Neptali Libro

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ESCUELA MATEMATICA DE AMERICA LATINA Y EL CARIBE

EMALCA-COLOMBIA 2013

UNA INTRODUCCION A LA

GEOMETRIA FRACTAL

Neptal Romero

BARRANQUILLA, COLOMBIA, 12 AL 24 DE AGOSTO DE 2013


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EMALCA-COLOMBIA 2013

UNA INTRODUCCION A LA

GEOMETRIA FRACTAL

Neptal RomeroUniversidad Centroccidental Lisandro Alvarado. Venezuela

[email protected]

BARRANQUILLA, COLOMBIA, 12 AL 24 DE AGOSTO DE 2013


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EMALCA-COLOMBIA 2013La Escuela Matematica de Ameerica Latina y el Caribe. EMALCA-Colombia 2013 forma parte de un programa de Escuelas creado porla Union Matematica de America Latina y el Caribe (UMALCA) quecuenta con la colaboracion del Centre International de MathematiquesPures et Appliquees (CIMPA), y se realiza bajo el auspicio de la Univer-sidad del Atlantico, la Corporacion Escuela de Matematica del CaribeColombiano, la Universidad Republicana (Bogota), la Universidad Ser-gio Arboleda (Bogota), la Sociedad Colombiana de Matematicas y laAsociacion Matematica Venezolana.

La ESCUELA MATEMATICA DE AMERICA LATINA Y EL CA-RIBE. EMALCA-COLOMBIA 2013 recibio financiamiento del CentreInternational de Mathematiques Pures et Appliquees (CIMPA), la Cor-poracion Escuela de Matematica del Caribe Colombiano, el Fondo Na-cional de Ciencia, y el Rectorado de la Universidad del Atlantico.

2010 Mathematics Subject Classification: 28A90, 37B10 (54H25).

Ediciones Universidad del Atlantico

Una introduccion a la Geometra fractal

Neptal Romero

Diseno y edicion: Ediciones Universidad del Atlantico

Preprensa e impresion: Ediciones Universidad del Atlantico

Deposito legal xxxxx

ISBN xxx-xxx-xxx-xxx-xBarranquilla, Colombia

2013


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Indice general

INTRODUCCION i

1. PRELIMINARES 11.1. Espacios metricos: definicion y ejemplos . . . . . . . . . . 1

1.2. Topologas metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Equivalencias metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Continuidad en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Espacios metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Compacidad en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1. Algunas consecuencias de la compacidad . . . . . . 30

1.7. Conexidad en espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8. Metrica de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. SISTEMAS ITERADOS DE FUNCIONES 45

2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2. Atractor de un SIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1. Algoritmo determinista y juego del caos . . . . . . 54

2.2.2. Algunos ejemplos clasicos . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3. SIF con condensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4. Teorema de ensamblaje y problema inverso . . . . . . . . 63

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3. DIMENSIONES TOPOLOGICA Y FRACTAL 69

3.1. Pequena nota historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2. Dimension topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. Dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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iv INDICE GENERAL

3.3.1. Algunas propiedades de dimH . . . . . . . . . . . . 82

3.4. Un calculo de dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . 853.5. Otras acotaciones para dimH . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4. SISTEMAS DINAMICOS Y FRACTALES 97

4.1. Nociones sobre dinamica discreta . . . . . . . . . . . . . . 974.2. El modelo logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.1. Dinamica de f cuando >4 . . . . . . . . . . . . 1044.3. Fractales y funciones cuadraticas en C . . . . . . . . . . . 108

4.3.1. El conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . 1134.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

BIBLIOGRAFIA 117


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INTRODUCCION

Las nubes no son esferas, las montanas no son conos, las costas no soncrculos, la corteza no es uniforme, ni los relampago viajan en lnea recta.

Benot Mandelbrot (1924-2010)

La Geometra fractal es registrada como una joven area del conoci-miento cientfico que en menos de cuatro decadas ha permeado multiplesespacios en diversas ciencias y ha desentranado importantes problemasen el mundo de la tecnologa moderna. Se atribuye al matematico BenotMandelbrot su fundacion; no obstante, tiene sus races mas profundasen las ideas y construcciones matematicas de finales del siglo XIX ycomienzos del XX por cuenta de matematicos como: Georg Cantor, Fe-lix Hausdorff y Gaston Julia, quienes entre otros, y mediantes trabajosindependientes (sin uso de computadoras!), comenzaron a mostrar almundo cientfico diversas estructuras matematicas que escapaban delambito euclidiano. Gran parte de sus ejemplos e noveles teoras fueronrecogidas por Mandelbrot para fundar la nueva geometra, que de ma-nera paradojica a la tendencia de la epoca, es hoy conocida como lageometra de la naturaleza.

Fue Mandelbrot quien introdujo, hacia finales de los anos 1970, eltermino fractal, el cual proviene del vocablo del latin: fractus, y que sederiva del verbo frangere, que significa quebrar. Mandelbrot tambienintrodujo una definicion de conjunto fractal: es todo conjunto cuya di-mension de Hausdorff excede su dimension topologica. Varias crticassobre la inconvencia de esta definicion ha sido expuestas en diversosmedios cientficos; la principal razon: bajo ese concepto son muchos los

conjuntos que quedan excluidos del calificativo fractal, muy a pesar quesus partes reflejan el todo, e incluso con analisis cada vez mas minucio-sos de sus porciones se van descubriendo intrnsecas formas no reveladas


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por la geometra euclidiana.

En lugar de intentar presentar un concepto de geometra fractal, ex-ponemos a continuacion (mediante traduccion libre y aproximada) lomanifestado por el mismo Mandelbrot en [22]; ver tambien [21]:La geometra fractal es un intermedio factible entre el excesivo ordengeometrico de Euclides y el caos geometrico de la matematica general.Esta basada en una forma de simetra que haba sido previamente subuti-lizada, a saber, la invarianza por contracciones o dilataciones. La geo-metra fractal es convenientemente vista como un lenguaje que ha mos-trado su valor por su uso. Es empleada en el arte y la matematica pura,siendo sin aplicacion practica, puede ser poetica. Su uso en varias areasdel estudio de materiales y otras areas de la ingeniera son ejemplos de

su practica prosa. Su uso en la fsica teorica, especialmente en conjun-cion con las ecuaciones basicas de la fsica matematica, combina poesacon elevada prosa. Varios de los problemas que la geometra fractal abor-da envuelven varios misterios, algunos de ellos conocidos por el hombreprimitivo, otros mencionados en la Biblia, y otros familiares a cada pai-sajismo.

El curso soportado por este manuscrito esta pensado como introduc-torio, y ambiciosamente autocontenido. Por ello incluimos en el primercaptulo temas basicos y fundamentales en la teora de espacios metri-cos. El segundo captulo contiene una exposicion, digamos que estandar,sobre los principios de los Sistemas iterados de funciones; se hace enfasis

en mostrar su uso en la generacion de conjuntos con estructura fractal.Lamentamos no incluir aspectos relativos a estos sistemas con probabi-lidades; sin embargo, creemos que las nociones presentadas abren paso alecturas mas detallas sobre el tema. Seguidamente abordamos dos nocio-nes de dimension; una topologica, la cual da a conocer las ideas princi-pales en los conceptos inductivos que sobre el topico se han desarrollado;existe en la exposicion una marcada conexion, e influencia, con la presen-tacion clasica contenida en el libro [17] de Witold Hurewicz (1904-1956)y Henry Wallman (1915-1992). La otra nocion de dimension, tambienconvertida en un clasico de la Matematica, es la dimension de Haus-dorff. Destacaremos apenas algunas de sus propiedades, esencialmente

aquellas de caracter basico y que pensamos la liberan, en lo posible,del formalismo de la teora de la medida. Se notara estrecha proximi-dad con la exposicion contenida en el libro [14] de Kenneth Falconer, de


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donde hemos seguido muy de cerca algunas demostraciones. Por ultimo,

el captulo cuatro contiene solo algunos pocos elementos de la teora delos sistemas dinamicos discretos y la iteracion de funciones cuadraticasen el plano complejo; nuestro interes con ello es intentar poner a la vistacomo conjuntos con estructura fractal estan presentes en estos temascon tanta atencion, y por supuesto mostrar imagenes del conjunto deMandelbrot y los conjuntos de Julia de esas funciones cuadraticas, to-dos unos clasicos incluso fuero de los espacios cientficos. Al final de cadacaptulo se incluye una corta lista de ejercicios con la cual se pretendecomplementar las exposiciones en cada uno de ellos.

Es sin lugar a dudas una grata satisfaccion personal y un ilustre ob-sequio recibido, permitirme ser parte del grupo de profesores de esta

edicion de la Escuela de Matematica de la America latina y el Caribe(EMALCA) en la Universidad del Atlantico (Barranquilla, Colombia),evento que es posible gracias al empeno y esfuerzo de la Union Matemati-ca de America latina y el Caribe (UMALCA) en propiciar el desarrollode la Matematica en America latina y el Caribe mediante el apoyo a ma-tematicos profesionales y jovenes talentos de esta region del continente:la America morena, como muy acertadamente se cataloga.

Agradezco a la organizacion de esta EMALCA - Colombia, en especiala los colegas Jorge Rodrguez y Alejandro Urieles, ambos de la Universi-dad del Atlantico, quienes vienen demostrando con exito su tenaz interespor lograr un destaque profesional en la actividad matematica del Caribe

colombiano. Extensivo reconocimiento a la Universidad del Atlantico porel soporte institucional a esta edicion de la EMALCA, y tambien por sudecidida virtud y constancia en consolidar sus programas institucionalescon miras a la formacion de matematicos.

Por ultimo, pero con no menos satisfaccion, nuestro agradecimiento alcolega Rafael Labarca, quien desde la Comision de las EMALCAs realizavaliosos esfuerzos por expandir la presencia de estos eventos hacia lasregiones de nuestra America donde es requerido el apoyo y estmulo parael crecimiento matematico.

Neptal RomeroBarquisimeto, junio 2013


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Captulo 1

PRELIMINARES

Este captulo esta destinado a establecer las bases conceptuales ypropiedades fundamentales que son requeridas para llevar a efecto eltemario en captulos subsiguientes. En particular revisaremos los con-ceptos y propiedades relativos a: espacios metricos, conjuntos abiertos,conjuntos cerrados, compacidad, convergencia, completitud, conexidady equivalencia de espacios metricos; gran parte de las demostracionesseran obviadas. Al final nos detendremos en el espacio metrico cuyospuntos son los conjuntos compactos no vacos, y su distancia la metricade Hausdorff.

1.1. Espacios metricos: definicion y ejemplosLos espacios metricos constituyen una importante clase dentro de un

area matematica conocida por Topologa; de hecho, los espacios metri-cos son aquellos en los que es posible describir la estructura topologicamediante una funcion que mide distancia. Fueron introducidos por elmatematico frances Maurice Frechet (1878-1973) en su tesis doctoral,publicada ba jo el ttulo de Sur quelques points du calcul fonctionnel enla revista Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo en el ano 1906;la denominacion de espacio metrico fue introducida por el matematicoaleman Felix Hausdorff (1868-1942) en 1914, quien es considerado unode los principales fundadores de la Topologa.

Definicion 1.1. Sea M un conjunto no vaco. Una metrica en M escualquier funcion d: M M [0, +) tal que:

1


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M1. Para todox, yM, d(x, y) =d(y, x).M2. Para todox, yM, se tiene que d(x, y) = 0 si, y solo si, x = y.M3. Para todox, y, zM vale d(x, z)d(x, y) + d(y, z).

Si d es una metrica en M, al par (M, d) se le conoce como espaciometrico. En un mismo conjuntoMse pueden definir diferentes metricas,y por tanto tener distintas estructuras metricas en un mismo conjunto.Cuando no existan elementos para posibles confusiones, usaremos espa-cio metrico M sin hacer referencia especfica al par donde se especficala metrica con la cual se mide la distancia.

Las propiedades M1, M2 y M3 son en cierta forma naturales cuandose analizan a la luz de la nocion intuitiva de distancia. La primera deellas dice que la distancia desdex haciay es la misma que desde y haciax; esto se conoce como la propiedad de simetra. La segunda estableceque dos puntos estan a distancia nula si se trata de un mismo punto,mientras que puntos distintos estan a una distancia mayor que cero. Latercera, conocida comodesigualdad triangular, revela justamente la ideaque la distancia entre dos puntos no excede la suma de las distanciaentre esos dos y cualquier otro.

Ejemplo 1.1.

1. Cualquier conjunto no vaco M puede dotarse de una metrica. La

funcion d : M M [0, +) dada por d(x, y) = 0 si x= y1 si x=ydefine una metrica en M: la metrica discreta.

2. En el conjunto de numeros reales Rla funcion de : RR [0, +)dada por de(x, y) =|xy|, define una metrica; el smbolo|| de-nota el valor absoluto del numero real . Esta metrica es conocidacomometrica euclidiana deR, ella tiene una extension natural aRn,cualquiera sea el entero n 2; veamos.Dados x = (x1, , xn), y= (y1, , yn) en Rn se define

de(x, y) =(x1 y1)2 + + (xn yn)2

como la distancia euclidiana entre los puntos x, y Rn. Verificarque efectivamente de es una metrica no es una tarea difcil, de hecho


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Preliminares 3

la parte mas delicada en chequear la desigualdad triangular, ello lo

aprendemos en los cursos elementales de Geometra o Algebra lineal.

3. Las siguientes expresiones tambien definen metricas en Rn:

dm(x, y) =|x1 y1| + + |xn yn|,dmax(x, y) = max{|x1 y1|, , |xn yn|},

como antes: x = (x1, , xn) y y = (y1, , yn).La primera de estas metricas es llamada por muchosmetrica Man-hattan; en cuanto que dmax se denomina metrica del m aximo.

4. (Espacio de codigos) Seann2 un entero y A={1, , n} (alfabetocon n smbolos, pueden usarse n smbolos cualesquiera). En lo quesigue n denotara el conjunto de todas las sucesiones (xm)m0 convalores enA; esto es, los elementos en n son funciones x: N A,la cual denotamos de la manera tradicional: x= (xm)m0. Antes dedefinir una metrica en n, al que denominamos espacio de codigoscon n smbolos, alertamos que este espacio es de uso frecuente endiferentes contextos; particularmente en la descripcion topologica deciertos conjuntos. Dados x = (xm)m0 yy = (ym)m0 en n decimosquedC(x, y) = 0 si, y solo si, x = y; es decir, xi= yi para todoi0;por otro lado, si x

= y, entonces declaramos que dC(x, y) = 2

k,donde k es el primer entero no negativo tal que xk= yk. En otraspalabras:

dC(x, y) =

0, si x=y2k, si k = mn{i0 :xi=yi}.

Dejamos al lector la tarea de chequear que dCes una metrica en n,ella es conocida por metrica de Cantor.

5. Consideremos espacios metricos (M1, d1), , (Mn, dn) y el produc-to cartesiano M = nk=1 Mk ={(x1, , xn) : xi Mi, 1in}.Imitando las metricas antes definidas en Rn, tenemos que las expresio-nes a continuacion, con x= (x1, , xn) y y = (y1, , yn), definen


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metricas en M(detalles para el lector):

de(x, y) =(d1(x1, y2))2 + + (dn(xn, yn))2,dm(x, y) =d1(x1, y2) + + dn(xn, yn),y

dmax(x, y) = max{d1(x1, y2), , dn(xn, yn)}.

6. Una rica fuente de ejemplos de espacios metricos lo constituyen losespacios normados. Recordamos que un espacio vectorial V (real ocomplejo) se dice normado si, y solo si, existe una normaen V , estoes cualquier funcion :V V Rtal que, para todo u, v,wVse cumplen:

N1.

u

0 y

u

= 0 si, y solo si, u = 0V , donde 0V denota elvector nulo de V .

N2.u =||u cualquiera sea el escalar .N3.u + v u + v.Al par (V, ) se le llama espacio normado. La funcion d, definidapara cada u, v V por d(u, v) =uv, es una metrica en V.Ello es consecuencia inmediata de las propiedades N1, N2 y N3. Enparticular la metrica euclidiana de proviene de una norma en R

n:v =

v21+ + v2n, donde v = (v1, , vn)Rn.

Una metrica d en un conjuntoMno solo proporciona la capacidad de

medir distancia entre puntos, ella habilita para medir distancia entre unpunto y un conjunto, entre un par de conjuntos, y conduce al conceptode diametro de conjuntos no vacos. Antes de precisar estas nocionesrecordamos los conceptos de nfimo y supremo de subconjuntos en R.

SeaS R. Decimos que es el nfimo deS, si Sno esta acotadoinferiormente; es decir, si para cada R, existe xStal que x < .SiSes acotado inferiormente, entonces existe R de forma quexpara todo xS. En este caso se define el nfimo de Scomo el numeroreal que denotamos por nf(S), y que es caracterizado por satisfacer: para cadax S se cumple nf (S) x, y si tambien satisface estadesigualdad, entonces nf(S).En otras palabras, el nfimo de Sse define en este caso como:

nf(S) = max{ R :x para todo xS}.


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Preliminares 5

La nocion de supremo de S R es dual a la de nfimo. Si S es talque para cada R existe x S con x > , entonces se dice que Sno esta acotado superiormente y se establece que su supremo es +.Ahora bien, si S esta acotado superiormente, que es, existe R deforma que x para todo x S, entonces se define el supremo de Scomo el numero real sup(S) que cumple con:Para cadaxSse tienexsup(S), y si R satisfacex paratodoxS, entoncessup(S).De otra forma, el supremo de conjuntos acotados superiormente es

sup(S) = mn{ R :x para todo xS}.

CuandoS

R es acotado inferiormente (resp. superiormente), enton-

ces nf(S) (resp. sup(S)) siempre existen: son numeros reales. En cadauno de estos casos (acotado inferiormente, o superiormente) se demues-tra que = nf(S) (resp. = sup(S)) si, y solo si, para todo > 0existe xStal que < x + (resp. x < ).Definicion 1.2. Sea (M, d) un espacio metrico. Dados subconjuntos novacos R y Sde M, y xM, se definen:

la distancia entrex yS como

d(x, S) = nf{d(x, y) :yS},

la distancia entreR ySpor

d(R, S) = nf{d(x, y) :xR y yS},

eldiametro deScomo

diam(S) = sup{d(x, y) :x, yS}.

En base a estos conceptos, se establece que S M es acotado si, ysolo si, existe >0 tal que diam(S). Observe, en este caso, que elconjunto de numero reales no negativos{d(x, y) : x, y S} es acotadosuperiormente. Cuando ocurra lo contrario diremos que Sesno acotado,lo cual denotamos por diam(S) =. Convenimos que diam() = 0.Claramente si S es un conjunto unitario, entonces diam(S) = 0; y si


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S tiene mas de un elemento, entonces su diametro es positivo. Note

ademas que para cualquier par de conjuntos no vacos R y S, se tiened(R, S) = d(S, R) 0. Tambien es claro que dos conjuntos puedenestar a distancia 0 y ser distintos, incluso disjuntos: en R con la metricaeuclidiana los conjuntos R = (0, 1) yS= [1, 2) cumplen lo afirmado.

Proposicion 1.1. En cualquier espacio metrico (M, d) valen:

(a) Para todox, yM y =SM:|d(x, S) d(y, S)| d(x, y).(b) S Mes acotado si, y solo si, existen > 0 y z M tales que,

d(x, z)para todo xS.(c) Para cualquier parR ySde subconjuntos no vacos enM:

d(R, S) = nf{d(x, S) :xR} = nf{d(y, R) :yS}.Demostracion. Es claro que para cada zS vale

d(x, S)d(x, z)d(x, y) + d(y, z).Por tanto, d(x, S)d(x, y) d(y, z) para todo z S. Es decir, elnumerod(x, S) d(x, y) es cota inferior de{d(y, z) :zS}, por tantod(x, S) d(x, y)d(y, S). Similarmente d(y, S) d(x, y)d(x, S), porlo que|d(x, S) d(y, S)| d(x, y).

Para demostrar (b) supongamos que S es acotado y que > 0 estal que d(x, y) para todo x, y S, como deseado al hacer y = z.Recprocamente, supongamos que para z M y > 0 se cumple qued(x, z)para cada xS. Consideremos x, yS, dado que

d(x, y)d(x, z) + d(z, y)2,entonces diam(S)2. Esto demuestra el segundo enunciado.

La demostracion de la tercera parte se deja al lector.

1.2. Topologas metricas

Definicion 1.3. Sean (M, d) un espacio metrico, x M y r > 0. Sedenominan:

bola cerrada de centro x y radio r, a:B(x, r) ={yM :d(x, y)r};


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bola abierta de centro x y radio r, al conjunto:

Bo(x, r) ={yM :d(x, y)< r};

esfera de centro x y radio r, a:

S(x, r) ={yM :d(x, y) =r}.

Note que = Bo(x, r) B(x, r); ademas, Bo(x, s) Bo(x, r) si0 < s < r, y para todo punto y Bo(x, r) existe s > 0 de forma queBo(y, s)Bo(x, r).

Al considerar diferentes metricas en un mismo conjunto, la formageometrica de las bolas puede no ser el mismo. La siguiente figura mues-

tra, respectivamente, bolas abiertas centradas en un mismo punto x yradior en las metricas de, dmax y dm en R

2.

xx xrr r

Figura 1.1: Formas geometricas de bolas abiertas con distintas metricas

Definicion 1.4. Dado un espacio metrico (M, d), se llama topologametrica inducida pord, a la coleccion d formada por el conjunto vacoy todos los subconjuntos de M que se obtienen como union de bolasabiertas enM. Los conjuntos en d se llaman conjuntos abiertosen M.

Es claro que U d si, y solo si, existe un conjunto de forma quepara cada existen xM yr> 0 tal que U=

B

o(x, r);cuando =, tenemos U =. Dado que M =xMBo(x, r), cual-quiera sea r > 0, entonces M d. Obviamente toda bola abierta esun conjunto abierto; ademas, cualquier subconjunto no vacoUdeM esabierto si, y solo si, para todo x

U existe r >0 tal que Bo(x, r)

U.

Proposicion 1.2. Sean (M, d) un espacio metrico y d la topologametrica enM inducida pord. Entonces se cumplen:


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(a) union arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, e

(b) interseccion finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Demostracion. Supongase queU ={U : } es una coleccion deconjuntos abiertos enM. As que cada U es una union de bolas abiertasen M, luego tambien lo es el conjunto U =

U. Esto demuestra

(a). Ahora tomemos U, Vd y xU V. Entonces podemos escogerr1, r2 > 0 tales que B

o(x, r1) U y Bo(x, r2) V; luego al tomarr= mn{r1, r2}se tiene queBo(x, r)U V, de donde se concluye queU Ves un conjunto abierto. Por recurrencia sigue (b).Definicion 1.5. Sea (M, d) un espacio metrico. Se dice que F M esun conjunto cerradosi, y solo si, su complemento M

\Fes un conjunto

abierto en M; es decir, M\ F d.De manera dual a las bolas abiertas, toda bola cerrada es un conjunto

cerrado. Para mostrar esto se requiere verificar que si y / B(x, r), en-tonces existes >0 tal queBo(y, s)B(x, r) =. Por ejemplo, considereel numero real positivo s = (d(x, y) r)/2.

Las siguientes propiedades son simples de verificar, detalles al lector.

Proposicion 1.3. En todo espacio metrico(M, d) valen:

(a) M y son conjuntos cerrados,

(b) la interseccion arbitraria de conjuntos cerrados es un cerrado, y

(c) la union finita de conjuntos cerrados es cerrado.

Ejemplo 1.2. Consideremos un conjunto no vaco M equipado con lametrica discretad. Dado que para todo xMy cada 0< r 0

y x R, se tiene que Bo

(x, r) es el intervalo abierto (x r, x+ r), yB(x, r) es el intervalo cerrado [x r, x+r]. Tomemos cualquier par denumeros reales a < b; hagamos r = (b a)/2 y x = (a+ b)/2. Luego


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el intervalo abierto (a, b) es exactamente Bo(x, r). As que U R esabierto si, y solo si, existe una coleccionU de intervalos abiertos delongitud finita tal que U= iUI; en otras palabras, U R es abiertosi, y solo si, para cada x U existen numeros reales a < b tales quex(a, b)U.Ejemplo1.4. En R2 con la metrica euclidiana la bola cerrada de centroen x = (x1, x2) y radio r es justamente el crculo centrado en ese puntoy con ese radio; es claro entonces que Bo(x, r) es el mismo crculo perosin su borde:{(y1, y2) :

(x1 y1)2 + (x2 y2)2} =r, que es la circun-

ferencia (esfera) centrada en x y radio r. As pues, Bo(x, r) es el discoabierto con centro en x y radio, y un conjunto no vaco de R2 es abiertosi, y solo si, es union de discos abiertos.

A continuacion presentamos una coleccion de vocablos que son con-siderados parte esencial del lenguaje basico en la teora de los espaciosmetricos, y mas generalmente en la topologa.

Definicion 1.6. Sean (M, d) un espacio metrico y SM.Un puntoxMes llamadopunto fronterade S, si para cadar >0 labola abiertaBo(x, r) contiene puntos de M\ Sy de S. El conjunto Sconstituido por todos los puntos frontera de Sse conoce con el nombrede frontera deS. Un punto xS se llama punto interiorde S, si existe r > 0 tal queBo(x, r)

S. El conjunto de todos los puntos interiores de S se deno-

mina elinterior deS, lo denotamos por So. Un punto xMque no es punto frontera de Sy tampoco un puntointerior se le denomina punto exterior deS. Al conjunto de puntos ex-terior de Sse le llama exterior deS, emplearemos Se para denotarlo. Un punto xM se dice punto de adherencia deS, si para cualquierr > 0, Bo(x, r) S=. La coleccion formada por todos los puntos deadherencia de Sse conoce por el nombre declausura deS; se emplea Spara denotarlo.Un punto xMse dice punto de acumulacion (o punto lmite) deS,si (Bo(x, r) \ {x}) S=para todo r >0. El conjunto S de todos lospuntos de acumulacion Sse llama derivado deS.

La siguiente proposicion resume las propiedades mas relevantes de lafrontera, exterior, interior, clausura y derivado de un conjunto.


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Proposicion 1.4. Dado un espacio metrico (M, d), se cumplen:

(a) La frontera de cualquier conjunto es cerrado, al igual que su clausuray derivado; mientras que su interior y exterior son abiertos.

(b) SiS, RM, entonces S= (M\ S), M\ S=So Se, So =S\ S, Se = (M\ S)o. S=S S, S=S S, y (S R) = S R. SiSR, entoncesSo Ro ySR. So Ro (S R)o, S RS R. Las igualdades en general no

se cumplen.

Mo =M, So S, (So)o =So,(S R)o =So Ro. =, SS , S=S, S R= S R.

(c) Un conjuntoS Mes abierto si, y solo si, S=So. Mientras queSes cerrado si, y solo si, S=S.

Demostracion. Para el lector.

A continuacion revisaremos las nociones primarias sobre sucesionesen espacios metricos. Ello obedece al hecho que la estructura metricapuede ser descrita mediante sucesiones y sus puntos lmites; en generalesto no es posible en estructuras topologicas arbitrarias. Recordamosque si (M, d) es un espacio metrico, una sucesion en M es cualquierfuncion x: N

Mque denotamos por (xn)n

0, donde xn =x(n)

M

para todon N. Una sucesion (xn)n0 se dice en Ssiempre quexnSpara todon. Dada una sucesionx = (xn)n0, una subsucesion dex es larestriccion dex a cualquier parte infinita (n0< n1 0 existe un entero positivo N talque d(xn, p)< para todo nN.

Claramente una sucesion (xn)n0 converge a un punto p si, y solo si,la sucesion de numeros reales (d(xn, p))n0 converge a 0 en la metrica

euclidiana de R. Note tambien que si (xn)n0converge a un punto p, en-tonces este punto es unico: una sucesion convergente no puede convergera puntos distintos.


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Preliminares 11

Teorema1.1. Para cualquier espacio metrico(M, d)y todo subconjunto

no vaco SdeM valen:(a) x S si, y solo si, existe (xn)n0 enS tal que xn x; lo que es

equivalentemente ad(x, S) = 0.

(b) xSo si, y solo si, para toda sucesion(xn)n0 conxnx, existeun entero N1 tal que, xnSo para todo n N.

(c) xS si, y solo si, existe(xn)n0 enS\ {x} tal quexn x.(d) x S si, y solo si, existen (xn)n0 y (yn)n0 en S y M\ S,

respectivamente, tales quexn x yyn x.Demostracion. Verificaremos solamente la primera parte, la demostra-cion de las restantes se dejan al lector. Supongamos que xS. Para cadaentero n 1 tomemos xn S Bo(x, 1/n), ello es posible por defini-cion de punto de adherencia. Consideremos cualquier >0, y escojamosN 1 de manera que 1N < . Entonces es claro que xn Bo(x, )cualquiera seanN; as, xn x. Ahora supongamos que (xn)n0 esuna sucesion en Sque converge a x. Entonces que para todo > 0 labolaBo(x, ) contiene puntos de S; es decir, xS. La equivalencia cond(x, S) = 0 sigue inmediatamente de la misma definici on de distanciaentre un punto y un conjunto.

Definicion 1.8. Sean (M, d) un espacio metrico y SMno vaco. Sedice que x es un punto aislado de S si, y solo si, existe > 0 tal queBo(x, ) S ={x}. El conjunto S se dice perfecto si no posee puntosaislados; es decir, cada uno de sus puntos es de acumulacion de S.

Ejemplo 1.5 (m es perfecto). Consideremos el espacio de codigo conm 2 smbolos m dotado con la metrica dC. Sea m arbitrario.Para cada enterok0 seak la sucesion en m definida de la siguienteforma: k(j) = (j) para todo j = 0, , k, mientras que para n > k,(n) es cualquier smbolo en {1, , m} que sea distinto a(n) al menospara uno de los valores n > k. En estas condiciones tenemos que: k=y dC(k, )2k1 para todo k0. Entonces es claro que es puntode acumulacion de m, con lo cual este espacio es perfecto.

Las siguientes nociones (opuestas una de la otra) constituyen los signi-ficados primitivos de ser conjuntos grandes y pequenos, respectivamente.


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Definicion 1.9. Sea (M, d) un espacio metrico. Un subconjuntoS de

Mse dice densosi S=M, y nunca denso si (S)o

=.Un par de observaciones obvias. Dado queSR siempre queSR,

entoncesR es denso si Slo es. Por otra parte, si Ses denso y F es uncerrado en M con SF, entonces F=M.Ejemplo 1.6.

1. En cualquier espacio metrico M siempre hay conjuntos densos, elmismo M es uno de ellos. Puede ocurrir que sea el unico de ellos,es lo que ocurre si M es dotado con la metrica discreta. Tambien escierto que siempre existen conjuntos nunca densos:, y puede que enparticulares metricas sea el unico conjunto nunca denso; por ejemplo

en la metrica discreta.

2. En R con la metrica euclidiana los conjuntos de numeros racionalesQ, y de los numeros irracionales I son densos. En realidad hay muchosotros subconjuntos densos, por ejemplo: Q {x}, con xI, y I Apara cualquierA R.

3. Consideremos a R2 con la metrica euclidiana. SeaA = R{0}. Dadoque para todo z = (x, y) R2 con y = 0 existe r > 0 tal queBo(z, r) A=, sigue que A es cerrado; ademas, como no contienebolas abiertas, entonces es nunca denso.

Proposicion1.5

.En cualquier espacio metrico (M, d) valen:

(a) Aes denso si, y solo si, cualquier conjunto abierto no vaco contienepuntos deA.

(b) A es nunca denso si, y solo si, su exteriorAe es denso.

Demostracion. Se deja al lector.

Sean (M, d) un espacio metrico y Sun subconjunto no vaco de M.Dado que la restriccion ded al conjuntoSScumple con la axiomaticaestablecida en la Definicion 1.1, (S, d) es un espacio metrico; se le llamasubespaciodeM. Es natural comparar la bolas en Sy M, y por supuesto

los abiertos y cerrados en ambas topologas metricas: dy S

d (la inducidapor d en S). La siguiente proposicion, cuya demostracion es simple, darespuesta a esta inquietud.


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Proposicion 1.6. Sean(M, d) un espacio metrico y =SM. SiSdes la topologa en S inducida por d, entonces U S es abierto (resp.cerrado) enSsi, y solo si, existeVM abierto (resp. cerrado) enMtal queU=V S. En particular, Sd ={V S :Vd}.

1.3. Equivalencias metricas

Sabemos que en un conjunto podemos tener mas de una estructurametrica, entonces es natural preguntarse sobre la existencia de relacionesentre las topologas que las diferentes metricas induzcan en el mismo con-junto, incluso que distancias diferentes generen las mismas topologas.Esta es la idea subyacente en el concepto a continuacion.

Definicion 1.10. Dos metricas d1 y d2 en Mse dicen topologicamenteequivalentessi, y solo si, las topologas ellas inducidas son iguales.

A objeto de tener precision en la lectura, cuando exista necesidadescribiremos Bod1(x, r) y B

od2

(x, r) para designar las bolas abiertas cen-tradas en x y radio r en las metricas d1 y d2, respectivamente.

Teorema 1.2 (Criterio de Hausdorff). Las metricasd1 yd2 enM sontopologicamente equivalentes si, y solo si, para cada x M y r > 0existes >0 tal queBod1(x, s)Bod2(x, r) yBod2(x, s)Bod1(x, r).Demostracion. Supongamos que d1 = d2 ; tomemos x

M y r > 0.

Dado queBod1(x, r)d2 ,xes punto interior deBod1(x, r) en la topologad2 . Por tanto, existe s >0 de forma que B

od2

(x, s)Bod1(x, r). La otrainclusion se muestra de la misma manera.

Recprocamente, supongamos que para cada x M y r > 0 existes > 0 tal que Bod1(x, s) Bod2(x, r). Tomemos U d2, y para cadax U escojamos rx > 0 tal que Bo(x, rx) U. Entonces podemosseleccionar sx > 0 de forma que B

od1

(x, sx) Bod2(x, rx). De aca sigueque U =

xUB

od1

(x, sx), con lo cual U d1 y d2 d1 . La otrainclusion se verifica similarmente.

Ejemplo1.7. Sea (M, d) cualquier espacio metrico. Veamos que la fun-

cion edefinida, para cada x, yM, pore(x, y) = mn{1, d(x, y)} (1.1)


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es una metrica topologicamente equivalente ad.

Es claro que e cumple M1 y M2 en Definicion 1.1; para demostrarque tambien cumple M3 basta verificar que si a, b, c 0 y c a+ b,entonces mn{1, c} mn{1, a}+mn{1, b}; esta desigualdad implica M3al hacera = d(x, y), b= d(y, z) yc = d(x, z). Es obvio que en el caso detener mn{1, a}+mn{1, b} 1, sigue mn{1, c} mn{1, a}+mn{1, b}.Ahora, si mn{1, a}+mn{1, b} 0 tal que,n para todo enteron 1.

Dejamos al lector demostrar la siguiente proposicion.

Proposicion 1.7. Sid1 yd2 son metricas equivalentes enM, entoncestambien son topologicamente equivalentes. El recproco es falso.

1.4. Continuidad en espacios metricos

El concepto de continuidad en espacios metricos es una primera exten-sion de la nocion de continuidad que se aprende en los cursos elementalesde Calculo: la definicion .


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Definicion 1.12. Sean (M, d), (N, d) espacios metricos y f :M Nuna funcion. Dado xM, se dice que f es continua enx si, y solo si,para cada > 0 existe = (, x) > 0 tal que si d(x, y) < , entoncesd(f(x), f(y))< .

f

x

y

f(x)

f(y)

NM

Figura 1.2: Continuidad de fen el punto x

Observe que el significado de los numeros y se corresponde conla eleccion de ciertas bolas abiertas tanto en M como en N: Bod(x, ) yBod(f(x), ), de forma que f(B

od(x, ))Bod(f(x), ).

Al hacer M = N = R y las metricas d y d iguales a la metricaeuclidiana en R, entonces la continuidad de f : R R en el punto x setraduce as: para cada >0 existe= (, x)> 0 tal que si|x y|< ,entonces|f(x) f(y)|< .Proposicion 1.8. Si(M, d), (N, d) son espacios metricos, f :M Nuna funcion y x M, entonces f es continua en x si, y solo si, paratoda sucesion(xn)n1 enM conxn x, se tienef(xn) f(x).Demostracion. Supongamos f continua en x. Tomemos (xn)n1 en Mtal que xn x. Entonces para cualquier > 0 existe > 0 tal quef(Bod(x, ))Bod(f(x), ). Sea n01 de forma que para todo nn0,d(xn, x)< ; esto es xnBod(x, ), en consecuenciaf(xn)Bod(f(x), )para cada nn0; es decir, d(f(xn), f(x))< para todo nn0, luegola sucesion (f(xn))n1 converge a f(x).

Ahora supongamos que f no es continua en x; esto es, existe > 0tal que para cada > 0 existe x Bod(x, ) y f(x) / Bod(f(x), ):d(f(x), f(x)). Dado que es arbitrario, para cada n1 podemos


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elegir xn M con d(xn, x)< 1n tal que d(f(xn), f(x)). Esta cons-truccion provee una sucesion (xn)n1 en X con xnx de manera quela sucesion (f(xn))n1 no converge a f(x).

La continuidad en un punto es una propiedad local. ConsideremosM = N = R con la metrica euclidiana y sea f : R R definida,para cada x R, por f(x) =

0, si x 0, existe = (, x)> 0tal que f(Bod(x, ))Bod(f(x), ). Si no depende de x, se dice que fes uniformemente continua; esto es, para todo >0 existe = ()> 0tal que para todo xM, f(Bod(x, ))Bod(f(x), ).

Ejemplo 1.10.

1. La funcion identidadiM :M M, coniM(x) =x para cadaxM,es continua cualquiera sea el espacio metrico (M, d). Mas general-mente; si S es un subespacio de M, entonces la funcion inclusioniS : S X, con iS(x) = x para cada x S, es uniformementecontinua.

2. Toda funcion f :M Nque sea constante: f(x) = f(y) para todox, yM, es continua.

3. Sid es la metrica discreta en My (N, d) es cualquier espacio metrico,entonces toda funcion f :M Nes uniformemente continua.

4. Sean (0, 1] yR ambos con la metrica euclidiana. Definimos la funcionf : (0, 1]R por f(x) = 1x cualquiera sea x(0, 1]. Veamos que fes continua y no uniformemente continua. Continuidad.Para x (0, 1] y > 0 sea 0 < < mn{

x2 ,

x2

2}. Si y (0, 1] es talque|x y|< , entonces

1x1y =|x y||x||y| < 2x2 x22 =.


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Continuidad uniformemente.Supongamos que f es uniformemente continua. Sean > 0 y > 0como en la definicion 1.13, al tomar los puntos 0< x .

5. Sean (M, d) un espacio metrico y S cualquier subconjunto no vacode M. La funcion f :M R (R con la metrica euclidiana) definidapor f(x) =d(x, S) es uniformemente continua. Esta afirmacion siguede la Proposicion 1.1. En particular, para cada aMfijo, la funcionxd(x, a) es uniformemente continua.

6. Funciones lipschitzianas.

Sean (M, d) y (N, d) espacios metricos. Una funcion f :M N sedice lipschitzianasi, y solo si, existe una constante >0 tal que

d(f(x), f(y)) d(x, y), para todo x, yM.

El nfimo de las constantes que cumplen esta desigualdad se lla-ma constante Lipschitz. Si la constante sea menor que 1, se diceque f es una contraccion. Observe que toda funcion lipschitzianaes uniformemente continua. El recproco no es cierto, por ejemplo siM=N= [0, ) con la metrica usual yf(x) =xpara cadaxM,entonces f es uniformemente continua y no lipschitziana.

7. Continuidad de las metricas.Sean (M, d) un espacio metrico y M M dotado con la metricad1((x, y), (z, w)) =d(x, z)+d(y, w) para todox,y ,z , wM. Note qued es continua si, y solo si, para cada (z, w)MMy cada >0 existe >0 tal que si d(x, z) + d(y, w)< , entonces|d(x, y) d(z, w)|< .Ahora bien, para todo (x, y), (x.z), (z, w) y (y, w) enMMse tiened(x, y)d(x, z) + d(z, w) + d(y, w); luego

|d(x, y) d(z, w)| d(x, z) + d(y, w) =d1((x, y), (z, w)),

lo cual demuestra que d es uniformemente continua.

En lugar de considerar la metrica de d1, hemos podido emplear, porejemplo, la metrica del maximo o la metrica euclidiana, obteniendoigualmente la continuidad uniforme de d.


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8. Continuidad de las operaciones en espacios normados.

Sea (V, ) un espacio vectorial normado sobre K (K = R, o C).Consideremos en V, V V y K V, respectivamente, las metricas: d(u, v) =u v,u, vV, dmax((u, u), (v, v)) = max{d(u, v), d(u, v)}, u, v,u, vV, y dmax((, u), (, v)) = max{| |, d(u, v)}, , K,u, vV.Es simple chequear que para todo u, v,u, vV y cada , K sesatisfacen las desigualdades

|u v| u v,(u + v) (u+ v) u v + u v, y

u v ||u v + | |v.De ellas se desprende la continuidad de las funciones norma, adiciony multiplicacion por escalares.

A continuacion una caracterizacion de la continuidad en terminos deabiertos, liberandola de la estructura metrica.

Teorema1.3. Para cualquier funcionf :M Nentre espacios metri-cos(M, d) y(N, d), son equivalentes:

(a) f es continua.

(b) La imagen inversa de cualquier conjunto abierto enN, es un con-junto abierto enM.

(c) La imagen inversa de cualquier conjunto cerrado enN, es un con-junto cerrado enM.

Demostracion. Demostraremos (a)(b), el resto para el lector.Supongamos quefes continua, y tomemos un abierto V en N. Sean

x f1(V) y > 0 tal que Bo(f(x), ) V. Entonces podemos es-coger > 0 de forma que f(Bo(x, )) Bo(f(x), ). En consecuenciaBo(x, )f1(V), por tantox es punto interior de f1(V). Comox esarbitrario, sigue quef1(V) es abierto en M.

Supongamos ahora que la imagen inversa de todo conjunto abiertoen N es un conjunto abierto en M. Sean x M y > 0. Dado queBo

(f(x), ) es abierto enN,f1

(Bo

(f(x), )) es abierto enMy contienea x, por tanto existe > 0 tal que Bo(x, )f1(Bo(f(x), )), que esf(Bo(x, ))Bo(f(x), ). As que fes continua en x.


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Registraremos a seguir una coleccion de propiedades de las funciones

continuas entre espacios metricos, muchas de ellas son validas en contex-tos mas generales. Sus demostraciones son simples y se dejan al lector.Adelantamos que la metrica a considerar en los productos cartesianosde los enunciados, puede ser cualquiera de las descritas en el apartado 5del Ejemplo 1.1.

Proposicion 1.9. Dados espacios metricos (M, d), (N, d) y (P, d),siempre se cumplen:

(a) Continuidad de la composicion.Si f : X Y y g : Y Z son funciones continuas, entonces lacomposiciong f :X Z es continua.

(b) Continuidad sobre la imagen.SiR es un subespacio deN, f :M Nes una funcion continua yf(M)R, entoncesf :M R es continua.

(c) Continuidad de restricciones.SiSes un subespacio deM, f :M N es una funcion continua,entonces tambien lo es la restriccionf|S :S N def aS.

(d) Continuidad sobre productos.Cualquier funcionf :M ni=1 Mi, conf= (f1, , fn), es con-tinua si, y solo si, cadafi: M Mi (i= 1, 2, , n) es continua.

Dos clases importantes de funciones continuas entre espacios metricosson las inmersiones isometricas y los homeomorfismos.

Definicion 1.14. Sean (M, d) y (N, d) espacios metricos. Se dice queuna funcion f : M N es una inmersion isometrica si, y solo si,para todox, y enMse cumpled(f(x), f(y)) =d(x, y). Toda inmersionisometrica que sea biyectiva se le denomina isometra.

Observe que si f : (M, d) (N, d) es una inmersion isometrica,entonces es uniformemente continua, preserva distancia y es inyectiva.As que f1 :f(M) M(la inversa def) existe y tambien es inmersionisometrica; por tanto f :M f(M) es una isometra. Es como tener enNuna copia metrica de M; por ello se dice queM estaisometricamenteinmerso en N. Diremos ademas que (M, d) y (N, d) son isometricos sientre ellos se puede definir una isometra. Es muy simple chequear que


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esta relacion es de equivalencia. Los espacios metricos isometricos son

indistinguibles desde el punto de vista metrico.

Definicion 1.15. Sean (M, d) y (N, d) espacios metricos. Se dice queuna funcionf :M Nes unhomeomorfismosi, y solo si,fes continuay biyectiva, y su inversa f1 :N Mtambien es continua.

Algunos comentarios son necesarios en relacion a las anteriores dosdefiniciones. Si f : M N es un homeomorfismo, entonces no solola preimagen de conjuntos abiertos en N es abierto en M(continuidadde f), tambien son conjuntos abiertos en N las imagenes de conjuntosabiertos en M (continuidad de f1); de all que las topologas d yd se identifican biunvocamente. Cuando entre dos espacios exista un

homeomorfismos se dice que estos son homeomorfos. Observe que serhomeomorfos es una relacion de equivalencia, de manera que hay unaclasificacion en los espacios por homeomorfismos; similarmente comoocurre con la clasificacion por isometras; as que espacios homeomorfosson indistinguibles desde el punto de vista topologico. Una propiedadPes uninvariante topologico(o propiedad topologica) si es preservada porhomeomorfismos.

Es importante resaltar que los homeomorfismos en general pueden noaportar informacion acerca de las metricas que inducen las respectivastopologas. Por otra parte, es obvio que toda isometra es un homeo-morfismo, pero en este caso hay identificacion de las bolas abiertas, in-

cluso esta asociacion es hecha entre bolas que tienen el mismo radio(preservacion de distancias). Existen espacios homeomorfos que no sonisometricos. Considere una metrica d no acotada en M (por ejemplo laeuclidiana en R) y e es la metrica definida por (1.1) en el Ejemplo 1.7;dado qued= e, entonces la identidadi : (M, d) (M, e) es un homeo-morfismo, pero como diamd(M) = +y diame(M) = 1, estos espaciosno son isometricos. Tomamos esto como decir que una propiedad se dicemetricasi es preservada por isometras.

1.5. Espacios metricos completos

A continuacion revisaremos otra de las fundamentales conceptos enel mundo de los espacios metricos: la completitud en espacios metricos.Nocion que tomo la forma e importancia moderna gracias a los aportes


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de: Bernard Bolzano (1781-1848), Augustin Cauchy (1789-1857), Karl

Weierstrass (1815-1897), Maurice Frechet, Felix Hausdorff, Rene Baire(1874-1932) y Andre Weyl (1906-1998).

Definicion 1.16. Dado cualquier espacio metrico (M, d), se dice queuna sucesion (xn)n0 en M es de Cauchysi, y solo si, para cada >0existe n00 tal que d(xn, xm)< , siempre que n, m n0.

La proposicion a seguir resume un conjunto de propiedades elementa-les que involucran sucesiones de Cauchy. Los detalles para el lector.

Proposicion 1.10. En cualquier espacio metrico (M, d) valen:

(a) Toda sucesion convergente es de Cauchy, y toda sucesion de Cauchyes acotada.

(b) Si una sucesi on de Cauchy tiene una subsucesion convergente, en-tonces la sucesion converge al mismo lmite de la subsucesion.

(c) Sif : M N es uniformemente continua, entoncesf transformatodo sucesion de Cauchy enMen una sucesion de Cauchy enN.

(d) SiM =k

i=1 Mi esta dotado con la metrica del maximo, entoncesuna sucesion(zn)n0 enM (zn = (x1n, , xkn), n0), es de Cau-chy si, y solo si, (xin)n0 es de Cauchy enMi, para cada1 ik.

Resaltamos que no toda sucesion de Cauchy es convergente: tome Ry el intervalo (0, 1) con la metrica euclidiana. La sucesion (1/n)n1 es

de Cauchy y no convergente en (0, 1). Tambien es cierto que no todasucesion acotada es de Cauchy. Por ejemplo en R, con la metrica eucli-diana, tome la sucesion (xn)n0 conxn = 0 sin es par, yxn = 1 si n esimpar. La segunda parte de la proposicion implica que si una sucesionadmite subsucesiones convergentes con lmites diferentes, entonces no esCauchy. Con la sola condicion de continuidad, una funcion puede que notransforme sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy; por ejemplo,f : (0, 1] R dada porf(x) = 1x no transforma sucesiones de Cauchy ensucesiones de Cauchy. La metrica del maximo en el ultimo tem puedesustituirse por cualquier otra que sea equivalente.

Definicion 1.17. Un espacio metrico se dice completosi, y solo si, toda

sucesion de Cauchy es convergente. Un espacio normado se denominaespacio de Banachsi, y solo si, es completo con la metrica inducida porla norma del espacio.


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Ejemplo 1.11.

1. El ejemplo trivial de espacio metrico completo es todo conjunto novaco con la metrica discreta. Es facil verificar que toda sucesion deCauchy en estos espacios es necesariamente una sucesion constante,consecuentemente convergente.

2. Si (M, d) es un espacio metrico completo, entonces cualquier espacioisometrico a M tambien es completo. Supongamos que f : M Nuna isometra y (yn)n0 una sucesion de Cauchy en N. Consideremosla sucesion (xn)n0 en M dada por f(xn) = yn para cada n 0.Dado que d(xn, xm) =d

(yn, ym), entonces (xn)n0 es de Cauchy enX; por completitud existe xXtal que xn x. Por la continuidad

de fsigue que f(xn) =yn f(x); as Nes completo.3. Sean (Mi, di) un espacio metrico (1 ik) yM=

ki=1 Mi dotado

con la metrica d del maximo inducida por las metricas d1, , dk. SicadaMi es completo, entonces Mtambien lo es. Esto sigue de:

d(zn, zm) = max1ik

di(xin, x

im), y

zn (1, , k), si xin i para todo 1ik.

4. El conjunto Rk dotado con la metrica euclidiana es completo. Ellopuede verse como una consecuencia de un clasico teorema del Analisis.

Teorema de Bolzano-Weierstrass.EnRk toda sucesion acotadatiene una subsucesion convergente.

Variadas e importantes consecuencias siguen de la completitud de Rk: Para cualquier entero n1, el conjunto Cn, de todas las n-tuplas(z1, , zn) de numeros complejos, dotado con la metrica del maximoes completo. Mas generalmente, puede demostrarse que todo espacio vectorialfinito dimensional V (real o complejo) es completo con la metricainducida por cualquier norma en V .

Proposicion 1.11. Si(M, d) es un espacio metrico yA es un subcon-

junto no vaco deM tal que(A, d) sea completo, entoncesA es cerrado.Adicionalmente, si (M, d) es completo yA es un subconjunto no vacoy cerrado enM, entonces(A, d) es completo.


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Demostracion. Supongamos queA es un subconjunto no vaco deM tal

que (A, d) es completo. SeaxA, entonces existe una sucesion (xn)n0enA tal quexn x. Como (xn)n0 es de Cauchy y sus elementos estanen A, entonces xA. Con lo cual A es cerrado.

Ahora supongamos que A es un subconjunto no vaco y cerrado enM. Tomemos cualquier sucesion de Cauchy (xn)n0 enA. Dado que Mes completo, existe xM tal que xnx. Por ser A cerrado sigue quexA; luegoA es completo.

A continuacion una caracterizacion de la completitud en espaciosmetricos expresada en terminos de sucesiones de clases especiales deconjuntos cerrados.

Teorema 1.4. Un espacio metrico(M, d) es completo si, y solo si, tie-ne la propiedad de encaje de Cantor; que es, para cualquier sucesion(Cn)n0 de conjuntos cerrados no vacos, con Cn+1 Cn para cadan 0 y diam(Cn) 0, se tiene que

n0 Cn es un conjunto unitario.

Demostracion. Sean (M, d) un espacio metrico completo y (Cn)n0 unasucesion como en el enunciado. Para cada n0 seleccionemos un puntoxn Cn. Sea > 0, dado que diam(Cn) 0, existe N 0 tal quediam(Cn) < para todo n N. Esto implica que d(xn, xm) < paratodo m, n N; por lo que (xn)n0 es de Cauchy. Sea x M tal quexn x. Six /Cm para algunm; comoCm es cerrado yCnCm paracada nm, entonces existe r >0 tal que Bo(x, r) Cn =para cadan

m; en particular, d(xn, x)

r para todo n

m, lo cual contradicexn x. De esta forman0 Cn=. Pero diam(n0 Cn) = 0, portanto

n0 Cn ={x}.

Supongamos que (M, d) tiene la propiedad de encaje de Cantor. Sea(xn)n0 una sucesion de Cauchy en M; mostraremos que ella es conver-gente. Para cada n 0, sean An ={xm : m n} y Cn = An. Obvia-mente Cn+1Cn para cada n0; por otro lado, dado que (xn)n0 esde Cauchy, entonces diam(Cn)0. Luego,

n0 Cn ={x} para algun

x M. Tomemos cualquier > 0; sea N 1 tal que diam(Cn) < para cadan N. Dado que xn, x Cn, entoncesd(xn, x)< para todon N; de donde xn x, y la completitud de M sigue.Corolario

1.1.

Si (M, d) un espacio metrico completo y (Cn)n0 esuna sucesion de conjuntos cerrados, no vacos y encajados, entoncesn0 Cn=.


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Demostracion. Inmediato, se dejan los detalles al lector.

El siguiente resultado, y su corolario, son piezas importantes en di-versas areas de la Matematica. En lo que sigue, si f : M M esuna funcion, n 0 es un entero y x un punto arbitrario en M, enton-ces fn(x) denotara el n-esimo iterado de f en x; que es: f0(x) = x yfn(x) =f(fn1(x)) si n 1.Teorema 1.5 (Teorema del punto fijo de Banach). Si (M, d) es unespacio metrico completo y f : M M es una contraccion, entoncesf tiene un unico punto fijo p; ademas, para cada x M se tiene que

lmn+ f

n(x) =p.

Demostracion. Sea 0 < < 1 tal que para cada x, y M se tieneque d(f(x), f(y)) d(x, y). Tomemos xMy consideremos la suce-sion (xn)n0, donde xn = fn(x) para cada n 0. Afirmamos que estasucesion es de Cauchy. Primero mostremos que

d(xn, xn+1)n d(x0, x1), para todo n 0. (1.2)

Observe que para n = 0 esta desigualdad es satisfecha, y para n = 1:

d(x1, x2) = d(f(x), f2(x)) =d(f(x), f(f(x)))

d(x, f(x)) = d(x0, x1).

El resto sigue por induccion sobren, pues al tener como cierto (1.2) paratodo 0 nk, entonces

d(xk+1, xk+2) = d(fk+1(x), fk+2(x)) =d(f(fk(x)), f(fk+1(x)))

d(fk(x), fk+1(x)) = d(xk, xk+1)k+1 d(x0, x1).

Ahora consideremos enteros positivos n y p cualesquiera. Dado que

d(xn, xn+p)d(xn, xn+1) + d(xn+1, xn+2) + + d(xn+p1, xn+p),

entonces de la propiedad (1.2) sigue que

d(xn, xn+p) n + n+1 + + n+p1 d(x0, x1)

knk

d(x0, x1).


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Como la serie

k0k es convergente, para >0 dado, existe un entero

N >0 tal que, para todo n Nse tiene kn k < . Esto claramenteimplica que la sucesion (xn)n0 es de Cauchy.

Sea p el punto lmite de (xn)n0. La continuidad de f implica que(f(xn))n0= (xn)n1 converge a f(p), de dondef(p) =p; pues la suce-sion (xn)n1 converge ap. Con esto hemos mostrado que para cualquierxM, la sucesion de sus iterados converge a un punto fijo de f. Veamosqueftiene un solo punto fijo. Supongamos que p, qMson puntos fijosde f. Entonces d(p, q) =d(f(p), f(q)) d(p, q), de donde d(p, q) = 0,pues 0< 0 y 0 < < 1de forma qued(fn(x), fn(y))C n d(x, y) para todo x, y M y cadaentero n 0, entonces sigue la misma conclusion del teorema anterior.Demostracion. Se deja al lector.

1.6. Compacidad en espacios metricos

En esta seccion presentaremos una de las nociones mas importantes enla topologa: la compacidad. En espacios metricos este concepto admitecaracterizaciones exclusivas, e inicialmente introducida por Frechet en

su tesis doctoral, y hacia la primera parte de los anos 1920, Pavel Alek-sandrov (1896 - 1982) y Pavel Urysohn (1898 - 1924), la colocaron enlos terminos que actualmente es tratado en el contexto general.

Definicion 1.18. Sean (M, d) un espacio metrico y S un subconjuntono vaco de M. Se dice que S es compacto, si cada sucesion (xn)n1 enS contiene una subsucesion convergente con lmite en S.

Proposicion 1.12. En todo espacio metrico(M, d) se cumplen:

(a) SiSMes compacto, entoncesSes cerrado enM.

(b) SiM es compacto, el recproco de la propiedad anterior es cierto.

(c) SiSMes compacto, entoncesSes completo.


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Demostracion. Supongamos inicialmente queSes compacto. SeaxS,tomemos (xn)n0 en S tal que xn x. Es obvio entonces que todasubsucesion de (xn)n0 converge ax, con lo cual xSy por tantoSescerrado.

Ahora supongamos que M es compacto y S es cerrado en M. Sea(xn)n0 cualquier sucesion enS. La compacidad de Mimplica que estasucesion admite una subsucesion convergente, cuyo lmite lo designamospor x M. Como S es cerrado y xn S para cada n 0, entoncesxS. Esto implica la compacidad de S.

Para demostrar (c) debemos verificar que toda sucesion de Cauchy enSconverge en S. Supongamos entonces que (xn)n0 es una tal sucesionenS. Dado queSes compacto, existenxSy una subsucesion (xnk)k0de (xn)n

0 tales que xnk

x. Por tanto (xn)n

0 es una sucesion de

Cauchy en Scon una subsucesion que converge en S; luego (xn)n0 esconvergente y lo hace a x. LuegoS es completo.

El recproco del tem (a) en general es falso. Considere a R con lametrica euclidiana; el conjunto N de numero naturales es cerrado, elmismo es una sucesion que no tiene subsucesiones convergentes; estotambien que R es no compacto. Aprovechando esto, R es completo, en-tonces el recproco de (c) tampoco en cierto.

Procederemos a mostrar las caracterizaciones de la compacidad enespacios metricos, las cuales consideramos clasicas. Antes necesitamosintroducir un par de conceptos.

Definicion 1.19. Sea (M, d) un espacio metrico.

1. Un cubrimiento abierto de S Mes cualquier coleccionC formadapor subconjuntos abiertos en M cuya union contiene a S. Un cubri-miento abiertoU de Sse dice que admite un subcubrimiento finito,si existen n1 y U1, , Un C tales que S

ni=1 Ui.

2. Un conjuntoS M se dice totalmente acotado, si para cada > 0existe un numero finito de puntos y1, , ynStales que, para cadaxS existe i {1, , n}con d(x, yi)< .Este conjunto de puntos

{yi,

, yn

}se conoce con el nombre de -red.

Lema 1.1 (Numero de Lebesgue). Sea(M, d) un espacio metrico com-pacto. SiC es un cubrimiento abierto deM, entonces existe > 0 tal


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que para cadaxM, existeU C tal queBo(x, )U. El numero es conocido como numero de Lebesgue deC.Demostracion. SeaC un cubrimiento abierto de M. Procedamos por elabsurdo; entonces para cada n 1 podemos seleccionar xn M talque Bo(xn,

1n) no esta contenida en miembro alguno deC . Por compa-

cidad, existen xMy una subsucesion (xnk)k0 de (xn)n1 tales quexnk x. SeanU Cy >0 de forma que xU y Bo(x, )U. Dadoque xnk x, existe 0 tal que d(xnk , x)< 2 para todo k; clara-mente podemos escoger de manera que 1nk 0 existe una -red. Su-pongamos que M no es totalmente acotado, entonces existe > 0 deforma que M esta desprovisto de -redes. Elijamos x0 M, dado que{x0} no es -red, existe x1M tal que d(x1, x0). De la misma for-ma, como{x0, x1} no es -red, existe x2Xtal que d(x2, xj) paraj = 0, 1. Con este argumento se obtiene una sucesion = (xn)n0 talqued(xn, xm) para todo n, m0 con n=m. Obviamente ningunasubsucesion de puede converger.

(b)(a). Sea = (xn)n1 una sucesion en Mde rango A ={xn : n1}infinito, de lo contario tiene subsucesiones convergentes. Para cadaentero n1 sea Rn una 1n-red. Como M = xR1

Bo(x, 1), escogemos

y1R1 de forma queA1= B1(y1) Asea infinito. Por la misma razon,existe y2 R2 tal que A2 = Bo(y2, 12)A1 es infinito. Argumentosrecurrentes tenemos una sucesion (An)n1 de subconjuntos infinitos de


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A tales que An+1 An y diam(An) 2n para todo n 1. Ahoratomamos el primer entero n1 tal que xn1 A1, y para cada k > 1 seank > nk1 el primer entero tal que xnk Ak. Es simple chequear quela subsucesion (xnk)k1 es de Cauchy, por lo tanto convergente. Estodemuestra la compacidad de M.

(a) (c). SeanC un cubrimiento abierto de M y > 0 su nume-ro de Lebesgue; por lo que para cada x M existe Ux C tal queBo(x, ) Ux. Supongamos queC no admite un subcubrimiento fini-to. Tomemos x0 M, entonces podemos escoger x1 M\ Bo(x0, ).Dado que Bo(x0, ) Bo(x0, ) Ux0 Ux1, entonces podemos elegirx2M\Bo(x0, )Bo(x0, ). Por recurrencia construimos una sucesion(xn)n0 tal que xn+1M\

ni=0 B

o(xi, ). Note que d(xn, xm) pa-ra todo n =m. Lo cual implica que esa sucesion no tiene subsucesionesconvergentes, contradiciendo la compacidad de M.

(c) (d). Sea A Mcon infinitos elementos. Supongamos que A notiene puntos de acumulacion, entonces para cadaxMexiste un abiertoUx tal que x Ux y (Ux\ {x}) A =. Dado queC ={Ux : x M}es un cubrimiento abierto de M, entonces existen un entero n 1 ypuntos x1, , xn X de forma que M = Ux1 Uxn , de dondeA= (Ux1 A) (Uxn A). Pero Ux A {x} para todo xM;esto implica que A es finito.

(d)(a). Se deja al lector.

Comentarios:

(A) El concepto de compacidad que generalmente se trata en espaciostopologicos es el dado por el enunciado del tem c) anterior. Mien-tras que el concepto que expusimos en la Definicion 1.18 es tratadacomocompacidad secuencial. En estructuras topologicas arbitrariasninguna de ellas implica la otra.

(B) Observe que la caracterizacion dispuesta en el tem b) es la unicaque se expresa de forma exclusiva en terminos metricos: tanto lacompletitud como la acotacion total reuieren de una distancia paraformularse.

(C) Sabemos que todo compacto es un conjunto cerrado, y como todoconjunto totalmente acotado es acotado, entonces todo compacto


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es cerrado y acotado. El recproco en general no es cierto; sin em-

bargo en Rn

con la topologa inducida por la metrica euclidiana (ocualquiera equivalente), existe el clasico resultado:Teorema de Heine-Borel.Un subconjuntoA deRn es compactosi, y solo si, es cerrado y acotado.

Ejemplo 1.12. El conjunto Rn (n 1) dotado con cualquier metricaequivalente a la euclidiana es una rica fuente de conjuntos compactos;por ejemplo en R son compactos cualquier intervalo [a, b]; tambien soncompactos las esferas S(x, r), las bolas cerradas B(x, r) y el productocartesiano [a1, b1] [an, bb]; todos ellos son cerrados y acotados.

En R2, no son conjuntos compactos: A ={(x, 1/x) : 0 < x 1} yS={

x, sin(1/x)

: 0< x1}. El primero de ellos es cerrado pero no

acotado, y el segundo es acotado pero no cerrado.Ejemplo 1.13 (m es compacto). Consideremos el espacio de codigoscon m smbolos m dotado con la metrica dC. Mostraremos que m escompacto; es decir, completo y totalmente acotado.

Sea (xn)n0 una sucesion de Cauchy en m, donde xn = (xnk)k0.Luego es claro que para cada entero k 1, existe Nk 1 tal quedC(xn, xm) < 2

k, para todo n, m Nk. De esta manera, para todon, m Nk las sucesiones xn y xm son tales que, xnj = xmj para cadaj = 0, , k. Por tanto, podemos escoger una sucesion de numeros en-teros 1 N1 < N2


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1.6.1. Algunas consecuencias de la compacidad

Enunciaremos un conjunto de propiedades que se obtienen de la com-pacidad; sus demostraciones no son difciles y las dejamos para el lector.

Consecuencia 1.

Sean(M, d) y (N, d) espacios metricos. Sif :M Nes una funcioncontinua yS M es compacto, entoncesf(K) es compacto enN. Enparticular, la compacidad es una propiedad topologica

Consecuencia 2.

Sif :M N es una funcion continua y(M, d) es compacto, entoncesfes cerrada; es decir, para todo conjunto cerrado S deM, la imagenf(S) es un conjunto cerrado enN.

Consecuencia 3.

Si(M, d)es compacto yf :M Nes una funcion continua y biyectiva,entoncesfes un homeomorfismo.

Consecuencia 4.

Si(M, d)es compacto yf :M Nes una funcion continua, entoncesfes acotada; es decir, existenyN yr >0 tales quef(M)Bd(y, r).Consecuencia 5.

Sif :M R es una funcion continua y (M, d) es compacto, entoncesfalcanza su maximo y mnimo enM; es decir, exitenx0, x1M talesquef(x0)

f(x)

f(x1), para cadax

M.

Consecuencia 6.

Si(M, d) es compacto yf :M N es una funcion continua, entoncesf es uniformemente continua.

Consecuencia 7.

Todo espacio metrico compacto es separable; es decir, tiene un conjuntonumerable y denso.

1.7. Conexidad en espacios metricos

La nocion subyacente en la conexidad es aquella que se correspondecon espacios de una sola pieza, que no estan constituidos por partesseparadas.


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Definicion 1.20. Un espacio metrico (M, d) se dice conexo si M no

puede expresarse como la union de dos conjuntos abiertos no vacos ydisjuntos. Un subconjunto A de M es conexo si es conexo como subes-pacio de M. Un conjunto que no sea conexo se le llama disconexo.

Una observacion acerca de la naturaleza de la conexidad es necesaria.Por involucrar elementos puramente conjuntista y topologicos antes quemetricos, la conexidad es una propiedad topologica. Note que un sub-conjuntoA de Mes conexo si, y solo si, para todo par U, Vde conjuntosabiertos disjuntos en M con A U V, se cumple A U, o A V.Por otra parte, es claro que todo conjunto unitario es conexo, de maneraque todo espacio contiene al menos un conjunto conexo.

Existen varias formas equivalentes de expresar la conexidad; muestrade ello se expresa en el siguiente resultado.

Teorema 1.7. Son equivalentes:

(a) Mes conexo.

(b) Los unicos subconjuntos deM que son simultaneamente abiertos ycerrados son yM.

(c) Toda funcion continua deMen cualquier espacio discreto es cons-tante.

Demostracion. (a) (b). Sea A es un subconjunto propio no vaco deM que simultaneamente abierto y cerrado, luego M\ A tambien es novaco, distinto de M, abierto y cerrado. Luego M es disconexo puesM=A (M\ A).(b) (c). Sean Ndotado con la metrica discreta y f : M N con-tinua. Si Nes unitario, obviamente f es constante. Ahora, si N tienemas de un elemento y fes no constante, existen x1, x2 M tales quef(x1)=f(x2). EntoncesA = f1({f(x1)}) es abierto, cerrado, no vacoy diferente de M.

(c)(a). Para el lector.

Ejemplo1.14 (Conexos en R). EnR con la metrica euclidiana un con-junto no vaco A es conexo si, y solamente si, A es un intervalo.


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Supongamos que A es conexo. Si A es unitario, entonces A = [x, x]

para algun x R. Si x, y A con x < y, escogemos z R tal quex < z < y. Observe que zA, de lo contrario A corta a los intervalos:(, z) y (z, +), lo cual no puede ser. As que para cualquier par depuntos en A, el intervalo que los tiene por extremos esta contenido enA. Esta propiedad implica que A es un intervalo.

Veamos que todo intervalo es un conjunto conexo en R. Sean I unintervalo, U y V abiertos disjuntos no vacos en Rtales que IU V.Supongamos queI U=, mostraremosI V =. Sean xI U yW =I V (x, +). SiW=y = nfW, entoncesxw paratodowW. Note que [x, ]Ipues xIyW I. Supongamos que V; como U V = y x U, entonces x < , y as W. Portanto, podemos escoger > 0 tal que x <

y (

, )

I

V;

de lo cual sigue que (, )W=. Esto contradice = nfW,por lo que / V; luego U. En cuyo caso existe > 0 tal que( , + ) U, y como U V =, sigue que = nfW. De estaforma,I V (x, +) =. De forma analoga, I V (, x) =, dedonde I V =.

Propiedades elementales de la conexidad.a) Imagen continua de conjuntos conexos es conexa.Sean f : M N una funcion continua y M es conexo. SupongamosqueA = f(M) es disconexo, entonces podemos escogerB Ano vaco,abierto y cerrado en A. Comof :X

Aes tambien continua, entonces

f1(B) es abierto, cerrado, no vaco y distinto deM, contradiciendo laconexidad de M.

Corolario 1.3 (Teorema del Valor intermedio). Si f : [a, b] R escontinua, entonces para todo entref(a) yf(b) existec[a, b] tal quef(c) =.

b) SiA es un conjunto conexo enM yBMes tal queABA,entoncesB es conexo. En particular la clausura de todo conjunto conexoes un conjunto conexo.Sea f : B N una funcion continua con N discreto. Dado que larestriccion f|A : A Ntambien es continua y A es conexo, entoncesexiste n N tal que f(a) = n para todo a A. Por otra parte, comoB = B A, entoncesf(B) =f(B A); la continuidad de fimplica que


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f(BA)f(A). Siendo Ndiscreto f(A) =f(A), por tanto f(B) ={n}.De donde, la conexidad de B.c) Si es un conjunto de ndices y{A : } es una coleccion deconjuntos conexos en M tales que AA = para todo , ,entonces

A es conexo.

Supongamos que existen dos abiertos disjuntos U y V en M tales que AU V. Fijemos un ndice . Dado que A es conexo y

AUV, sigue queAU, oAV. Si AU, comoAA=para todo , entonces A U=, con lo cual A U pues Aes conexo y A U V. De esta forma

A U. Los mismos

argumentos demuestran que

AV si AV.Esta ultima propiedad implica como caso particular lo siguiente. Su-

ponga que en un espacio Mtomamos un punto x arbitrario y considere-mos la familiaCx formada por todos los subconjuntos conexos enMquecontienen a x; note que{x} Cx. Luego, C(x) =

CCx C es conexo

y contiene a x. Ademas, para cualquier conexo Cque contenga a x, setiene CC(x); es decir, C(x) es el mayor conexo que contiene a x.Definicion 1.21. Se conoce por componente conexa de x al conjuntoconexo C(x). Cuando C(x) ={x} para todo xM, se dice que M estotalmente disconexo.

Proposicion 1.13. Las siguientes propiedades siempre se cumplen:

(a) Dos componentes conexas cualesquiera o son identicas, o disjuntas.

(b) Toda componente conexa es un conjunto cerrado.

Demostracion. Sea x, y M tales que C(x)C(y)=. Dado queC(x) yC(y) son conjuntos conexos, entonces C(x)C(y) tambien es unconjunto conexo, que por contener tanto a x como a y se concluye queC(x) C(y)C(x) yC(x) C(y)C(y), de donde C(x) =C(y).

La segunda parte es consecuencia inmediata del hecho que la clausurade un conjunto conexo es conexa.

Note que la primera parte de la proposicion implica que la relacion

x y si, y solo si, x y y estan en una misma componente conexa, esde equivalencia. Es decir, el espacio queda particionado por sus com-ponentes conexas. Es claro entonces que M es conexo si, y solo si, M


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es la unica componente conexa en M. Tambien es simple verificar que

las componentes conexas son bien comportadas por medio de funcionescontinuas; esto significa que si f :MNes una funcion continua, en-toncesf(C(x))C(f(x)) para todoxM. En particular, si la funcionfes un homeomorfismo, entonces f(C(x)) =C(f(x)) para todoxM.Lo cual indica que el numero de componentes conexas es un invariantetopologico.

Ejemplo1.15 (mes totalmente disconexo). Recordemos que la metri-ca dC en el espacio de codigos con m 2 smbolos m es dada pordC(, ) = 0 si (n) = (n) para todo n 0; en cuanto que si = ,entoncesdC(, ) = 2

k, conk0 el menor entero tal que (k)=(k).SeaA

m con al menos dos elementos. Digamos que ,

A y k

0

es tal que dC(, ) = 2k. Es muy simple verificar que para cualquierentero n0 y a {1, , m}, el conjunto Cna ={ m :(n) = a}es abierto en m. Obviamente, C

na Cnb =sia=b y m =

ma=1 C

na .

Entonces existen dos abiertos disjuntos y no vacos en m cuya unioncontiene a A, y A corta a ambos; es decir, A es disconexo. Con lo cual,en m los unicos conexos son los conjuntos unitarios.

Observacion 1.1. En los Ejemplos 1.5, 1.13 y 1.15 hemos mostradoque el espacio de codigos con m 2 smbolos y dotado con la metricadC es perfecto, compacto y totalmente disconexo. Esta tres propiedadesreunidas en un espacio metrico lo definen como un conjunto de Cantor.

En cierta forma es un modelo universal pues todos los espacios metricoscon esas propiedades son homeomorfos; ademas, todo espacio metricocompacto es imagen continua de un conjunto de Cantor; ver [34].

1.8. Metrica de Hausdorff

Esta seccion esta dedicada a presentar un espacio metrico que ha gana-do el apodo deespacio donde viven los fractales. Consideremos cualquierespacio metrico (M, d), y denotemos por C(M) su clase compacta; es de-cir, la coleccion de todos los subconjuntos compactos no vacos de M.

ObviamenteC(M) es no vaco: contiene todos los subconjuntos finitosde M. Note ademas que si es una metrica equivalente a d, entoncesC(M) es el mismo para (M, ).


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En la seccion 1.1 se introdujo una forma de medir distancia entre dos

subconjuntos no vacos de un espacio metrico (M, d):

d(R, S) = nf{d(x, y) :xR yyS}.Dado que existen conjuntos diferentes para los cuales esta distancia esnula, entonces esta nocion, aunque importante, no es buena para intentardotar de una estructura metrica a alguna clase de subconjuntos de M.

SeanS C(M) yxM. La continuidad de la metrica d, ver Ejemplo1.10-5 y 1.10-7, implica la continuidad de la funcion dx : S [0, +)dada por dx(y) = d(x, y). En consecuencia podemos escoger yx S talqued(x, S) =d(x, yx) = mn{d(x, y) :yS}. Por otra parte, dado quetambien es continua la funcionx d(x, S) conxvariando enR C(M),entonces max{d(x, S) :xR} =d(x

, S) para algun x

R.Definicion 1.22. Dados un espacio metrico (M, d), su clase compactaC(M), R y S enC(M), se llama distancia dirigida deR aSa

Dd(R, S) = max{mn{d(x, y) :yS} :xR}.Note queDd(R, S) = max{d(x, S) :xR}; ademas, siDd(R, S) = 0,

entoncesd(x, S) = 0 para todo xR. Como Ses compacto, por tantocerrado, se tiene quexS; es decir,RS. Es tambien simple chequearque en generalDd(R, S)=Dd(S, R).Definicion 1.23. Dados un espacio metrico (M, d) y su clase compacta

C(M), se define la distancia de Hausdorff entreR yScomodH(R, S) = max{Dd(R, S), Dd(S, R)}.

Obviamente dH(R, S) =dH(S, R) ydH(R, S) = 0 si, y solo si,R = S.Luego para mostrar que (C(M), dH) es un espacio metrico se requie-re solo verificar la desigualdad triangular. Suponiendo que para todoR,S,T C(M) se cumpleDd(R, S)Dd(R, T) + Dd(T, S), veamos quedHcumple con la desigualdad triangular. En efecto:

dH(R, S) = max{Dd(R, S), Dd(S, R)}

max

{Dd(R, T) + Dd(T, S), Dd(S, T) + Dd(T, R)

} max{Dd(R, T) + Dd(T, R)} + max{Dd(S, T) + Dd(T, S)}= dH(R, T) + dH(T, S).


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Ahora bien, como para cada xR y zT se tiene

d(x, S) = mn{d(x, y) :yS} mn{d(x, z) + d(z, y) :yS} d(x, z) + mn{d(z, y) :yS} d(x, z) + Dd(T, S),

entoncesDd(R, S)Dd(R, T) + Dd(T, S). As pues, (C(M), dH) es unespacio metrico.

Dados A M no vaco y > 0, denominamos -dilatado de A alsubconjuntoA + de Mdado por A + ={xM :d(x, A)}. Noteque la continuidad de la funcion x d(x, A) implica que A+ es unconjunto cerrado en M.

Proposicion 1.14. Sean (M, d) un espacio metrico yC (M) su clasecompacta. Cualesquiera seanR, S C(M) se tiene que

dH(R, S) = nf{ >0 :RS+ y SR+ }.

Demostracion. Sigue de las definiciones de Dd y dH.

Teorema 1.8. Si(M, d) es completo, entonces lo es(C(M), dH).Demostracion. Sea (Rn)n1 una sucesion de Cauchy enC(M). Defina-mos R ={x M : (xn)n1 con xn Rn yxn x}. DemostraremosqueR C(M) yRn Ren la metrica dH. Esto lo haremos verificandoqueR=, completo y totalmente acotado, ver Teorema 1.6; finalmentemostraremos que Rn

R en la metrica dH.

Etapa 1: R es no vaco y completo.Dado que (Rn)n1 es de Cauchy enC(M), para cada k 1 podemosescoger nk 1 (n1 < n2


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a una sucesion (xn)n1 que sea de Cauchy y contenga la anterior co-

mo una de sus subsucesiones. Para cada 1 n < n1 sea xn Rn talque d(xn1 , Rn) = d(xn1, xn); a seguir, para todo n1 < n < n2 tomamosxn Rn tal que d(xn2 , Rn) = d(xn2, xn). Repitiendo este procedimien-to obtenemos una sucesion (xn)n1 que tiene a (xnk)k1 como una desus sucesiones. Veamos que (xn)n1 es de Cauchy en M. Sean > 0y N 1 tal que para todo n, m, nk, n N valen las desigualdadesdH(Rn, Rm) < /3 y d(xnk , xn) < /3. Cualesquiera sean n, m Nseleccionamos k, 1 tales que xnk1 < xnxnk y xn1 < xmxn .Entonces tenemos

d(xn, xm) d(xn, xnk) + d(xnk , xn) + d(xn , xm)

= d(xnk , Rn) + d(xnk , xn) + d(xn , Rm) dH(Rnk , Rn) + d(xnk , xn) + dH(Rn , Rm)< .

De esta forma x R. Mostremos ahora que R es cerrado, y por tantocompleto pues M lo es. Sean (yn)n1 una sucesion en R y z M deforma queyn z; veamos quezR. Para cadak1 escojamosnk1(n1 < n2


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sigue que sik y son grandes, entoncesd(znk , zn)< ; lo cual demuestra

la acotacion total de R. Etapa 3: Rn R enC(M).Debemos mostrar que para cada > 0 existe un entero N 1 tal quedH(Rn, R) para todo n N. Obviamente esto equivale a verificarque para todo nsuficientemente grande valen:

RRn+ y RnR+ .Sabemos que la primera de estas inclusiones se cumple. Sea > 0,luego existe un entero N 1 tal que para todo n, m N se tienedH(Rm, Rn)/4; en particular, RnRm+/4 para todo m, nN.Fijemosn

Ny tomemos y

Rn. Procediendo como antes, escogemos

enterosn < N1< N2 0 y{x1, , xn} = B M talesque{Bo(xi, ) :i = 1, , n}cubre aM. SeaB la coleccion de todos lossubconjuntos no vacos de B, obviamenteB es finito. Ahora tomemoscualquier R C(M), y a cada punto r R le asociamos (r) B talque d(r, (r)) < ; con ello hemos definido una funcion : R B demanera que su imagen, (R), es un conjunto compacto no vaco de M

(pertenece aB) que satisfaceDd(R, (R))< y Dd((R), R)< .


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Esto demuestra que dH(R, (R))< , con lo cual

B define una -red en

C(M), y por tanto (C(M), dH) es totalmente acotado.Ejemplo1.16 (Conjunto ternario de Cantor). ConsideremosM= [0, 1]con la metrica euclidiana yC(M) con la metrica de Hausdorff; por tantoC(M) es completo y compacto. Sea R1 = I0I1, donde I0 = [0, 1/3]e I1 = [2/3, 1]. Cada Ij (j = 0, 1) lo dividimos en 3 intervalos iguales,y sustraemos el intervalo abierto central, obteniendo de esta forma unconjunto R2 = I00I01I10I11, siendo que Iij Ii cualesquierasean i, j = 0, 1. Procediendo recursivamente se construye una sucesionde compactos (Rn)n1 enC(M); cada compacto Rn es la union de 2nintervalos compactos Ii1in , con ij {0, 1} para todo j = 1, , n;ademas,Ii1

in

Ii1

in1 y la longitud de cada Ii1

in es 3

n.

I1I0

I10 I11I00 I01

...

Figura 1.3: Ilustracion de los compactos R1 y R2

Dado que Rn+1 Rn para todo n 1, entonces Dd(Rn+1, Rn) =0. Por otra parte, es simple verificar que Dd(Rn, Rn+1) = (1/2)3

n,cualquiera sean1. Esto implica que (Rn)n1 es de Cauchy, por tantoexiste R C(M) tal que Rn R.

Debido a la construccion de los compactos Rn, y la definicion dellmite de una sucesion de Cauchy enC(M), ver Teorema 1.8, sigue queR es un conjunto perfecto. Este conjunto lmite es en cierta forma pa-radigmatico en la Matematica, es conocido como conjunto de Cantorternario, en honor al matematico aleman Georg Cantor (1845-1918),quien lo construyo en 1883. Como veremos adelante, este conjunto deCantor es homeomorfo a un espacio de smbolo, en consecuencia es unconjunto de Cantor, y homeomorfo a cualquier espacio metrico con estastres propiedades.

Proposicion 1.15. En todo espacio metrico(M, d) con clase compactaC(M) se cumplen:


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40 Neptal Romero

(a) SiR1, , Rn, S1, , Sn C(M), entoncesdH(R1 Rn, S1 Sn)max{dH(Ri, Si) :i = 1, , n}.

(b) Si es una metrica enM tal que, para0< se tiened(x, y)(x, y)d(x, y), para todo x, yM,

entonces la metrica de HausdorffH cumple

dH(R, T)H(R, T)dH(R, T), para todo R, T C(M),

Demostracion. Verificaremos (a), los detalles restantes son del lector; dehecho mostraremos la propiedad paran= 2, el resto sigue por induccion.

ConsideremosR1, R2, S1, S2 C(M), entonces tenemosdH(R1R2, S1S2) = max{Dd(R1R2, S1S2), Dd(S1S2, R1R2)}.Analicemos en primer lugar el valor de Dd(R1 R2, S1 S2). Por defi-nicion: Dd(R1 R2, S1 S2) = max{d(x, S1 S2) : x R1 R2}. Enconocimiento de: sup(AB) = max{sup(A), sup(B)}, cualesquiera seanlos subconjuntos A, B de R, y de la parte (a), sigue que

Dd(R1 R2, S1 S2)max{Dd(R1, S1), Dd(R2, S2)}.De la misma forma tenemos

Dd(S1 S2, R1 R2)max{Dd(S1, R1), Dd(S2, R2)}.De estas desigualdades junto con la identidad

max{max{a, b}, max{c, d}} = max{max{a, c}, max{b, d}},cualesquiera sean los numeros reales a, b, c, d, tenemos:

dH(R1 R2, S1 S2) max{max{Dd(R1, S1), Dd(R2, S2)},max{Dd(S1, R1), Dd(S2, R2)}}

= max{max{Dd(R1, S1), Dd(S1, R1)},max{Dd(R2, S2), Dd(S2, R2)}}

= max{dH(R1, S1), dH(R2, S2)}.Lo cual demuestra (b).


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Preliminares 41

1.9. Ejercicios

1. Cuales de las siguientes funciones definen metricas en los conjuntosque se indican?

a) M= R;d(x, y) =|x y|, con >0 fijo.b) M= R;d(x, y) =|x3 y3|.c) M= R;d(x, y) =|xy|.d) M=Rn (n >1); d((x1, , xn), (y1, , yn)) =|xk yk|, para

cualquierk fijo.

2. Sead una metrica en M. Demostrar qued1(x, y) = d(x, y)

1 + d(x, y)define

una metrica en M. Son equivalentes d y d1?

3. Sea b(R) el conjunto de todas las sucesiones acotadas de numerosreales. Demostrar qued((xn)n0, (yn)n0) = sup{|xn yn|: n 0}define una metrica en b(R).

4. Sea s(R) el conjunto de todas las sucesiones en R. Demostrar que

ds((xn)n0, (yn)n0) =n0

|xn yn|1 + |xn yn| define una metrica en s(R).

Son d yds equivalentes en b(R).?

5. Sea (M, d) un espacio metrico. Demostrar que si toda bola cerrada

en (M, d) es un conjunto compacto, entonces (M, d) es completo.

6. Sean (M, d) un espacio metrico y{K} una familia de compactosenM. Demostrar que

K es compacta.

7. Sean (M, d) un espacio metrico y (Kn)n0 una sucesion de compac-tos en M tal que Kn+1 Kn para todo n 0. Demostrar que elcompacto

n0 Kn es no vaco.

8. Sean (M, d) un espacio metrico, K M un conjunto compacto novaco y xM\ K. Demostrar que existen abiertos disjuntos U y Vtales que x

U y K

V.

9. Es la acotacion y acotacion total preservada por funciones continuasentre espacios metricos?


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42 Neptal Romero

10. Si f :M Nes un homeomorfismo, entonces para todo AM setiene que M\ A y N\ f(A) son homeomorfos.Deducir que la circunferencia S1 ={(x, y) : x2 +y2 = 1} no eshomeomorfa a ningun subconjunto de R.

11. Si para cada par de puntos x, yMexiste un Ax,y Mconexo talquex, yAx,y, demostrar que Mes conexo.

12. Si M =

n0 An, donde cada An es conexo y An An+1= paratodon 0, demostrar que Xes conexo.

13. Sea (M, d) un espacio metrico, se dice que A M es conexo porcaminossi para cada par de puntos x, y A existe un camino en Aque los une; es decir, existe una funcion continua f : [0, 1] A talquef(0) =x y f(1) =y; fes llamada un camino de x ay.

a) Demostrar que si existe un camino de x a y, entonces existe unode y a x.

b) Demostrar que si existe un camino de x a y y otro de y a z,entonces existe uno de xa z .

c) Demostrar que todo conjunto conexo por caminos es conexo.

14. Sean d y d dos metricas en M, dH y dH las metricas de Hausdorffcorrespondientes. Si 0 < a b son tales que para todo x, y Mse cumple a d(x, y) d(x, y) b d(x, y), demostrar que para todoR, S C(M) vale a dH(R, S)dH(R, S)b dH(R, S)

15. Determine las distancias de Hausdorff de los conjuntosA y B que semuestran en cada caso en la figura 1.4.

16. Sea (M, d) un espacio metrico completo y (An)n0 una sucesion decompactos no vacos en M tales que An An+1 para todo n 0.Demostrar que (An)n0 es de Cauchy enC (M) con la metrica deHausdorff; ademas, la clausura de

n0 Anesta contenida en el lmite

(en dH) de (An)n0.

17. Sean (M, d) un espacio metrico completo y C(M) dotado con la metri-ca de Hausdorff. Demostrar que el conjuntoM ={{x} :xM} escerrado enC(M) e isometrico a M.


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Preliminares 43

2

B

A B

A

A

B B

A

1 4

1

1 1

Figura 1.4: Los numeros 1, 2 y 4 indican longitudes

18. ConsidereRcon la metrica euclidiana.

a) FijadoR, demostrar que la funcionf: [0, 1] C(R) definidapor f(x) = [, + x], es continua.

b) FijadoA C(R), demostrar que para cualquier a >0 el conjuntoxA[x, x + a] es compacto en R.

c) Dados A C(R) y >0, demostrar la continuidad de la funcionfA: [0, ] C(R) dada por fA(a) =

xA[x, x + a].

d) Demostrar si A C(R) y es suficientemente grande, entoncesxA[x, x + ] es un intervalo cerrado.

e) Usar las propiedades anteriores para demostrar que C(R) es conexopor caminos.

Nota.Es cierto que si (M, d) es conexo, entonces (

C(M), dH) tambien

lo es. Su demostracion es un tanto mas complicada que las propieda-des que hemos expuesto para el espacio (C(M), dH).


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44 Neptal Romero

19. ConsidereQ = [0, 1] [0, 1] con la metrica euclidiana. Divida la basede Q en tres partes iguales, y la altura en cuatro partes iguales;se obtienen doce rectangulos. Retire de esta division los rectangulosabiertos blancos del dibujo. LlameF1el compacto que resulta. Repitael proceso indefinidamente; esto es, a cada subrectangulo resultanteen cada paso, divida su base en tres partes iguales y su altura encuatro partes iguales. Denote por Fn el compacto obtenido en cadapaso. Demostrar que (Fn)n1 es de Cauchy enC(Q) con la metricade Hausdorff. Sea = lmn Fn; demostrar que =

n Fn. Es

un conjunto de Cantor; es decir, compacto, perfecto y totalmentedisconexo? Que area ocupa en Q?

Q1

Q2 Q3

Q4

Q5 Q6

Figura 1.5: Primera etapa del proceso F1 = Q1 Q6


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Captulo 2

SISTEMAS ITERADOS DE

FUNCIONES

2.1. Definicion

No existe consenso en la denominacion en castellano para los objetosmatematicos que en ingles se designan porIterated Function Systems, seemplean los calificativos: sistemas iterados de funciones, sistemas itera-tivos de funciones o sistemas de funciones iteradas. Nos inclinamos porla primera de ellas. Es un deber mencionar que la definici on de sistema

iterado de funciones puede ser presentada en contextos bastante masgenerales y abstractos al que tratamos en estas notas.Los sistemas iterados de funciones tienen su genesis en el artculo [16]

de J. Hutchinson, no obstante el termino Iterated Function System fueintroducido por M. Barnsley y S. Demko en [7]. Resulta curioso que apesar de la importancia que tienen en la actualidad los objetos fracta-les, sean pocos los mecanismos conocidos para generarlos. Los sistemasiterados de funciones constituyen una moderna herramienta para ello.

Definicion 2.1. Un sistema iterado de funciones (SIF) en el espa-cio metrico completo (M, d) es cualquier coleccion finita de funcionesf1, , fn : M M para las cuales existen constantes C 1 y0<


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para cada i {1, , n},

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