mef_notas

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Universidad Nacional de Córdoba

Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS

NOTAS de CLASEde

MÉTODO DE LOSELEMENTOS FINITOS

Fernando G. FLORES

Alejandro T. BREWER

2002

Capítulo 1

Métodos de residuos ponderadosFunciones de prueba continuas

por A. Brewer

1.1. Introducción

Para establecer una descripción cuantitativa de un problema físico es necesario, en primerlugar, plantear un sistema de ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales)válidas en cierta región (o dominio) y sujetas a determinadas condiciones iniciales y de borde.En segundo lugar, se necesita resolver el sistema planteado. Las mayores dificultades surgen enesta instancia, ya que sólo las ecuaciones más simples pueden ser resueltas en forma exacta.Las ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes son uno de los pocos casospara los cuales existen soluciones preestablecidas (aun en estos casos, la solución se complicaconsiderablemente cuando aumenta el número de variables dependientes).

Con el propósito de salvar estas dificultades y aprovechar las enormes ventajas de la compu-tadora digital, se hace necesario replantear el problema matemático dándole una forma pura-mente algebraica que involucre solamente las operaciones matemáticas básicas. Para lograr esteobjetivo, el problema continuo debe ser discretizado, entendiéndose como tal el procedimientoen el que se reemplazan los infinitos puntos en los que se necesita conocer la función incógnitapor un número finito de ellos, dando lugar a un número finito de parámetros desconocidos. Esteproceso conlleva, en general, cierto grado de aproximación.

Entre los distintos métodos utilizados para discretizar un problema nos referiremos a aquellosque emplean distintas funciones de prueba para materializar la aproximación y que se conocencomo métodos de elementos finitos.

Antes de continuar, nos detendremos en algunos problemas que servirán como base paraejemplos posteriores. Es imposible tratar en detalle el amplio rango de los problemas físicos,por lo que se han elegido algunos pocos ejemplos para introducir los principios generales de laaproximación.

3

4 Introducción al Método de Elementos Finitos

1.2. Ejemplos de ecuaciones diferenciales

1.2.1. Conducción del calor en un medio continuo

En la Fig. 1.2.1 se ha representado un problema de flujo de calor en un dominio bidimensionalΩ. Si llamamos σx y σy el calor que fluye en las direcciones x e y por unidad de longitud yunidad de tiempo, entonces la diferencia D entre el flujo que ingresa y egresa del elemento detamaño dx dy está dada por

D = dy

(σx +

∂σx∂x

dx− σx)

+ dx

(σy +

∂σy∂y

dy − σy)

(1.1)

Por conservación del calor, esta cantidad debe ser igual a la suma del calor generado en elelemento en la unidad de tiempo, F dx dy, donde F puede variar con la posición y el tiempo (t),y al calor absorbido en la unidad de tiempo debido al cambio de temperatura, −ρc (∂u/∂t) dxdy,en la que c es el calor específico, ρ es la densidad y u(x, y, t) es la distribución de temperatura.Esta condición de igualdad conduce a la siguiente ecuación diferencial

∂σx∂x

+∂σy∂y− F + ρc

∂u

∂t= 0 (1.2)

que debe satisfacerse en todo el dominio, Ω, del problema.

Figura 1.1: Problemas continuos. Conduccion del calor en 2D

Introduciendo una ley física que gobierne el flujo de calor en un medio isótropo, se puedeescribir para la componente del flujo en la dirección n

σn = −k∂u∂n

(1.3)

en la que k es una propiedad conocida como conductividad. Específicamente, la ec.(1.3) en lasdirecciones x e y conduce a las siguientes:

σx = −k∂u∂x

σy = −k∂u∂y

(1.4)

Métodos de residuos ponderados 5

Las ecuaciones (1.2) y (1.4) definen un sistema de ecuaciones diferenciales en las incógnitasσx, σy y u. Para resolver el problema deben especificarse las condiciones iniciales para el tiempot = to (especificar la distribución de la temperatura en todo el dominio Ω) y las condiciones deborde en la superficie o borde Γ del dominio. Existen dos clases de condiciones de borde. Unade ellas, aplicable al borde Γu, especifica los valores de la temperatura u(x, y, t), es decir

u− u = 0 en Γu (1.5)

Una condición de borde de este tipo se conoce como condición de borde de Dirichlet.El segundo tipo de condición de borde, aplicable al resto del borde Γσ, fija los valores del

flujo de calor en el borde en la dirección normal al mismo

σn − σ = 0 en Γσ (1.6)

o alternativamente−k∂u

∂n− σ = 0 en Γσ (1.7)

Este tipo de condición de borde se conoce como condición de borde de Neumann.El problema queda completamente definido por las ecuaciones (1.2, 1.4, 1.5 y 1.7). Una

forma alternativa se obtiene reemplazando la ec. (1.4) en la (1.2), con lo que resulta una únicaecuación diferencial de mayor orden y en una variable independiente

∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)+ F − ρc∂u

∂t= 0 (1.8)

que también requiere la especificación de las condiciones iniciales y de borde. Las variablesindependientes en la ec. (1.8) son x, y y t, correspondiendo las condiciones de contorno aldominio espacial (x, y) y las condiciones iniciales al dominio temporal (t). Si el problema entremanos puede ser considerado estacionario, (el problema es invariante con el tiempo y ∂ ( ) /∂t =0) entonces la ec. (1.8) queda

∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)+ F = 0 (1.9)

y las condiciones de contorno necesarias son sólo las (1.5) y (1.7). Este tipo de problemas(estacionarios) serán el objeto de gran parte de este curso. Si el problema es unidimensional (esdecir que las condiciones no varían en una de las direcciones) la (1.9) se reduce a una ecuacióndiferencial ordinaria que puede ser resuelta analíticamente, lo que nos permitirá comparar lassoluciones aproximadas con la exacta. La ecuación (1.9) que describe el flujo de calor, aparecetambién en otras ramas de la física:

1.2.2. Flujo de un fluido ideal irrotacional.

Si hacemos k = 1 y F = 0 en la ec. (1.9), ésta se reduce a la ecuación de Laplace:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= ∇2u = 0 (1.10)

que gobierna la distribución del potencial durante el flujo de un fluido ideal irrotacional.

1.2.3. Flujo de un fluido a través de un medio poroso.

Si F = 0 e identificando a k con la permeabilidad del medio, la ec. (1.9) describe el com-portamiento de la presión hidrostática u.


1.2.4. Pequeñas deformaciones de una membrana bajo carga lateral.

Si k = 1 y se asume que F es la relación de la carga lateral a la tensión interna en lamembrana, entonces la ec. (1.9) describe la deflección u transversal de la membrana.

1.2.5. Torsión sin restricción de alabeo de una pieza prismática.

En este caso la ecuación que debe resolverse toma la forma

∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= −2αG con ϕ = 0 en Γ (1.11)

en la que α y G representan el giro por unidad de longitud y el módulo de torsión respecti-vamente. A partir de determinar los valores de la función ϕ (x, y) en Ω, es posible obtener losvalores de la tensión de corte.

Aunque el origen y derivación de estas u otras ecuaciones que se presenten posteriormentepuedan resultar un tanto oscuras al lector no familiarizado con las mismas, esperamos que losprocedimientos matemáticos de discretización utilizados para resolverlas sean lo suficientementeclaros.

1.3. Aproximación de funcionesTrataremos de mostrar que la clave de la solución de ecuaciones diferenciales utilizando

métodos numéricos está en la capacidad para desarrollar buenas funciones de aproximación.Supongamos que queremos aproximar una función u (conocida) en una región Ω encerrada

por una curva Γ.Un primer intento de aproximación se basa en la condición de que la funciónpropuesta satisfaga exactamente los valores en el borde Γ. Si puede encontrarse una función ψ(que llamaremos solución particular) tal que ψ|Γ = u|Γ y además se propone un conjunto defunciones de prueba (φm , m = 1, 2, ...M) tales que φm|Γ = 0 para todos los m, entonces, paratodos los puntos de Ω, puede aproximarse a u mediante la siguiente

u ' u = ψ +M∑m=1

amφm (1.12)

en la que u es la aproximación de u y am (m = 1, 2, ...M) son algunos parámetros que debencalcularse de modo de lograr un buen ”ajuste”. Estas funciones de prueba se conocen tambiéncomo funciones de base o de forma y deben elegirse con la condición de que a medidaque se aumenta M se garantice una mejor aproximación en (1.12). Una condición para lograresta convergencia es que las funciones utilizadas puedan representar cualquier variación de lafunción u en el dominio Ω, lo que conduce al concepto de completitud.

1.3.1. Aproximaciones por residuos ponderados

A continuación se presenta un método general para determinar las constantes am en lasaproximaciones de la forma (1.12). Se define el error o residuo RΩ de la aproximación (1.12)como

RΩ = u− u (1.13)

De la definición se observa que RΩ será función de la posición en Ω. Al intentar disminuirel residuo sobre el dominio Ω, surgen expresiones integrales del error que ponderan a RΩ dedistintas maneras y cuya forma general es la siguienteˆ

Ω

Wl (u− u) dΩ ≡ˆ

Ω

Wl RΩ dΩ = 0 l = 1, 2, ...,M (1.14)


Wl es un conjunto de funciones de peso independientes. La condición general de convergenciaenunciada anteriormente, es decir, que u→ u cuandoM →∞ puede ser expresada alternativa-mente mediante la ec. (1.14) exigiendo que la misma se satisfaga para todo l paraM →∞. Estosólo será cierto si RΩ → 0 en todos los puntos del dominio como es lo deseable. Reemplazandola ec. (1.12) en la (1.14) resulta el siguiente sistema lineal de ecuaciones

Ka = f (1.15)

que permite determinar los parámetros am y donde

aT = (a1, a2, a3, ..., aM)

Klm =

ˆΩ

Wl φm dΩ, 1 ≤ l,m ≤M

fl =

ˆΩ

Wl (u− ψ) dΩ, 1 ≤ l ≤M (1.16)

En la práctica pueden utilizarse distintos tipos de funciones de peso y cada una dará lugar aun método de residuos ponderados en particular. A continuación se presentan algunas de lasopciones más comúnmente utilizadas en el contexto de sistemas unidimensionales.

1.3.1.1. Métodos de colocación

En este caso, las funciones de peso Wl están dadas por

Wl = δ (x− xl) (1.17)

donde δ (x− xl) es la función delta de Dirac definida por sus propiedades

δ (x− xl) = 0 para x 6= xlδ (x− xl) = ∞ para x = xl

´ x>xlx<xl

G(x) δ (x− xl) dx = G(xl)

(1.18)

Elegir estas funciones de peso equivale, ecuación (1.14) mediante, a que RΩ sea cero (u = u)en los puntos xl elegidos, es decir, que u aproxima exactamente a u en M puntos elegidos. Lamatriz K y el vector f en la ecuación (1.16) resultan

Klm = φm|x=xl, fl = [u− ψ]x=xl

(1.19)

1.3.1.2. Colocación en subdominios

En este caso las funciones de peso quedan definidas por

Wl =

1, xl ≤ x ≤ xl+1

0, x < xl, x > xl+1

(1.20)

por lo que las componentes de la matriz K y el vector f son

Klm =

ˆ xl+1

xl

φm dx

fl =

ˆ xl+1

xl

(u− ψ) dx (1.21)


1.3.1.3. El método de Galerkin

En este, el más popular de los métodos de residuos ponderados, se eligen como funciones depeso a las mismas funciones utilizadas como funciones de prueba

Wl = φl (1.22)

La matriz K y el vector f tienen la siguiente forma

Klm =

ˆΩ

φl φm dx

fl =

ˆΩ

φl (u− ψ) dx (1.23)

Se observa que una ventaja computacional de este método es que, en general, la matriz Kresulta simétrica.

1.3.1.4. Otras funciones de peso

Existen muchas otras posibilidades al momento de elegir funciones de peso. Citemos unade ellas (que conduce al método de los momentos) que utiliza al conjunto de funciones Wl =xl−1, l = 1, 2, ..,M , que obligan a que el área bajo la curva de error y sus momentos respectodel origen sean nulos.

Observemos, por último, que el método de mínimos cuadrados puede ser consideradocomo perteneciente al grupo de métodos basados en residuos ponderados. La aproximaciónestándar trata de minimizar el cuadrado de la función de error en cada punto del dominio Ωminimizando la expresión

I(a1, a2, a3, ..., aM) =1

2

ˆΩ

(u− u)2 dΩ (1.24)

es decir, que se deben satisfacer las siguientes igualdades

∂I

∂al= 0, l = 1, 2, ...M (1.25)

Cumpliéndose según la ec. (1.12) que∂u

∂al= φl (1.26)

la ec.(1.25) conduce a ˆΩ

φl (u− u) dΩ = 0 (1.27)

que en este caso resulta idéntica a la que se obtiene mediante el método de Galerkin.

1.3.2. Ejercicios:

Ejercicio N1: Dada la función

u(x) = 0,05− 1,5x+ 4x2 − 1,5x3 − 0,7x4 con 0 ≤ x ≤ 1

se desea aproximarla utilizando los siguientes conjuntos de funciones de aproximación:a) φm = xm(1− x); m = 1, 2, ...b) φm =sin(mπx); m = 1, 2, ...En ambos casos, la solución particular ψ(x) queda definida por la recta que une los extremos

de u(x).Para minimizar el error utilice:


1. El método de colocación con un punto (x = 0,5) y con dos puntos (x = 0,3 y x = 0,7).

2. El método de Galerkin con uno y dos términos.

Saque conclusiones comparado los resultados obtenidos al usar las distintas aproximaciones.Ejercicio N2: Un problema unidimensional de calor produjo los siguientes resultados:

Distancia 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Temperatura 20 30 50 65 40 30

Ajuste una curva suave a estos datos utilizando el método de Galerkin y un conjunto admi-sible de funciones de prueba.Ejercicio N3: Resolver el ejercicio 1 utilizando el método de colocación en subdominios.Utilizar como funciones de peso Wl dos subregiones ([0,0.5] y [0.5,1]) y como funciones deprueba las propuestas en 1.a).

1.4. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales

1.4.1. Condiciones de borde satisfechas por elección de las funcionesde prueba

Consideremos la ecuación general

A (u) = L (u) + p = 0 en Ω (1.28)

en la que L es un operador diferencial lineal y p es independiente de u. Por ejemplo, en elcaso de la ecuación diferencial del calor (1.9) que representa el flujo bidimensional se tiene

L (u) =∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)

p = F (1.29)

en la que k y F no dependen de u. A su vez, las condiciones de borde se pueden expresar como

B (u) =M (u) + r = 0 en Γ (1.30)

en laM es un operador lineal adecuado y r es independiente de u. Por ejemplo, las condicionesde borde de Dirichlet y Neumann asociadas con la ecuación (1.9) se escriben como

M (u) = u r = −u en Γu

M (u) = −k∂u∂n

r = −σ en Γσ

(1.31)

Siguiendo las ideas anteriores, se propone una solución de la forma (1.12)

u ' u = ψ +M∑m=1

amφm (1.32)

en la que la funciones ψ y φm son tales que

M (ψ) = −r

M (φm) = 0

en Γ (1.33)


y en consecuencia u satisface las condiciones de borde de la ecuación (2.12) para todos los valoresde am. Entonces, asumiendo que las funciones son suficientemente continuas y diferenciables entodo Ω, podemos escribir

∂u

∂x' ∂u

∂x=∂ψ

∂x+

M∑m=1

am∂φm∂x

∂2u

∂x2' ∂2u

∂x2=∂2ψ

∂x2+

M∑m=1

am∂2mφ

∂x2(1.34)

y asi sucesivamente.Las condiciones de que las funciones de prueba sean continuamente diferenciables será rela-

jada más adelante.En lo que sigue, debemos asegurar que u satisfaga solamente a la ecuación diferencial (2.12)

ya que la expansión u se construyó satisfaciendo las condiciones de borde (1.30). Sustituyendou en la ec.(2.12) resulta el siguiente residuo

RΩ = A(u) = L (u) + p = L (ψ) +M∑m=1

amL (φm) + p (1.35)

Este residuo puede minimizarse, utilizando el método de residuos ponderados, a fin de lograrque RΩ ' 0 en todo punto de Ω

ˆΩ

Wl RΩ dΩ ≡ˆ

Ω

Wl

[L (ψ) +

M∑m=1

amL (φm) + p

]dΩ = 0 (1.36)

Evaluando la integral (1.36) para l = 1, 2...M , se obtiene un sistema deM ecuaciones algebraicaslineales

Ka = f (1.37)

en la que

Klm =

ˆΩ

Wl L (φm) dΩ, 1 ≤ l,m ≤M

fl = −ˆ

Ω

Wl p dΩ−ˆ

Ω

Wl L (ψ) dΩ, 1 ≤ l ≤M (1.38)

Resuelto este sistema, se puede completar la solución u propuesta. En general, la matriz K asíobtenida será llena, sin mostrar una estructura bandeada. Las funciones de peso, como ya seviera, pueden ser elegidas de distintas formas.

1.4.1.1. Ejemplos

Ejemplo N1: Resolver la ecuación

d2u

dx2− u = 0

sujeta a las condiciones de borde

u = 0 en x = 0u = 1 en x = 1

Estas condiciones pueden expresarse en la forma de las ec.(1.30) tomandoM (u) = u y r = 0en x = 0 y r = −1 en x = 1.


Entonces, según las ec. (1.33), las funciones de prueba φm deben satisfacer las condiciones

ψ = φm = 0 en x = 0; ψ = 1, φm = 0 en x = 1

Adoptamos ψ = x y φm =sin(mπx), m = 1, 2...M de donde la solución aproximadaserá de la forma u = x+ Σamφm. Podemos utilizar los resultados obtenidos (1.38) identificandocomo L (.) = d2 (.) /dx2 − (.) y p = 0. Tomaremos M = 2 y resolveremos utilizando el métodode colocación y Galerkin. El sistema a resolver queda[

k11 k21

k21 k22

] [a1

a2

]=

[f1

f2

]donde para l,m = 1, 2,

klm =

ˆ 1

0

Wl

[1 + (mπ)2] sin(mπx) dx

fl = −ˆ 1

0

Wl x dx

Para el método de colocación (con RΩ = 0 en x = 1/3, x = 2/3) resultan

k11 = (1 + π2) sinπ

3k12 = (1 + 4π2) sin

2π

3

k21 = (1 + π2) sin2π

3k22 = (1 + 4π2) sin

4π

3

f1 = −1

3f2 = −2

3

mientras que por Galerkin

k11 =1

2(1 + π2) k12 = 0

k21 = 0 k22 =1

2(1 + 4π2)

f1 = − 1

πf2 =

1

2π

La solución de los sistemas conduce a los siguientes resultados

a1 a2

Colocación −0,05312 0,004754Galerkin −0,05857 0,007864

Ejemplo N2: La aplicación de los métodos de residuos ponderados a problemas en dos di-mensiones será ejemplificada resolviendo un problema de torsión definido por la ecuación

∇2ϕ =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2= −2αG con ϕ = 0 en Γ

donde ϕ(x, y) es una función de tensión que permite encontrar las componentes de los esfuerzosde corte en la sección mediante las siguientes expresiones

σyz = −∂ϕ∂x

, σxz =∂ϕ

∂y


α es el giro por unidad de longitud α = dθ/dz.G es el módulo de elasticidad transversal.Obtenida la solución, se puede determinar el valor del momento torsor T aplicado resol-

viendo la integral

T = 2

ˆϕ (x, y) dx dy (1.39)

Adoptemos como valor αG = 1 y como dominio, la región rectangular −3 ≤ x ≤ 3 y−2 ≤ y ≤ 2. La solución es simétrica respecto de los ejes x = 0 e y = 0, por lo que restringiremosla elección a las funciones de prueba pares que satisfacen esta condición:

φ1 = cos(πx

6

)cos(πy

4

)φ2 = cos

(3πx

6

)cos(πy

4

)

φ3 = cos(πx

6

)cos

(3πy

4

)con estas funciones, la aproximación ϕ = Σamφm, m = 1, 2, 3, automaticamente satisface lascondiciones de borde requeridas. Nuevamente, el problema puede escribirse en la forma (2.12)

haciendo L (ϕ) =∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2, y p = 2. Una vez elegidas las funciones de forma, se pueden

aplicar directamente las ecuaciones (1.38) para obtener un sistema de tres ecuaciones con lastres incógnitas ai. Si utilizamos el método de Galerkin, resultan las siguientes componentespara los elementos de la matriz K y el vector f

Klm = −ˆ 3

−3

ˆ 2

−2

φl

(∂2φm∂x2

+∂2φm∂y2

)dy dx

fl =

ˆ 3

−3

ˆ 2

−2

2 φl dy dx (1.40)

Debido a la ortogonalidad de las funciones de prueba, el sistema de ecuaciones resulta diagonaly la solución es inmediata

a1 =4608

13π4a2 = − 4608

135π4a3 = − 4608

255π4

El momento torsor se obtiene aplicando la ec. (1.39)

T = 2

ˆ 3

−3

ˆ 2

−2

ϕ dy dx = 74,26

que puede compararse con el valor exacto T = 76,4. El valor de la tensión de corte máximaresulta en |τ | = 3,02, mientras que el valor exacto es |τ | = 2,96.

De los ejemplos presentados destaquemos nuevamente que el método de Galerkin produce(generalmente) sistemas de ecuaciones simétricos, a diferencia del método de colocación queda matrices no simétricas. Cuando hay que resolver grandes sistemas este aspecto resulta desingular importancia.


1.4.1.2. Ejercicios

Ejercicio N4: a partir del Ejemplo N1a) Obtener la solución exacta de la ecuación diferencial planteada.b) Completar los detalles en la obtención de las expresiones generales de klm y fl. Verificar

los valores para el método de colocación y Galerkin. Para este último caso resulta útil recordarque

Ilm =

ˆ L

0

sin(lπx

L

)sin(mπx

L

)dx =

L

2, l = m

0 l 6= m

c) Obtener una aproximación utilizando M = 1.d) Graficar la solución exacta y las aproximaciones obtenidas para M = 1 y 2 y los dos

métodos de residuos ponderados utilizados.En una tabla comparar los valores de la solución exacta y las aproximaciones obtenidas (con

M = 2) en los puntos x = 1/3 y x = 2/3.Ejercicio N5: a partir del Ejemplo N2

a) Verificar las expresiones de klm y fl en las ec. (1.40).b) Las curvas ϕ = cte tienen un significado importante en el problema que se trata ya que

en ellas el módulo de la tensión de corte

τ =√σ2zx + σ2

zy =

√(∂ϕ

∂y

)2

+

(−∂ϕ∂x

)2

se mantiene constante y la dirección del vector resultante coincide con la tangente a dicha curva.La tangente de la función ϕ = cte se obtiene de la derivada total de ϕ respecto a x

dϕ

dx=∂ϕ

∂x+∂ϕ

∂y

dy

dx= 0

Entonces1) graficar las curvas resultante ϕ = cte que pasan por los puntos de abcisas: x = 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3

y ordenada y = 0.2) Verificar que el valor de la tangente a la curva ϕ =cte. obtenida a partir de la anterior,

coincide con la pendiente que se obtiene como relación de las componentes de la tensión decorte τ .

3) Obtenga el valor de la tensión de corte máxima haciendo pasar una parábola y encon-trando su máximo.Ejercicio N6: La distribución del momento flector M (x) en una viga cargada con w (x) =

sin(πxL

)por unidad de longitud, satisface la ecuación

d2M

dx2= w(x)

Una viga de longitud 1 está simplemente apoyada (M = 0 en x = 0 y x = 1). Calcularla distribución de momento flector, utilizando el método de Galerkin y mínimos cuadrados.Compare los resultados con la solución exacta.

Nota: para plantear el problema por mínimos cuadrados, se hace necesario minimizar

I (a1, a2, ...,M) =

ˆΩ

R2Ω dΩ =

ˆΩ

[L (ψ) +

M∑m=1

amL (φm) + p

]2

dΩ (1.41)


haciendo ∂I/∂al = 0, l = 1, 2...M , que conduce al sistemaˆ

Ω

RΩ∂RΩ

∂aldΩ = 0 l = 1, 2...M (1.42)

que se puede enmarcar dentro de los métodos de Residuos Ponderados definiendo Wl =∂RΩ

∂al=

L (φl).Ejercicio N7: Un problema de transferencia de calor unidimensional estacionario, con unafuente de calor distribuida, esta gobernado por la ecuación

d2ϕ

dx2+ ϕ+ 1 = 0

Las condiciones de borde son

ϕ = 0 en x = 0;dϕ

dx= −ϕ en x = 1

Buscar una solución utilizando el método de Galerkin y comparar los resultados con la soluciónexacta.Ejercicio N8: La ecuación que gobierna el desplazamiento transversal de una viga sobre unafundación elástica de rigidez k es

EId4u

dx4+ k u = w (x)

donde EI es la rigidez flexional de la viga (constante) y w(x) la carga distribuida por unidad delongitud. Si la viga (de longitud unitaria) está empotrada en ambos extremos (u = du/dx = 0en x = 0 y x = 1), determinar el desplazamiento utilizando los métodos de colocación yGalerkin para el caso en que w/EI = k/EI = 1. Comparar con la solución exacta.Ejercicio N9: Cierto problema bidimensional de conducción del calor (estacionario) tienelugar en un cuadrado. Las temperaturas en los lados x = ±1 varía con la ley 1 − y2; en loslados y = ±1 con la ley 1− x2. Obtener una aproximación a la distribución de temperatura enel cuadrado utilizando el método de Galerkin.Ejercicio N10: La deflección normal u de una placa elástica delgada de rigidez flexional Dsimplemente apoyada en los bordes y sujeta a carga transversal p (por unidad de superficie)uniforme, está gobernada por la ecuación diferencial

∂4u

∂x4+ 2

∂4u

∂x2∂y2+∂4u

∂y4=

p

D

en Ω y las condiciones de borde u = ∂2u/∂n2 = 0 en Γ. Utilizar el método de colocación yGalerkin para aproximar la deflección de la placa en el dominio Ω definido por |x| ≤ 3, |y| ≤ 2.

Tomar p = 1 y utilizar como funciones de forma las generadas por cos(iπx

6

)y cos

(jπy

4

).

1.4.2. Aproximación simultánea de la ecuación diferencial y de lascondiciones de borde

En esta sección se admitirá como función de prueba una aproximación que no satisfaga iden-ticamente las condiciones de borde, lo que permitirá ampliar el rango de funciones admisibles

u ' u =M∑m=1

amφm (1.43)


La expansión (1.43) no satisface alguna o ninguna de las condiciones de borde, por lo que elresiduo en el dominio

RΩ = A(u) = L (u) + p en Ω (1.44)

debe complementarse con un residuo en el borde

RΓ = B(u) =M (u) + r en Γ (1.45)

A fin de reducir los residuos en el dominio y en el borde, se propone el siguiente planteo enresiduos ponderados ˆ

Ω

Wl RΩ dΩ +

ˆΓ

WlRΓ dΓ = 0 (1.46)

en donde las funciones de peso, Wl y Wl, pueden ser elegidas en forma independiente. Resultaclaro que a medida que aumenta el número de funciones para las cuales se satisface la expresión(1.46), mejor será la aproximación de u a u, asumiendo que la ec. (1.43) se ha elegido en formaadecuada.

Sustituyendo la aproximación (1.43) en la ec. (1.46) resulta un sistema idéntico a (1.37) enel que la matriz de coeficientes y el término independiente resultan

Klm =

ˆΩ

WlL (φm) dΩ +

ˆΓ

WlM (φm) dΓ

fl = −ˆ

Ω

Wl p dΩ−ˆ

Γ

Wlr dΓ (1.47)

1.4.2.1. Ejemplos

Ejemplo N3: Resolveremos nuevamente el Ejemplo 1 pero en este caso no satisfaceremoslas condiciones de borde con las funciones de prueba:

u =M∑m=1

amφm ; φm = xm−1 m = 1, 2...

El borde Γ son dos puntos (x = 0, x = 1) y la ec.(1.46) quedaˆ 1

0

Wl RΩ dx+[WlRΓ

]x=0

+[WlRΓ

]x=1

= 0

Si tomamos Wl = φl; Wl = −φl|Γ, la anterior queda

ˆ 1

0

φl

(d2u

dx2− u)dx− [φl u]x=0 − [φl (u− 1)]x=1 = 0

Con tres términos, u = a1 + a2 x+ a3 x2, que conduce a un sistema Ka = f donde

K =

33

2−2

3

3

2

4

3

1

4

4

3

5

4

8

15

; f =

1

1

1


Notar que K es no simétrica aun cuando se utilizó el método de Galerkin. La solución es

a1 = 0,068 a2 = 0,632 a3 = 0,226

La convergencia en la aproximación a las condiciones de borde en x = 0 y x = 1 se observa enla siguiente tabla con aproximaciones usando 1,2 o 3 términos

N términos 1 2 3 exactox=0 1/3 −0,095 0,068 0x=1 1/3 0,762 0,925 1

Ejemplo N4: resolveremos nuevamente el ejemplo 2 utilizando nuevamente funciones parespero relajando la condición de que las funciones de prueba satisfagan las condiciones de borde.Elegimos el conjunto de funciones

φ1 = 4− y2 ; φ2 = x2φ1 ; φ3 = y2φ1

φ4 = x2y2φ1 ; φ5 = x4φ1 . . .

que para una aproximación en 5 términos conduce a

ϕ =(4− y2

) (a1 + a2 x+ a3 x

2 + a4 x3 + a5 x

4)

que satisface las condiciones de borde en y = ±2 pero no en x = ±3. En consecuencia, estacondición debe incorporarse al problema a través del enunciado de residuos ponderados

ˆ 3

−3

ˆ 2

−2

(∂2ϕ

∂x2+∂2ϕ

∂y2+ 2

)Wldydx+

ˆ 2

−2

[Wlϕ

]x=3

dy −ˆ 2

−2

[Wlϕ

]x=−3

dy = 0

Adoptando Wl = φl ; Wl = φl|Γ, resulta

K =

6,7 −44 43,7 80 813,6−12 −333,6 105,6 355,2 −5748,711,7 −16 159,1 389,5 −547,29,6 −163,2 433,4 1971,6 −3932,4−237,6 −3156,7 432 1473,7 −46239,4

; f =

12361648

194,4

A continuación se presentan la máxima tensión de corte τ y momento actuante T obtenidoscon 2 y 5 términos

N términos 2 5 exactoT 58,94 73,6 76,40|τ | 3,52 3,33 2,96

1.4.2.2. Ejercicios.

Ejercicio N11: graficar la solución obtenida en el ejemplo 3 conjuntamente con la exacta ylas obtenidas en el ejemplo 1.Ejercicio N12: con los datos del ejemplo 4 verifique el valor del momento T que figura enla tabla y obtenido con 5 términos.Ejercicio N13: Utilizar el método de Galerkin para resolver el siguiente ejercicio y compararcon la solución exacta

d2u

dx2+ u = 0 con

u = 1 en x = 0u = 0 en x = 1


Usar funciones de forma que satisfagan las condiciones de borde y funciones que no.Ejercicio N14:resolver el Ejercicio N6 usando una aproximación que satisfaga la condiciónen x = 0 y no en x = 1.Usar funciones de peso Wl = α φl|Γ, donde α es una constante, y com-parar los resultados obtenidos con α = ±0,1, ±10, ±100. con los obtenidos en el Ej.N6 en elque las aproximaciones satisfacían las condiciones de borde.Ejercicio N15: resolver el Ejercicio N9 utilizando una aproximación que satisfaga sola-mente las condiciones de borde en los lados x = ±1. Analice la convergencia de la aproximacióna las condiciones de borde en los lados y = ±1.Ejercicio N16: resolver el Ejercicio N10 utilizando funciones de aproximación que satisfa-gan solamente la condición de desplazamiento nulo en los bordes de la placa. Analice la mejoraen la aproximación de las condiciones de borde con el aumento de términos incluidos en laaproximación.

1.4.3. Forma débil del problema. Condiciones de borde naturales.

Los ejemplos de la sección previa han mostrado que es posible evaluar los coeficientes dela expansión (1.43), y por lo tanto obtener una solución aproximada, sin satisfacer a priori lascondiciones de borde. Sin embargo, la formulación expresada en la ec. (1.46) puede dificultarsecuando las integrales de borde, que pueden contener derivadas de u, deban evaluarse en bordescurvos o de forma complicada.

En esta sección se verá cómo evitar este tipo de cálculos y proponer un tratamiento másgeneral de las condiciones de borde.

Retomando el planteo en residuos ponderados (1.46), se observa que el primer término dela primer integral ˆ

Ω

Wl RΩ dΩ =

ˆΩ

Wl [L (u) + p] dΩ (1.48)

puede ser reescrito mediante una integración por partes como:ˆΩ

Wl L (u) dΩ =

ˆΩ

[CWl] [D (u)] dΩ +

ˆΓ

Wl E (u) dΓ (1.49)

en la que C, D,y E son operadores diferenciales lineales de un orden de diferenciación menorque el correspondiente al operador L. La expresión obtenida se conoce como forma débil delproblema de residuos ponderados.

Entonces, al reemplazar la ec.(1.49) en la (1.46) es posible adecuar el último término de la ec.(1.49) para que se cancele con parte del último término de la ec. (1.46). Esto puede realizarseeligiendo convenientemente la función de peso Wl, con lo que desaparecen las integrales deborde que involucran a u o sus derivadas. Este procedimiento es aplicable sólo con algunasde las condiciones de borde que llamaremos naturales. En general, las condiciones de bordeesenciales, que fijan los valores de la función en el borde, no se benefician de este tratamiento.

Una ventaja adicional, al hecho de que el orden de las funciones de aproximación es menor,es que el sistema de ecuaciones finales será, en general, simétrico.

Ejemplo N 5: sea la ecuación diferencial

d2u

dx2− u = 0 con

u = 0 en x = 0du

dx= 20 en x = 1

y la aproximación u = ψ +∑M

m=1 amφm elegida de tal forma que la condición en x = 0 seaautomaticamente satisfecha. Tomemos ψ = 0 y φm = xm para m = 1, 2, ...M . Entonces, laminimización del error por residuos ponderados toma la forma:ˆ 1

0

Wl

(d2u

dx2− u)dx+

[Wl

(du

dx− 20

)]x=1

= 0


integrando por partes el primer términoˆ 1

0

Wld2u

dx2dx = Wl

du

dx

∣∣∣∣10

−ˆ 1

0

dWl

dx

du

dxdx

que reemplazada en la anterior

−´ 1

0

dWl

dx

du

dxdx−

´ 1

0Wlu dx+ Wl

du

dx

∣∣∣∣x=1

−Wldu

dx

∣∣∣∣x=0

+

[Wl

(du

dx− 20

)]x=1

= 0

comoWl y Wl son funciones arbitrarias elegimos aWl de tal modo que Wl|x=0 = 0 y Wl = −Wl

en x = 1.

−ˆ 1

0

dWl

dx

du

dxdx−

ˆ 1

0

Wl u dx+ 20 Wl|x=1 = 0

que se puede escribir como Ka = f con

Klm =

ˆ 1

0

dWl

dx

dφmdx

dx+

ˆ 1

0

Wl φm dx ; fl = 20 Wl|x=1

Utilizando Galerkin y usando dos términos, resultan a1 = 11,75 y a2 = 3,4582. Los valores deu en x = 1/2 y x = 1 se contrastan con los valores exactos

N términos 2 exactox = 1/2 6,7435 6,7540x = 1 15,2161 15,2319

Las derivadas du/dx con 1 y 2 términos en x = 1 resultan

N términos 1 2 exactodudx

∣∣x=1

15 18,67 20

1.4.4. Condiciones de borde naturales para la ecuación de conduccióndel calor

Consideremos la ecuación del calor

∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)+ F = 0 (1.50)

sujeta a las condiciones de borde esenciales

u = u en Γu (1.51)

y naturales

σn = −k∂u∂n

= σ en Γσ (1.52)

y

σn = −k∂u∂n

= p (u− u∞) en Γc (1.53)

en donde el tilde significa que la variable es conocida. La condición σn = −k ∂u∂n

= σ diceque el flujo en dirección de la normal a la curva Γσ es conocido, mientras que la condición


σn = p (u− u∞) representa una condición de convección en la que p es una constante (dato)que depende del medio y de las condiciones en que tiene lugar la convección, u es el valor de latemperatura (incógnita) en el borde Γc y u∞ es la temperatura del medio próximo (dato).

Se propone una aproximación de la forma

u ' u = ψ +M∑m=1

amφm (1.54)

en la que se han elegido a las funciones ψ y φm para que se satisfagan las condiciones de bordeesenciales, es decir, ψ = u y φm = 0, (m = 1, 2...M) en Γu. El problema de residuos ponderadoscorrespondiente resulta

´ΩWl

[∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)]_dx dy +

´ΩWl F dx dy+

+´

ΓσWl

(k∂u

∂n+ σ

)dΓ +

´ΓcWl

(k∂u

∂n+ p (u− u∞)

)dΓ = 0

l = 1, 2...M

(1.55)

que para M → ∞ asegura la satisfacción de la ecuación diferencial en Ω y de las condicionesde borde naturales. La primer integral en la ec.(1.55) puede ser ”debilizada” utilizando el lemade Green que establece las siguientes identidades para las funciones α y β

ˆΩ

α∂β

∂xdx dy = −

ˆΩ

∂α

∂xβ dx dy +

ˆΓ

α β nx dΓ (1.56)

ˆΩ

α∂β

∂ydx dy = −

ˆΩ

∂α

∂yβ dx dy +

ˆΓ

α β ny dΓ (1.57)

en la que nx y ny son los cosenos directores de la normal n (saliente) al contorno cerrado Γ querodea al dominio Ω en el plano x y. La integración sobre Γ se realiza en sentido antihorario.Utilizando estas identidades y notando que

∂α

∂n=∂α

∂xnx +

∂α

∂yny (1.58)

la ec. (1.55) puede reescribirse

−ˆ

Ω

(∂Wl

∂xk∂u

∂x+∂Wl

∂yk∂u

∂y

)_dx dy +

ˆΩ

Wl F dx dy+

+

ˆΓσ+Γu+Γc

Wl

(k∂u

∂n

)dΓ +

ˆΓσ

Wl

(k∂u

∂n+ σ

)dΓ+

+

ˆΓc

Wl

(k∂u

∂n+ p (u− u∞)

)dΓ = 0 (1.59)

Limitando ahora la elección de las funciones de peso de tal modo que

Wl = 0 en Γu; Wl = −Wl en Γσ ; y Wl = −Wl en Γc (1.60)

se observa que el término que contiene al gradiente de u desaparece y la ec.(1.59) quedaˆ

Ω

(∂Wl

∂xk∂u

∂x+∂Wl

∂yk∂u

∂y

)dx dy −

ˆΩ

Wl F dx dy+


+

ˆΓσ

WlσdΓ +

ˆΓc

Wl p (u− u∞) dΓ = 0 (1.61)

La sustitución de la aproximación (1.54) en la ec. (1.61) conduce al ya conocido sistema

Ka = f (1.62)

en el que

Klm =

ˆΩ

(∂Wl

∂xk∂φm∂x

+∂Wl

∂yk∂φm∂y

)dx dy+

+

ˆΓc

Wl p φm dΓ ; l,m = 1, 2, ...M

fl =

ˆΩ

Wl F dx dy −ˆ

Ω

(∂Wl

∂xk∂ψ

∂x+∂Wl

∂yk∂ψ

∂y

)dx dy−

−ˆ

Γσ

WlσdΓ−ˆ

Γc

Wl p (ψ − u∞) dΓ ; l = 1, 2, ...M (1.63)

Es posible elegir como funciones las correspondientes a Galerkin Wl = φl ya que las condiciones(1.60) impuestas a las funciones de peso de anularse sobre Γu ya son satisfechas por las φlutilizadas en la expansión (1.54). Se observa que esta alternativa produce una matriz K queresulta simétrica ya que

Klm = Kml (1.64)

En conclusión, se ha mostrado cómo la condición de borde (1.52) es una condición natural paraeste problema ya que la formulación débil pudo eliminar la necesidad de evaluar la derivada enel contorno. Por otro lado si σ = 0, entonces esta condición no aparece en forma explícita en laformulación.

Ejemplo N 6: un material de conductividad k = 1 ocupa una región cuadrada definidaen −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1. Los lados y = ±1 se mantienen a temperatura de 0, mientras sesuministra calor en la relación cos(πy/2) por unidad de longitud en los lados x = ±1. Se pideresolver la ecuación de calor estacionario

∂

∂x

(k∂u

∂x

)+

∂

∂y

(k∂u

∂y

)+ F = 0


u = 0 en Γu definido por y = ±1

σ = − cos(πy

2

)en Γσ definido por x = ±1

Si adoptamos como funciones para aproximar la temperatura a

φ1 = 1− y2 ; φ2 = x2φ1 ; φ3 = y2φ1

φ4 = x2y2φ1 ; φ5 = x4φ1 ; ψ = 0

con lo cual u = Σamφm satisface las condiciones de borde esenciales. Si adoptamos a Wl = φl,entonces Wl también satisface la condición necesaria para utilizar la formulación anterior. Lascomponentes de la matriz K y el vector f resultan

Klm =

ˆ 1

−1

ˆ 1

−1

(∂φl∂x

∂φm∂x

+∂φl∂y

∂φm∂y

)dx dy ; l,m = 1, 2, ..,5


fl = 2

ˆ 1

−1

φl|x=1 cos(πy

2

)dy ; l = 1, 2, ..,5

de donde

K =

16

3

16

9

16

15

16

45

16

15

176

45

16

45

976

1575

2192

525

176

105

176

315

16

75

Sim.2224

4725

16

25

5168

945

; f =

64

π3

64

π3

320π2 − 3072

π5

320π2 − 3072

π5

64

π3

y los valores de ai obtenidos al resolver el sistema Ka = f son

[a]T =[

0,276308, 0,339251, −0,05875, −0,09221, 0,077615]

1.4.4.1. Ejercicios

Ejercicio N17: a partir del Ejemplo 6a) Graficar la distribución de la temperatura en la placa.b) Calcule la derivada direccional ∂u/∂n en el contorno Γσ y verifique la condición de borde.

Ejercicio N18: la ecuación que gobierna la variación de temperatura T de un fluido viscosofluyendo entre dos placas paralelas (y = 0 e y = 2H) está dada por

d2T

dy2= −4u2µ

H4k

(H − y2

)donde µ, k, y u son la viscosidad, conductividad térmica y velocidad máxima del fluido respec-tivamente. Si µ = 0,1, k = 0,08, H = 3,0 y u = 3,0, entonces

a) Utilizando el método de Galerkin calcular la distribución de la temperatura cuando unaplaca se mantiene a una temperatura T = 0, mientras en la otra no hay flujo de calor (es decir,dT/dy = 0)

b) Comparar con la solución exacta del problema.Ejercicio N19: Sea el problema de flujo de calor unidimensional de una barra de longitud10 cm y diámetro 1 cm., uno de cuyos extremos se mantiene a 50C mientras en el otro seintroduce calor en la relación de 200W/cm2. Si k = 75W/cm C y si se genera calor en laproporción de 150T W/cm2 por unidad de longitud, donde T es la temperatura,

a) Utilizando el método de Galerkin, calcule la distribución de temperaturas en la barra.b) Compare con la solución exacta y muestre la convergencia de la solución a medida que

se aumenta el número de términos en la aproximación.Ejercicio N20: resolver el Ejercicio N8 utilizando Galerkin con una formulación débil y unaaproximación que no satisfaga automáticamente las condiciones de borde naturales. Adoptarcomo condición de borde la de una viga simplemente apoyada, es decir, u = d2u/dx2 = 0 enambos extremos.Ejercicio N21: una barra larga de sección rectangular, con una conductividad térmica dek = 1,5W/m C está sujeta a las condiciones de borde que se muestran en la figura Fig. 1.1.2:


dos lados opuestos se mantienen a temperatura uniforme de 180C, un lado está aislado y elrestante posee una condición de convección con T∞ = 25C y p = 50W/m2 C. Determinar ladistribución de temperatura de la barra. Nota: en un modelo por E.F., la temperatura en losnodos 1, 2, y 3 fueron de 124,5, 34,0, y 45,4 C respectivamente.

Figura 1.2: Ejercicio 21. a) Problema b) Discretizacion por E.F.

Ejercicio N22: resolver la ecuación del calor en una región cuadrada −1 ≤ x, y ≤ 1 si loslados y = ±1 se mantienen a 100C mientras los lados x = ±1 están sujetos a la condición∂u/∂n = −1− u.Ejercicio N23: mostrar que en el problema del Ejercicio N10 la condición de borde∂2u/∂n2 = 0 en Γ es una condición de borde natural. Resolver el problema y comparar con larespuesta obtenida en el Ej. N10.

Ecuación diferencial ay′′ + b y′ + cy = 0Ecuación característica a m2 + b m + c = 0

Raíces de le ecuación característica Discriminante Solución CompletaReales y distintas m1 6= m2 b2 − 4ac > 0 y = C1 e

m1x + C2 em2x

Reales e iguales m1 = m2 b2 − 4ac = 0 y = C1 em1x + C2 e

m2x

Compl. Conjug. m1−2 = p+ i q b2 − 4ac < 0 y = epx(A cos qx+B sin qx)

Cuadro 1.1: Solución para la ecuación homogénea

Cuando f (x) está formada por la suma de varios términos, la solución particular de lasuma es las soluciones particulares correspondientes a cada uno de estos términos

Siempre que un término en cualquiera de las soluciones particulares enumeradas estécontenida también en la solución de la homogénea, hay que multiplicar todos los términosde esa solución particular por la menor potencia entera positiva de x que permita eliminarla duplicación.


Ecuación diferencial ay′′ + b y′ + cy = f(x)f(x) forma de la integral particular

1. α A2. αxn A0x

n + A1xn−1 + ...+ An−1x

1 + An(n entero positivo)

3. αerx A erx

(r real o complejo)4. α cos(kx) A cos(kx) +B sin(kx)5. α sin(kx)6. α xn erx cos(kx) (A0x

n + ...+ An−1x1 + An) erx cos(kx)+

7. α xn erx sin(kx) (B0xn + ...+Bn−1x

1 +Bn) erx sin(kx)

Cuadro 1.2: Solución para la ecuación no homogénea

Capítulo 2

El método de elementos finitosFunciones de prueba por tramos

por A. Brewer

2.1. IntroducciónEl método de Galerkin es una poderosa herramienta para proponer soluciones aproxima-

das a problemas de contorno, pero presenta una seria limitación: el método no establece unprocedimiento sistemático para la construcción de las funciones de prueba φj necesarias pa-ra determinar la forma de las aproximaciones u. Salvo los requerimientos de independencia,continuidad y derivabilidad, estas funciones son arbitrarias por lo que el analista debe enfren-tar el problema de elegir entre distintas posibilidades alguna de las cuales pueden resultar notan claras. Lo que si está claro es que la calidad de la solución dependerá fuertemente de laspropiedades de las funciones elegidas. La situación empeora en problemas de dos (2D) y tresdimensiones (3D) en los que las φj deben diseñarse para satisfacer las condiciones de borde encontornos que pueden presentar geometrías complicadas. Por otro lado, una mala elección delas funciones φj puede producir matrices K mal condicionadas que hagan dificil o imposible lasolución del problema Ku = f dentro de los límites de la precisión esperada.

La alternativa es dividir el dominio Ω en subdominios o elementos Ωe no superpuestosy entonces construir una aproximación u por tramos sobre cada subdominio; e inclusive, sepueden utilizar distintas expresiones en cada uno de los subdominios en que se ha particionadoΩ. En este caso, las integrales definidas sobre todo el dominio pueden obtenerse como la sumade las contribuciones de cada uno de los elementos

ˆΩ

WiRΩ_dΩ =E∑e=1

ˆΩeWiRΩ_dΩ (2.1)

ˆΓ

WiRΓ_dΓ =E∑e=1

ˆΓeWiRΓ_dΓ (2.2)

asumiendo, claro está, queE∑e=1

Ωe = Ω,E∑e=1

Γe = Γ (2.3)

25


En estas expresiones E representa el número de subdivisiones de la región Ω y Γe la partedel contorno de Ωe que se solapa con Γ. De esta manera, pueden modelarse dominios cuyoscontornos sean más o menos complicados.

La definición de funciones de prueba por tramos puede significar la aparición de disconti-nuidades en la función o sus derivadas. Algún grado de discontinuidad puede ser admitido, peroesto condicionará el tipo de formulación utilizada.

Por último notemos que si la evaluación de las integrales en las ec.(2.1) y (2.2) se realizasobre los subdominios resultará muy ventajoso definir las funciones de forma utilizando unsoporte compacto de tal modo que su valor sea nulo en todas partes a excepción del elementoen cuestión y de los adyacentes al mismo.

2.2. Aproximación mediante funciones de forma de soportecompacto

En la Fig.2.2 se muestra la aproximación de una función arbitraria en un dominio unidimen-sional Ω = [0, L]. La división de Ω en E elementos (E = M − 1) se realiza eligiendo puntos xi(xi = 1, 2, ...M ) en Ω, con x1 = 0 y xM = L y definiendo el elemento Ωe como el intervaloxe ≤ x ≤ xe+1.

En la Fig.2.2.a se muestra como puede aproximarse una función u utilizando el método decolocación mediante el cual se construye la aproximación u que toma valores constantes encada elemento. La función obtenida no es continua en los puntos de conexión de los elementos(xi; i = 2, ...M − 1). Se han elegido como puntos de colocación los puntos medios de cadaelemento; estos puntos reciben el nombre de nudos o nodos. En el método de elementosfinitos se numeran los elementos y los nudos. En este caso la numeración es bastante obvianumerándose como nudo j el correspondiente al elemento j. La función u puede escribirse enforma estándar como

u ' u = ψ +M−1∑j=1

aj φj en Ω (2.4)

que particularizada al presente caso resulta en

u ' u =M−1∑j=1

ujφj en Ω (2.5)

en la que se ha omitido la función ψ.; φj representa una función de forma global discontinuadefinida para tomar el valor 1 sobre el elemento j y cero sobre los otros elementos; y uj es elvalor que toma la función u en el nodo j. Desde un punto de vista elemental, la aproximaciónresulta

u ' u = ueNe = ue en el elemento e (2.6)

La aproximación u no coincidirá en los extremos del dominio (x = 0, x = L) con los valoresque toma la función original u en los mismos, sin embargo, estos valores pueden aproximarsetanto como se quiera reduciendo la longitud de los elementos para x = 0 y x = L.

En la Fig.2.2.b se ha utilizado la misma subdivisión del dominio pero se mejoró la discre-tización adoptando una variación lineal en cada elemento. En este caso los nudos se definencoincidentes con los extremos del elemento y se asocia una función de forma global φi a cadanudo i con la propiedad de que φi es no nula en los elementos conectados por este nudo, vale1 sobre el nudo i y cero en los otros nudos. Entonces, desde un punto de vista global se puedeescribir

u ' u =M∑j=1

ujφj en Ω (2.7)

Funciones de prueba por tramos 27

Figura 2.1: Aproximación de una función mediante: a) elementos constantes y b) elementos devariación lineal

con

φj

x− xj−1

hjpara xj−1 ≤ x ≤ xj

xj+1 − xhj+1

para xj ≤ x ≤ xj+1

0 para x ≤ xj−1 y x ≥ xj+1

(2.8)

en la que uj es valor que toma u en el nodo j. En consecuencia, la aproximación (2.7) auto-máticamente coincide en los extremos de Ω con los valores de u y no es necesario utilizar una


función ψ. Si la aproximación se considera desde el elemento entonces

u ' u = uiNei + ujN

ej en el elemento e (2.9)

en la que ui y uj son los valores de u en los nodos i y j y N ei y N e

j las funciones de interpolaciónlineales definidas como:

N ei =

he − (x− xi)he

N ej =

x− xihe

(2.10)

en la que he = xj − xi.Las dos aproximaciones presentadas permiten aproximar la función propuesta tanto como

se quiera en la medida en que se aumente el número de subdivisiones del dominio.Finalmente, los coeficientes de la aproximación se obtienen minimizando el residuo,

ˆ L

0

φi (u− u) dx = 0 (2.11)

en donde se ha usado como función de peso las mismas funciones de prueba que las usadas en laaproximación (2.7). Los pasos restantes son idénticos a los ya utilizados en el capítulo anterior.

2.3. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales– condiciones de continuidad

Las funciones de aproximación definidas en la sección anterior, pueden ser utilizadas en lasolución de ecuaciones diferenciales. Recordemos la forma general de una ecuación diferencialen una dimensión

A (u) = L (u) + p = 0 en Ω (2.12)


B (u) =M (u) + r = 0 en Γ (2.13)

de la que podemos obtener una forma discreta a partir del método de residuos ponderadosˆ

Ω

Wi RΩ dΩ +

ˆΓ

WiRΓ dΓ = 0 (2.14)

conRΩ = L (u) + p (2.15)

RΓ =M (u) + r (2.16)

En la sección anterior se aproximó, una función utilizando funciones discontinuas, y funcionescontinuas con derivadas discontinuas. La pregunta es: ¿pueden utilizarse estas funciones habidacuenta que la ecuación (2.14) contiene derivadas de las funciones de aproximación? Para con-testar esta pregunta, consideremos el caso de tres tipos de funciones de aproximación φ cercadel punto A de unión de dos elementos unidimensionales. La primera función es discontinuaen el punto A, mientras que la segunda muestra una discontinuidad en la derivada primera,en el mismo punto, y la tercera una discontinuidad en la derivada segunda. En consecuencia,las funciones ilustradas darán valores infinitos para la primera, segunda, y tercera derivadarespectivamente en los puntos donde dicha discontinuidad ocurre.


Si vamos a evaluar la integral de residuos ponderados (2.14), es deseable que dichos valoresinfinitos sean evitados, ya que de otra forma la integral puede quedar indeterminada. Entonces,si aparecen derivadas de orden s en las integrales (2.14) (es decir, que los operadores L oMcontienen dichas derivadas), debemos asegurar que las derivadas de orden s− 1 sean continuasen las funciones de prueba φj utilizadas en la aproximación. En otras palabras, diremos que esnecesario que las funciones utilizadas muestren continuidad Cs−1.

Por ejemplo, si estamos aproximando una función y no hay operadores diferenciales entoncess = 0 y podremos utilizar las funciones de forma de la Fig.2.3.a. Si en cambio aparecen derivadasprimeras en los operadores L oM, entonces s = 1, y necesitaremos continuidad C0 como lamostrada en la Fig.2.3.b. Si aparecen derivadas segundas, entonces s = 2, y será necesariacontinuidad C1, como se muestra en 2.3.c.

Las condiciones de continuidad impuestas a las funciones de prueba son aplicables tambiéna las funciones de peso Wi. Por lo que en el caso de la ec. (2.14), podrán tomarse como válidasfunciones de peso discontinuas con discontinuidades finitas. En rigor, hemos utilizado funcionesde Dirac cuando definimos la aproximación por colocación. En este caso se ha violado claramentela regla recién enunciada, pero esta excepción es permisible en la medida que la integral delresiduo adopte un valor finito. En general, este tipo de funciones de peso especiales no se utilizay las reglas expuestas son suficientes.

2.4. Cálculos básicos en el método de elementos finitos

A fin de poder exponer claramente los aspectos más relevantes del método de elementosfinitos, analizaremos un ejemplo sencillo. Sea resolver la siguiente ecuación diferencial, cuyaformulación fuerte es encontrar la función u que satisfaga la siguiente ecuación diferencial ycondiciones de borde:

−d2u(x)

dx2+ u(x) = f(x) para 0 ≤ x ≤ 1

y f(x) = x, u(0) = 0, u(1) = 0

(2.17)

La minimización del residuo de esta ecuación conduce a la expresiónˆ 1

0

Wi

(−d

2u

dx2+ u− f(x)

)dx = 0 (2.18)

cuya forma débil resulta de la integración por partes del primer término

ˆ 1

0

dWi

dx

du

dxdx− Wi

du

dx

∣∣∣∣10

+

ˆ 1

0

Wi u dx =

ˆ 1

0

Wi f(x) dx (2.19)

Finalmente, si las funciones de peso se eligen de tal forma que Wi(0) = Wi(1) = 0, entoncesresulta ˆ 1

0

(dWi

dx

du

dx+Wi u

)dx =

ˆ 1

0

Wi f(x) dx (2.20)

En la Fig.2.4 se ha dividido el dominio en 4 elementos denotados Ωi = 1, 2, 3, 4. Tomemoscomo aproximación para la función incógnita la definida en la ec. (2.7)

u =3∑j=1

ujφj (2.21)


Figura 2.2: Comportamiento de tres funciones de forma y sus derivadas en la unión A de doselementos unidimensionales

y para la función de peso la siguiente

Wi = φi i = 1, 2, 3 (2.22)

en las que uj son los valores de u en los nudos y las φj las funciones de interpolación globalesdefinidas en ec. (2.8) y representadas en la Fig.2.4.1. Reemplazando las ec. (2.21) y (2.22) enla (2.20) se obtiene

ˆ 1

0

φi,x( 3∑j=1

ujφj

),x

+ φi

(3∑j=1

ujφj

) dx =

ˆ 1

0

φi f(x) dx ; i = 1, 2, 3 (2.23)

donde (.),x = d (.) /dx. Esta expresión se puede escribir como

3∑j=1

[ˆ 1

0

(φi,xφj,x + φiφj) dx

]uj =

ˆ 1

0

φi f(x) dx (2.24)


o en forma compacta3∑j=1

Kij uj = Fi ; i = 1, 2, 3 (2.25)

con

Kij =

ˆ 1

0

(φi,x φj,x + φi φj) dx (2.26)

Fi =

ˆ 1

0

f(x) φi dx (2.27)

Figura 2.3: Discretización en 4 elementos

2.4.1. Propiedades de la matriz K y del vector F

Examinemos algunas de las propiedades de la matriz K y del vector F.a) Aditividad de la matriz K: esta es una de las propiedades más importantes en el

método de elementos finitos. Esta propiedad se deriva de la propiedad que poseen las integralesrespecto a su dominio, es decir

Kij =

ˆ 1

0

(φi,xφj,x + φiφj) dx =

=

ˆ h

0

(φi,xφj,x + φiφj) dx+

ˆ 2h

h


+

ˆ 3h

2h


ˆ 1

3h


=4∑e=1

ˆΩe

(φi,xφj,x + φiφj) dx =4∑e=1

Keij

(2.28)

en la queˆ

Ωe

denota integración sobre el elemento Ωe. Pero en el interior del elemento (ver

ecs.2.8 y 2.10) se satisfacen las igualdades φi = Ni y φj = Nj. Entonces, podemos escribir

Keij =

ˆΩe


ˆΩe

(Ni,xNj,x +NiNj) dx (2.29)

representa las componentes de la matriz de “rigidez” elemental para el elemento Ωe, y enconsecuencia

Kij =4∑e=1

Keij (2.30)


En forma análoga,

Fi =4∑e=1

F ei , F e

i =

ˆΩe

f(x) Ni dx (2.31)

en donde F ei son las componentes del vector de “cargas” para el elemento Ωe y Ni son las

funciones elementales definidas en (2.10). Debido a esta propiedad, es posible generar K yF calculando solamente las matrices Ke y Fe para un elemento típico Ωe y sumar luego lascontribuciones según las ec.(2.30) y (2.31). Este procedimiento se conoce como ensamble yserá elaborado más adelante.

b) La matriz K es bandeada: para el ejemplo planteado, y las funciones de interpolaciónde la fig. 2.4.1 resulta que φi y φj 6= 0 cuando i = j o cuando i 6= j con la condición de que loselementos compartan un nudo. Lo mismo sucede con las derivadas, por lo que cuando i, j nosatisfacen las condiciones anteriores resulta Kij = 0, lo que origina una matriz que presentaráelementos no nulos en y próximos a la diagonal, zona esta que se conoce como banda de lamatriz. Fuera de la banda los elementos son nulos. En general, el ancho de banda dependede la numeración de los nodos por lo debe prestarse especial atención a este aspecto.

Figura 2.4: Funciones de base y sus derivadas

c) Simetría de K: Intercambiando los índices i, j en las expresiones integrales que definenla matriz de rigidez (2.29) , se obtiene el mismo resultado por lo que Kij = Kji, es decir que lamatriz de rigidez es simétrica.

Las propiedades descriptas anteriormente son importantes a la hora definir la estrategia decálculo y programación del método.

2.4.2. Descripción global y local del elemento.

Retomemos el problema de calcular la contribución de cada elemento a: la matriz de rigidezK global del sistema (2.30) y al vector de cargas F (2.31).

A partir de la propiedad de aditividad, se observa que los cálculos son esencialmente repe-titivos para cada elemento, por lo que sólo necesitamos realizarlos sobre un elemento típico.


A tal fin, es conveniente introducir un punto de vista local del elemento, ver fig. 2.5 . Pararesaltar las diferencias con el punto de vista global, enunciemos las propiedades del elementodesde ambos enfoques:

a) Descripción global del elemento

1. Dominio [xi, xj]

2. Nudos i, j3. Grados de libertad ui, uj4. Funciones de forma N e

i (x), N ej (x) definidas en las ec. (2.10)

5. Función de interpolación:

ue(x) = N ei (x) ui +N e

j (x) uj

en donde ui, uj son los valores de la función u en los nudos i y j.

Las cantidades anteriores están en función de parámetros globales, y las cantidades correspon-dientes en coordenadas locales se escriben

b) Descripción local del elemento

1. Dominio [ξ1, ξ2]

2. Nudos 1, 23. Grados de libertad u1, u24. Funciones de forma N e

1 (ξ), N e2 (ξ)

5. Función de interpolación: ue(ξ) = N e1 (ξ) u1 + N e

2 (ξ) u2; en donde u1, u2 son losvalores de la función u en los nudos 1 y 2.

Notar que en la descripción local, los nudos se empiezan a numerar desde 1.Para relacionar los dominios local y global, utilizaremos una transformación afín definida

como:ξ : [xi, xj]→ [ξ1, ξ2] tal que ξ(xi) = ξ1 y ξ(xj) = ξ2 (2.32)

Es corriente adoptar ξ1 = −1 y ξ2 = 1, y entonces ξ puede escribirse como

ξ(x) = c1 + c2 x (2.33)

en la que c1 y c2 se determinan al resolver el siguiente sistema

c1 + c2 xi = −1c1 + c2 xj = 1

(2.34)

que conduce a

ξ(x) =2 x− xi − xj

he(2.35)

en la que he = xj − xi. La función inversa de ξ(x) se obtiene resolviendo x de la anterior

x(ξ) =he ξ + xi + xj

2(2.36)


Figura 2.5: Descripción local y global del elemento

Utilizando esta expresión es posible definir las funciones de forma locales a partir de las cor-respondientes globales. Reemplazando la ec. (2.36) en las ec. (2.10) se obtienen

N e1 (ξ) =

1

2(1− ξ) N e

2 (ξ) =1

2(1 + ξ) (2.37)

que permiten completar el punto de vista local del elemento. Notemos que, usando estas fun-ciones de interpolación, la ec. (2.36) se puede reescribir como

x(ξ) = N e1 (ξ) xi +N e

2 (ξ) xj (2.38)

lo que muestra que la interpolación utilizada en el dominio es idéntica a la utilizada en lainterpolación de la función u.

Calculemos para uso posterior las siguientes derivadas

N e1,ξ(ξ) = −1

2; N e

2,ξ(ξ) =1

2(2.39)

x,ξ(ξ) =he

2; ξ,x(x) =

2

he= [x,ξ(ξ)]

−1 (2.40)


2.4.3. Cálculo explícito de la matriz de rigidez y del vector de fuerzaselementales

Antes de entrar de lleno en el cálculo recordemos algunos resultados preliminaresFórmula para el cambio de variables:

Sea una función integrable f : [x1, x2] → R y sea x : [ξ1, ξ2] → [x1, x2] una funcióncontinuamente diferenciable con x(ξ1) = x1 y x(ξ2) = x2. Entoncesˆ x2

x1

f(x) dx =

ˆ ξ2

ξ1

f(x(ξ)) x,ξ(ξ) dξ (2.41)

Regla de la cadena:Sean f y x las mismas funciones anteriores y asumamos que f es diferenciable. Entones

d

dξf(x(ξ)) = f,x(x(ξ)) x,ξ(ξ) (2.42)

2.4.3.1. Cálculo de la matriz de rigidez elemental

A partir de estos resultados podemos resolver la matriz, ec. (2.29), del elemento como sigue

Keij =

ˆΩe

[Ni,x(x)Nj,x(x) +Ni(x)Nj(x)] dx

=

ˆ 1

−1

[Ni,x(x(ξ))Nj,x(x(ξ)) +Ni(x(ξ)) Nj(x(ξ))]x,ξ(ξ)dξ

=

ˆ 1

−1

Ni,ξ(ξ) Nj,ξ(ξ) [x,ξ(ξ)]−1 dξ +

ˆ 1

−1

Ni(ξ) Nj(ξ) x,ξ(ξ) dξ

(2.43)

obtenida por un cambio de variables, con x(ξ) definida en la ec. (2.36), y el uso de la regla dela cadena (2.42). Resolviendo estas integrales resulta la siguiente matriz elemental

Ke =

1

he+he

3− 1

he+he

6

− 1

he+he

6

1

he+he

3

(2.44)

2.4.3.2. Cálculo del vector de cargas

Para nuestro ejemplo el vector de cargas esta dado por la ec. (2.31)

F ei =

ˆΩe

f(x) Ni(x) dx (2.45)

en la que para nuestro caso f(x) = x. Antes de resolver esta integral es conveniente aproximarla función f(x) escribiéndola globalmente como

f(x) =4∑e=1

f e(x) =4∑e=1

[Ni(x) fi +Nj(x) fj] (2.46)

en la que fi = f(xi) y fj = f(xj). Llevando la ec. (2.46) a la ec. (2.45) y haciendo el cambio devariables globales a locales resulta

F ei =

ˆ 1

−1

Ni(ξ) [Ni(ξ) fi +Nj(ξ) fj] x,ξ(ξ) dξ


F ej =

ˆ 1

−1

Nj(ξ) [Ni(ξ) fi +Nj(ξ) fj] x,ξ(ξ) dξ

que integradas conducen al siguiente vector de fuerzas elemental

Fe =

F ei

F ej

=he

6

2 fi + fj

fi + 2 fj

(2.47)

Tomando h = 1/4, y utilizando los resultados obtenidos resultan las siguientes matrices ele-mentales:Elemento Ω1

K1 =[K1ij

]=

1

24

98 0 0

0 0 0

0 0 0

; F1 =F 1i

=

1

96

2

0

0

Elemento Ω2

K2 =[K2ij

]=

1

24

98 −95 0

−95 98 0

0 0 0

; F2 =F 2i

=

1

96

4

5

0

Elemento Ω3

K3 =[K3ij

]=

1

24

0 0 0

0 98 −95

0 −95 98

; F3 =F 3i

=

1

96

0

7

8

Elemento Ω4

K4 =[K4ij

]=

1

24

0 0 0

0 0 0

0 0 98

; F4 =F 4i

=

1

96

0

0

10

y de acuerdo a las ec. (2.30) y (2.31) resulta

K = [Kij] = K1 + K2 + K3 + K4 =1

24

196 −95 0

−95 196 −95

0 −95 196

F = Fi = F1 + F2 + F3 + F4 =1

96

6

12

18


que conducen, luego de resolver el sistema, a los siguientes valores nodales

u = [0,0353, 0,0569, 0,0505]T

que permite escribir la solución aproximada como

u = 0,0353 φ1 + 0,0569 φ2 + 0,0505 φ3 (2.48)

Ejercicio N24: Calcular el vector de cargas F y la matriz de rigidez K para un modelo deelementos finitos de 4 elementos igualmente espaciados con funciones de base lineales para elsiguiente problema

−u,xx = 1 , con 0 ≤ x ≤ 1

u(0) = u(1) = 0

Graficar la solución exacta y la aproximada.

2.5. Estimación del error en el MEF

La necesidad de estimar el error aparece en forma natural, ya que de partida estamos ob-teniendo soluciones aproximadas. Además, debemos establecer la forma en que dicho error severá afectado a medida que el número de elementos se incremente. Se define el error, e (x), deuna aproximación como la diferencia entre el valor exacto y el aproximado

e(x) = u (x)− u (x) (2.49)

Es obvio que el verdadero error no podrá ser evaluado si no se conoce la solución exacta; sinembargo, aun cuando u (x) sea desconocido, es posible construir estimaciones del error ydeterminar si éste decrece a medida que aumenta el número de elementos. Tener informaciónal respecto es de gran utilidad cuando se debe elegir entre varios elementos o cuando habiendoelegido elemento, se desea conocer la influencia que tendrá en la solución el duplicar o triplicarsu número. De hecho, un análisis del error puede mostrar la incapacidad de algún elementopara resolver el problema entre manos.

De la definición de error se observa que éste es una función, y en consecuencia, si vamosa hablar de la exactitud de nuestra solución, debemos ser capaces de cuantificar o medir eltamaño de funciones. Una medida universalmente aceptada como la magnitud de una funcióng, es un número positivo que se conoce como norma de g y se escribe ‖g‖. Si g ≡ 0, entonces‖g‖ = 0; recíprocamente, si ‖g‖ = 0, entonces se interpreta que g es cero. De esto surge que parapoder estimar el error debemos elegir la norma con la que mediremos nuestra aproximación.

Las normas comúnmente utilizadas en conjunción con el MEF son tres: la norma basada enla energía ‖e‖E, la norma media cuadrática ‖e‖0 y la norma infinita o máxima ‖e‖∞.

a) La definición de la norma energética ‖e‖E está asociada a la forma que toma la energíaelástica del problema entre manos. Tomemos por ejemplo el problema definido en la secciónanterior mediante la (2.17) y cuya solución esta dada en la expresión (2.48). Esta solución sepuede escribir en forma compacta como

u (x) = φ u = uTφT

en donde φ = [φ1, φ2, φ3] y u = [u1, u2, u3]T contienen las funciones de forma y los desplaza-


mientos nodales respectivamente. Mostremos que la energía de deformación aproximada es

U =1

2

´ 1

0

[(u,x)

2 + u2]dx

=1

2

´ 1

0

[uTφT

,x φ,xu + uTφT φ u]dx

=1

2uT´ 1

0

[φT,x φ,x + φT φ

]dx

u

=1

2uTK u

Entonces, se define a la norma energética del error como la raíz cuadrada del doble de la energíade deformación producida por el error

‖e‖E =

ˆ 1

0

[(e,x)

2 + e2]dx

1/2

(2.50)

Esta norma es una de las formas mas naturales y significativas de cuantificar el error. Si laaproximación adoptada muestra un buen comportamiento respecto de esta norma a medidaque se refina la malla, podemos, en general, asegurar que tenemos un método de aproximaciónaceptable.

b) La norma media cuadrática (L2 o “L-dos”) mide la raíz media cuadrática del errorde una función en su dominio y se define por

‖e‖0 =

(ˆ 1

0

e2 dx

)1/2

(2.51)

c) La norma infinita o máxima mide el máximo valor absoluto de la función en sudominio

‖e‖∞ = max |e (x)| 0 ≤ x ≤ 1 (2.52)

2.5.1. Estimaciones asintóticas del error

En las aplicaciones del MEF es común buscar “estimaciones asintóticas” de las normas reciéndefinidas, es decir, estimaciones de la forma

‖e‖ ≤ Chp (2.53)

en las que h es la longitud de los elementos utilizados para discretizar el dominio, C es unaconstante que depende de los datos del problema y p es un entero que depende de las funciones debase adoptadas en los elementos. El exponente p es una medida de la velocidad de convergenciadel método respecto a una norma en particular. Es posible que existan situaciones en las quese obtiene convergencia respecto a una norma y no respecto a otra; de hecho la noción deconvergencia es, sin dudas, dependiente de la norma adoptada.

Las estimaciones del error que como la (2.53) no requieren información de la solución,se conocen como estimaciones a priori. En contraposición, las estimaciones que necesitan dela solución para ser evaluadas, se conocen como estimaciones a posteriori. Para el problemaplanteado, se puede demostrar que las estimaciones a priori, para funciones de interpolaciónlineales, son

‖e‖E ≤ C1h

‖e‖0 ≤ C2h2

‖e‖∞ ≤ C3h2

(2.54)


Existen otras medidas del error que pueden ser de interés, como por ejemplo

‖e,x‖∞ = max∣∣∣e (x),x

∣∣∣ 0 ≤ x ≤ 1

o‖e,xx‖∞ , ‖e,x‖0 o ‖e,xx‖0

Inclusive, se puede evaluar el error puntualmente calculando |e (ξ)|, donde ξ es un punto deldominio de la solución. Digamos que muchos elementos presentan puntos de superconvergencia,en los que se observa altas velocidades de convergencia (y en consecuencia elevada exactitud).De todos modos, las normas (2.54) son las más útiles cuando se utiliza el MEF.

Volviendo a la expresión (2.53) destaquemos que una ecuación de la forma

E (h) = C hp

es una recta cuando se grafica en coordenadas log-log esto es

logE = p log h+ logC

de donde si graficamos log ‖e‖ versus logh obtendremos la velocidad de convergencia para lanorma ‖_‖ ya que ésta coincide con la pendiente de la recta. En la Fig.2.5.1 se muestra elcomportamiento del error energético y medio cuadrático para el ejemplo considerado.

Figura 2.6: Curvas del error utilizando ejes log-log

Ejercicio N25: Calcular la solución exacta y la solución con dos, cuatro y seis elementos parael problema de contorno definido por

−u,xx = 1− x2 ; 0 ≤ x ≤ 1

u (0) = 0 ; u (1) = 0


a) Calcular las normas del error ‖e‖E y ‖e‖0 para cada malla y graficar log ‖e‖ vs log h. Indiquelas velocidades de convergencia para cada norma.b) Calcule el error puntual en x = 1/8 para cada malla. Cual es la velocidad de convergenciaen ese punto?c) Idem para el punto de coordenada x = 1/2. Que encuentra de particular en este punto?

Nota: este resultado no es habitual y no tipifica a las aproximaciones por EF.

Capítulo 3

Formulación del problema de segundoorden con dos condiciones de contorno

por A. Brewer

3.1. Introducción

Trataremos de establecer algunas resultados generales del MEF utilizando un problemaunidimensional caracterizado por la siguiente ecuación diferencial

a0(x)d2u(x)

dx2+ a1(x)

du(x)

dx+ a2(x) u(x) = f(x) (3.1)

en la que u(x) es la función incógnita, a0, a1 y a2 son coeficientes que, como la función f ,dependen de la variable utilizada para describir el dominio. La ec. (3.1) es lineal debido aque la incógnita u(x) y sus derivadas aparecen linealmente en la ecuación. Como consecuenciainmediata de la linealidad, se puede aplicar el principio de superposición: si u = u1 es soluciónde la ec. (3.1) para determinada función f = f1 y u = u2 es la solución obtenida para f = f2

entonces para constantes arbitrarias α y β resulta que α u1 + β u2 es la solución del problemacuando f = α f1+β f2. La ecuación se dice de segundo orden por el máximo orden de derivaciónde la incógnita presente.

Trataremos en seguida el caso en el cual la ecuación diferencial (3.1) se satisface solamenteen los subdominios del problema y determinaremos las condiciones que deben satisfacerse enlas interfaces de estos subdominos.

Es sabido que la integración de la ec. (3.1) en un subintervalo conducirá a una solucióngeneral que contiene dos constantes arbitrarias. Una especificación completa del problema,deberá entonces incluir, además de la ecuación diferencial, información adicional que permitadeterminar estas dos constantes. Esta información es lo que se conoce como condiciones deborde en el intervalo. En estas notas, se tratarán problemas de contorno elípticos en los que elcoeficiente a0(x) nunca cambia de signo o se anula en el dominio y además, las condiciones deborde se fijan una en cada extremo del intervalo e involucran solamente los valores de la funcióny/o sus derivadas primeras. En consecuencia, las condiciones de borde más generales asociadascon la ec. (3.1), que satisfacen las imposiciones anteriores y que preservan la linealidad del

41


problema, pueden escribirse como

α0du(0)

dx+ β0 u(0) = γ0

αLdu(L)

dx+ βL u(L) = γL (3.2)

en la que α0, β0, γ0, αL, βL, y γL son constantes.

3.2. Origen físico del problemaEn la primera parte, se muestra cómo debe formularse un problema que posee algunas

discontinuidades y posteriormente se presenta la formulación débil, que incluirá en forma naturallas discontinuidades presentes.

En general, la ec. (3.1) tiene su origen en la descripción matemática de fenómenos físicosque no dependen del tiempo. A continuación haremos una descripción en abstracto de dichosproblemas (es decir, sin una referencia específica a ninguno de ellos). Mostraremos cómo seobtienen la ecuación diferencial y las demás condiciones necesarias para la definición del pro-blema a partir de imponer una condición de “suavidad” sobre la solución que se busca, y deun principio físico al que nos referiremos como ” ley de conservación”. Estos resultados seránde aplicación a un amplio rango de problemas prácticos que serán identificados asociando loscoeficientes y funciones de la ec. (3.1) con las variables físicas apropiadas al problema entremanos. Muchos problemas se formulan utilizando dos variables: las variable de estado u yel flujo σ. Estas variables se relacionan entre si mediante una ecuación constitutiva, quecontiene una descripción del material en el cual se desarrolla el proceso en estudio.

La ecuación constitutiva que describe el comportamiento para materiales lineales es de laforma

σ(x) = −k(x)du(x)

dx(3.3)

en la que k(x) se conoce como módulo del material y es un dato del problema. Asumiremosque k(x) es siempre positivo o negativo.

La ley de conservación es un enunciado que condiciona al flujo en el sentido de que paraun determinado subdominio el flujo neto que entra al subdominio es cero (es decir, el flujose conserva). El flujo puede estar presente en el sistema de dos formas: una a través de unadistribución interna de fuentes, descriptas por la función f (x), y otra a través del borde dela región. En la tabla3.1 se muestran distintas interpretaciones de u, σ, k, y f para distintosproblemas físicos.

A parte de la ley de conservación y de la ecuación constitutiva, aparecen condiciones sobrela variable de estado u: en todos los problemas de interés se requiere que u(x) sea una funcióncontinua de x. A esta condición, se le puede agregar que u(x) tome un valor determinado enuno o ambos extremos. Esta condición se llama condición de borde esencial. Toda otracondición en problemas de contorno, son derivables a partir del principio de conservación.

Para fijar ideas, consideremos un problema unidimensional que sea representativo de lascondiciones recién enunciadas. Sea por ejemplo una barra en el dominio [0, L] como se muestraen la Fig. 3.2. El cuerpo esta formado por dos materiales, uno en el intervalo [0, x1] y otro en elintervalo [x1, L]. Si bien el módulo k sufre una discontinuidad en x1, se asume que es continuoen cada uno de los subdominios.

Por otro lado, se observa que la distribución f de las fuentes internas es continua en to-dos los puntos salvo en x = x2, donde se encuentra una fuente concentrada de intensidad f ,representada por una función δ de Dirac, y en el punto x = x3 donde la función f presenta

Formulación del problema de segundo orden 43

Variable Módulo del EcuaciónProblema Principio de de estado Flujo material Fuente Constitutivafísico conservación u σ k f σ = −ku′

deformaciónde una ba-rra elástica

equilibriode fuerzas(conserva-ción de lacantidad demovimien-to)

desplazamiento tensión módulo deelasticidadde Young

fuerzasmásicas

ley de Hooke

conduccióndel calor enuna barra

conservaciónde la ener-gía

temperatura flujo de ca-lor

conductividadtérmica

fuentes decalor

ley de Fourier

flujo de unfluido

conservaciónde la can-tidad demovimiento

velocidad tensión decorte

viscosidad fuerzasmásicas

ley de Stokes

electrostática conservacióndel flujoeléctrico

potencialeléctrico

flujo eléctri-co

permisibidaddieléctrica

carga ley deCoulomb

flujo en unmedio poro-so

conservaciónde la masa

carga hidráu-lica

velocidaddel flujo

permeabilidad fuente defluido

ley de Darcy

Cuadro 3.1: Valor de las constantes para distintos problemas físicos

una discontinuidad simple. Entonces, los datos conducen naturalmente a la definición de cua-tro subdominios Ωi, i = 1, 2, 3, 4, dentro de los cuales los datos son suaves, y cinco puntos(incluidos los extremos) xi, i = 0, 1, 2, 3, 4, en los cuales existen discontinuidades en alguno delos datos. Diremos que cada uno de los subdominios Ωi es un subdominio suave.

A continuación formularemos una descripción matemática clásica (formulación fuerte), utili-zando solamente las condiciones esenciales de u, la ley de conservación, la ecuación constitutiva,y los datos del problema unidimensional1. El flujo debe conservarse en todo punto. Consideremos un punto x en el interior de unsubdominio suave [a,b] como el indicado en la Fig. 3.2.b. El flujo está indicado por flechas enla figura. El elemento contiene además una fuente interna de intensidad f(x). Entonces, porconservación de flujo resulta que

σ(b)− σ(a) =

ˆ b

a

f(x) dx (3.4)

2. Para determinar la forma que adopta la ley de conservación en el punto, tomamos límitesen ambos miembros haciendo tender el punto a desde la izquierda de x y a b desde la derecha.Debido a que f(x) es acotada, en el límite la integral desaparece y se obtiene

lımb→x+

σ(b)− lıma→x−

σ(a) = lıma→x−b→x+

ˆ b

a

f (x) dx = 0

o[σ(x)] = lım

b→x+σ(b)− lım

a→x−σ(a) = 0 (3.5)

donde [σ(x)] es el salto de σ en x. En consecuencia, la ec. (3.5) establece que si no hay disconti-nuidades, el flujo resulta continuo en todos los puntos de los subdominios suaves Ωi, i = 1, 2, 3, 4.


(a)

(b)

(c)

Figura 3.1: a) Problema unidimensional dividido en cuatro subregiones; b) flujos en el interiorde los elementos y c) flujo en el borde de un elementos

3. A partir de que f(x) en la sec. (3.4) es continua, podemos aplicar el teorema del valor medio

del cálculo integralˆ b

a

f(x) dx = (b − a) f(ζ) siendo ζ un punto que pertenece al intervalo

a < ζ < b y f(ζ) es el promedio de f(x) sobre este intervalo. Entonces

σ(b)− σ(a) = (b− a) f(ζ)

Dividiendo por b− a y tomando límite por izquierda y derecha obtenemos

lıma→x−b→x+

σ(b)− σ(a)

(b− a)= lım

a→x−b→x+

f(ζ), a < ζ < b

Debido a la continuidad de f(x) el límite del segundo miembro existe y por ende el izquierdoy en consecuencia para todo punto interior de una región suave se cumple

dσ

dx= f(x) (3.6)

La sustitución de la ecuación constitutiva (3.3) en la ec. (3.6) conduce una ecuación diferenciallineal de segundo orden

− d

dx

[k(x)

du(x)

dx

]= f(x) (3.7)


que en los puntos en los cuales el módulo del material k(x) es suave, (3.7) puede expandirsecomo

−k(x)d2u(x)

dx2− dk(x)

dx

du(x)

dx= f(x) (3.8)

ecuación que tiene la misma forma que la ec. (3.1).4. Consideremos ahora puntos, como x = x3, en los que algunos datos son discontinuos perofinitos. La discusión del punto 2 es todavía válida, y el principio de conservación del flujoconduce al resultado

[σ(x3)] = 0

que muestra que el flujo es continuo aunque f(x) no lo sea. La consecuencia de la discontinuidadde f(x) se refleja en el hecho de que el teorema del valor medio no puede ser aplicado en estecaso; ku′ (el flujo) es continuo pero (ku

′)′ (que definiría a f(x)) no existe por no existir el lí mite.

En consecuencia en el punto x = x3 no tenemos ecuación diferencial. En el punto x = x1 dondef(x) es continua pero k(x) es discontinuo, el principio de conservación conduce nuevamente ala condición (3.5), es decir, [σ(x1)] = 0. También se verifica la ecuación diferencial (3.6) perocomo k(x) no es continua, no posee derivada, y no se puede expandir la ec. (3.7) para obtenerla (3.8) en este punto.5. En el punto x2 donde aparece una fuente concentrada de valor f = f δ(x− x2) escribimos laecuación de balance del flujo en una región que contiene al punto x2

σ(b)− σ(a) =

ˆ b

a

f(x) dx+

ˆ b

a

f δ(x− x2) dx (3.9)

en la que f(x) es la parte suave de f(x). Tomando límites por izquierda y derecha del puntox2 se obtiene una condición de salto no homogénea

[σ(x2)] = f

A su vez, debido a que la última integral no depende de los límites a y b, no podemos obteneruna ecuación diferencial en el punto x = x2.6. Finalmente consideremos los bordes del cuerpo, x = x0 y x = x4. En todo problema físicoexiste una definición de las condiciones de borde originadas por la interacción que el sistemaen estudio tiene con el medio que lo rodea. Los efectos del medio son incorporados al modelomatemático prescribiendo en los bordes del sistema ya sea la variable de estado o el valor delflujo. Entonces, por lo general es necesario hacer una modelización del medio adyacente paraproveer una condición de borde. La fig.3.2.c muestra el extremo izquierdo del cuerpo. El flujoen el borde se denota como σ0. En este segmento el flujo se conserva, y en consecuencia

σ(a)− σ(o) =

ˆ a

0

f(x) dx

Tomando límites cuando a → 0 resulta σ(0) = σ0 constituyendo esta igualdad una condiciónde borde. Cuando se define el flujo en el borde, debemos reconocer que estamos asignando unsentido a la derivada de u en estos puntos para representar el hecho de que el flujo está entrandoo saliendo del cuerpo. Específicamente, si se fija el flujo σ = σ0 y σ = σL en los extremos x = 0y x = L, tomaremos

−k(0)

[−du (0)

dx

]= σ0

−k(L)

[du (L)

dx

]= σL

(3.10)


A través de la ecuación constitutiva se observa que estas condiciones están fijando el valor dela derivada de la variable de estado. Este tipo de condiciones de borde se denominan naturales.En otras situaciones típicas (transferencia de calor por convección), el flujo se asume comoproporcional a la diferencia entre el valor de la variable de estado en el borde y su valor aalguna distancia en el interior del medio. Por ejemplo, en x = 0 esta condición se escribe

σ0 = p0[u(0)− u∞] (3.11)

en la que p0 es una constante que depende del módulo del material del medio adyacente y u∞es un valor de referencia de la variable de estado en el medio. La sustitución de la condición(3.11) en la ecuación anterior conduce a

k(0)du(0)

dx= p0[u(0)− u∞] (3.12)

Debido a que nuevamente aparece la derivada de u, la ec. (3.12) es también una condiciónde borde natural de la ec. (3.7). Es obvio que el tipo de condición de borde será propio delproblema físico que se esté abordando. Resumiendo digamos que las condiciones de borde queconsideraremos son:

1. Condiciones de borde esenciales, en las que se especifican los valores que adopta la variablede estado u.

2. Condiciones de borde naturales en las que:

a) se especifica el valor del flujo o

b) se especifica una combinación lineal del flujo y de la variable de estado.

Por último notemos que en el caso de problemas en los cuales se especifiquen condiciones deborde naturales en ambos extremos, deberá satisfacerse una condición global de conservaciónque está dada por

σ0 + σL =

ˆ L

0

f (x)_dx (3.13)

3.3. Formulación variacional del problema

Resulta claro que el enunciado clásico del problema de contorno (3.1) y (3.2) implica con-diciones sobre la solución que pueden resultar muy difíciles de satisfacer aun para situacionesen las que los datos resulten razonables. Lo que se pretende con una formulación variacional esobtener un enunciado propicio para poder aplicar el método de elementos finitos. Es deseableademás que la formulación posea simetría y preferiblemente que las funciones de prueba y depeso posean el mismo grado de suavidad, es decir, que el orden de derivación, que presenten


ambas funciones en el enunciado del problema, sea el mismo. Reescribamos nuestro problema

− d

dx

[k(x)

du(x)

dx

]+ c(x)

du(x)

dx+ b(x)u(x) = f(x)

x ∈ Ωi, i = 1, 2, 3, 4[k(x)

du(x)

dx

]= 0 en x = x1

−[k(x)

du(x)

dx

]= f en x = x2

[k(x)

du(x)

dx

]= 0 en x = x3

α0du(0)

dx+ β0u(0) = γ0, αL

du(L)

dx+ βLu(L) = γL

(3.14)

en donde las condiciones de borde son la expresión general de alguna de las siguientes situaciones

• u (0) = u0 ; u (L) = uL

• k(0)du(0)

dx= σ0 ; −k(L)

du(L)

dx= σL

• k(0)du(0)

dx= p0[u(0)− u∞] ; −k(L)

du(L)

dx= p0[u(L)− u∞]

Recordemos que el dominio Ω se ha dividido en cuatro subdominios como se indica en la fig.3.2.Como en cada subdominio la función incógnita debe ser suave, podemos construir la funciónde error para cada uno de ellos

RΩi = − [k u,x],x + c u,x + b u− f

que puede minimizarse utilizando una función de peso

ˆΩi

W RΩi dx =

ˆΩi

W− [k u,x],x + c u,x + b u− f

dx

que se puede integrar por partes

ˆΩi

W RΩi dx = − kWu,x|xixi−1+

ˆΩi

(kW,xu,x + cWu,x + bWu) dx−ˆ

Ωi

Wfdx (3.15)

Si u es solución del problema entoncesˆ

Ωi

W RΩi dx = 0 y

4∑i=1

ˆΩi

W RΩi dx = 0 (3.16)


La sustitución de (3.15) en la ec. (3.16) resulta enˆ L

0

(kW,xu,x + cWu,x + bWu) dx+ k (0)W (0)u,x (0) +

+ [k (x1)u,x (x1)]W (x1) + [k (x2)u,x (x2)]W (x2) +

+ [k (x3)u,x (x3)]W (x3)− k (L)W (L)u,x (L) =

ˆ L

0

Wfdx

(3.17)

en donde[k (xi)u,x (xi)] = lım

x→x+i

k (xi)u,x (xi)− lımx→x−i

k (xi)u,x (xi)

La función f que aparece en el segundo miembro es la parte suave (es decir la parte integrable)de la función f . A partir de las condiciones impuestas en los puntos de discontinuidad, ec.(3.14), la ec. (3.17) quedaˆ L

0

(kW,xu,x + cWu,x + bWu) dx =

ˆ L

0

Wfdx+ fW (x2)−

−k (0)

α0

[γ0 − β0u(0)]W (0) +k (L)

αL[γL − βLu(L)]W (L)

(3.18)

válida para toda función W admisible.La ec. (3.18) contiene la ecuación diferencial, las condiciones de salto y las condiciones de

borde especificadas en (3.14). El problema variacional (3.18) caracteriza a la solución como unafunción definida sobre todo el dominio [0, L] a diferencia de la definición por partes en (3.14).Algunas observaciones de la forma variacional (3.18) son1. Al integrar por partes se obtiene una integral que contiene derivadas primeras de las funcionesde peso y de forma. Esto significa que las funciones u y W deben ser miembros de una clase defunciones, denominada H1, cuyas derivadas primeras al cuadrado sean integrables sobre Ω, esdecir deben satisfacer la condiciónˆ L

0

[(u,x)

2 + u2]dx <∞ (3.19)

Por otro lado, si el problema posee condiciones de borde esenciales, entonces a parte de lacondición anterior, debe exigirse a las funciones de peso que satisfagan las condiciones W (0) =W (L) = 0.2. Las condiciones de borde no pueden construirse en forma arbitraria, sino que deben ser com-patibles con la ecuación diferencial que gobierna el problema. En este sentido la formulaciónvariacional posee la ventaja de que cualquier condición de borde que pueda incorporarse natu-ralmente al problema, como consecuencia de la integración por partes, será automaticamentecompatible con la ecuación diferencial.3. Recordemos que las condiciones de borde entran en la definición del problema variacional(3.18) en dos formas: las condiciones de borde esenciales, que son la especificación del valorde la solución, entran en el problema a partir de la definición del espacio admisible de lasfunciones del problema, mientras que las condiciones naturales, que conllevan la especificaciónde las derivadas de la solución, determinan la forma de la ecuación variacional.

Ejemplos:

i)−u(x),xx +u(x) = f(x) 0 < x < L

u(0) = 0, u(L) = 0


ii)−u(x),xx +u(x) = f(x) 0 < x < L

u(0),x = γ0, u(L),x = γL

Los enunciados variacionales de estos problemas son

V-i) Encontrar u en H10 (es decir que u satisface las condiciones (3.19) y además u(0) = u(L) =

0) tal que ˆ L

0

(W,xu,x +Wu) dx =

ˆ L

0

Wfdx, ∀ W ∈ H10

V-ii) Encontrar u ∈ H1 tal queˆ L

0

(W,xu,x +Wu) dx =

ˆ L

0

Wfdx− γ0W (0) + γLW (L), ∀ W ∈ H1

Estos ejemplos muestran que las condiciones esenciales se introducen en V-i) a partir de ladefinición de la clase de funciones admisibles para proponer las funciones de prueba y lasnaturales como datos en el segundo miembro de la ecuación en V-ii).4. Por último, en analogía con la energía U definida anteriormente, podemos escribir la normaenergética para el problema (3.18) (con b(x) > 0)

‖e‖E =

[ˆ L

0

(k e2

,x + b e2)dx

]1/2

(3.20)

También puede utilizarse la norma H1 equivalente

‖e‖1 =

[ˆ L

0

(e2,x + e2

)dx

]1/2

(3.21)

Ejercicio N26: Construir la forma débil indicando en cada caso el espacio de funciones deprueba admisibles.

a)− (k(x) u (x) ,x ) ,x +u(x),x +u (x) = 0en0 < x < 1; 1 < x < 2; 2 < x < 3; 3 < x < 4;con[k (1)u,x (1)] = [k (2)u,x (2)] = 0; [k (3)u,x (3)] = 10y

k(x)

1 0 ≤ x < 12 1 ≤ x < 21 2 < x < 4

;

u (0) = 0

u (4) ,x = 3

b)−u (x),xx + u (x) = δ (x− 1) 0 < x < 2

u (0),x = 2, u (2),x + u (2) = 3

c)u (x),xx + u (x) = 0 0 < x < 1; 1 < x < 2

[u,x (1)] = 1; u (0) = u (2) = 0


Ejercicio N27: los problemas de valores de contorno siguientes están mal condicionados o nosatisfacen las hipótesis descriptas en las notas. ¿Qué está mal en ellos?

a)1

(x− 1)u (x),xx + u (x) = sen (x) 0 < x < 2

y u (0) = u (2) = 0

b)(1− x2) u (x),xx + u (x),x = 3 0 < x < 2

y u (0) = 0 ; u (2),x = 1

c)u (x),xx + x u (x),x = 3 0 < x < 1

y u (0),xx = 0 ; u (1) = 0

d)−u (x),xx + u (x),x = x 0 < x < 1

y1

2u (0),x + u (1),x = u (1) ; u (0),x + 2 u (1),x = u (0)

3.4. Funciones de aproximación basadas en la interpolaciónde Lagrange

En esta sección extenderemos las ideas respecto a las funciones de interpolación elementalesintroduciendo una técnica que conduce a lo que se conoce como elementos finitos Lagrangeanos,nombre que deriva del conceptos de interpolación utilizando polinomios de Lagrange:1. Consideremos un elemento típico Ωe, aislado de la malla, y establezcamos un sistema localde coordenadas ξ, cuyo origen se ubica en el centro del elemento, escalado de tal forma desatisfacer que ξ = −1 en el extremo izquierdo y ξ = 1 en el derecho, Fig.3.4.a. Esto se realizamediante la transformación general que para el caso de un elemento de k + 1 nodos se escribe

ξ(x) =2 x− xe1 − xek+1

he(3.22)

de tal modo que todo punto x en el intervalo xe1 ≤ x ≤ xek+1 se transforma en un punto ξ talque −1 ≤ ξ ≤ 1. Los cálculos serán realizados sobre este elemento “maestro” y denotaremosNi(ξ) a sus funciones de interpolación. El grado de estas funciones será k, es decir que cadafunción Ni(ξ) del elemento contiene monomios en ξ hasta el orden ξk, con k > 0.2. Para obtener funciones de forma de grado k, identificamos k + 1 nodos (incluyendo losextremos) que dividen al elemento en k segmentos iguales. Sea ξi, i = 1, 2, ..., k+1, la coordenadaξ correspondiente a cada nodo. Para cada nodo ξi formamos el producto de las k funcioneslineales (ξ − ξj), j = 1, 2, ...k + 1, j 6= i. Notar que este producto es cero en todos los nodosexcepto en el nodo i. Estas funciones son de la forma

nodo 1: (ξ − ξ2) (ξ − ξ3) ... (ξ − ξi) ... (ξ − ξk+1)

nodo 2: (ξ − ξ1) (ξ − ξ3) ... (ξ − ξi) ... (ξ − ξk+1)...

...nodo i: (ξ − ξ1) (ξ − ξ2) ... (ξ − ξi−1) ... (ξ − ξi+1) ... (ξ − ξk+1)

(3.23)


Figura 3.2: (a) Elemento maestro con k+1 nodos; (b) funciones de forma lineales para k=1; (c)elemento de tres nodos con funciones cuadráticas (k=2)

3. Para cada nodo i se debe evaluar el correspondiente producto (3.23) en ξ = ξi y dividir elproducto de las funciones por este valor. De esta manera se obtiene el polinomio Ni normalizadode tal modo que Ni (ξi) = 1. La forma general resulta

Ni (ξ) =(ξ − ξ1) (ξ − ξ2) ... (ξ − ξi−1) ... (ξ − ξi+1) ... (ξ − ξk+1)

(ξi − ξ1) (ξi − ξ2) ... (ξi − ξi−1) ... (ξi − ξi+1) ... (ξi − ξk+1)(3.24)

Estas funciones tienen la propiedad que

Ni (ξj) =

1 si i = j0 si i 6= j

(3.25)

que muestra que las Ni (ξ) son linealmente independientes. Estas k + 1 funciones definen unabase completa para el conjunto de polinomios de grado k. Esto significa que cualquier polinomiode grado k o menor, puede ser generado univocamente utilizando como base los polinomios deLagrange. A su vez, esta propiedad se traslada a las funciones globales φi generadas a partirde estos polinomios, es decir, que todo polinomio de grado ≤ k puede expresarse en una únicaforma como combinación lineal de las funciones φi generadas por las funciones de forma (3.24).

Para k = 1 (funciones de forma lineal), el elemento presenta 2 nodos y las funciones deinterpolación resultan las ya conocidas

N1(ξ) =(ξ − ξ2)

(ξ1 − ξ2)= 1

2(1− ξ)

N2(ξ) =(ξ − ξ1)

(ξ2 − ξ1)= 1

2(1 + ξ)

(3.26)


Figura 3.3: a) Elemento de tres nodos con funciones cuadráticas; b) malla con tres elementos;c) funciones de base generadas por estos tres elementos

Para k = 2 (funciones de forma cuadráticas), el elemento presenta tres nodos y las funcionesde forma (ver Fig. 3.4.c) son

N1(ξ) =1

2ξ (1− ξ) , N2(ξ) =

(1− ξ2

), N3(ξ) =

1

2ξ (1 + ξ) (3.27)

Las correspondientes funciones globales φi se muestran en la Fig. 3.3.Ejemplo: sea interpolar la función g(x) = sen (x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1, utilizando dos

elementos cuadráticos como se muestra en la Fig. 3.4Los nodos están ubicados en x = 0, 0,25, 0,5, 0,75 y 1. Los valores de la función en estos

puntos son 0, 0,707, 1,0, 0,707, 0, por lo que la función interpolante puede escribirse

g (x) = 0,707φ2 (x) + φ3 (x) + 0,707φ4 (x)


Figura 3.4: Interpolación de g(x) usando 2 elementos cuadráticos.

en donde las funciones φi están graficadas en la Fig. 3.3.Se puede mostrar que el error e (x) = u (x)− u (x) entre una función exacta u y la aproxi-

mación u obtenida utilizando polinomios de Lagrange puede estimarse como

max0≤x≤L

|e (x)| ≤ h2

8max

0≤x≤L

∣∣∣u (x),xx

∣∣∣ (3.28)

Para elementos que emplean polinomios completos de mayor orden, el error asume la forma

‖e‖∞ = max0≤x≤L

|e (x)| ≤ Chk+1 (3.29)

en la que C es independiente de h.Es importante la completitud de los polinomios usados para interpolar: si, por ejemplo,

las funciones de forma contienen términos proporcionales a x0 (constantes), x2, x3, ..., xk, peroninguno proporcional a x1, entonces el error será proporcional a h y no a hk+1 como indicala expresión (3.29). Si las constantes no están presentes en las funciones de interpolación, laaproximación puede no converger en absoluto. Observación: para deducir (3.29) es necesarioque u presente derivadas continuas de orden ≤ k. Si la función u sólo posee derivadas de ordens con 0 < s ≤ k, entonces no importa cuanto aumentemos el grado de k en la aproximación uya que sólo sus primeros s términos serán efectivos al aproximar u. Entonces, en lugar de (3.29)tendremos

‖e‖∞ = max0≤x≤L

|e (x)| ≤ Chs (3.30)

y en consecuencia no podremos mejorar la convergencia aumentando el orden del polinomiopero si disminuyendo el tamaño h del elemento.

Ejercicio N28: si un conjunto de funciones de forma es completo hasta el orden k, entoncespuede interpolarse exactamente cualquier polinomio de igual o menor grado que k.

a) Mostrar porque (para k ≥ 1) todo conjunto completo de funciones de forma debe satis-facer

k+1∑i=1

Ni (ξ) = 1 yk+1∑i=1

dNi (ξ)

dξ= 0


b) Para las siguientes funciones determinar el grado del polinomio completo contenido enel conjunto. Cada conjunto de funciones de forma tiene la propiedad que Ni (ξj) = 1 si i = j yNi (ξj) = 0 si i 6= j.

1.N1 (ξ) =

1

4(1− ξ)2 ; N2 (ξ) =

1

4(1 + ξ)2

ξ1 = −1, ξ2 = 1

2.N1 (ξ) = −1

2(1− ξ) ξ ; N2 (ξ) = (1− ξ2)

2; N3 (ξ) =

1

2(1 + ξ) ξ

ξ1 = −1, ξ2 = 0, ξ3 = 1

Ejercicio N29: utilizar una malla de 3 elementos y construir interpolaciones para las funciones

f (x) = x+ x2 y g (x) = cos πxpara 0 < x < 1

usando (a) funciones lineales, (b) funciones de Lagrange cuadráticas.Ejercicio N30: Derive las ecuaciones explícitas para las funciones de interpolación de

Lagrange cúbicas y grafíquelas para un elemento típico. Ilustre la forma de las funciones debase φi generadas por tales funciones para una malla consistente de tres elementos.

Ejercicio N31: Es posible representar una función g (x) sobre un elemento interpolandolos valores que toma la función y sus derivadas en los extremos.

a) muestre que, a tal fin, resultan funciones de forma cúbicas.b) Grafique estas funciones para un elemento típico.Las funciones de aproximación que resultan de esta forma se llaman polinomios de Hermite.

3.5. Aproximación por elementos finitosEl dominio Ω se particiona en un número finito de elementos Ωe de longitud h (

∑he = L).

Por definición, el problema presenta cuatro subdominios en los que la solución es suave. Peroen la unión de estos subdominios pueden ocurrir discontinuidades (p.ej. x = x2) a las que lasfunciones de interpolación no podrán acomodarse. Por tal motivo, la malla siempre se construiráde tal modo de ubicar un nodo en todo punto en donde se produzca una discontinuidad enlos datos. Los términos tales como fW (x2) que representan un salto, nunca entrarán en ladescripción local que caracteriza la aproximación elemental. Estos términos aparecerán cuandose sume la contribución de cada uno de los elementos.

Para cada subdominio elemental Ωe de extremos se1 y se2 se puede formular el siguienteenunciado variacionalˆ se2

se1

(kW e

,xue,x + cW eue,x + bW eue

)dx =

ˆ se2

se1

W efdx+ σ (se1)W (se1)− σ (se2)W (se2) (3.31)

en el que σ (se1) y σ (se2) representan los valores verdaderos del flujo (y no aproximaciones) enlos extremos del elemento. Las cantidades σ (sei ) representan las condiciones de borde naturalesdel elemento Ωe. Este enunciado se hace independientemente de las condiciones de borde realesen x = 0 y x = L. Recordemos que aunque estamos planteando el problema en el dominioelemental, los cálculos los realizaremos en el dominio mapeado como ya se viera anteriormente.Proponemos como función de aproximación elemental

ue (x) =Ne∑j=1

uejNej (x) (3.32)


y para la función de peso

W e (x) =Ne∑i=1

weiNei (x) (3.33)

en las que N e es la cantidad de nodos que tiene el elemento (dos si las funciones de interpo-lación son lineales, tres si son cuadráticas, etc.). Por otro lado, ue (xj) = uej y W e (xi) = wei .Finalmente, reemplazando (3.32) y (3.33) en (3.31) resulta el siguiente sistema de ecuacioneslineales

Ne∑j=1

keij uej = f ei + σ (se1)N e

i (se1)− σ (se2)N ei (se2) , i = 1, 2, ..., N e (3.34)

con

keij =

ˆ se2

se1

(kN e

i,x Nej,x + cN e

i Nej,x + bN e

i Nej

)dx (3.35)

f ei =

ˆ se2

se1

f(x) N ei dx i, j = 1, 2, ..., N e (3.36)

en donde keij son los elementos de la matriz de rigidez elemental y f ei las componentes delvector de cargas del elemento Ωe. En la práctica, las integrales (3.35) y (3.36) raramente seevalúan en forma cerrada, siendo en cambio común el uso de reglas de integración numéricassuficientemente exactas. Además, también es corriente la utilización de una interpolación paradefinir la función f(x) en el elemento

f eh =Ne∑j=1

f(xej)Nej (x) (3.37)

por lo que la ec. (3.36) se calcula como

f ei =

ˆ se2

se1

[Ne∑j=1

f(xej)Nej (x)

]N ei (x) dx (3.38)

De esta forma, la carga se define mediante su valor en los puntos nodales.

3.5.1. Ensamble de las matrices elementales

Consideremos el caso en que se hallan elegido funciones de interpolación lineales. En talcaso, las ec. (3.34) originan dos ecuaciones por elemento de la forma

ke11 ue1 + ke12 u

e2 = f e1 + σ (se1)

ke21 ue1 + ke22 u

e2 = f e2 − σ (se2)

(3.39)

en la que los subíndices 1 y 2 hacen referencia al nudo izquierdo y derecho del elemento. Cuandose realiza el ensamble es necesario asignar a estos nudos una numeración que sea coincidente conla que le corresponde a los nudos del elemento en el sistema global de referencia. Por ejemplo,si el elemento está ubicado entre los nodos 6 y 7 en la malla, entonces ue1 es u6 y ue2 es u7; σ (se1)es el valor de −ku,x en el nudo 6 aproximándose desde la derecha y σ (se2) el valor de −ku,x enel nudo 7 aproximándose desde la izquierda.

Consideremos una malla con N nodos y N − 1 elementos. Esto significa que el ensamble delos elementos originará un sistema de N ecuaciones con N incógnitas. En consecuencia, deberápreverse una matriz de rigidez K = [Kij] de N ×N elementos. El ensamble consiste en recorrer


la malla elemento por elemento, calcular los valores en ec. (3.39) y sumar la contribución de lamatriz elemental ke y del vector de cargas f e a la matriz global K y vector global F según lanumeración de los nodos del elemento en la malla (ver Fig. 3.5.1).

Antes de iniciar el proceso de ensamble, deben ponerse a cero la matriz K y el vector decargas F haciendo Kij = 0 y Fi = 0. Para el elemento Ω1, ubicado entre los nudos 1 y 2 laec.(3.39) conduce a

k111 u

11 + k1

12 u12 = f 1

1 + σ (0)

k121 u

11 + k1

22 u12 = f 1

2 − σ(x−1) (3.40)

donde σ (0) = σ (0+) es el flujo en el nudo 1 desde la derecha y σ(x−1)el flujo en el nudo 2 de

coordenadas x1 aproximándonos desde la izquierda. Estas ecuaciones se suman en la primera ysegunda fila del sistema N ×N que describe la malla completa.

Figura 3.5: Malla de N nudos y N-1 elementos y matriz de coeficientes en la que se ha repre-sentado la contribución de los elementos. Fuera de la banda los valores son cero.

El elemento Ω2, cuyos extremos son los nudos 2 y 3 se suma en las filas 2 y 3. Habiéndoseconsiderado dos elementos se tiene el sistema

k111u1 + k1

12u2 + = f 11 + σ (0)

k121u1 + (k1

22 + k211)u2 + k2

12u3 = f 12 + f 2

1 − σ(x−1)

+ σ(x+

1

)+ k2

21u2 + k222u3 = f 2

2 − σ(x−2)

Continuando este proceso para todos los elementos se obtiene

k111u1 + k1

12u2 + = f 11 + σ (0)

k121u1 + (k1

22 + k211)u2 + k2

12u3 = f 12 + f 2

1 + [σ (x1)]+ k2

21u2 + (k222 + k3

11)u3 + k312u4 = f 2

2 + f 31 + [σ (x2)]

...kN−1

21 uN−1 + kN−122 uN = fN−1

2 − σ (L)

(3.41)

donde [σ (xj)] = σ(x+j

)− σ

(x−j)es el salto de σ en el nudo j (j = 1, 2, ..., N − 1). Recordemos

que en todos los puntos interiores en los que el flujo es continuo, se cumple [σ] = 0. Si en


cambio, existe una fuente puntual fjδ (x− xj)en el nudo j deberemos hacer [σ (xj)] = fj en(3.41). Estas ecuaciones pueden reescribirse como

Ku = F

donde la matriz K es

k111 k1

12 0 . . . 0 0k1

21 k122 + k2

11 k212 . . . 0 0

0 k221 k2

22 + k311 . . . 0 0

0 0 k321 . . . 0 0

· · · · · ·0 0 0 . . . kN−2

22 + kN−111 kN−1

12

0 0 0 · · · kN−121 kN−1

22

(3.42)

y los vectores u y F resultan

u =

u1

u2

u3...

uN−1

uN

, F =

F1

F2

F3...

FN−1

FN

=

f 11 + σ (0)f 1

2 + f 21

f 22 + f 3

1...

fN−22 + fN−1

1

fN−12 − σ (L)

(3.43)

El sistema Ku = F planteado no contiene las condiciones de borde. Las modificaciones quedeben realizarse al mismo serán discutidas a continuación.

3.5.2. Condiciones de borde

Consideremos los siguientes casos:1. Condiciones naturales generales: Estas condiciones corresponden al caso general (3.2)en la que se prescriben u y u,x. De estas condiciones resultan

u,x(0) =γ0 − β0u(0)

α0

, u,x(L) =γL − βLu(L)

αL(3.44)

en la que u(0) = u1 y u(L) = uN . Recordando la relación constitutiva (3.3) resultan lassiguientes

σ(0) = −k(0)

[γ0 − β0u(0)

α0

], σ(L) = −k(L)

[γL − βLu(L)

αL

]que reemplazadas en (3.43) modifican a este vector y a la matriz de rigidez (3.42) quedando

k111 −

k(0)β0

α0

k112 0 . . . 0 0

k121 k1

22 + k211 k2

12 . . . 0 00 k2

21 k222 + k3

11 . . . 0 00 0 k3

21 . . . 0 0· · · · · ·0 0 0 . . . kN−2

22 + kN−111 kN−1

12

0 0 0 · · · kN−121 kN−1

22 +k(L)βLαL

× (3.45)


u1

u2

u3...

uN−1

uN

=

f 11 −

k(0)γ0

α0

f 12 + f 2

1

f 22 + f 3

1...

fN−22 + fN−1

1

fN−12 +

k(L)γLαL

(3.46)

sistema que puede resolverse para las N incógnitas u.2. Condiciones esenciales o de Dirichlet: en este caso se especifican los valores de laincógnita en los extremos

u(0) =γ0

β0

, u(L) =γLβL

(3.47)

En este caso el número de incógnitas se reduce en dos, ya que u(0) = u1 y u(L) = uN , loque permite reducir el sistema (3.42) en dos ecuaciones (la primera y la última). Los valoresconocidos (3.47) se reemplazan en la ecuaciones restantes quedando el siguiente sistema

k122 + k2

11 k212 . . . 0

k221 k2

22 + k311 . . . 0

0 k321 . . . 0

· · · ·0 0 . . . kN−2

22 + kN−111

× (3.48)

u2

u3...

uN−1

=

f 1

2 + f 21 − k1

21

γ0

β0

f 22 + f 3

1...

fN−22 + fN−1

1 − kN−112

γLβL

(3.49)

de donde surgen las N − 2 incógnitas. A partir de esta solución y de las condiciones de borde(3.47) se pueden determinar los valores del flujo en los extremos utilizando las ecuaciones 1 yN eliminadas al imponer las condiciones de borde

k111

γ0

β0

+ k112u2 = f 1

1 + σ (0)

kN−121 uN−1 + kN−1

22

γLβL

= fN−12 − σ (L)

(3.50)

3. Condiciones naturales de Neumann: bajo este nombre se encuentran las condicionesque fijan el valor de la derivada en los extremos

u,x(0) =γ0

α0

, u,x(L) =γLαL

(3.51)

Este tipo de condiciones puede requerir ciertas consideraciones de acuerdo al tipo de ecuacionesque se este resolviendo. En particular, si el problema (3.14) es tal que c(x) = b(x) = 0, elproblema se reduce a la ecuación diferencial

− d

dx

[k(x)

du(x)

dx

]= f(x) (3.52)


Entonces, si u es solución de la ec. (3.52) con las condiciones (3.51) entonces u+C0, con C0 unaconstante arbitraria, también es solución del mismo problema. Por la analogía con los sistemasmecánicos que representa este problema, se dice que C0 está asociado con un movimiento decuerpo rígido. Como consecuencia de esto, la formulación de elementos finitos correspondientetampoco dará lugar a una única solución, lo que significa que la matriz de rigidez K es singular.

La presencia de un movimiento de cuerpo rígido permite hacer otra consideración impor-tante: las constantes que definen las condiciones de borde (3.51), γ0, α0, γL, αL, no puedenelegirse arbitrariamente, sino que deben satisfacer una condición que se obtiene a partir de laformulación variacional del problema (3.52) planteado. El enunciado variacional es: encontraru ∈ H1 tal que ˆ L

0

(k W,x u,x) dx =

ˆ L

0

W f dx+ f W (x)− k (0)γ0

α0

W (0)

+ k (L)γLαL

W (L)

(3.53)

para toda función W ∈ H1. Como u = C0 es una solución del problema (3.52), también lo seráde (3.53), para p.ej. W = 1, lo cual conduce aˆ L

0

f dx+ f − k (0)γ0

α0

+ k (L)γLαL

= 0 (3.54)

que es la condición que deben satisfacer las constantes que definen las condiciones de borde delproblema. La condición (3.54) es una condición necesaria para la existencia de la solución de(3.53). Desde un punto de vista físico, (3.54) representa una ley de conservación global querefleja la necesidad de que se conserve el flujo σ en todo el cuerpo Ω. Para el caso descripto porla ec. (3.52), esta condición toma la forma (ver ec.(3.43))

N∑i=1

Fi = 0 (3.55)

Para eliminar el movimiento de cuerpo rígido se debe asignar un valor especifico a uj corres-pondiente a un nudo j arbitrario. Por ejemplo, si tomamos u1 = c0, se obtiene el sistema

k122 + k2

11 k212 · 0 0

k221 k2

22 + k311 · 0 0·

· · · · ·0 0 · kN−1

21 kN−122

u2

u3

··uN

=

f 1

2 + f 21 − k1

21c0

f 22 + f 3

1

·

fN−12 +

k(L)γLαL

(3.56)

y la ecuaciónk1

11c0 + k112u2 = f 1

1 + σ (0) (3.57)Se observa que el valor de u2 puede obtenerse tanto del sistema (3.56) como de la ec.(3.57), yaque la condición de compatibilidad (3.54), garantiza que ambos valores u2 sean iguales.4. Condiciones de borde mixtas: cuando el problema presenta una condición de bordeesencial en un extremo y una natural en el otro, se dice que las condiciones de borde sonmixtas. Por ejemplo:

u(0) =γ0

β0

, u,x(L) =γLαL

(3.58)

α0u,x(0) + β0u(0) = γ0, βLu(L) =γLβL

(3.59)

son dos condiciones de borde mixtas. Su tratamiento es similar a los ya expuestos por lo queno se entrará en mayores detalles.


3.5.3. Estimaciones del error

Supongamos que la solución exacta u del problema de contorno tenga la propiedad de quesus derivadas de orden s al cuadrado son integrables en Ω, pero que las de orden s + 1 ysuperiores no lo son (s es un entero mayor que 1). Además, supongamos que estamos utilizandofunciones de forma que contienen polinomios completos de grado ≤ k y una malla uniforme deelementos de igual longitud h. Entonces, una aproximación del error, medido en la norma H1

definida por la ec. (3.21) satisface la aproximación asintótica

‖u− u‖1 ≤ Chµ (3.60)

en donde C es una constante independiente de h y µ es

µ = mın (k, s) (3.61)

es decir, que la velocidad de convergencia es k si k < s o s si s < k. El comportamiento respectode la norma media cuadrática es un orden mejor

‖u− u‖0 ≤ C1hµ+1 (3.62)

con C1 una constante.Las estimaciones (3.60) y (3.62) indican que cuando la solución u es regular (es decir,

s > k), entonces se puede mejorar la velocidad de convergencia aumentando el orden k de lospolinomios utilizados en la aproximación. Sin embargo, para s < k, la velocidad de convergenciaes independiente de k y no hay mejora al incrementar k.

Ejercicio N32: Considere el problema de contorno siguiente definido por la ecuacióndiferencial

−u (x),xx + b0 u (x) = 10δ(x− 1) ; 0 < x < 2

con b0 una constante, y los conjuntos de condiciones de borde:

(i) u (0) = 1, u (2) = 3

(ii) u (0),x = 2, u (2),x = g0 (g0 =constante)

(iii) u (0),x + u (0) = 1, u (2) = 1

(a) Utilizando cuatro elementos de igual longitud y funciones de base lineales evaluar numé-ricamente la matriz de rigidez global y el vector de cargas para esta clase de problemastomando b0 = 1 y b0 = 0.

(b) Desarrollar la forma reducida (no singular) de las ecuaciones para los problemas (i) y (iii).

(c) Considere las condiciones (ii) y b0 = 0. ¿Qué valor debe tener la constante g0?

(d) Obtener la forma reducida de las ecuaciones para el caso (ii) con b0 = 0 y el valor de g0

determinado en la parte (c) del enunciado.

Capítulo 4

Elementos unidimensionales

por F. Flores

4.1. IntroducciónEn este capítulo se presentan elementos estructurales unidimensionales sencillos orientados

al análisis de estructuras espaciales de barras articuladas, cables y vigas. Inicialmente se retomael problema de la conducción del calor a los fines de mostrar como imponer la continuidad inter-elemento de la primera derivada de la variable. Luego se introducen problemas de continuidadC1 como paso previo a la introducción de los elementos estructurales. Las matrices de rigidezque se obtienen son idénticas a las obtenidas en los cursos de Análisis Matricial de Estructuras.Finalmente se muestra como desarrollar elementos de viga que consideren las deformacionestransversales por corte.

4.2. Grado de continuidad entre elementosPara el análisis del problema de conducción del calor en una dimensión hemos utilizado

elementos de 2, 3 y 4 nudos (lineales, cuadráticos y cúbicos respectivamente) con derivadascontinuas en el interior del elemento, pero que entre elementos sólo aseguran continuidad dela variable (u) pero no de su derivada (du/ds). Esta última está ligada al flujo a través de larelación “constitutiva” σ = −k du/ds . Es decir que no se asegura la continuidad del flujo entreelementos y no necesariamente se cumple la condición de que el salto [|σ · ν|] entre elementossea nulo.

Una posibilidad para mejorar la aproximación anterior es utilizar como incógnitas nodales lavariable u y su derivada u′s. Por ej. usando un elemento de dos nodos se tendrían las incógnitasindicadas en la Fig. 4.1.

La aproximación a u dentro del elemento dependerá de cuatro parámetros (u1, u1′s, u

2, u2′s) y

resulta entonces una interpolación cúbica de la forma

u(s) = φ1u1 + ϕ1u1′s + φ2u2 + ϕ2u2

′s

los polinomios de interpolación indicados (φ1, ϕ1, φ2, ϕ2) se conocen como polinomios de Her-mite de 1er. orden. Por ser cúbicos su forma general será

f = a+ bξ + cξ2 + dξ3 ξ =2x− (x2 + x1)

(x2 − x1)

61


x1 x2

uu’s

2uu’s

1

ξ=−1 ξ=0 ξ=1

Figura 4.1: Elementos Hermíticos

donde (x1, x2) son las coordenadas de los nodos del elemento (ξ ∈ [−1, 1]).Para obtener los coeficientes (a, b, c, d) recordemos que para que las incógnitas tengan el

significado físico deseado, exigíamos que las funciones de interpolación satisfagan:

f I(xJ)

= δIJ

u(xJ)

= uj

u′s(xJ)

= uj′s

En este caso al tener las derivadas como incógnitas resultan necesarias condiciones similares.Para las funciones de forma asociadas al nudo 1, resultan las siguientes condiciones:

φ1 (x1) = 1 φ1′s (x1) = φ1 (x2) = φ1

′s (x2) = 0

ϕ1′s (x1) = 1 ϕ1 (x1) = ϕ1 (x2) = ϕ1

′s (x2) = 0

y otras similares para las funciones asociadas al nudo 2. Luego los coeficientes de la función φ1

se obtiene de resolver las siguientes ecuaciones (siendo φ1′s = (b+ 2cξ + 3dξ2) 2/L)

φ1 (ξ = −1) :

φ1′s (ξ = −1) :

φ1 (ξ = 1) :

φ1′s (ξ = 1) :

a − b + c − a = 1

2b

L− 4c

L+

6d

L= 0

a + b + c + d = 0

2b

L+

4c

L+

6d

L= 0

a =1

2

b = −3

4

c = 0

d =1

4

similarmente se obtienen los coeficientes del resto de las funciones, que resultan

φ1 = 14

(2− 3ξ + ξ3) φ2 = 14

(2 + 3ξ − ξ3)

ϕ1 = 14

(1− ξ − ξ2 + ξ3) L2

ϕ2 = 14

(−1− ξ + ξ2 + ξ3) L2

Notar sin embargo que la continuidad de la derivada no siempre es una ventaja y presentaproblemas precisamente en aquellos puntos donde esta es discontinua, por ej:

Elementos unidimensionales 63

Si hay un cambio en las características del material (conductividad k), ya que en tal puntosi la derivada es continua el flujo no puede ser continuo

σ+ = k+du

ds6= k−

du

ds= σ−

Cuando hay una fuente puntual q que implica una discontinuidad en el flujo[σ+ − σ−

]= q

4.2.1. Ejercicios

1. Plantear las condiciones necesarias para obtener los polinomios de Hermite de 1er ordeny resolverlos. Graficar las funciones de interpolación.

2. Usando esta aproximación cúbica, calcular la matriz de coeficientes del problema de con-ducción del calor.

4.3. Problemas de cuarto orden

Son problemas menos comunes pero muy importantes, surgen (entre otras posibilidades) alconsiderar teorías clásicas de vigas y placas (y/o láminas). Recordemos por ejemplo la ecuacióndiferencial que gobierna el comportamiento de una viga continua en flexión

dQdx

+ p (x) = 0 dMdx

+Q = 0

M = EIχ = EId2u

dx2

d2

dx2

(EI

d2u

dx2

)= p (x)

usando el método de residuos ponderados (con v la función de ponderación) e integrando dosveces por partes resulta la siguiente formulación débil:

ˆL

v

[d2

dx2

(EI

d2u

dx2

)− p (x)

]dx =

ˆL

[d2v

dx2EI

d2u

Dx2− v p (x)

]dx+

+ vd

dx

(EI

d2u

dx2

)]L0

− dv

dxEI

d2u

dx2

]L0

= 0

donde podemos reconocer en los términos evaluados en los extremos al momento flector y alesfuerzo de corte:

EId2u

dx2= M y − d

dx

(EI

d2u

dx2

)= −dM

dx= Q

Luego la expresión del residuo puede escribirse como

ˆL

[d2v

dx2EI

d2u

Dx2

]dx =

ˆL

v p (x) dx+ vQ]L0 +dv

dxM

]L0

Notemos que para poder realizar la integral del primer miembro es necesario que u′′ (y v′′)exista, es decir que u′ (y v′) debe ser por lo menos continua. Este tipo de problemas dondela formulación requiere que las derivadas primeras de la variable sean continuas en todo el


dominio (y por lo tanto entre elementos) se denominan de continuidad C1. Aquellos donde sólose requiere que la variable sea continua se denominan de continuidad C0.

Las condiciones de continuidad tienen siempre una fuerte interpretación física, en este casola continuidad C1 resulta de la hipótesis de conservación de las secciones planas y de que dichasección se mantiene normal al eje deformado. Esta hipótesis expresa el campo de desplazamien-tos normales a la sección transversal de los puntos fuera del eje baricéntrico proporcionales ala distancia al mismo y al giro de la sección. Si el giro no es continuo, los desplazamientostampoco lo serán y se pierde la compatibilidad.

Si utilizamos en el presente problema un elemento similar al descripto en el punto anterior,usamos la aproximación de Galerkin para las funciones de prueba (es decir la mismas funcionesque para las variables) tendremos (que para EI constante en cada elemento):

una aproximación cúbica para u que implica aproximación cuadrática para el giro, linealpara el momento y corte constante.

El elemento puede modelar en forma exacta una viga sin carga de tramo (ecuación dife-rencial homogénea).

Veamos como evaluar la matriz de rigidez del elemento de viga, sea entonces

u (ξ) = φ1 (ξ)u1 + ϕ1 (ξ) β1 + φ2 (ξ)u2 + ϕ2 (ξ) β2

donde hemos denominado β = du/dx al giro de la sección. Similarmente la función de pruebaserá

v (ξ) = φ1 (ξ) v1 + ϕ1 (ξ) θ1 + φ2 (ξ) v2 + ϕ2 (ξ) θ2

La derivada segunda de u respecto a x dos veces (curvatura del eje medio) es

u′′ =d2u

dξ2

d2ξ

dx2=

4

L2

[φ1′ξξ, ϕ

1′ξξ, φ

2′ξξ, ϕ

2′ξξ

]︸︷︷︸B(ξ)

u1

β1

u2

β2

︸︷︷︸

u

= B (ξ) u

similarmente para la función de peso

v′′ =d2v

dξ2

d2ξ

dx2=

4

L2

[φ1′ξξ, ϕ

1′ξξ, φ

2′ξξ, ϕ

2′ξξ

]︸︷︷︸B(ξ)

v1

θ1

v2

θ2

︸︷︷︸

v

= B (ξ) v

La integral ˆL

d2v

dx2EI

d2u

dx2dx = vT

ˆL

BT (ξ) (EI) B (ξ) dx︸︷︷︸K

u = vT K u

haciendo el cambio de variable en la integral (dx = L2dξ e integrando entre -1 y 1) obtenemos

K

K =EI

L3

12 6L −12 6L

4L2 −6L 2L2

sim. 12 −6L

4L2


4.3.1. Condiciones de Dirichlet no-homogéneas

Resulta importante notar como se tratan las condiciones de contorno esenciales no ho-mogéneas (desplazamiento prescriptos), sea por ej. (β1 = β1). Recordemos que en el métodode Galerkin las condiciones de contorno no homogéneas se satisfacían mediante una soluciónparticular, en este caso la aproximación en el elemento resulta

u (ξ) = φ1 (ξ)u1 + ϕ1 (ξ) β1 + φ2 (ξ)u2 + ϕ2 (ξ) β2

donde ϕ1 (ξ) β1 es ahora nuestra solución particular y el elemento queda entonces con sólo tresparámetros independientes. La matriz de rigidez del elemento queda ahora reducida a 3× 3 yresulta de [

v1, v2, θ2]ˆ (16

L4

) φ1′ξξ

φ2′ξξ

ϕ2′ξξ

(EJ)[φ1′ξξ, φ

2′ξξ, ϕ

2′ξξ

]dx

u1

u2

β2

que es equivalente a eliminar la 2 fila y la segunda columna de la matriz completa

K =EI

L3

12 −12 6L

sim. 12 −6L

4L2

notar que para ello la función de peso se ha reducido a:

v (ξ) = φ1 (ξ) v1 + φ2 (ξ) v2 + ϕ2 (ξ) θ2

pues debe satisfacer las condiciones homogéneas de contorno (θ = 0 donde β = β ⇒ θ1 = 0).La solución particular contribuye al término independiente de la forma

[v1, v2, θ2

]ˆL

(16

L4

) φ1′ξξ

φ2′ξξ

ϕ2′ξξ

(EI)ϕ1′ξξ dx β

1

que no es otra cosa que la segunda columna de la matriz original multiplicada por el valorconocido β1.

Ejercicio 1: Calcular los autovalores y autovectores de la matriz KEjercicio 2: Calcular el término independiente debido a una carga uniforme

4.3.2. Formulación débil a partir del Principio de Trabajos Virtuales

Si bien el método de residuos ponderados se presenta como una técnica numéricas con-sistente para resolver una ecuación diferencial con valores en el contorno, resulta ilustrativoy muy conveniente asociarla con principios físicos conocidos, de tal forma de poder dar unainterpretación conceptual a distintos aspectos del método.

Recordemos rápidamente el principio de trabajos virtuales (no es estrictamente un princi-pio físico), definamos primero un sistema virtual de desplazamientos δu. Conceptualmente undesplazamiento virtual es un incremento posible de desplazamientos a partir de una posicióndada. Posible de ocurrir significa en este caso dos cosas

1. que satisfaga las ecuaciones de compatibilidad interna del problema, para el problema enestudio esto significa que la derivada segunda d2u

ds2exista (y sea finita).


2. que satisfaga las condiciones esenciales homogéneas del problema, es decir que tomadocomo desplazamiento incremental a partir de un campo de desplazamientos que satisfacelas condiciones esenciales no-homogéneas, la suma también satisfaga estas últimas.

δu = 0 donde u = u

El principio de trabajos virtuales (desplazamientos virtuales) dice que un sistema de fuerzasinternas (momentos y esfuerzos de corte en este caso) está en equilibrio con un conjunto deacciones externas (cargas y momentos) si para cualquier (es decir para todo) desplazamientovirtual se satisface que el trabajo virtual de las fuerzas internas es igual al de las fuerzasexternas.

Escribamos el principio de trabajos virtuales para el problema en estudio:

T.V.I. =

ˆL

(d2δu

dx2

)M dx =

ˆL

δu q(x) dx+

(dδu

dx

)M

]L0

+ δu Q]L

0= T.V.E.

reemplazando la ecuación constitutiva en el primer miembro, el T.V.I. resulta

T.V.I. =

ˆL

(d2δu

dx2

)(EI)

(d2u

dx2

)dx

donde podemos reconocer la misma forma que la formulación débil obtenida por residuos pon-derados con la diferencia que aquí v = δu. Si ahora comparamos las condiciones que impusimosa la función de peso v en residuos ponderados con las condiciones impuestas a los desplaza-mientos virtuales δu vemos que no hay ninguna diferencia y ambos formulaciones conducen alas mismas ecuaciones.

Notar que estamos hablando de las ecuaciones de trabajos virtuales en forma discreta, esdecir que buscamos la solución u dentro de una familia discreta de funciones (descripta porlas funciones de forma utilizadas y sus parámetros asociados) y exigimos que se satisfaga laigualdad T.V.I. = T.V.E. para esa misma familia de funciones δu y no para toda funciónadmisible.

4.3.3. Formulación a partir del Principio de Mínima Energía Poten-cial Total

La ventaja de utilizar este principio reside en la fuerte interpretación física de la formulaciónresultante. En este aspecto la aproximación numérica resulta idéntica al método de Rayleigh-Ritz. Por otro lado desde un punto de vista más general tiene el inconveniente de que requiereque exista un potencial expresado en función de los desplazamientos. Este potencial no existesi hay disipación, por ejemplo cuando el material no es elástico (y en consecuencia no se puedeescribir la energía interna de deformación en términos exclusivamente de los desplazamientos yse requiere conocer otras variables) o cuando las cargas dependen de la configuración (cargasseguidoras), vínculos unilaterales, problemas de contacto con y sin fricción.

En el presente problema la energía potencial total Π (u) se escribe para un material linealelástico

Π (u) =1

2

ˆL

EI

(d2u

dx2

)2

dx−ˆL

q(x)u dx− M

(du

dx

)]L0

− Qu]L

0

Aplicando el principio de mínima tendremos:

δΠ (u, δu) =

ˆL

EI

(d2u

dx2

)(d2δu

dx2

)dx−

ˆL

q(x)δu dx− M

(dδu

dx

)]L0

− Qδu]L

0= 0


Si comparamos esta expresión con el P.T.V. veremos que es la misma, la diferencia está enque aquí δu representa la 1ra variación de los desplazamientos, pero que formalmente debesatisfacer las mismas condiciones que un desplazamiento virtual, es decir ser un desplazamientoincremental admisible.

4.4. Elemento de barra articulada

Los elementos estructurales de barras articuladas son los más sencillos. Son desde el puntode vista espacial bi o tridimensionales. Sin embargo desde el punto de vista de la ecuacióndiferencial que gobierna su comportamiento son undimensionales, en el sentido de que dependende una única coordenada espacial (la longitud de arco a lo largo de su eje).

Por otro lado, muchas veces resulta más sencillo calcular las matrices elementales de coefi-cientes (matrices de rigidez) y los vectores elementales de términos independientes respecto aun sistema coordenado local o en función de un conjunto de variables locales. Posteriormente,el ensamble de la matriz y vector elemental deben llevarse a cabo sobre un sistema coordenadocomún (global) a todos los elementos, lo que hace necesario referir matrices y vectores a estesistema global.

Consideremos entonces como determinar la matriz de rigidez de una barra de reticuladoplano, para lo cual utilizaremos el principio de trabajos virtuales, en particular la matriz derigidez provendrá del trabajo virtual interno, además como ejemplo mostraremos como ir in-troduciendo aquí la notación que se usa habitualmente en el método de elementos finitos alconsiderar elementos más complejos.

Si se define un sistema local (x1, x2) (con una barra encima de la variable representaremosvalores en el sistema local) en cada barra de forma que el eje de la barra coincida con la direcciónx1, es posible calcular la longitud de la barra y su orientación respecto al sistema global enfunción de las coordenadas de los nudos

X1

X2

X11 X1

2

X21

X22

1

2

X 1

X 2

1 2

X2

X1

-1 10

ξ

L

Figura 4.2: barra de reticulado en coordenadas locales

L =[(

x2 − x1)·(x2 − x1

)] 12

=[(x2

1 − x11

)2+(x2

2 − x12

)2] 1

2

cosα =(x2

1 − x11)

Lsinα =

(x22 − x1

2)

L


Los desplazamientos se interpolan en forma lineal

u = N1 (ξ) u1 +N2 (ξ) u2

La única variable de deformación relevante en este caso es la deformación longitudinal enla dirección del eje de la barra

ε =du1

dx1

= N1′1 (ξ) u1

1 +N2′1 (ξ) u2

1

N I′1 =

dN I (ξ)

dx1

=dN I (ξ)

dξ

dξ

dx1

= N I′ξ

2

L

Para este caso de dos funciones lineales

N1 (ξ) =1

2(1− ξ) N1

′ξ = −1

2N1′1 = − 1

L

N2 (ξ) =1

2(1 + ξ) N2

′ξ = +1

2N2′1 = +

1

L(4.1)

Si agrupamos los desplazamientos de los nudos en un vector de incógnitas elementales

ue =[u1

1, u12, u

21, u

22

]Tla deformación axial puede escribirse

ε =[N1′1, 0, N2

′1, 0]

ue =1

L[−1, 0, 1, 0] ue = B ue

La variable de tensión asociada a esta deformación es la fuerza axial sobre la barra resultantede integrar las tensiones normales sobre el área de la sección.

S =

ˆA

σ11 dA = (EA) ε = Dε

En forma similar, los desplazamientos virtuales conducen a una deformación virtual

δε =[N1′1, 0, N2

′1, 0]δue =

1

L[−1, 0, 1, 0] δue = B δue

La matriz de rigidez resulta entonces del trabajo virtual interno

T.V.I. =

ˆ L

0

δε S ds =

ˆ L

0

(B δue)T D B ue ds

= δueˆ L

0

BT D B ds ue = δue K ue

K=

ˆ L

0

BTD B dx1 =

ˆ +1

−1

BTD BL

2dξ

K =EA

L

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

Recordemos entonces que esta matriz representa el trabajo virtual interno a través de la expre-sión

T.V.I. = (δue)T K ue


αX1

X2

U1

U2X 1

X 2

U 1U 2

Figura 4.3: barra de reticulado en coordenadas globales

Para reescribir esta expresión en términos de desplazamientos respecto al sistema global decoordenadas debemos expresar los ue y δue en función de ue y δue referidos al sistema global

ue =

u1

1

u12

u21

u22

=

cosα sinα 0 0− sinα cosα 0 0

0 0 cosα sinα0 0 − sinα cosα

u1

1

u12

u21

u22

= ΛT ue

similarmenteδue = ΛT δue

La matriz Λ tiene la forma

Λ =

[R 00 R

]donde R es en este caso particular la matriz de rotación del sistema global al local y se cumpleque Λ−1 = ΛT (en un caso general las matrices de transformación no son sencillamente matricesde cambio de coordenadas entre dos sistemas ortogonales). Luego el T.V.I. puede escribirse

T.V.I. = (δue)T Λ K ΛT︸︷︷︸K

ue = (δue)T K ue

notar entonces que para transformar la matriz de rigidez la expresión correcta es con ΛT y nocon Λ−1, por ser la matriz de rigidez un tensor y no una aplicación lineal

Similarmente para el trabajo virtual externo notar que:

T.V.E. = (δue)T f = (δue)T ΛT f︸︷︷︸f

= (δue)T f

Observar como es la matriz R, si definimos por t1 al versor orientado del nudo 1 al nudo 2,y por t2 al versor normal a t1 de tal forma que t3 = t1 × t2, sea la normal saliente al plano,entonces es fácil ver que

t1 =

[cosαsinα

]t2 =

[− sinαcosα

]


que son precisamente las columnas de R

R = [t1, t2]

En forma completamente similar puede obtenerse las matriz de un elemento de barra en 3dimensiones. Ahora hay 3 componentes de desplazamiento por nudo y la matriz de rigidez encoordenadas locales resulta

K =EA

L

1 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0−1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Llamando nuevamente por t1 al versor orientado del nudo 1 al 2, y t2 y t3 a dos versores

ortogonales a t1, tales que t1 × t2 = t3, entonces la matriz de rotación resulta

R = [t1, t2, t3]

Λ =

[R 03×3

03×3 R

]y finalmente la matriz de la barra en coordenadas globales es

K = Λ K ΛT (4.2)

Los elementos de barra articulada, además de utilizarse para modelos estructurales de en-rejado, suelen utilizarse para modelar cables en general y tensores en particular. En estos casosdebe notarse que los cables suelen presentar grandes desplazamientos, por lo cual el problemaes no lineal y la matriz de rigidez debe actualizarse a la configuración deformada.

4.4.1. Ejercicio

Calcular la matriz de rigidez de la barra articulada en coordenadas globales usando (4.2),mostrar que sólo depende de t1, es decir que no es necesario definir las direcciones t2 y t3

4.5. Elemento de viga en 3 dimensiones

4.5.1. Hipótesis más significativas (teoría clásica)

Las secciones se mantienen planas

Los desplazamientos son pequeños

- La geometría inicial y final son indistinguibles

- Las secciones son indeformables

Las únicas tensiones relevantes son las que actúan en el plano de la sección (σ11, σ12, σ13)

Se desprecian las deformaciones asociadas al corte transversal.


Las cargas normales al eje de la viga actúan en el centro de corte, si no es necesarioreemplazarla por una carga equivalente actuando en el centro de corte más un momentotorsor distribuido.

La pieza es prismática

- El eje de la viga es recto

- La sección es constante

4.5.2. Sistema local de coordenadas y “elemento maestro”

Debido a que toda la descripción de la viga esta referida a su eje baricéntrico (t1) y a sus dosejes principales de inercia (t2 y t3), resulta conveniente definir un sistema local de coordenadasque coincida con dichos ejes. Esto permite trabajar con expresiones sencillas para las relacionescinemáticas y constitutivas, y desacoplar los diferentes comportamientos (flexión en dos planosortogonales, torsión y fuerza axial)

La coordenada x1 local coincide entonces con el arco a lo largo del eje de la viga, en tantoque las coordenadas x2 y x3 se miden a partir del baricentro de la sección en las direccionesprincipales de inercia. La coordenada x1 se encuentra en el intervalo [0, L], con L la longitudde la viga. Las coordenadas x2 y x3 dependen de la forma de la sección. La elección de cual delos ejes principales de inercia asociar a x2 es arbitraria.

12

L

-1 10

X1

X2

X 3

ξ

Figura 4.4: Coordenadas locales en un elemento de viga

Computacionalmente el eje t1 se calcula a partir de las coordenadas de los nudos extremos,en tanto que la orientación del eje t2, queda (en la práctica) definido por un nudo auxiliar,de tal forma que el plano definido por (t1, t2) sea paralelo al plano que contiene a los nudosextremos de la viga y el nudo auxiliar. Finalmente t3 = t1 × t2.

El elemento maestro es entonces unidimensional, y la variable local ξ está restringida alintervalo [−1, 1].

El elemento de viga estándar está definido por dos nudos extremos que llamaremos 1 y 2.Denominaremos con ui al desplazamiento en la dirección i local, y con θi al giro alrededor deleje local i. Esto permite desacoplar el comportamiento en 4 partes

1. -Esfuerzo normal N asociado a los desplazamiento u1


2. -Torsión Mt asociado a los giros θ1

3. -Flexión en el plano x1 − x2, Q2 y M3 asociado a u2 y θ3

4. -Flexión en el plano x1 − x3, Q3 y M2 asociado a u3 y θ2

4.5.3. Relaciones Cinemáticas y Constitutivas

N = EAε = EAdu1

dx1

Mt = αGIpχ1 = αGIpdθ1

dx1

M3 = EI3χ3 = EI3

(dθ3

dx1

)= EI3

(d2u2

dx21

)M2 = EI2χ2 = EI2

(dθ2

dx1

)= EI2

(−d

2u3

dx21

)Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal (módulo de Young) y G es el módulo

de elasticidad transversal o de corte. A es el área transversal de la sección, Ip, es el momentode inercia polar de la sección y Ii es el momento de inercia de la sección respecto al eje i. Elcoeficiente α modifica la rigidez torsional en función de la forma de la sección.

Las variables de deformación generalizada son: ε es la deformación axial, χ1 es el cambio deángulo de torsión por unidad de longitud y χi son las curvaturas de flexión.

Notar que la denominación del momento flector y su curvatura asociada está referida al ejenormal al plano de flexión, y la convención de positivo/negativa a que coincida con la direcciónpositiva del eje correspondiente.

4.5.4. Funciones de Interpolación

El análisis de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento indica que lafunción solución para el caso homogéneo (sin carga de tramo) del comportamiento axial (esfuer-zos axiales y torsión) es una recta. Por lo tanto basta con considerar una aproximación linealpara u1 y para θ1. En tanto que para la flexión la correspondiente función solución (del despla-zamiento transversal) es un polinomio cúbico (sin carga de tramo), por lo que una aproximacióncúbica es adecuada.

De la aproximación por residuos ponderados tras la correspondiente integración por partesresulta que el problema es de continuidad C0 para el problema axial y C1 para la flexión. En

definitiva en los nudos deben ser continuos, además de los desplazamientos, θ1,du2

dx1

= θ3 y

du3

dx1

= −θ2. Es decir que por lo menos debemos tener 6 grados de libertad por nudo (las tres

componentes de desplazamiento y las tres componentes del giro).Denominaremos con uIi al desplazamiento del nudo I en la dirección i local, y con θIi al giro

del nudo I alrededor del eje local i. Luego:

1. -Para los fuerzas axiales tenemos como grados de libertad u11 y u2

1 suficientes para definirla recta solución de la ecuación homogénea

2. -Para la torsión tenemos como grados de libertad θ11 y θ2

1 suficientes para definir la rectasolución de la ecuación homogénea


3. -Para la flexión en el plano x1−x2, tenemos los grados de libertad u12, θ1

3, u22 y θ2

3 suficientespara definir el polinomio cúbico solución de la ecuación homogénea

4. -Para la flexión en el plano x1−x3, tenemos los grados de libertad u13, θ1

2, u23 y θ2

2 suficientespara definir el polinomio cúbico solución de la ecuación homogénea

Luego las funciones de interpolación propuestas son:

1. u1 (ξ) = 12

(1− ξ)u11 + 1

2(1 + ξ)u2

1 = N1 (ξ) u11 +N2 (ξ) u2

1 =∑2

I=1NI (ξ) uI1

2. θ1 (ξ) =∑2

I=1 NI (ξ) θI1

3. u2 (ξ) = φ1 (ξ)u12 + ϕ1 (ξ) θ1

3 + φ2 (ξ)u22 + ϕ2 (ξ) θ2

3

4. u3 (ξ) = φ1 (ξ)u13 − ϕ1 (ξ) θ1

2 + φ2 (ξ)u23 − ϕ2 (ξ) θ2

2

Donde puede verse que hemos usado para el comportamiento axial los polinomios de Lagrangede grado 1 y para el comportamiento flexional los polinomios de Hermite de orden 1.

4.5.5. Desarrollo

Recordando que

d

dx1

=d

dξ

dξ

dx1

=d

dξ

2

L

dξ

dx1

=

(dx1

dξ

)−1

= J−1

tenemos que las deformaciones generalizadas resultan

ε =du1

dx1

= N I′ξ

2

LuI1 =

(u2

1 − u11

) 1

L

χ1 =dθ1

dx1

= N I′ξ

2

LθI1 =

(θ2

1 − θ11

) 1

L

χ3 =d2u2

dx21

=d2u2

dξ21

(dξ

dx1

)2

=4

L2

[φ1′ξξu

12 + ϕ1

′ξξθ13 + φ2

′ξξu22 + ϕ2

′ξξθ23

]

=

[6ξ

L2,−1 + 3ξ

L,− 6ξ

L2,1 + 3ξ

L

]u1

2

θ13

u22

θ23

χ2 = −d2u3

dx21

= −d2u3

dξ21

(dξ

dx1

)2

= − 4

L2

[φ1′ξξu

13 − ϕ1

′ξξθ12 + φ2

′ξξu23 − ϕ2

′ξξθ22

]

= −[

6ξ

L2,−−1 + 3ξ

L,− 6ξ

L2,−1 + 3ξ

L

]u1

3

θ12

u23

θ22


Que puede resumirse en la siguiente expresión matricial

εχ1

χ3

χ2

=1

L

−1 +1

−1 +16ξL

−1 + 3ξ −6ξL

+1 + 3ξ

−6ξL

−1 + 3ξ 6ξL

+1 + 3ξ

u11

u12

u13

θ11

θ12

θ13

u21

u22

u23

θ21

θ22

θ23

ε︸︷︷︸

4×1

=B (ξ)︸︷︷︸4×12

ae︸︷︷︸12×1

En tanto que la relaciones constitutivas pueden escribirse matricialmente comoNMt

M3

M2

=

EA

αGIpEI3

EI2

εχ1

χ3

χ2

σ︸︷︷︸

4×1

= D︸︷︷︸4×4

ε︸︷︷︸4×1

Finalmente la matriz de rigidez (en el sistema local) resulta de integrar a lo largo de la viga

KL︸︷︷︸12×12

=

ˆ L

0

BT︸︷︷︸12×4

D︸︷︷︸4×4

B︸︷︷︸4×12

dx1 =

ˆ 1

−1

B (ξ)T D B (ξ)L

2dξ

Notar que como máximo en B(ξ) hay polinomios de orden 1, luego en el producto BT D Bhay como máximo polinomios de orden 2 en ξ, por lo cual bastan dos puntos de integraciónsi se va a realizar una integración numérica. La integral puede hacerse en este caso en formaanalítica sin ningún problema.

La matriz de rigidez (cuya obtención se deja como ejercicio) es idéntica a la obtenida enlos cursos de cálculo matricial de estructuras. Esto es así porque las funciones de interpolaciónutilizadas son capaces de reproducir la solución exacta de las ecuaciones diferenciales (homo-géneas).

4.5.6. Término independiente (vector de cargas)

Supongamos que las cargas están representadas localmente (es decir respecto al sistemalocal) y varían en forma lineal dentro del elemento

q (ξ) =

q1

q2

q3

=2∑I=1

N I (ξ) qI


El trabajo virtual externo se puede escribir como

T.V.E. =

ˆ L

0

δuTq (ξ) dx1 =

ˆ L

0

[δu1, δu2, δu3]

q1 (ξ)q2 (ξ)q3 (ξ)

dx1

= [δae]T

ˆ L

0

N1 N2

φ1 ϕ1 φ2 ϕ2

φ1 0 −ϕ1 φ2 0 −ϕ2

T

×

N1 N2

N1 N2

N1 N2

dx1

q1

1

q12

q13

q21

q22

q23

(4.3)

= [δae]T︸︷︷︸

1×12

ˆ L

0

ΦT (ξ)︸︷︷︸12×3

N (ξ)︸︷︷︸3×6

dx1

[q1

q2

]︸︷︷︸

6×1

= [δae]T︸︷︷︸

1×12

FL︸︷︷︸12×1

Donde FL es el término independiente referido al sistema de coordenadas locales.

4.5.7. Cambio de base

La expresión de la matriz de rigidez en coordenadas globales sigue el procedimiento general.Referida a un sistema coordenado local la matriz de rigidez que es de 12× 12 tiene la forma

KL =

[k11 k12

k21 k22

]asociada con un vector de desplazamientos en coordenada locales de forma

aL =

u1

θ1

u2

θ2

L

uIL =

uI1uI2uI3

L

θI =

θI1θI2θI3

L

donde uIL son los desplazamientos del nudo I referidos a la terna local y θIL es el vector degiros (donde cada componente es la proyección del vector rotación) referido a la terna local.Las submatrices kij son de 6× 6 y los únicos valores no nulos son los que se indican con una X

kij =

X

X XX X

XX X

X X

Para realizar el cambio de coordenadas resulta necesario observar (ver figura 4.5.2) que lasrelaciones que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma

uIL = RT uI

θIL = RT θI


donde la matriz rotación R esR =

[t1 t2 t3

]La matriz de transformación Λ resulta entonces de

aeL =

u1

θ1

u2

θ2

L

=

RT

RT

RT

RT

u1

θ1

u2

θ2

= ΛT ae

las expresiones de cambio de la matriz de rigidez y el vector de términos independientes tienenla misma forma que antes, es decir:

K = Λ KL ΛT F = Λ FL

4.5.8. Matriz de masa

Habitualmente se considera la masa de la viga concentrada sobre el eje baricéntrico (es decirse desprecia la energía cinética asociada a la velocidad de rotación de la sección transversal).La matriz de masa aparece en problemas no estacionarios (dependientes del tiempo) y resultaconsistentemente de aplicar residuos ponderados sobre la ecuación de equilibrio dinámico (oalternativamente como expresión de la energía cinética).

Suponiendo una interpolación para las velocidades y aceleraciones del eje baricéntrico, si-milar a los desplazamientos. La velocidad (y la aceleración) de un punto del eje de la viga es(referido al sistema local):

u1

u2

u3

=

N1 N2

φ1 ϕ1 φ2 ϕ2

φ1 0 −ϕ1 φ2 0 −ϕ2

u1

θ1

u2

θ2

L

= Φ (ξ) aeL

de donde resulta

M =

ˆ L

0

ρA ΦT Φ dx1 =ρAL

2

ˆ 1

−1

ΦT (ξ) Φ (ξ) dξ (4.4)

Que permite escribir la energía cinética de la viga como

T =1

2

[u1 θ

1u2 θ2

]L

M

u1

θ1

u2

θ2

L

4.5.9. Ejercicios

1. Calcular los coeficientes de la matriz de rigidez de la viga espacial en coordenadas locales.

2. Calcular la matriz de masa (expresión 4.4 ) para una viga continua en 2-D.

3. Plantear la energía cinética de una viga incluyendo la influencia de la inercia rotacional

4. Calcular el vector independiente para un carga lineal arbitraria (expresión 4.3)

4.6. ELEMENTOS CON DEFORMACIÓN DE CORTE 77

4.6. Elementos con deformación de corteLos elementos con deformación de corte son aquellos basados en la teoría de vigas de Ti-

moshenko y sus extensiones a problemas en 3-D. Además de poder considerar modelos flexiblesal corte su mayor ventaja radica en la facilidad de su extensión al rango no-lineal y en el trata-miento de geometrías curvas. Tienen la ventaja también de ser de continuidad C0, aunque estono es importante en vigas en el campo lineal.

Si consideramos el comportamiento de una viga en el plano x1-x2 (con eje baricéntrico encorrespondencia con el eje x1) las relaciones cinemáticas son:

γ2 =du2

dx1

− θ3

χ3 =dθ3

dx1

ε =du1

dx1

Figura 4.5: Viga con deformación de corte

Supongamos un elemento de 3 nudos (1 en cada extremo y un nudo central). En cada nudonuestras incógnitas serán los desplazamientos en las dos direcciones del plano (u1, u2) más elgiro alrededor del eje normal al plano (θ3). La aproximación resulta entonces cuadrática paralas tres variables. Recordando entonces que

N1 =ξ

2(ξ − 1) N2 = 1− ξ2 N3 =

ξ

2(1 + ξ)

N1′x1

=2ξ − 1

LN2′x1

= −4ξ

LN3′x1

=2ξ + 1

L

las deformaciones generalizadas resultan

εχ3

γ2

=

2ξ−1L

0 0 −4ξL

0 0 2ξ+1L

0 0

0 0 2ξ−1L

0 0 −4ξL

0 0 1+2ξL

0 2ξ−1L

ξ2

(1− ξ) 0 −4ξL

ξ2 − 1 0 2ξ+1L− ξ

2(1 + ξ)

u11

u12

θ13

u21

u22

θ23

u31

u32

θ33

ε = B (ξ) ae


Las relaciones constitutivas para este caso son: NM3

Q2

=

EAEI

GA2

εχ3

γ2

σ = D ε

donde A2 es el área de corte en la dirección 2, definida convenientemente.En el caso de vigas de eje curvo, es necesario una interpolación adecuada de la geometría (en

el caso anterior asumíamos que el nudo central estaba ubicado exactamente en el punto medioentre los extremos). Una opción sencilla y conveniente es la interpolación isoparamétrica, luegoel eje baricéntrico de la viga queda descripto por

x (ξ) =3∑I=1

N I (ξ) xI

Paralelamente resulta conveniente definir un sistema coordenado local. En la geometríaindeformada (libre de tensiones) dicho sistema local tiene el vector t1 coincidente con la tangenteal eje baricéntrico, que forma un ángulo α con el eje x1 global, en tanto que el vector t2 esnormal al anterior:

Λ (ξ) = [t1, t2] (ξ) =

[cosα − sinαsinα cosα

]Las deformaciones generalizadas normal y de corte resultan ahora

ε =d(x + u)

ds· t1

γ2 =d(x + u)

ds· t2

donde s es la longitud de arco medido sobre el eje baricéntrico de la viga.Debido a que la viga tiene ahora una curvatura inicial, debemos hablar de cambio de cur-

vatura. La curvatura original se mide como

κ(0)3 =

dα

ds

y la curvatura del eje deformado es

κ3 =d (α + θ3)

ds

luego el cambio de curvatura resulta

χ3 = κ3 − κ(0)3 =

d (α + θ3)

ds− dα

ds=dθ3

ds

En problemas tridimensionales, la teoría que gobierna el problema es similar. Por supuestoahora x y u tienen tres componentes. Por otro lado el sistema coordenado local se escribe ahora

Λ (s) = [t1, t2, t3]

donde t1 coincide con la tangente al eje baricéntrico, en tanto que t2 y t3 están dirigidos enlas direcciones principales de inercia de la sección transversal. Las deformaciones generalizadas


asociadas a los esfuerzos normal y de corte se escriben ahora

ε =d(x + u)

ds· t1

γ2 =d(x + u)

ds· t2

γ3 =d(x + u)

ds· t3

Las curvaturas del eje baricéntrico resultan ahora de la siguiente expresión

K = ΛT dΛ

ds=

0 −κ3 κ2

κ3 0 −κ1

−κ2 κ1 0

donde los κi serán curvaturas iniciales si Λ es la original o serán las curvaturas del eje deformadosi Λ corresponde a la estructura deformada. La diferencia entre ambas permite calcular loscambios de curvatura, que incluye deformación de torsión (χ1) y deformaciones de flexión (χ2

y χ3). χ1

χ2

χ3

=

κ1 − κ(0)1

κ2 − κ(0)2

κ3 − κ(0)3

= κ− κ(0)

Si mantenemos los giros en cada punto de la viga referidos al sistema local (recordando larelación que los liga con los globales)

θG = ΛθL

θL = ΛT θG

la linealización de la expresión anterior conduce a

ε =

εγ2

γ3

= ΛT du

ds+ e1 × θL =

t1 · dudst2 · duds − θ3

t3 · duds + θ2

χ =

χ1

χ2

χ3

=dθLds

+ κ(0) × θL =

dθ1dsdθ2dsdθ3ds

+

κ2θ3 − κ3θ2

κ3θ1 − κ1θ3

κ1θ2 − κ2θ1

de donde pueden particularizarse las expresiones para la viga en el plano obtenidas antes.

4.6.1. Matriz de rigidez de una viga recta en 2-D

Si nos restringimos al caso plano y una viga de eje recto. Usando una aproximación cuadrá-tica (3 nudos), con el nudo interno en el centro del elemento, la matriz de rigidez en coordenadaslocales resulta de la integral

KL =

ˆL

BT (ξ) D B (ξ) ds =

ˆ 1

−1

L

2BT (ξ) D B (ξ) dξ


ˆ 1

−1

EA2L

(N1′ξ

)2 EA2LN1′ξN

2′ξ

GAc2L

(N1′ξ

)2 GAc2N1′ξN

1 GAc3LN1′ξN

2′ξ

GAc2N1′ξN

2

EI2L

(N1′ξ

)2+

GAcL2

(N1)2

EI2LN1′ξN

2′ξ+

GAcL2N1N2

EA2L

(N2′ξ

)2

GAc2L

(N2′ξ

)2 GAc2N2′ξN

2

EI2L

(N2′ξ

)2+

GAcL2

(N2)2

Simétrica

EA2LN1′ξN

3′ξ

GAs2LN1′ξN

3′ξ

GAc2N1′ξN

3

EI2LN1′ξN

3′ξ+

GAcL2N1N3

EA2LN2′ξN

3′ξ

GAc2LN2′ξN

3′ξ

GAc2N2′ξN

3

EI2LN2′ξN

3′ξ+

GAcL2N2N3

EA2L

(N3′ξ

)2

GAc2L

(N3′ξ

)2

EI2L

(N3′ξ

)2+

GAcL2

(N3)2

dξ

Notar que todos los términos a integrar son polinomios en ξ, luego se pueden integrar enforma analítica sin problemas. Notar además el orden de los polinomios a integrar:

de 2do orden para productos de derivadas entre si

de 3er orden para producto de función y derivada

de 4to orden para productos de funciones entre sí

Recordar que si se integra numéricamente con dos puntos de integración se puede integrar exac-tamente un polinomio cúbico. De lo cual surge que si se integra con dos puntos de integraciónse integrará en forma exacta todos los términos salvo los asociados a productos de funcionesnodales entre sí (términos que relacionan las rotaciones entre sí, asociados al corte transversal). Por ejemplo la integral exacta de (N1)

2 es 415

e integrando con dos puntos es 29, lo que es un

20% menos que la integral exacta.Por otro lado, experimentos numéricos primero y desarrollos teóricos posteriores mostraron

que era conveniente una sub-integración de los términos asociados al corte a los fines de evitar elbloqueo numérico. El bloqueo numérico se produce debido a una imposibilidad de las funcionesde forma de representar correctamente el comportamiento de todas las variables con el consi-guiente aumento de la rigidez asociado a un incremento espurio de la energía de deformaciónasociada al corte transversal.


Usando integración numérica con dos puntos de integración se tiene

EA2L

143

EA2L

(−16

3

)GAc2L

143

GAc2

(−1) GAc3L

(−16

3

)GAc

2

(−4

3

)EI2L

143

+GAcL

229

EI2L

(−16

3

)+

GAcL2

29

EA2L

323

GAc2L

323

GAc2

(0)EI2L

323

+GAcL

289

EA2L

(23

)GAs2L

(23

)GAc

2

(13

)EI2L

(23

)+

GAcL2

(−1

9

)EA2L

(−16

3

)GAc2L

(−16

3

)GAc

2

(−4

3

)EI2L

(−16

3

)+

GAcL2

29

EA2L

143

GAc2L

143

EI2L

143

+GAcL

229

Notar que la solución exacta de las ecuaciones homogéneas de la viga de Timoshenko,

requiere una aproximación cúbica para el desplazamiento y cuadrática para el corte, por lo queel elemento desarrollado no resuelve exactamente los problemas, por lo cual, si el objetivo esobtener la solución exacta, es necesario usar más de un elemento finito por tramo de viga (adiferencia de la teoría clásica). Una segunda posibilidad es utilizar una interpolación cúbica parael desplazamiento transversal (por ejemplo utilizando cuatro nudos para el desplazamiento y sólo3 para el giro). Por otro lado dado que los nudos internos no se comparten con otros elementos,es posible previo al ensamble eliminar dichos grados de libertad usando “condensación”, con locual sólo permanecen como grados de libertad los de los nudos extremos, en tal caso la matrizde rigidez resulta de 4 × 4 (viga continua) y coincide con la matriz de rigidez (incluyendodeformaciones por corte) obtenida en los cursos de cálculo matricial de estructuras.

4.6.2. Ejercicio:

Calcular la matriz de rigidez de un elemento de viga de dos nudos (sólo flexión, sin axial)utilizando un único punto de integración

v (x) =[N1 (ξ)u1 +N2 (ξ)u2

]θ (x) =

[N1 (ξ) θ1 +N2 (ξ) θ2

]Donde las funciones de forma son:

N1 (ξ) =1

2(1− ξ)

N2 (ξ) =1

2(ξ + 1)


y cuyas derivadas (constantes) valen

N1′ξ = −1

2N2′ξ = +

1

2

N1′x = − 1

LN2′x = +

1

L

La matriz B resulta (evaluada en ξ = 0)

B =

[0 − 1

L0 1

L

− 1L

+12

1L

12

]En tanto que la matriz de rigidez resulta del producto

K = L

0 − 1

L

− 1L

+12

0 1L

1L

12

[ EI 00 GAc

] [0 − 1

L0 1

L

− 1L

+12

1L

12

]

=

GAcL

−GA0c

2−GAc

LGAc

2

−GAc2

EIL

+ GAcL2

GAc2

−EIL

+ GAcL2

−GAcL

GAc2

GAcL

GAc2

GAc2

−EIL

+ GAcL2

GAc2

EIL

+ GAcL2

4.7. Problemas de convección-difusiónConsideremos la siguiente ecuación diferencial (no autoadjunta)

d

dx

[ρuφ− Γ

dφ

dx

]− q = 0 (4.5)

con u la velocidad conocida, en este caso unidimensional u debe ser constante.Las condiciones de contorno (extremos del dominio) admisibles son:

φ = φ o ρuφ− Γdφ

dx= σ

es decir que en los extremos o se conoce φ o se conoce el flujo σ. Con el objetivo de ejemplificarel tratamiento de las condiciones de contorno en un dominio de longitud L , supondremos queφ es conocido en x = 0 y que σ es conocido en x = L.

Si subdividimos el dominio en N segmentos y proponemos entonces una aproximación parala variable φ en el dominio en función de las variables nodales φI (I = 0..N)

φ (x) =N∑I=0

ϕI (x)φI (4.6)

Reemplazando en la expresión 4.5, se obtiene

N∑I=0

d

dx

[ρuϕI (x)− Γ

dϕI (x)

dx

]φI − q = r(x)

N∑I=0

[ρudϕI (x)

dx− Γ

d2ϕI (x)

dx2

]φI − q = r(x) (4.7)


La última expresión es el “residuo” (r(x)), y es lo que el método numérico intentará minimizarpara obtener una solución aproximada del problema. Por otro lado no deben olvidarse lascondiciones de contorno, que pueden escribirse

φ−N∑I=0

ϕI (x)|x=L φI = s0 (4.8)

σ −N∑I=0

[ρuϕI (x)− Γ

dϕI (x)

dx

]x=L

φI = sL (4.9)

Definido entonces el residuo, el objetivo de máxima sería lograr que dicho residuo se anularaen todo punto, esto normalmente no es posible, y lo que se busca es anularlo en promedio, esdecir en forma integral. El método de residuos ponderados propone definir una función deponderación w (x)

w (x) =N∑I=0

W I (x) βI

donde W I (x) son funciones elegidas adecuadamente y βI son parámetros arbitrarios. Definidaesta función se propone que

ˆL

r(x)w(x)dx+ s0w0 + sLwL = 0 (4.10)

para todo valor de los parámetro βI . Como se ve en la definición de la función de peso, lacantidad de parámetros arbitrarios es igual al número de incógnitas del problema φI . Entrelas aproximaciones habituales se exige que la aproximación a φ satisfaga en forma exacta lascondiciones de borde sobre la propia variable (condiciones esenciales), en nuestro caso esosignifica que la aproximación satisfaga exactamente la primera condición de contorno, lo queconduce a que

φ1 = φ

s0 = 0

Luego nuestra aproximación se puede escribir

φ(x) = ϕ0 (x) φ+N∑I=1

ϕI (x)φI (4.11)

donde hemos separado el primer término de la sumatoria que ahora es conocido. Este primertérmino se conoce como solución particular y satisface en forma exacta las condiciones de con-torno esenciales, el resto de la aproximación satisface las mismas condiciones de contorno peroen forma homogénea. Simétricamente en la función de ponderación se elimina el primer suman-do para mantener igual la cantidad de incógnitas φI y la cantidad de parámetros arbitrariosβI .

Reemplazando entonces la aproximación a φ y la función de ponderación en la integralponderada, tenemos

N∑J=1

βJˆ

L

W Jr(x)dx+W JL sL

= 0

N∑J=1

βJ

ˆL

W J

[N∑I=0

(ρudϕI (x)

dx− Γ

d2ϕI (x)

dx2

)φI − q

]dx+W J

L sL

= 0


Lo que se pide es que lo encerrado entre llaves sea cero, es decir que independientemente del valorde los parámetros arbitrarios βI , se satisfaga la igualdad. Esto implica entonces N condiciones(una para cada W J) en función de las N incógnitas φI . Resulta entonces un sistema lineal deecuaciones

A Φ + F = 0

donde Φ es un vector de dimensión N que agrupa a las incógnitas φI , la matriz de coeficientesA se calcula como

AJI =

ˆL

W J

[ρudϕI (x)

dx− Γ

d2ϕI (x)

dx2

]dx+W J

L

[−ρuϕI (x) + Γ

dϕI (x)

dx

]x=L

(4.12)

FJ =

ˆL

W J

[(ρudϕ0 (x)

dx− Γ

d2ϕ0 (x)

dx2

)φ− q

]dx+W J

L

[σ −

(ρuϕ0 (x)− Γ

dϕ0 (x)

dx

)x=L

](4.13)

La elección de la función de ponderación conduce a formulaciones diferentes. En principiolas W I (x) sólo requieren como condición indispensable la de independencia lineal, sin embargouna adecuada elección es crucial desde el punto de vista numérico.

La aproximación de Galerkin (método de elementos finitos estándar) propone usar comofunción de peso una forma idéntica a la función de interpolación de la variable (4.11)

w (x) =N∑I=1

ϕI (x) βI

Donde N es aquí el número de puntos en la grilla, es decir la expresión anterior es formal,no estamos utilizando un único elemento en toda la grilla.

El término de la solución particular (como se explicara antes) por supuesto no aparece aquí.Utilizando una grilla con puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos extremos).

Las ecuaciones podrían calcularse de evaluar consistentemente las expresiones 4.12 y 4.13. Sinembargo resulta más conveniente realizar previamente una integración por partes, en este casoesta integración por partes se restringe al término difusivo que es el que tiene la derivada demayor orden. El objetivo de esta integración por partes como ya hemos visto es disminuir elorden de derivación que aparecen en las ecuaciones discretas a resolver.

N∑J=1

βJ

ˆL

W J

[N∑I=0

(ρudϕI (x)

dx− Γ

d2ϕI (x)

dx2

)φI − q

]dx+W J

L sL

= 0

(4.14)N∑J=1

βJ

N∑I=0

[ˆL

(W Jρu

dϕI

dx+dW J

dxΓdϕI

dx

)dx−

(W JΓ

dϕI

dx

)L0

]φI −

ˆL

W Jqdx+W JL sL

= 0

Al integrar por partes hemos disminuido entonces el máximo orden de derivación de lavariable φ, con lo que ahora alcanza con proponer una aproximación continua para φ, esto hasido a costa de aumentar el orden de derivación de la función de peso (que ahora deberá serderivable, es decir continua) y de la aparición de términos sobre el contorno.

Para fijar ideas, supongamos la aproximación más sencilla que corresponde a una interpo-lación lineal entre nudos (4.1). En un intervalo cualquiera J la variable φ y la función de pesoresultan

φ (x) = (1− ξ)φJ + ξφJ+1

w (x) = (1− ξ) βJ + ξβJ+1


Reemplazando en (4.14), y separando la integral sobre el segmento J tenemos

J∑K=J−1

βK

J∑

I=J−1

ˆ xJ

xJ−1

(ϕKρu

dϕI

dx+dϕK

dxΓdϕI

dx

)dx φI −

ˆ xI

xI−1

ϕKqdx

= Int(J)

Llamando

HKI = CKI +DKI

qK =

ˆ xI

xI−1

ϕKq dx

Donde

CKI =

ˆ xJ

xJ−1

ϕKρudϕI

dxdx (4.15)

DKI =

ˆ xJ

xJ−1

dϕK

dxΓdϕI

dxdx (4.16)

Luego

Int(J) =J∑

K=J−1

βK

J∑

I=J−1

(CKI +DKI) φI − qK

=[βJ−1 βJ

][ HJ−1,J−1 HJ−1,J

HJ,J−1 HJ,J

] [φJ−1

φJ

]−[fJ−1

fJ

]El resto de los términos (integrales sobre el contorno resultan)

Int (C) =N∑J=1

βJ

N∑I=0

−(ϕJΓ

dϕI

dx

)L0

φI + ϕJL

[σ −

N∑I=0

(ρuϕI (x)− Γ

dϕI (x)

dx

)x=L

φI

]

Debe notarse aquí que w(x = 0) = 0, además todas las ϕJ(x = L) = 0, salvo ϕN(x = L) = 1,luego

βN

N∑

I=N−1

−ΓdϕI

dxφI + σ − ρuφN +

N∑I=N−1

ΓdϕILdx

φI

= βN

σ − ρuφN

La integral de residuos ponderados (4.14) puede escribirse ahora

N∑J=1

Int(J) + Int(C) = 0

N∑J=1

[βJ−1 βJ

][ HJ−1,J−1 HJ−1,J

HJ,J−1 HJ,J

] [φJ−1

φJ

]−[fJ−1

fJ

]+ βN

σ − ρuφN

= 0

Esta expresión debe verse como un conjunto de N ecuaciones (una para cada βJ) con Nincógnitas (las φI). La matriz de coeficientes resulta de ensamblar las matrices “elementales” H.A esta última contribuye también en la posición (N ,N) el término del contorno −ρu. El vectortérmino independiente resulta de ensamblar los vectores “elementales” f , también contribuyenaquí los términos asociados a la solución particular (la primera columna de la primera matrizelemental H, multiplicada por φ0 = φ).


Esta aproximación corresponde a una de las posibilidades del método de ElementosFinitos. La matriz H elemental consta de dos partes, C debida al término convectivo y esno-simétrica y D debida al término difusivo que es simétrica. La aproximación de Galerkin esóptima para problemas difusivos puros (problemas espacialmente elípticos) asociado a operado-res auto-adjuntos (matrices simétricas). Para problemas dominantemente convectivos se usannormalmente aproximaciones diferentes.

Para la aproximación propuesta, la matriz elemental resulta

H =ρu

2

[−1 1−1 1

]+

Γ

∆x

[1 −1−1 1

]

Ejercicio

1-Sea el problema de convección difusión gobernado por la ecuación 4.5. Con una aproxi-mación lineal para la variable (4.1) en cada intervalo

φ (x) = (1− ξ)φI + ξφI+1

ξ =

(x− xI

)xI+1 − xI

=

(x− xI

)∆x

0 ≤ ξ ≤ 1

Usar el método de residuos ponderados con función de ponderación

w (x) = [(1− ξ) + αξ (1− ξ)] βJ + [ξ − αξ (1− ξ)] βJ+1

donde α es un parámetro fijo que puede variar entre 0 y 1. Este permite dar más peso al residuoen la parte inicial del intervalo (una forma de upwinding). De hecho para α = 0, se obtiene laaproximación habitual de Galerkin y para α = 1 se obtiene una aproximación conocida comoPetrov-Galerkin.

Graficar las funciones de peso asociadas a βJ en el intervalo[xJ−1, xJ+1

]para los valores

α = 0, 12, 1.

Calcular la integral del residuo en un intervalo genérico[xI , xI+1

], expresado en la forma

[βJ−1 βJ

][ HJ−1,J−1 HJ−1,J

HJ,J−1 HJ,J

]+ α

[HJ−1,J−1 HJ−1,J

HJ,J−1 HJ,J

][φJ−1

φJ

]

Escribir la ecuación de balance asociada a un βJ cualquiera para los 3 valores de αindicados arriba.

4.8. Análisis de cables

En general el análisis de estructuras de cables implica importantes desplazamientos y pre-tensiones, por lo cual es necesario plantear el equilibrio en la configuración deformada e incluirel efecto de las tensiones iniciales. En forma similar a una barra articulada los cables no tienenrigidez flexional apreciable y sólo transmiten esfuerzos normales. Más aún, si no se considerael peso propio es inmediato asimilar el comportamiento de un sector de cable al de una barraarticulada, considerando cada tramo de cable entre dos cargas como una barra. Como una in-troducción al tema aquí se mostrará con un ejemplo sencillo los principales elementos a tener


en cuenta. Supongamos entonces una estructura sencilla de un cable (ver figura) bajo tres car-gas puntuales, geométricamente simétrica respecto al centro. Definamos la geometría inicial delcable, puesto que el cable no tiene tensión inicial, cualquier configuración está en equilibrio ylo único importante es la longitud inicial del cable. Definamos entonces la configuración inicialcomo formada por dos tramos rectos de la misma longitud (ver figura) y supongamos que lascargas aplicadas corresponden a la mitad de cada tramo y a la unión de los dos tramos. Deesta forma el cable ha sido discretizado por cuatro elementos de barra-cable de igual longitudinicial

Lo =[12 + 0,52

] 12

1

2

3

4

54.0

1.0

150

100 100

+100

Figura 4.6: Estructura de cables

Podemos entonces definir las coordenadas iniciales o originales de los nudos

Nudo 1 2 3 4 5X1 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0X2 0.0 -0.5 -1.0 -0.5 0.0

Dado un estado de solicitaciones definido por las cargas en los 3 nudos libres de desplazarse(dos componentes por nudo),

fT=[p2

1, p22, p

31, p

32, p

41, p

42

]Y dada una configuración deformada, definida por los desplazamientos de los nudos a partir

de la configuración originaluT=

[u2

1, u22, u

31, u

32, u

41, u

42

]o directamente las coordenadas nodales actualizadas

xIi = XIi + uIi (4.17)

donde XIi es la coordenada original del nudo I en la dirección i y xIi es la coordenada actual

del nudo I en la dirección i.


Para saber si la configuración actualizada corresponde al equilibrio utilizamos el Principiode Trabajos Virtuales, el cual puede escribirse

TV I = TV E

NB∑K=1

NK δεK LK0 =NP∑N=1

2∑i=1

pNi δuNi (4.18)

donde NK , δεK , y LK0 son respectivamente el esfuerzo axial, la deformación virtual y la longitudinicial de la tramo K, en tanto que NB es el número de tramos en que se ha dividido al cable.En el segundo miembro aparece el trabajo virtual de las fuerzas externas y NP es el númerode nudos donde se aplican cargas.

Consideremos un tramo cualquiera de cable, por ejemplo el 1-2, y evaluemos el trabajovirtual interno que allí se produce. Para ello tenemos que evaluar:

La longitud actual:

L =[(

x2 − x1)·(x2 − x1

)] 12 (4.19)

=[(

X2 −X1 + u2 − u1)·(X2 −X1 + u2 − u1

)] 12

La deformación longitudinal

ε =L

L0

− 1 (4.20)

El esfuerzo axialN = EAε (4.21)

La deformación virtual

δε =∂ε

∂uδu =

1

L0

(∂L

∂u2δu2 +

∂L

∂u1δu1

)=

1

L0

∂L

∂(u2 − u1)

(δu2 − δu1

)∂L

∂(u2 − u1)=

1

L

(x2 − x1

)= t (dirección actual del tramo)

δε =1

L0

1

L

(x2 − x1

)·(δu2 − δu1

)=

1

L0

t ·(δu2 − δu1

)(4.22)

En consecuencia la contribución de una barra al trabajo virtual interno resulta

TV I = N1

L0

t ·(δu2 − δu1

)L0 =

(δu2 − δu1

)· t N (4.23)

En el ejemplo considerado las contribuciones de las tres barras resultan (notar que δu1 =δu5 = 0, pues u1 = u5 = 0)

TV I =(δu2)· t1 N

1 +(δu3 − δu2

)· t2 N

2 +(δu4 − δu3

)· t3 N

3 − δu4 · t4 N4 (4.24)

sacando factor los δuI , la expresión anterior puede escribirse (notar que δu · t = δuT t )

TV I =[δu2T , δu3T , δu4T

] N1t1 −N2t2

N2t2 −N3t3

N3t3 −N4t4

(4.25)

a su vez el trabajo virtual externo puede escribirse

TV E =[δu2T , δu3T , δu4T

] p2

p3

p4

(4.26)


haciendo la diferencia entre la segunda y la primera e igualando a cero

TV E − TV I = 0

[δu2T , δu3T , δu4T

] N2t2 −N1t1

N3t3 −N2t2

N4t4 −N3t3

+

p2

p3

p4

= 0 (4.27)

Como los δuI son arbitrarios, para asegurar la igualdad, cada una de las ecuaciones entrellaves debe anularse. Puede verse fácilmente que estas ecuaciones no son otra cosa que lasecuaciones de equilibrio en cada nudo.

Las ecuaciones planteadas son no-lineales en los desplazamientos, pues tanto NK como tKdependen en forma no-lineal de los desplazamientos. Los problemas no lineales se resuelvenhabitualmente en forma incremental. Un forma común es escribir las acciones externas enfunción de un escalar λ p2

p3

p4

= λ

f2

f3

f4

= λf (4.28)

y obtener la solución (ui) para valores crecientes de λi partiendo de la posición de equilibriosin tensiones (u0 = 0, λ0 = 0). Supongamos entonces que se conoce una posición de equilibrio(ui, λi) y queremos conocer una nueva posición de equilibrio (ui+1 = ui + ∆u, λi+1 = λi + ∆λ),donde λi+1 es dato e interesa determinar ui+1. Es decir que se ha llegado a un punto i dondese satisface

[δu2T , δu3T , δu4T

] N2t2 −N1t1

N3t3 −N2t2

N4t4 −N3t3

i

+ λi

f2

f3

f4

=0 (4.29)

[δu]T g (ui) + λi f=0

y se busca un nuevo ui+1 que satisfaga

[δu]T g (ui+1) + λi+1 f =0 (4.30)

Para ello se utiliza un esquema predictor-corrector, es decir se propone un valor inicial(predicción) de ui+1 y luego se corrige hasta convergencia. Uno de los esquemas predictor-corrector más utilizados es el de Newton-Raphson, el cual consiste en realizar la siguienteaproximación

g (ui+1) = g (ui) +∂g

∂u|i ∆u = g (ui)−Ki ∆u (4.31)

donde se ha introducido aK = −∂g

∂u(4.32)

que es el ‘Hessiano’ o derivada del sistema de ecuaciones no-lineales o simplemente la matriztangente. reemplazando en la anterior

[δu]T g (ui)−Ki ∆u + λi+1 f =0

de donde la predicción resulta

∆u = [Ki]−1 [g (ui) + λi+1 f ] = [Ki]

−1 [r] (4.33)

donde r es el residuo que se quiere anular


Veamos como obtener la matriz tangente para un elemento de cable o barra articulada.Notar que hasta ahora hemos escrito

TV I =NB∑K=1

NK δεK LK0 = − [δu]T g (u) (4.34)

Para cada barra interesa calcular su contribución a

− [δu]T∂g

∂u|i ∆u = [δu]T Ki ∆u =

∂ (TV I)

∂u∆u (4.35)

Evaluemos entonces

L0∂ (N δε)

∂u∆u = L0

[∂N

∂uδε+N

∂δε

∂u

]∆u

= L0δε∂N

∂u∆u +NL0

∂δε

∂u∆u (4.36)

La derivada en el primer término es

∂N

∂u=∂EAε

∂u= EA

∂ε

∂u(4.37)

a su vez la derivada ∂ε∂u

∆u = ∆ε es formalmente idéntica a δε = ∂ε∂uδu (expresión 4.22) es decir

∂ε

∂u∆u =

1

L0

t ·(∆u2 −∆u1

)Con lo cual una primera contribución a K

δuT KM ∆u = L0δε∂N

∂u∆u =

(δu2 − δu1

)· t EA

L0

t ·(∆u2 −∆u1

)=(δu1T , δu2T

) EAL0

[t tT −t tT

−t tT t tT

] [∆u1

∆u2

](4.38)

Notar que la matriz KM obtenida es formalmente idéntica a la matriz de rigidez de la barraen un análisis lineal, la diferencia es que aquí t corresponde a la geometría actual y no a lainicial. Esta primera contribución se denomina ‘Matriz de rigidez material’ (KM).

La segunda contribución resulta de

δuT KG ∆u = NL0∂δε

∂u∆u

que será no nula sólo si existen esfuerzos N , esta componente KG se denomina matriz de rigidez‘geométrica’, de ‘carga-geometría’ o debida a los ‘esfuerzos iniciales’. Para evaluarla debemosobtener

∂δε

∂u∆u =

∂[

1L0

(δu2 − δu1)T

t]

∂u∆u =

1

L0

(δu2 − δu1

)T ∂t

∂u∆u (4.39)

A su vez

∂t

∂u∆u =

∂(

x2−x1

L

)∂u

∆u =1

L

[1− t tT

]∆u (4.40)

con lo cualL0 N

∂δε

∂u∆u =

(δu2 − δu1

)T N

L

[1− t tT

] (∆u2 −∆u1

)(4.41)


de donde las segunda contribución a la matriz de rigidez resulta

δuT KG ∆u =(δu1T , δu2T

) NL

[1− t tT −1 + t tT

−1 + t tT 1− t tT

][∆u1

∆u2

](4.42)

A la suma de las matrices 1− t tT se la denomina matriz de proyección ortogonal, pues elproducto de esta matriz por un vector v cualquiera conduce a la proyección del vector v sobreel plano normal a t. Esto puede verse como quitarle a v su componente en la dirección t. Laoperación de quitarle a un vector v su proyección vt sobre t, se hace habitualmente como

vt = t · v = tTv

vn = v − t vt = v − t(tTv

)= v − ttT v =

(1− ttT

)v

La aparición de esta matriz se debe a que en 4.40 se está derivando un versor (vector unitario)y la dirección de esta derivada debe ser normal al versor, lo cual puede verse fácilmente a partirde que

t · t = 1

∂ (t · t)

∂u= 2 t · ∂t

∂u= 0

4.8.1. Ejemplo

Supongamos que la sección del cable es A = 1cm2 y el módulo de elasticidad es E =2× 106kg/cm2. El cable sometido al siguiente estado de cargas

f =

p2

1

p22

p31

p32

p41

p42

=

0−100

0−150

0−100

[N]

está en equilibrio para los siguientes desplazamientos:

u =

u2

1

u22

u31

u32

u41

u42

=

−0,073927−0,126720,000000,0618020,073927−0,12672

[m]

Si al sistema de cargas previos se le agregan en el punto central las siguientes

∆

[p3

1

p32

]=

[100−100

][N]

Las matrices tangentes elementales son

K1−2 =

1,2260 −0,8295 −1,2260 0,8295

0,5616 0,8295 −0,56161,2260 −0,8295

0,5616

× 106


K2−3 =

1,6489 −0,4781 −1,6489 0,4781

0,1389 0,4781 −0,13891,6489 −0,4781

0,1389

× 106

K3−4 =

1,6489 0,4781 −1,6489 −0,4781

0,1389 −0,4781 −0,13891,6489 0,4781

0,1389

× 106

K4−5 =

1,2260 0,8295 −1,2260 −0,8295

0,5616 −0,8295 −0,56161,2260 0,8295

0,5616

× 106

La matriz global ensamblada es;

Ki =

2,8749 −1,3077 −1,6489 0,4781

0,7005 0,4781 −0,13893,2978 0,0000 −1,6489 −0,4781

0,2778 −0,4781 −0,13892,8749 1,3077

0,7005

× 106

en tanto que los desplazamientos y los esfuerzos en las barras, una vez alcanzada conver-gencia son

ui+1=

u2

1

u22

u31

u32

u41

u42

=

−0,045848−0,083259

0,0045780,0331470,065921−0,114780

[m]

N1−2

N2−3

N3−4

N4−5

i+1

=

476,2432,6322,7366,7

[N]

4.8.2. Ejercicio

A partir de los desplazamientos indicados, calcular la configuración actual, los vectores t2

y t3 y comprobar el equilibrio del nudo 3

Capítulo 5

Problemas de valores en el contornoen 2 y 3 dimensiones

por F. Flores

5.1. Introducción

En el presente capítulo se presenta en forma resumida el conjunto de las ecuaciones de lamecánica que es de interés resolver en este curso. En general sólo se presentan las ecuacionesmás relevantes y no se incluye su deducción, pues no es el objeto del curso y demandaría muchoespacio, por lo cual aquellos interesados en su deducción deben dirigirse a textos específicos.

Existen diferentes problemas en la mecánica cuyo comportamiento puede representarse porla ecuación de Helmholtz, que en su forma más sencilla conduce a la ecuación de Laplace. Estetipo de problemas se expresa en función de una variable escalar, lo que permite una primeraaplicación del MEF, antes de abordar problemas donde la variable incógnita es vectorial.

5.2. Transferencia de calor

Recordemos primero el problema de transferencia de calor en 2 dimensiones. Definamospreviamente el operador ∇ (nabla)

∇ =∂

∂x1

t1 +∂

∂x2

t2 =

∂

∂x1∂

∂x2

aplicado sobre una función escalar u (la temperatura en nuestro caso) se obtiene el gradienteespacial de la misma

∇u =∂u

∂x1

t1 +∂u

∂x2

t2 =

∂u

∂x1∂u

∂x2

93


La derivada direccional de u en una dirección cualquiera ν = (ν1, ν2) que escribiremos ∂u∂ν

secalcula como

∂u

∂ν= ∇u · ν = ∇Tu ν =

∂u

∂x1

ν1 +∂u

∂x2

ν2

donde se ha escrito el producto punto entre dos vectores como el producto matricial de unvector fila (transpuesta del primer vector) y el segundo vector. La utilización de productosmatriciales es una forma muy conveniente para el desarrollo del método de elementos finitos.

Figura 5.1: Conducción del calor en 2 dimensiones

Una segunda magnitud física de interés en nuestros problema de valores en el contorno esel flujo σ. El flujo es una función vectorial o un campo vectorial lo mismo que el gradiente.

Sea Ω un dominio cerrado con un contorno suave ∂Ω con normal saliente n (s) en cadapunto de dicho contorno. El flujo que atraviesa el contorno en cada punto es:

σn (s) = σ (s) · n (s) = σT (s) n (s)

si se desea evaluar el flujo total (neto) que ingresa o egresa en un subdominio cualquiera ω ⊂ Ωbasta integrar sobre el contorno del subdominio ∂ω

Σω =

ˆ∂ω

σn d∂ω

dividiendo por el área (volumen) Aω de ω y tomando límite para Aω que tiende a 0, se obtiene(usando el teorema del valor medio del cálculo integral) la fórmula de la divergencia del campovectorial σ en el punto x = (x1, x2)

div (σ) =∂σ1

∂x1

+∂σ2

∂x2

= ∇ · σ

como la densidad de flujo neto en el punto. El flujo total ΣΩ a través del contorno de Ω sepuede escribir

ΣΩ =

ˆΩ

∇ · σ dΩ =

ˆ∂Ω

σ · n ds

En el caso general del teorema de la divergencia σ puede ser tanto un campo vectorial (tensorde 1er. orden) como un campo tensorial (2do. orden), en el segundo caso Σ es un vector.

Los problemas físicos que nos interesa resolver están gobernados por relaciones “constitu-tivas” (en el sentido de que dependen del material que “constituye” el dominio) lineales de laforma

σ (x) = −k (x)∇u (x) k > 0 ∀x[σ1

σ2

]= −k

[u′1u′2

]= −

[k11 k12

k21 k22

] [u′1u′2

]

5.2. TRANSFERENCIA DE CALOR 95

En la segunda expresión se ha generalizado la ley constitutiva al escribir el escalar k (con-ductividad o permeabilidad térmica) como un tensor de segundo orden k. Esto permitiría tratarmedios que tuvieran diferentes conductividades en diferentes direcciones del espacio. El casoisótropo se recupera escribiendo

k = k

[1 00 1

]=

[k 00 k

]El principio de conservación (o ley de balance) establece que dentro de cualquier porción del

dominio, el flujo neto a través del contorno de dicho subdominio debe ser igual a la cantidadproducida por las fuentes internas. Si f denota la fuente por unidad de área (volumen) tenemos

ˆ∂ω

σ · n d∂ω =

ˆω

f dω

usando el teorema de la divergenciaˆω

(∇ · σ−f) dω = 0

En consecuencia la ley local de balance resulta

∇ · σ (x) = f (x)

para cualquier subregión ω en Ω. Podríamos agregar (por completitud) fuentes internas deintensidad proporcional a u , en tal caso la ley de balance local es

∇ · σ (x) + b (x)u (x) = f (x)

La expresión matemática final de nuestro problema de valores en el contorno se obtieneeliminando σ y σn usando la relación constitutiva. Los datos que definen el problema sonentonces:

1. Los contornos ∂Ωu(donde u es conocido) y ∂Ωσ (donde σ es conocido)

2. La distribución de fuentes f (x) en Ω

3. Las características (conductividad térmica) del material k (x)

4. Los valores prescriptos en ∂Ωu u (s) = u (x)

5. En ∂Ωσ los valores prescriptos de σ (s) o el coeficiente de borde p (s) y u (s)

Dados los datos anteriores, el problema es entonces encontrar la función u (x) que satisface

1. La ley de balance local

−∇· [k (x)∇u (x)] + b (x)u (x) = f (x) en Ω

[∂

∂x1

,∂

∂x2

][k11 k12

k21 k22

] [u′1u′2

]+ b (x)u (x) = f (x)

2. La condición de salto en interfaces interiores

[|k∇u · n|] = 0


3. Las condiciones esenciales de borde

u (s) = u (s) en ∂Ωu

4. Las condiciones naturales de borde

−k (s)∂u (s)

∂n= p (s) [u (s)− u (s)]

o

−k (s)∂u (s)

∂n= σ (s)

en ∂Ωσ

La forma diferencial del problema en el caso isótropo y homogéneo, con b (x) = 0 , conduce ala ecuación de Laplace.[

∂

∂x1

,∂

∂x2

]k

[u′1u′2

]= k

∂2u

∂x21

+∂2u

∂x22

= k∇ · ∇u = f (x)

5.3. Forma variacional del problema de valores en el con-torno

La construcción de la forma variacional del problema de valores en el contorno comienzadefiniendo el residuo r

r (x) = −∇· [k (x)∇u (x)] + b (x) u (x)− f (x)

multiplicando el residuo por una función de ponderación o prueba v suficientemente suave,integrando en el dominio e igualando a cero dicha integral. En la integral del residuo ponderadoes necesario realizar una integral por partes, para ello notemos que:

∇· (vk∇u) = ∇u · (k∇v) + v∇· (k∇u)

∇T (vk∇u) = ∇Tu k ∇v + v ∇T (k∇u)

y de aquí

v∇· (k∇u) = ∇· (v k∇u)−∇u · (k∇v)

v ∇T (k∇u) = ∇T (vk∇u)−∇Tu k ∇v

reemplazando el segundo miembro por el primero en la integral del residuo conduce a:ˆΩ

(∇u · (k∇v) + b u v − f v) dΩ−ˆ

Ω

∇· (v k∇u) dΩ = 0

La segunda integral puede ser transformada en una integral sobre el contorno usando el teoremade la divergencia

−ˆ

Ω

∇· (v k∇u) dΩ = −ˆ∂Ω

vk∂u

∂nds

∂u

∂n= ∇u · n

En forma consistente al realizar la integral por partes aparecen las condiciones de contornoque es posible fijar en el problema en estudio. Además de la propia variable del problema u ,en la última expresión aparece en el contorno el término −k ∂u

∂n= σν (que es la condición de

contorno natural del problema), multiplicando a la función de ponderación v.Notar que el problema de transferencia de calor en 3 dimensiones se plantea en forma

idéntica, es decir:

5.4. MEMBRANA TRACCIONADA 97

Figura 5.2: Membrana traccionada sometida a una presión lateral

x = (x1, x2, x3) y ∇ =

∂

∂x1∂

∂x2∂

∂x3

La ecuación de campo es igual que antes

−∇· [k (x)∇u (x)] + b (x) u (x) = f (x)

y las condiciones de contorno

u (A) = u (A) en ∂Ωu

−k (A)∂u (A)

∂n= p (A) [u (A)− u (A)]

o

−k (A)∂u (A)

∂n= σ (A)

en ∂Ωσ

5.4. Membrana traccionada

El comportamiento de una membrana plana traccionada sometida a una presión lateraluniforme responde también a la ecuación de Helmholtz. Supongamos que el estado tensional dela membrana sea

σ =

[σ11 σ12

σ12 σ22

]Este estado tensional es uniforme en toda la membrana y no hay cargas másicas actuando

en el plano de la membrana, por lo cual se cumplen en forma trivial las ecuaciones de equilibrioen el plano de la membrana. Notar que es posible determinar las direcciones principales (ν1,ν2) del tensor de tensiones σ , de tal forma que la expresión del tensor de tensiones en dichosistema sea diagonal. Esto simplifica un poco las expresiones que se presentan a continuación,sin embargo no iremos en esa dirección, para mostrar la facilidad que tiene el método paratratar este tipo de problemas.

Al aplicar una presión lateral p (uniforme) sobre la membrana, esta debe desplazarse lateral-mente u (x) (dejando de ser plana) a los fines de restablecer el equilibrio. Como la membrana nopuede desarrollar momentos flectores (en forma análoga a un cable), es a través de sus esfuerzos


en el plano como puede equilibrar fuerzas normales. La ecuación de equilibrio transversal a lamembrana, debida a la presión lateral es:

∂

∂x1

[σ11

(∂u

∂x1

)+ σ12

(∂u

∂x2

)]+

∂

∂x2

[σ21

(∂u

∂x1

)+ σ22

(∂u

∂x2

)]+p

e= 0

Donde e es el espesor de la membrana. La expresión anterior puede escribirse como

∇·[

σ11 σ12

σ21 σ21

]∇u

+p

e= 0

En este problema las condiciones de contorno son exclusivamente esenciales (Dirichlet). Entodo el contorno u =cte. (o 0).

Si la tensión sobre la membrana es igual en todas las direcciones del plano (σ11 = σ22 = σ ,σ12 = 0), llamando N = σe al esfuerzo membranal, entonces la ecuación de equilibrio se resumea la ecuación de Laplace (no-homogénea)

∇ · ∇u = − p

N

La ecuación a resolver resulta muy sencilla y es completamente similar al caso anterior.Notar la similitud formal entre el tensor de tensiones σ de este caso con el tensor k que definela conductividad térmica en el caso anterior. La forma variacional se obtiene de la misma formaque en el caso anterior.

5.5. Flujo en un medio porosoEl flujo laminar a través de un medio poroso está gobernado por la ley de Darcy, la velocidad

del flujo (o caudal por unidad de área) es para un medio isótropo:

σ =

[σ1

σ2

]= k∇u

donde k es la permeabilidad del medio y u es la carga hidraúlica. Reemplazando en la ecuaciónde continuidad (divergencia de la velocidad igualada a 0 para un fluido incompresible)

∇ · σ = 0

resulta∇· (k∇u) = 0

Si el material es homogéneo (k constante)se obtiene nuevamente la ecuación de Laplace

k∇ · ∇u = 0

En el caso de medios estratificados, la permeabilidad es diferente en las distintas direcciones,el material presenta características ortótropas. En tal caso es posible reemplazar la permeabi-lidad k por un tensor de permeabilidad k (simétrico) en la ley de Darcy[

σ1

σ2

]=

[k11 k12

k21 k22

] [ ∂u∂x1∂u∂x2

]Por otro lado si existen fuentes o sumideros puntuales, es posible incluirlos en la ecuación

diferencial.Las condiciones de borde pueden ser de dos tipos

a) que se conozca el nivel de la carga hidraúlica u

b) que se conozca el flujo normal al contorno (caudal). Es habitual en este tipo de problemasla existencia de paredes impermeables como condición de contorno, allí se impone que elflujo normal a la pared sea nulo.

5.6. TORSIÓN DE UNA VIGA PRISMÁTICA SIN RESTRICCIÓN DE ALABEO 99

Figura 5.3: Flujo en un medio poroso

5.6. Torsión de una viga prismática sin restricción de ala-beo

El estudio del alabeo de una sección de una viga prismática sometida a un momento torsor,es un tema clásico de la mecánica. Las hipótesis cinemáticas son:

1. La sección no se deforma (en el plano de la sección) al aplicar el torsor

2. La sección gira alrededor de G (centro de corte) un valor θ que por unidad de longitudde viga denominaremos β, de tal forma que usando como referencia la sección en z = 0

θ = βz

en función ello los desplazamientos en el plano de la sección resultan

u (x, y, z) = −θ (z) y = −βzyv (x, y, z) = θ (z)x = βzx

3. La sección no tiene restricción al alabeo, lo cual conduce en general a que:

βw (x, y, z) 6= 0

luego veremos que w es sólo función de (x, y)

5.6.1. Deformaciones

εxx =∂u

∂x= 0

εyy =∂v

∂y= 0

εzz =∂βw

∂z= 0 (la justificación es posterior)

γxy = 2εxy =∂u

∂y+∂v

∂x= −βz + βz = 0

γxz = 2εxz =∂u

∂z+∂βw

∂x= −βy + βw′x

γyz = 2εyz =∂v

∂z+∂βw

∂y= βx+ βw′y


Figura 5.4: torsión de una pieza prismática

5.6.2. Tensiones

Las tensiones resultan de las ecuaciones constitutivas, luego considerando un material elásti-co y lineal (isótropo u ortótropo, en este último caso supondremos que las direcciones principalesde ortotropía coinciden con las direcciones coordenadas).

σxxσyyσzzτxyτxzτyz

=

Cxx Cxy CxzCxy Cyy CyzCxz Cyz Czz

Gxy

Gxz

Gyz

εxxεyyεzzγxyγxzγyz

Al no haber restricción al alabeo, en los extremos se cumple que σzz = 0, por otro lado si

consideramos un estado tensional uniforme a lo largo de la pieza, entonces σzz = 0 en toda lapieza, lo cual sumado a que εxx = εyy = 0, conduce

σzz = 0 = Czzεzz

de donde resulta εzz = 0 que justifica lo dicho antes y conduce a que w = w (x, y) es decirque w no depende de z. Consecuencia de lo anterior es que σxx = σyy = 0, resultando ademásτxy = 0. Luego las únicas tensiones no nulas son

τxz = Gxzγxz = Gxzβ (−y + w′x) (5.1a)τyz = Gyzγyz = Gyzβ (x+ w′y)

5.6.3. Equilibrio

Las únicas fuerzas actuantes son las aplicadas en las secciones extremas a los fines deimponer el momento torsor T . Este momento torsor se equilibra con el momento que producenlas tensiones rasantes de corte respecto al centro de corte según la siguiente expresión (conr = (x, y) la posición de cada punto respecto al centro de corte y τ = (τxz, τyz))

T =

ˆA

r× τ dA =

ˆA

(−τxzy + τyzx) dA


Reemplazando τ en función de 5.1a

T = β

Â

[−Gxz (−y + w′x) y +Gyz (x+ w′y)x] dA

= β

Â

[(Gxzy

2 +Gyzx2)

+ (−Gxzw′xy +Gyzw′yx)]dA

Notar que si particularizamos esta expresión para una material isótropo (Gxz = Gyz = G)

T = βG

Â

[y2 + x2 + (w′yx− w′xy)

]dA

= βG

J +

Â

(w′yx− w′xy) dA

Y para el caso de una sección circular que se sabe que no alabea w (x, y) = 0, se obtiene el

resultado conocido T = GJβ.Las ecuaciones de equilibrio en el dominio se satisfacen en forma trivial para las direcciones

x e y, pues ni β ni w dependen de la coordenada z.

∂σxx∂x

+∂σxy∂y

+∂σxz∂z

+ Fx = 0 + 0 +∂

∂z[Gxzβ (−y + w′x)] + 0 = 0

∂σxy∂x

+∂σyy∂y

+∂σyz∂z

+ Fy = 0 + 0 +∂

∂z[Gyzβ (x+ w′y)] + 0 = 0

La ecuación de equilibrio en la dirección z es la que gobierna el alabeo

∂σxz∂x

+∂σyz∂y

+∂σzz∂z

+ Fz =∂

∂x[Gxzβ (−y + w′x)] +

∂

∂y[Gyzβ (x+ w′y)] = 0 (5.2)

Gxz∂w′x∂x

+Gyz∂w′y∂y

= Gxz∂2w

∂x2+Gyz

∂2w

∂y2= 0 (5.3)

Donde en la segunda expresión se ha supuesto que el material es homogéneoSi el material además es isótropo Gxz = Gyz = G se obtiene la ecuación de Laplace

G

(∂2w

∂x2+∂2w

∂y2

)= G ∇ · ∇w = 0

5.6.4. Condiciones de contorno

Figura 5.5: Condición de contorno en la torsión

Las condiciones de contorno son exclusivamente naturales (Neumann). La tensión de cortenormal al contorno debe ser cero τν = 0. Denominando con α al ángulo que forma la normal alcontorno ν con el eje x, tenemos que (llamando s a lo longitud de arco sobre el contorno

νx = cosα =dy

dsνy = sinα = −dx

ds


la tensión de corte normal esτν = τ · ν = τxz

dy

ds− τyz

dx

ds(5.4)

reemplazando las expresiones 5.1a

τν = [Gxzβ (−y + w′x)]dy

ds− [Gyzβ (x+ w′y)]

dx

ds

= −βGxzy

dy

ds+Gyzx

dx

ds+Gxzw′x

dy

ds−Gyzw′y

dx

ds

(5.5)

Si el material es isótropo

τν = Gβ

−[ydy

ds+ x

dx

ds

]︸︷︷︸

1

2

dr2

ds

+

(w′x

dy

ds− w′y

dx

ds

)︸︷︷︸

w′ν

= 0

w′ν =1

2

dr2

ds

5.6.5. Forma débil de la ecuación de alabeo

Aplicando residuos ponderados sobre la expresión 5.2, con v la función de ponderación

β

Â

v

∂

∂x[Gxz (−y + w′x)] +

∂

∂y[Gyz (x+ w′y)]

dA = 0

β

Â

v

[∂

∂x(Gxzw′x) +

∂

∂y(Gyzw′y)

]+ v

[− ∂

∂x(Gxzy) +

∂

∂y(Gyzx)

]dA = 0

Notar que el segundo término es necesario sólo cuando el material no es homogéneo, esdecir cuando hay una variación de la matriz constitutiva del material. Esta formulación permiteentonces tratar el alabeo de secciones compuestas de distintos materiales. Notar además que elsegundo término incluye sólo valores conocidos, por lo cual podríamos separar en dos miembrosla ecuación, de tal forma que el segundo miembro es nulo para materiales homogéneos

β

Â

v

[∂

∂x(Gxzw′x) +

∂

∂y(Gyzw′y)

]dA = β

Â

v

[∂

∂x(Gxzy)− ∂

∂y(Gyzx)

]dA

Integrando por partes ambos miembrosÂ

v

[∂

∂x(Gxzw′x) +

∂

∂y(Gyzw′y)

]dA =

ˆS

v [Gxzw′xνx +Gyzw′yνy] ds−Â

[Gxzw′xv′x +Gyzw′yv′y] dA

Â

v

[∂

∂x(Gxzy)− ∂

∂y(Gyzx)

]dA =

ˆS

v [Gxzyνx −Gyzxνy] ds−Â

[Gxzyv′x −Gyzxv′y] dA

Reemplazando en la expresión anterior y notando que los términos en el contorno se anulanentre si (ver ecuación 5.5)

β

ˆS

v Gxzw′xνx +Gyzw′yνy − [Gxzyνx −Gyzxνy] ds =

ˆs

vτνds = 0


resultaÂ

[Gxzw′xv′x +Gyzw′yv′y] dA =

Â

[Gxzyv′x −Gyzxv′y] dA

Â

[v′x, v′y]

[Gxz

Gyz

] [w′xw′y

]dA =

Â

[v′x, v′y]

[Gxz

Gyz

] [y−x

]dA

Notar que para la solución del problema es necesario fijar en algún punto el valor de w,además habitualmente se resuelve el problema para un valor unitario de β. En secciones simé-tricas es suficiente con discretizar una de las porciones simétricas, en este caso deben imponersecondiciones de contorno sobre w (esenciales), w = 0 en las líneas de simetría.

La formulación presentada hasta aquí sigue los lineamientos del método de los desplaza-mientos (o método de rigidez) consistente en resolver las ecuaciones de equilibrio del problemaexpresadas en función de las incógnitas de desplazamiento. Una vez obtenida la solución delproblema la determinación de deformaciones y tensiones es directa. A continuación veremosuna solución alternativa, consistente en resolver ecuaciones de compatibilidad, lo que se asociahabitualmente con el método de las fuerzas, contraparte de esta formulación

5.6.6. Función de tensión

La formulación más renombrada para el análisis del problema de alabeo está asociada a lasolución de una ecuación de compatibilidad. Esto es así porque, como veremos, para materialesisótropos y homogéneos , resulta como ecuación de gobierno la ecuación de Laplace con condi-ciones de contorno sólo esenciales y homogéneas (secciones simplemente conexas). Esto permitehacer analogías con otros problemas mecánicos, como por ejemplo la membrana traccionadaque se describió antes (“analogía de la membrana” debida a Prandtl).

Para resolver el problema se propone una función φ (función de tensión) que satisfaga enforma implícita las ecuaciones de equilibrio del problema en el dominio. Habíamos visto que eneste caso la única ecuación de equilibrio no trivial es

∂σxz∂x

+∂σyz∂y

= 0

Definiendo φ tal que

τxz = β∂φ

∂yτyz = −β∂φ

∂x

reemplazado en la ecuación de equilibrio del dominio la satisface en forma idéntica. A su vez sila reemplazamos en la ecuación de equilibrio en el contorno τν = 0 (5.4) resulta

τν = β∂φ

∂y

dy

ds+ β

∂φ

∂x

dx

ds= β

dφ

ds= 0

La expresión anterior indica que φ (s) =cte. en el contorno. Para dominios simplementeconexos basta con fijar un valor constante arbitrario para la función incógnita sobre todo elcontorno, valor que se elige igual 0 por comodidad.

Si escribimos ahora las deformaciones en términos de la función de tensión, tenemos

γxz =τxzGxz

=β

Gxz

∂φ

∂y= β (−y + w′x)

γyz =τyzGyz

= − β

Gyz

∂φ

∂x= β (x+ w′y)


Derivando la primera respecto a y , la segunda respecto a x

∂

∂y

(β

Gxz

∂φ

∂y

)= β (−1 + w′xy)

− ∂

∂x

(β

Gyz

∂φ

∂x

)= β (1 + w′yx)

y observando que debe cumplirse que para que la función de alabeo w sea compatible w′xy =w′yx, restando la segunda de la primera resulta

∂

∂x

(β

Gyz

∂φ

∂x

)+

∂

∂y

(β

Gxz

∂φ

∂y

)= −2β (5.6)

Que es una ecuación de compatibilidad (w′xy = w′yx) en función de φ. Si el material eshomogéneo e isótropo resulta la ecuación de Laplace con condiciones de contorno homogéneas(dominios simplemente conexos)

∇ · ∇φ = −2G

φ (s) = 0

5.6.7. Forma débil de la ecuación de compatibilidad

Para obtener la forma débil multiplicamos la ecuación 5.6 por una función de peso ψ eintegramos por partes el primer miembro

Â

ψ

[∂

∂x

(1

Gyz

∂φ

∂x

)+

∂

∂y

(1

Gxz

∂φ

∂y

)]dA =

Â

−ψ2 dA (5.7)

ˆS

ψ

[(1

Gyz

∂φ

∂x

)νx +

(1

Gxz

∂φ

∂y

)νy

]ds−

Â

∇ψ ·[(

1

Gxz

∂φ

∂y

),

(1

Gyz

∂φ

∂x

)]dA = −2

Â

ψ dA

(5.8)Como φ es conocida sobre el contorno (0) la función de peso ψ vale 0 sobre el contorno y la

integral sobre el contorno se anula. En consecuencia la forma débil resulta

Â

[∂ψ

∂x,∂ψ

∂y

] 1

Gxz

0

01

Gyz

∂φ

∂x∂φ

∂y

dA = −2

Â

ψ dA (5.9)

En el caso de dominios multiplemente conexos debe cumplirse que la función de tensión seaconstante en cada contorno. Fijando el valor φ = 0, en el contorno exterior, en cada contornointerno Si la función valdrá φi. Estos valores de φi son ‘a priori’ desconocidos y se obtienen dela solución numérica. Lo que debe imponerse es que en todos los puntos j de cada contornointerno i el valor de φ sea el mismo φj = φi (∀j ∈ Si)

5.7. Flujo potencialEn el caso de flujos potenciales las condiciones que debe cumplir el campo de velocidades

son dos

1. continuidad, asociado con que la divergencia del campo de velocidades u sea nula

∇ · u = 0

5.7. FLUJO POTENCIAL 105

2. irrotacionalidad, asociado a que el rotor del campo de velocidades sea nulo

∇× u = 0

Hay dos formas equivalentes de abordar el problema, con diferentes ventajas de acuerdoal problema que se intenta analizar. La variable fundamental del problema no es el campode velocidades, sino que éste (como todos los flujos tratados hasta ahora) se derivan de unavariable (escalar).

5.7.1. Función potencial

Una primera posibilidad es utilizar como variable independiente al potencial ϕ, de estamanera, el campo de velocidades resulta

u = −∇ϕ

Naturalmente si el campo u se deriva de un potencial, entonces satisface en forma explícitala condición irrotacionalidad y lo único que resta imponer es que satisfaga continuidad, es decir

∇ · u = −∇ · ∇ϕ = 0

con lo cual se obtiene la ecuación de Laplace.Las condiciones de contorno que pueden imponerse en este caso son:

1. esenciales, es posible fijar el valor de ϕ (potencial hidráulico)

2. naturales, es posible fijar el valor de la velocidad normal al contorno uν = ν · ∇ϕ

5.7.2. Función líneas de corriente

La segunda posibilidad es utilizar como variable independiente la función línea de corrienteψ que es conjugada de la función potencial ϕ. El campo de velocidades u queda ahora definidopor

u =

[u1

u2

]=

∂ψ

∂x2

− ∂ψ∂x1

La definición de este campo de velocidades hace que se cumpla explícitamente la condición

de continuidad, por lo cual ahora la condición a cumplir es que el campo u sea irrotacional

∇× u = ∇×

∂ψ

∂x2

− ∂ψ∂x1

=∂

∂x1

−∂ψ∂x1

− ∂

∂x2

∂ψ

∂x2

= −(∂2ψ

∂x21

+∂2ψ

∂x22

)= 0

nuevamente obtenemos la ecuación de Laplace, cuyas condiciones de contorno pueden ser

1. esenciales, es posible fijar el valor de ψ (valor de la línea de corriente)

2. naturales, es posible fijar el valor de la velocidad tangencial al contorno ut = ν · ∇ψ.Notar que

ν · ∇ψ = [ν1, ν2]

[−u2

u1

]= [−ν2, ν1]

[u1

u2

]= t · u = ut


5.8. Ecuación de convección - difusiónLas ecuaciones diferenciales tratadas hasta aquí conducen a la ecuación de Laplace, donde

el orden de derivación de la variable incógnita es par en todos los casos. Esto ha conducido, alrealizar la integral por partes, a una simetría del operador respecto a la variable incógnita y ala función de ponderación. Las ecuaciones diferenciales con estas características se denominanauto-adjuntas.

En este caso, nos interesa resolver la siguiente ecuación diferencial que aparece principal-mente el área de mecánica de los fluidos

∇ · [ρuφ− Γ∇φ] + q = 0

donde u es el campo de velocidades (conocido)

u (x1, x2) =

[u1

u2

]que satisface la ecuación de continuidad

∇ · (ρu) = 0

φ es la variable (incógnita) del problema, es una variable escalarΓ es la difusividad, en general en un medio isótropo ésta es un escalar. En algunos problemas

que interesa abordar, resulta necesario escribir a Γ como un tensor de segundo orden (simétrico)

Γ =

[Γ11 Γ12

Γ21 Γ22

]q es un escalar y representa una fuente (o un sumidero) distribuido en el dominio.La diferencia fundamental entre esta ecuación diferencial y las que se han tratado hasta

ahora es el término ∇· [ρuφ] (término convectivo), si se omite este término se tiene nuevamentela ecuación de Laplace. En este término la variable incógnita aparece derivada sólo una vez,por lo cual el operador ya no resulta autoadjunto y en las discretizaciones numéricas dará lugara matrices no-simétricas (independientemente de la función de ponderación elegida).

Las condiciones de contorno que pueden imponerse son

1. el valor de la variable φ en parte del contorno Sφ

2. el valor del flujo normal al contorno σν = [ρuφ− Γ∇φ] · ν en la parte del contorno Sσ

La formulación débil que resulta para este problema se obtiene como siempre de aplicar residuosponderados sobre la ecuación de balance en el dominio y sobre las condiciones de contorno.Multiplicando entonces por una función de peso arbitraria ϕˆ

A

ϕ ∇ · [ρuφ− Γ∇φ] + q dA+

ˆSσ

ϕ [σν − (ρuφ− Γ∇φ) · ν] dSσ +

ˆSφ

ϕ(φ− φ

)dSφ = 0

integrando por partes en el dominio el término difusivo y notando que(φ− φ

)= 0, pues las

aproximaciones satisfacen en forma exacta este tipo de condicionesˆSσ

ϕ [σν − ρuφ · ν] dSσ +

Â

ϕ∇ · (ρuφ) dA+

Â

∇ϕ · Γ∇φ dA+

Â

ϕqdA = 0

Finalmente notando que el campo de velocidades debe satisfacer la condición de incompresibi-lidad

∇ · (ρu) = 0

5.9. ELASTICIDAD LINEAL 107

entonces∇ · (ρuφ) = φ∇ · (ρu) + (ρu) · ∇φ = (ρu) · ∇φ

de donde la integral del residuo resultaˆSσ


Â

ϕ (ρu) · ∇φdA+

Â


Â

ϕqdA = 0

5.9. Elasticidad lineal

5.9.1. Ecuaciones básicas de la elasticidad lineal

A continuación se describen las ecuaciones básicas de la elasticidad lineal con el objeto deobtener una formulación débil que luego pueda discretizarse usando el método de elementosfinitos.

La ecuación de equilibrio (o ley de balance local) es de la forma

∇ · σ + ρ (x) [b (x)− a (x)] = 0 en Ω (5.10)

[∂

∂x1

,∂

∂x2

,∂

∂x3

] σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

+ ρ (x)

b1 − a1

b2 − a2

b3 − a3

= 0

donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy que es simétrico, ρ es la densidad de masa, b es lafuerza másica por unidad de masa (ρb = F es la fuerza másica por unidad de volumen) y a esla aceleración. Las condiciones de contorno del problema son:

σ n = f en ∂Ωσ

u = u en ∂Ωu

donde n es la normal en el contorno, f es la fuerza aplicada sobre el contorno, u son desplaza-mientos prescriptos y ∂Ωσ es la parte del contorno donde se conocen las fuerzas externas, ∂Ωu esla parte del contorno donde se conocen los desplazamientos, que cumplen que ∂Ω = ∂Ωσ +∂Ωu

y ∂Ωσ ∩ ∂Ωu = ∅ . Las ecuaciones constitutivas y cinemáticas son

σ = D : ε ε = ∇su =1

2

(∇Tu +∇u

)σij = Dijkl εij ∇Tu = (∇u)T

donde ε es el tensor de pequeñas deformaciones, D es el tensor de elasticidad de cuarto orden(liga dos tensores de 2do. orden) y ∇su es la parte simétrica del gradiente de desplazamientos.

Las ecuaciones anteriores desarrolladas para el problema tridimensional resultan:

∇ · σ =

∂σ11

∂x1

+∂σ12

∂x2

+∂σ13

∂x3

∂σ21

∂x1

+∂σ22

∂x2

+∂σ23

∂x3

∂σ31

∂x3

+∂σ32

∂x2

+∂σ33

∂x3

=∂σij∂xj

ti =∂σji∂xj

ti

∂σij∂xj

+ ρ (bi − ai) = 0


Figura 5.6: Elasticidad tridimensional

σ · n = σTn =

σ11ν1 + σ12ν2 + σ13ν3

σ21ν1 + σ22ν2 + σ23ν3

σ31ν1 + σ32ν2 + σ33ν3

= σijνjti = σijνitj

σijνj = fi

(∇u)ij =∂ui∂xj

εij = (∇su)ij =1

2

(∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)Para un material isótropo, el tensor de elasticidad depende de sólo dos constantes y puede

escribirseD =2µ I+λ 1⊗ 1

Dijkl = µ (δikδjl + δilδjk) + λ δijδkl

µ =E

2 (1 + ν)λ =

Eν

(1 + ν) (1− 2ν)

donde µ y λ son los parámetros de Lamé, E es el módulo de elasticidad de Young y ν es larelación de Poisson. I es el tensor identidad de cuarto orden, 1 es el tensor identidad de segundoorden y ⊗ denota el producto tensorial

σij = Dijkl εkl = [µ (δikδjl + δilδjk) + λ δijδkl] εkl

σij = 2µ εij + δij λ εkk

5.9.2. Formulación débil usando residuos ponderados

Apliquemos el método de residuos ponderados a la ecuación de equilibrio (5.10) con unafunción de ponderación w = (w1, w2, w3) donde los wi son funciones independientes una de otra


y ponderan cada componente de la ecuación de equilibrio

ˆΩ

w· ∇ · σ + ρ (x) [b (x)− a (x)] dΩ = 0ˆ

Ω

w· (∇ · σ) dΩ = −ˆ

Ω

ρ (x) w· [b (x)− a (x)] dΩ

Integremos por partes el primer miembro, para lo cual recordemos que:

w · σ = wTσ = wiσijtj

∇ · (w · σ) =∂

∂xj(wiσij)

=∂wi∂xj

σij + wi∂σij∂xj

= ∇w : σ + w· (∇ · σ)

la última expresión permite escribir el primer miembro del residuo como

ˆΩ

w· (∇ · σ) dΩ =

ˆ∂Ω

w·(σ · n)︸︷︷︸f(s)

d∂Ω−ˆ

Ω

∇w : σ dΩ

donde el operador “:” es el producto punto entre tensores de segundo orden, similar al de vectores(por ej.: σ : ε = σij εij =

∑3i=1

∑3j=1 σij εij ). Notando además que debido a la simetría del

tensor de tensiones ∇w : σ = ∇sw : σ la integral ponderada del residuo puede escribirse:

ˆΩ

∇sw : σ dΩ =

ˆΩ

w·ρ (x) [b (x)− a (x)] dΩ +

ˆ∂Ω

w · f (s) d∂Ω

Reemplazando la ecuación constitutiva tenemos:

ˆΩ

∇sw : D : ∇su dΩ =

ˆΩ

w·ρ (x) [b (x)− a (x)] dΩ +

ˆ∂Ω

w · f (s) d∂Ω

Las condiciones sobre la solución u son: continuidad (compatibilidad), derivabilidad (∇udebe existir y poder ser calculado) y u = u en ∂Ωu . Al usar Galerkin e integrar por partes, lascondiciones sobre w resultan similares: continuidad y derivabilidad (∇w debe existir y poderser calculado) y w = 0 en ∂Ωu . Esta última condición permite dividir la segunda integral delsegundo miembro en dos partes, dividiendo el contorno en dos partes (∂Ωσ y ∂Ωu) en la segundaparte la integral resulta entonces identicamente nula. Finalmente si llamamos

ε = ∇sw

ˆΩ

εijDijklεkl dΩ =

ˆΩ

wiρ (x) [bi (x)− ai (x)] dΩ +

ˆ∂Ωσ

wifi (s) d∂Ωs

donde en el primer miembro se puede reemplazar el tensor D

ˆΩ

εijDijklεkl dΩ =

ˆΩ

(2µ εijεij + λ εkkεll) dΩ


5.9.3. Formulación a partir del Principio de los Trabajos Virtuales

Si bien el método de residuos ponderados representa una forma directa para la discretiza-ción numérica de la ecuaciones de equilibrio de un sólido elástico cuando se usa el método deelementos finitos, existen otras formas para obtener ecuaciones equivalentes. Estas otras for-mas presentan las ventajas de su más fácil interpretación mecánica. Aquí mostraremos comoes posible obtener ecuaciones de equilibrio discretas (es decir en términos de un conjunto finitode parámetros) a partir del Principio de Trabajos Virtuales (P.T.V.). Básicamente el P.T.V.dice que para que un sólido elástico esté en equilibrio debe satisfacerse que para todo campode desplazamientos virtuales δu (compatible con los vínculos)

ˆΩ

σij δεij dΩ−ˆ

Ω

ρb (x) δu dv −ˆ∂Ωσ

f δu d∂Ωσ = 0 (5.11)

Si reemplazamosσij = 2µεij + δijλεkk

δεij =1

2(δui,j + δuj,i)

obtenemos ecuaciones similares al método de residuos ponderados donde podemos asimilar eldesplazamiento virtual a la función de peso ya que las condiciones sobre ambas son las mismas.

5.9.4. Notación matricial de los tensores involucrados

En este tipo de problemas resulta necesario manejar tensores de 4to. orden, desde el puntode vista computacional esto no es deseable, y si bien analíticamente y conceptualmente esconveniente y necesario trabajar con ellos, a veces es más visual manejarlos en la forma que sedetalla a continuación. Los tensores de segundo orden se manejan como vectores y los tensores de4to orden como matrices, así al tensor de deformaciones que tiene 9 componentes, pero sólo seisdiferentes debido a su simetría, lo manejaremos como un arreglo (vector) de seis componentesordenados de la forma

ε =

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

la razón de por qué considerar dos veces las deformaciones de corte quedará claro más adelante.Este tensor que depende de tres componentes de desplazamiento puede escribirse como unoperador lineal B sobre el vector u

ε =

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

=

∂

∂x1

0 0

0∂

∂x2

0

0 0∂

∂x3∂

∂x2

∂

∂x1

0

0∂

∂x3

∂

∂x2∂

∂x3

0∂

∂x1

u1

u2

u3

= B u (5.12)


Similarmente el tensor de tensiones lo podemos expresar como un vector de seis componentesordenado de la siguiente forma

σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ23

σ31

La relación que liga tensiones con deformaciones está definida por el tensor de elasticidad D,esta relación cuando se expresa en términos de los tensores de 2do orden expresados comoarreglos de una dimensión conduce a la siguiente expresión (material elástico lineal e isótropo):

σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ23

σ31

=E

1 + ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

12

12

12

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

= Dε

σ = D B u

Dado que tratamos con deformaciones lineales, las deformaciones virtuales pueden escribirsede la misma forma que las reales

δε =

δε11

δε22

δε33

2δε12

2δε23

2δε13

= B δu (5.13)

Notar que en la expresión del trabajo virtual interno (primer término de la expresión 5.11)podemos escribir en lugar del producto interno de tensores de 2do. orden σ :δε ≡ σ·δε = σT ε,donde en el primer miembro de la equivalencia estamos considerando tensores y en el segundomiembro la notación vectorial. El segundo miembro de esta igualdad indica la forma estándarde expresar un producto interno de dos vectores columnas como una multiplicación de matrices.Si reemplazamos (5.12 y 5.13) este producto interno puede escribirse finalmente:

σT δε = uT BT D B δu

5.9.5. Elasticidad Plana

Listamos a continuación las principales ecuaciones de la elasticidad plana, en la notaciónprevia, correspondientes a los estados:

5.9.5.1. Estado plano de tensión (σi3 = 0):

ε =

ε11

ε22

2ε12

=

∂

∂x1

0

0∂

∂x2∂

∂x2

∂

∂x1

[u1

u2

]


σ =

σ11

σ22

σ12

=E

1− ν2

1 νν 1

12

(1− ν)

ε11

ε22

2ε12

ε33 = − ν

(1− ν)(ε11 + ε22)

5.9.5.2. Estado plano de deformación (εi3 = 0):

ε =

ε11

ε22

2ε12

=

∂

∂x1

0

0∂

∂x2∂

∂x2

∂

∂x1

[u1

u2

]

σ =

σ11

σ22

σ12

=E (1− ν)

(1 + ν) (1− 2ν)

1

ν

(1− ν)ν

(1− ν)1

(1− 2ν)

2 (1− ν)

ε11

ε22

2ε12

σ33 = ν (σ11 + σ22)

5.9.5.3. Estado de deformación axilsimétrico:

ε =

ε11

ε22

2ε12

ε33

=

∂

∂x1

0

0∂

∂x2∂

∂x2

∂

∂x11

x1

0

[u1

u2

]

σ =

σ11

σ22

σ12

σ33

=E (1− ν)

(1 + ν) (1− 2ν)

1ν

(1− ν)

ν

(1− ν)ν

(1− ν)1

ν

(1− ν)(1− 2ν)

2 (1− ν)ν

(1− ν)

ν

(1− ν)1

ε11

ε22

2ε12

ε33

5.10. Flexión de Placas

5.10.1. Teoría clásica de placas (Love-Kirchhoff)

En la teoría clásica de placas (delgadas) se asume en forma similar a la teoría clásica devigas:

5.10. FLEXIÓN DE PLACAS 113

Figura 5.7: Teoría de placas clásica

1. que la placa funciona en un estado plano de tensión (se desprecian los esfuerzos normalesal plano de la placa)

2. la fibra que en la configuración indeformada, era normal al plano de la placa, en laconfiguración deformada:

se mantiene recta

se mantiene normal a la superficie deformada, y en consecuencia el giro de la fibra(θ) coincide con el giro de la normal a la superficie media

θ = −∇u = −(∂u

∂x1

,∂u

∂x2

)Estas hipótesis conducen a despreciar las deformaciones debidas al corte transversal γ, y a quetodo el comportamiento flexional quede descripto por el desplazamiento transversal a la placau. El plano medio se mantiene indeformado (membranalmente) y las deformaciones en puntosfuera del plano medio son proporcionales a su distancia al mismo (x3) según una ley lineal enel espesor de la placa (h):

εij = χij x3 − h

2≤ x3 ≤

h

2

χij = − ∂2u

∂xi∂uji, j = 1, 2

Los momentos flectores se relacionan con las curvaturas del plano medio mediante las si-guientes ecuaciones constitutivas

M =

M11

M22

M12

=Eh3

12 (1− ν2)

1 νν 1

1− ν2

χ11

χ22

2χ12

= D χ

Al igual que en el caso de vigas sin deformación cortante, los esfuerzos de corte transversalQ = Q1, Q2 no tienen ecuaciones constitutivas asociadas sino que estos se obtienen de lasecuaciones de equilibrio, en función de derivadas de los momentos. La ecuación de trabajosvirtuales se escribe:ˆ

Ω

(M11δχ11 +M22δχ22 + 2M12δχ12) dΩ =

ˆΩ

p δu dΩ+

ˆ∂Ω

(−Mνν

∂δu

∂n−Mνs

∂δu

∂s+Qνδu

)d∂Ω


Donde n es la normal al contorno y s es la tangente al mismo (ambas en el plano de lalámina). En la última integral podemos reescribir los últimos dos términos en la forma

ˆ∂Ω

(−Mνs

∂δu

∂s+Qνδu

)dΩ = −Mνsδu]s0 +

ˆ∂Ω

(∂Mνs

∂s+Qν

)δu dΩ

El término entre paréntesis en la integral del segundo miembro se conoce como corte efectivoo de Kirchhoff. El primer término del 2do. miembro se anula en el caso de contornos suavesy da lugar a valores puntuales en caso contrario. Notar que el problema de flexión de placasrequiere poder evaluar derivadas segundas de la variable, y por lo tanto conduce a elementos decontinuidad C1. A diferencia del caso de vigas, donde esta condición es relativamente sencillade cumplir, en el caso de placas la continuidad C1 trae muchos problemas. La mayoría de loselementos finitos basados en esta teoría no satisfacen en forma completa la continuidad delas derivadas primeras a lo largo de los contornos inter-elementos. Aquellos elementos que nosatisfacen en forma completa los requisitos de continuidad se denominan “no-conformes”

5.10.2. Teoría de placas incluyendo deformaciones transversales decorte (Reissner-Mindlin)

Figura 5.8: Teoría de placas con deformaciones de corte

Esta teoría se diferencia de la anterior en la segunda parte de la 2da hipótesis, en formasimilar a la diferencia que existe entre la teoría de vigas clásicas y la que se conoce como teoríade vigas de Timoshenko. En este caso entonces no se exige que la fibra normal a la superficiemedia indeformada se mantenga normal a la superficie media deformada. En consecuencia elgiro de la fibra no resulta igual al gradiente de u, es decir

θ 6= −∇u

Aparecen ahora deformaciones asociadas al corte transversal relacionadas precisamente conla inequidad anterior, que se suponen constantes en el espesor.

γ =

[γ1

γ2

]=

θ1 +∂u

∂x1

θ2 +∂u

∂x2

= θ +∇u

Al igual que antes el plano medio se mantiene indeformado (membranalmente) y las de-formaciones en puntos fuera del plano medio son proporcionales a su distancia al mismo (x3)

5.10. FLEXIÓN DE PLACAS 115

según una ley lineal en el espesor de la placa (h):

εij = χij x3 − h

2≤ x3 ≤

h

2

pero ahora

χij =1

2

(∂θi∂uj

+∂θj∂ui

)= ∇sθ i, j = 1, 2

Los momentos flectores se relacionan con las curvaturas del plano medio mediante las mismasecuaciones constitutivas que antes

M =

M11

M22

M12

=Eh3

12 (1− ν2)

1 νν 1

1− ν2

χ11

χ22

2χ12

= D χ

Los esfuerzos de corte transversal se relacionan con las deformaciones de corte transversalmediante

Q =

[Q1

Q2

]= Ghκ

[γ1

γ2

]Donde G es el módulo de corte y κ es un factor de forma que normalmente se toma κ = 5

6.

Notar que planteada así esta teoría no satisface las condiciones de tensiones de corte nulas enlas caras de la placa. El equilibrio requiere una variación parabólica de las deformaciones ytensiones de corte, el coeficiente κ precisamente resulta de igualar la energía de deformaciónasociada a ambos casos. La ecuación de trabajos virtuales tiene ahora la forma

ˆΩ

(M11δχ11 +M22δχ22 + 2M12δχ12 +Q1δγ1 +Q2δγ2) dΩ =

ˆΩ

p δu dΩ +

ˆ∂Ω

(Mννδθν +Mνsδθs +Qνδu) d∂Ω

Notar que el problema resulta ahora de continuidad C0.

Capítulo 6

Elementos finitos en dos dimensiones

por F. Flores

6.1. Introducción

En el capítulo precedente se han descripto en forma sucinta los principales problemas de in-terés que se pretende resolver usando la técnica de elementos finitos. Las ecuaciones diferencialesque gobiernan estos problemas son, a diferencia de las abordadas en el Capítulo 4, a derivadasparciales. El dominio es bi o tridimensional y el contorno entre elementos resulta una curva (endos dimensiones) o una superficie (en 3 dimensiones). Esto implica una diferencia substancialcon los problemas unidimensionales, donde las fronteras entre elementos eran puntos, e inclu-so muchas veces era factible integrar en forma exacta la ecuación diferencial (ordinaria) quegobierna el problema. De esta forma el análisis de estructuras de barras articuladas y vigasconducía a la solución exacta (en el marco de la teoría lineal) de los problemas en estudio. En elcaso de problemas a derivadas parciales, no es posible resolver tales ecuaciones en forma exactapara un caso general, por lo cual las soluciones numéricas que se obtienen son aproximadas ydependen de la discretización realizada.

En el presente capítulo se verá como aplicar el método de elementos finitos a problemasbidimensional de clase C0. Los elementos posibles corresponden a triángulos y cuadriláteros.Se comenzará con elementos con lados rectos, y luego se introducirán los de lados curvos quepermiten tratar geometrías más generales, particularmente contornos. Luego se muestra su apli-cación a la ecuación de Laplace, a problemas de elasticidad lineal y al problema de conveccióndifusión. La extensión de las ideas a problemas tridimensionales es inmediata.

6.2. Condiciones de las funciones de aproximación

Recordemos las condiciones que deben cumplir las funciones de forma φI (x) a los finesde que las incógnitas del problema tengan el significado físico deseado y que se satisfaganlas condiciones de continuidad entre elementos (continuidad C0). Sea la variable u (vector)aproximada por:

u (x) =NN∑I=1

φI (x) uI

117


se debe satisfacer

a)- φI(xJ)

= δIJ

b)-NN∑I=1

φI(xI)

= 1

c)-NN∑I=1

∂φI(xI)

∂xı= 0 (consecuencia de (b))

Estas condiciones tienen el siguiente objetivo:

La condición (a) asegura el significado físico de la variable, es decir que el parámetro uI

corresponde al valor de la variable en el nudo I. Por otro lado es necesario asegurar lacontinuidad de la variable no sólo en los nudos sino en todo el contorno entre elementos,es decir que el valor de u a lo largo de una línea que limita dos elementos debe tenerun único valor independientemente de cual de los dos elementos se considere. Dado quedos elementos tendrán como parámetros comunes las variables asociadas a sus nodoscomunes (los que definen geométricamente su contorno común) es necesario que el valorde la variable u a lo largo de dicho contorno común sólo dependa de las variables asociadasa los nudos que lo definen. En consecuencia la función de interpolación debe valer 0 nosólo en los otros nudos (condición (a)) sino también a lo largo de el(los) lado(s) que no loincluyan.

La condición (b) asegura que si el valor de la variable es constante en todo los nodos,entonces es constante en todo el elemento. La condición (c) consecuencia de la anteriordice que, en tal caso, el gradiente en todo el elemento será cero.

Además resulta conveniente que las funciones de aproximación sean capaces de representarun estado de gradiente constante, que es el límite que debe alcanzarse cuando de refinala discretización.

6.3. Elementos triangularesEmpecemos viendo el elemento más sencillo para problemas planos que es el triángulo lineal.

Definamos inicialmente un elemento maestro, en forma similar a como hicimos en el problemaunidimensional. En este caso el elemento maestro se define como un triángulo rectángulo conel ángulo recto en el origen de coordenadas, lados paralelos a los ejes y de longitud unitaria.Numeremos además sus vértices en la forma indicada, 1 de coordenadas (ξ = 1, η = 0), 2 decoordenadas (ξ = 0, η = 1), y 3 de coordenadas (ξ = 0, η = 0)

En el elemento así definido llamemos ξ al eje horizontal y η al eje vertical. Observemos lassiguientes funciones lineales definidas sencillamente como:

L1 (ξ, η) = ξ

L2 (ξ, η) = η

L3 (ξ, η) = 1− ξ − η

Notemos que estas funciones satisfacen todas las condiciones pedidas anteriormente. La (a)resulta inmediata de evaluar en los nudos, en tanto que para la (b) basta ver la definición de

6.3. ELEMENTOS TRIANGULARES 119

Figura 6.1: Triángulo Maestro, y triángulo en el espacio coordenado físico

la 3ra. función. Observemos además que el gradiente de la variable es constante para cualquiervalor que tomen las parámetros nodales.

Trataremos ahora de darle un significado geométrico a las funciones de forma LI , tomemosun punto cualquiera “p” de coordenadas (ξ, η) dentro de elemento y unamos este punto con los3 vértices lo que nos define 3 triángulos. Si observamos el triángulo inferior definido por el ejeξ y el punto p (ξ, η), y calculamos su área (llamemos a esta área A2 por ser la del triánguloopuesto al nudo 2) vemos fácilmente que vale la altura del mismo dividido 2 pues el largo de labase vale 1, que no es otra cosa que A2 = η/2. Si hacemos lo mismo con el formado por el eje ηy el punto p tendremos que el área (A1) de este vale A1 = ξ/2. Finalmente el triángulo restantetendrá por área el valor A3 = (1− ξ − η) /2 lo que resulta de que el área total del triángulo (A)vale 1/2. Vemos entonces que es posible asociar las funciones de forma LI con el doble del áreadel triángulo definido por el punto p (ξ, η) y el lado opuesto al nudo, o puesto de otra forma lafunción de forma LI define la relación entre el área del triángulo opuesto al nudo AI y el áreatotal del triángulo A.

LI = AI/A

Si aplicamos esta misma idea a un triángulo cualquiera en el plano (x1 − x2), de coordenadasnodales x1, x2 y x3, podemos obtener el mismo resultado. Para ello recordemos que el área deun triángulo puede evaluarse como la mitad del módulo del vector obtenido como el productovectorial de dos de sus lados. Por ejemplo para el área de todo el triángulo podemos usar comovectores los definidos por los lados 31 y 32:

2A = 31× 32 =(x1 − x3

)×(x2 − x3

)=(x1

1 − x31

) (x2

2 − x32

)−(x1

2 − x32

) (x2

1 − x31

)En tanto que para un punto genérico p (x), dos veces del área del triángulo 1 resulta entonces

2A1 = p2× p3 =(x2 − x

)×(x3 − x

)=(x2

1 − x1

) (x3

2 − x2

)−(x2

2 − x2

) (x3

1 − x1

)y dividiendo ambas expresiones tenemos

L1 =1

2A

[x2

1x32 − x2

2x31 +

(x2

2 − x32

)x1 +

(x3

1 − x21

)x2

]que hemos escrito como una función lineal de las coordenadas del punto (x1, x2). Similarmente(o por permutación de índices) se pueden encontrar las expresiones para los otros dos nodos.

L2 =1

2A

[x3

1x12 − x3

2x11 +

(x3

2 − x12

)x1 +

(x1

1 − x31

)x2

]


L3 =1

2A

[x1

1x22 − x1

2x21 +

(x1

2 − x22

)x1 +

(x2

1 − x11

)x2

]Llamando a las constantes que aparecen en las funciones de forma

a1 = (x31 − x2

1) b1 = (x22 − x3

2) c1 = x21x

32 − x2

2x31

a2 = (x11 − x3

1) b2 = (x32 − x1

2) c2 = x31x

12 − x3

2x11

a3 = (x21 − x1

1) b3 = (x12 − x2

2) c3 = x11x

22 − x1

2x21

éstas se pueden escribir como

LI =1

2A[cI + bIx1 + aIx2]

Otros elementos triangulares incluyendo polinomios de mayor grado en x1 y x2 puedenconstruirse fácilmente. Primero mostremos en forma tabular los términos que aparecen en lospolinomios de varios grados

1 grado 0x1 x2 grado 1

x21 x1x2 x2

2 grado 2x3

1 x21x2 x1x

22 x3

2 grado 3x4

1 x31x2 x2

1x22 x1x

32 x4

2 grado 4

Este arreglo triangular se denomina triángulo de Pascal. Notar que un polinomio completo degrado k en x1 y x2 tendrá exactamente 1

2(k + 1) (k + 2) términos. En consecuencia un polinomio

de grado k, puede ser unívocamente determinado especificando los valores en 12

(k + 1) (k + 2)puntos en el plano. Además, las posiciones en el triángulo de Pascal sugieren una posiciónsimétrica de los nudos en un elemento triangular que conducirá al número exacto de nodosnecesarios para definir el polinomio completo del grado deseado. Por ejemplo, los seis términosdel polinomio cuadrático quedan determinados si se especifican seis valores nodales, uno en cadavértice y uno a la mitad de cada lado, precisamente las posiciones definidas por el triángulode Pascal cuadrático. La familia de elementos finitos generados de esta forma se ilustra en lafigura.

En función de las coordenadas de área estos polinomios resultan

Para el caso cuadrático

(ξ, η) = (1, 0) N1 (Lı) = 2L1(L1 − 1

2

)(ξ, η) = (0, 1) N2 (Lı) = 2L2

(L2 − 1

2

)(ξ, η) = (0, 0) N3 (Lı) = 2L3

(L3 − 1

2

)(ξ, η) =

(12, 1

2

)N4 (Lı) = 4L1L2

(ξ, η) =(0, 1

2

)N5 (Lı) = 4L2L3

(ξ, η) =(

12, 0)

N6 (Lı) = 4L3L1

6.3. ELEMENTOS TRIANGULARES 121

Para el elemento cúbico

(ξ, η) = (1, 0) N1 (Lı) = 92L1(L1 − 1

3

) (L1 − 2

3

)(ξ, η) = (0, 1) N2 (Lı) = 9

2L2(L2 − 1

3

) (L2 − 2

3

)(ξ, η) = (0, 0) N3 (Lı) = 9

2L3(L3 − 1

3

) (L3 − 2

3

)(ξ, η) =

(23, 1

3

)N4 (Lı) = 27

2L1L2

(L1 − 1

3

)(ξ, η) =

(13, 2

3

)N5 (Lı) = 27

2L1L2

(L2 − 1

3

)(ξ, η) =

(0, 2

3

)N6 (Lı) = 27

2L3L2

(L2 − 1

3

)(ξ, η) =

(0, 1

3

)N7 (Lı) = 27

2L3L2

(L2 − 2

3

)(ξ, η) =

(13, 0)

N8 (Lı) = 272L1L3

(L1 − 2

3

)(ξ, η) =

(23, 0)

N9 (Lı) = 272L1L3

(L1 − 1

3

)(ξ, η) =

(13, 1

3

)N10 (Lı) = 27L1L2L3

Figura 6.2: (a) Uso del triángulo de Pascal para generar varios elementos triangulares sobre loscuales se definen polinomios completos de orden k, (b) ilustración para el caso k = 2 que lasfunciones de forma producidas por estos elementos son continuas en los bordes inter elementos.


Figura 6.3: Cuadrado Maestro, y rectángulo en el espacio coordenado

La utilización de las funciones de forma para triángulos en términos de las coordenadastriangulares, permite escribir las derivadas en términos de la regla de la cadena, es decir dado:

u (x) =NN∑I=1

N I(LJ)

uI

entonces∂u

∂x1

=NN∑I=1

3∑J=1

[∂N I

∂LJ(L1, L2, L3

) bJ2A

]uI

∂u

∂x2

=NN∑I=1

3∑J=1

[∂N I

∂LJ(L1, L2, L3

) aJ2A

]uI

6.4. Elementos rectangularesSimilarmente al caso unidimensional los elementos se definen sobre un dominio normalizado,

en este caso dicho dominio es equivalente al unidimensional pero extendido en ambas direcciones,es decir un cuadrado de lado 2 centrado en el origen de coordenadas locales (ξ, η).

Si nos inclinamos por los elementos del tipo Lagrangeano, es decir aquellos obtenidos usandolos polinomios de Lagrange, entonces las funciones de forma nodales se pueden obtener realizan-do el producto tensorial de los correspondientes polinomios unidimensionales evaluados sobre lasvariables locales (ξ, η). Dados los vértices del rectángulo,(x1,x2,x3,x4) las coordenadas localesse definen por

ξ =2x1 − (x3

1 + x41)

(x31 − x4

1)=

2x1 − (x21 + x1

1)

(x21 − x1

1)=

2x1 − x01

a

η =2x2 − (x4

2 + x12)

(x42 − x1

2)=

2x2 − (x32 + x2

2)

(x32 − x2

2)=

2x2 − x02

b

donde los nudos están en correspondencia con las siguientes coordenadas locales

Nudo ξ η1 -1 -12 1 -13 1 14 -1 1

6.4. ELEMENTOS RECTANGULARES 123

y x0 son las coordenadas del centro del rectángulo y a y b son la las longitudes de sus lados enlas direcciones x1 y x2 respectivamente.

El elemento rectangular más sencillo resulta entonces el bilineal obtenido de multiplicar lospolinomios lineales en ambas direcciones

N1 (ξ, η) = 14

(1− ξ) (1− η)N2 (ξ, η) = 1

4(1 + ξ) (1− η)

N3 (ξ, η) = 14

(1 + ξ) (1 + η)N4 (ξ, η) = 1

4(1− ξ) (1 + η)

o englobando las cuatro en una única expresión

N I (ξ, η) =1

4

(1 + ξIξ

) (1 + ηIη

)De la misma forma puede encontrarse el elemento cuadrático Lagrangeano de 9 nodos y el cúbicode 16 nodos. Que las funciones propuestas cumplen con las condiciones expresadas inicialmentees muy fácil de demostrar y se deja como ejercicio.

La utilización de las funciones de forma para rectángulo en términos de las coordenadaslocales, permite escribir las derivadas en términos de la regla de la cadena, es decir dado:

u (x) =NN∑I=1

N I (ξ, η) uI

entonces∂u

∂x1

=NN∑I=1

[∂N I

∂ξ(ξ, η)

2

a

]uI

∂u

∂x2

=NN∑I=1

[∂N I

∂η(ξ, η)

2

b

]uI

Notemos que a diferencia del triángulo, en donde cuando se genera un elemento (cuadráticopor ejemplo) aparece la cantidad exacta de coeficientes necesarios para dicha aproximación (6en el caso cuadrático), para los elementos rectangulares aparece una cantidad de coeficientes(9 en el caso cuadrático) mayor que el número indispensable, asociados con términos de ordensuperior (x2

1x2, x21x

22, x1x

22). Además dado que en la matriz global de coeficientes, los parámetros

asociados a los nudos internos del elemento sólo tienen contribución del mismo elemento, muchasveces suelen eliminarse estos grados de libertad por “condensación”. Estos considerandos hanllevado a desarrollar elementos cuadráticos de mayor orden con sólo nudos en el contorno, estoselementos se conocen como “serendípitos” y se obtienen por inspección de las funciones de forma.Por ejemplo el elemento rectangular de 8 nodos en el que se ha eliminado el nudo central delelemento de 9 nodos y con él el término x2

1x22, de forma que del triángulo de Pascal sobreviven

los siguientes1

x1 x2

x21 x1x2 x2

2

x21x2 x1x

22

La forma estándar de encontrar estas funciones de forma es escribirlas de la forma

N I (x1, x2) = a1 + a2x1 + a3x2 + a4x21 + a5x1x2 + a6x

22 + a7x

21x2 + a8x1x

22

e imponer las condiciones correspondientes de que N I(xJ)

= δIJ que conduce a invertir unsistema de 8× 8, que nos da simultáneamente los 8 coeficientes de cada una de las 8 funciones


de forma. La otra forma es armarlas directamente inspeccionando la forma que deberían tener(de allí su nombre ‘serendipity’ en inglés). Estas funciones resultan de esta forma

N I (ξ, η) = 14

(1 + ξIξ

) (1 + ηIη

) (ξIξ + ηIη − 1

)nudos esquina

N I (ξ, η) = 12

(1− ξ2)(1 + ηIη

)nudos medios η = ±1

N I (ξ, η) = 12

(1 + ξIξ

)(1− η2) nudos medios ξ = ±1

6.5. Mapeamiento de la geometríaHasta ahora hemos considerado elementos con geometrías sencillas. En principio hemos

definido las funciones de forma a partir de elementos “maestros” definidos sobre un dominionormalizado. En el caso del triángulo ha sido posible pasar fácilmente a un elemento triangulargeneral de lados rectos, en tanto que para el caso de elementos cuadriláteros nos hemos res-tringido a elementos rectangulares. Desde el punto de vista práctico el elemento rectangularresulta muy limitado para el modelado de geometrías reales, para lo cual si resulta convenienteel elemento triangular que es mucho más versátil en ese aspecto, sin embargo en ambos casosdebe aproximarse el contorno mediante segmentos de recta.

Los inconvenientes anteriores pueden resolverse si se recurre a mapear al elemento “maestro”sobre el plano x1−x2 en una forma más general que la usada hasta ahora. La idea es interpolarla geometría del elemento usando aproximaciones similares a las usadas para interpolar lasvariables nodales, es decir si describimos la geometría del elemento mediante

x (ξ, η) =NN∑I=1

N I (ξ, η) xI

Haciendo uso del concepto ya conocido de las funciones de forma resulta que:

Un nudo definido sobre el elemento maestro con coordenadas(ξI , ηI

)se corresponderá en

el plano con el par coordenado xI .

Las coordenadas del contorno quedan definidas exclusivamente por las coordenadas delos nudos que forman el lado, lo que asegura continuidad de la geometría entre elementossin solapamientos ni brechas

En el caso del triángulo (lineal) de 3 nodos esto no representa ningún cambio práctico perosi desde el punto de vista formal, en tanto que para el cuadrilátero bilineal si hay un cambiosubstancial que permite utilizar ahora elementos cuadriláteros de forma arbitraria (aunqueveremos más adelante que los ángulos interiores no deben superar los 180o en ningún caso) yya no exclusivamente rectangulares.

Resulta entonces posible ahora utilizar elementos de lados curvos (en elementos con más dedos nudos en cada lado), en particular esto resulta útil en los contornos exteriores de la geometríadel problema, ya que para la interface entre elementos es conveniente utilizar contornos rectos.

Veamos como interviene esta parametrización de la geometría (el dominio) en la generaciónde las ecuaciones del problema. Para la obtención del gradiente de la variable tendremos ahoraque:

∇u =

(∂u

∂x1

,∂u

∂x2

)=

(NN∑I=1

∂N I (ξ, η)

∂x1

uI ,NN∑I=1

∂N I (ξ, η)

∂x2

uI

)donde la aplicación de la regla de la cadena supone

∂N I (ξ, η)

∂x1

=∂N I (ξ, η)

∂ξ

∂ξ

∂x1

+∂N I (ξ, η)

∂η

∂η

∂x1

6.5. MAPEAMIENTO DE LA GEOMETRÍA 125

Figura 6.4: Elemento finito Ωe en el plano (x, y) obtenido como la imagen del mapeamiento Tedel correspondiente elemento maestro Ω en el plano (ξ, η). También se indica el mapeamientoinverso T−1

e de Ωe a Ω.

∂N I (ξ, η)

∂x2

=∂N I (ξ, η)

∂ξ

∂ξ

∂x2

+∂N I (ξ, η)

∂η

∂η

∂x2

que escrito en forma matricial es∂N I (ξ, η)

∂x1

∂N I (ξ, η)

∂x2

=

∂ξ

∂x1

∂η

∂x1

∂ξ

∂x2

∂η

∂x2

∂N I (ξ, η)

∂ξ

∂N I (ξ, η)

∂η

o en forma compacta N I

′1

N I′2

= J−1

N I′ξ

N I′η

donde J es la matriz jacobiana de la transformación Te

J =

∂x1

∂ξ

∂x2

∂ξ

∂x1

∂η

∂x2

∂η


Figura 6.5: Mapeamientos para funciones de forma cuadráticas sobre los elementos maestrostriángulo y cuadrado. La curva cuadrática entre dos elementos en el plano (x, y) queda definidaunívocamente por el mapeamiento.

El cálculo de la matriz de coeficientes (rigidez) en un problema gobernado por la ecuaciónde Laplace resulta entonces

KIJ =

ˆΩe

[N I′1 N I

′2

] [ k11 k12

k21 k22

] [NJ′1

NJ′2

]dΩe

=

ˆΩe

[N I′ξ N I

′η

]J−T

[k11 k12

k21 k22

]J−1

[NJ′ξ

NJ′η

]dΩe

donde hemos puesto de evidencia la dependencia de la integral del mapeamiento geométricoutilizado a través de la inversa de la matriz jacobiana. De esta forma es posible expresar to-das las variables dentro de la integral en función de las variables locales (ξ, η), por lo cualresulta conveniente al momento de realizar la integral, modificar los límites y el diferencialdΩe = |J| dξ dη. Respecto a esta última expresión (fórmula que escribiremos sin demostración)relaciona el diferencial de área en el plano (x1, x2) con el diferencial de área en el elementomaestro a través del determinante jacobiano. Claramente para que esta expresión tenga sen-tido físico resulta necesario que el determinante jacobiano sea siempre positivo, en el caso decuadriláteros esto impone la condición de que los ángulos internos sean menores a 1800 y paraelementos cuadráticos es necesario que los nudos sobre los lados estén ubicados en el terciocentral del lado.

Notar que la existencia de la inversa de la matriz jacobiana hace muy dificil (tal vez impo-sible) realizar la integral indicada en forma explícita y resulta en general necesario recurrir atécnicas de integración numérica.

La inversa de la matriz jacobiana puede evaluarse en forma explícita en la medida en queesta sea constante en todo el elemento, así ocurre para triángulos de lados rectos (lineales) o

6.6. APLICACIÓN A LA ECUACIÓN DE LAPLACE 127

paralelogramos.Las reglas de integración numérica en dominios bidimensionales son similares conceptual-

mente a las de dominios unidimensionales. Las reglas de cuadratura para elementos cuadrilá-teros se derivan usualmente tratando la integración sobre el elemento maestro como una dobleintegral. Si escribimos

ˆΩ

G (ξ, η) dξ dη =

ˆ −1

−1

[ˆ 1

−1

G (ξ, η) dξ

]dη

y aproximamos las integrales con respecto a ξ y con respecto a η usando una regla de integraciónunidimensional con N puntos como se discutiera antes, se tiene:

ˆΩ

G (ξ, η) dξ dη =N∑m=1

[N∑n=1

G (ξn, ηm)wn

]wm

donde los ξn y ηm son las coordenadas de los puntos de muestreo y las wn y wm los respectivospesos. Estas reglas de integración, evalúan en forma exacta polinomios de grado (2N−1) en cadadirección. Notar que el integrando G (ξ, η) incluye dos veces la inversa de la matriz jacobiana(una función racional en general) y no resulta obvio el grado del polinomio involucrado. Lospuntos de muestreo y sus respectivos pesos se dan a continuación para una dimensión

Elemento ξl wlLineal 0,0 2,0

Cuadrático −1/√

3 1,0

1/√

3 1,0√3/5 5/9

Cúbico 0,0 8/9√3/5 5/9

Para elementos triangulares las reglas de integración no pueden deducirse de la regla uni-dimensional. Los puntos de muestreo y su respectivos pesos se dan a continuación en forma detabla.

Elemento (L1, L2, L3) wlLineal

(13, 1

3, 1

3

)12(

12, 0, 1

2

)16

Cuadrático(

12, 1

2, 0)

16(

0, 12, 1

2

)16(

13, 1

3, 1

3

)−27

96

Cúbico(

215, 2

15, 11

15

)2596(

1115, 2

15, 2

15

)2596(

215, 11

15, 2

15

)2596

6.6. Aplicación a la ecuación de LaplaceA continuación se presentan en forma más detallada las expresiones necesarias para resol-

ver la ecuación de Laplace en un dominio bidimensional. La forma débil de la ecuación detransferencia del calor tiene la forma

ˆΩ

[∇v · (k∇u) + bvu− vf ] dΩ−ˆ∂Ω

v (k∇u) · ν d∂Ω = 0


La variable incógnita u se interpola como

u=NN∑I=1

φI (ξ, η) uI

donde NN es el número de nudos del elemento considerado. uI es la temperatura de cada nodoy las φI son las funciones de interpolación elegidas convenientemente. Para la función de pesoproponemos una interpolación similar.

v =NN∑I=1

φI (ξ, η) vI

Ambas aproximaciones pueden escribirse matricialmente como el producto entre dos vectores

u (ξ, η) =[φ1 (ξ, η) , φ2 (ξ, η) , ..., φNN (ξ, η)

] u1

u2

...uNN

= Φ (ξ, η) ue

v (ξ, η) = Φ (ξ, η) ve

El gradiente de u resulta

∇u(2×1) =

[ ∂∂x1∂∂x2

](2×1)

Φ (ξ, η)(1×NN) ue(1×NN) =

[∂φ1

∂x1

∂φ2

∂x1... ∂φNN

∂x1∂φ1

∂x2

∂φ2

∂x2

∂φNN

∂x2

](2×NN)

ue(1×NN)

Donde como se explicara antes, las derivadas de las funciones de forma resultan φI′1

φI′2

= J−1

φI′ξ

φI′η

Notar las dimensiones de las matrices y vectores involucrados en la expresión del gradiente.

En forma completamente similar es posible expresar al gradiente de la función de ponderaciónReemplazando en la forma débil las expresiones anteriores para un elemento genérico,las

integrales necesarias son

v1

v2

...vNN

T ˆ

Ωe

∂φ1

∂x1

∂φ1

∂x2∂φ2

∂x1

∂φ2

∂x2

... ...∂φNN

∂x1

∂φNN

∂x2

[k1 00 k2

][ ∂φ1

∂x1

∂φ2

∂x1... ∂φNN

∂x1∂φ1

∂x2

∂φ2

∂x2... ∂φNN

∂x2

]ue+

b

φ1

φ2

...φNN

[φ1, φ2, ..., φNN]ue −

φ1

φ2

...φNN

f

dΩe

Se ha sacado fuera de la integral al vector ve, cuyos valores no dependen de la integral, dela misma forma puede hacerse con el vector ue. En la integral aparecen tres términos

1. Es el que resulta del producto punto de los gradientes (a través de la matriz de conducti-vidad k), que da lugar a una matriz cuadrada simétrica de orden NN que multiplica alvector de incógnitas del elemento ue, es el término habitual que proviene del Laplaciano.

K =

ˆΩe

∂φ1

∂x1

∂φ1

∂x2∂φ2

∂x1

∂φ2

∂x2

... ...∂φNN

∂x1

∂φNN

∂x2

[k1 00 k2

][ ∂φ1

∂x1

∂φ2

∂x1... ∂φNN

∂x1∂φ1

∂x2

∂φ2

∂x2... ∂φNN

∂x2

]dΩe

6.7. APLICACIÓN A PROBLEMAS DE ELASTICIDAD LINEAL 129

2. Es el que resulta del producto bvu, este es un término “no estándar” en la ecuación deLaplace. Da lugar también a una matriz cuadrada simétrica de orden NN que multiplicaa ue. Formalmente la expresión que tiene esta segunda matriz es igual a la matriz de masaque aparece en problemas dependientes del tiempo

M =

ˆΩe

b

φ1

φ2

...φNN

[φ1, φ2, ..., φNN]dΩe

3. El último término no está asociado a las incógnitas ue, y forma parte del segundo miembro(término independiente) del sistema de ecuaciones a resolver. Es un vector (columna) deorden NN .

−ˆ

Ωe

φ1

φ2

...φNN

f dΩe

La integral sobre el contorno se realiza sólo sobre aquellos elementos que efectivamente tienenun lado sobre el contorno del dominio. El contorno ∂Ω a su vez se ha dividido en una partedonde u es conocido (∂Ωu) y otra parte donde el flujo σ es conocido (∂Ωσ). En la primera parteal ser conocido u, la función de peso v se anula, lo cual anula la integral en esta parte. En tantoque la segunda parte se reemplaza el valor del flujo conocido, σ = − (k∇u) · ν de tal forma quela integral resulta

−ˆ∂Ωσ

v (k∇u) · ν d∂Ωσ =

ˆ∂Ωσ

v σ d∂Ωσ

En cada elemento que tenga una parte común con el contorno del dominio resulta necesariorealizar esta integral. Dado un elemento en estas condiciones la función de ponderación v,resulta ahora dependiente sólo del valor de los parámetros vI , de los nudos ubicados sobredicho contorno. En el caso de elementos lineales (triángulos de 3 nudos o cuadriláteros de 4nudos), la función de peso se expresa en cada lado exclusivamente en función de las funcionesde forma de los nudos extremos del lado. De esta forma, denominando con 1 y 2 a tales nudos,con s a la coordenada a lo largo del lado resulta

v (s) =[φ1 (s) , φ2 (s)

] [ v1

v2

]y la integral esˆ

∂Ωσ

v σ d∂Ωσ =[v1, v2

]ˆS

[φ1 (s)φ2 (s)

]σ (s) ds =

[v1, v2

] [ f 1

f 2

]De tal forma que los valores calculados f I sumarán al término independiente en las ecua-

ciones asociadas a los vI correspondientes.

6.7. Aplicación a problemas de elasticidad linealTrataremos de fijar las ideas anteriores abordando el problema de elasticidad lineal en base

al Principio de Trabajos Virtuales. Restrinjamos entonces nuestra atención a un subdominio(elemento). Supongamos que los campos de desplazamientos virtuales que vamos a considerartienen la forma

δu =NN∑I=1

φIδuI


dondeNN es el número de nudos del elemento considerado. δuIson los desplazamientos virtualesdel nodo y las φI son las funciones de interpolación elegidas convenientemente. Para el campode desplazamientos reales proponemos una interpolación similar.

u =NN∑I=1

φIuI

Notar que esta definición del campo de desplazamientos virtuales representa una restriccióna las ecuaciones de T.V. ya que el P.T.V. exige que la igualdad se satisfaga para cualquierdesplazamiento y aquí estamos proponiendo un campo de desplazamientos que depende deun número finito de parámetros y por ende no puede representar todos los campos de des-plazamientos virtuales posibles. Esto, de hecho, es lo que ocurre en cualquier discretizaciónnumérica.

Recordemos que una de las condiciones pedidas a las funciones de interpolación era quedeben ser continuas y derivables hasta por lo menos el orden de derivación en que aparecen enlas ecuaciones a resolver. Por ejemplo en la ecuación de Trabajos virtuales aparece

δειj =1

2

(∂δuj∂xi

+∂δui∂xj

)por lo que los δu deben poderse derivar al menos una vez. Además se les pedirá que el cuadradode la derivada integrado en el subdominio o elemento conduzca a un valor finito.

Resulta importante hacer notar que si bien se han propuesto campo similares para la in-terpolación de los desplazamientos reales y virtuales, en los puntos donde los desplazamientosreales son conocidos (Sd) los desplazamientos virtuales son nulos (recordar definición de campode desplazamientos virtuales). En consecuencia en dichos puntos ni el desplazamiento real esincógnita del problema, ni el desplazamiento virtual tiene ecuación de equilibrio asociada.

6.7.1. Deformaciones y tensiones, notación matricial

Definido el campo de desplazamientos es posible encontrar las deformaciones asociadas

εij =1

2

(∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)=

1

2

NN∑I=1

(∂φI

∂xjuIi +

∂φI

∂xiuIj

)Por razones de conveniencia escribiremos las deformaciones εij en forma de un arreglo uni-

dimensional (vector)

ε =

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

=NN∑I=1

φI′1

φI′2φI′3

φI′2 φI′1φI′3 φI′2

φI′3 φI′1

uI1uI2uI3

ε =NN∑I=1

BI uI = B ue

donde hemos usado la notación φI′i = ∂φI

∂xiy se han agrupado los desplazamientos nodales del

elemento en un vector uTe =[u1,u2, ....,uNN

]. La matriz B que relaciona deformaciones con

desplazamientos se obtiene agrupando en forma similar las BI :

B =[B1,B2, ....,BNN

]

6.7. APLICACIÓN A PROBLEMAS DE ELASTICIDAD LINEAL 131

En cuanto a las deformaciones virtuales, dada la similitud de las definiciones de δu y uresulta:

δε = B δue

A continuación resulta necesario incluir las relaciones constitutivas del problema. Aquí nosrestringiremos a un material isótropo lineal elástico, sin embargo es posible utilizar cualquierrelación elasto-plástica válida (es decir que satisfaga las leyes de la termodinámica). Para el casode que la relación constitutiva fuera no lineal, es necesario un proceso incremental iterativo.Al igual que con las deformaciones, agrupemos las componentes del tensor de tensiones en unvector

σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ23

σ31

=E

1 + ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

ν1−2ν

1−ν1−2ν

12

12

12

ε11

ε22

ε33

2ε12

2ε23

2ε13

= Dε

De esta forma se ha escrito la relación entre dos tensores de segundo orden, que involucraal tensor constitutivo que es de cuarto orden, como una relación entre vectores a través de unamatriz.

6.7.2. Matrices de rigidez elemental y global

Veamos entonces como introducir estas definiciones en la expresión del T.V.Interno, recor-demos que el Trabajo Virtual Interno es

ˆv

σij δεij dv =

ˆv

(σ11δε11 + σ22δε22 + σ33δε33 + 2σ12δε12 + 2σ23δε23 + 2σ13δε13) dv

donde hemos hecho uso de la simetría de los tensores de tensión y deformación. Es fácil ver quea partir de la definición de los vectores ε y σ en las ecuaciones precedentes podemos escribir

ˆv

σij δεij dv =

ˆv

δεTσ dv =NE∑e=1

δuTe

ˆve

BT D B dv ue

donde NE es el número de elementos en que se ha dividido el dominio. La integral indicada enel último miembro es una matriz simétrica (lo que surge de que D es simétrica), se la denominamatriz de rigidez elemental y se la denota por:

Ke =

ˆve

BT D B dv

El trabajo virtual interno del sólido a partir de la suma de las contribuciones elementalesresulta ˆ

v

δεTσ dv =NE∑e=1

δuTe Ke ue = δuTG K uG

donde uG es un vector donde se han ordenado los desplazamientos de todos los nudos y K esla matriz de rigidez global del sólido, la cual se obtiene mediante un proceso de ensamble delas matrices elementales.

6.7.3. Trabajo virtual externo, vector de cargas nodales

La contribuciones al trabajo virtual externo (fuerzas másicas y de contorno) resultan:


6.7.3.1. Fuerzas másicas

ˆv

F δu dv =NE∑e=1

ˆve

F δu dv

Supongamos para las fuerzas másicas una variación dentro del elemento similar a la de losdesplazamientos (normalmente las fuerzas másicas son uniformes, constantes, de valor igual alpeso específico del material y con la dirección del campo gravitatorio), esto es:

F =NN∑I=1

φI FI = Φ Fe

en forma desarrollada

F =

φ1 φ2 φNN

φ1 φ2 ... ... ... φNN

φ1 φ2 φNN

︸︷︷︸

Φ

F 11

F 12

F 13

...

...FNN

1

FNN2

FNN3

︸︷︷︸

Fe

donde las F Ii es el valor de la fuerza másica por unidad de volumen en la dirección i evaluada

en las coordenadas del nudo I. De esta forma el trabajo virtual de las fuerzas másica resultaˆve

F δu dv = δuTe

ˆve

ΦT Φ dv Fe = δuTe M Fe = δuTe Ge

donde hemos introducido la matriz M =´ve

ΦT Φ dv

6.7.3.2. Fuerzas de contorno

El trabajo virtual de las fuerzas de contorno, sólo se considera sobre aquellos elementos quetengan un lado o cara coincidente con el contorno donde se conocen las fuerzas exteriores. Seaentonces un elemento cualquiera sobre el contorno del cuerpo que tiene cargas actuantes sobreuna de sus caras. Dicha cara estará definida por un subconjunto de los nudos del elementoNC. Notar que debido a las exigencias impuestas sobre las funciones de interpolación, losdesplazamientos sobre una cara del elemento dependen sólo de los nudos sobre la cara es decirsobre el subconjunto NC. Los desplazamientos virtuales pueden entonces escribirse:

δu =NC∑I=1

φIδuI

De la misma forma es posible describir la carga externa

f =NC∑I=1

φI f I

6.8. ELEMENTO CUADRILÁTERO DE CUATRO NODOS 133

f =

φ1 φ2 φNC

φ1 φ2 ... ... ... φNC

φ1 φ2 φNC

︸︷︷︸

Φ(ξ)

f 11

f 12

f 13

...

...fNC1

fNC2

fNC3

︸︷︷︸

fe

Reemplazando en la expresión del trabajo virtual de las fuerzas de contacto, tenemos que:ˆSe

f δu dSe = δuTe

ˆSe

ΦT Φ dS fe = δuTe M f e = δuTe ge

Similarmente al caso de la matriz de rigidez, se obtiene un vector global de cargas nodalesequivalentes r ensamblando las contribuciones de las fuerzas másicas elementales y de las fuerzasde contacto. El trabajo virtual externo puede escribirse en forma compacta como:

−ˆv

F δu dv −ˆSσ

f δu dSσ = −δuTG r

Sumando entonces trabajo virtual interno mas externo e igualando a 0.ˆv

σij δεij dv −ˆv

F δu dv −ˆSσ

f δu dSσ ∼= δuTG K uG − δuTG r = 0

Finalmente la condición impuesta por el P.T.V. requiere que los δuG puedan tomar cual-quier valor en forma independiente lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones linealesalgebraicas simultáneas

K uG = r

6.8. Elemento cuadrilátero de cuatro nodosComo ejemplo de un elemento sencillo obtendremos la matriz de rigidez y el vector de cargas

nodales equivalentes de un elemento cuadrilátero de 4 nodos para estados planos (problemasbidimensionales)

6.8.1. Funciones de interpolación, geometría y desplazamientos

Lo primero que haremos será recordar el elemento maestro definido por un cuadrado delado 2 centrado en el origen, sobre el que se definen dos coordenadas locales (ξ, η). Sobre estecuadrado resulta sencillo definir funciones de interpolación que satisfagan los requisitos pedidos.Para ello utilizaremos los polinomios de Lagrange de grado 1 (que tienen la característica devaler 1 en el punto al que esta asociado el polinomio y 0 en el resto de los puntos que lo definen)que tienen la forma indicada en la figura

L1 =1

2(1− ξ)

L2 =1

2(1 + ξ)


Como explicáramos antes el producto de los polinomios de Lagrange expresadas en ambascoordenadas locales permite obtener las 4 funciones de interpolación

φ1 =1

4(1− ξ)(1− η)

φ2 =1

4(1 + ξ)(1− η)

φ3 =1

4(1 + ξ)(1 + η)

φ4 =1

4(1− ξ)(1 + η)

Tales que se satisface que φI(ξJ , ηJ

)= δIJ , y además son continuas y lineales a lo largo

del contorno.Podemos ahora definir la geometría del elemento a partir de las coordenadas de los nodos.

Esto es establecer una correspondencia entre las coordenadas locales (ξ, η) y las coordenadasfísicas (x1, x2)

x (ξ, η) =4∑I=1

φI(ξ, η) xI

Existirá una relación biunívoca entre (x1, x2) y (ξ, η) si y sólo si el determinante de la matrizde la transformación (jacobiana) es positivo en todo punto.

J =

∂x1

∂ξ

∂x2

∂ξ∂x1

∂η

∂x2

∂η

Si el determinante de J es positivo en todo punto, lo que ocurrirá siempre que todos los

ángulos internos del cuadrilátero sean menores que π, es posible calcular la matriz inversa

J−1 =

∂ξ

∂x1

∂η

∂x1∂ξ

∂x2

∂η

∂x2

Para los desplazamientos usaremos la misma aproximación, es decir las mismas funciones

de interpolación

u (ξ, η) =4∑I=1

φI(ξ, η) uI

que en forma desarrollada podemos escribir

[u1

u2

]=

[φ1 φ2 φ3 φ4

φ1 φ2 φ3 φ4

]

u11

u12

u21

u22

u31

u32

u41

u42

= Φ ue

6.8. ELEMENTO CUADRILÁTERO DE CUATRO NODOS 135

En un estado plano de tensión o deformación las deformaciones que interesan son:

ε =

ε11

ε22

2ε12

=

∂u1

∂x1∂u2

∂x2∂u1

∂x2+ ∂u2

∂x1

Notemos que

∂ ( )

∂x1

=∂ ( )

∂ξ

∂ξ

∂x1

+∂ ( )

∂η

∂η

∂x1

luego [∂( )∂x1∂( )∂x2

]= J−1

[∂( )∂ξ∂( )∂η

]En consecuencia si queremos calcular

∂ui∂xj

=4∑I=1

∂φI

∂xjuIi

para lo cual necesitamos las ∂φI

∂xjque podemos calcular mediante la regla de la cadena[

∂φI

∂x1∂φI

∂x2

]= J−1

[∂φI

∂ξ∂φI

∂η

]≡

[φI′1φI′2

]= J−1

[φI′ξφI′η

]

6.8.2. Cálculo de la matriz de rigidez elemental

Reemplazando la anteúltima expresión en las deformaciones, estas se pueden escribir

ε =

ε11

ε22

2ε12

=

φ1′1 φ2

′1 φ3′1 φ4

′1

φ1′2 φ2

′2 φ3′2 φ4

′2

φ1′2 φ1

′1 φ2′2 φ2

′1 φ3′2 φ3

′1 φ4′2 φ4

′1

︸︷︷︸

B(ξ,η)

ue = B ue

En un Estado de Tensión Plana las ecuaciones constitutivas lineales para un material elásticoe isótropo son:

σ =

σ11

σ22

σ12

=E

1− ν2

1 νν 1

1−v2

ε11

ε22

2ε12

= D ε

Siguiendo el procedimiento descripto anteriormenete la matriz de rigidez elemental se ob-tiene como la integral

Ke =

ˆv

BT (ξ, η) D B (ξ, η) dv

Siendo todas las variables constantes en el espesor h entoncesˆv

( ) dv = h

ˆA

( ) dA

La matriz B es función de (ξ, η) luego resulta necesario cambiar las variables de integración,para ello es necesario reconocer que dA = |J| dξ dη , reemplazando y cambiando los límitesde integración correspondientes resulta

Ke = h

ˆ 1

−1

ˆ 1

−1

BT (ξ, η) D B (ξ, η) |J| dξ dη


En general la matriz J cambia de punto a punto (salvo que el cuadrilátero sea un parale-lepípedo) por lo que el determinante |J| y B serán variables. Esto hace imposible evaluar laintegral en forma explícita por lo que es necesario recurrir a técnicas de integración numéricapara el cálculo de Ke, en general para un elemento bilineal será necesario y suficiente usar unaregla de integración de 2× 2 puntos

6.8.3. Cálculo de las fuerzas nodales equivalentes

Supongamos un valor uniforme de la fuerza másica en la dirección −x2 .

F =ρg

[0−1

]ˆv

δu F dv = δuTe hρg

ˆ 1

−1

ˆ 1

−1

ΦT

[0−1

]|J| dξ dη = δuTe Ge

Puede verse que el vector de fuerzas másicas resulta

Ge = −ρghˆ 1

−1

ˆ 1

−1

[0 φ1 0 φ2 0 φ3 0 φ4

]T |J| dξ dη6.9. Problemas de convección-difusión

Analicemos ahora un problema con un operador diferencial que no es auto-adjunto. La apli-cación del método de residuos ponderados sobre la ecuación diferencial de convección difusiónconduce aˆ

Sσ


Â

ϕ (ρu) · ∇φdA+

Â


Â

ϕqdA = 0

Utilizando una aproximación

φ =NN∑I=1

N I (ξ, η) φI =[N1, ..., NNN

] φ1

...φNN

= NΦ

ϕ =NN∑I=1

W I (ξ, η) ϕI =[W 1, ...,WNN

] ϕ1

...ϕNN

= WΨ

Donde habitualmente en este tipo de problemas no se adopta la aproximación de Galerkin(N I = W I). En el contorno Sφ se ha impuesto como siempre que la solución propuesta satisfaceidenticamente φ = φ y consecuentemente allí ϕ = 0, de tal forma que la integral sobre elcontorno sólo aparece la parte donde se conoce el flujoˆ

Sσ

ϕ [σν − ρuφ · ν] dSσ

El gradiente de la variable incógnita φ y de la función de ponderación se escribe

∇φ =

[N1′1 ... NNN

′1

N1′2 ... NNN

′2

] φ1

...φNN

=

[N′1

N′2

]Φ = J−1

[N′ξ

N′η

]Φ

∇ϕ =

[W 1′1 ... WNN

′1

W 1′2 ... WNN

′2

] ϕ1

...ϕNN

=

[W′1

W′2

]Ψ = J−1

[W′ξ

W′η

]Ψ

6.9. PROBLEMAS DE CONVECCIÓN-DIFUSIÓN 137

Las integrales sobre el dominio de los términos convectivo y difusivo toman la forma

Â

ρ[ϕ1, ..., ϕNN

]1×NN

W 1

...WNN

NN×1

[u1 u2

]1×2

[N1′1 ... NNN

′1

N1′2 ... NNN

′2

]2×NN

φ1

...φNN

NN×1

dA

+

Â

[ϕ1, ..., ϕNN

]1×NN

W 1′1 W 1

′2

... ...WNN′1 WNN

′2

NN×2

[Γ11 Γ12

Γ21 Γ22

]2×2

[N1′1 ... NNN

′1

N1′2 ... NNN

′2

]2×NN

φ1

...φNN

NN×1

dA

o en forma compacta

ΨT

Â

ρWT uT +

[WT′1,W

T′2

]Γ[ N′1

N′2

]dA Φ = ΨT [C + D] Φ

con

C =

Â

ρWT uT[

N′1

N′2

]dA

D =

Â

[WT′1,W

T′2

]Γ

[N′1

N′2

]dA

Notar que aunque se utilice la aproximación de Galerkin, el término convectivo conducea una matriz de coeficientes no simétrica. La asimetría si bien representa un mayor costocomputacional, no es un problema importante, el mayor problema se da en los problemasfuertemente convectivos (C dominante) que presentan grandes inestabilidades numéricas.

El término debido a fuentes internas (q) admite múltiples aproximaciones, la más sencillaes suponer que dentro de un elemento el valor es constante, en tal caso la integral resulta

Â

ϕqdA = ΨT

Â

WT dA q

Una segunda posibilidad es interpolar el valor de q en la misma forma que φ, en tal caso

q = N

q1

...qNN

donde qI es el valor de la fuente interna (distribuida) en el nudo I , luego

Â

ϕqdA = ΨT

Â

WT N

q1

...qNN

dA

Interpolaciones de mayor orden para el término de fuente no tienen mucho sentido. Final-mente si lo que existe es una fuente puntual Q, lo más sencillo es hacer coincidir un nudo de lamalla (el I por ejemplo) con dicha fuente puntual, de tal forma que el término correspondienteresulta sencillamente

ϕI Q

La integral sobre el contorno puede dividirse en dos partesˆSσ

ϕ [σν − ρuφ · ν] dSσ =

ˆSσ

ϕσν dSσ −ˆSσ

ϕρφ u · ν dSσ

Las aproximaciones sobre el contorno de φ, ϕ, u, resultan de particularizar las aproximacio-nes sobre el dominio de cada elemento al contorno correspondiente. Recordar que las funciones


de forma utilizadas conducen a que el valor de las variables dependa sólo de las variables sobreel contorno.

En el primer término aparecen todos valores conocidos, definido el flujo σνsu integral esinmediata y contribuye al término independiente. El segundo término implica valores de laincógnita del problema, por lo cual contribuye a la matriz de coeficientes del problemas, estetérmino resulta

−ˆSσ

ϕρφ u · ν dSσ = −ΨT

ˆSσ

(ρu · ν) WT N dSσ Φ

El término entre paréntesis no es otra cosa que el flujo de masa a través del contorno.Particularizado para el caso de elementos lineales, donde cada contorno elemental está for-

mado por una segmento de dos nudos, localmente los designaremos con 1 y 2, de coordenadasx1 y x2, en los cuales los valores del flujo y la velocidad son respectivamente σ1

ν u1 y σ2ν u2 . El

orden en que se definen los nudos 1 y 2 supone que al moverse del nudo 1 al 2 el dominio delproblema está a la izquierda, esto conduce a que

l =∥∥x2 − x1

∥∥ν =

x2 − x1

l

Las aproximaciones (lineales) sobre el contorno son (con ξ en [0,1])

φ = (1− ξ)φ1 + ξφ2

uν = (1− ξ)(u1 · ν

)+ ξ

(u2 · ν

)σν = (1− ξ) σ1

ν + ξσ2ν

ϕ = W 1 (ξ)ϕ1 + W 2 (ξ)ϕ2

Luego la integral del primer término resultaˆSσ

ϕσν dSσ =[ϕ1, ϕ2

]ˆ 1

0

[W 1

W 2

][(1− ξ) , ξ]

[σ1ν

σ2ν

]l dξ

y la del segundo

−ˆSσ

ϕρφ u · ν dSσ = −[ϕ1, ϕ2

]ˆ 1

0

ρ[(1− ξ)u1

ν + ξu2ν

] [ W 1

W 2

][(1− ξ) , ξ] l dξ

[φ1

φ2

]

Capítulo 7

Aspectos generales asociados a laimplementación

por F. Flores

7.1. Generación de mallas

En la modelización por elementos finitos, la tarea que más tiempo consume y la más costosa,corresponde a la generación del conjunto de datos necesarios para describir al modelo. Esto esasí porque requiere del tiempo del analista que en general es caro frente al costo computacional,que ha bajado en forma vertiginosa en la última década dada la alta velocidad de proceso y elfácil acceso a la memoria central con que cuentan las computadoras actuales.

En general la mayoría de los programas de elementos finitos (PEFs) han sido diseñados paraleer los datos del modelo en forma ordenada y con una estructura (sintaxis) no muy flexible desdeun fichero ASCII. La mayoría de los PEFs no tienen opciones de generación de mallas, y cuandolas tienen son muy limitadas y sencillas. En general para la definición geométrica del modelose utilizan programas específicos para tal fin (similares a sistemas CAD en muchos aspectos) yluego esos mismos programas presentan un menú de opciones que permitan trasladar el modelogenerado a un archivo ASCII que pueda ser leido por el PEF propiamente dicho. Muchos deestos programas de generación de datos tienen la suficiente flexibilidad como para que el usuarioindique como deben ser presentados estos datos para que puedan ser correctamente leidos porel PEF. Actualmente muchos PEFs presentan un ambiente de trabajo integrado para generarel modelo, para realizar el análisis por elementos finitos y visualizar los resultados, lo que sepresenta como un único programa, sin embargo esto no es así internamente, en general lasdistintas partes de los paquetes están desarrolladas por grupos diferentes.

Dado el alto grado de avance que han logrado los PEFs para resolver problemas multifísica,ha resultado imprescindible el desarrollo de interfaces suficientemente inteligentes que permitana usuarios no muy calificados desarrollar, dentro de un ambiente amigable y con muchas faci-lidades, el modelo deseado. De esta forma algunos PEFs denominados de Propósito General,es decir que pueden resolver problemas muy variados (dentro de digamos el área de mecáni-ca de sólidos), pueden tener más de una interfaz de acuerdo al tipo de problema que se estéintentando modelar. La necesidad de la existencia de una interfaz suficientemente inteligente,está no sólo asociada a la generación de la malla, si no a presentar las mejores opciones de

139


los parámetros que gobiernan el modelo numérico. Esto es particularmente cierto en procesosno-lineales u otros procesos complejos, que requieren el ajuste de un conjunto de valores, locual requeriría por parte del usuario un conocimiento de los algoritmos y una especializaciónno muy comunes en un usuario medio.

En problemas complejos suelen haber distintos “dominios” ligados entre sí, por ejemplosi interesa estudiar el comportamiento completo de la estructura de un edificio, esto puedeabarcar la combinación de diferentes medios, con diferentes modelos de comportamiento. Asípor ejemplo puede ser necesario incluir el suelo, la estructura de hormigón, la cual puede estarformada por elementos de viga y tabiques que puede ser necesario modelar como láminas, losentrepisos, que pueden considerarse como flexibles o rígidos, los cerramientos laterales en caso deque quiera estudiarse su influencia en el comportamiento, etc. El modelado requieren entoncesdividir al objeto en estudio en sus distintas partes, definir claramente cada una de ellas, describirsu comportamiento material, discretizar (mallar) cada parte y luego unir coherentemente lasmismas. Para cada parte, en general asociada a un único material constitutivo, se siguen engeneral las siguientes etapas:

1. Descripción de la geometría. Esto es similar a cualquier sistema CAD.

a) se empieza por la definición de puntos,

b) se sigue con la definición de líneas y/o curvas para lo cual se utilizan como referencialos puntos previos

c) luego se definen planos y/o superficies cuyos contornos son las líneas o curvas definidaspreviamente

d) finalmente se definen volúmenes delimitados por las superficies hasta entonces des-criptas.

2. Para la imposición de condiciones de contorno, sean esenciales o naturales, se definenpuntos, líneas o superficies donde se vayan a imponer tales condiciones. También aquíes necesario considerar como cada parte se va a unir con otras partes del modelo global,para satisfacer condiciones de compatibilidad.

3. Se elige un tipo de elemento finito adecuado (Por ejemplo en problemas 2-D, pueden sertriángulos o cuadriláteros, lineales, cuadráticos, etc.)

4. Se indica el tamaño de los elementos que se quiere utilizar. Este tamaño puede ser uni-forme o no, en general deben usarse elementos más pequeños donde se esperan mayoresgradientes, y pueden usarse discretizaciones más gruesas donde los gradientes son meno-res. Esto por supuesto requiere por parte del usuario un criterio basado en el conocimiento‘a priori’ del comportamiento de lo que se quiere modelar, de forma que pueda indicar enlos distintos puntos valores razonables para el tamaño de los elementos

5. Finalmente el generador de malla en función del tipo de elemento y la definición del ta-maño de los elementos procede a discretizar el dominio. Los procesos de mallado siguen lamisma secuencia de la definición geométrica, empiezan discretizando las curvas (respetan-do la posición de los puntos específicamente descriptos), luego discretizan las superficies(para lo cual ya disponen de las discretizaciones de sus contornos) y finalmente discretizanlos volúmenes encerrados por las superficies.

El traspaso de los datos del mallador al PEF implica básicamente tres aspectos asociados a latopología de la malla y las condiciones de contorno:

7.2. IMPOSICIÓN DE RESTRICCIONES NODALES 141

las coordenadas de cada nudo necesario para la definición del modelo, a cada nudo debeasignársele una etiqueta (un número)

las conectividades de los elementos, es decir cuales son los nudos (sus etiquetas o números)que definen cada elemento (el que a su vez también se etiqueta). El orden en que dan estosnudos es importante, cada tipo de elemento requiere un orden especial. Por ejemplo si setrata de un cuadrilátero, si tiene 4 nudos (sus vértices), estos deben darse siguiendo elperímetro del mismo en sentido antihorario. No tiene habitualmente importancia con cualse empieza , pero sí su orden. Si el elemento fuese un cuadrilátero de 8 nudos (vértices ynudos sobre los lados), hay distintas posibilidades (lo cual está definido en el manual deusuario y debe consultarse este), podría ser que se dieran los 8 nudos en sentido antihorarioen la forma que aparecen empezando por un vértice, o podría ser que primero debanentrarse los vértices y luego los medios (empezando por el que está entre los primeros dosvértices)

los puntos sobre los que se han impuesto condiciones de contorno esenciales (desplaza-mientos o velocidades en problemas de mecánica de sólidos) indicando las condicionesasociadas. Los puntos, líneas o superficies con condiciones naturales (fuerzas puntuales,de línea o presiones respectivamente, en problemas de mecánica de sólidos)

7.2. Imposición de restricciones nodales

En esta sección intentaremos mostrar como imponer condiciones de borde esenciales de unacierta generalidad. Si bien hablamos de “condiciones de contorno” las técnicas que se describencorresponden al tratamiento de restricciones cinemáticas que pueden tener interpretaciones másgenerales, y permiten imponer hasta hipótesis de comportamiento en el modelo. Supondremosque esta condición puede escribirse de la siguiente forma:

uk = uk +∑i 6=k

aiui (7.1)

esta expresión dice que un grado de libertad genérico uk puede escribirse como una constanteuk más una combinación lineal de otros grados de libertad (donde por supuesto no aparece elgrado de libertad uk) a través de coeficientes ai (que eventualmente pueden ser 0 la mayoría otodos ellos). Este tipo de restricción puede representar muchos casos prácticos entre ellos:

Desplazamiento prescripto de valor uk (ai = 0 en tal caso)

Apoyos que no coinciden con las direcciones del sistema global de coordenadas.

Nudos maestros

Modelado de dominios con simetría cíclica.

Unión de elementos finitos con distintos grados de interpolación en el contorno o condiferentes grados de libertad.

Articulaciones en pórticos

Rigidizadores de láminas


En la expresión que define la restricción (7.1) si introducimos un coeficiente ak = −1 la podemosescribir

uk +∑

aiui = uk + a · u = 0 (7.2)

Existen diferentes formas de imponer este tipo de restricciones en el sistema de ecuaciones,con diferentes ventajas y desventajas. Notemos antes que no es posible simplemente adicionaral sistema de ecuaciones existente esta nueva ecuación pues tendríamos más ecuaciones queincógnitas.

7.2.1. Imposición exacta de la condición

Dado que uk no resulta independiente el problema puede verse como de orden n − 1. Deacuerdo a la formulación utilizada para obtener nuestro sistema de ecuaciones podemos su-poner que la función de ponderación asociada, o el desplazamiento virtual, o la variación dedesplazamiento tiene la misma dependencia, es decir

vk =∑

i 6=k aivi δuk =∑

i 6=k aiδuia · v = 0 a · δu = 0

El sistema de ecuaciones de que disponemos puede escribirse

vTK u− vT f = 0

en forma desarrollada

[v1, ..., vk, ...vn]

k11 ... k1k ... k1n

: :kk1 ... kkk ... kkn: :kn1 ... knk ... knn

u1

:uk:un

−f1

:fk:fn

= 0

pero ahora vk y uk no son independientes y podemos reemplazarlos por su definición anterior:

[v1, ...,

∑i 6=k

aivi, ...vn

]

k11 ... k1k ... k1n

: :kk1 ... kkk ... kkn: :kn1 ... knk ... knn

u1

:uk +

∑i 6=k aiui:un

−f1

:fk:fn

= 0

Si operamos sobre la expresión anterior, podemos escribir

[v1, ..., vk−1, vk+1, ...vn]

k11 ... k1(k−1) k1(k+1) ... k1n

: :k(k−1)1 ... k(k−1)(k−1) k(k−1)(k+1) k(k−1)n

k(k+1)1 ... k(k+1)(k−1) k(k+1)(k+1) ... k(k+1)n

: :kn1 ... kn(k−1) kn(k+1) ... knn

u1

:uk−1

uk+1

:un

−

f1

:fk−1

fk+1

:fn

= 0

que corresponde a un sistema de (n− 1) ecuaciones con (n− 1) incógnitas donde en formaexplícita tenemos

kij = kij + aikkj + kikaj + aikkkaj

fi = fi + aifi − kikuk

7.2. IMPOSICIÓN DE RESTRICCIONES NODALES 143

7.2.2. Técnica de penalización

Esta técnica es muy utilizada porque requiere una lógica de programación más sencilla y sibien las restricciones no se imponen en forma exacta se puede obtener resultados suficientementebuenos.

Para darle una interpretación matemática sencilla, supongamos que nuestro sistema deecuaciones resultó de la minimización del siguiente funcional

Π (u) =1

2uTK u− uT f

Aumentemos este funcional con un término de la forma1

2ε(uk + a · u)2

que no es otra cosa que la restricción elevada al cuadrado. Donde ε es un valor constantesuficientemente pequeño (coeficiente de penalización) de forma tal que si ahora escribimos unfuncional aumentado

Π (u) =1

2uTK u− uT f +

1

2ε(uk + a · u)2

la minimización de este nuevo funcional conducirá a la solución de nuestro problema. El gradode cumplimiento de la restricción impuesta dependerá del valor de ε. Cuando este valor tiende a0, un mínimo incumplimiento de la restricción incrementa notoriamente el valor de Π, por lo quela condición de mínimo está gobernada por la primera parte del funcional. Por otra parte valoresmuy pequeños de ε (y en consecuencia muy grandes de su inversa) pueden producir problemasnuméricos debido a la precisión de las computadoras. La condición de mínimo resulta ahora

∂Π (u)

∂ui=

n∑j=1

kijuj − fi +aiε

[uk +

n∑j=1

ajuj

]= 0

si el nuevo sistema se escribeK u = f

entonces

kij = kij +1

εaiaj

fi = fi −aiεuk

El caso sencillo de un desplazamiento prescripto uk = uk conduce a los siguientes cambios

kkk = kkk +1

ε

fk = fk +ukε

Notar que en este caso el sistema de ecuaciones se mantiene de orden n.

7.2.3. Método de multiplicadores de Lagrange

Una tercera posibilidad muy utilizada es la siguiente: agregar al sistema de ecuaciones inicialla ecuación de restricción e incluir una nueva variable de forma de igualar número de ecuaciones((n+ 1) ahora) con el número de incógnitas. Para ello similarmente al caso anterior agreguemosal funcional Π (u) un término de la forma:

λ (uk + a · u)


luego el funcional aumentado es ahora

Π (u, λ) =1

2uTK u− uT f + λ (uk + a · u)

La nueva variable incorporada λ se conoce en la literatura como “multiplicador de Lagrange”ya que multiplica a la ecuación de restricción y muchas veces es posible asignarle una interpre-tación física (por ejemplo es la reacción en el caso de un desplazamiento prescripto). El nuevosistema de ecuaciones resulta ahora de

∂Π (u, λ)

∂ui=

n∑j=1

kijuj − fi + λai = 0

∂Π (u, λ)

∂λ= uk +

n∑j=1

ajuj = 0

La segunda ecuación no es otra cosa que la ecuación de restricción, por lo que la resolucióndel sistema de ecuaciones la cumplirá en forma exacta. El sistema de ecuaciones sigue siendosimétrico, el costo adicional proviene de que hay una ecuación más y que esta tiene un cero enla diagonal, lo que puede en algunos casos puede traer problemas. El sistema resultante tieneentonces la siguiente forma

Ka

aT 0

u

λ

=

f

−uk

7.3. Una aplicación no-estándar

En esta sección se mostrará como las ideas expresadas antes pueden utilizarse con diferen-tes objetivos, obteniendo en forma consistente las modificaciones necesarias en la matriz decoeficientes y el término independiente.

Analicemos como pasar la matriz de rigidez de una viga espacial de su sistema local alsistema global. Para realizar un cambio de coordenadas entre dos sistemas es posible observar(ver figura) que las relaciones que ligan ambos sistemas tienen para cada nodo la forma

ui = R ui

θi = R θi

donde la matriz rotación R esR =

[t1 t3 t3

]La matriz de transformación Λ resulta entonces de

ue =

u1

θ1

u2

θ2

=

R

RR

R

u1

θ1

u2

θ2

= Λ ue

Las expresiones de cambio de la matriz de rigidez y el vector de términos independientestienen la forma vista antes, es decir:

K = ΛT K Λ f = ΛT f

7.3. UNA APLICACIÓN NO-ESTÁNDAR 145

Figura 7.1: Cambio de sistema en una viga

Notar que la relación ue = Λ ue puede verse como doce relaciones de restricción de los gradosde libertad en ue en función de los grados de libertad en ue. La aplicación de la primera de lasmetodologías explicadas para tratar restricciones conduce a las mismas expresiones obtenidasaquí.

Conceptualmente la misma idea puede aplicarse a otras condiciones o dependencias. Veamosun ejemplo de características distintas. Sea la intersección ortogonal de un elemento de viga(horizontal) con otros dos verticales (columnas), dentro de un pórtico plano

Figura 7.2: viga flexible entre columnas

La discretización habitual supone a los elementos unidos en la intersección de sus respectivosejes baricéntricos. Obviamente esto no es así en la realidad. La utilización de la longitud decada elemento como la distancia entre los nudos conduce a que

1. se incluya más masa que la real al haber un solapamiento de los dominios (parte som-breada)

2. la viga resulte más flexible debido a que la longitud de cálculo L es mayor que la real.

Supongamos que la rigidez de las columnas es significativamente mayor que la de la viga, unamejora en la formulación consiste en evaluar las rigideces de las columnas usando la distancia


entre nudos L y para las vigas usar como longitud de cálculo la distancia efectivamente libreentre columna y columna. Llamemos como hasta ahora K y M las matrices de rigidez y masadel elemento de viga usando la longitud efectiva Le , que estarán referidas a los desplazamientos(y giros) de los puntos 1 y 3 (u1, u2). Desde el punto de vista operativo los nudos 1 y 3 sonsólo auxiliares y no intervienen en el sistema de ecuaciones a resolver que sólo incluye losnodos ubicados en la intersección de los ejes de vigas y columnas. Resulta entonces necesariodeterminar la relación que existe entre los desplazamientos de estos nudos ficticios y los de losnudos 1 y 2.

Observemos en la siguiente figura como dependen los desplazamientos del nudo 1 de los delnudo 1. Notar que por las hipótesis de Navier, la línea que une los nudos 1 y 1 se mantienerecta y normal a la curva deformada de la columna

Figura 7.3: relación entre grados de libertad

En base a consideraciones geométricas sencillas tenemos que

u11 = u1

1 + e1(cos β1 − 1

)u1

2 = u12 + e1 sin β1

en tanto que la hipótesis de pequeños desplazamientos y giros conduce a las siguientes relacioneslineales

u11 = u1

1

u12 = u1

2 + β1e1

β1 = β1

En forma similar en el extremo opuesto tendremos las siguientes relaciones

u21 = u2

1

u22 = u2

2 − β2e2

β2 = β2

La matriz de transformación Λ resulta entonces

Λ =

1

1 e1

11

1 −e2

1

Notar que en este caso Λ no es ya una simple matriz de rotación y de hecho su inversa no

es igual a su traspuesta.

7.4. SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES 147

7.4. Solución del sistema de ecuacionesLa matriz de coeficientes K de los sistema de ecuaciones resultantes (K x = f) en el método

de elementos finitos (en problemas autoadjuntos basados en la aproximación de Galerkin en elmétodo de residuos ponderados), normalmente goza de las siguientes propiedades:

1. Es simétrica kij = kji

2. Está bien condicionada, por lo que no requiere de cuidados especiales en la resolución.

3. Es definida positiva xTK x > 0 ∀x 6= 0

4. Muchos de sus coeficientes son nulos, y los coeficientes no nulos forman una banda alre-dedor de la diagonal

La resolución de este sistema de ecuaciones puede hacerse por métodos directos o iterativos(gradientes conjugados). Los directos están basados en el algoritmo de Gauss, consistente enconvertir el sistema de ecuaciones a una forma triangular superior mediante operaciones de filay una posterior substitución hacia atrás. Los métodos iterativos tienen mayor competencia enproblemas tridimensionales con gran cantidad de coeficientes nulos (matrices ralas) y tienenla ventaja de que no requieren la construcción de la matriz, lo que puede ser muy importantecuando no se dispone de suficiente memoria. Los métodos directos tienen la ventaja de quepermiten resolver con el mismo esfuerzo computacional múltiples estados de carga y para el casobidimensional resultan en general más económicos. En los métodos directos resulta de particularimportancia la numeración de los grados de libertad del problema, pues esto afecta a la demandade memoria necesaria para almacenar la matriz K por un lado y por otro a la cantidad deoperaciones necesaria para resolver el sistema. Esto es importante cuando se resuelven sistemascon gran cantidad de grados de libertad o problemas no-lineales, por ello existen algoritmosque optimizan la numeración de las incógnitas a los fines de disminuir tanto la necesidadde almacenamiento como el tiempo necesario para resolver el sistema. Estos algoritmos deoptimización están presentes en la mayoría de los códigos a este efecto y de tal forma que elusuario no tenga que preocuparse por como numerar los nudos.

De los métodos directos el más utilizado es el de factorización que consiste en los siguiente:

1. Descomponer la matriz K en factores

K = L D U

donde

D Matriz diagonal (definida positiva en este caso)dii > 0dij = 0 i 6= j

L Matriz triangular inferior lii = 1lij = 0 i < j

U Matriz triangular superior uii = 1uij = 0 i > j

que para el caso de K simétrica resulta U = LT


2. Modificar el término independiente mediante una substitución hacia adelante

(LDU) x = f

(LD) (Ux) = f

(LD) y = f

en la última expresión el producto (LD) es una matriz triangular inferior y la obtenciónde la variable intermedia y es inmediata mediante una substitución hacia adelante.

3. Resolver x mediante una substitución hacia atrás

Ux = y

En el caso que nos interesa(U = LT

)el detalle de los pasos es el siguiente:

1-Descomposición en factores

kij =n∑r=1

lir

n∑s=1

drsusj =i∑

r=1

lir

n∑s=j

drsusj

los cambios en los límites de las sumatorias surgen de las características de L y U. Introduciendoahora el hecho que D es diagonal y la simetría de la matriz usj = ljs, tenemos

kij =

mın(i,j)∑r=1

lirdrrljr

Veamos como calcular los coeficientes lir y drr . Para ello tomemos la parte inferior de K esdecir i ≥ j , la expresión anterior puede escribirse (ljj = 1)

kij = lijdjj +

j−1∑r=1

lirdrr︸︷︷︸gir

ljr

luego separando los casos en que los índices son iguales y cuando no lo son

i = j kii = dii +i−1∑r=1

girlir

i > j kij = lijdjj +

j−1∑r=1

girljr

Siguiendo ahora un orden creciente para j primero (bucle externo de 1 a n) y para i después(interno de j a n) podemos ir evaluando cada término de la factorización. Es decir para laprimera columna j = 1

d11 = k11

li1 = ki1/d11

para cada columna posterior j se conocen entonces todos los valores de dkk y lik de las columnasanteriores (k < j). Podemos escribir

lij =1

djj

[kij −

j−1∑k=1

gikljk

]

7.5. SUAVIZADO DE VARIABLES 149

pero todavía no conocemos djj por ello en vez de calcular lij evaluemos primero para i de 1 aj − 1

gij = lijdjj =

[kij −

j−1∑k=1

gikljk

](1)

y una vez obtenidos los valores de la columna completa podemos ahora calcular

djj = kjj −j−1∑k=1

gjkljk

lij = gij/djj

y pasar a la siguiente columna hasta completar el cálculo de todos los coeficientes. Resultamuy importante notar en este algoritmo que en (1) gij será nulo si inicialmente kij y todoslos términos previos de la fila k = 1, j − 1 son nulos, es decir que la matriz K y L tendránel mismo perfil. Además una vez calculado el valor de lij no resulta ya necesario mantener elcorrespondiente valor de kij y por lo tanto puede utilizarse las posiciones de memoria de Kpara guardar los de L. Finalmente los coeficientes de la matriz diagonal D pueden guardarseen las posiciones diagonales de K ya que los elementos diagonales de L valen 1 y no requierenser recordados.

2-Substitución hacia adelante para i de 1 a n

yi = fi −i−1∑k=1

likyk

3-Substitución hacia atrás para i de n a 1

xi =1

dii

[yi −

i+1∑k=n

lkixk

]

Una descripción más detallada de la base teórica del presente algoritmo y su programaciónen códigos de elementos finitos puede verse en las referencias

K.J.Bathe y E.L.Wilson, Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall,Englewood Cliffs, 1976.

T.R.Chandrupatla y A.D.Belegundu, Introduction to finite element in engineering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1991.

El presente algoritmo no está condicionado a que la matriz sea definida positiva y sólo requiereque sea no-singular. También puede adaptarse a matrices no simétrica sin ninguna dificultad.

7.5. Suavizado de VariablesEn el método de elementos finitos se asegura continuidad de las variables principales del

problema (los desplazamientos en un problema de elasticidad), pero en general las variablesderivadas resultan discontinuas entre elementos. Resulta necesario, a los fines de visualizar lasvariables o estimar errores de la solución, un valor único y continuo de las variables derivadasde la misma forma que uno conoce las variables principales. El flujo σ en los nodos puedecalcularse directamente de la relación

σ(xI)

= σI= DB(xI)ue


sin embargo es más común su evaluación a partir de extrapolaciones desde los puntos de inte-gración debido a que son los puntos óptimos (en el sentido de que tienen el menor error) deevaluación de las variables derivadas.

Sean σG los valores de las variables que interesa suavizar evaluadas en los puntos deintegración.

Sea σ (ξ) con valores dentro de cada elemento, las variables extrapoladas a partir de losvalores σG

σ (ξ) =NG∑G=1

ΦG (ξ) σG

donde NG es el número de puntos de integración en el elemento y las ΦG son funcionesde forma definidas similarmente a las funciones nodales pero ahora con la condición:

ΦG(ξA)

=

1 si A = G0 si A 6= G

con A un punto de integración.

Interesa obtener las variables derivadas en los nudos en función de las variables en los puntosde integración. Denominaremos con σI a las variables suavizadas, (incógnitas por ahora) en losnudos. Dentro de un elemento cualquiera, el valor de estas variables se puede interpolar en laforma:

σ (ξ) =NN∑G=1

N I (ξ) σI

donde NN es el número de nudos del elemento y las N I son las tí picos funciones de interpolaciónnodales.

Debemos ahora fijar algún criterio que nos permita obtener las σI a partir de las σG. Dichocriterio puede ser que resulte mínima la integral del cuadrado de la diferencia entre las variablesinterpoladas a partir de los valores nodales y a partir de los valores en los puntos de integración,es decir minimizar:

R =1

2

ˆV

(σ − σ)2 dV

R =1

2

NE∑E=1

ˆV E

[NN∑I=1

N IσI −NG∑G=1

ΦGσG

]2

dV E

donde NE es el número de elementos en la discretización. La condición de mínimo es:

∂R

∂σI= 0 =

NE∑E=1

ˆV E

N I

[NN∑I=1

NJσJ −NG∑G=1

ΦGσG

]dV E

Por supuesto para cada valor nodal σI la suma se realiza sobre los elementos donde sea notrivial, es decir que incluyan al nodo I (proceso de ensamble habitual). La condición de mínimopuede escribirse una vez realizadas las integrales como:

∂R

∂σI=

NE∑E=1

M IJσJ −QI

7.5. SUAVIZADO DE VARIABLES 151

donde

M IJ =

ˆV E

N INJ dV E

QI =

ˆV E

N I σ dV E

Integrando numéricamente las expresiones de M IJ y QI notemos que si usamos la mismaregla de integración que para la evaluación de las variables σG resulta:

QI =NG∑A=1

N I (ξA) σ (ξA) JacA WA

y que siendo σ (ξA) = σA no resulta necesario conocer en forma explícita las funciones ΦG

definidas anteriormente, luego:

QI =NG∑A=1

N I (ξA) σA JacA WA

Por otro lado la evaluación consistente deM IJ conduce a un sistema de N (número de nudosen la discretización) ecuaciones con N incógnitas. Para evitar tanto cálculo, se suele aproximarla matriz M IJ como diagonal. Una forma muy usada de realizar esto es sumando sobre ladiagonal todos los elementos de la fila (o columna), es decir:

DII =NN∑J=1

M IJ

=

ˆ

V E

N I

NN∑J=1

NJ

︸︷︷︸1

dV E

=NG∑A=1

N I (ξA) JacA WA

de esta forma el sistema de ecuaciones a resolver es diagonal, resulta de un ensamble muysencillo y su resolución es inmediata.

Capítulo 8

Elementos de placas y láminas

por F. Flores

8.1. IntroducciónEl desarrollo de elementos finitos eficientes y confiables para el análisis de láminas ha sido un

tema de investigación constante desde los comienzos del método. Esto debido a un conjunto deproblemas numéricos que surgen de la discretización de las ecuaciones de gobierno. A su vez lasaplicaciones cada vez más complejas demandan una mayor robustez en diferentes condicionesde comportamiento. Elementos que muestra un buen comportamiento en ciertas condiciones,no lo hacen en otros. Así elementos confiables en régimen lineal, pueden no ser fácilmenteexpandibles a comportamiento no-lineal (geométrico o material), o elementos que muestranbuen comportamiento en mallas estructuradas con elementos con buena relación de aspecto, nolo hacen cuando las mallas presentan elementos distorsionados.

En régimen lineal en general es posible distinguir elementos de placa (inicialmente planos,con sólo flexión) y elementos de lámina (en general de doble curvatura, con esfuerzos de flexión yesfuerzos membranales). En régimen no lineal (salvo no linealidades muy bajas) un elemento deplaca se convierte en una lámina de doble curvatura y no es necesario hacer distinción alguna,sin embargo de acuerdo al tipo de formulación, el partir de una configuración original planatiene algunas ventajas.

Los diferentes aspectos que deben considerarse en el desarrollo (o en su elección para mo-delar) de un elemento de lámina están condicionados por los objetivos que se trate de cumplir,por ejemplo:

Esbeltez de la lámina, asociado a la relación entre el espesor de la lámina y la menordimensión en el plano h

ao el menor radio de curvatura h

Rmın. De acuerdo a esto puede

ser necesario considerar la influencia de las deformaciones cortantes en caso de láminasgruesas. En general la influencia de las deformaciones cortantes es muy baja.

No linealidad geométrica asociado a problemas con grandes desplazamientos y giros. Enestructuras esbeltas no puede prescindirse de la no-linealidad, pues debe recordarse quelas teorías lineales son válidas para desplazamientos menores que el espesor. El estudio deproblemas de pandeo o inestabilidad requiere la utilización de elementos que sean capacesde representar adecuadamente grandes desplazamientos y rotaciones sin que aparezcandeformaciones espurias.

153


Nivel de deformaciones y no linealidad material. El modelado de embutición de láminasmetálicas, por ejemplo, requiere poder considerar niveles altos de deformación, o el estudiode estructuras inflables donde se utilizan elementos membranales que representan un casoparticular de láminas.

Capacidad para poder combinar elementos de láminas con elementos estructurales deotras características. En estructuras laminares es muy común el uso de rigidizadores, quesuelen modelarse utilizando elementos de vigas, en tal caso debe ser posible compatibilizarlos desplazamientos de ambos. También suele ser necesaria la existencia de elementos detransición desde láminas delgadas a elementos de sólidos, por ejemplo si se modela unacubierta de hormigón para grandes luces que se engrosa sustancialmente en la zona deapoyo.

Quiebres, cambios de espesor u otras discontinuidades en la superficie media.

Difícilmente se pueda encontrar un elemento que pueda satisfacer todas las aplicaciones posibles,por ello algunos son adecuados para algunos modelos y otros no.

8.2. Elementos de placa basados en la teoría de KirchhoffDesde el punto de vista del MEF, la teoría de placas clásica, esto es sin deformaciones

transversales por corte, presenta el importante inconveniente de requerir continuidad C1. Por lotanto requiere, no sólo que los desplazamientos transversales sean continuos, sino que ademásdeben ser continuas sus derivadas (giros). Esto está asociado a la necesidad de mantener lacontinuidad estructural pues los desplazamientos en el plano de placa fuera de la superficiemedia dependen de los giros. Es decir a lo largo de una fibra normal a la placa

u (z) = βxz = −∂w∂x

z

v (z) = βyz = −∂w∂y

z

La continuidad C1 aparece también en problemas de teoría clásica de vigas, sin embargoallí debido a que las vigas dependen de una única variable espacial y la unión entre elementosse realiza en puntos (nudos) y no a lo largo de una curva (lados), el problema es de soluciónsencilla. En tal caso es posible imponer la continuidad de los giros en los nudos fácilmente,colocando precisamente como variable nodal la derivada o giro.

En problemas de placas la continuidad C1 implica dos cosas:

1. debe satisfacerse a lo largo de los contornos inter-elementos, es decir que deben coincidirlas interpolaciones a lo largo de una curva.

2. debe satisfacerse para ambas direcciones del plano. En el contorno esto a su vez puedeexpresarse localmente exigiendo la continuidad de la derivada en la dirección al contornoy la derivada normal al contorno.

Para que se cumpla estas condiciones es necesario que a lo largo de cualquier lado del elemento, eldesplazamiento w y sus derivadas dependan exclusivamente de los parámetros nodales asociadosa los nodos que conforman el lado. Esto trae en general consecuencias insalvables para elementosde geometría arbitraria, en particular en lo que se refiere a la derivada normal al contornoque involucra a la interpolación del desplazamiento en el interior del elemento, lo cual hacenecesario utilizar como incógnitas nodales las derivadas segundas (cruzadas) del desplazamiento

8.3. ELEMENTOS DE PLACA BASADOS EN LA TEORÍA DE REISSNER 155

transversal. Esto último sólo resuelve el problema en mallas estructuradas (por ejemplo enelementos rectangulares), pero no en elementos con geometría arbitraria.

Si bien es posible la definición de elementos de placa “conforme”, es decir que satisfagan todaslas condiciones de continuidad C1, esto no asegura un buen comportamiento y puede convertirloen un elemento oneroso desde el punto de vista computacional. Esto ha llevado a la búsqueda deotro tipo de soluciones, entre las que se encuentran: a) las aproximaciones “mixtas”, en el sentidode que no todas las incógnitas son desplazamientos, sino que aparecen deformaciones o tensionescomo incógnitas; b) elementos “no conformes”, que no satisfacen en forma explícita todas lascondiciones de continuidad. Por ejemplo pueden satisfacer la continuidad del desplazamientow (y con ello implícitamente la derivada en la dirección del contorno) pero sólo satisfacen enforma discreta (digamos en los nudos y a la mitad del lado) la condición de continuidad de laderivada normal al contorno. Lo importante en estos casos es mostrar que al refinar la mallalas soluciones obtenidas convergen a la solución correcta.

Un análisis detallado del problema de continuidad C1 y de las distintas soluciones propuestasescapa al objetivo de estas notas y puede verse en distintos textos del método, por ejemplo:

Oñate Eugenio, Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos, CIMNE,Barcelona, 1992.

Zienkiewics, O.C. y Taylor R.L., The Finite Element Method, 4ta edición, Vol II, Mc.Graw Hill, Londres, 1991.

8.2.1. La prueba de la parcela (“patch test”)

En problemas sencillos y con aproximaciones estándar como los vistos en los capítulos ante-riores, los elementos finitos presentados cumplen con un conjunto de condiciones que aseguransu convergencia al refinar la malla. Cuando las ecuaciones que gobiernan el comportamientoson más complejas y particularmente cuando se proponen soluciones que no satisfacen en formaexacta los requisitos previos, es necesario demostrar que el comportamiento del elemento es sa-tisfactorio y que converge a la solución correcta. Una de las pruebas más sencillas para evaluaresto se conoce como “prueba de la parcela”. En general cuando se aumenta la discretización paraun problema dado, se espera que en el límite el estado de deformaciones (y tensiones) dentrode un elemento sea constante. Por ello se impone como condición básica que todo elemento seacapaz de representar un estado de deformación constante y más aún, que un pequeño grupo(parcela) de elementos, sometido a fuerzas asociadas a un estado tensional uniforme, puedahacerlo. Se toma entonces una problema muy sencillo (un dominio rectangular por ejemplo),con un estado de carga que conduzca a un estado tensional constante y se pide que la parcelasea capaz de reproducirlo. Habitualmente se intenta mostrar que al distorsionar los elementosdentro de dominio, no se deteriore el comportamiento.

8.3. Elementos de placa basados en la teoría de Reissner

A diferencia de la teoría de Kirchhoff, la teoría de Reissner-Mindlin conduce a problemas decontinuidad C0, por lo cual los problemas asociados a la continuidad de la derivada mencionadosanteriormente no aparecen y es posible satisfacer con facilidad las condiciones de continuidadinter-elementos. Esto debido a que las variables independientes del problema son ahora nosólo el desplazamiento transversal w sino también los giros θ, que son independientes entre sí.En consecuencia cualquiera de las aproximaciones utilizadas para problemas 2-D presentadasoportunamente pueden ser utilizadas y pasan la prueba de la parcela pues es posible representarestados de deformación (curvatura) constante.


Debe hacerse notar que al aproximar ahora tres variables (w, θ1 y θ2) en vez de una (w),la cantidad de parámetros necesarios para obtener una solución similar aumenta considerable-mente. Por lo tanto para lograr aproximaciones similares resulta necesario utilizar mallas másdensas. Por otro lado los elementos de continuidad C1, utilizan en general polinomios de mayororden lo que conduce naturalmente a una mejor aproximación con menor cantidad de elemen-tos, es decir convergen más rápidamente, por lo cual desde el punto de vista de la cantidad degrados de libertad, la utilización de elementos de tipo C0 resulta doblemente inconveniente.

La utilización de elementos basados en esta teoría presentan la ventaja de considerar lainfluencia de la deformación del corte transversal. Esto es efectivamente una ventaja cuandoesta influencia es realmente apreciable. Por el contrario cuando la influencia del corte empiezaa ser despreciable (placas esbeltas y muy esbeltas) se convierte en una desventaja que inclusoconduce a hacer inservibles estos elementos debido a que se produce un “bloqueo” numérico(hay formas de solucionar esto). Este bloqueo numérico se produce debido a la imposibilidadde las funciones de forma de acomodar adecuadamente la condición

∇w − θ ∼= 0

lo que se traduce en un aumento espurio de la energía de deformación debida al corte transversal.Esto puede verse en los distintos términos que componen la energía interna de deformación deuna placa, donde la rigidez a la flexión está definida por D = Eh2

12(1−ν2)en tanto que la rigidez

al corte es C = Gh. En función de la mínima dimensión de la placa L es posible definir uncoeficiente adimensional

α =C

DL2 =

12Gh L2 (1− ν2)

Eh3≈(L

h

)2

que para el caso de placas esbeltas(Lh' 100

), conduce a valores de α del orden de 10.000.

Este problema fue rápidamente detectado y se propusieron distintas aproximaciones parasolucionarlo

Subvaluar el término asociado al corte. Esto se conoce como “integración reducida”. Habi-tualmente las matrices de rigidez de los elementos se obtienen por integración numérica,donde la cantidad de puntos de integración depende del orden de los polinomios a integrary se elige de tal forma de integrarlos en forma lo más exacta posible, de tal forma de evitarmodos de deformación espurios sin energía asociada. Integrar en forma reducida consisteen usar menor cantidad de puntos que los necesarios, lo que puede verse como disminuirel valor de energía asociada o como permitir la existencia de modos de deformación conbaja energía asociada. Esta “subintegración” se realiza exclusivamente sobre los términosasociados al corte pues de otra manera conduce a singularidades (modos de cuerpo rígido)mayores que las necesarias. Esta técnica fue ampliamente utilizada (y lo sigue siendo enmuchos casos) pero no funciona en todos los casos, resultando en elementos que no sonrobustos.

Aproximaciones mixtas. Tienen una mejor fundamentación desde el punto de vista teórico,por lo cual permiten una mayor justicación. Los resultados obtenidos son en general muybuenos y han dado lugar a un avance significativo de este tipo de elementos, que en generalse presentan como los de uso estándar a pesar de las desventajas mencionadas.

Finalmente se hace notar que en general los elementos que incluyen deformaciones transversalesde corte, son más sencillo de llevar al rango no-lineal geométrico. Por otro lado los elementos máseficientes en el análisis de problemas elasto-plásticos son aquellos de bajo orden de interpolación.


8.3.1. Elemento de placa con deformaciones por corte

Debido a que la formulación resulta de continuidad C0 su desarrollo no presenta ningunadificultad. Observemos como obtener las expresiones para un elemento isoparamétrico en generaly para un cuadrilátero de cuatro nudos en particular.

Para una aproximación isoparamétrica tendremos (con NN el número de nudos) wθxθy

=NN∑I=1

N I (ξ, η)

wI

θIxθIy

[xy

]=

NN∑I=1

N I (ξ, η)

[xI

yI

]La relación deformación-desplazamiento puede escribirse como

χ11

χ22

χ12

γ1

γ2

=

0 ∂

∂x0

0 0 ∂∂y

0 ∂∂y

∂∂x

∂∂x−1 0

∂∂y

0 −1

wθxθy

=

0 ∂

∂x0

0 0 ∂∂y

0 ∂∂y

∂∂x

∂∂x−1 0

∂∂y

0 −1

NN∑I=1

N I (ξ, η)

wI

θIxθIy

= B ue =

[Bb

Bs

]ue

donde el vector ue (3NN × 1) incluye las variables nodales incógnitas del elemento y en lamatriz B se han distinguido la parte asociada a la flexión (Bb) y la parte asociada al corte(Bs). Para el elemento de cuatro nudos estas matrices resultan

[Bb]3×12 =

0 N1′x 0 0 N2

′x 0 0 N3′x 0 0 N4

′x 00 0 N1

′y 0 0 N2′y 0 0 N3

′y 0 0 N4′y

0 N1′y N1

′x 0 N2′y N2

′x 0 N3′y N3

′x 0 N4′y N4

′x

[Bs]2×12 =

[N1′x −N1 0 N2

′x −N2 0 N3′x −N3 0 N4

′x −N4 0N1′y 0 −N1 N2

′y 0 −N2 N3′y 0 −N3 N4

′y 0 −N4

]La matriz que relaciona esfuerzos integrados en el espesor con las deformaciones generali-

zadas tiene la forma

[MQ

]=

Mxx

Myy

Mxy

Qx

Qy

=

Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

03×2

02×3 Ghκ

[1 00 1

]χ11

χ22

χ12

γ1

γ2

σ = D ε

Finalmente la matriz de rigidez resulta de la integral

K =

Â

BT D B dA =

Â

[BTb , BT

s

] [ Db 00 Ds

] [Bb

Bs

]dA

=

Â

BTb Db Bb dA+

Â

BTs Ds Bs dA

= Kb + Ks

Donde pueden distinguirse las distintas contribuciones de flexión y corte a la matriz derigidez.


8.3.2. Técnica de deformaciones impuestas.

Como se mencionó anteriormente el elemento descripto presenta problemas de bloqueo nu-mérico debido al corte transversal para placas delgadas. Una de las técnicas utilizadas paraaliviar este problema se conoce como “Técnica de Deformaciones Impuestas”, que se describesucintamente a continuación.

El basamento teórico de este tipo de aproximaciones se encuentra en la utilización de fun-cionales de tres campos, conocidos como funcionales de Hu-Washizu. En el caso general de unsólido elástico es posible escribir a la energía potencial total como

Π (u, ε, σ) =

ˆV

w (εij)− σij

[εij −

1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)]dV − V (u)

=

ˆV

1

2εT D ε− σT

[ε−∇Su

]dV − V (u)

donde w es la energía interna de deformación por unidad de volumen y V (u) es el potencial defuerzas externas. Notar que el segundo término dentro de la integral se anula si las deformacionesεij satisfacen las ecuaciones cinemáticas.

La solución del problema se obtiene como la condición de minimización del funcional respectoa los distintos campos de variables involucrados (u, σ y ε), así resulta

δuΠ =

ˆV

σij

[1

2

(∂δui∂xj

+∂δuj∂xi

)]dV − δV (u) = 0

δεΠ =

ˆV

[δεij

(∂w

∂εij− σij

)]dV = 0

δσΠ =

ˆV

δσij

[εij −

1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)]dV = 0

Notar que la primera ecuación es sencillamente la condición de mínimo de la energía po-tencial total escrita en función de tensiones y desplazamientos. La segunda ecuación indica quepara cualquier variación de deformaciones debe satisfacerse la definición de las tensiones a par-tir de la energía interna de deformación, esto es las ecuaciones constitutivas del problema. Entanto que la tercera condición indica que para cualquier variación de tensiones deben satisfacer-se las ecuaciones cinemáticas. En definitiva que para que un conjunto de valores (u, ε, σ) seansolución del problema, deben satisfacerse identicamente las condiciones de equilibrio, constitu-tivas y cinemáticas. Planteado así el problema establecido es formalmente idéntico al reemplazohabitual de constitutivas y cinemáticas sobre la energía potencial total a los fines de que estaquede expresada sólo en función de los desplazamientos. Sin embargo el mantener en formaindependiente los tres campos de variables permite distintas aproximaciones numéricas a lasolución del problema.

La técnica de deformaciones impuestas consiste en:

1. Establecer una interpolación independiente para el campo de deformaciones ε,

2. Escribir al campo de tensiones en función de las constitutivas. En tal caso estas se cumplenen forma exacta y las tensiones no son una variable independiente.

3. Relacionar las deformaciones con los desplazamiento en un conjunto de puntos arbitra-riamente elegidos. Esto permite eliminar a las deformaciones como variables globales,quedando el problema final exclusivamente en término de los desplazamientos.

Mostraremos como ejemplo como aplicar la técnica bosquejada para el término de corte trans-versal en un elemento cuadrilátero de placa de cuatro nudos (bilineal).


Consideremos el elemento maestro correspondiente al cuadrilátero, es decir un cuadradode lado dos. En este elemento impondremos la siguiente interpolación para las deformacionestransversales de corte

[γξγη

]=

1

2

[0 1− η 0 1 + η

1− ξ 0 1 + ξ 0

]γAηγBξγCηγDξ

= P (ξ, η) γ (8.1)

donde las deformaciones de corte han sido definidas en el sistema de coordenadas locales (ξ,η)del elemento maestro, en función de las deformaciones tangenciales al contorno en cuatro puntosindicados como A(ξ = −1, η = 0), B(ξ = 0, η = −1), C(ξ = 1, η = 0) y D(ξ = 0, η = 1) (ver Fi-gura 8.1). Según se ve cada componente de deformación se mantiene constante en una direccióny varía linealmente en la otra.

Figura 8.1: Puntos de evaluación del corte transversal en cuadriláteros

A continuación veremos como expresar estas deformaciones respecto al sistema coordenadofísico, observemos que la definición de las deformaciones respecto al sistema natural son:[

γξγη

]=

[ ∂w∂ξ− θξ

∂w∂η− θη

]= ∇(ξ,η)w − θ′ = γ′

con el cambio local de coordenadas[θξθη

]=

[∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

][θxθy

]= Jθ = θ′

en tanto que las deformaciones respecto al sistema cartesiano resultan:[γxγy

]=

[ ∂ξ∂x

∂η∂x

∂ξ∂y

∂η∂y

] [γξγη

]= J−1

[γξγη

](8.2)

= J−1[∇(ξ,η)w − θ′

]= J−1∇(ξ,η)w − θ

Las deformaciones en el sistema natural en los puntos de muestreo (A,B,C y D) sonγAηγBξγCηγDξ

=

w′η (ξ = −1, η = 0)− θη (ξ = −1, η = 0)w′ξ (ξ = 0, η = −1)− θξ (ξ = 0, η = −1)w′η (ξ = 1, η = 0)− θη (ξ = 1, η = 0)w′ξ (ξ = 0, η = 1)− θξ (ξ = 0, η = 1)

(8.3)


Evaluando en los puntos de muestreo resultanγAηγBξγCηγDξ

=1

4

−1 x4 − x1 y4 − y1 0 0 0−1 x2 − x1 y2 − y1 1 x2 − x1 y2 − y1

0 0 0 −1 x3 − x2 y3 − y2

0 0 0 0 0 0

1 x4 − x1 y4 − y1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 x3 − x2 y3 − y2

1 x3 − x4 y3 − y4 −1 x3 − x4 y3 − y4

w1

θ1x

θ1y

w2

θ2x

θ2y

w3

θ3x

θ3y

w4

θ4x

θ4y

γ = Bue (8.4)

de esta forma, hasta ahora, hemos escrito las deformaciones (naturales) en los puntos de mues-treo en función de las coordenadas nodales y los desplazamientos nodales.

Las deformaciones de corte transversales respecto al sistema cartesiano resultan de reem-plazar las 8.4 en las 8.1 y estas en las 8.2

γ (ξ, η) = J−1P (ξ, η) Bue = Bs (ξ, η) ue (8.5)

donde se ha introducido la matriz B substituta o B (B-barra)

Bs (ξ, η) = J−1P (ξ, η) B

Los esfuerzos transversales de corte valen

Q =

[Qx

Qy

]= Ghκ

[1 00 1

] [γxγy

]= DsBsue

Finalmente la energía interna de deformación resulta

Ws =1

2

Â

uTe BTs Ds Bue dA

=1

2uTe BT

Â

PT (ξ, η) J−T[Ghκ 0

0 Ghκ

]J−1P (ξ, η) dA Bue

=1

2uTe Ks ue

donde Ks es la contribución del corte transversal a la matriz de rigidez, que se calcula usandointegración numérica estándar como:

Ks = BT

Â

PT (ξ, η) J−T[Ghκ 0

0 Ghκ

]J−1P (ξ, η) dA B

o si se escribe en función de la matriz substituta Bs directamente

Ks =

Â

BTs (ξ, η)

[Ghκ 0

0 Ghκ

]Bs (ξ, η) dA

8.4. ELEMENTOS DE LÁMINA 161

8.4. Elementos de láminaEl desarrollo de elementos de lámina presenta, por lo menos, los mismos problemas que el

desarrollo de elementos de placa. Lo interesante es que habitualmente las soluciones son lasmismas, por lo que en general lo que hay que solucionar son nuevos problemas si los hubiere.Una forma de generar elementos de lámina es precisamente tomar un buen elemento de placa yagregarle la contribución membranal. Esto es inmediato en elementos triangulares de 3 nodos,que son planos.

Básicamente existen tres aproximaciones para el desarrollo de elementos de láminas, dosasociados a las teorías vistas para placas planas y una tercera asociada a la imposición derestricciones cinemáticas en elementos de sólido. Tenemos entonces

Elementos basados en la teoría de láminas clásica (Love-Kirchhoff)

Elementos que incluyen deformaciones transversales de corte (Reissner-Mindlin)

Elementos de sólido degenerado, que resultan muy similares a los basados en la teoría deReissner-Mindlin

Algunos características distintivas de los teorías de láminas respecto a las de placas planas esque:

1. Requieren la definición de un sistema coordenado curvilíneo. Habitualmente este sistemacoordenado se particulariza en un sistema cartesiano local (dos ejes sobre el plano tangentea la lámina y el tercero normal a la lámina) en los puntos de integración. Esto debeinterpretarse cómo que el sistema coordenado no queda definido en forma explícita entodo el elemento sino sólo en los puntos de integración.

2. Los elementos tienen curvatura inicial, lo que traduce en dos aspectos: a)un acoplamientodel comportamiento flexional y membranal y b)en la forma de medir las deformacionescomo el cambio de curvatura.

3. En elementos inicialmente curvos, es necesario que la definición de los desplazamientospermita los movimientos de cuerpo rígido sin la aparición de energía. Esto es dificil de lo-grar si los desplazamientos se definen en los sistemas de coordenadas locales y aún cuandose definan en sistemas globales es posible un aumento espurio de la energía de deforma-ción membranal (“bloqueo membranal”) cuando no se pueden modelar correctamente losmovimientos de cuerpo rígido. Este último problema aparece en elementos inicialmentecurvos, no en elementos inicialmente planos.

Dado el carácter introductorio de estas notas, no se avanzará más sobre el tema.

Capítulo 9

Combinación de Elementos Finitos yVolúmenes Finitos

por F. Flores

9.1. IntroducciónA continuación de presenta una formulación para la solución numérica de un problema de

convección difusión, en la cual se utiliza la noción de volúmenes de control para establecerlas ecuaciones de balance y se utiliza una malla de elementos finitos arbitraria a los fines dedefinir los volúmenes de control y las contribuciones correspondiente. Esta técnica numéricapuede verse como una combinación de la técnica de volúmenes finitos, en la cual se discretizael dominio en subdominios a los fines de que en tales subdominios se cumpla la ecuación debalance, y la técnica de elementos finitos, donde se discretiza el dominio, en subdominios a losfines de evaluar las contribuciones de equilibrio en cada nudo de la malla. Como se verá en estecaso, no son los elementos finitos los volúmenes de control (podría plantearse de esa manera),si no que los volúmenes de control están asociados a los nudos del la malla.

Básicamente consiste en:

1. Plantear una malla arbitraria de E.F., en general “no estructurada”

2. En cada elemento definir funciones de interpolación, las estándar del MEF, a los fines deaproximar la variable incógnita

3. Alrededor de cada nudo de la malla definir un Volumen Finito sobre el cual plantear laecuación de balance

4. Para la evaluación de las integrales que dan lugar a la ecuación de balance se utilizan lasaproximaciones del punto 2.

9.2. AproximacionesNormalmente se usan aproximaciones sencillas. En Problemas 2-D, la aproximación más

sencilla y versátil es el triángulo lineal. Si denominamos con φ a la incógnita (escalar) del

163


Figura 9.1: Definición de la celda elemental

problema

φ (x) =3∑I=1

LI φI

en tanto que las velocidades (conocidas) pueden escribirse

u (x) =3∑I=1

LI uI

dondeφI : son las incógnitas nodalesLI : son las coordenadas triangulares (ξ, η, ζ)uI : son las velocidades en los nudos (conocidas), que satisfacen ∇u = 0Para cada elemento finito triangular hay que calcular las 3 contribuciones correspondien-

tes a las celdas de volumen finito asociadas a cada nudo del triángulo. Estas contribucionescorresponden a las interfaces internas indicadas como 1, 2 y 3 en la Figura 9.2

Figura 9.2: Interfaces internas de cada triángulo

A su vez cada una de esas contribuciones se sumará o restará en cada nudo según la definiciónque se utilice de la normal a la interfaz.

9.2. APROXIMACIONES 165

Denominando con xI al par coordenado de cada nudo y orientando los lados del triánguloen sentido antihorario

l1 = x3 − x2 l2 = x1 − x3 l3 = x2 − x1

y llamando aI y bI a las proyecciones del lado I según las direcciones coordenadas

aI = lI · t1 bI = lI · t2

a1 = x31 − x2

1 b1 = x32 − x2

2

a2 = x11 − x3

1 b2 = x12 − x3

2

a3 = x21 − x1

1 b3 = x22 − x1

2

En base a las definiciones anteriores es fácil demostrar que el duplo del área del triángulovale

2A = a1b2 − a2b1

y además que para un punto genérico de coordenadas (x1, x2) las funciones de forma valen

L1 =1

2A

[−b1x1 + a1x2 + b1x2

1 − a1x22

]= ξ (x1, x2)

L2 =1

2A

[−b2x1 + a2x2 + b2x3

1 − a2x32

]= η (x1, x2)

L2 =1

2A

[−b3x1 + a3x2 + b3x1

1 − a3x12

]= ζ (x1, x2)

En la Figura 9.1 la definición de la celda o volumen finito se ha hecho en función de las“medianas” de cada triángulo que parten de la mitad de cada lado y se cortan en el centrodel elemento. Esto hace que a lo largo de cada mediana dos de las coordenadas triangulares(asociadas a los nudos extremos del lado) tengan el mismo valor (1

2sobre el lado y 1

3en el centro

del elemento), en tanto que la coordenada triangular restante varíe entre 0 (sobre el lado) y 13

en el centro del elemento.Las coordenadas del centro del triángulo son

Cx =1

3

(x1 + x2 + x3

)en tanto que las del centro de cada lado son sencillamente (notar que con un supraíndice a laderecha se indican valores nodales, como se ha hecho habitualmente, y con supraíndice izquierdose indican las coordenadas del centro del lado, opuesto al nudo correspondiente)

1x =1

2

(x2 + x3

)2x =

1

2

(x3 + x1

)3x =

1

2

(x1 + x2

)A partir de estas coordenadas, cada interfaz queda definida por el vector orientado del centro

del triángulo al centro del lado

s1 =1 x−Cx = −1

3x1 +

1

6x2 +

1

6x3

s2 =2 x−Cx = −1

3x2 +

1

6x3 +

1

6x1

s3 =3 x−Cx = −1

3x3 +

1

6x1 +

1

6x2


A la longitud de cada interfaz la denominarse como |sI | en tanto que el vector normal a lamisma se expresa como

nI=1

|sI |(−sI2, sI1

)=(nI1, n

I2

)(9.1)

de tal forma que el producto sI × nI sea saliente al plano.

Figura 9.3: η como función de ξ en cada interfaz interna

Observando el elemento maestro y el elemento en el plano real resulta

Interfaz 1 ξ en [13, 0] η en [1

3, 1

2] η = 1

2(1− ξ)

Interfaz 2 ξ en [13, 1

2] η en [1

3, 0] η = 1− 2ξ

Interfaz 3 ξ en [13, 1

2] η en [1

3, 1

2] η = ξ

Tenemos entonces definidas las interfaces.

9.3. Ecuación de balance, integraciónLa ecuación de balance en cada volumen finito o celda es:ˆ

S

[ρφu− Γ ∇φ] · ν dS = 0

u y φ hemos visto que varían en forma lineal, en tanto que ∇φ es constante para cadaelemento (pero tiene valores distintos dentro de la celda)

∇φ =

[φ′1φ′2

]=

1

2A

[−b1 −b2 −b3

a1 a2 a3

] φ1

φ2

φ3

Consideremos la interfaz 1ˆ

s1[ρφu− Γ ∇φ] · n1 dS =

ˆ 0

13

[ρ 1φ

(1u · n1

)− n1 · Γ ∇φ

]3|s1| dξ

donde hemos realizado el cambio de variable de integración y hemos introducido las definiciones

1φ (ξ) = ξφ1 +1

2(1− ξ)φ2 +

[1− ξ − 1

2(1− ξ)

]φ3

= ξφ1 +1

2(1− ξ)φ2 +

1

2(1− ξ)φ3

1u (ξ) = ξu1 +1

2(1− ξ) u2 +

1

2(1− ξ) u3

9.3. ECUACIÓN DE BALANCE, INTEGRACIÓN 167

correspondientes a los valores de φ y u a lo largo de la interfaz 1 (por ello el supraíndiceizquierdo asociado)

El primer término de la integral puede expresarse

ρ 1φ(

1u · n1)

= ρ(n1

1, n12

) [ u11 u2

1 u31

u12 u2

2 u32

] ξ(1−ξ)

2(1−ξ)

2

[ ξ (1−ξ)2

(1−ξ)2

] φ1

φ2

φ3

En tanto que el segundo término es

−n1 · Γ ∇φ = −(n1

1, n12

) [ Γ11 Γ21

Γ12 Γ22

] [−b1 −b2 −b3

a1 a2 a3

] φ1

φ2

φ3

En esta última integral todo es constante luego la integral vale sencillamente

ˆ 0

13

−n1 · Γ ∇φ 3|s1| dξ =|s1|2A

(n1

1, n12

) [ Γ11 Γ21

Γ12 Γ22

] [−b1 −b2 −b3

a1 a2 a3

] φ1

φ2

φ3

Que contribuye al balance del nudo 2 con el signo que está y al balance del nudo 3 cam-biándole el signo. Recordar además la relación entre las componentes del vector normal y lainterfaz (ecuación 9.1).

La integral del primer término es más laboriosa pero sencilla. Puede escribirse como

ρ(s1

2,−s11

) [ u11 u2

1 u31

u12 u2

2 u32

]ˆ 13

0

ξ2 (1−ξ)ξ2

(1−ξ)ξ2

(1−ξ)ξ2

(1−ξ)2

4(1−ξ)2

4(1−ξ)ξ

2(1−ξ)2

4(1−ξ)2

4

dξ φ1

φ2

φ3

Observando que

ˆ 13

0

ξ2 dξ =

[ξ3

3

] 13

0

=1

81ˆ 13

0

(1− ξ) ξ2

dξ =

[ξ2

4− ξ3

6

] 13

0

=7

324ˆ 13

0

(1− ξ)2

4dξ =

[ξ − ξ2 +

ξ3

3

] 13

0

=19

324

La integral del primer término puede escribirse ahora

ˆ 0

13

[ρ 1φ

(1u · n1

)]3|s1| dξ = ρ

(s1

2,−s11

) [ u11 u2

1 u31

u12 u2

2 u32

]1

108

4 7 77 19 197 19 19

φ1

φ2

φ3

En forma similar, a lo largo de la interfaz 2 es posible definir

2φ (ξ) = ξφ1 + (1− 2ξ)φ2 + ξφ3

2u (ξ) = ξu1 + (1− 2ξ) u2 + ξu3

La forma de la parte difusiva es similar al caso anterior

ˆ 12

13

−n2 · Γ ∇φ 6|s2| dξ =1

2A

(−s2

2, s21

) [ Γ11 Γ21

Γ12 Γ22

] [−b1 −b2 −b3

a1 a2 a3

] φ1

φ2

φ3


que contribuye al nudo 3 y al nudo 1 (cambiada de signo). En tanto que la parte convectivaresulta de

ρ(s2

2,−s21

) [ u11 u2

1 u31

u12 u2

2 u32

]6

ˆ 12

13

ξ2 ξ − 2ξ2 ξ2

ξ − 2ξ2 (1− 2ξ)2 ξ − 2ξ2

ξ2 ξ − 2ξ2 ξ2

dξ φ1

φ2

φ3

Realizando las integrales tenemos

ρ(s2

2,−s21

) [ u11 u2

1 u31

u12 u2

2 u32

]1

108

19 7 197 4 719 7 19

dξ φ1

φ2

φ3

Finalmente en la interfaz 3 las partes difusiva y convectiva resultan respectivamente

1

2A

(−s3

2, s31

) [ Γ11 Γ21

Γ12 Γ22

] [−b1 −b2 −b3

a1 a2 a3

] φ1

φ2

φ3

ρ(s3

2,−s31

) [ u11 u2

1 u31

u12 u2

2 u32

]1

108

19 19 719 19 77 7 4

φ1

φ2

φ3

De esta forma, agrupando los resultados obtenidos para cada interfaz, las contribuciones

resultan:

Parte Difusiva

1

2A

s22 − s3

2 s31 − s2

1

s32 − s1

2 s11 − s3

1

s12 − s2

2 s21 − s1

1

[ Γ11 Γ21

Γ12 Γ22

] [−b1 −b2 −b3

a1 a2 a3

] φ1

φ2

φ3

(9.2)

Parte Convectiva: Definiendo

v1I =(s3

2 − s22

)uI1 +

(s2

1 − s31

)uI2

v2I =(s1

2 − s32

)uI1 +

(s3

1 − s11

)uI2

v3I =(s2

2 − s12

)uI1 +

(s1

1 − s21

)uI2

donde los supraíndices en vIJ están asociados a I: interfaz, J : nudo. Tendremos

ρ

108

[v11 v12 v13

] 4 7 77 19 197 19 19

+[v21 v22 v23

] 19 7 197 4 719 7 19

+

[v31 v32 v33

] 19 19 719 19 77 7 4

φ1

φ2

φ3

En la parte difusiva es posible incluir una “difusión de balance” Γb para mejorar el comporta-miento numérico. Esta puede calcularse de la siguiente forma

Γb = β [n⊗ n]

9.4. CONDICIONES DE CONTORNO 169

donde

n =u

|u|

α =1

2

|u|hΓ

= Pe

β = coth (α)− 1

α

Como u es variable punto a punto, Γb también lo será. Sin embargo utilizaremos un valorúnico en cada elemento. Razonablemente el valor a utilizar será el del centro del elemento

u =1

3

(u1 + u2 + u3

)|u| =

[u2

1 + u22

] 12

n =u

|u|

El valor de h (dimensión del elemento en la dirección n puede aproximarse por

h =1

2

3∑I=1

|lI · n|

Finalmente notar que

s3 − s2 = −1

3x3 +

1

6x1 +

1

6x2 +

1

3x2 − 1

6x1 − 1

6x3 =

1

2

(x2 − x3

)= − l1

2= −1

2

(b1, a1

)s1 − s3 = − l2

2= −1

2

(b2, a2

)s2 − s1 = − l3

2= −1

2

(b3, a3

)de donde s2

2 − s32 s3

1 − s21

s32 − s1

2 s11 − s3

1

s12 − s2

2 s21 − s1

1

=1

2

−b1 a1

−b2 a2

−b3 a3

Lo cual, reemplazado en 9.2 muestra la simetría de la parte difusiva

9.4. Condiciones de contornoEn los triángulos que están en contacto con el contorno del dominio hay que considerar las

condiciones de contorno del problema que allí existan.Básicamente el contorno lo podemos dividir en dos partes

Sφ donde se conoce el valor de la variable φ

Sσ donde el valor de la variables φ es incógnita. Esta parte puede a su vez dividirse endos partes

- donde se conoce el valor del flujo σν (incluida aquella parte donde σν = 0)

σν = [ρuφ− Γ ∇φ] · ν


- donde se conoce el valor de ∇φ · ν pero no φ misma. Habitualmente ∇φ · ν = 0 en el“campo lejano”

En Sφ se trabaja de la siguiente manera

1. No es necesario plantear el balance en dicho punto. Luego no hay ecuación de balanceasociado a los puntos donde φ es conocido.

2. Un triángulo que esté asociado con un contorno así tendrá en general tres contribuciones(a cada uno de sus vértices) en la forma Contr. 1

Contr. 2Contr. 3

=

C11 C12 C13

C21 C22 C23

C31 C32 C33

φ1

φ2

φ3

Supongamos que φ2 = φ es conocido, entonces la segunda fila (la que contribuye alrededordel nudo 2) no es necesaria. Las contribuciones C12φ (al nudo 1) y C32φ (al nudo 3) al servalores conocidos pasan al término independiente

Figura 9.4: Borde donde el flujo σν es conocido

En Sσ tenemos dos posibilidades

1. Conocemos σν : Interpolamos linealmente el valor de σν entre los nudos del lado del ele-mento. Llamando (ver figura 9.4) |l| = |x2 − x1|, la contribución a cada celda o volumenes

nudo 1 :|l|6

(2σ1

ν + σ2ν

)nudo 2 :

|l|6

(σ1ν + 2σ2

ν

)que contribuye al término independiente. El signo de σν depende de que el flujo conocidosea entrante o saliente.

2. El caso ∇φ · ν = 0 conduce a considerar sólo la influencia del término convectivo. Lacontribución al nudo 1 resulta

|l|ˆ 1

2

0

ρ[(1− ξ)u1

ν + ξu2ν

] [(1− ξ)φ1 + ξφ2

]dξ


|l|ρ[u1ν , u

2ν

]ˆ 12

0

[(1− ξ)2 ξ (1− ξ)ξ (1− ξ) ξ2

]dξ

[φ1

φ2

]|l|ρ24

[u1ν , u

2ν

] [ 7 22 1

] [φ1

φ2

]similarmente la contribución al nudo 2 resulta

|l|ρ24

[u1ν , u

2ν

] [ 1 22 7

] [φ1

φ2

]Estas contribuciones son dependientes de las incógnitas φ1 y φ2 y se suman sobre la matrizde coeficientes

Figura 9.5: Borde donde el gradiente es nulo

Ejemplo

Con el objetivo de mostrar el comportamiento de la formulación presentada se considera eltransporte de una cantidad escalar en un campo de velocidades conocido. Este último está dadopor ux = x y uy = −y que representa el flujo cerca de un punto de estancamiento. Las líneasde corriente son líneas de xy =cte. y cambian de dirección respecto a la grilla cartesiana. Eldominio considerado es un cuadrado de lado unitario. Las condiciones de borde a ser aplicadasson (ver figura 9.6

1. φ = 0 a lo largo del borde superior (entrada)

2. variación lineal de φ desde φ = 0 en y = 1 hasta φ = 1 en y = 0 a lo largo del bordeizquierdo

3. condición de simetría (gradiente nulo a través del contorno) en el borde inferior

4. gradiente nulo en la dirección del flujo en el borde de salida (derecha)


φ=0

φ=1 simetría

gradφ

Figura 9.6: Campo de velocidades y condiciones de borde

Se ha discretizado el dominio con dos mallas uniforme de 800 elementos y 3200 elementosrespectivamente. En las figuras 9.7 y 9.8 se muestran las curvas de igual concentración. Seobserva un fuerte gradiente en la zona cercana a los ejes coordenados, en tanto que lejos deellos el valor de la variable es casi nulo. En base al conocimiento de la zona de mayores gradienteses posible definir que la malla sea más densa donde los gradientes son importantes y que lamalla sea más gruesa donde el gradiente es bajo. En la figura 9.9 se muestran las curvas denivel para una malla no-uniforme de 832 elementos. El esfuerzo computacional en este caso essimilar al de la primera malla uniforme y los resultados son mejores.


Figura 9.7: Curvas de nivel de la concentración para la primera malla uniforme

Figura 9.8: Curvas de nivel de la concentración para la segunda malla uniforme


Figura 9.9: Curvas de nivel de la concentración para la malla no-uniforme

Apéndice A

Descripción del programa GAMMA

por F. Flores

A.1. IntroducciónLos desarrollos del método de Elementos Finitos están íntimamente ligados con la forma de

programarlo (codificarlo), y no es posible una comprensión cabal del método sin programarlo,o por lo menos entender claramente como se lo hace y cuales son las dificultades que surgen yla forma de solucionarlas.

El lenguaje de programación que tradicionalmente se ha usado para el M.E.F. ha sidoel FORTRAN (FORmula TRANslation), que es un lenguaje de alto nivel. El lenguaje haido progresando paulatinamente aunque más lentamente que otros lenguajes. Desde el originalFORTRAN IV ( o 66) pasando por el FORTRAN’77 que intenta ser ya un lenguaje estructurado,más fácil de depurar de errores, hasta las versiones avanzadas FORTRAN’90 95 2003 y 2008que ha tomado muchos elementos de lenguajes más versátiles lo cual lo convierte actualmenteen muy potente. La evolución del lenguaje, y de la forma de programar, puede verse en losdistintos textos de elementos finitos, donde en general aparecen programas demostrativos enlenguaje FORTRAN. En esos textos puede también notarse una serie de falencias, en lo que atécnicas de programación se refiere, de quienes codificaron el método, muchas veces debido a lalimitaciones intrínsecas del lenguaje, otras debido a una tradición en la forma en que se veníahaciendo y que no ha sido fácil modificar.

Existen múltiples formas de programar el M.E.F., lo que depende de una serie de aspectos,entre ellos:

1. El tipo de resolvedor de ecuaciones que se vaya a utilizar, que condiciona la forma dealmacenar los elementos de la matriz de coeficientes que generalmente resulta muy volu-minosa, además de ocupar en problemas significativos el mayor tiempo de C.P.U. en lasolución del problema.

2. La variedad de elementos que se intente incluir, la factibilidad de usar modelos mixtos.

3. La generalidad de las condiciones de borde esenciales y la posibilidad de combinar estadosde solicitaciones.

4. Posibilidades futuras de ampliar el código a otro tipo de problemas.

175


5. Grado de eficiencia requerida (en tiempo de C.P.U. o en requerimiento de memoriaR.A.M.)

6. Portabilidad del código, independencia de sistemas operativos o extensiones locales de loslenguajes.

GAMMA es un programa de elementos finitos orientado a resolver problemas bidimensionales(es decir dominios planos) lineales (las coeficientes de la ecuación diferencial no dependen delvalor de la variable). El programa GAMMA ha sido codificado en FORTRAN’90, el presentetexto no intenta explicar el lenguaje, de manera que para un comprensión del mismo deberándirigirse a textos especializados o los manuales de referencia del lenguaje.

Se ha intentado mantener una cierta claridad de programación sin renunciar a la eficienciade la misma. Se ha tratado de hacer eficiente sólo las partes más importantes (en este caso elresolvedor de ecuaciones), de tal forma de hacer más sencilla la comprensión de la mayor partedel código para facilitar la ampliación por parte de usuarios no-expertos.

El código que se presenta aquí está de alguna forma incompleto con el objetivo de que elestudiante genere las partes que pudieran faltar a manera de ejercicio. Esas partes faltantespodrían corresponder a:

Generación automática de datos y verificaciones previas.

Generación del vector de términos independiente debido a condiciones de contorno natu-rales o debido al término independiente de la ecuación diferencial.

Evaluación del error aproximado y con él los valores del tamaño de la malla para generaruna malla adaptable.

Básicamente se han incluido la posibilidad de analizar los siguientes problemas físicos:

Ecuación de Laplace, que representa una buena cantidad de problemas dependiendo delsignificado que se le den a los coeficientes y a sus condiciones de borde (flujo irrotacional,flujo en un medio poroso, torsión sin restricción de alabeo ya sea usando la función dealabeo o la de tensión, transmisión del calor, distribución de tensiones de corte en flexión,etc.)

Elasticidad bidimensional, incluyendo típicamente los casos de:

1. Tensión Plana2. Deformación Plana3. Sólidos Axilsimétricos

Flexión de placas planas incluyendo deformaciones de corte transversales

A.2. Base de datosDe hecho una parte imprescindible para entender un programa es saber como están al-

macenados los datos. La presente versión del programa incluye sólo dos elementos finitos, untriángulo de seis nodos y un cuadrilátero de nueve nodos, ambos cuadráticos (en este caso elprograma no está orientado a tener una variada biblioteca de elementos sino que se supone quesólo tendrá estos dos). En base a ello se definen algunas variables escalares, las que pueden serparámetros independientes del tipo de problema, parámetros dependientes del tipo de proble-ma, o variables dependientes de la características geométricas de la malla o de las condicionesde borde y del material constitutivo. Se definen las siguientes:

A.2. BASE DE DATOS 177

A.2.1. parámetros

DIMEN indica la dimensión espacial del problema, que en este caso está restringido a 2 (bidimen-sional), esta variable y otras, aunque no son imprescindibles, se definen por una cuestiónde orden y de claridad de lectura del código.

NODET es el número de nudos que tiene el triángulo que es 6.

NODEQ es el número de nudos que tiene el cuadrilátero que es 9.

TYPEP indica el tipo de problema físico que se intenta resolver, de 0 a 4 son versiones distintasde la ecuación de Helmholtz

0 Distribución de tensiones de corte en flexión

1 Ecuación de Laplace (flujo irrotacional o transmisión de calor)

2 Torsión, función de alabeo

3 Torsión, función de tensión

4 Escurrimiento en un medio poroso

5 Estado plano de tensión

6 Estado plano de deformación

7 Estado de deformación axilsimétrica

8 Flexión de placas

NDOFN es el número de grados de libertad que puede haber en cada nudo, este valor depende deltipo de problema, en general para problemas de continuidad C0 corresponde al númerode variables del problema.

1 Ecuación de Helmholtz (TYPEP = 0:4)





NSTRE es el número de variables que definen el flujo en cada punto

2 Ecuación de Helmholtz





NRENU bandera que indica si se desea optimizar la numeración de las ecuaciones de forma dedisminuir el tamaño del perfil del sistema de ecuaciones


A.2.2. Variables que definen el problema, introducidas al programa

NODES es el número de nudos total de nudos para el tratamiento del problema, esto puedeincluir nudos auxiliares que no tengan variables asociadas pero que resulten útiles poralguna razón (por ejemplo al momento de generar la malla)

NMATY es el número de materiales con características diferentes que van a definirse

NPROP es el número de características o propiedades que tiene cada material

NTRIA es el número de triángulos que hay en la malla

NQUAD es el número de cuadriláteros que hay en la malla

NGAUT es el número de puntos de integración que van a utilizarse en los triángulos

NGAUQ es el número de puntos de integración que van a utilizarse en los cuadriláteros

NKNOW es el número de nudos de la malla donde van a introducirse condiciones esenciales deborde

A.2.3. Arreglos de datos

Los arreglos que se definen a continuación contienen la información que permite realizar elanálisis. Previamente a guardar información en ellos es necesario reservar el espacio de memoriapara ellos. Notar que este espacio depende del problema en estudio y por lo tanto se hace enforma “dinámica” es decir una vez que se han leído los parámetros anteriores. Estos arreglosson:

COORD(dimen,nodes) son las coordenadas de los puntos que definen la malla.

CONTR(nodet,ntria) son las “conectividades” de los triángulos, es decir los nudos que definena cada elemento. Estos nudos se definen en un orden prefijado, en este caso siguiendo unsentido antihorario y comenzando en cualquier nudo vértice van primero los tres nudosvértices y a continuación los tres nudos sobre los lados comenzando por el primer nudoconsecutivo al primer vértice guardado.

CONQD(nodeq,nquad) son las “conectividades” de los cuadriláteros, es decir los nudos que defi-nen a cada elemento. Estos nudos se definen en un orden prefijado, en este caso siguiendoun sentido antihorario y comenzando en cualquier nudo vértice van primero los cuatronudos vértices y a continuación los cuatro nudos sobre los lados comenzando por el primernudo consecutivo al primer vértice guardado. Finalmente va el nudo central.

MATRI(ntria) indica para cada triángulo el material del que está constituido.

MATQD(nquad) indica para cada cuadrilátero el material del que está constituido.

PROPS(nprop,nmaty) almacena para cada tipo de material las características del mismo

KNOWN(ndofn*nknow) Guarda el valor conocido de cada grado de libertad donde se ha estable-cido una condición de borde esencial

IDNOD(ndofn,nodes) relaciona cada grado de libertad de cada nodo con una ecuación global.

A.3. DESCRIPCIÓN GLOBAL DEL PROGRAMA 179

1 25

34

6

7

8 9

1 2

3

4

56

Figura A.1: Orden de numeración (conectividades) de los nudos de triángulos y cuadriláteros

MAXAV(neq+1) Debido a la forma de almacenamiento de la matriz de coeficientes, que en estecaso consiste en guardar en forma secuencial (en un arreglo unidimensional) los coeficien-tes ubicados debajo del perfil de la matriz, este arreglo indica la posición que ocupan loselementos de la diagonal de la matriz de coeficientes en el vector donde está almacenada.

De los últimos tres arreglos hablaremos más en detalle más adelante. Finalmente digamosque la variable escalar NEQ indica el número de ecuaciones independientes una vez introducidaslas condiciones de borde (calculada automáticamente por el programa).

A.3. Descripción global del programaA continuación se desarrolla una descripción del significado de cada rutina del programa se-

gún el orden en que van apareciendo. El flujo global del programa se controla desde el programaprincipal donde se definen la variables indicadas en la sección anterior.

A.3.1. Rutina OPENFI

Esta rutina aglutina los comandos necesarios para abrir los archivos a ser usados. Losarchivos son de tipo ASCII, es decir que pueden verse y editarse con cualquier editor. Leeinteractivamente los nombres de los mismos, verifica su sintaxis y les asigna las característicasadecuadas. Los archivos que abre son los siguientes

unit 3 Archivo de salida, el nombre de este archivo es ingresado por el usuario. Allí van a pararel eco de la entrada de datos, valores generados y resultados de las variables nodales.Posteriormente también se escriben allí las reacciones nodales, el valor del flujo en lospuntos de integración y los valores suavizados en los nodos.

unit 4 Archivo de salida donde se escriben algunos mensajes de advertencia o para escribirvalores auxiliares en la fase de depuración del programa.

unit 5 Archivo de datos (ingresado por el usuario) primero verifica su existencia y concate-na (agrupa) los archivos en que pueden estar separados los datos en un único archivoGAMMA.DAT, a estos fines llama a las rutinas GENFIL, RANDWR

unit 7-9 Archivos ASCII de salida orientados a ser usados como interfaces con programas devisualización (Tecplot, GiD).

unit NN Archivo auxiliar


A.3.2. Rutina MATPRO

Lee de la unidad 5 las características de los materiales y las almacena en la variablePROPS(nprop,nmaty). Esta rutina (como otras) se controla según el caracter que aparece en laprimera columna:

si ese carácter es una “e” o “E” entiende que se ha terminado con los datos de materiales.

si ese carácter es una “m” o “M” entiende que se empezarán a leer datos de un nuevomaterial, y lee el número del material correspondiente.

cualquier otro caracter hace que lea el valor de una característica (en forma consecutiva)del material a partir de la columna 31, sirviendo las 30 primeras columnas como un espaciopara comentario.

Una vez terminada la lectura la rutina verifica que se hayan leído valores para todos los mate-riales (arreglo EXIST(nmaty)) y si no imprime una advertencia.

A.3.3. Rutina COORDG

Lee de la unidad 5 las coordenadas de los nudos y las almacena en la variable COORD(dimen,nodes).Esta rutina se controla según el caracter que aparece en la primera columna:

si ese caracter es una “e” o “E” entiende que se ha terminado con los datos de coordenadasnodales.

si ese caracter es un espacio en blanco entiende que se leerán datos de un nodo, y lee elnúmero del nodo y su DIMEN coordenadas correspondientes.

si el caracter no es alguno de los anteriores asume que la línea es un comentario y pasa ala siguiente.

Esto esta así pensado para que luego puedan construirse alguna forma sencilla de generaciónde coordenada nodales estructuradas. Lo que se controlaría con alguna letra adecuada. Porejemplo se podría leer en la primera columna una “L” y a continuación hacer una interpolaciónlineal entre dos nudos previamente leídos, o una “C” e interpolar nudos sobre un arco de círculo,etc. Al respecto en la versión actual del programa hay algunas opciones de generación sencillas.

Finalmente la rutina va verificando de que nudos se ha leído o generado coordenadas yen caso de haber coordenadas faltantes (arreglo EXIST(nodes)) se imprime un mensaje deadvertencia.

A.3.4. Rutina ELMDAT

Lee de la unidad 5 las conectividades de los elementos y las almacena en la variableCNODS(nnode,nelem). Donde NNODE es el número de nudos del elemento y NELEM es la can-tidad de elementos de este tipo. Lee también el tipo de material del que está compuesto enNUMAT(nelem).Esta rutina se controla según el caracter que aparece en la primera columna:

si ese caracter es una “e” o “E” entiende que se ha terminado con los datos de conectivi-dades elementales.

si ese caracter es un espacio en blanco entiende que se leerán datos de un elemento, ylee el número del elemento, el material del que está constituido y sus NNODE nodos en elorden correspondiente.


si el caracter no es alguno de los anteriores asume que la línea es un comentario y pasa ala siguiente.

Esto esta así pensado para que luego puedan construirse alguna forma sencilla de generaciónde conectividades nodales estructuradas. Lo que se controlaría con alguna letra adecuada.

La rutina verifica que se hayan leído o generado las datos de todos los elementos (arregloEXIST(nelem)) y si no fuese así detiene la ejecución. En caso de que las coordenadas de susnudos medios falten se generan equidistantes de los vértices. Finalmente para cada nudo aso-ciado a un elemento se dan de alta los NDOFN parámetros nodales como potenciales grados delibertad del problema en el arreglo IDNOD(ndofn,nodes)(condición que luego podrá cambiaral introducir las condiciones esenciales de borde).

A.3.5. Rutina KNOWNV

Esta rutina lee los valores de la variable en aquellos puntos donde es conocida (condicionesesenciales de borde). Estos valores se van ordenando en forma secuencial y para cada valorconocido, el grado de libertad asociado se da de baja. El valor conocido (nulo o no) se guardaen el arreglo KNOWN y en la posición correspondiente del arreglo IDNOD se guarda la posición enel arreglo anterior pero con signo cambiado. De esta forma en IDNOD tendremos hasta ahora:

1 grados de libertad que no han sido dados de alta

0 grados de libertad dados de alta (efectivos)

-? grados de libertad con valores conocidos

Notar que las condiciones de borde aquí incluidas no son generales. Por ejemplo para problemasde elasticidad los grados de libertad que se pueden imponer deben coincidir con las direccionesdel sistema global de coordenadas, es decir no es factible en la presente implementación incluirapoyos inclinados respecto a dicho sistema. Tampoco es posible incluir restricciones conocidascomo nodos “maestros” o restricciones donde un grado de libertad depende de otro(s) en formalineal.

A.3.6. Rutina SKYLIN

Esta rutina evalúa el perfil “skyline” de la matriz de coeficientes. Para ello previamente(a) llama a la rutina RENUMN que optimiza la numeración de los nudos de la malla en funciónde las conectividades de forma de minimizar la cantidad de elementos que existirán bajo elperfil, (b) numera los grados de libertad efectivos. Esta segunda tarea consiste en asociar acada elemento de IDNOD con valor 0 una ecuación. Una vez numerados los grados de libertad elperfil de la matriz de coeficientes se determina con la rutina UBICMX que devuelve el número deelementos bajo el perfil MAXV y las posiciones que ocupan los elementos diagonales de la matrizde coeficientes en el vector donde se almacenan MAXAV(neq+1).

A.3.7. Rutina SOLVES

Esta rutina ordena los pasos necesarios para resolver el problema planteado. Calcula la ma-triz de rigidez STIFF y el término independiente asociado a los valores nodales conocidos (rutinaSTIFFG), lee las condiciones de borde naturales (rutina PTLOAD), que en la presente versión sóloincluye valores puntuales de cargas o fuentes. Realiza la descomposición en factores (LD LT)de la matriz (rutina COLSOL con índice 1), y la sustitución hacia atrás (rutina COLSOL con índice2) que nos provee de los valores buscados de los grados de libertad efectivos. Finalmente en larutina PRINTD se imprimen los valores de las variables nodales.


Notar que en la presente versión “faltan” algunos elementos imprescindibles en un análisispor elementos finitos, que se proponen como ejercicio de desarrollo y programación.

Las siguientes variables se definen localmente

NDOFE número de grados de libertad del elemento

POSGT(dimen,ngaut) posición de los puntos de integración en el triángulo maestro.

WEIGT(ngaut) peso de los puntos de integración para triángulos

SHAPT(nodet,ngaut) funciones de forma del triángulo evaluadas en los puntos de integración

DERIT(nodet,dimen,ngaut) derivadas de las funciones de forma del triángulo respecto a lascoordenadas locales (ξ, η) evaluadas en los puntos de integración

POSGQ(dimen,ngauq) posición de los puntos de integración en el cuadrado maestro.

WEIGQ(ngauq) peso de los puntos de integración para cuadriláteros

SHAPQ(nodeq,ngaut) funciones de forma del cuadrilátero evaluadas en los puntos de integra-ción

DERIQ(nodeq,dimen,ngauq) derivadas de las funciones de forma del cuadrilátero respecto alas coordenadas locales (ξ, η) evaluadas en los puntos de integración

STIFF(maxv) matriz de rigidez global almacenada como un vector.

F(neq) vector global de términos independientes

R(nknow) vector global de reacciones (grados de libertad restringidos)

A.3.8. Rutina STIFFG

Esta rutina ordena la evaluación de las matrices de “rigidez” elementales (rutina STIFFE),el ensamble sobre la matriz global y el ensamble sobre el término independiente debidos acondiciones esenciales de contorno. Para ello se definen localmente las siguientes variables

S(ndofe,ndofe) matriz de rigidez elemental

FL(ndofe) vector local de términos independientes debido a condiciones esenciales de contorno

LM(ndofe) arreglo que relaciona cada grado de libertad local con las ecuación global correspon-diente, si es un valor positivo corresponde a un grado de libertad efectivo y si es un valornegativo corresponde a un grado de libertad restringido asociado con el correspondientevalor en KNOWN.

A.3.9. Rutina STIFFE

Esta rutina calcula la matriz de rigidez de un elemento por integración numérica usando laexpresión

Ke =NGaus∑G=1

BT (ξG, ηG) D B (ξG, ηG) wG |JG|

Las variables definidas localmente son:


JAC determinante jacobiano de la transformación, luego multiplicado por el peso del punto deintegración.

ELCOD(dimen,nnode) coordenadas nodales del elemento considerado

D(nstre,nstre) matriz de elasticidad (o la correspondiente para problemas de campo) eva-luada en la rutina DMATRX en función de las características del material. Constante encada elemento.

B(ndofe,nstre) traspuesta de la matriz B en el punto de integración considerado, evaluadaen la rutina BMATRX en función del gradiente cartesiano de las funciones de forma (y deltipo de problema)

A.3.10. Rutina BMATRX

Esta rutina evalúa en cada punto de integración el operador BT que relaciona las variablesnodales con las variables derivadas asociadas al flujo mediante las ecuaciones constitutivas.

Ecuación de Laplace

BI=

[N I′1

N I′2

]Estado plano de tensiones y deformaciones

BI =

N I′1 0

0 N I′2

N I′2 N I

′1

Estado de deformación axilsimétrica

BI =

N I′1 0

0 N I′2

N I′2 N I

′1

N1

x1

0

Flexión de placas incluyendo el corte

BI =

0 N I

′1 00 0 N I

′2

0 N I′2 N I

′1

N I′1 N I 0

N I′2 0 N I

Las variables que se definen localmente son:

XJ(dimen,dimen) matriz jacobiana de la transformación y luego su inversa

XG(dimen) coordenadas del punto de integración (en el plano (x1, x2)

CARTD(nnode,dimen) derivadas de las funciones de forma respecto a las direcciones cartesianasen el plano (x1, x2), N I

′i


A.3.11. Rutina SHAPES

Esta rutina calcula la posición de los puntos de integración para los elementos maestros ycalcula las funciones de forma y sus derivadas respecto a las coordenadas locales. De acuerdoa que se trate de elementos triangulares o cuadriláteros llama respectivamente a las rutinasSHAPE6 y SHAPE9.

A.4. Entrada de datosLos datos se leen desde un archivo ASCII con extensión .dat, el programa se lanza desde

una ventana DOS en el directorio de trabajo que contiene al archivo de datos y donde se generandistintos archivos. Por ejemplo

e:\gammadat\tab.gid>gamma tab.dat*---------------------------------** p r o g r a m G A M M A 4 **---------------------------------*

Donde:el ejecutable gamma.exe se encuentra en el directorio de trabajo o en un directorio accesible através de la variable de entorno Path.tab.dat es en este caso el archivo de datoslos resultados se escribiran sobre archivo ASCII de nombre (en este caso) tab y estensiones

.rsn con un echo de los datos leidos y los resultados obtenidos

.deb si se detecta algún error en la entrada de datos

_f.msh malla para GiD

_f.res resultados para GiD

_t.dat malla y resultados para Tecplot

opcionalmente se puede colocar el nombre de un segundo archivo (por ejemplo tab1.rsn) dondeiran a parar los resultados.

Los datos se leen según un formato fijo, por lo cual hay que ser cuidadoso en que columnase ponen los valores, en particular los que son números enteros.

A.4.1. Datos generales

A continuación se entiende por líneaTítulo - una linea con el título del problemaTipo de problema -la segunda línea es el tipo de problema, este se indica con alguna delas siguientes palabras entre las columnas 31 y 38 (alineada por la izquierda, es decir desde lacolumna 31)

SHEAR distribución de tensiones de corte

LAPLACE ecuación de Laplace

WARPING torsión con función de alabeo

STRESS_F torsión con función de tensión

A.4. ENTRADA DE DATOS 185

SEEPAGE escurrimiento en un medio poroso

PL_STRES tensión plana

PL_STRAI deformación plana

AXIL_SOL sólido axilsimétrico

PLATES placas planas

En el primer caso (SHEAR) en la columna 40 debe indicarse la dirección del esfuerzo de corteel que puede ser 1 o 2. Por otro lado si se quiere que este esfuerzo actúe en una direcciónprincipal de inercia hay que colocar 3 (dirección principal 1) o 4 (dirección principal 2), en talcaso las coordenadas de la malla se rotarán a dicho sistema. En todos los casos las coordenadasse referirán al centro de masa.Materiales -La tercera línea indica el número de materiales (NMATY), este valor se lee com unI5 (entero de 5 dígitos) entre las columnas 31 y 35.

A continuación se leen los datos de cada material, el formato es el siguiente

1 una letra “M” en la primera columna y el número de material (IMATY) como un I5entre las columnas 31 y 35, debe cumplirse que 1 ≤ 1 ≤ NMATY y a continuación

2 una línea para cada propiedad del material, que no contenga nada en la primeracolumna, y el valor (número real con un punto) entre las columnas 31 y 45. Laspropiedades no leídas adoptan un valor 0.

al final de los datos de los materiales va una línea de cierre que debe empiezar con la letra “E”.Coordenadas - En una primera línea se indica el número total de nudos (NODES) como I5 entrelas columnas 31 y 35 y opcionalmente un factor (real entre columnas 36 y 50) para multiplicarestos valores (por ejemplo 0.001 para pasar los datos de mm a m).

A continuación se incluyen las coordenadas de los nudos con un blanco en la primera co-lumna luego el número del nudo (entre 1 y NODES) y sus dos coordenadas (X e Y) en formatolibre. Pueden entrarse sólo las coordenadas de los nudos vértices y el programa calcularrá lascoordenadas de los nudos medios.

La entrada de coordenadas finaliza con una letra “E” en la primera columna (sólo si NTRIA> 0).Triángulos -En una primera línea se indica el número total de triángulos (NTRIA) como I5entre las columnas 31 y 35 y en una segunda línea se indica el número de puntos de integracióncomo I5 entre las columnas 31 y 35 (para triángulos sólo puede ser 3).

Luego se leen las datos de cada elemento que incluyen su número de orden (EL), el materialasociado (MAT) y las conectividades (CNODS(1:6)) en el orden indicado antes (8 enteros porlínea). Van en una línea independiente cada elemento con un espacio en blanco en la primeracolumna y formato libre.

La entrada de datos de los elementos finaliza con una línea con una letra “E” en la primeracolumna.Cuadriláteros -En una primera línea se indica el número total de cuadriláteros (NQUAD) comoI5 entre las columnas 31 y 35 y en una segunda línea se indica el número de puntos de integracióncomo I5 entre las columnas 31 y 35 (puede ser 4 u 8).

Luego se leen las datos de cada elemento que incluyen su número de orden (EL), el materialasociado (MAT) y las conectividades (CNODS(1:9)) en el orden indicado antes (11 enteros porlínea). Van en una línea independiente cada elemento con un espacio en blanco en la primeracolumna y formato libre.


La entrada de datos de los elementos finaliza con una línea con una letra “E” en la primeracolumna (sólo si NQUAD > 0).

En ambos casos (triángulos y cuadriláteros) deben leerse los datos de tantos elementos comose dijo que hay (NTRIA y NQUAD)Restricciones -En una primera línea se indica el número total de nudos con restricciones(NKNOW) como I5 entre las columnas 31 y 35. En todo problema debe haber uno o más nudosdonde las variables tengan un valor conocido (de otra manera la matriz de coeficientes essingular).

Luego para cada nudo restringido se leen el orden del nudo (N), el código de la restricción(D(1:NDOFN)) y los valores conocidos (DPFIX(1:NDOFN)) donde NDOFN es el número de incógnitaspor nudo del problema (1 para la ecuación de Helmholtz, 2 para problemas de elasticidad y3 para flexión de placas). El orden del nudo es un número entero en tanto que los valoresconocidos son números reales. El código de restricción es binario, 0 si no está restringido y 1 silo está. Cuando NDOFN es mayor que 1 estos códigos van yustapuestos, por ejemplo en un casode flexión de placas.

20 101 -0.01 0.0 0.0

Indica que para el nudo 20, la primera variable (el desplazamiento vertical) está restringiday tiene valor −0,01 en tanto que la segunda variables θ1 no lo está (el valor asociado 0,0 notiene importancia en este caso), y finalmente la tercera variables nodal θ2 está restringida y elvalor es 0,0.

Las restricciones nodales acaban con una linea con una “E” en la primera columna. Si se leeun número de restricciones distinta del supuesto (NKNOW) el programa escribe un mensaje deadvertencia pero continúa.Renumeración - En esta línea se indica en la columna 35 un código binario para qus se realiceo no una renumeración interna de los nudos a fines de minimizar el volumen de almacenamientode la matriz de coeficientes. Si se coloca un 0 no se renumera y si se coloca un 1 si se lo hace. Sila malla ha sido generada por un generador de malla (tal como GiD) en general no es necesariorenumerar ya que los generadores de malla numeran los nudos precisametne para minimizar eltamaño de la matriz de coeficientes. De otra forma en genaral es conveniente renumerar.Flujos puntuales y distribuidos sobre líneas - -En una primera línea se indica el númerototal de nudos con flujos puntuales (NP) como I5 entre las columnas 31 y 35 y el número delados elementales con flujos distribuidos (NQ) como I5 entre las columnas 36 y 40.

Luego para cada nudo con flujo puntual se leen el orden del nudo (N) y los valores delflujo para cada variable nodal (P(1:NDOFN)) . El orden del nudo es un número entero en tantoque los valores conocidos son números reales. Por ejemplo para una carga en un problema deelasticidad bidimensional (NDOFN=2)

20 -0.1 0.2

Indica que para el nudo 20, hay una carga concentrada de valor −0,1 en la dirección x yuna carga concentrada de valor 0,2 en la dirección y.

Los flujos nodales acaban con una linea con una “E” en la primera columna (sólo si hubieraflujos nodales).

Luego para cada lado elemental nudo con flujo distribuido se leen el orden los nudos (N1N2 N3) que definen el lado y los valores del flujo para cada variable nodal (P(1:NDOFN)) paracada nudo. Por ejemplo para una carga distribuida en un problema de elasticidad bidimensional(NDOFN=2)

20 22 30 -0.1 0.2 -0.2 0.2 -0.3 0.2

Contenidos 187

Indica que el lado va del nudo 20 al 30 con nudo intermedio 22. El valor de la carga en ladirección x es negativa y cambia de −0,1 a −0,3 con valor −0,2 en el nudo intermedio, en tantoque en la dirección y es positiva y constante de valor 0,2.

Los flujos distribuidos acaban con una linea con una “E” en la primera columna (sólo sihubiera flujos distribuidos).Suavizado - En la columna 35 de esta línea se indica un código de suavizado para las variablesde flujo. El suavizado se realiza mediante una matriz de masa diagonalizada, donde en generalse suaviza a los nudos vértices y se interpla a los nudos medios. El código puede tener 3 valores:

0 se usa el suavizado descripto en el Capítulo 7 que incluye la influencia del área en el valor

1 se usa un suavizado nodal que no incluye la influencia del valor de área

2 es similar al 1 pero se suaviza sobre todos los nudos (incluyedo los nudos medios)

FIN

Índice general

1. Métodos de residuos ponderados. Funciones de prueba continuas 31.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ejemplos de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Conducción del calor en un medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Flujo de un fluido ideal irrotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Flujo de un fluido a través de un medio poroso. . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4. Pequeñas deformaciones de una membrana bajo carga lateral. . . . . . . 61.2.5. Torsión sin restricción de alabeo de una pieza prismática. . . . . . . . . . 6

1.3. Aproximación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1. Aproximaciones por residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1.1. Métodos de colocación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1.2. Colocación en subdominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1.3. El método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1.4. Otras funciones de peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2. Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Condiciones de borde satisfechas por elección de las funciones de prueba 91.4.1.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2. Aproximación simultánea de la ecuación diferencial y de las condicionesde borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2.2. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3. Forma débil del problema. Condiciones de borde naturales. . . . . . . . . 171.4.4. Condiciones de borde naturales para la ecuación de conducción del calor 18

1.4.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. El método de elementos finitosFunciones de prueba por tramos 252.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Aproximación mediante funciones de forma de soporte compacto . . . . . . . . . 262.3. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales – condiciones de continuidad 282.4. Cálculos básicos en el método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1. Propiedades de la matriz K y del vector F . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2. Descripción global y local del elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.3. Cálculo explícito de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas elementales 35

2.4.3.1. Cálculo de la matriz de rigidez elemental . . . . . . . . . . . . . 352.4.3.2. Cálculo del vector de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Estimación del error en el MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5.1. Estimaciones asintóticas del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

189

190 ÍNDICE GENERAL

3. Formulación del problema de segundo orden con dos condiciones de contorno 413.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Origen físico del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Formulación variacional del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4. Funciones de aproximación basadas en la interpolación de Lagrange . . . . . . . 503.5. Aproximación por elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.1. Ensamble de las matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.3. Estimaciones del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Elementos unidimensionales 614.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Grado de continuidad entre elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3. Problemas de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.1. Condiciones de Dirichlet no-homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.2. Formulación débil a partir del Principio de Trabajos Virtuales . . . . . . 654.3.3. Formulación a partir del Principio de Mínima Energía Potencial Total . . 66

4.4. Elemento de barra articulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.1. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.5. Elemento de viga en 3 dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5.1. Hipótesis más significativas (teoría clásica) . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5.2. Sistema local de coordenadas y “elemento maestro” . . . . . . . . . . . . 714.5.3. Relaciones Cinemáticas y Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.4. Funciones de Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.5.5. Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.6. Término independiente (vector de cargas) . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5.7. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5.8. Matriz de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6. Elementos con deformación de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.6.1. Matriz de rigidez de una viga recta en 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.6.2. Ejercicio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7. Problemas de convección-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.8. Análisis de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.8.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.8.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Problemas de valores en el contornoen 2 y 3 dimensiones 935.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2. Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3. Forma variacional del problema de valores en el contorno . . . . . . . . . . . . . 965.4. Membrana traccionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5. Flujo en un medio poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.6. Torsión de una viga prismática sin restricción de alabeo . . . . . . . . . . . . . . 99

5.6.1. Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.6.2. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6.3. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ÍNDICE GENERAL 191

5.6.5. Forma débil de la ecuación de alabeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6.6. Función de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.6.7. Forma débil de la ecuación de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.7. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7.1. Función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.7.2. Función líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.8. Ecuación de convección - difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.9. Elasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.9.1. Ecuaciones básicas de la elasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.9.2. Formulación débil usando residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . 1085.9.3. Formulación a partir del Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . 1105.9.4. Notación matricial de los tensores involucrados . . . . . . . . . . . . . . . 1105.9.5. Elasticidad Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.9.5.1. Estado plano de tensión (σi3 = 0): . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.9.5.2. Estado plano de deformación (εi3 = 0): . . . . . . . . . . . . . . 1125.9.5.3. Estado de deformación axilsimétrico: . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.10. Flexión de Placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.10.1. Teoría clásica de placas (Love-Kirchhoff) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.10.2. Teoría de placas incluyendo deformaciones transversales de corte (Reissner-

Mindlin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6. Elementos finitos en dos dimensiones 1176.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2. Condiciones de las funciones de aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3. Elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.4. Elementos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5. Mapeamiento de la geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.6. Aplicación a la ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.7. Aplicación a problemas de elasticidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.7.1. Deformaciones y tensiones, notación matricial . . . . . . . . . . . . . . . 1306.7.2. Matrices de rigidez elemental y global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.7.3. Trabajo virtual externo, vector de cargas nodales . . . . . . . . . . . . . 131

6.7.3.1. Fuerzas másicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.7.3.2. Fuerzas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.8. Elemento cuadrilátero de cuatro nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.8.1. Funciones de interpolación, geometría y desplazamientos . . . . . . . . . 1336.8.2. Cálculo de la matriz de rigidez elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.8.3. Cálculo de las fuerzas nodales equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.9. Problemas de convección-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7. Aspectos generales asociados a la implementación 1397.1. Generación de mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2. Imposición de restricciones nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2.1. Imposición exacta de la condición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.2.2. Técnica de penalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.3. Método de multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3. Una aplicación no-estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4. Solución del sistema de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.5. Suavizado de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

192 ÍNDICE GENERAL

8. Elementos de placas y láminas 1538.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2. Elementos de placa basados en la teoría de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2.1. La prueba de la parcela (“patch test”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.3. Elementos de placa basados en la teoría de Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3.1. Elemento de placa con deformaciones por corte . . . . . . . . . . . . . . 1578.3.2. Técnica de deformaciones impuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.4. Elementos de lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9. Combinación de Elementos Finitos y Volúmenes Finitos 1639.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.2. Aproximaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.3. Ecuación de balance, integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.4. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A. Descripción del programa GAMMA 175A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.2. Base de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

A.2.1. parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.2.2. Variables que definen el problema, introducidas al programa . . . . . . . 178A.2.3. Arreglos de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.3. Descripción global del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.3.1. Rutina OPENFI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179A.3.2. Rutina MATPRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.3.3. Rutina COORDG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.3.4. Rutina ELMDAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.3.5. Rutina KNOWNV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.3.6. Rutina SKYLIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.3.7. Rutina SOLVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.3.8. Rutina STIFFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.3.9. Rutina STIFFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.3.10.Rutina BMATRX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.3.11.Rutina SHAPES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.4. Entrada de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.4.1. Datos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

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