MEDIDAS D

E TENDENCIA

CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central usadas son tres:

La media X

La mediana Me

La moda Mo

LA MEDIA

La media, llamada también media aritmética, es la medida de tendencia central conocida popularmente como “promedio”.

La media se puede calcular sumando todos los valores del conjunto de datos y dividiéndolos entre la cantidad de datos.

X= Suma de los datos o Cantidad de datos

LA MEDIA

Ejemplo: si tenemos los siguientes datos no agrupados:2, 2,3,5,4,1,3,4,3,4,2,3. la media será calculada así:

X =2+2+3+5+4+1+3+4+3+4+2+3 = 36 = 3 12 12

La media para el conjunto de datos es 3

LA MEDIA

Ejemplo: si tenemos los datos agrupados en una tabla de frecuencias:

LA MEDIA

La media se podrá calcular realizando una nueva columna, la columna x*f ( multiplicamos cada dato (x) por su respectiva frecuencia (f)).

x*f

420420

320320

585585

550550

880880

600600

715715

10501050

10501050

400400

65706570 Suma de todos los valores de la columna

x=6570 = 57,1

115 .

La media para el conjunto es 57,1

n = 115

LA MEDIA

Ejemplo ( datos agrupados para una variable continua) La variable continua realiza una agrupación de los datos en intervalos. Dada la siguiente tabla de frecuencias

LA MEDIA

La media se podrá calcular realizando dos nuevas columnas . La columna del punto medio del intervalo xi y la columna xi *f ( multiplicamos cada punto medio (x) por su respectiva frecuencia (f)).

Suma de todos los valores de la columna

x = 3530 = 50,4

70 . La media para el conjunto es 50,4 n= 70

Donde cada punto medio se obtiene sumando los extremos y dividiendo por 2. Así:35 +40 = 75 = 37,5 2 240 +45 = 85 = 42,5 etc, 2 2

Entonces calculamos la media

LA MEDIANALa mediana es la medida de tendencia central que se define como aquel valor que tiene, dentro de un conjunto de datos ordenados, antes y después de él, el mismo número de datos . En otras palabras, es el dato que está a la mitad, es el dato que divide en dos partes iguales a un conjunto de datos ordenados.

•Por ejemplo, del conjunto de 15 datos (numero impar de datos)

3, 3, 3, 4, 5, 5, 5,, 55, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9

El cinco remarcado en rojo y subrayado es el que está a la mitad del conjunto ordenado, ya que antes de él existen 7 datos y después de él también.

Así que: Me= 5

•En el caso de tener un numero de datos par , se escogen los dos datos centrales los cuales dividen el conjunto en dos partes iguales y se promedian

1, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5,, 55, 66, 6, 6, 7, 7,8, 9, 9 ,9,9

Por tanto, Me= 5+6 = 5,5 ( suman los dos datos centrales y se divide entre 2) 2

7 datos 7 datos

9 datos9 datos

LA MEDIANACalculemos la mediana para un conjunto de datos agrupados en la siguiente tabla de frecuencias

LA MEDIANALa mediana podrá calcularse si hacemos una nueva columna. F de frecuencias acumuladas

F

1212

2020

3333

4444

6060

7070

8181

9696

110110

115115

Frecuencias acumuladas

Las frecuencias acumuladas se obtienenSumando así:F1 = f1= 12F2= f1+f2 = 12 + 8 = 20F3 = f1+f2+f3 = 12+8+13 = 33F4 = f1+f2+f3+f4 = 12+8+13+11 = 44. . .. . .. . .F9= f1+f2+f3+f4+…+f8+f9 = 12+8+13+11+… + 11+15+14+5 = 115

LA MEDIANACuando tengamos la columna F de frecuencias acumuladas

F

1212

2020

3333

4444

6060

7070

8181

9696

110110

115115

En la mediana debemos considerar la cantidad de datos para encontrar el valor o valores centrales, los cuales dividen el conjunto de datos en dos partes iguales.

La cantidad de datos puede ser: un número par o un número impar de datos.

•Si la cantidad de datos es impar entonces la mediana será el valor que ocupa exactamente la mitad , esto es el que ocupa la posiciónP= n+1 n es el numero de datos 2

•Si la cantidad de datos es par entonces la mediana será el promedio de los dos valores que ocupan exactamente la mitad , esto es los que ocupa n la posición P= n y P= n+1 2 2Es decir el dato de la mitad y el siguiente.

LA MEDIANAVolvamos a nuestro ejemplo

F

1212

2020

3333

4444

6060

7070

8181

9696

110110

115115

La cantidad de datos es un número impar.

la mediana será el valor que ocupa exactamente la mitad , esto es el que ocupa la posiciónP= n+1 , n es el numero de datos 2

P= 115 +1 = 116 = 58 2 2

P es la posición del dato donde se encuentra la mediana, es decir el dato numero 58, El cual se encuentra en la fila donde esta el 60 escrito en rojo en la columna de frecuencia acumulada F. Tenga en cuenta que los datos que tienen valor 55 van desde la posición 45 hasta la posición 60.

Luego, Me = 55.

Me

LA MEDIANA Ahora supongamos que en nuestro ejemplo hay un numero par de datos

F

1212

2020

3535

4444

6060

7070

La cantidad de datos es un número par.

la mediana será n los valor es que ocupan exactamente la mitad , esto es el que ocupa la posiciónP= n y P = n+1 es decir, 2 2

P= 70 = 35 y P = 36 2

P es la posición del dato donde se encuentra la mediana, es decir, será el promedio de los dos valores que ocupan exactamente la mitad los datos , los de la posición número 35 y 36

El cual se encuentra en la fila donde esta el 35 y el 44 escrito en rojo en la columna de frecuencia acumulada F. Tenga en cuenta que el dato que esta la posición 35 tienen valor 45 y el dato de la posición 36 tiene valor 50.

Luego, Me = 45+50 = 95 = 47,5

2 2

LA MODA

La moda es la medida de tendencia central que se define como aquel valor que tiene la frecuencia mayor. Por lo tanto, una distribución de frecuencias puede tener más de una moda o inclusive, no tener moda cuando todos los datos tienen frecuencia 1.

Cuando los datos recolectados han sido organizados en una tabla de frecuencias simples, la moda se obtiene buscando en la columna de frecuencias el o los valores que tengan mayor frecuencia. Es exactamente lo mismo cuando están organizados por intervalos.

La moda se simboliza con sus dos primeras iniciales: Mo

LA MODA

MoLa moda esta en este intervalo Mo

Mo= 57,5

Mo = 55 La moda es el punto medio del intervalo modal