Medidas de tendencia central

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ESCUELA NACIONAL DE CIENCIAS COMERCIALESADSCRITA AL INEB “FRANCISCO MARROQUÍN”MORALES, IZABAL, GUATEMALA, C. A.

Documento de apoyo al estudianteEstadística Comercial

1) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1.1) MEDIA ARITMÉTICA

1.1.1) MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE

El proceso que debe seguirse en la aplicación, será:a) sume todos los valores observados.b) divida el resultado anterior entre el número de observaciones.

Las medidas de posición, generalmente denominadas promedios, son considerados como medidas destinadas a reducir el conjunto de datos de una característica observada o investigada a un sólo número representativo. Se puede decir también que el resultado de las medidas sólo pretende explicar mediante un valor típico un conjunto de datos.

Frecuentemente se omite la calificación de aritmética, de modo que sólo se menciona la palabra media, Es la medida más utilizada, la más conocida, la más fácil de calcular. Se simboliza indistintamente empleando una rayita sobre la letra que indica la variable x o y, con minúscula para indicar el estimador y con mayúscula para el parámetro.

Otra forma de simbolizar la media es utilizando la letra M (mayúscula) colocando como subíndice y entre paréntesis la letra que identifica la variable: M

(x); M

(y); M

(z); también algunos

utilizan la a (minúscula). En poblaciones, como parámetro, es empleada con mucha frecuencia la letra griega miu o mu (μ).

La media de un conjunto de valores x1, x

2, x

3, ..., x

n, es la suma de los mismos, dividida entre

el número total de observaciones que se consideran. Observemos que esta fórmula matemática es simplemente un conjunto de instrucciones. En este caso, se están impartiendo instrucciones.

(x , y )

Algunos la denominan como media no ponderada, y se obtiene dividiendo la suma de todos los valores que toma la variable, entre el número de observaciones.

La anterior fórmula denominada por algunos como media simple o no ponderada, se utiliza cuando los datos están sin agrupar, es decir, se trabaja con los datos originales provenientes del instrumento de recolección utilizado, sin que se haya iniciado el proceso de concentración, tabulación o elaboración de cuadros o tablas.

(x)


Ejemplo.Si se utiliza una escala de 0 a 10 y las calificaciones obtenidas por un alumno son:6, 8, 6, 10 y 5 ¿Cuál es el promedio?

1.1.2) MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Fórmulas=

suma de los productosnúmero de observaciones

Ahora aplicaremos las dos fórmulas en variablesdiscretas y continuas. Para ello tomaremos comobase las tablas de frecuencia del ejercicio ejemploque tienes en tus notas anteriores.

Cálculo de la media aritmética ponderada en variable discreta.Ejercicio ejemplo.

0 3 0 0.06000 0.000001 7 7 0.14000 0.140002 10 20 0.20000 0.400003 15 45 0.30000 0.900004 8 32 0.16000 0.640005 5 25 0.10000 0.500006 2 12 0.04000 0.24000Σ 50 141 1 2.82000

Xi fi Xifi fi / n xi(fi / n)

X̄=6+ 8+ 6+ 10+ 5

5

X̄=355

= 7

Se aplica cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias. El término ponderación se da a la importancia que tiene cada valor de la variable dentro del conjunto, y corresponde a la frecuencia absoluta o relativa, siendo su mayor importancia cuando mayor sea el valor de la frecuencia. La fórmula es casi igual a la anterior, sólo que en este caso se multiplica cada valor de la variable por su respectiva frecuencia.

X̄=∑ x i f i

n

X̄=∑ x i

n

X̄= ∑ x i( f i

n )

X̄=∑ x i f i

n=

14150

= 2.82

X̄= ∑ x i( f i

n ) = 2.82


Cálculo de la media aritmética ponderada en variable continua

Ejercicio ejemplo

INTERVALOS

33.01 38 3 35.5 106.50 0.06000 2.1300038.01 43 5 40.5 202.50 0.10000 4.0500043.01 48 7 45.5 318.50 0.14000 6.3700048.01 53 9 50.5 454.50 0.18000 9.0900053.01 58 15 55.5 832.50 0.30000 16.6500058.01 63 9 60.5 544.50 0.18000 10.8900063.01 68 2 65.5 131.00 0.04000 2.62000

Σ 50 - 2590 1 51.80000

1.2) MEDIANA (Me)

1.2.1) CÁLCULO DE LA MEDIANA EN DATOS NO AGRUPADOS

1.2.2) CÁLCULO DE LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS

fi

Xi

Xif

if

i / n X

i(f

i / n)

1.2.1.1) Número Impar de observaciones

1.2.1.2) Número par de observaciones

X̄=∑ x i f i

n=

259050

= 51.8 X̄= ∑ x i( f i

n ) = 51.8

Es el valor de la variable que divide la frecuencia total en dos partes iguales, es decir, aquel valor de la variable que supera y a la vez es superado por más de la mitad de las observaciones en un conjunto ordenado. La mediana es un valor central.

Veamos su aplicación en cada caso particular.

Para el cálculo de la mediana, cuando los datos no están agrupados en una tabla de frecuencias, debe tomarse en cuenta si el número de observaciones es impar o par. Para cada caso utilizaremos este procedimiento.

a) se ordenan los datos ascendentemente o descendentemente.b) se determina el valor central, ya sea mediante la observación directa de los datos o a través de la aplicación de la fórmula: (n+1)/2. El resultado nos señala el número de la observación en que se localiza la mediana. Ejemplo.

Si solo se dispone de un número impar de datos, la mediana estará localizada en el centro. Consideremos nuevamente los valores: 6, 8, 6, 10 y 5. Se ha dicho que primero los ordenamos ascendentemente o descendentemente: 5, 6, 6, 8, 10. Observemos que uno de los seis ocupa el centro; por lo tanto, a ese valor le corresponde la mediana. Me = 6.

En el mismo ejercicio podemos calcular la mediana aplicando la fórmula (n+1)/2 = (5+1)/2 = 3, lo cual indica que la mediana está localizada en el tercer dato de la variable ordenada.

Si disponemos de un conjunto par de datos, se toma convencionalmente la mediana, a la media de las dos observaciones centrales. Si estos dos valores son iguales, se tomará uno de ellos. Con los datos: 6, 8, 6, 10, 5, 10, los ordenamos ascendentemente o descendentemente: 5, 6, 6, 8, 10, 10. La mediana será el promedio entre la tercera y la cuarta observación obtenida de la siguiente manera: (6+1)/2 = 3.5, es decir, que promediamos (6+8)/2 = 7.

Este será el valor de la mediana: Me = 7

Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe establecerse si la variable es discreta o continua; luego, miraremos si al dividir entre dos el total de observaciones el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Se nos presentan dos situaciones. En cada caso debe aplicarse una fórmula diferente, con base en las siguientes recomendaciones:

a) Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas.b) Divide entre 2 el total de observaciones: n/2.c) El resultado anterior lo buscas en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.

Al respecto recordar que se presentan dos situaciones: la primera, cuando el valor puede observarse; dicho valor lo simbolizaremos por N

i-1 y al inmediatamente superior en valor por

Ni por lo cual se dice que N

i-1 = n/2.

La segunda situación se da cuando el valor no se observa en dicha columna; en este caso Ni-1

corresponderá al valor inmediatamente inferior a n/2 y N

i al inmediatamente superior en valor

y se dirá que Ni-1

<n/2. Además, la fórmula que debe aplicarse es diferente al tipo de variable, (discreta o continua).


Mediana en datos agrupados. Variable Discreta.Ejercicio ejemplo.

0 3 31 7 10

2 15 25

3 10 354 8 435 5 486 2 50Σ 50

Mediana en datos agrupados. Variable Discreta.Ejercicio ejemplo.

0 3 31 7 10

2 10 20

3 15 354 8 435 5 486 2 50Σ 50

Xi fi Ni

Xi-1

Ni-1

xi

Ni

Xi fi Ni

Ni-1

xi

Ni

Cuando trabajamos con tablas de frecuencias, debe establecerse si la variable es discreta o continua; luego, miraremos si al dividir entre dos el total de observaciones el valor se encuentra en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Se nos presentan dos situaciones. En cada caso debe aplicarse una fórmula diferente, con base en las siguientes recomendaciones:

a) Se obtienen las frecuencias absolutas acumuladas.b) Divide entre 2 el total de observaciones: n/2.c) El resultado anterior lo buscas en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas.

Al respecto recordar que se presentan dos situaciones: la primera, cuando el valor puede observarse; dicho valor lo simbolizaremos por N

i-1 y al inmediatamente superior en valor por

Ni por lo cual se dice que N

i-1 = n/2.




y se dirá que Ni-1





y se dirá que Ni-1


(1) Aparece en la columna de las frecuencias absolutas el valor obtenido al calcular n/2 = 25; por lo tanto, se dirá que N

i-1 = n/2. En este caso la fórmula que debe utilizarse es:

Me =X i−1+ X i

2Me =

2+32

= 2.5

Como en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas no aparece el valor 25, consideremos como N

i-1 a 20, es decir, el valor inmediatamente inferior, y como N

i al

inmediatamente superior a 25, o sea, 35. Se dirá en este caso Ni-1

<n/2, y la fórmula a utilizar será: Me = X

i Me = 3


Mediana en datos agrupados. Variable Continua.Ejercicio ejemplo.

INTERVALOS

33.01 38 3 338.01 43 5 843.01 48 7 15

48.01 53 10 25

53.01 58 15 4058.01 63 9 4963.01 68 1 50

Σ 50

Mediana en datos agrupados. Variable Continua.Ejercicio ejemplo.

INTERVALOS

33.01 38 3 338.01 43 5 843.01 48 7 15

48.01 53 9 24

53.01 58 15 3958.01 63 9 4863.01 68 2 50

Σ 50

1.3) MODA

fi Ni

Ni-1

xi

Ni

fi Ni

Ni-1

xi

Ni

Procedimiento (1) Localiza el valor de n/2 = 25 en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. N

i-1 = n/2 La fórmula que debe aplicarse será. Me = X

i Me = 53

Procedimiento (2) En este caso, el valor 25 no se encuentra en la columna, por lo tanto, se dirá que N

i-1<n/2 Para su cálculo se aplicará la siguiente fórmula:

Me = X i + c

n2

− N i−1

f i

Me = 53 + 5

502

− 24

15

f i

Me = 53 + 525−24

15

Me = 53 + 5115

Me = 53 + 5 (0.06667 )

Me = 53 + 0.33335

Me = 53.33

Es una medida de posición, definida como el valor de la variable que más se repite, es decir que tiene la máxima frecuencia de la distribución. Se simboliza por Md. Md = X

i


1.3.1) APLICACIÓN DE LA MODA EN DATOS SIN AGRUPAR

1.3.2) APLICACIÓN DE LA MODA EN DATOS AGRUPADOS

Moda en datos agrupados. Variable Discreta

Ejercicio ejemplo.

0 31 72 10

3 154 8

5 5

6 2Σ 50

Moda en datos agrupados. Variable Continua

Ejercicio ejemplo.

35.5 3

40.5 545.5 750.5 9

55.5 1560.5 965.5 2

Σ 50

Xi fi

Md

Xi

Md = X

i

Md = 3

Xi

fi

Md = X

i

Md = 55.5

Md

Xi

Apliquemos la moda en los datos siguientes: 6, 8, 6, 10, 5. Observamos que el 6 es el valor de la variable que más se repite, por lo tanto: Md = 6.

Consideremos otro conjunto de 6 observaciones, cuyos valores son: 6, 8, 6, 10, 5, 10. Se presentan dos valores de la variable con igual número de repeticiones, 6 y 10. En este caso existen dos modas, por lo tanto la distribución es bimodal.

Cuando ningún valor se repite más de una vez, puede afirmarse que no hay moda. Si un solo valor de la variable se repite más veces que los demás, será unimodal; si encontramos más de dos modas la distribución será plurimodal.

Así como se calculó la moda, en datos no agrupados, en una forma simple e inmediata, casi por simple observación y sin fórmula alguna, podemos proceder igual en datos agrupados, tanto para la variable discreta como para la continua. En esta última debe calcularse utilizando las marcas de clase y sólo cuando la amplitud del intervalo sea constante; cuando no lo sea, es preferible aplicar un procedimiento distinto. Md = X

i


1.4.1) APLICACIÓN DE LA MEDIA GEOMÉTRICA EN DATOS NO AGRUPADOS

Ejercicio ejemplo.Cálculo de la media geométrica en datos sin agrupar. 6, 8, 6, 10, 5.

Si se aplica esta fórmula a los datos anteriores, el resultado será exactamente igual.

1.4) MEDIA GEOMÉTRICA (Mg)

La media geométrica de n cantidades positivas es la raíz positiva enésima del producto de dichas cantidades. Es aplicada en los casos en que la variable muestra un crecimiento geométrico, como el de la población de un país o el de un capital colocado a una tasa de interés compuesto, (con tendencia exponencial).

Mg =n√∏ x i

Mg =n√ x1∗x2∗x3 ... xn

Mg =n√∏ x i

Mg =5√6∗8∗6∗10∗5

Mg =5√14,400

Mg = 6.79

Esta fórmula presenta varios inconvenientes en su cálculo.

a) Si un valor de la variable es 0 el producto será igualmente 0.b) Ninguna observación puede ser negativa, pues nos daría una raíz imaginaria.

Como solución, es preferible utilizar logaritmos.

Mg = antilog(∑ log x i

n )

Mg = antilog( log 6+ log 8+ log 6+ log10+ log55 )

Mg = antilog ( 0.77815+0.90309+0.77815+1+0.698975 )

Mg = antilog( 4.158365 )

Mg = antilog 0.83167

Mg = 6.79Antilog en Libre Office Calc = 10n

n = al número delque se deseaobtener el antilog


1.4.2) MEDIA GEOMÉTRICA EN DATOS AGRUPADOS

Fórmula a utilizar

Media Geométrica en Datos agrupados Variable Discreta

Ejercicio ejemplo.

0 3 0 01 7 0 02 10 0.30103 3.010303 15 0.47712 7.156804 8 0.60206 4.816485 5 0.69897 3.494856 2 0.77815 1.55630Σ 50 20.03473

Media Geométrica en Datos agrupados Variable Continua

Ejercicio ejemplo.

INTERVALOS

33.01 38 3 35.5 1.55022 4.6506638.01 43 5 40.5 1.60745 8.0372543.01 48 7 45.5 1.65801 11.6060748.01 53 9 50.5 1.70329 15.3296153.01 58 15 55.5 1.74429 26.1643558.01 63 9 60.5 1.78175 16.0357563.01 68 2 65.5 1.81624 3.63248

Σ 50 85.45617

Xi fi log xi

fi log xi

fi

Xi

log xi

fi log xi

Mg = antilog(∑ f i log x i

n )


n )Mg = antilog( 20.03473

50 )Mg = antilog 0.40069

Mg = 2.52


n )

Mg = antilog( 85.4561750 )

Mg = antilog 1.70912

Mg = 51.18


Fórmula para la media aritmética:

Fórmula para la media armónica:

1.5.1) MEDIA ARMÓNICA EN DATOS NO AGRUPADOS

Ejemplo a) Calculemos la media armónica con los siguientes datos: 6, 8, 6, 10, 5

¿En qué tiempo medio se tejería la tela?

1.5) MEDIA ARMÓNICA (Mh)

Ejemplo b) Dos tejedoras necesitan 5 y 8.5 horas, respectivamente, para tejer una tela.

Se define como el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. Se simboliza mediante Mh, MA, M

-1

El valor obtenido con la aplicación de esta medida será menor que la media geométrica, la que a su vez es menor que la media aritmética.

Es utilizada para hallar promedios de números índice y para resolver problemas de promedios de tiempo y velocidad.

Mh < Mg < x̄

X̄=∑ x i

n

Mh =

n1

∑ x i

Mh = ∑

n1x i

Mh =5

1x1

+1x2

+1x3

+1x4

+1x5

Mh =5

16+

18+

16+

110

+15

Mh =5

0.16666+0.125+0.16666+0.1+0.2

Mh =5

0.75832

Mh = 6.59

Mh = ∑

n1x i

Mh =2

1x1

+1x2

Mh =2

15+

18.5

Mh =2

0.2+0.11764

Mh =2

0.31764

Mh = 6.3 horas

Mh = 6 horas y 18 minutos


1.5.2) MEDIA ARMÓNICA EN DATOS AGRUPADOS

Media Armónica en Datos agrupados Variable DiscretaEjercicio ejemplo.

0 3 01 7 72 10 53 15 54 8 25 5 16 2 0.33Σ 50 20.33

Media Armónica en Datos agrupados Variable ContinuaEjercicio ejemplo.

35.5 3 0.08451

40.5 5 0.12346

45.5 7 0.15385

50.5 9 0.17822

55.5 15 0.27027

60.5 9 0.14876

65.5 2 0.03053

Σ 50 0.98960

Bibliografía

Estadística

Guatemala, Guatemala.

Estadística ComercialGrupo Editorial Norma EducativaSegunda Edición, 1994; tercera reimpresión 1996Impreso en Colombia

Xi fi

Xi

fi

Kleé Fleishmann, Oscar

Actualizado y Corregido por: Roberto Kleé Ramos7a. Edición Enero 1999, Editorial Kamar, S. A.

Martínez Bencardino, Ciro

f i / xi

Mh = ∑

n1x i

Mh =50

20.33

Mh = 2.46

f i / xi

Mh = ∑

n1x i

Mh =50

0.98960

Mh = 50.52

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