MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

ING. LEODAN HIGINIO CONDORI QUISPE

LA MEDIA PONDERADA

DEFINICIÓN

Es un estadígrafo que consiste en

determinar el promedio cuando las

datos o frecuencias poseen su

respectivo peso o ponderado.

Este estadígrafo se aplica cuando

prevalece cierto peso o

importancia 𝑊𝑖 en los datos 𝑓𝑖

en estudio

FÓRMULA

La Media Ponderada se determinaaplicando la siguiente fórmula:

𝑋𝑝 =

Donde:

𝑓𝑖 son las frecuencias o datos

𝑊𝑖 son los pesos o ponderados de cada 𝑓𝑖

𝑛 es el número total de datos

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖 ∗ 𝑊𝑖

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖

LA MEDIA PONDERADA - EJERCICIO DE APLICACIÓN 1

En un instituto superior trabajan 10 docentes nombrados y 40 docentes contratados. El

sueldo promedio por hora de los docentes nombrados es de S/.30 y el de los contratados es

de S/.25. ¿Cuál es el sueldo promedio por hora de todos los docentes?

SOLUCIÓN1. Identificando las frecuencias y los pesos (por su importancia)

2. Reemplazando el la fórmula:

Interpretación: El sueldo promedio por hora de los 50 docentes que trabajan en un institutosuperior es de S/.26

DocentesFrecuencias

𝒇𝒊

Peso

𝑾𝒊Nombrados 10 30

Contratados 40 25

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖 ∗ 𝑊𝑖

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖

𝑋𝑝 = =10 ∗ 30 + 40 ∗ 25

10 + 40=1300

50= 26

LA MEDIA PONDERADA - EJERCICIO DE APLICACIÓN 2

Se sabe que en el examen parcial de Estadística I, la calificación promedio de los estudiantes

de Enfermería y nutrición son 16 y 12 respectivamente. Si el programa de enfermería tiene 25

estudiantes y el de nutrición 70. ¿Cuál será la calificación promedio en dicho curso?

SOLUCIÓN1. Identificando las frecuencias y los pesos (por su importancia)

2. Reemplazando el la fórmula:

Interpretación: La calificación promedio en el examen parcial de Estadística I en los programasde Enfermería y Nutrición es de 13.05 puntos

ProgramasFrecuencias

𝒇𝒊

Peso

𝑾𝒊Enfermería 25 16

Nutrición 70 12

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖 ∗ 𝑊𝑖

𝑖=1

𝑛

𝑓𝑖

𝑋𝑝 = =25 ∗ 16 + 70 ∗ 12

25 + 70=1240

95= 13.05

LA MEDIA GEOMÉTRICA

DEFINICIÓN

Es un estadígrafo que permite

determinar el promedio de tasas o

índices de crecimiento y cambios

porcentuales promedio de una

serie de números positivos dadas

en el tiempo. Se aplica

generalmente en el ámbito de los

negocios y la economía, así como

en la demografía

FÓRMULA

La Media Geométrica se determina

aplicando una de las siguientes fórmulas:

𝑋𝑔 =𝑛 𝑋1 ∗ 𝑋2 ∗ 𝑋3 ∗ ⋯∗ 𝑋𝑛

ó

𝑋𝑔 = 𝑎𝑛𝑡𝑖 log

𝑖=1

𝑛

log 𝑋𝑖 𝑛

Donde:

𝑋𝑖 son las tasas o datos porcentuales

𝑛 es el número total de datos

LA MEDIA GEOMÉTRICA - EJERCICIO DE APLICACIÓN 1

El gerente general de una empresa desea determinar la tasa de crecimiento promedio de los

ingresos con base a las cifras dadas en la tabla. Si la tasa de crecimiento promedio es menor

que el promedio industrial del 10%, se comenzará una nueva campaña publicitaria.

SOLUCIÓN1. Determinando la tasa de crecimiento con respecto al año anterior

2. Reemplazando el la fórmula:

Interpretación: La tasa de crecimiento promedio anual de ingreso es del 11.79%, por lo tantono es necesario realizar una nueva campaña publicitaria

Año Ingreso ($) Tasa de crecimiento (dato porcentual)

2009 50,000 -------------------------

2010 55,000 55,000/50,000 = 1,10

2011 66,000 66,000/55,000 = 1.20

2012 60,000 60,000/66,00 = 0.91

2013 78,000 78,000/60,000 = 1.30

𝑋𝑔 =𝑛 𝑋1 ∗ 𝑋2 ∗ 𝑋3 ∗ ⋯∗ 𝑋𝑛 =

41.10 ∗ 1.20 ∗ 0.91 ∗ 1.30 = 1.1179

⇨ ( 𝑋𝑔 −1) ∗ 100 = 11.79%

Año 2009 2010 2011 2012 2013

Ingreso 50,000 55,000 66,000 60,000 78,000

LA MEDIA GEOMÉTRICA - EJERCICIO DE APLICACIÓN 2

Suponga que una fábrica ha experimentado un incremento de su producción del 15% en2011, 10% en 2012 y 16% en 2013. Hallar el promedio de crecimiento anual

SOLUCIÓN

Nota: En el enunciado ya se tiene los datos porcentuales por año y no se menciona la tasa de crecimiento

1. Reemplazando el la fórmula:

Interpretación: El promedio de crecimiento anual de la producción de una fábrica es del13.39%

𝑋𝑔 =𝑛 𝑋1 ∗ 𝑋2 ∗ 𝑋3 ∗ ⋯∗ 𝑋𝑛 =

315 ∗ 10 ∗ 16 = 13.39

LA MEDIA ARMÓNICA

Es el estadígrafo que permite determinar conmayor precisión el promedio de las razones odatos cuyas unidades de medición provienende dos variables tales como km/galón,km/hora, costo/km y otras dimensionesfísicas.

DATOS NO AGRUPADOS

La media armónica en datos noagrupados se calcula aplicando lasiguiente fórmula:

𝑋𝑎 =𝑛

Donde:

𝑛 es el número total de datos

𝑋𝑖 son las observaciones o datos queresultan de la medición de dos variables(km/hora)

DATOS AGRUPADOS

La media armónica en datos agrupadosse determina empleando la siguientefórmula:

𝑋𝑎 =𝑛

Donde:

𝑛 es el número total de datos

𝑓𝑖 son las frecuencias absolutas simple

𝑋𝑖 son las marcas de clase o valores delas categorías si no existe intervalos declase

𝑖=1

𝑘𝑓𝑖𝑋𝑖

𝑖=1

𝑛1

𝑋𝑖

LA MEDIA ARMÓNICA - EJERCICIO DE APLICACIÓN 1

Una persona conduciendo su automóvil recorre los primeros 10 km. a 60 km/hora y lossiguientes 10 km. a 70 km/hora. Calcule la velocidad promedio

SOLUCIÓN

1. Determinaremos las observaciones y el valor de n:Los primeros 10 km recorre a 60 km/hora⇨ 𝑋1 = 60 𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎Los siguientes 10 km recorre a 70 km/hora⇨ 𝑋2 = 70 𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎En total se ha determinado dos observaciones⇨ 𝑛 = 2

2. Reemplazaremos en la siguiente fórmula:

Interpretación: La velocidad promedio de recorrido de un automóvil en los 20 km es de 64.6km/hora

𝑖=1

𝑛1

𝑋𝑖

𝑋𝑎 =𝑛=2

160+170

=2

0.030952= 64.6 𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎

LA MEDIA ARMÓNICA - EJERCICIO DE APLICACIÓN 2

Una empresa de transportes invierte $400 en latas de aceite que cuestan $10 la docena; $500en latas que cuestan $12.5 la docena; $600 en latas que cuestan $20 la docena y $300 enotras que cuestan $25 la docena. Calcule el costo promedio por docena de las latas de aceite

SOLUCIÓN

1. Determinaremos las observaciones y el valor de n:Los primeros 10 km recorre a 60 km/hora⇨ 𝑋1 = 60 𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎Los siguientes 10 km recorre a 70 km/hora⇨ 𝑋2 = 70 𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎En total se ha determinado dos observaciones⇨ 𝑛 = 2

2. Reemplazaremos en la siguiente fórmula:

Interpretación: La velocidad promedio de recorrido de un automóvil en los 20 km es de 64.6km/hora

𝑖=1

𝑛1

𝑋𝑖

𝑋𝑎 =𝑛=2

160+170

=2

0.030952= 64.6 𝑘𝑚/ℎ𝑜𝑟𝑎