medidas de tendencia central
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE
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medidas de tendencia central
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE
Ing. Leodan H. Condori Quispe 2 12/11/2013
¿QUÉ SON LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL?
Son estadígrafos que permiten describir un conjunto grande de datos de manera breve en un solo número, dicho número es el punto alrededor del cual se centran los datos
14 14
14 13 14
14
15 15
14
13
14
14 14
14 14
Ing. Leodan H. Condori Quispe 3 12/11/2013
¿CUÁLES SON LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL?
MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMÉTICA
LA MEDIA GEOMÉTRICA
LA MODA
LA MEDIANA
LA MEDIA ARMÓNICA
LA MEDIA PONDERADA
Ing. Leodan H. Condori Quispe 4 12/11/2013
LA MEDIA ARITMÉTICA
Es un estadígrafo de gran estabilidad, porque toma en cuenta todos los datos
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
𝑋𝑖: 𝑆𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠
n: Total de datos
PARA DATOS AGRUPADOS
Donde:
𝑋𝑖: 𝑆𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
𝑓𝑖: 𝑆𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠
n: Total de datos
Es el estadígrafo más utilizado en diversos trabajos de investigación
ACTIVIDAD Nº 01
La siguiente información corresponde a la estatura de un grupo de 12
estudiantes del primer semestre «A» de la CAPISA
a) Calcular la media aritmética (promedio aritmético) e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 5 12/11/2013
LA MEDIA ARITMÉTICA
1.65 1.70 1.64 1.66 1.59 1.71 1.66 1.64 1.64 1.65 1.71 1.70
SOLUCIÓN
La fórmula para este tipo de datos no agrupados es:
𝑋 =1.65:1.70:1.64:1.66:1.59:1.71:1.66:1.64:1.64:1.65:1.71:1.70
12=19.95
12= 1.6625
𝑋 = 1.66 Por lo tanto, la estatura promedio de un grupo de 12 estudiantes del primer
semestre «A» de la CAPISA es de 1.66 cm.
ACTIVIDAD Nº 02
La siguiente información corresponde a la edad de un grupo de 15 estudiantes
del primer semestre «A» de la CAPISA
a) Calcular la media aritmética (promedio aritmético) e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 6 12/11/2013
LA MEDIA ARITMÉTICA
18 19 17 17 16 18 20 21 22 20 18 18 17 17 19
ACTIVIDAD Nº 03
La siguiente información corresponde a la DISTRIBUCIÓN DE HORAS POR SEMANA EN VER TV
a) Calcular la media aritmética (promedio aritmético) e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 7 12/11/2013
LA MEDIA ARITMÉTICA
Nº DE HORAS SEMANALES VIENDO TELEVISION 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊% 𝑯𝒊%
INTERVALOS (INTERVALO DE CLASE)
1 [10 – 13> 11.5 2 2 8 8
2 [13 – 16> 14.5 2 4 8 16
3 [16 – 19> 17.5 3 7 12 28
4 [19 – 22> 20.5 6 13 24 52
5 [22 – 25> 23.5 5 18 20 72
6 [25 – 28> 26.5 7 25 28 100
TOTAL 25 100
SOLUCIÓN
La fórmula para este tipo de datos agrupados es:
𝑋 =11.5∗2:14.5∗2:17.5∗3:20.5∗6:23.5∗5:26.5∗7
25=530.5
25= 21.22
𝑋 = 21 Por lo tanto, la hora promedio por semana en ver TV de un grupo de 25 niños menores de 6 años es de
21 horas.
Ing. Leodan H. Condori Quispe 8 12/11/2013
LA MEDIA ARITMÉTICA ACTIVIDAD Nº 04
La siguiente información corresponde a la DISTRIBUCIÓN DE PESOS DE LOS PACIENTES
OBESOS
a) Calcular la media aritmética (promedio aritmético) e interprete el resultado
Nº DE PESO DE PACIENTES
INTERVALOS (INTERVALO DE CLASE)
1 [58.4 , 65.4 > 61.9 4 4 13.3 13.3 2 [65.4 , 72.4 > 68.9 12 16 40.0 53.3
3 [72.4 , 79.4 > 75.9 6 22 20.0 73.3 4 [79.4 , 86.4 > 82.9 5 27 16.7 90.0 5 [86.4 , 93.4 > 89.9 1 28 3.3 93.3 6 [93.4 , 100.4 > 96.9 2 30 6.7 100.0
TOTAL 30 100.0
Ing. Leodan H. Condori Quispe 9 12/11/2013
LA MEDIANA
DEFINICIÓN
Es un estadígrafo que divide a un conjunto de observaciones previamente ordenadas o tabulados en dos parte de igual tamaño.
Es decir, el 50% de las observaciones son ≤ a la mediana y el 50% de las observaciones son ≥ al mismo
PARA DATOS NO AGRUPADOS
CUANDO n ES PAR CUANDO n ES IMPAR
PARA DATOS AGRUPADOS
Donde:
𝑳𝒊𝒌: Límite inferior que contiene a la clase mediana
𝑭𝒌;𝟏: Frecuencia absoluta acumulada anterior a la mediana
𝒇𝒌: Frecuencia absoluta simple que contiene a la mediana
𝐀: Amplitud interválica
𝑴𝒆 = 𝑿 𝒏:𝟏𝟐
𝑴𝒆 =
𝑿 𝒏𝟐+ 𝑿 𝒏
𝟐:𝟏
𝟐
𝑴𝒆 = 𝑳𝒊𝒌 +
𝒏𝟐 − 𝑭𝒌;𝟏
𝒇𝒌𝐀
ACTIVIDAD Nº 01
El número de automóviles vendidos por cada uno de los 10 agentes de ventas
en una distribuidora de automóviles durante un mes específico son:
12,14,10,2,12,7,15,10,10,4
a) Calcular la mediana e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 10 12/11/2013
LA MEDIANA
SOLUCIÓN
1. Ordenando los datos en forma ascendente:
2. Determinando n:
n=10, n es par
Por lo tanto, el 50% de los automóviles vendidos en las 10 agencias son
≤ a 10 automóviles y el 50% son ≥ a 10 automóviles
𝑴𝒆 =
𝑿 𝒏𝟐+ 𝑿 𝒏
𝟐:𝟏
𝟐
𝑴𝒆 =
𝑿 𝟏𝟎𝟐+ 𝑿 𝟏𝟎
𝟐:𝟏
𝟐=𝑿 𝟓 + 𝑿 𝟔𝟐
=𝟏𝟎 + 𝟏𝟎
𝟐= 𝟏𝟎
2 4 7 10 10 10 12 12 14 15
𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 𝑋5 𝑋6 𝑋7 𝑋8 𝑋9 𝑋10
ACTIVIDAD Nº 02
El número de automóviles vendidos por cada uno de los 7 agentes de ventas en
una distribuidora de automóviles durante un mes específico son:
12,14,2,12,7,15,4
a) Calcular la mediana e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 11 12/11/2013
LA MEDIANA
SOLUCIÓN
1. Ordenando los datos en forma ascendente:
2. Determinando n:
n=7, n es impar
Por lo tanto, el 50% de los automóviles vendidos en las 7 agencias son
≤ a 12 automóviles y el 50% son ≥ a 12 automóviles
𝑴𝒆 = 𝑿 𝒏:𝟏𝟐
2 4 7 12 12 14 15
𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4 𝑋5 𝑋6 𝑋7
𝑴𝒆 = 𝑿 𝟕+𝟏𝟐
= 𝑿 𝟒 =12
ACTIVIDAD Nº 03
La siguiente información corresponde a la DISTRIBUCIÓN DE HORAS POR SEMANA EN VER TV
a) Calcular la mediana e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 12 12/11/2013
LA MEDIANA
SOLUCIÓN
1. Determinando el intervalo que contiene a la mediana
𝒌 =𝒏
𝟐=𝟐𝟓
𝟐= 𝟏𝟐. 𝟓, 𝒌 = 𝟒
2. Reemplazamos en la fórmula:
Por lo tanto, el 50% de horas por semana en ver TV es ≤ que 21 horas y el 50% es ≥ a 21 horas
𝑴𝒆 = 𝑳𝒊𝒌 +
𝒏𝟐− 𝑭𝒌;𝟏
𝒇𝒌𝐀
Nº DE HORAS SEMANALES VIENDO TELEVISION 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊% 𝑯𝒊%
INTERVALOS (INTERVALO DE CLASE)
1 [10 – 13> 11.5 2 2 8 8
2 [13 – 16> 14.5 2 4 8 16
3 [16 – 19> 17.5 3 7 12 28
4 [19 – 22> 20.5 6 13 24 52
5 [22 – 25> 23.5 5 18 20 72
6 [25 – 28> 26.5 7 25 28 100
TOTAL 25 100
𝑴𝒆 = 𝟏𝟗 +
𝟐𝟓𝟐− 𝟕
𝟔2 = 𝟏𝟗 +
𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟕
𝟔2 = 𝟏𝟗 +
𝟓, 𝟓
𝟔2 = 𝟏𝟗 + 1,83 = 𝟐𝟎, 𝟖𝟑 ≅ 𝟐𝟏
𝑓𝑖 𝐹𝑖 𝑋𝑖 ℎ𝑖% 𝐻𝑖%
ACTIVIDAD Nº 04
La siguiente información corresponde a la DISTRIBUCIÓN DE PESOS DE LOS PACIENTES
OBESOS
a) Calcular la mediana e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 13 12/11/2013
LA MEDIANA
Nº DE PESO DE PACIENTES
INTERVALOS (INTERVALO DE CLASE)
1 [58.4 , 65.4 > 61.9 4 4 13.3 13.3 2 [65.4 , 72.4 > 68.9 12 16 40.0 53.3
3 [72.4 , 79.4 > 75.9 6 22 20.0 73.3 4 [79.4 , 86.4 > 82.9 5 27 16.7 90.0 5 [86.4 , 93.4 > 89.9 1 28 3.3 93.3 6 [93.4 , 100.4 > 96.9 2 30 6.7 100.0
TOTAL 30 100.0
Ing. Leodan H. Condori Quispe 14 12/11/2013
LA MODA
DEFINICIÓN
Es un estadígrafo que muestra la observación o categoría que se repite con mayor frecuencia, y se aplica generalmente en datos cualitativos
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Es el valor u observación que más se repite dentro
de una serie de datos
PARA DATOS AGRUPADOS
Donde:
𝑳𝒊𝒌: Límite inferior que contiene a la clase modal
𝒇𝒌: Frecuencia absoluta simple que contiene a la moda 𝒇𝒌:𝟏: Frecuencia absoluta simple posterior a la clase modal
𝒇𝒌;𝟏: Frecuencia absoluta simple anterior a la clase modal
𝐀: Amplitud interválica
𝑴𝒐 = 𝑳𝒊𝒌 +𝒇𝒌 − 𝒇(𝒌;𝟏)
(𝒇𝒌−𝒇(𝒌;𝟏)) + (𝒇𝒌−𝒇(𝒌:𝟏))𝐀
ACTIVIDAD Nº 01
La siguiente información corresponde al color de buzo de un grupo de 10
estudiantes: A, R, A, P, N, A, R, A, A, A, R, A, A, A
Donde:
A: Color Azul
R: Color Rojo
P: Color Plomo
N: Color Negro
a) Calcular la moda e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 15 12/11/2013
LA MODA
SOLUCIÓN
1. Se observa que A(Color Azul) es el que más se repite:
𝑴𝒐 = A Por lo tanto, el color de buzo utilizado con mayor frecuencia por un grupo de 10
estudiantes, es Azul
Por lo tanto, la mayoría de un grupo de 10 estudiantes prefieren utilizar un buzo
de Color Azul
ACTIVIDAD Nº 02
La siguiente información corresponde al nivel magisterial de 10 docentes:
I, II, I, III, IV, V, I, II, I, I
a) Calcular la moda e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 16 12/11/2013
LA MODA
ACTIVIDAD Nº 02
La siguiente distribución corresponde a 80 profesionales asistentes a un
congreso:
a) Calcular la moda e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 17 12/11/2013
LA MODA
PROFESIÓN 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊% 𝑯𝒊%
Médicos 32 32 40 40
Enfermeras 20 52 25 65
Psicólogos 16 68 20 85
Obstetrices 12 80 15 100
TOTAL 80 100
ACTIVIDAD Nº 03
La siguiente distribución corresponde a los pesos de 30 pacientes del hospital CMM
Calcular la moda e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 18 12/11/2013
LA MODA
SOLUCIÓN
1. Determinando el intervalo que contiene a la moda
𝒌 =Es el intervalo que contiene a la máxima frecuencia absoluta simple, k=2
2. Reemplazamos en la fórmula:
Por lo tanto, el peso más frecuente de los 30 pacientes en estudio es de 69,4Kg
𝑴𝒐 = 𝑳𝒊𝒌 +𝒇𝒌 − 𝒇(𝒌;𝟏)
(𝒇𝒌−𝒇(𝒌;𝟏)) + (𝒇𝒌−𝒇(𝒌:𝟏))𝐀
𝑴𝒐 = 𝟔𝟓. 𝟒 +𝟏𝟐 − 𝟒
𝟏𝟐 − 𝟒 + 𝟏𝟐 − 𝟔𝟕 = 𝟔𝟓. 𝟒 +
𝟖
𝟖 + 𝟔𝟕 = 𝟔𝟓. 𝟒 +
𝟖
𝟏𝟒𝟕 = 𝟔𝟗, 𝟒
Nº DE PESO DE PACIENTES 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊% 𝑯𝒊%
INTERVALOS (INTERVALO DE CLASE)
1 [58.4 , 65.4 > 61.9 4 4 13.3 13.3
2 [65.4 , 72.4 > 68.9 12 16 40.0 53.3
3 [72.4 , 79.4 > 75.9 6 22 20.0 73.3
4 [79.4 , 86.4 > 82.9 5 27 16.7 90.0
5 [86.4 , 93.4 > 89.9 1 28 3.3 93.3
6 [93.4 , 100.4 > 96.9 2 30 6.7 100.0
TOTAL 30 100.0
ACTIVIDAD Nº 03
La siguiente información corresponde a resultados de una prueba escrita de estadística de un grupo
de alumnos de la Escuela Profesional de Educación Física de la UNA – Puno
a) Calcular la moda e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 19 12/11/2013
LA MODA
Nº DE HORAS SEMANALES VIENDO TELEVISION 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊% 𝑯𝒊%
INTERVALOS (INTERVALO DE CLASE)
1 [10 – 13> 11.5 2 2 8 8
2 [13 – 16> 14.5 2 4 8 16
3 [16 – 19> 17.5 3 7 12 28
4 [19 – 22> 20.5 6 13 24 52
5 [22 – 25> 23.5 5 18 20 72
6 [25 – 28> 26.5 7 25 28 100
TOTAL 25 100
Ing. Leodan H. Condori Quispe 20 12/11/2013
LA MEDIA PONDERADA
LA MEDIA PONDERADA
DEFINICIÓN
Es un estadígrafo que se utiliza cuando cada observación tiene un determinado peso o ponderado
FORMULA
Donde:
𝑊𝑖: 𝑆𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑜
𝑋𝑖: 𝑆𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑢 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
ACTIVIDAD Nº 05
La siguiente información corresponde a los promedios en 5 cursos de un
estudiante universitario de una universidad que lleva en un semestre 20
créditos
a) Calcular la media ponderada e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 21 12/11/2013
LA MEDIA PONDERADA
CURSOS NOTA CREDITOS
Estadística 07 6
Matemática Básica 13 5
Fundamentos de Informática 18 4
Fundamentos de Contabilidad 17 2
SOLUCIÓN
La fórmula para obtener la media ponderada es:
𝑋 𝑝 =(𝟔)(𝟎𝟕):(𝟓)(𝟏𝟑):(𝟒)(𝟏𝟖):(𝟐)(𝟏𝟕)
𝟔:𝟓:𝟒:𝟐=213
17= 12.5294
𝑿 𝒑 = 𝟏𝟑 Por lo tanto, la nota promedio de un estudiante universitario en un semestre de 20 créditos es de 13.
ACTIVIDAD Nº 06
La siguiente información corresponde al tiempo de servicio (en años) de los
profesores de una Universidad:
a) Calcular el tiempo promedio de servicio de los docentes e interprete el
resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 22 12/11/2013
LA MEDIA PONDERADA
TIEMPO DE
SERVICIO
NÚMERO DE
DOCENTES
5 28
10 16
15 11
Ing. Leodan H. Condori Quispe 23 12/11/2013
LA MEDIA GEOMÉTRICA
LA MEDIA GEOMÉTRICA
DEFINICIÓN
Es un estadígrafo que se utiliza para mostrar los cambios porcentuales en una serie de números positivos.
Se aplica en el ámbito de los negocios y en la economía
FORMULA
Donde:
𝑿𝒊: 𝑺𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔
𝒏: 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒅𝒂𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔
ACTIVIDAD Nº 07
Suponga que una fábrica ha experimentado un incremento de su producción del
15% en 2002, 10% en 2003 y 16% en 2004:
a) Calcular el promedio de crecimiento anual e interprete el resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 24 12/11/2013
LA MEDIA GEOMÉTRICA
SOLUCIÓN La fórmula para obtener el crecimiento anual es:
𝑋 𝑔 = 15 10 163
= 24003
= 13.3887
𝑿 𝒈 = 𝟏𝟑. 𝟑𝟗% Por lo tanto, el crecimiento de la producción promedio anual de una fábrica es del 13.39%
Ing. Leodan H. Condori Quispe 25 12/11/2013
LA MEDIA ARMÓNICA
DEFINICIÓN
Es un estadígrafo que permite calcular el promedio de las razones que tienen dimensiones físicas tales como KILÓMETROS/GALÓN, COSTO/KILÓMETROS, KILÓMETROS/HORA y otros.
Es decir se aplica para promediar datos cuyas unidades de medición provienen de dos variables, por ejemplo KM/HORA
PARA DATOS NO AGRUPADOS
Donde:
n: Total de datos
𝑿 𝒊: Son las observaciones o datos
𝑿 𝒂 =𝒏
𝟏
𝑿𝒊
𝒏
𝒊<𝟏
ACTIVIDAD Nº 01
Suponga que las velocidades de producción de 3 obreros son: 0.5, 0.625, 0.4
horas/artículo
a) Calcular el tiempo promedio de producción por artículo e interprete el
resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 26 12/11/2013
SOLUCIÓN
1. Se conoce que n=3:
2. Reemplazando en la fórmula, se tiene:
Por lo tanto, el tiempo promedio de producción por artículo es de 0,49
horas/artículo
LA MEDIA ARMÓNICA
𝑿 𝒂 =𝟑
=
𝟑
=
𝟑
=𝟑
𝟔. 𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟗𝟏𝟖 ≅ 𝟎. 𝟒𝟗
𝟏
𝑿𝒊
𝟑
𝒊<𝟏
𝟏
𝟎. 𝟓+𝟏
𝟎. 𝟔𝟐𝟓+𝟏
𝟎. 𝟒
𝟐 + 𝟏. 𝟔 + 𝟐. 𝟓
ACTIVIDAD Nº 02
Tres automóviles recorrieron 200 km cada uno. Si el rendimiento de cada uno
fue de 50, 45 y 60 kilómetros por galón
a) Cuál es el rendimiento promedio de kilómetros por galón e interprete el
resultado
Ing. Leodan H. Condori Quispe 27 12/11/2013
LA MEDIA ARMÓNICA
