D.4 I iturritik igorritako fotoiakD1 etaD2 detektagailuetara iristen dira. . . . . . .518D.5 S sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta aldibereko gertaerak. . . . . . . . . . 519D.6 Bi gorputzen problemaren orbita newtondar eliptikoak.. . . . . . . . . . . . . 520D.7 Pendulu bikoitza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 521D.8 Azelerazio-fasorea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 523D.9 Fasoreen batura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 525

E.1 7.9problemako fase-espazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537E.2 9.39problemaren soluzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .541

TAULEN ZERRENDA

4.1 Orbita newtondarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 140

A.1 Konstante fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 479A.2 Partikulen masak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 480A.3 Denbora- eta astronomia-unitateak. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 480A.4 Astroen ezaugarri fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 481A.5 Astroen orbita-parametroak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 481A.6 Inertzia-momentu nagusiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 482A.7 Koloreak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483A.8 Errefrakzio-indizeak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 483A.9 Solidoen ezaugarri fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 484A.10 Fluidoen ezaugarri fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 485A.11 Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 485A.12 (sinα/α)2 funtzioaren maximoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486

B.1 Koordenatu cartesiarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 487B.2 Koordenatu polar zilindrikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 488B.3 Koordenatu polar esferikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 489

xxv

xxvi TAULEN ZERRENDA

1. GAIA

Oinarrizko kontzeptuak

1.1 IRUDIA Newton(Eduardo Paollozi, 1995).

1

2 1 Oinarrizko kontzeptuak

Lehen gai honetan mekanikari buruzko oinarrizko kontzeptubatzuk berrikusten dira gehien-bat. Fisika orokorrari buruzko ikastaroetan ikasten den mekanika eta kalkulu bektoriala ondomenperatzen direla suposatuko dugu. Zure kasuan egia ez bada, irakurle hori, jo ezazu lehenmailako testu batera. Arrazoi beragatik, emaitza batzuen frogapen ezagunak ez dira hemen berri-ro egingo.

Hemen erabiliko dugun formalismoa, batzuetanmekanika bektoriala edomekanika new-tondarra deitzen dena, ikuspuntu batetik mekanika klasikoan dagoenzaharrena da Newton-ekinhasten baita. (Aitortu behar da, baina, bektoreak XIX. mendearen amaieran bakarrik sartu zirelafisikan, Gibbs eta Heaviside-ri esker.)6. gaian ikusiko dugun bezala, mekanika klasikoa egite-ko beste forma batzuk daude, kalkuluak egiteko eta fisika modernoan erabiltzen diren kontzeptubatzuk ulertzeko askoz ere erabilgarriagoak direnak.

Hasteko, zinematika aztertuko dugu, geroago mekanikaren legeak eta printzipio nagusiakgogoratzeko. Energia-diagramen erabilgarritasuna orekaeta higiduraren propietate kualitatiboakaztertzean ikusi ondoren, partikula-sistemen dinamikariekingo diogu. Amaitzeko, talkak azter-tuko dira.

1.1 Partikula puntualaren zinematika

Partikula baten higidura deskribatzen duen zinematika (eta, geroago, haren zergatia azaltzenduen dinamika) egitekoerreferentzia-sistemabat aukeratuko dugu. Kontzeptu honen osagaiak(triedro cartesiarra, erregela eta erlojua) erabiliko ditugu magnitude zinematikoak banan banandefinitzeko.

1.1.1 Geometria euklidearra

Mekanika klasikoan zinematika egitean, geometria erabiltzen da abiapuntutzat: geometriaeuklidearra hain zuzen, bestelako geometrien posibilitatea bera ere XIX. mendean bakarrik kon-tsideratu baitzen. Gaur egun badakigu naturaren geometriaez dela guztiz nabaria: fisikak erabakibehar du, teorien eta esperimentuen bidez, zein den matematikak eskaintzen dituen posibilitateenartean benetan gauzatzen dena. Newton-en ikuspuntutik mekanika klasikoaren espazioa absolu-tua da, naturan gertatzen diren fenomeno guztien jokaleku aldaezina,a priori emandakoa.

1.2 IRUDIA Posizio-bektorearen osagaiak erreferentzia-sistema batean.

1.1 Partikula puntualaren zinematika 3

Geometria egiteko, eta erreferentzia-sistema osatzen hasteko, triedro cartesiar zuzen bat (halanola1.2irudikoOXY Z delakoa) aukeratuko dugu. Ardatz cartesiarren norabidea eta noranzkoaadierazten dituzten bektore unitarioaki, j etak dira:

i · i = j · j = k · k = 1, i · j = j · k = k · i = 0, i × j = k. (1.1)

1.1.2 Posizioa

P puntu baten posizioa adieraztekor ≡−→

OP posizio-bektoreazbaliatuko gara. Posizio-bek-torearenosagaiak,

x = i · r, y = j · r, z = k · r (1.2)

proiekzio cartesiarren bidez definitzen direnak, puntuaren koordenatu cartesiarrak dira:x ab-zisa, y ordenatua etaz garaiera.

Honela garatzen da posizio-bektorea, bektore unitarioek osaturiko bektore-oinarrian:

r = x i + y j + z k = (i · r) i + (j · r) j + (k · r)k. (1.3)

Jakina, zinematikan, geometrian ez bezala, posizio-bektoreak eta osagaiak magnitudeak diraeta, zenbaki errealez gain, unitateak behar dira haiek neurtzeko (erregela baten bidez, agian).Ondo dakigunez, beti erabiliko dugun Sistema Internazionalean luzera-unitatea metroa1 da.

Koordenatu polar lauak

Adibide moduan, demagunP puntuaOXY plano cartesiarrean dagoela, hau da,z = 0 du-gula. Kasu horretan, posizioa adieraztekox etay koordenatu cartesiarrak erabili daitezke, noski,baina baita hurrengo ekuazioek emandako polarrak ere (ikus1.3irudia):

x = r cosϕ, (1.4)

y = r sinϕ. (1.5)

1.3 IRUDIA OXY planoko puntu baten koordenatu polarrak.

1Metroa, 1/299 792 458 segundoko iraupenean argiak hutsean egindako ibilbidearen luzera da (17.ConférenceGénérale des Poids et Mesures, 1983).

4 1 Oinarrizko kontzeptuak

Posizioa zehazteko erabil daitezkeen magnitude ez-cartesiarrakkoordenatu orokortuak dei-tuko dira6. gaian, eta aldagai-aldaketa ematen dituzten (1.4)–(1.5) direlakoaktransformazio--ekuazioak. Haien alderantzizkoak hurrengoak dira, noski:

r =√

x2 + y2, ϕ = arctany

x. (1.6)

Honela adierazten da posizio-bektorea koordenatu cartesiarretan eta polarretan, kasu berezihonetan:

r = x i + y j = r (cosϕ i + sinϕ j) . (1.7)

Baina batzuetan, komenigarriagoak dira koordenatu polarrek definiturikor etaϕ bektore unita-rioak:

r ≡ r

r= cosϕ i + sinϕ j, (1.8)

ϕ ≡ dr

dϕ= − sinϕ i + cosϕ j. (1.9)

1.1 ARIKETA Egiaztatu puntu bakoitzean(r, ϕ,k) delakoa oinarri ortonormal zuzena dela:

r · r = ϕ · ϕ = k · k = 1, r · ϕ = ϕ · k = k · r = 0, r × ϕ = k. (1.10)

Ondorioztatur posizio-bektoreak osagai bakarra duela kasu berezi honetan:

r = r r. (1.11)

1.1.3 Denbora

Newton-en beste kontzeptu absolutua den denbora neurtzeko, erloju bat behar da erreferen-tzia-sistema osatzeko. Sistema Internazionalean denbora-unitatea segundoa2 da. 3. gaian, erla-tibitate berezia aztertzean, denboraren eta espazioaren definizio inplizituen muga batzuk azter-tuko dira arreta handiz; baina oraingoz Newton-en kontzeptu intuitiboak (eta, ikusiko dugunez,zehaztu beharrekoak) erabiliko ditugu. Zinematikan aztertuko ditugun beste magnitude guztiakeraikitzeko ez dugu kontzeptu fisiko berriren beharrik.

Denbora aldatzean partikularen posizioa aldatuz joango daibilbidean zehar eta, beraz,t al-diune bati dagokiola kontuan hartu behar dugu:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t)k. (1.12)

Hala eta guztiz ere, notazioa laburtzeko, zinematikan (etamekanikan) printzipioz magnitude guz-tiak aldakorrak direnez, denborarekiko menpekotasuna ez dugu gehienetan esplizituki idatziko.Beraz, nahiz eta (1.3) idatzi, (1.12) ulertu behar dugu. Orobat, higidura lauaren adibidean,r, r,ϕ, r etaϕ (baina ezk) denboraren menpekoak direla kontsideratu behar da.

2Segundoa, zesio-133 atomoaren oinarrizko egoeraren bi maila hiperfinoen arteko trantsizioari dagokion erradia-zioaren 9 192 631 770 periodoen iraupena da (13.Conférence Générale des Poids et Mesures, 1967–1968).

1.1 Partikula puntualaren zinematika 5

1.1.4 Abiadura

Lehen magnitude eratorria abiadura da:

v = r ≡ dr

dt= lim

∆t→0

r(t+ ∆t) − r(t)

∆t= lim

∆t→0

∆r

∆t. (1.13)

(Hemendik aurreranotazio laburtua erabiliko dugu gehienetan denborarekikod/dt deribatuaadierazteko.) Abiaduraren osagai cartesiarrak zuzenean kalkulatzen dira (1.3) adierazpenetik:

r = x i + y j + z k. (1.14)

1.4 IRUDIA Abiaduraren definizioa.

Abiaduraren esangura geometrikoa1.4 irudian erakusten da.∆r bektorearen norabideaPQkordarena da eta kordaren bi muturrak puntu batera doazenean (hau da,∆t → 0 limitean), de-finizioz, puntu horretako tangentearen norabidea lortzen denez, abiaduraren norabidea aldiunebakoitzean ibilbidearen tangentea da. Argi dago, gainera,abiaduraren noranzkoa higidurarenadela. Beraz, puntu bakoitzean ibilbidearen norabide tangentea eta higiduraren noranzkoa adie-razten dituenbektore unitario tangentea, abiadura bere moduluarekin zatituz lortzen da:

et ≡r

|r| . (1.15)

1.2 ARIKETA Notazioa. Testu honetan, gehienetan bezala, eskalarrak letra etzanetan idazten di-ra (hala nolax koordenatuaren kasuan) eta bektoreak letra lodi zuzenean (adibidez,r posizio-bekto-rearen kasuan). Gainera, askotan bektore baten modulua idazteko,|r| moduko notazio zehatz osoazbaliatu beharrean, letra bera baina etzana erabiltzen dugu: r ≡ |r|. Baina, praktikan notazio guztiekinbezala, nahasketak gerta daitezke idazkera laburtu honekin. Egia al dar abiaduraren moduluar dela?Zergatik?

Abiaduraren modulua,

v ≡ |r| =√

x2 + y2 + z2 = lim∆t→0

|∆r||∆t| , (1.16)

abiadura eskalarra deitzen da eta bere esangura ikusteko, nahikoa da gogoratzea definizioz

Q → P limitean⌢

PQarkuaren luzeraPQ kordarena dela. Aipaturiko arkua∆t denbora-tartean

6 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.5 IRUDIA Abzisa lerromakurra eta arkua.

ibilbidean zehar egindako distantzia denez, denbora-unitatean egindako distantzia da abiadura

eskalarra.P0 = P (t0) puntu batetik eta higiduraren noranzkoan neurtutako⌢

P0P arkuaren luzerazeinudunas(t) abzisa lerromakurraren definizioa denez, abiaduraren modulua abzisa lerroma-kurraren deribatua dela ikusten dugu:

v = lim∆t→0

|∆r||∆t| = lim

∆t→0

|PQ||∆t| = lim

∆t→0

|⌢

PQ ||∆t| = lim

∆t→0

|⌢

P0Q | − |⌢

P0P |∆t

= lim∆t→0

s(t+ ∆t) − s(t)

∆t= lim

∆t→0

∆s

∆t=ds

dt= s. (1.17)

Honela laburbiltzen dira, hortaz, abiaduraren esanahi geometrikoa eta zinematikoa:

r = s et. (1.18)

Arku infinitesimalaren luzera kalkulatzeko, honen moduluaerabil dezakegu:

ds = s dt = v dt =√

x2 + y2 + z2 dt =√

dx2 + dy2 + dz2. (1.19)

Ondorioz,

s(t) =∫ P

P0

ds =∫ P

P0

√

dx2 + dy2 + dz2. (1.20)

1.3 ARIKETA Notazioa (berriz). (1.17) berdintza segidan| | ikur bikotea lau gauza desberdinadierazteko erabili da. Azaldu lauak. Zergatik desagertzen da urrats batzuetan aipaturiko bikotea?

Higidura laua

Higidura laua bada, komeni zaiguOXY plano cartesiarra higidura-planoa izateko moduanaukeratzea, bertan koordenatu polarrak erabili ahal izateko (ikus 1.3 irudia). Hori eginez gero,abiadura kalkulatzeko (1.11) adierazpeneko eskuineko gaiko bi osagaiak deribatu beharditugu:

r = r r + r ˙r. (1.21)

r bektore deribatzean bektore perpendikular bat,ϕ-ren norabidekoa, aurkitzen dugu,˙r = (cosϕ i + sinϕ j)˙= ϕ (− sinϕ i + cosϕ j) = ϕ ϕ. (1.22)

Ondorioz, higidura lauaren kasuanr = r r + rϕ ϕ (1.23)

abiaduraren osagaiakr = r · r abiadura erradiala etarϕ = ϕ · r dira. Abiadurarenrϕ osagaiangeluarra, beraz, erradioa biderϕ abiadura angeluarra da.

1.1 Partikula puntualaren zinematika 7

1.1.5 Azelerazioa

Abiadura deribatuz azelerazioa lortzen da. Hauexek dira osagai cartesiarrak:

a = v = r = x i + y j + z k. (1.24)

Orain, (1.18) adierazpena deribatzeko,˙et kalkulatu behar da. Hasteko, deribazio-aldagaia, den-bora izan beharrean, ibilbideak berak definituriko abzisa lerromakurra bada, badakigu lortzenden bektoreaet-ren perpendikularra izango dela, baina, oro har, ez da unitarioa izango. Beraz,definizioz, bere moduluaκ kurbadura da eta honen alderantzizkoaρ kurbadura-erradioa :

κ ≡ 1

ρ≡∣

∣

∣

∣

∣

det

ds

∣

∣

∣

∣

∣

. (1.25)

Dagokionbektore unitario normala ,

en ≡ 1

κ

det

ds= ρ

det

ds, (1.26)

et-ren perpendikularra da eta, definizioz,normal nagusiarennorabidea definitzen du. Hortaz,

˙et =det

dt=det

ds

ds

dt=s

ρen (1.27)

erabiliz, azelerazioa honela idazten dela ikusten dugu:

r = s et +s2

ρen. (1.28)

1.6 IRUDIA Triedro intrintsekoa.

Binormalaeb ≡ et × en (1.29)

bektore unitarioak (zergatik da unitarioa?) definituriko norabidea bada, ibilbideko puntu bakoi-tzean(et, en, eb) oinarri ortonormal bat dugu,

et · et = en · en = eb · eb = 1, et · en = en · eb = eb · et = 0, et × en = eb, (1.30)

puntuaren eta denboraren menpekoa dentriedro intrintsekoa definitzen duena. Ibilbideak berakdefinituriko triedro natural honetan, abiadurak osagai bakarra du:s = v = et · r abiadura eskala-rra. Azelerazioak, berriz, bi ditu:s = v = et · r azelerazio tangenteaetas2/ρ = en · r azelerazionormala. (Ikus, halaber,1.1problema.)

8 1 Oinarrizko kontzeptuak

Higidura laua

Higidura lauaren kasuan triedro cartesiarra, intrintsekoa eta koordenatu polarrek definiturikoakontsideratzen ditugu. (Gogoratu1.3 irudia.)

1.4 ARIKETA Egiaztatu higidura lauaren kasuan

˙ϕ = −ϕ r (1.31)

betetzen dela eta, beraz, hauxe dela azelerazioa koordenatu polarretan:

r =(

r − rϕ2)

r + (rϕ + 2rϕ) ϕ. (1.32)

Kasu honetako triedro intrintsekoa1.2probleman kalkulatuko dugu.

Higidura zirkularra

Demagun ibilbideaR erradioko zirkunferentzia dela. Ageri denez, higidura laua da eta, kalku-luak errazteko, zirkunferentziaren zentroan aukeratuko dugu koordenatu polarren jatorria, ibilbi-dearen ekuazioar = R izateko moduan. Beraz,r = 0 da. Defini ditzagun abiadura eta azelerazioangeluar bektorialak modu honetan:

ω ≡ ϕk, (1.33)

ω = ϕk. (1.34)

1.5 ARIKETA Egiaztatu

r = ω × r = Rϕ ϕ, (1.35)

r = ω × (ω × r) + ω × r = −Rϕ2 r + Rϕ ϕ = −v2

Rr + Rϕ ϕ (1.36)

betetzen dela eta, hortaz, abiadura eskalarra erradioa bider abiadura angeluarra dela, azelerazio nor-malav2/r baliokoazelerazio zentripetoa, eta azelerazio tangentea erradioa biderϕ azelerazio an-geluarra. Ondorioztatu triedro intrintsekoa hauxe dela:

et = ±ϕ, en = −r, eb = ±k, (1.37)

non goiko (beheko) zeinua aukeratu behar denϕ positiboa (negatiboa) denean.

1.2 Partikula puntualaren dinamika

Ondotxo dakigunez, higiduraren kausa aztertzeko dinamikaren lehenengo formulazio osoa,Newton-ek berePrincipia Mathematica Philosophiae Naturalismaisulanean aurkeztu zuena izanzen. Newton-en legeakaztertuko dira atal honetan, baita oinarrizko printzipio eta kontzeptuosagarri batzuk ere.

1.2.1 Galileo-ren inertziaren legea

Newton-en lehen lege honetan bi kontzeptu berri eta hauen arteko erlazioa sartzen dira:par-tikula aske oro abiadura konstantez higitzen da erreferentzia-sistema inertzial guztietan. Aldebatetik,partikula askeak erreferentzia-sistema inertzialguztietan abiadura konstantez higi-tzen direnak dira eta, bestetik, erreferentzia-sistema bat inertziala da bertan partikula aske guztiak

1.2 Partikula puntualaren dinamika 9

abiadura konstantez higitzen badira. Eta, hala ematen baduere, hau ez da sorgin-gurpila, eduki fi-siko handia, funtsezkoa, baitago. Ikuspuntu logikotik goiko inertziaren legeabezain akatsgabeaden «partikula aske oro azelerazio konstantez higitzen da erreferentzia-sistema inertzial guztie-tan», adibidez, ez da dinamika egiteko abiapuntu egokia.

Zera hasteko diosku inertziaren legeak: higidura naturala, partikulak berez (eta ez kanpo-ko eragina pairatzen duelako edo higidura deskribatzeko aukeratu dugun erreferentzia-sistemaegokia ez delako) egiten duena, abiadura konstantekoa da. Ikuspuntu logikotik ez dago inola-ko kontraesanik gorputzen egoera naturala pausagunea delako ustean3 edo, Galileo-k berak usteomen zuenez, higidura naturala zirkular uniformea izatean. Baina fisika egiteko funts logikoa ezda nahikoa, naturan benetan gertatzen dena deskribatu nahibaitugu.

Partikula askeak

Gainera, partikula askea, inolako eraginik pairatzen ez duena, kontzeptu ideala bada ere, mo-du hurbildu egokian gauzatu daiteke. Kasu batzuetan, besteguztietatik oso urrun dagoelako pen-tsa dezakegu partikulak ez duela inolako eraginik pairatzen eta, beraz, askea dela. Beste batzue-tan, kontsideratzen dugun denbora-tartea kanpoko eraginak arbuiagarriak izateko bezain txikiaizango da. Kontua da, horrelako kasu guztietan, eta ez batzuetan bakarrik, partikularen abiaduraez dela aldatzen (hurbilketa on batean, behintzat) sistemainertzialetan.

Erreferentzia-sistema inertzialak

Erreferentzia-sistema inertzialak ere hurrenez hurreneko hurbilketen bidez eraiki daitezke.Astronomian, agian, izar trinkoen sistema aukeratuko dugu, baina ez Lurrarekin batera (eta ar-datzak izar trinkoekiko biratu gabe) higitzen dena. Hala ere, azken hau egokia (ia-ia inertziala)izango da atmosferaren higidura aztertzeko. Areago, gehienetan erabiliko dugunlaborategikosistema, inertzialtzat hartuko dugu,2. gaian Lurraren higiduraren eragina kontuan hartzean izanezik.

Fisikaren lege guztiak bezala, inertziaren legearen aplikazio-eremua mugatua da, Newton-enlegeetako unibertsalena bada ere. Grabitazio-eremua handia bada, erlatibitate orokorrean bestela-ko eraginik pairatzen ez duen partikularen higidura ez da zuzena,geodesikoabaizik, eta sistemainertzialak ordezkatzeko, oztoporik gabe jausten diren sistema lokalak aukeratzen dira.

Galileo-ren transformazioa

Gainera, goian aipatu ez badugu ere, Newton-en lehen lege honetan erreferentzia-sistemainertzialen hurrengo hiru propietateak ere sartuko ditugu, postulatu moduan:

• Erreferentzia-sistema inertzial guztietan mekanikaren oinarrizko lege guztiak modu bereanazaltzen dira. Sistema inertzial guztiak baliokideak diramekanika egiteko.

• Erreferentzia-sistema inertzial bat abiadura konstantezeta ardatzak biratu gabe higitzen dabeste edozein sistema inertzialekiko eta, alderantziz, sistema inertzial batekiko abiadurakonstantez eta biratu gabe higitzen den edozein erreferentzia-sistema inertziala da.

• Bi erreferentzia-sistema inertzialetan egindako neurketa zinematikoen arteko erlazio behe-ko Galileo-ren transformazioak emandakoa da.

3Aristoteles-en filosofian, hutsean higidura amaituko ez zela uste arren, hutsa bera ezinezkotzat zuten (ikus [44]).

10 1 Oinarrizko kontzeptuak

Lehen propietatea,erlatibitatearen printzipioa alegia, fisikaren printzipio oinarrizkoeneta-rikoa da eta, sistema inertzialak ondo definituz gero, badirudi fisika osoan betetzen dela (bainaez XIX. mendeko fisikan: elektromagnetismoan eterraren sistema absolutua —edo XX. mende-ko erlatibitate berezia— behar da). Sistema inertzial batetik multzo osoa eraikitzeko metodoaematen digu bigarren propietateak, nolabait, eta3. gaian erlatibitate berezian ere baliagarria de-la ikusiko dugu. Hirugarren propietatea, berriz, mugatuagoa da, erlatibitate berezian Lorentz-entransformazioa erabili behar baita.

1.7 IRUDIA Bi erreferentzia-sistema inertzial.

Baina, itzul gaitezen Galileo-ren fisikara eta kontsidera ditzagun bi erreferentzia-sistema iner-tzial: S sistemaren triedroaOXY Z da etaS ′ delakoariO′X ′Y ′Z ′ dagokio. Biak inertzialakdirenez, ardatzen orientazio erlatiboa konstantea da eta posizio erlatiboa adierazteko bigarren

sistemaren jatorriaren posizioa lehen sisteman aukeratzen badugu,R ≡−→

OO′ bektorearenR deri-batua bigarren sistemaren abiadura lehenarekiko adierazten du eta konstantea da. Eman dezagunS sistemaren ikuspuntutikt aldiuneanP partikularen posizioar dela etaS ′ sistemanr′. Denboraabsolutua dela eta sistema guztietan modu berean aldatzen dela suposatuko dugu (3. gaian ikusi-ko dugunez, hipotesi hau ez da betetzen sistemen arteko abiadura argiarenaren parekoa denean).Beraz, erlojuak ondo sinkronizatuz gero, denbora berbera neurtzen da sistema guztietan:t = t′.Bestalde,1.7 irudianargi ikusten denez, lehen sisteman neurtzen den partikularen posizioa, bi-garren sistemaren posizioa gehi azken honetan neurturiko partikularen posizioa da:r = R + r′.Oinarrizko hipotesi (postulatu) hauek —fisikan beti gertatzen den bezala, esperimentuetan egiaz-tatu behar direnak— eta deribazioaren propietateak erabiliz, Galileo-ren transformazioak lortzenditugu:

t = t′, (1.38)

r = r′ + R, (1.39)

r = r′ + R, (1.40)

r = r′. (1.41)

Azken ekuazioan ikusten dugu gerta daitekeela partikula askearen kasuan sisteman bietan neurtu-riko azelerazioa nulua izatea. Azelerazioa, abiadura eta posizioa ez bezala, ez da aldatzen sistemainertzial batetik bestera.

1.6 ARIKETA Egia al da (1.39) transformazioaren arabera, bi erreferentzia-sistema inertzialetanneurturiko abzisen arteko erlazioax = x′ + X dela?

1.2 Partikula puntualaren dinamika 11

1.2.2 Newton-en bigarren legea

Hauxe dugu (Einstein-enE = mc2 delakoa alde batera utzita) fisikaren legerik ezagunena:F = ma edo, zehazkiago,partikula batek pairatzen duen indar osoa bere masaren eta azelera-zioaren biderkadura da:

F = mr. (1.42)

Hemen, teoria baten oinarrizko printzipioak ezartzean askotan gertatzen den bezalaxe, badirudigehiegi egin nahi dela enuntziatu bakun batean: bi definizio(masarena eta indar osoarena) etaprintzipio bat. Baina, jarraian ikusiko dugunez, hori guztia egiten da bigarren lege honetan.

Masa inertziala

Hasteko, masa inertziala definitzen da lege honetan. Azelerazioa indar osoaren proportziona-la da beti eta, proportzionaltasun-konstante hori, masa inertziala hain zuzen, partikularen berarenezaugarri bat da, pairatzen duen indarren izaeraren menpekoa ez dena: balio bera erabili beharda kanpo-indarra pisua, elektrostatikoa edo magnetikoa izanik ere. Horrela, adibidez, elektroia-ren masaz hitz egin dezakegu, pairatzen duen indarra (nuluaere izan daitekeena) aipatu gabe.(Horrelako gauza bat esan nahi omen zuen Newton-ek masa inertziala masa-dentsitatearen etabolumenaren biderkadura dela esatean. Nola definitzen da, bada, masa-dentsitatea?)

Geroago aztertuko dugun momentu linealaren kontserbazio-printzipioaz baliatuz, masa iner-tziala definitzeko prozedura eraginkor bat eman daiteke; baina ez dugu horrelako problemez kez-katuko hemen.

Partikularen ezaugarria denez, masa inertziala erreferentzia-sistemaren menpekoa ez dela su-posatuko dugu beti (3. gaian, baina, zehatzagoak izateko beharrean aurkituko gara). Hauxe gehi-tuko diogu, bada, Galileo-ren transformazioari:

m = m′. (1.43)

Gainera, partikularen masa denborarekin ez dela aldatzen suposatuko dugu gehienetan, bainagerta daiteke aldakorra izatea. Fisikan ereduak egitean hurbilketa ugariak behar direnez, gehie-netan partikulatzat hartzen duguna izatez sistema konplexua da: bere barne-egitura eta, ondorioz,masa alda daitezke. Horrela gertatzen da, adibidez,1.6problemako suziriaren kasuan. Bestalde,oinarrizkopartikulatzat hartzen badugu ere, neutroia, elkarrekintza ahularen ondorioz, desintegradaiteke bere ordez protoi bat, elektroi bat eta antineutrino bat sortzeko.

Sistema Internazionalean masa-unitatea kilogramoa4 da.

Indar osoa

Ez da pentsatu behar (1.42) ekuazioak indarraren definizio hutsa denik, hori ere izan arren.Gehiago diosku bigarren legeak:

• Aipaturiko ekuazioko ezkerreko atalean agertzen den magnitude mekanikoaren zergatiamekanikatik at bilatu behar da. Kanpo-eragina erakarpen grabitatorioa bada, Newton-engrabitazio unibertsalaren legea erabili beharko da indarra ezagutzeko; elkarrekintza elek-trostatikoa denean, Coulomb-en legera jo beharko dugu; etaabar.

4Kilogramoa masa-unitatea da; kilogramoaren prototipo internazionalaren masaren berdina da (3.ConférenceGénérale des Poids et Mesures, 1901). Platino-iridiotan eginiko prototipo internazional hauBureau Internationaldes Poids et Mesuresdelakoan mantentzen da, 1889ko 1. CGPM delakoan definituriko baldintzetan.

12 1 Oinarrizko kontzeptuak

• Fisikaren eginkizun bat definitzen du, beraz: partikulen arteko elkarrekintzen oinarrizkolegeak indar-legeen moduan bilatu behar ditu fisikariak, eta ez abiadura-legeak5 edo indar--momentuen legeak, adibidez.

• Zinematika egitean azelerazioaren deribatua (batzuetan erabilgarria izanik,gainazelera-zioa deitzen dena) zergatik ez genuen definitu azaltzen du: higidura aztertzea errazagoada indarrak (eta, beraz, azelerazioak, baina ez abiadurak edo posizioak) ematen dituztenlegeak erabiltzen direnean.

• Mekanikaren oinarrizko higidura-ekuazioak bigarren ordenako ekuazio diferentzial arrun-tak dira. Esaterako, koordenatu cartesiarretan (1.42) formularen osagaiak kalkulatuz lor-tzen dira:

mx = Fx ≡ i · F, (1.44)

my = Fy ≡ j · F, (1.45)

mz = Fz ≡ k · F. (1.46)

Fisikaren beste arlo bateko teoriari esker indarra kalkulatu ondoren, masa ezaguna bada, bi-garren legea erabil daiteke partikularen azelerazioa aurkitzeko. Kanpo-eragin desberdin batzukbadaude,gainezarmenaren printzipioa erabiliko dugu indar osoa eragin guztiek sorturiko in-darrak batzeko. Teoria desberdinek iragarritako indar partzialak erabili ahal izateak argi eta garbifrogatzen du indarraren kontzeptua bigarren legean egindako definizio bat baino askoz gehiagodela.

1.8 IRUDIA Pendulu matematikoa.

Adibide moduan kontsidera dezagun1.8irudiko pendulua. Azterketa errazteko higidura planobatean gertatzen dela suposatuko dugu baita pairatzen dituen indarrakmg pisua, sokak eragin-dakoN ukipen-indarra eta airearen−kr marruskadura-indarra direla ere. Ezerk ez digu debeka-tzen aldiune bakoitzean erreferentzia-sistema inertzialik egokiena aukeratzeko, nahiz eta aldiunedesberdinei dagozkienak desberdinak izan. Azterketa errazteko, bada, aukera dezagun aldiunebakoitzean jatorria partikularen posizioan duen erreferentzia-sistema inertziala, bereOX etaOYardatzak masaren ibilbide zirkularraren norabide tangentean eta normalean daudelarik,1.8 iru-dian adierazten den moduan.

5Aristoteles-ek higiduraren zergatia gaur egun momentu lineala deitzen dugunarekin loturik zegoela uste omenzuen: ikus [44].

1.2 Partikula puntualaren dinamika 13

1.7 ARIKETA Aukeratu dugun erreferentzia-sistema, (1.35)–(1.36) adierazpenak eta1.8 irudi-ko eskuinaldean agertzen dengorputz askearen diagramakontuan hartuz, froga ezazu Newton-enbigarren legearenx etay osagaiak honako hauek direla:

− klθ − mg sin θ = mlθ, (1.47)

N − mg cos θ = mlθ2. (1.48)

Bigarren ekuazioaN kalkulatzeko erabil daiteke, baina horretarako,

ω ≡√

g

l, γ ≡ k

2m(1.49)

definizioak egin ondoren geratzen zaigun ekuazioa ebatzi behar da:

θ + 2γθ + ω2 sin θ = 0. (1.50)

1.8 ARIKETA Ukipen-indarra eta tentsioa. Aurreko adibideko ukipen-indarra sokaren tentsioaal da? Zergatik?

Momentu lineala

Partikularenm masa etar posizio-bektorea biderkatuz,mr masa-momentuadefinitzen daeta honen deribatua (masa konstantea dela jorik) partikularenmomentu linealada:

p ≡ mr. (1.51)

Berriro ere masa konstante dela suposatuz, azken adierazpena deribatuz Newton-en bigarren le-gea hurrengo modu baliokidean idatz daitekeela ikusten dugu:

F = p. (1.52)

Testuinguru honetan (1.42) eta (1.52) guztiz baliokideak badira ere, azken adierazpena askoz ereorokorragoa da eta, adibidez,3. gaiko erlatibitate berezian ere erabil daiteke,F = mr ez bezala.

Indar osoa zero bada —adibidez, partikula askea delako— momentu lineala higidura-kons-tantea da: ez da aldatzen denborarekin ibilbidean zehar, ibilbide batetik bestera alda badaitekeere. Momentu linealaren kontserbazio-printzipioaren kasurik errazena dugu hau.

Momentu angeluarra eta indar-momentua

P puntuan dagoen partikularenQ puntuarekiko momentu angeluarra

LQ =−→

QP ×p (1.53)

da eta partikulan aplikaturik dagoenF indar baten momentua

NQ =−→

QP ×F. (1.54)

1.9 ARIKETA Froga ezazu hauxe dela momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioa, indar-momen-tu osoa, hau, da indar guztien momentuen baturaNQ bada:

NQ = LQ. (1.55)

Zergatik eskatu behar da (1.55) eboluzio-ekuazioanNQ momentua osoa izateko?

14 1 Oinarrizko kontzeptuak

Gehienetan, baina ez beti, koordenatu-sistemaren jatorriarekiko momentuak kalkulatuko di-tugu. Horrelako kasuetanQ = O azpindizea ez dugu esplizituki idatziko:

L = r × p, N = r × F, N = L. (1.56)

1.10 ARIKETA Higidura laua . Kalkulatu koordenatu polarretan jatorriarekiko momentuange-luarra higidura lauaren adibidean.

1.11 ARIKETA Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa. Zer-nolako baldintzak be-te behar dira partikula baten momentu higidura-konstanteaizateko? Nolakoa da higidura kasu horre-tan? Ondorioztatu indar osoazentrala bada (hau da, bere aplikazio-lerroa beti pasatzen badapoloadeitutako puntu finko batetik), indar-poloarekiko momentuangeluarra higidura-konstantea dela.

1.9 IRUDIA Posizio-bektoreak estalitako azalera infinitesimala.

Momentu angeluarraren parekoa duguazalera-abiadura, hau da, posizio-bektoreak den-bora-unitatean estalitako azalera. Honen adierazpen matematikoa lortzeko, kontsidera dezagundt denbora-tarte infinitesimalean estalitako azalera. Posizio-bektorearen aldaketadr = r dt de-nez, aipaturiko azalera1.9irudikoOPQ triangeluarena da:

dS =1

2r dh =

1

2r dr sinα =

1

2|r × dr| . (1.57)

Beraz, irudiko azalera infinitesimala adierazteko

dS =1

2r × dr (1.58)

bektorea erabil dezakegu eta, hortaz, honela idatz daitekeazalera-abiadura:

va =dS

dt=

1

2r × r =

L

2m. (1.59)

1.12 ARIKETA Zer adierazten dute azalera-abiaduraren norabideak eta noranzkoak?

1.10 IRUDIA Akzioa eta erreakzioa.

1.3 Bulkada, lana eta energia 15

1.2.3 Akzio eta erreakzioaren printzipioa

Orain arte partikula bakarra kontsideratu dugu, baina Newton-en hirugarren lege honetan bihartuko dira kontuan. Nolabait, indarrak sortzerakoan biak baliokideak direla diosku printzipiohonek:partikula batek beste baten gainean eragiten duenF12 indarra, azken partikulak lehenen-goaren gainean eragindakoF21 indarraren aurkakoa da,

F12 = −F21, (1.60)

eta, gainera, aipaturiko bi indarren norabidea partikulaklotzen dituen zuzenarena da:

F12 ‖ F21 ‖ r2 − r1. (1.61)

Newton-en lege hau mugatuena da eta fisika klasikoan ere gerta daiteke ez betetzea (indarelektromagnetikoekin, adibidez).

1.3 Bulkada, lana eta energia

Magnitude berriak definitzean deribatuaz baliatu gara batzuetan. Orain, integralak erabilikoditugu. Hasteko, indarra denborarekiko integratuko dugu,geroago integral lerromakurraz ardu-ratzeko.

1.3.1 Bulkada

Ibilbideko1 eta2 puntuetant1 etat2 uneetan badago partikula, aldiune horien artekoF inda-rrarenbulkada

I12 ≡∫ t2

t1F dt (1.62)

integrala da, definizioz. Hemen indarosoaordezkatzen badugu,

I12 =∫ t2

t1p dt = p

∣

∣

∣

t2

t1= p2 − p1, (1.63)

Newton-en bigarren legearen adierazpen integrala lortzendugu:bulkadaosoamomentu lineala-ren aldaketaren berdina da. (Goiko adierazpeneanpi ≡ p (ti) notazio laburtua erabili dugu.)Ikuspuntu matematikotik, emaitza hau eta (1.42) formula diferentziala baliokideak badira ere,askotan testuinguru desberdinetan aplikatzen dira. Eman dezagun, adibidez, pilota batek horma-rekin topo egitean atzera datorrela. Ez da erraz jakiten nolakoa izan den hormak pilotaren gaineaneragindako ukipen-indarra, baina argi dago oso denbora-tarte laburrean aplikatu dela. Naturala-goa izango da, bada, (1.63) erabiltzea.

1.13 ARIKETA Defini ezazu modu egokian indar batenbulkada angeluarra eta ondorioztatubulkada angeluarosoamomentu angeluarraren aldaketaren berdina dela.

16 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.3.2 Potentzia eta energia zinetikoa

Definizioz,F indarrak partikula baten gainean egiten duenpotentzia

P ≡ F · r (1.64)

da eta partikularenenergia zinetikoahauxe:

T ≡ 1

2m r · r =

1

2m r2 =

1

2mv2. (1.65)

1.14 ARIKETA Notazioa. Froga ezazu energia zinetikoaren hurrengo adierazpenak baliokideakdirela:

T =1

2m r2 =

p2

2m=

p2

2m. (1.66)

Idatz al daitekeT = 1

2m r2? Zergatik?

Energia zinetikoaren denborarekiko deribatua,

T =1

2m (r · r)˙= 1

2m r · r +

1

2m r · r = mr · r, (1.67)

potentziaren definizioa eta indar osoarena erabiliz,indar osoakegindako potentzia energia zine-tikoaren deribatuaren berdina delafrogatzen dugu:

T = P. (1.68)

Indar bizien teorema deitzen den emaitza honetan, lehenago frogatu ditugun beste askotan be-zala, indar osoa erabili behar da: indar partzialen potentziak nekerik gabe definitzen dira, bainaez dago energia zinetiko partzialik.

1.11 IRUDIA Desplazamendu infinitesimala eta indarra.

1.3.3 Lana

Potentzia bi aldiuneren artean integratuzlana lortzen dugu (nahiago bada, denbora-unitateanegindako lana izango da potentzia):

W12 ≡∫ t2

t1P dt =

∫ t2

t1F · r dt =

∫ 2

1F · dr. (1.69)

1.3 Bulkada, lana eta energia 17

Hemen,desplazamendu infinitesimalahauxe dela erabili dugu:

dr =dr

dtdt = r dt. (1.70)

Ondorioz, lana ibilbidean zehar kalkulaturiko indarrarenintegral lerromakurra dela ikusten dugu.(1.68) emaitza ibilbidekoP1 etaP2 puntuen artean integratuz,indar osoarenlana energia

zinetikoaren aldaketaren berdina delaikusten dugu:

W12 =∫ t2

t1P dt =

∫ t2

t1T dt = T

∣

∣

∣

t2

t1= T2 − T1, (1.71)

nonTi ≡ T (ti) notazioa erabili dugun.

1.3.4 Indar kontserbatzaileak eta energia potentziala

Noizean behin gerta daiteke partikula baten gainean eragiten duen indarra denborarekin nolaaldatzen den ezaguna izatea. Horrela gertatzen da, adibidez, aipaturiko indarra konstantea bada(ikus 1.23. ariketa). Baina kasu gehienetan indarraren posizioarekiko menpekotasuna da datua.Puntu bakoitzean indarraren balio bat (bertan partikulak pairatuko duena) definiturik dagoenean,hau da, indarra eremu bektoriala denean,indar-eremua dugula esaten da, eta horrelakoak izatendira oinarrizko indar-legeak (hala nola Newton-en grabitazio unibertsalaren legea eta Coulomb--en, Hooke-ren eta Maxwell-en legeak). Adibidez, Lurrakmmasako satelite batean eragiten duenerakarpen-indarra

F = −GM⊕m

r3r (1.72)

moduan idatz daiteke hurbilketa on batean. HemenG Newton-en grabitazio-konstantea da (ikusA.1 taula) etaM⊕ Lurraren masa (ikusA.4 taula). Indarra Lurraren zentrotik neurturiko partiku-larenr posizioaren bitartez ematen denez, indar-eremu bat dugu hemen.

F(r) indar-eremuakontserbatzaileada baldin etaV (r) eremu eskalar egoki baten gradien-tearen alderantzizkoaren berdina bada:

F = −∇V ≡ −(

∂V

∂xi +

∂V

∂yj +

∂V

∂zk

)

. (1.73)

(Ikus B.2.2atala.)V (r) eremu eskalarraenergia potentzialadeitzen da eta ez da bakarra, argibaitago∇ eragile diferentziala aplikatzean indar-eremu berbera lortzen dela konstante bat gehi-tzen badiogu. Hautazko konstante horretaz baliatzen gara askotan energia potentzialaren zeromaila modu egokian aukeratzeko.

1.15 ARIKETA Egiaztatu zuzenean emaitza erabilgarri hauek:

∇r =r

r= r, ∇1

r= − r

r3= − r

r2. (1.74)

(Ikus, halaber,B.5 ariketa.) Ondorioztatu (1.72) indarrari dagokion energia potentzialtzat

V = −GM⊕m

r(1.75)

aukera daitekeela. Energia potentzial grabitatorio hau beti da negatiboa eta infinituan dago zero maila.

18 1 Oinarrizko kontzeptuak

Indar-eremu bat kontserbatzailea denetz jakiteko irizpide praktikoa, energia potentziala aur-kitu gabe ere erabil daitekeena, hauxe da:indar-eremua kontserbatzailea da baldin eta soilikbaldin irrotazionala bada, hau da, bere errotazionala (ikusB.2.3atala) nulua bada:

∇× F ≡(

∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z

)

i +

(

∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x

)

j +

(

∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

)

k = 0. (1.76)

1.16 ARIKETA Frogatu (1.73) hipotesitik (1.76) ondorioztatzen dela. (Aurkako emaitzaren fro-gapenaren ideia behean emango da.)

Indar kontserbatzaile baten integral lerromakurra (lana)integrazio-muturren menpekoa da etaez integrazio-bidearena (ibilbidearena). Izan ere, honela aldatzen da energia potentziala despla-zamendu infinitesimal batean:

dV ≡ V (r + dr) − V (r) =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz = ∇V · dr (1.77)

eta, beraz, hauxe da indarraren integrala:

∫ 2

1F · dr = −

∫ 2

1∇V · dr = −

∫ 2

1dV = −V

∣

∣

∣

2

1= V1 − V2, (1.78)

nonVi ≡ V (ri) notazioa erabili dugun. Hortaz,indar kontserbatzailearen lana energia poten-tzialaren aldaketaren alderantzizkoaren berdina daeta ez ibilbidearen menpekoa.

1.17 ARIKETA Egiaztatu (1.77) emaitza

V = ∇V · r (1.79)

moduan ere idatz daitekeela.

F indar-eremuaren integral lerromakurra ez bada ibilbidearen menpekoa, (1.78) emaitzaz ba-lia gaitezke energia potentziala eraikitzeko eta, beraz, indar-eremua kontserbatzailea dela froga-tzeko. Izan, erer2 puntua orain hautazkor bada etar1-en kasuan puntu finko bat aukeratzenbadugu, honela idatz daiteke (1.78):

V (r) = V1 −∫ 2

1F · dr. (1.80)

HautazkoV1 = V (r1) konstantea aukeratuz gero, integrazio-bidearen menpekoaez den azkenemaitzak energia potentziala modu bakarrean definitzen digu puntu guztietan eta froga daitekeintegralaren gradienteaF indarra dela.

1.18 ARIKETA Froga ezazu indar-eremu bat kontserbatzailea dela baldin eta soilik baldin bereintegral lerromakurra nulua bada integrazio-bide itxi guztietan.

Emaitza hau erabiliz, erraz ikusten da marruskadura-indarra ez dela kontserbatzailea, marrus-kadura lehor dinamikoaren kasuan (ikus1.3.9atala). Marruskadura desplazamenduaren aurkakoadenez, bere lana negatiboa da eta, ondorioz, ezin izan daiteke nulua, ibilbidea itxia bada ere. Indarkontserbatzaileen bi kasu ezagun aztertzen ditugu jarraian.

1.3 Bulkada, lana eta energia 19

1.3.5 Indar-eremu zentralak

1.11ariketan ikusi genuen bezala, indarra zentrala bada, bere aplikazio-lerroa beti pasatzendapolotik eta, ondorioz, poloarekiko indar-momentua nulua da. Analisia errazteko erreferentzia--sistemaren jatorria poloan aukeratzen badugu, indarra posizio-bektorearen paraleloa eta, beraz,proportzionala izango da:

F = F r. (1.81)

Hemen, ohi bezala,r ≡ r/r bektore unitarioa erabili dugu.

1.19 ARIKETA Indar zentralaren modulua al da (1.82) adierazpenekoF delakoa?

Eman dezagun orain indarraindar-eremua dela, hau da, posizioaren menpekoa:F = F (r).Gainera,indar-eremu zentrala dela esango dugu, indarraren norabidea posizio-bektorearenaizateaz gain, bere modulua eta noranzkoa posizio-bektorearen moduluaren menpeko hutsa badira,hau da, polotik neurturiko distantziaren menpekoak eta ez norabidearenak:

F = F (r) r. (1.82)

Indar-eremu zentralak beti dira kontserbatzaileak eta dagokien energia potentziala honako hau(hautazko integrazio-konstante inplizitua ahazten ez badugu, behintzat):

V (r) = −∫

F (r) dr ⇐⇒ F (r) = −dV (r)

dr. (1.83)

Izan ere, funtzio konposatuen teorema (fisikan, katearen erregelaren izenaz ezagutzen dena) eta(1.74) erabiliz, hauxe dugu (ikus, halaber,B.5 ariketa):

−∇V (r) = −dV (r)

dr∇r = F (r) r = F. (1.84)

1.20 ARIKETA Erabili(1.83) adierazpena (1.72) indarraren (1.75) energia potentziala berresku-ratzeko.

1.3.6 Dimentsio bakarreko indar-eremua

Indar-eremua dimentsio bakarrekoa bada, indarraren norabidea konstantea da. Kalkuluakerrazteko, aipaturiko norabidean aukeratuko dugu gure erreferentzia-sistemarenOX ardatza. Ho-nela idazten da indar-eremua sistema horretan:

F = F (x) i. (1.85)

Hemen, dimentsio bakarreko indar-eremuaren definizioarenpartea den hipotesi bat esplizitukiidatzi dugu: indarrax osagaiaren menpeko hutsa da;y etaz ez dira agertzen.

1.21 ARIKETA Indarraren modulua al da (1.85) adierazpenekoF (x) delakoa?

Dimentsio bakarreko indar-eremuak beti dira kontserbatzaileak eta dagokien energia poten-tziala honako hau:

V (x) = −∫

F (x) dx. (1.86)

Izan ere, hauxe dugu:

−∇V (x) = −dV (x)

dxi =

(

d

dx

∫

F (x) dx

)

i = F (x) i = F. (1.87)

20 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.3.7 Osziladore harmonikoa

Beharbada, dimentsio bakarreko indar-eremuaren adibiderik ezagunena indar elastikoarenada. Eman dezagun1.12irudiko malgukiaren luzera naturalal0 dela eta konstante berreskuratzai-leak. Hooke-ren legearen arabera, malgukiaren deformazioax denean−kx indar berreskuratzai-lea eragiten du masaren gainean, eta beste indar horizontalguztiak (aireak eta zoruak eragindakomarruskadurak, alegia) arbuiagarriak badira, hauxe dugu higidura-ekuazioa aipaturiko norabi-dean:

mx = −kx. (1.88)

1.12 IRUDIA Malgukiaren deformazioa.

(1.86) integrala eginez, energia elastikoa lortzen da:

V (x) =1

2kx2. (1.89)

Hemen integrazio-konstantea zerotzat aukeratu dugu; horrela, malgukia deformatu gabe badagoenergia elastikoa nulua da, eta positiboa beste kasu guztietan. Malgukiarenω ≡

√

k/m pultsazionaturala erabiliz, osziladore harmonikoaren ekuazioa lortzen dugu:

x+ ω2x = 0. (1.90)

Gainera, abiaduraren proportzionala den−Cx marruskadura-indarra ere pairatzen badu ma-sak etaγ ≡ C/(2m) indargetze-koefizienteadefinitzen bada, osziladore harmoniko indargetua-ren ekuazioa dugu:

x+ 2γx+ ω2x = 0. (1.91)

1.3.8 Energia mekanikoa

Kontsidera ditzagun modu honetan idazten diren (1.68), (1.71), (1.79) eta (1.78) emaitzak:

F · r = T ,∫ 2

1F · dr = T2 − T1, (1.92)

F · r = −V ,∫ 2

1F · dr = V1 − V2. (1.93)

Lerro bakoitzean agertzen direnak elkarren baliokideak dira: ezkerrekoa potentzia da eta eskui-nekoa lana. Gainera, notazioaren eraginez, bi lerroak ia berdinak direla (T -ren ordez−V jarri etabehekoa lortzen da) pentsa genezake; baina guztiz desberdinak dira. Goiko adierazpenak bete-tzen diraF indarraosoadenean, baina berdin da kontserbatzailea den edo ez. Behekoak, berriz,indarra kontserbatzailea denean betetzen dira, baina osoazein partziala izan daiteke indarra.

1.3 Bulkada, lana eta energia 21

Biak betetzen badira, hau da, indar osoa kontserbatzailea bada, hauxe dugu:

(T + V ) = 0, T1 + V1 = T2 + V2. (1.94)

Emaitza honetan agertzen den magnitudea, energia zinetikoaren eta potentzialaren batura,ener-gia mekanikoada eta frogatu dugunaenergia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa: parti-kula baten gainean eragiten duen indar osoa kontserbatzailea bada,E = T + V energia meka-nikoa higidura-konstantea da.

Indar batzuk kontserbatzaileak izan ez arren egiten duten lana nulua bada (horrelakoak dira,adibidez, indar magnetikoak eta,6. gaian ikusiko dugunez askotan baina ez beti, desplazamen-duerlatiboarenperpendikularra den bi gainazalen arteko ukipen-indarraren osagainormala), ezdago inolako oztoporik energia mekanikoaren kontserbazio-legea erabiltzeko. Gauzak aldatzendira, baina, lan egiten duten indar ez-kontserbatzaileak daudenean. Kasurik ezagunena marrus-kadurarena da: fluidoek eragindakoa edo goiko ukipen-indarraren osagai tangentea izan daitekeeta bere lana ez da zero izaten, ezta inolako energia potentzialaren aldaketaren kontrakoa ere.

1.22 ARIKETA Eman dezagun partikularen gainean eragiten duten indarrakbitan banantzen ditu-gula. Froga ezazu indar kontserbatzaile guztienF batura kontserbatzailea dela eta dagokionV energiapotentziala indar kontserbatzaile partzialen energia potentzialen batura. Kontserbatzaileak ez diren in-darren baturaR bada, frogatu energia mekanikoaren eboluzio-ekuazioa hauxe dela:

E = R · r, E2 − E1 =

∫

2

1

R · dr. (1.95)

Beraz,energia mekanikoaren deribatua indar ez-kontserbatzaileen potentziaren berdina da eta harenaldaketa azken hauek egindako lana.

1.3.9 Marruskadura

Partikula fluido batean higitzen bada, abiadura txikia den bitartean (ikus10.12atala), marrus-kadura-indarra abiadura erlatiboaren proportzionala etakontrakoa da:R = −C r, C > 0. Egitenduen lana, beraz, negatiboa da, potentziaR · r = −C r2 < 0 baita. Ondorioz, indar ez-kontserba-tzaile bakarra hura bada, energia mekanikoa txikituz doa etengabe.

Elkar ukitzen duten bi gainazal higidura erlatiboan badaude, ukipen-indarraren osagai tan-gentea da marruskadura-indarra eta, gainazalen arteko abiadura erlatiboaren kontrakoa denez,egiten duen lana negatiboa da. Kasu askotan hurrengo lege fenomenologikoak betetzen dituma-rruskadura dinamiko honek6:

Amontons-en lehen legea:Marruskadura indarra normalaren proportzionala da. Proportzional-tasun-konstanteamarruskadura dinamikoaren koefizienteada eta horrela idazten da le-gea:

R = µdN. (1.96)

Amontons-en bigarren legea:Marruskadura indarra ez da ukipen-azalera nabarmenaren men-pekoa. XX. mendearen bigarren erdian bakarrik ulertu zen propietate hau: ukipen-azaleranabarmenaren oso zati txikia da benetako ukipen-azalera.

6Leonardo da Vinci-ren izena aipatzen da batzuetan lehen legearen (edo lehenengo bi legeen) kasuan, baina ezzituen inoiz argitaratu bere azterketak.

22 1 Oinarrizko kontzeptuak

Coulomb-en legeaMarruskadura-indarra ez da gainazalen arteko abiadura erlatiboaren menpe-koa.

Esan behar da aurreko legeak ez direla beti betetzen, eta kasu orokorrean gertatzen dena tribolo-giaren aztergaien artean dagoela. Esaterako, hemen (eta hurrengo kasuan) marruskaduralehorraaztertzen ari gara eta gainazalen artean fluido labaingarribat jartzen bada, gauzak aldatu egitendira.

Bestalde, gainazalak pausagune erlatiboan egon arren, higidura erlatiboa agertzeko joera da-goenean,marruskadura estatikoa dugu eta marruskadura-indarrak, hau da, ukipen-indarrarenosagai tangenteak, Amontons-en bigarren legea betetzen du, baina ez lehenengoa. Orain marrus-kadura-indarra ez da oro har aldez aurretik ezagutzen eta gainazalen arteko abiadura erlatiboazero izaten jarraitzeko behar dena izango da: problema dinamiko osoa ebaztean bakarrik kalku-latzen da bere modulua, baina azken honek indar normalaren menpekoa den balio maximo batdu:

R ≤ µeN, (1.97)

nonµe konstanteamarruskadura estatikoaren koefizienteaden. Euler-ek frogatu zuenez, oroharµe > µd dugu, eta desberdintza honek azaltzen du zama astun bat zoruhorizontalean bul-tzatzean gertatzen dena: martxan jartzen denean marruskadura-koefizientea eta, ondorioz, zamakegiten duen erreakzio horizontala bat-batean txikitu egiten dira eta jausteko arriskuan egoten ga-ra (ikus, gainera,1.13problema). Bi marruskadura-koefizienteak ukipen-azaleranabarmenarenindependenteak dira, baina aldatzen dira gainazalen materiala edo leunketa-egoerarekin.

Marruskadura estatikoaren indarraren ukipen-puntua geldi dagoenez (bi gainazalak geldi dau-den erreferentzia-sisteman), marruskadura-indarrak ez du lanik egiten. Beraz, kasu idealean, gai-nazal horizontal batean labaindu gabe higitzen den gurpilaren energia mekanikoa eta abiadurakonstanteak dira. Badakigu praktikan ez dela horrela gertatzen eta, airearen marruskadura aldebatera utzita, ukipena ez da mugatzen puntu (edo segmentu) ideal batera eta badaude labainketamikroskopikoak eta indar ez-elastikoek egindako lana:errodadura-marruskadura dugu. Bainatextu honetan, aplikazio teknologikoak baino gehiago, funtsezko printzipio fisikoak interesatzenzaizkigunez, beti suposatuko dugu errodadura-marruskadura arbuiagarria dela.

1.4 Ebazpen-metodoak

Indarrak ezagutuz gero, abiadura eta posizioa lortzeko, Newton-en bigarren ekuazioa ebatzibehar da. Koordenatu cartesiarretan, adibidez, (1.44)–(1.46) ekuazio diferentzialen sistema aska-tu behar da. Problema matematiko honen teoria orokorra ekuazio diferentzial arruntei buruzkotestuliburuetan aurki daiteke (ikus, adibidez, [38]). Hemen kasu erraz berezi batzuk aztertzeramugatuko gara. Ezer egin baino lehenago, esan dezagun horrelako ekuazioak ebaztean integralakkalkulatu behar direnez, hautazko integrazio-konstanteak agertzen direla, mekanikan gehiene-tan hastapen-baldintzak (hau da, hasierako abiadura eta posizioa) erabiliz kalkulatzen direnak.(Problemak ebazteko metodo eta estrategia orokorrakC eranskinean azaltzen dira.)

1.4.1 Denboraren menpeko indarra

Lehenago aipatu dugunez, salbuespena bada ere, gerta daiteke ezaguna izatea partikulak pai-ratzen duenF indar osoaren denborarekiko menpekotasuna. Kasu horretan, r = F/m azelera-zioaren menpekotasuna ere ezaguna da. Gainera, «hasierako» t0 aldiuneanr0 = r (t0) posizioa

1.4 Ebazpen-metodoak 23

etar0 = r (t0) abiadura ezagutzen badira, (1.42) ekuazioat0-ren etat aldiune generikoaren arteanintegratuz,

r = r0 +∫ t

t0r dt (1.98)

abiadura lortzen da eta, berriro integratuz, posizioa:

r = r0 + r0 (t− t0) +∫ t

t0

(∫ t

t0r dt

)

dt. (1.99)

Jakina, integralak zailak edo soluzio zehatz ezagunik gabekoak izan daitezke, baina hurrengo bikasuetan ezin errazagoak dira.

1.23 ARIKETA Higidura uniformeki azeleratua . Frogatu hurrengoak direla partikularen abia-dura eta posizioa, partikulak pairatzen duen indar osoa konstantea denean:

r = r0 + r (t − t0) , (1.100)

r = r0 + r0 (t − t0) +1

2r (t − t0)

2. (1.101)

1.24 ARIKETA Higidura uniformea . Egiaztatu partikulak pairatzen duen indar osoa zero denean(agian partikula askea delako), abiadura konstantea dela,

r = r0, (1.102)

eta ibilbidea hurrengo ekuazioak emandako lerro zuzena:

r = r0 + r0 (t − t0) . (1.103)

Nolanahi ere, gehienetan indarra indar-eremu gisa ezagutzen dugu eta ez dakigu nola eba-tzi (1.98) eta (1.99) adierazpenetako integralak, horretarako ezagutu behar den denborarekikomenpekotasuna inplizitua baita: higidura-ekuazioa ebatzi ondoren bakarrik ezagutzen dugu ho-ri. Errazagoak ez diren ekuazio integralekin ordezkatu dira ekuazio diferentzialak eta ez da ezeraurreratu.

1.4.2 Higidura-konstanteak

Kontserbazio-printzipioek emandako higidura-konstanteak oso lagungarriak izaten dira hi-gidura-ekuazioen ebazpenean aurrera egiteko. Izan ere, integrazioa egiten laguntzen digutenez,lehen integralakere deitzen dira.

Dimentsio bakarreko problema kontserbatzailea

Adibide moduan, kontsidera dezagun (1.86) dimentsio bakarreko indar-eremuaren eraginpeanhigitzen den partikula. Energia mekanikoa kontserbatzen denez7,

mx = −V ′(x), (1.104)

bigarren ordenako ekuazio diferentzialaren ordez, lehen ordenako energiaren ekuazioaz balia gai-tezke:

E =1

2mx2 + V (x) (1.105)

7Ohi bezala,′ notazio laburraz baliatzen gara funtzio baten deribatua adierazteko:V ′(x) ≡ dV/dx. Hala ere,denborarekiko deribatuaren kasuan˙erabiliko dugu.

24 1 Oinarrizko kontzeptuak

Energia mekanikoarenE balioa hasierako posizioa eta abiadura erabiliz kalkula daiteke:

E =1

2mx0

2 + V (x0) . (1.106)

Orain, deribatua askatuko dugu, lehen ordenako ekuazio diferentziala lortzeko:

x = ±√

2

m[E − V (x)]. (1.107)

1.25 ARIKETA Froga ezazu (1.104) higidura-ekuazioax abiadurarekin biderkatuz ere lor daite-keela (1.105) kontserbazio-legea.

1.4.3 Aldagaien banantzea

(1.107) ekuazioan ezin ditugu bi gaiak denborarekiko integratu, eskuineko ataleanx(t) men-pekotasuna ezezaguna baita: horixe bera kalkulatu nahi dugu! Zorionez, aipaturiko ekuazioantdenbora ez da esplizituki agertzen, bakarrik dago inplizituki x posizioan etax abiaduran. Ho-ri gertatzen denean, orain azalduko dugun prozedura saia daiteke. Hasteko, denbora esplizitukisartzen dugu ekuazioadt diferentzialarekin biderkatuz; horrela,dx = dx/dt dt = x dt dela go-goratuz, hauxe dugu:

dx = ±√

2

m[E − V (x)] dt. (1.108)

Oraindik ezin dugu eskuineko gaia zuzenean integratu, baina aldagaiak banantzen baditugu, hauda, atal bateanx duten gai guztiak biltzen baditugu besteant soilik utziz,

dx√

2m

[E − V (x)]= ±dt, (1.109)

integrala zuzenean egin daiteke (printzipioz; praktikan geratzen den integrala modu zehatzeankalkulatzea oso zaila edo ezinezkoa izan baitaiteke):

∫

dx√

2m

[E − V (x)]= ±t+ C. (1.110)

1.26 ARIKETA Froga ezazu hauxe dugula,C integrazio-konstantea kentzeko hasierako posizioa(x0 ≡ x (t0)) erabiltzen bada:

∫ x

x0

dx√

2

m[E − V (x)]

= ± (t − t0) . (1.111)

Adibidez, (1.88) malgukiaren kasuan, energia potentzial elastikoa,A ≡√

2E/k anplitudeaetaC = ϕ0/ω integrazio-konstantea erabiliz, osziladore harmonikoaren soluzioa lortzen da:

1

ωarcsin

x

A= t+ C ⇐⇒ x = A sin (ωt+ ϕ0) . (1.112)

Anplitudearen esangura agerian dago hemen: deformazioaren (elongazioaren) baliorik handienada.

1.27 ARIKETA Beharrezkoa al dax = −A sin (ωt + ϕ0) soluzioa kontuan hartzea? Froga ezazuosziladore harmonikoaren soluzioa modu honetan ere idatz daitekeela:

x = A cos (ωt + ϕ0) . (1.113)

Erabil daiteke (1.112) soluzioa (1.90) osziladore harmoniko guztiekin, nahiz eta jatorrizko problema(1.88) malgukiarena ez izan? Zergatik?

1.4 Ebazpen-metodoak 25

1.4.4 Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealak

Ikuspuntu matematikotik (1.90) osziladore harmonikoa oso ekuazio diferentzial erraza da,koefiziente konstanteetako lineala baita:x ezezaguna eta bere deribatuak koefiziente konstan-teetako konbinazio linealean agertzen dira. Horrelako ekuazioak modu zuzenean ebatz daitezke(ikus, adibidez, [38]) Aeαt sin (βt+ ϕ0) moduko soluzioak saiatuz eta gainezarmenaren prin-tzipioa erabiliz: soluzioen batura soluzioa da. (Aeαt cos (βt+ ϕ0) motako soluzioak ere erabildaitezke eta zenbait kasutanAtneαt sin (βt+ ϕ0), edoAtneαt cos (βt+ ϕ0), modukoak saiatubehar dira.)

Osziladore harmoniko indargetua

Saia dezagun osziladore harmoniko indargetuaren (1.91) ekuazioanx = Aeαt sin (βt+ ϕ0)soluzioa:

x+ 2γx+ ω2x = Aeαt[

2(α + γ)β cos (βt+ ϕ0) +(

α2 − β2 + 2αγ + ω2)

sin (βt+ ϕ0)]

= 0. (1.114)

x = 0 orekari dagokionA = 0 soluzioa alde batera utzita, aurreko ekuazioat aldiune guztietanbetetzeko sinuaren eta kosinuaren koefizienteek zero izan behar dute, sinua edo kosinua1 deneanbestea0 baita.(α + γ)β biderkadura nulua izateko bi posibilitate daude:

α = −γ =⇒ β = ±ωγ ≡ ±√

ω2 − γ2, (1.115)

β = 0 =⇒ α = −λ± ≡ −(

γ ±√

γ2 − ω2

)

. (1.116)

Ageri denez, lehen kasuan erro karratua erreala izatekoγ ≤ ω bete behar da eta bigarreneanγ ≥ ω. Azter ditzagun banan-banan kasu horiek, etaγ = ω kasu berezia.

• γ < ω. Kasu honetanx = Ae−γt sin(ωγt+ ϕ0) (1.117)

soluzioan bi zati desberdin daude. Azkena sinusoidala eta,beraz, periodikoa da: soluzioax = 0 puntuaren inguruan oszilatuko da etengabe. Baina,γ > 0 denez, oszilazioarenAe−γt anplitudea monotono beherakorra da: oszilazioak motelduzjoango dira, anplitudeaarbuiagarria (baina ikuspuntu matematikotik ez-nulua) izan arte. HasierakoA anplitudeaetaϕ0 fasea hautazko konstanteak dira eta hasierako baldintzen bidez kalkulatu beharkodira kasu bakoitzean.

1.13 IRUDIA Oszilazio indargetua.

26 1 Oinarrizko kontzeptuak

• γ > ω. Bi soluzio daude,x = Ce−λ±t. Orain,C ≡ A sinϕ0 konstantea hautazkoa delakontuan hartuz, soluzioa

x = C1e−λ+t + C2e

−λ−t (1.118)

moduan idatz daiteke, gainezarmenaren printzipioaren ondorioz.λ± > 0 direnez, bi gaiakmonotono beherakorrak dira. Ez dago gai periodikorik eta osziladoreagainindargetuadelaesaten dugu.

• γ = ω. Indargetze kritikoaren kasu hau aurreko bien arteko muga da. Kasu honetakoωγ = 0 edoλ± = γ = ω balioak goiko soluzioetan sartuz,x = Ce−ωt lortzen da; bainahemen hautazko konstante bakarra dugu,C = A sinϕ0 = C1+C2, eta hastapen-baldintzakbi dira: hasierako posizioa eta abiadura. Izan ere, soluzioa honako hau da:

x = (C +Dt) e−ωt. (1.119)

(C etaD konstanteak hastapen-baldintzen bidez zehaztu behar dirakasu bakoitzean.)

1.28 ARIKETA (a) Egiaztatu goiko soluzio egokianγ = 0 eginez lortzen dena osziladore harmo-nikoaren (1.112) soluzioa dela. (b) Kalkulatu noiz pasatzen denx = 0 oreka-puntutik osziladore har-moniko gainindargetua. Frogatu hori gehienez behin gerta daitekeela eta, hortaz, ez dagoela benetakooszilaziorik. (c) Marraztu soluzioren bat. (d) Egiaztatu osziladore kritikoaren soluzioa (1.119) dela.(e) Oszilaziorik al dago indargetze kritikoaren kasuan?

1.4.5 Hurbilketak

Hurbilketak dira, agian, fisikariaren tresnarik garrantzitsuenak. Eredu fisiko guztiak hurbil-duak dira, nahitaez; baina hurbilketak ez dira erabiltzen soilik eredu eta teoria orokorrak egi-tean. Eguneroko praktikan eta fisika ikastean ere etengabe erabiltzen ditugu. Gogoratu, adibidez,ia problema guztietan aireak eragindako marruskadura arbuiatzen dugula, nahiz eta txirrindula-ri orok arbuiagarria ez dela jakin. Higidura-ekuazioak ebaztean ere erabilgarriak (eta, askotan,behar-beharrezkoak) dira hurbilketak. Testuan gehienetan erabiliko duguna aztertuko dugu he-men.

Oszilazio txikiak

Penduluaren (1.50) ekuazioan, marruskadura arbuiagarria dela (γ = 0) suposatzen badugu,energiaren kontserbazio-legea eta aldagaien banantzearen metodoa erabil ditzakegu, baina ager-tzen den integrala eliptikoa da eta horrelakoak, ezagunak izan arren, ez dira oinarrizkoak (ikus,adibidez, [38]). Zorionez, askotan nahikoa da jakitea zer gertatzen da penduluaren oszilazioaktxikiak direnean, hau da beheko puntuan dagoen oreka egonkorraren puntutik oso urrun ez da-goenean. Orduansin θ ≈ θ hurbilketa lineala egiten badugu, (1.50) ekuazioa

θ + 2γθ + ω2θ = 0 (1.120)

bihurtzen da. Baina, azken hau osziladore harmoniko indargetuaren ekuazioa da. Berdin da he-men ezezaguna,x distantzia bat barik,θ angelua dela; ikuspuntu matematikotik egitura berekoakdira (1.91) eta (1.120) ekuazioak: biproblema baliokide dira malgukiarena eta penduluarena,hurbilketa lineala egokia izateko behar diren deformazio eta angelu txikiak kontsideratzen badira.Izan ere, malgukiaren ekuazioa idaztean erabili dugun Hooke-ren legea bera ere deformazio-legeorokorraren hurbilketa lineala da, material eta tresna batzuen kasuan oso aplikazio-eremu zabala

1.4 Ebazpen-metodoak 27

duen hurbilketa bada ere. Problema baliokidea erabiliz, zuzenean idatz dezakegu penduluarenoszilazio txikien ekuazioa: nahikoa dax aldagaiaθ-rekin ordezkatzea. Adibidez,γ < ω bada,θ = Ae−γt sin (ωγt+ ϕ0).

1.4.6 Metodo kualitatiboak: energia-diagramak

Batzuetan higidura-ekuazioak ebatzi gabe informazio kualitatibo interesgarria lor daitekehaien soluzioei buruz. Izan ere, soluzioak kalkula daitezkeenean ere, informazio kualitatibo horilortzea errazagoa izan daiteke hemen aztertuko ditugun metodoak erabiliz.

Oreka-puntuak

Hasteko ikusiko dugu nola aurkitu eta aztertu soluziorik errazenak,oreka deskribatzen dutensoluzioa konstanteak, alegia. Partikula bat orekan egoteko bi baldintza bete behar dira. Lehenadinamikoa da: partikulak pairatutako indar osoak nulua izan behar du. Bigarrena zinematikoada: aldiune batean (hasierako) abiadurak nulua izan behar du. Ondorioz, indarra eta, beraz, aze-lerazioa nulua denez abiadura ez da aldatuko eta beti izangoda nulua: partikula geldirik dagobetiko (eta betidanik). Bigarren baldintza erraza da eta beti betearaz daiteke erreferentzia-siste-ma inertziala modu egokian aukeratuz; baina indarra aztertu behar da lehenengoa betetzen denikusteko.

Eman dezagun, partikula dimentsio bakarreko indar-eremu batean higitzen dela.1.3.6. ataleanikusi genuenez, problema kontserbatzailea da hau eta indarraF = −V ′(x) moduan idatz daiteke.Horrez gain, abiaduraren proportzionala den−kxmarruskadura-indarra pairatzen badu, higidura--ekuazioa hauxe da:

mx = −kx − V ′(x). (1.121)

Oreka-baldintzax abiadura eta−kx− V ′(x) indar osoa nuluak izatea da. Argi dago bi baldintzahoriek x = V ′(x) = 0 direlakoen baliokideak direla. Azpimarratu behar da oreka-baldintza ber-berak lortzen direla marruskadura-indarrik ez dagoenean.Baina oreka-baldintza horien esanahibikoitza agerian dago:orekan egoteko, partikulak pausagunean (x = 0) egon behar du energiapotentzialaren mutur-puntu bati dagokion posizioan (V ′(x) = 0).

1.14 IRUDIA Energia-diagrama.

Oreka-posizioen kokapenak aurkitzeko, beraz,V ′(x) = 0 ekuazioa ebatzi behar dugu has-teko. Energia potentzialaren grafikoa egiten badugu,1.14 irudian bezala, oreka-puntuak erraz

28 1 Oinarrizko kontzeptuak

aurkitzen dira: energia potentzialaren maximo, minimo etainflexio-puntuei dagozkien posizioakdira (x1, x2, x3 etax4 irudiko adibidean).

Atzerapen-puntuak

Gainera, energia-diagrama berean erraz ikusten da, energia mekaniko ezagun batekin, zeintartetan gerta daitekeen higidura eta zeinetan dagoen debekaturik. Izan ere, energia zinetikoanegatiboa ez denez, energia mekanikoak potentziala baino handiagoa (edo berdina) izan behardu beti. Beraz,E energia mekanikoa ezaguna badaV (x) > E baldintza betetzen duten puntuakdebekaturik daude.

Hasteko, eman dezagun marruskadura arbuiagarria dela eta,ondorioz, energia mekanikoakonstantea dela: bere grafikoa lerro zuzen horizontala izango da, eta energia potentzialaren azpi-tik dauden lerro zuzen horren tarteak debekaturik daude. Beste tarteetan higidura gerta daiteke.Gainera, energia mekanikoaren eta potentzialaren grafikoen arteko ebakidura-puntuetan biak ber-dinak dira: energia zinetikoa eta abiadura, beraz, nuluak.Atzerapen-puntuak dira horiek: bertanpartikulak atzera egiten du, bere abiaduraren zeinua aldatzen baita (positibotik negatibora, ezke-rretik badator atzerapen-punturaino gero eskuinerantz itzultzeko; eta alderantziz hasieran eskui-nerantz bazetorren).1.14irudiko adibidean, energia mekanikoaE1 bada, zuzen erreal osoan gertadaitekeen higidura ez da bornatua.E2,E3 etaE4 kasuan, partikula hasieran eskuinean (ezkerreanbadago) bere higidura bornaturik dago ezkerretik (eskuinetik). Gainera, azken kasuan, hirugarrenposibilitate bat dago, partikula minimoaren ingurukopotentzial-putzuan badago, betiko geratuda hanr± atzerapen-puntuen artean eta oreka-puntuaren inguruan oszilatzen.

1.29 ARIKETA Suposatu orain−kx marruskadura-indarra ez dela arbuiagarria. Frogatu energiamekanikoaren eboluzio-ekuazioa honako hau dela:

E = −kx2 ≤ 0. (1.122)

Ondorioztatu, energia mekanikoa gutxituz doala oreka-puntu batera (edo−∞-ra) iritsi arte. Deskri-batu kualitatiboki higidura hasierako energia1.14irudiko E1, E2, E3 etaE4 badira.

1.15 IRUDIA Energia potentzial elastikoa.

Adibide moduan, kontsidera dezagun, berriro ere, (1.88) malgukia. Dagokion energia poten-tzialaren grafikoaV (x) = 1

2kx2 parabola izango da. Marruskadura arbuiagarria bada,

E =1

2mx2 +

1

2kx2 (1.123)

1.4 Ebazpen-metodoak 29

energia mekanikoa ez da higiduran zehar aldatuko eta bere grafikoa segmentu horizontala da.Atzerapen-puntuak,E = V (x), T = 0 etax = 0 baldintza baliokideek definiturikoak dira:

x = ±A ≡ ±√

2E

k. (1.124)

Jakina, elongazio maximoa denA anplitudea berreskuratzen dugu hemen. Marruskadura badago,energia mekanikoa txikituz doa eta minimorantz jotzen du,1.16irudian erakusten den bezala.

1.16 IRUDIA Energia elastikoaren eboluzioa marruskadura dagoenean.

1.30 ARIKETA Azaldu atzerapen-puntuen inguruan irudiko E-ren grafikoakduen tankera.

Oreka egonkorra eta ezegonkorra

Energia-diagrametan ikusitako higidura-tarteak nolakoak diren kontuan hartuz, oreka-pun-tuak oso desberdinak izan daitezkeela frogatuko dugu.

1.17 IRUDIA Indarraren noranzkoa oreka-puntuen inguruan.

Minimoei dagozkien oreka-puntuakegonkorrak dira: perturbazio txiki batek oreka apurtzenbadu, partikula ez da urruntzen oreka-puntuaren ingurune txiki batetik. Izan ere, perturbazioa-ren ondorioz oreka-puntutik mugitzen bada, energia potentzialaren minimotik aldentzen da etaenergia berria pixka bat handiagoa izango da, nahitaez. Baina, perturbazioa txikia izanik, parti-kula minimoaren inguruan dagoen potentzial-putzu batean dago, oreka-puntutik oso hurbil, eta

30 1 Oinarrizko kontzeptuak

minimoaren inguruan oszilatzen higituko da, batez beste bertatik urrundu gabe. (Marruskadu-ra badago, energia mekanikoa txikituz doa eta oreka-punturantz joko du partikulak.) Adibidez,penduluaren kasuan, energia potentzialaren minimoa punturik baxuenean dago, noski. Posiziohorretan pendulua orekan dago, eta handik apur bat mugitzenbada, ez da oso urrun joango.

Maximoak eta inflexio-puntuak, ordea, oso bestelakoak dira. Inguruko orbitek ez daude po-tentzial putzu batean eta ez dute zertan oreka-puntuaren inguruan geratu. Hasieran perturbaziooso txikia bada ere, oreka-puntutik abiatuz gero, ez dago inolako oztoporik handik alde egiteko:orekaezegonkorra da. Penduluaren kasuan energia potentzialaren maximoa punturik goreneandago eta, ikuspuntu matematikotik han pausagunean egon badaiteke ere, praktikan, edozein per-turbaziok apurtuko du oreka eta pendulua oreka-puntuaren ingurutik urrunduko da.

1.31 ARIKETA Oreka-puntuen egonkortasuna dimentsio bakarreko problemetan aztertzeko, de-ribatuaren esangura geometrikoa erabil daiteke:F = −V ′(x) indarra energia potentzialaren tan-gentearen maldaren kontrakoa da. Marraztu1.14 irudiko kasuan oreka-puntu batetik hurbil dagoenpartikulak pairatzen duen indarraren noranzkoa. Egiaztatu 1.17 irudia lortzen dela eta ondorioztatumaximoetatik eta (alde batetik) inflexio-puntuetatik urruntzeko joera duela partikulak; baina minimobaten inguruan, indarra berreskuratzailea dela eta oreka,beraz, egonkorra, partikula oreka-punturantzhigiarazteko behar den noranzkoa baitu indarrak.

Oszilazio txikiak eta osziladore harmonikoa

Eman dezagun energia potentzialak minimo koadratiko bat duelax = x0 puntuan:

V ′(x0) = 0, V ′′(x0) > 0. (1.125)

Oreka-puntuaren oso hurbil higidura nolakoa den ikusteko,energia potentziala minimoaren in-guruan garatuko dugu:

V (x) = V (x0) + V ′(x0) (x− x0) +1

2V ′′(x0) (x− x0)

2 + · · · (1.126)

1.18 IRUDIA Hurbilketa parabolikoa energia potentzialaren minimo baten inguruan.

Taylor-en garapen honen lehen gaia konstantea da, eta bere balioa jatorrizko energia poten-tzialari kenduz nulua izatea lor dezakegu. Bigarren gaia nulua da,x0 puntuan minimo bat da-goelako; eta arrazoi berberagatik bigarren gaiaren koefizientea positiboa dak ≡ V ′′(x0) > 0.

1.5 Partikula-sistemak 31

Minimoaren inguruko oszilazioak txikiak badira, hurrengogai guztiak arbuiagarriak izango diraeta, beraz, oso hurbilketa onean suposa dezakegu energia potentziala koadratikoa dela:

V (x) ≈ 1

2k (x− x0)

2 . (1.127)

Abzisaren jatorriax0 puntura eramaten badugu, (1.89) energia potentziala berreskuratzen dugueta hango problema baliokidearen osziladore harmonikoarena izango da partikularen higidura.Horrexegatik esaten da askotan fisikan osziladore harmonikoarena dela higidurarik garrantzitsue-na:energia-potentzialaren minimo koadratiko bati dagokion oreka-puntu egonkorraren ingurukohigidura deskribatzen du osziladore harmonikoak. Horixe da gehienetan egiten den hurbilketa.Minimoaren inguruan energia potentziala (1.127) parabola koadratikoarekin ordezkatzen dugueta indarra bere hurbilketa linealarekin (hauxe da Hooke-ren legea):

F = −V ′(x) ≈ −k (x− x0) . (1.128)

1.5 Partikula-sistemak

Orain arte, Newton-en hirugarren legea enuntziatzean izanezik, partikula puntual bakarrarenzinematika eta dinamika aztertu ditugu. Has gaitezen ikusten partikula gehiago daudenean erabildaitezkeen kontzeptuak eta emaitzak. SistemanN partikula puntual daudela suposatuko dugu etai = 1, 2, . . . , N azpindizea erabiliko da partikulak zenbatzeko. Adibidez,i partikularen posizioari bektoreak emandakoa izango da.

1.5.1 Magnitude kolektiboak

Sistema osoari dagozkion magnitude zinematikoak partikula guztienak batuz definitzen dira:

Magnitudea Partikula Sistema

Masa: mi, M ≡N∑

i=1

mi. (1.129)

Masa-momentua: gi = miri, G ≡N∑

i=1

gi =N∑

i=1

miri. (1.130)

Momentu lineala: pi = miri, P ≡N∑

i=1

pi =N∑

i=1

miri. (1.131)

Indarra: Fi = miri, F ≡N∑

i=1

Fi =N∑

i=1

miri. (1.132)

Momentu angeluarra: Li = mi ri × ri, L ≡N∑

i=1

Li =N∑

i=1

mi ri × ri. (1.133)

Indar-momentua: Ni = ri × Fi, N ≡N∑

i=1

Ni =N∑

i=1

ri × Fi. (1.134)

Energia zinetikoa: Ti =1

2mir

2i , T ≡

N∑

i=1

Ti =1

2

N∑

i=1

mir2i . (1.135)

Potentzia: Pi = Fi · ri, P ≡N∑

i=1

Pi =N∑

i=1

Fi · ri. (1.136)

32 1 Oinarrizko kontzeptuak

Indar eta indar-momentu osoen kasuan sinplifikazio bat gertatzen da Newton-en hirugarrenlegearen ondorioz. Hau ikusteko,i partikulak pairatzen dituen indarrak sailkatu egingo ditugu.Alde batetik, sistemako beste partikulek eragindakoakbarne-indarrak izango dira:j partikulaki partikulan eragindakoariFji deituko diogu. Bestalde,i partikulak pairatutakoF(k)

i kanpo-in-darra , jatorria sistematik at duten eragin guztien ondorioa da. Gainezarmenaren printzipioarenondorioz, honela idazten dai partikularen gainean aplikaturiko indar osoa:

Fi = F(k)i +

∑

j 6=i

Fji. (1.137)

Orain, sistemak pairatzen duen indar osoan akzio-erreakzio bikote bakoitzekoFji etaFij bilduondoren, elkarren kontrakoak direla (Fji + Fij = 0) kontuan hartzen badugu,

F =N∑

i=1

Fi =N∑

i=1

F(k)i +

N∑

i=1

∑

j 6=i

Fji

=N∑

i=1

F(k)i +

∑

1≤i<j≤N

(Fji + Fij)

=N∑

i=1

F(k)i (1.138)

lortzen da. Beraz,sistemak pairatzen duen indar osoa kanpo-indar osoaren berdina da,

F = F(k) ≡N∑

i=1

F(k)i , (1.139)

barne-indarren batura zero baita. Antzeko gauza bat gertatzen da barne-indarren momentuekin:

N =N∑

i=1

ri × Fi =N∑

i=1

ri × F(k)i +

N∑

i=1

∑

j 6=i

ri × Fji

=N∑

i=1

ri × F(k)i +

∑

1≤i<j≤N

(ri × Fji + rj × Fij)

=N∑

i=1

ri × F(k)i +

∑

1≤i<j≤N

(rj − ri) × Fij

=N∑

i=1

ri × F(k)i . (1.140)

Hemen, zera erabili dugu: akzio eta erreakzioaren printzipioaren ondorioz,i partikulakj dela-koaren gainean eragiten duenFij indarra bi partikulak lotzen dituen lerro zuzenaren paraleloa da,baina zuzen horren norabidea posizio erlatiboarenrij ≡ rj−ri bektorearena da; beraz,rj−ri etaFij paraleloak dira eta(rj − ri) × Fij = 0. Ondorioz,sistemak pairatzen duen indar-momentuosoa kanpo-indarren momentu osoaren berdina da:

N = N(k) ≡N∑

i=1

ri × F(k)i . (1.141)

1.5 Partikula-sistemak 33

Potentziarekin (eta lanarekin), berriz, ez da horrelakorik gertatzen. Barne-indarren potentziaosoa ez da beti nulua. Askotan barne-indarrek lan egiten dute eta, hortaz, potentzia eta lan osoanbi zati egongo dira, oro har:

P = P(k) + P(b) ≡N∑

i=1

F(k)i · ri +

N∑

i=1

∑

j 6=i

F(b)ji · ri. (1.142)

1.5.2 Eboluzio-ekuazio kolektiboak

Sistemaren eboluzio-ekuazio kolektiboak zuzenean lortzen dira magnitude kolektiboen defi-nizioa eta Newton-en hirugarren printzipioak ekarritako sinplifikazioak kontuan hartuz:

Magnitudea Partikula Sistema

Momentu lineala: pi = Fi, P = F(k). (1.143)

Momentu angeluarra: Li = Ni, L = N(k). (1.144)

Energia zinetikoa: Ti = Pi, T = P(k) + P(b). (1.145)

1.5.3 Kontserbazio-printzipioak

Lortu ditugun eboluzio-ekuazioak kontuan hartuz, argi dago sistemaren momentu lineal (an-geluar) osoa higidura-konstantea izango da baldin eta soilik baldin kanpo-indarren (kanpo-inda-rren momentuen) batura nulua bada. Gerta daiteke kanpo-indar osoa nulua izatea nahiz eta kanpo--indar partzial ez-nuluak egon: nahikoa da batura nulua izatea. Bestalde, sistemabakartua bada,hau da, ez badu inolako kanpo-eraginik pairatzen, argi dagokanpo-indar osoa eta kanpo-indarrenmomentu osoa nuluak direla eta, ondorioz, momentu lineala eta angeluarra kontserbatu egiten di-rela. Hauexek dira, bada,momentu linealaren eta angeluarraren kontserbazio-printzipioak:partikula-sistema bakartu baten momentu lineal eta angeluar osoak higidura-konstanteak dira.

Emaitza hauek printzipiotzat (eta ez teorematzat) kontsideratzen ditugu, hemen erabilitakodefinizio eta hipotesi bereziak egiazkoak ez direnean ere printzipioak zuzenak direla uste baitugu.Energia osoaren kontserbazioarekin batera, fisikaren printzipio oinarrizkoenetakoak dira hauek,espazioaren homogeneotasun eta isotropiarekin loturik baitaude. Fenomeno batzuk aztertzeanbetetzen ez direla ematen duenean, fisikariak pentsatuko dumomentu osoan ekarpen ezezagunenbat falta dela, baina nekez printzipioa bera aplikaezinezkoa denik. Beta desintegrazioaren teorianhorrelako gauza bat gertatzen zen 1930ean Pauli-k prozesuan ikusten ez zen beste partikula batekparte hartzen zuela proposatu zuenean. Partikula hori, antineutrinoa, oso ugari izan arren, ez daerraz detektatzen eta bere existentziaren frogapen esperimentala ez zen osatu 1956 urte arte,Cowan eta Reines-en esperimentuari esker.

Kontuan hartusistema bakartuetan energia zinetikoa ez dela beti higidura-konstantea, nahizeta kanpo-indarren potentzia nulua izan. Barne-indarrek lan egiten badute, energia zinetikoa al-dakorra izango da.

1.5.4 Talkak

Talka oso prozesu orokorra da, fisikan garrantzi handia duena. Elkarrekintzak arbuiagarriak ezdiren bitartean, sistema bakartu bateko partikulen momentu lineala, angeluarra eta energia zineti-koa (eta, batzuetan, partikulen izaera eta kopurua) aldatuegiten dira, partikulek elkarren gaineaneragiten dituzten barne-indarren ondorioz. Baina sistemabakartua denez, momentu lineala eta

34 1 Oinarrizko kontzeptuak

angeluarra kontserbatzen dira eta ez dago kanpo-indarren lanik. Beraz, partikulen arteko elkarre-kintza hasi aurretik eta ondoren sistemaren magnitudeek dituzten balioak1 eta2 azpindizeekinbereizten baditugu, hurrenez hurren, hauexek dira talka deskribatzen duten lege kolektiboak:

P2 = P1, (1.146)

L2 = L1, (1.147)

T2 = T1 +Q, (1.148)

nonQ faktorea prozesu osoan barne-indarrek egindako lana den:

Q ≡∫ 2

1P(b) dt =

∫ 2

1

N∑

i=1

∑

j 6=i

F(b)ji · ri dt. (1.149)

Barne-indarren lana nolakoa den arabera, honela sailkatzen dira talkak:

• Talka endoenergetikoa. Barne-indarren lana negatiboa da (Q < 0): energia zinetikoagaltzen da,T2 < T1, eta, jakina, beste modu batean agertzen da (bero gisa, sarritan).

• Talka exoenergetikoa. Barne-indarren lana positiboa da (Q > 0) eta bestelako energiaerabiltzen da energia zinetikoa handitzeko:T2 > T1.

• Talka elastikoa. Barne-indarrek ez dute lanik egiten (Q = 0) eta, ondorioz, energia zine-tikoa kontserbatu egiten da:T2 = T1. Zenbait prozesu mikroskopiko elastikoak badira ere,gorputz makroskopikoen arteko talketan muga-kasu honetako baldintza ez da normaleanzehaztasun osoz beteko, baina hurbilketa erabilgarria izan daiteke askotan.

Sistema bakartua delako hipotesiak ere ez du beti guztiz egia izan behar. Talkaren iraupenaoso txikia bada, kanpo-indarrak egon arren, gerta daiteke euren lana eta bulkada lineala eta ange-luarra, barne-indarrenak ez bezala, arbuiagarriak izatea. Adibide moduan eman dezagun bi sate-litek elkarrekin topo egiten dutela. Argi dago sistema ez dela bakartua, grabitatearen eraginpeandaude eta. Hala ere, talkaren iraupena oso laburra bada, pisuen bulkada eta lana arbuiagarriakdira, baina ez satelite bakoitzak bestaren gainean egiten dituenak. Beraz,t1 etat2 aldiuneak tal-ka hasten eta amaitzen direneko uneak badira,P2 = P1 dugu, adibidez, baina ez noski(t1, t2)denbora-tartea luzeagoa bada.

1.32 ARIKETA Froga ezazu bi partikulak elkarrekin topo egitean loturik geratzen badira, talkaezin dela elastikoa izan.

1.5.5 Masa-zentroa

Partikula-sistema baten masa-zentroa hurrengo posizio-bektoreak definituriko puntu geome-trikoa da:

R ≡ G

M=

∑Ni=1miri∑N

i=1mi

. (1.150)

1.5.1eta1.5.2ataletako definizioak eta eboluzio-ekuazioak kontuan hartuz, hauxe lortzen dugugoiko ekuaziotik:

G = MR, (1.151)

P = MR, (1.152)

F(k) = P = MR. (1.153)

1.5 Partikula-sistemak 35

Hau da,sistemaren masa osoa izanik kanpo-indar osoa pairatuko lukeen alegiazko partikula batbezalaxe higitzen da masa-zentroa.

1.33 ARIKETA Egia al da alegiazko partikula baliokide horren momentu angeluarren deribatuasistemak pairatutako kanpo-indarren momentu osoaren berdina dela? Zergatik?

Gai honetan, inplizituki,laborategiko sistemaerabili dugu kalkulu guztiak egiteko. Hurren-go gaian aztertuko ditugun zenbait fenomenoren kasuan izanezik, aipaturiko erreferentzia-siste-ma inertzialtzat kontsidera dezakegu oso hurbilketa onean. Definizioz,masa-zentroaren sistemahurrengo bi baldintzak betetzen dituena da:

1. Jatorria masa-zentroan dago beti.

2. Ardatzak ez dira biratzen: laborategiko sisteman (eta, beraz, sistema inertzial guztietan)duten orientazioa konstantea da.

Masa-zentroaren (1.153) higidura-ekuazioaren ondorioz, argi dago gehienetan masa-zentroa aze-leraturik dagoela eta, hortaz, masa-zentroaren sistema ezdela inertziala. Hala ere, askotan ikusikodugunez, oso erreferentzia-sistema erabilgarria da, propietate egokiak baititu.

1.19 IRUDIA Masa-zentroaren sistema.

Ardatzen orientazio erlatiboa aldatzen ez denez, laborategiko eta masa-zentroaren sistemenarteko transformazioak hurrengoak direla suposatuko dugu, praktikak ondo frogatu baitu horrelagertatzen dela abiadurak ez badira oso handiak:

t = t∗, (1.154)

ri = r∗i + R, (1.155)

ri = r∗i + R, (1.156)

ri = r∗i + R, (1.157)

mi = m∗i . (1.158)

(Jakina, partikula-sistema bakartua bada, edo bestelako arrazoiren batengatik kanpo-indar osoanulua bada, masa-zentroaren sistema inertziala da eta Galileo-ren (1.38)–(1.41) transformazioakberreskuratzen ditugu.) Transformazio hauek eta masa-zentroaren (1.150) definizioa erabiliz, ma-sa-zentroarekiko masa-momentua nulua dela ikusten dugu:

G∗ =N∑

i=1

m∗i r

∗i =

N∑

i=1

mi (ri − R) =N∑

i=1

miri −(

N∑

i=1

mi

)

R = G −MR = 0. (1.159)

36 1 Oinarrizko kontzeptuak

Propietate hau ez da harrigarria, masa-zentroa bere sistemako jatorrian dago eta. Baina propietatehau zuzenean deribatuz —edo, (1.152) erabiliz— lortzen den

P∗ = 0 (1.160)

emaitza interesgarriagoa da:masa-zentroaren sisteman momentu lineal osoa nulua da.Izan ere,propietate hau masa-zentroaren sistemaren definiziotzat har dezakegu. Jakina, modu horretandefinituriko sistema ez da bakarra, horrelako batean pausagunean dauden edozein erreferentzia--sistematan ere propietate bera betetzen baita. Baina, sistema hauen arteko diferentzia translaziokonstante bat edota biraketa konstante bat da. Erlatibitate berezian, adibidez, masa-zentroarenposizioa ez dago ongi definiturik, behatzailearen menpekoabaita; baina masa-zentroarensiste-ma (nahiago bada, masa-zentroaren sistemen klasea) inolako problemarik gabe defini daiteke(1.160) propietatearen bidez (ikus3.38problema).

1.34 ARIKETA Froga ezazulaborategiko sisteman neurturiko momentu angeluarra (energia zi-netikoa), masa-zentroaren sisteman neurtzen den momentu angeluar (energia zinetiko)intrintsekoaeta sistemaren masa osoa izanik masa-zentroarekin batera higitzen den alegiazko partikularena gehi-tuz lortzen dela. Ondorioz, hauxe dugu:

P = MR, (1.161)

L = L∗ + M R × R = L∗ + R × P, (1.162)

T = T ∗ +1

2MR2 = T ∗ +

P2

2M. (1.163)

Testuliburu batzuetanKönig-en teoremadeitzen da (1.163) emaitza.

1.5.6 Bi gorputzen problema

Partikula-sistemarik errazena bi partikula puntualez osaturiko sistema bakartua da. Masa--zentroa, beraz, abiadura konstantez eta lerro zuzen batean higitzen da.

1.20 IRUDIA Bi gorputzen problemaren geometria.

Masa-zentroaren sistema inertziala denez, ezin egokiagoada higidura aztertzeko, baina kasuberezi honetan beste posibilitate bat dago, zeren masa-zentroaren sisteman neurtutakor∗i posizio--bektoreak eta partikulen arteko posizio erlatiboa neurtzen duen

r ≡ r2 − r1 = r∗2 − r∗1 (1.164)

bektorea (edo−r ≡ r1 − r2 = r∗1 − r∗2 delakoa) elkarren proportzionalak, hau da, paraleloakbaitira.

1.5 Partikula-sistemak 37

1.35 ARIKETA Froga ezazu masa-zentroan neurtutako posizio-bektoreen eta posizio erlatiboarenarteko erlazioa hauxe dela:

r∗1 = − m2

m1 + m2

r, r∗2 =m1

m1 + m2

r. (1.165)

Ondorioz, partikula bakoitzaren masa-zentroarekiko higiduraren problema eta higidura erlati-boarena (ia) baliokideak dira, eta azken hau erraz planteatzen da, edozein sistema inertzialetan,jarraian ikusiko dugun moduan.

Newton-en hirugarren legearen ondorioz,1 partikulak2-ren gainean eragiten duen indarraF ≡ F12 bada, berak pairatzen duenaF21 = −F eta, beraz:

r = r2 − r1 =F12

m2

− F21

m1

=(

1

m2

+1

m1

)

F. (1.166)

Sistemarenm masa laburbildua

m ≡ m1m2

m1 +m2⇐⇒ 1

m=

1

m1+

1

m2(1.167)

moduan definitzen badugu, higidura erlatiboaren ekuazioa

F = mr (1.168)

da:higidura erlatiboaren problema eta erreferentzia-sistema inertzial batean higitzen denmma-sako partikula batena baliokideak dira. Sistemaren masa laburbildua duen partikula baliokideegokiaren problemara laburtzen da bi gorputzena.

1.5.7 Talka elastikoak bi gorputzen probleman

Bi gorputzen problemaren kasu berezi interesgarri bat, esperimentu askotan gertatzen dena,kontsideratuko dugu atal honetan:1 partikulap1 momentu linealarekin bidaltzen da pausaguneandagoen2-ren kontra. Lehen partikulajaurtigaia da eta bigarrenajomuga. Talkan izan ezik, bipartikulak askeak dira eta euren momentu linealak konstanteak. Talka ondoren partikulen mo-mentu linealakq1 eta q2 dira, hurrenez hurren. Jaurtigaiaren desbiderapena neurtzen duenθangeluasakabanatze-angeluadeitzen da eta jomugaren norabidea ematen duenα delakoa (ikus1.21irudia)atzerapen-angelua.

1.21 IRUDIA Jaurtigaia eta jomuga talka aurretik (ezkerraldean) eta ondoren (eskuinean).

38 1 Oinarrizko kontzeptuak

Masa-zentroaren sistema

Talka aztertzeko masa-zentroaren sistemaz baliatuko gara, bertan dena baita askoz errazagoa.Hasteko, momentu lineal osoa nulua denez,p∗

1 + p∗2 = q∗

1 + q∗2 = 0, talka aurretik lehen parti-

kularenap∗1 = p∗ bada bestearenap∗

2 = −p∗ izango da, nahitaez; modu berean, talka ondorenmomentuak elkarren kontrakoak dira eta modu honetan idazten da momentu linealaren kontser-bazio-printzipioa:

p∗1 = −p∗

2 = p∗, q∗1 = −q∗

2 = q∗. (1.169)

Gainera, talka elastikoa denez, energia zinetikoa kontserbatu egingo da (ikus1.14problema):

T =p∗1

2

2m1

+p∗2

2

2m2

=p∗2

2m=

q∗12

2m1

+q∗2

2

2m2

=q∗2

2m, (1.170)

nonm sistemaren masa laburbildua den. Hemen ikusten dugunez, energia zinetikoaren kontser-bazioap∗ etaq∗ bektoreen moduluak berdinak izatearen baliokidea da:

p∗ = q∗. (1.171)

1.22 IRUDIA Talka elastikoa masa-zentroaren sisteman.

Masa-zentroaren sisteman talka oso erraza dela dioskute (1.169) eta (1.171) kontserbazio--printzipioek: bi partikulen momentuak elkarren kontrakoak dira talka aurretik eta ondoren, eu-ren moduluak ez dira aldatzen, biraketa hutsa egiten dute,1.22 irudian erakusten den bezala.Azpimarratu behar da kontserbazio-printzipioak soilik erabiliz ezin aurki daitekeela zein izanden aipaturiko biraketa eta, beste informaziorik ezean, sakabanatze-angelua edonolakoa izan dai-tekeela:0 ≤ θ∗ ≤ π. Baina argi dago sakabanatze-angelua ezagutuz gero atzerapen-angeluazuzenean lortzen dela:

α∗ = π − θ∗. (1.172)

Gainera, energia zinetiko osoa ez ezik, partikula bakoitzarena ere kontserbatzen da. Beraz, tal-ka osorik ezagutzeko falta zaigun datu bakarra (edo, nahiago bada, zehaztu gabe geratzen denparametro bakarra) masa-zentroaren sisteman neurturikoθ∗ sakabanatze-angelua da.

1.5 Partikula-sistemak 39

1.23 IRUDIA Laborategiaren eta masa-zentroaren arteko transformazioak.

Laborategiko sistema

Laborategiko sisteman, ordea, posibilitate gehiago daudeeta hemen ikusiko dugu nola adie-razten diren datuen etaθ∗ parametroaren funtzioan. Hasteko, (1.152) ondorioz masa-zentroarenabiadura

R =p1

m1 +m2

(1.173)

dela erabiliko dugu laborategiaren eta masa-zentroaren arteko (1.156) transformaziotik momentulinealen arteko hurrengo erlazioa lortzeko:

p1 = p∗ +m1p1

m1 +m2, q1 = q∗ +m1

p1

m1 +m2. (1.174)

Lehen ekuaziotikp1 askatuz lortzen dena,

p1 =m1 +m2

m2

p∗, (1.175)

aurreko ekuazio bietan sartuz hurrengo adierazpenak geratzen zaizkigu:

p1 = p∗ +m1

m2p∗, (1.176)

q1 = q∗ +m1

m2p∗. (1.177)

1.24 IRUDIA Laborategiko sisteman egindako azterketa.

Atal honetako beste kalkulu guztiak era analitiko hutsean egin badaitezke ere, beraien adieraz-pen grafikoa lagungarria izango da magnitudeen arteko erlazioak hobeto ikusteko eta kalkuluakerrazteko. Hasteko,1.23 irudian ikusten ditugu (1.176)–(1.177) transformazio-ekuazioak. Ge-ro, 1.24irudian erakusten dira sakabanatze- eta atzerapen-angeluen definizioak eta laborategianneurtzen den momentu linealaren kontserbazio-legea:

p1 = q1 + q2. (1.178)

40 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.25 IRUDIA Talka elastikoaren grafiko osoa.

Orain, aurreko bi irudiak batean bilduz,1.25 lortzen da. Gainera, bertan masa-zentroarensisteman neurtutakoθ∗ sakabanatze-angelua ere marraztu da.

Energia zinetikoaren kontserbazioa adierazten duenp∗ = q∗ erlazioaz baliatuz, eskuinekotriangelua isoszelea dela ikusten dugu eta, beraz, honela adierazten dira laborategian neurturikojomugaren ezaugarriak talka ondoren:

α =π − θ∗

2, (θ∗ + 2α = π) , (1.179)

q2 = 2p∗ sinθ∗

2. (1.180)

Lehenago esan bezala, masa-zentroaren sisteman partikulabakoitzaren energia zinetikoa kon-tserbatzen da, baina laborategian gauzak oso bestelakoak dira: hasieran

T =p2

1

2m1=

(m1 +m2)2 p∗2

2m1m22

, (1.181)

energia zinetiko osoa jaurtigaiarena ba ere, talkan jomugahigitzen hasten da eta energia zinetikoaxurgatzen du:

T2 =q22

2m2

=2p∗2

m2

sin2 θ∗

2. (1.182)

Jomugak xurgatutako energia zinetikoaren proportzioa,

T2

T=

4m1m2

(m1 +m2)2 sin2 θ

∗

2, (1.183)

maximoa daθ∗ = π denean, hau da, buruz buruko talketan, espero genezakeen bezala. Horrelakotalka errazetan gertatzen den energia zinetikoaren transferentzia maximoa,

∆ ≡(

T2

T

)

max=

4m1m2

(m1 +m2)2 =

4m1/m2

(1 +m1/m2)2 , (1.184)

bi partikulen masen zatiduraren menpekoa da,1.26irudian erakusten den legez.Emaitzak, berriro ere, erraz ulertzen dira:

• Jaurtigaia jomuga baino askoz arinagoa bada,m1 ≪ m2, azken honen momentu linealarenaldaketa txikia izango da (ia-ia ez da talkaz «konturatuko»): bere energia zinetikoa ia ez daaldatuko. Jaurtigaiaren energia zinetikoa berdintsua izango da, baina abiadura kontrakoa,gutxi gorabehera.

1.5 Partikula-sistemak 41

1.26 IRUDIA Energia zinetikoaren transferentzia maximoa.

• Jaurtigaia jomuga baino askoz astunagoa bada,m1 ≫ m2, bere momentu linealaren alda-keta txikia izango da (ia-ia ez du jomuga «ikusiko»): bere energia zinetikoa eta abiadurakia ez dira aldatuko. Jomugaren abiaduraren aldaketa handiaizango da, noski, baina hainmasa txikiarekin ia ez du energia zinetikorik xurgatuko.

• Jaurtigaiaren eta jomugaren masak berdinak direnean,m1 = m2, buruz buruko talkanenergia zinetikoaren transferentzia maximoa izango da: jaurtigaia geldi geratuko da etajomugak energia zinetiko osoa eramango du.

1.27 IRUDIA Sakabanatze-angeluen arteko erlazioa.

Laborategian eta masa-zentroan neurtutako sakabanatze-angeluen arteko erlazioa aurkitzeko,1.27irudiaz eta (1.171) emaitzaz balia gaitezke:

tan θ =h

m1

m2p∗ + d

=q∗ sin θ∗

m1

m2p∗ + q∗ cos θ∗

=sin θ∗

m1

m2+ cos θ∗

. (1.185)

Emaitza honen ondorioak ulertzeko trigonometria erabil badaiteke ere, azterketa erraz egiten damodu grafikoan,1.28irudiaz baliatuz, jarraian ikusten den bezala.

• Jaurtigaia jomuga baino arinagoa bada,m1 < m2, lehenengoa da gehien desbideratzendena. Ondorioz,θ∗ 0-tik π-ra doan heinean, gauza bera egiten du laborategian neurtutakosakabanatze-angeluak, balio guztiak eduki baititzake:0 ≤ θ ≤ π.

• Jaurtigai eta jomugaren masak berdinak direnean,m1 = m2, bi sistemetan neurturiko sa-kabanatze-angeluen arteko erlazioa erraza da:

tan θ =sin θ∗

1 + cos θ∗= tan

θ∗

2⇐⇒ θ =

θ∗

2. (1.186)

Beraz,θ∗ angelua0-tik π-ra doan bitarteanθ delakoa0-tik π/2-ra joango da. Gainera,(1.179) emaitzaren ondorioz, talka ostean bi partikulak norabideelkarzutetan higitzen dira:

θ + α =π

2. (1.187)

42 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.28 IRUDIA Sakabanatze-angelua laborategian eta masa-zentroaren sisteman.

• Jaurtigaia jomuga baino astunagoa bada,m1 > m2, θ∗ handitzeanθ angelua ere handituzdoa q1 bektoreaq∗ erradioko zirkunferentziaren tangentea izan arte; gero txikituz doa,θ∗ = π deneanθ = 0 berriro izan arte.θ angelua maximoa deneanm1

m2p∗, q∗ eta q1

bektoreek osaturiko triangelua zuzena denez, hauxe dugu:

sin θmax =q∗

m1

m2p∗

=m2

m1

< 1. (1.188)

Jakina, zenbat eta astunagoa jaurtigaia, hainbat eta txikiagoa bere desbiderapena.

1.36 ARIKETA Lortu zuzenean1.28iruditik (1.186) emaitza.

1.6 Problema ebatziak 43

1.6 Problema ebatziak

1.6.1 Abiadura limitea

Partikula bat norabide bertikalean higitzen ari da. Grabitateaz gain, abiaduraren proportzionaladen marruskadura-indar bat pairatzen du:R = −γmr. Froga ezazu denbora handituz doaneanabiadurak muga-balio batera jotzen duela. Zein da muga-balio hori?

OZ ardatz bertikalabeherantzaukeratu ondoren,

mv = −γmv +mg

higidura-ekuazioan aldagaiak banantzen baditugu (gogoratu 1.4.3atala),

dv

g − γv= dt,

integrazio baten bidez hauxe lortzen dugu (marruskadura-indarreanγ > 0 dela kontuan hartuz):∫ v

v0

dv

g − γv=∫ t

0dt, v0 ≡ v(0),

−1

γln

∣

∣

∣

∣

∣

g − γv

g − γv0

∣

∣

∣

∣

∣

= t,

v =g

γ+

(

v0 −g

γ

)

e−γt t→∞−→ g

γ.

Abiadura limitea konstantea denez, higidura-ekuazioanv = 0 eginez ere lor daiteke zuzenean;baina soluzio guztiek horra jotzen dutela frogatzeko, higidura-ekuazioa integratu behar da.

1.6.2 Bulkada

Irudian agertzen diren bi masak geldi daude mahai leunbaten gainean, hagatxo arin batez loturik. HagatxoakIbulkada horizontala pairatzen badu erakusten den mo-duan, nolakoa da sistemaren higidura?

Masa-zentroaren etaM-ren artekoX distantzia honela kalkulatzen da (1.159) erabiliz:

MX +m(X − L) = 0 ⇐⇒ X =m

m+ML.

Eman dezagun talka ondoren masa-zentroaren abiaduraV dela (I bulkadaren norabidean egon-go da, noski) eta hagatxoaren abiadura angeluarraω (irudiko planoaren perpendikularra izangoda abiadura angeluarraren bektorea). Momentu lineal berria momentu linealaren aldaketaren etabulkadaren berdina izango da (ikus1.3.1atala):

(m+M)V = I =⇒ V =I

m+M.

Era berean,1.13ariketaren ondorioz, masa-zentroaren ingurukoI(X − a) bulkada angeluarramomentu angeluarraren aldaketaren eta, beraz, momentu angeluar berriaren berdina da:

I(X − a) =[

MX2 +m(L−X)2]

ω =mM

m+ML2ω =⇒ ω =

mL− a(m+M)

mML2I.

44 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.6.3 Oreka erlatiboa

Irudiko zirkunferentziaω abiadura angeluar konstantezari da biratzen diametro bertikalaren inguruan etam ma-sako partikula puntuala zirkunferentzian barrena higi dai-teke marruskadurarik gabe. Non egon daiteke partiku-la zirkunferentziarekiko pausagune erlatiboan? Noiz daegonkorra oreka erlatibo hori?

Irudiko koordenatu polar esferikoak erabiliz, azelerazioa-ren osagai tangentea (B.8) emaitzanr = R eta ϕ = ωeginez lortzen da, eta higidura tangentearen ekuazioa (binorabide normalei dagozkienak interesatzen ez zaizkigunhariaren erreakzio normalaren osagaiak kalkulatzeko era-bil litezke)

−mg sin θ = mR(

θ − ω2 sin θ cos θ)

edotamθ = m sin θ

(

ω2 cos θ − g

R

)

da. Higidura-ekuazio hau

mθ = −V ′(θ), V (θ) ≡ −m(

1

2ω2 sin2 θ +

g

Rcos θ

)

moduan idazten denez,θ angeluaren dimentsioak ahaztuta, zuzen batean

V (x) = −m(

1

2ω2 sin2 x+

g

Rcosx

)

potentzialean higitzen den partikularen problema baliokidearen oreka azter dezakegu. Oreka--puntuakV ′ = 0 mutur-puntuetan, hau da, hariarekin batera biratzen den sistema ez-inertzialeanindar tangentea nulua denean, gertatzen dira:sin θ = 0 baldintza betetzen denean, hau da, behekoθ = 0 eta goikoθ = π puntuetan, edoω2 cos θ − g/R = 0 dugunean; baina azken hau bakarrikgerta daiteke zenbait kasutan, kosinuaren balio absolutuaez baita inoiz 1 baino handiagoa.

V ′′(θ) = m(

g

Rcos θ − ω2 cos 2θ

)

adierazpenak frogatzen duenez, goiko puntuan maximo bat dago,

V ′′(π) = −m(

g

R+ ω2

)

< 0,

eta oreka ezegonkorra da; beheko puntuan

V ′′(0) = m(

g

R− ω2

)

,

minimoa (maximoa) dagoω < ω0 (ω > ω0) betetzen bada hurrengo definizioarekin:

ω0 ≡√

g

R.

1.6 Problema ebatziak 45

Beraz, abiadura angeluarra txikia bada, beheko puntua da egonkorra, espero bezala; baina,ωhanditzean, ezegonkor bihurtzen daω0 balioan. Gainera, balio berean sortzen diren

θ± = ± arccosg

Rω2= ± arccos

ω20

ω2

oreka-puntu simetrikoak egonkorrak dira:

V ′′ (θ±) =m

ω2

(

ω4 − g2

R2

)

=m

ω2

(

ω4 − ω40

)

> 0.

1.6.4 Talka elastikoa

Zergatik suposatzen dugu horma edo zoruaren kontrako talkaperpendikular elastiko bateanpartikularen abiadura alderantzikatzen dela modulua aldatu gabe?

Esan genezake, horma higitzen ez denez, bere energia zinetikoa nulua dela beti eta, ondorioz,kontserbatzen den energia zinetiko osoa partikularena dela; baina kontuz ibili behar da: horma-ren abiadura nulua da bere masa infinitutzat hartu dugulako eta, orduan, definitu gabe dagoen0 × ∞ biderkadura da energia zinetikoa. Problema hobeto aztertzeko, eman dezagun talka au-rretik m masako partikularen abiadurau dela eta ondorenv. Hormaren masaM bada eta talkaondoren duen abiaduraV , hauexek dira momentu linealaren eta energia zinetikoarenkontserba-zio-printzipioak talka elastikoa denean (gogoratu1.5.4atala):

mu = mv +MV,1

2mu2 =

1

2mv2 +

1

2MV 2.

Hemendik erraz kalkulatzen dira abiadurak kasu orokorreaneta interesatzen zaigunm/M → 0limitean:

v =m−M

m+Mu

m/M→0−→ −u,

V =2m

m+Mu

m/M→0−→ 0.

1.6.5 Soluzio triangeluarrak

Eman dezagun hiru partikulez osaturiko sistema batean partikulen arteko indarrak zentralak etaerakarleak izateaz gain, masen proportzionalak direla:

Fji = −mimjg (|ri − rj|) (ri − rj) , g(r) > 0.

(Kasu interesgarriena grabitatearen erakarpenari dagokiona da:g(r) = G/r3.) Froga ezazuhiru partikulak triangelu aldekide baten erpinetan oreka erlatiboan egon daitezkeela, triangeluabere planoaren perpendikularra den abiadura angeluar konstante egokiz biratzen bada partiku-la-sistemaren masa-zentroaren inguruan. Zein da abiaduraangeluarraren balioa?

46 1 Oinarrizko kontzeptuak

Aukera dezagun masa-zentroaren sistema:

3∑

i=1

miri = 0.

Sistema horretan partikula bakoitzaren higidura zirkularra eta uniformea denez, azelerazioa zen-tripetoa da:−ω2ri. Triangeluaren aldeen luzeraa bada,|ri − rj| = a dugu eta higidura-ekuazioahauxe da:

−miω2ri = −

∑

j 6=i

mimjg(a) (ri − rj).

Hemendik,ω2

g(a)ri =

∑

j 6=i

mj

ri −∑

j 6=i

mjrj

lortzen da, eta masa-zentroaren sisteman masa-momentua nulua denez,∑

j 6=i

mjrj = −miri

dugu eta, ondorioz, masa osoaM ≡ ∑3i=1mi bada,

ω2

g(a)ri =

∑

j 6=i

mj

ri +miri = Mri.

Hortaz, higidura-ekuazioak betetzen dira abiadura angeluarraω =√

M g(a) bada. Azpimarratubehar da horrelako soluzioa ez dela beti egonkorra izango. Soluzio triangeluar interesgarri bataztertuko dugu berriro2.7.4probleman.

1.7 Problemak 47

1.7 Problemak

1.1 Triedro intrintsekoa. Froga ezazu triedro intrintsekoa honela ere kalkula daitekeela:

et =r

|r| ,

en = − r × (r × r)

|r × (r × r)| =r2 r − (r · r) r|r2 r − (r · r) r| ,

eb =r × r

|r × r| .

Iruzkina egin emaitzari.

1.2 Higidura laua.Frogatu higidura lauaren kasuan koordenatu polarrak erabiltzen badira, haue-xek direla triedro intrintsekoaren bektore unitarioak:

et =r r + rϕ ϕ√r2 + r2ϕ2

, en = ǫr ϕ − rϕ r√r2 + r2ϕ2

, eb = ǫk,

nonǫ = ±1 hurrengo magnitudearen zeinua den:

k · (r × r) = r (rϕ+ 2rϕ) − rϕ(

r − rϕ2)

.

(Ibilbidea norantz kurbatzen den neurtzen du abiadura eta azelerazioaren arteko orientazio erla-tibo honek.)

1.3 Partikula baten ibilbidea hurrengo ekuazioak emandakoa da:

r = a cosωt i + b sinωt j + ctk.

Azter ezazu partikularen zinematika: abiadura, azelerazioaren osagaiak eta abar.

1.4 Tiro parabolikoa. Irudiko partikulau abiaduraz etahorizontalarekikoϕ angeluaz jaurti da. Zein izan behar duϕ angeluaren balioakR irispidea maximoa izateko?

1.5 Makila bat pausagunean dago hormaren kontra (etalurraren gainean, noski).(a) Plano bertikal batean labaintzen hasten bada, nolakoakizango dira puntuen ibilbideak, horma bertikalaren eta ma-kilaren arteko ukipena apurtu arte?(b) Horma eta zorua leunak badira, non apurtzen da aipa-turiko ukipena? Zein da makilaren abiadura posizio hori-zontalera iristen denean?

Oharra: Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/bektoriala/hagatxoa.ds simu-lazioa.

48 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.6 Masa aldakorra. Suziri baten motorrak denbora-unitateank masako gasak botatzen ditu etau abiadurarekin. Zein da suziriaren higidura-ekuazioa, norabide bertikalean higitzen bada? Aurkiezazu abiaduraren adierazpena eta altuera maximoa, egitura-masam1 bada eta erregaiarenam2.Suposatu ibilbidean zehar grabitate-azelerazioa konstantea dela.

1.7 Esferaerdi bateko punturik gorenean pausagunean da-goen partikula bat labaintzen hasten da. Marruskadura ar-buiagarria bada, non apurtuko da partikula eta esferaer-diaren arteko ukipena? Zein izango da abiadura aldiunehorretan?

1.8 Txalupa hasieran pausagunean badago eta marinela brankatik astiro-astiro txoparaino badoa,zein da txalupak kaiarekiko egiten duen distantzia?

1.9 Zenon-en paradoxa. «Akiles-ek dortokak baino bi aldiz arinago egiten du lasterketa. Hasie-ran haien arteko distantzia estadio batekoa bazen, Akiles-ek estadio hori egin duenerako dortokakbeste estadio erdi bat egin du. Akiles azken distantzia honen zehar ibiltzen denean, dortokak esta-dio laurden bat egiten du. Prozesu hau behin eta berriro errepikatzen denez, korrikalarien artekodistantzia, gero eta txikiagoa izan arren, ez da inoiz ere nulua izango. Beraz, Akiles-ek ez dudortoka harrapatuko».Zer uste duzu zuk honetaz?

1.10 Hidrogeno atomoaren eredu bakun (eta oker) bateanmmasako elektroiaa erradioko zirkun-ferentzia batean higitzen da pausagunean dagoen nukleoaren inguruan. Energia potentziala−k/rbada, zeintzuk dira elektroiaren energia zinetikoa eta momentu angeluarra? Zenbateko energiarenfotoia xurgatu behar du elektroiak erradio bikoitzaren orbitara joateko? Eta atomoa ionizatzeko?

1.11 Kanpoko trenbidetik barnekora igarotzean motorra pizten ez bada eta ai-rearen eragina arbuiagarria bada, nolakoa izango da azkenean irudiko trenarenabiadura: hasierakoa baino handiagoa, txikiagoa ala berdina? Zergatik?

1.12 Partikula batOX ardatzean higitzen da,F (x) = x − x3 indarraren eraginpean. Jatorrianenergia potentziala nulua bada, zein da beste puntu guztietan? Aurkitu oreka-puntuak eta ezta-baidatu euren egonkortasuna. Azter ezazu higidura energiamekanikoaren hurrengo balioetarako:E = −1/2, −1/4, −1/8, 0 eta1.

1.13 Amontons-en legeak. Adibide moduan, aztertu zer gertatzen den, gainean bloke bat duenplano baten angelua handituz doanean?

1.14 Talka elastikoaren definizioa behatzailearen menpekoa ez dela egiaztatzeko, frogatuma-sa, momentu lineala eta energia zinetikoa erreferentzia-sistema inertzial batean kontserbatzenbadira, beste sistema inertzial guztietan ere higidura-konstanteak direla.

1.7 Problemak 49

1.15 Talka superelastikoa. Irudian erakusten den posi-ziotik bi bolatxo txiki askatzen dira. Zer gertatuko da lu-rra jo ondoren, talka elastikoa bada? Eztabaidatu, bereziki,m≪M kasua.Iradokizuna: Azterketa egiteko, suposatu beheko masakzoruarekin topo egin ondoren, gorantz abiatzen den uneberean oraindik beherantz datorren goiko partikula aurki-tzen duela.

1.16 Egiaztatu zuzenean kalkulu bektorialaren bidez, irudirikerabili gabe, (1.179) eta (1.180)emaitzak.

1.17 Eman dezagunα partikulak erabiltzen direla protoiak bonbardatzeko. Egiaztatu sakaba-natze-angelu maximoaθmax ≈ 14.58◦ dela. Zer gertatzen da protoiekin elektroiak erasotzendirenean? (θmax ≈ 0.03◦ lortu zuten Rutherford-ek eta Marsden-ek 1909an egindako esperimen-tuetan.)

1.18 Pausagunean dagoen nukleo baten eraginez, protoi baten norabideak56◦ balioko desbide-rapena pairatzen du, nukleoaren atzerapen-angelua60◦ delarik. Zeintzuk dira nukleoaren masaatomikoa eta eraman duen energia zinetikoaren frakzioa?

1.29 IRUDIA Norantz higituko da? (Ikus1.19problema.)

1.19 Irudiko txirrikaren kanpo- eta barne-erradioakR etaa dira, hurrenez hurren. Barne-zilindroan biribilkaturikdagoen soka batiF indarraz tiratzen badiogu, norantzhigituko da txirrika mahai horizontalean labaindu gabe(a) eta (b) kasuetan? Nolako baldintzak bete behar dira(c) kasuan txirrika ez mugitzeko?

50 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.20 Talka elastikoa. Irudiko partikularen eta hormarenabiadurakv etaV dira, hurrenez hurren. Talka elastikoa-ren ondorengo partikularen abiadura hiru modu desberdi-netara kalkula daiteke.1. Egin kalkulua masa-zentroaren (hormaren) sisteman etaerabili Galileo-ren transformazioa laborategian neurturikoabiadura aurkitzeko.2. Suposatu hormarenM masa finitua dela, egin kalkulualaborategiko sisteman, eta aurkituM → ∞ limitea.3. Ebatzi problema zuzenean laborategiko sisteman, hor-mak egindako lana kalkulatuz.

1.21 Mahai horizontal leun batean pausagunean daudenbi partikula berdin lotzen dituen malgukia deformatu ga-be dago, irudian ikusten den bezala. Hirugarren partikulaberdin batekv abiaduraz aurrekoetako bat jotzean, lotu-rik geratzen dira biak. Nola higitzen da sistemaren masa--zentroa talka ondoren? Zein da malgukiaren deformaziomaximoa?

1.22 Newton-en sehaska. Irudiko jostailuan, zenbait bo-latxo berdin esekitzen dira bi hagatxo horizontaletatik,pausagune bertikalean ondoz ondoko bolatxoek elkar uki-tzen dutelarik. Mutur bateko bolatxoa besteetatik aldenduondoren askatzen bada, zer gertatzen da? Zergatik?

1.23 Kontsidera dezagun bi partikulez osaturiko sistema mekaniko bat. Defini dezagun masa--zentroarekin batera eta sistemaren masa osoarekin higitzen den alegiazko partikularen energiazinetikoa, masa-zentroren translazioari dagokiona:

TMZ =1

2(m1 +m2) R

2 =P2

2 (m1 +m2).

Bestalde, masa laburbilduaren higidura erlatiboari dagokiona ere kontsideratuko dugu:

Terl =1

2

m1m2

m1 +m2(r2 − r1)

2 .

Froga ezazu sistemaren energia zinetiko osoa modu honetan idatz daitekeela:

T = TMZ + Terl.

1.24 Kontsidera dezagun1.5.7atalean aztertu ditugun bi partikulen arteko talka elastikoetakobat. Froga ezazu, inolako kalkulurik egin gabe, bi partikulen arteko abiadura erlatiboa biratuegiten dela, modulua aldatu gabe.

1.7 Problemak 51

1.25m masako idunekoa hari leun batean zehar higitzen da grabitatearen eraginpean. Nolakoaizan behar du hariak, partikulak pairatzen duen ukipen-indarra nulua izateko?

1.26 Solido zurrunak aztertzean, zergatik suposatzen dugu pisuosoa masa-zentroan aplikatzendela?

1.27 Egia al da partikula-sistema baten energia potentziala partikulen energia potentzialen baturadela?

1.28 Partikula baten masam da etaa erradioko zirkunferentzia batean ari da higitzen,kr2/2potentzial harmonikoaren eraginpean. Kalkula ezazu partikularenv abiadura. Bat-bateanmv ba-lioko bulkada bat aplikatzen zaio partikulari, azken honekzuen abiaduraren eta bulkadaren artekoangeluaα izateko moduan. Erabil itzazu kontserbazio-legeak zentroaren eta partikularen artekodistantzia handiena eta txikiena kalkulatzeko. Azal itzazu ikuspuntu fisikotikα = 0 etaα = πkasu berezietan lortzen diren emaitzak.

1.29 Newton-en paradoxa. «Zaldiak orgaren gainean eragiten duen indarra orgak zaldiaren gai-nean eragindakoaren kontrakoa bada, Newton-en hirugarrenlegearen arabera, sistemak ez dujakingo aurrera ala atzera higitu behar duen. Praktikan horrelako problemarik ez dagoenez, akzioeta erreakzioaren printzipioa ez da zuzena.»Zer uste duzu zuk?

1.30 Jazarpen-kurbak. Hiru inurri higitzen ari dira mahai batean. HasieranL aldeko triange-lu aldekide baten erpinetan zeuden eta hiruren abiadura eskalarrav da. Oso arin aldatzen dutehigidura-norabidea baina ez dira oso azkarrak. Lehen inurriak bigarrena harrapatu nahi duenez,beti higitzen da zuzenean une bakoitzean azken hau dagoen punturantz. Gauza bera egiten dubigarrenak hirugarrenarekin eta azken honek lehenarekin.Erabili simetria eta koordenatu polarlauak inurri baten(r, ϕ) koordenatuen eboluzioa kalkulatzeko. Frogatu azkenean elkar harrapatu-ko dutela. Kalkulatu horretarako behar duten denbora. Ezabatu denbora distantziaren eta angelupolarraren eboluzio-ekuazioetatik ibilbidearen ekuazioa lortzeko. Nolakoa da ibilbidea?v-renmenpekoa al da? Zer gertatzen dan > 3 inurriren kasuan, poligono erregular baten erpinetatikabiatzen badira?

1.31 Tiro parabolikoa. Suziri batek lehertzean zatiak norabide guztietan abiatzen dirav0 abia-dura eskalar berdinez. Aurkitu zatien ibilbideetako altuera handieneko puntuen leku geometrikoa.

1.32 Nolako indarra egin behar dioM masako pertsonaksokari,m masako aldamioa orekan mantentzeko, sokeneta txirrikaren masak arbuiagarriak badira?

52 1 Oinarrizko kontzeptuak

1.33 Ontzi itxi bateko hondoan euli bat dago. Ontzia ore-kan dago irudiko balantzan. Zer gertatzen da eulia heganegiten hasten bada?

1.34 Zenbateko indarra neurtzen du irudiko dinamome-troak, txirrikaren masa arbuiagarria bada?