Instituto Universitario Politécnico Santiago MariñoExtensión BarcelonaCurso: Estadística I

MEDIDAS DE TENDENCIA

Alumno: Neptali Ávila

C.I.: 18.511.247

Barcelona, 25 de Marzo de 2.017

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALDefinición: Son indicadores estadísticos que resumen todos los datos en un solo numero, han sido

obtenidos a través de formulas, se utilizan generalmente para variables cuantitativas. Por lo tano son valores que

representan un conjunto de datos. Son llamados tendencia central ya que se ubican generalmente en el centro de

la distribución de los datos.

Importancia: Son de vital importancia, ya que describen un conjunto de elementos por la

forma en que se comporta el centro de su distribución, además, sirven como puntos de referencia para

interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.

TIPOS DE PROMEDIOS : MATEMÁTICOS Y ESTADÍSTICOS

Promedio: Se llama promedio o cantidad media a un numero que es mayor que la menor cantidad y menos que la mayor.a) Media aritmética de a y b

b) Media aritmética de n números

c) Media geométrica de a y b

d) Media geométrica de n números

e) Media armónica de a y b

f) Media armónica de n números

CALCULO Y APLICACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética, es el valor resultante que se obtiene al dividir la

sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para

el tratamiento de datos cuantitativos.

Calculo:

Aplicación Ejemplo 1.- José cosechó del árbol 4 peras, Catalina – 2 peras, y María – 6. Los niños juntaron sus frutas y se las repartieron en forma igualitaria. ¿Cuántas peras obtuvo cada uno?

Solución. Calculemos la media aritmética:4 + 2 + 6

 = 12

 = 43 3

Cada uno obtuvo 4 peras.

CALCULO Y APLICACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA

xifi xi · fi

[10, 20) 15 1 15[20, 30) 25 8 200[30,40) 35 10 350[40, 50) 45 9 405[50, 60 55 8 440[60,70) 65 4 260[70, 80) 75 2 150    42 1 820

Tabla 1. Ejemplo de media aritmética

Ejemplo 2.- En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las

puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

Solución:

CALCULO Y APLICACIÓN DE PROMEDIO GEOMÉTRICO

Xm = Raiz_n(X1 * X2 * X3 * ... * Xn) 

Definición: El promedio geométrico de un conjunto de números estrictamente positivos (X1, X2,…,XN) es la raíz N-ésima del producto de los N elementos. Todos los elementos del conjunto tienen que ser mayores que cero.

Calculo:

Aplicación Ejemplo 1.- En una empresa quieren saber la proporción media de mujeres en los diferentes departamentos. Para ello, se recoge el porcentaje de mujeres en los cinco principales departamentos.

Solución: Como es la media de porcentajes, calculamos la media geométrica que es más representativa.

TABLA 2. EJEMPLO DE PROEDIO GEOMETRICO

CALCULO Y APLICACIÓN DE PROMEDIO GEOMÉTRICOEjemplo 2.- Si el crecimiento de las ventas en un negocio fue en los tres últimos años de 3%,

 18% y 25%, ¿cuál ha sido el crecimiento anual de sus ventas?

1.03 x 1.18 x 1.25 = 1.5193

Solución: la parte decimal de este número, pasada a porcentaje, nos dice que las ventas del

negocio a partir del valor donde comenzó la medición, han aumentado en total,  en tres años, 51.93%;

Nota:  El 3% de una base, sumado a la base, se escribe en forma decimal como: 1.03  el 18% sería 1.18,

etc.  el “1” representa el dato inicial, o base, a partir del cual comienza la aplicación de los porcentajes

sucesivos.

Ahora calculemos el promedio:  calculamos la raíz “n”  (para este ejemplo n= 3 datos):

raíz cúbica de 1.5193 = 1.1496

con lo que el crecimiento anual promedio de las ventas de este negocio ha sido de 14.96%

CALCULO Y APLICACIÓN DE LA MODA

La moda, es una medida de tendencia central que indica el valor que más se

repite en un grupo de números. En un mismo estudio puede haber más de una moda, esto

ocurre cuando dos (bimodal) o más números (multimodal) se repiten la misma cantidad de

veces siendo este es el máximo número de veces del conjunto.

Calculo:

Aplicación: Ejemplo 1.- Calcular la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

Mo = 5

CALCULO Y APLICACIÓN DE LA MODA

Ejemplo 2.- Halla la moda de datos agrupados con la siguiente tabla:

Solución:

Xi fi

0-5 2.5 1

5-10 7.5 1

10-15 12.5 5

15-20 17.5 2

20-25 22.5 4

25-30 27.5 5

30-35 32.5 9

35-40 8

40-45 42.5 3

Tabla 3. Ejemplo de moda

CALCULO A PARTIR DE SERIES SIMPLESDE LA MEDIDA DE DISPERSION

Definición: Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

Clasificación:

a) Rango o recorrido: El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

b) Desviación media: La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Calculo:

CALCULO A PARTIR DE SERIES SIMPLESDE LA MEDIDA DE DISPERSION

Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

CALCULO A PARTIR DE SERIES AGRUPADASDE LA MEDIDA DE DISPERSION

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución:

xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428    21 457.5   98.57

Tabla 4. Series agrupadas de la medida de dispersión

CALCULO Y APLICACIÓN A PARTIR DE SERIES NUMÉRICAS DE LAS

MEDIDAS DE POSICIÓN Definición: Son indicadores usados para señalar que porcentaje de datos dentro

de una distribución de frecuencias superan estas expresiones, cuyo valor representa el valor del dato que se encuentra en el centro de la distribución de frecuencia, por lo que también se les llama " Medidas de Tendencia Central ". Resulta pertinente entonces hacer una breve descripción de cada una de estas medidas, así como de las formas de calcularlos.

Q1: también llamado primer cuartil, representa un valor por debajo del cual quedan un cuarto o 25% de los valores de sucesión, previamente ordenados

Q2: llamado segundo cuartil y considerado la mediana.Q3: finalmente, el tercer cuartil representa a su vez el valor por debajo del que

queda el 75% de todos los datos ºº

CALCULO Y APLICACIÓN A PARTIR DE SERIES NUMÉRICAS DE LAS

MEDIDAS DE POSICIÓN Cuartiles para datos no agrupados: El procedimiento para calculas cuartiles correspondientes a

datos no agrupados resulta bastante sencillo, pues sólo toma cuatro pasos, los cuales serán explicados a

continuación:

1.- Se deben ordenar los datos de forma sucesiva, y de mayor a menor.

2.- Se deberá calcular el cuartil usando la fórmula siguiente:

En donde n corresponde al tamaño total de la muestra, y k a la medida de posición que se está calculando.

3.-  Obtenido el resultado se debe determinar la naturaleza del valor, si corresponde a un número entero, se le debe sumar el valor de 0.5, si por el contrario el cálculo arrojó un número no entero se tomará con el valor del siguiente número entero de mayor tamaño.

4.- Una vez obtenida la medida de posición debe ubicarse en los datos que han sido ordenados.

CALCULO Y APLICACIÓN A PARTIR DE SERIES NUMÉRICAS DE LAS

MEDIDAS DE POSICIÓN Aplicación Ejemplo 1.- Cómo calcular el primer y tercer cuartil (Q1 y Q3) en base a la cantidad de

alumnos que han asistido a clases a un colegio privado durante la primera quincena de clases (15 días) entre

lunes y viernes. En primer lugar se ofrecerán los datos estadísticos correspondientes a la asistencia, según

sucedió esta:

30 28 27 30 2530 29 29 27 2928 30 30 30 29

De esta forma, a fin de calcular el Q1 y el Q3, lo primero que debe hacerse es ordenar de menor a

mayor los datos:25 27 27 28 2829 29 29 29 3030 30 30 30 30

Hecho esto se procede entonces a calcular el primer cuartil Q1. Para esto, se designa a cada variable un valor, procedimiento que generaría entonces que n= 15, k= 25 (porque esa es la medida de posición que busca el primer percentil.  Entonces se aplica la ecuación:

CALCULO Y APLICACIÓN A PARTIR DE SERIES NUMÉRICAS DE LAS

MEDIDAS DE POSICIÓN Ejemplo 2.- Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

  65

Calculo del primer cuartil

Calculo del segundo cuartil

Calculo del tercer cuartil

Tabla 5. Ejemplo de medidas de posición

CONCLUSIÓNLas medidas de tendencia central es el conjunto de mecanismos que nos

permiten determinar los datos mas característicos , de acuerdo a su forma de

organizarse. De acuerdo a esto podemos determinar la medida en que se harán

los cálculos para lo que se desee determinar.

Tenemos la media aritmética, el promedio geométrico, la moda, así como

las medidas para series agrupadas o no agrupadas.

Gracias a estas medidas podemos describir, resumir y localizar los datos,

los cuales ubican e identifican el punto en torno del cual se concentran los datos.

BIBLIOGRAFÍA(s/a), (s/f), Recuperado en: http://www.eumed.net/libros-gratis/2007a/239/4a.htm

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Vitutor, 2.014. Recuperado en: http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html

Morales, Juan Carlos (s/f). Recuperado en: https://matematicasempresariales.com/2014/09/26/cual-es-el-promedio-geometrico-y-en-que-puede-aplicarse-en-el-trabajo-de-empresas/(s/a), 2.017, El Pensante. Recuperado en: https://educacion.elpensante.com/calcular-cuartiles-deciles-y-percentiles/Vitutor, 2.014 . Recuperado en: http://www.vitutor.net/2/11/medidas_dispersion.htmlBelda, Maria, 2.013. Recuperado en: http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml

(s/a), (s/f). Recuperado en: http://matematica-a1.blogspot.com/2013/02/promedios-conceptos-y-ejercicios.html

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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