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MB0010_M1AA3L1_Tendencia Versión: Septiembre 2012 Revisor:

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Medidas de tendencia central

por Oliverio Ramírez

En estadística, a la palabra promedio se le conoce como media aritmética. Calcular la media aritmética para pocos datos es cosa sencilla, pero se complica cuando el número de datos se incrementa considerablemente. Antes de iniciar con la descripción de las fórmulas que se utilizan para el cálculo de las medidas de tendencia central y de dispersión, es conveniente recordar que en estadística se trabaja con dos conjuntos: población y muestra. Si el cálculo se realiza sobre datos muestrales, a los resultados se les conoce como estadísticos. Si los cálculos se realizan sobre toda la población, se les conoce como parámetros. Calculando promedios Juan es un productor de cerdos, piensa vender 6 de ellos a un comprador que le ofrece $10,000 pesos por los 6 cerdos pero el comprador no está dispuesto a pesarlos; dice que si los pesan, seguramente le pagará menos dinero a Juan porque el kilo de cerdo está en 22 pesos. Juan le pide que lo espere dos días mientras se decide. Juan piensa que criar a 6 cerdos no es tan sencillo y no quiere entregarlos sin obtener una ganancia. Tan pronto se fue el comprador de cerdos, Juan pesó a los 6 animales, obteniendo los siguientes registros: 87, 96, 102, 81, 93 y 105 kilos.

• ¿Debe aceptar Juan el trato? o No, porque la suma del peso de los cerdos es: 564 kilogramos.

• ¿Cuánto dinero pierde o gana Juan si acepta el trato del vendedor?

o El total de dinero que debe recibir Juan es: 564 x 22= 12408 pesos

• ¿Cuál fue el promedio del peso de los 6 cerdos de Juan? o El promedio del peso de los 6 cerdos es: 564/6=94, es decir 94 kilogramos.

Media Aritmética Imagina que un panadero quiere saber si sus conchas tienen el tamaño adecuado de acuerdo al precio que cobra por ellas. Tomó 8 conchas de un lote de 50 y pesó cada una por separado.



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El peso en gramos de cada concha fue: 50, 52, 58, 56,48, 62, 39 y 42 kilos.

Dado un conjunto de datos X1, X2, . . . , XN, se define la media aritmética muestral 𝑿 de ese conjunto de datos como:

𝑋 =Σ 𝑥𝑛

El símbolo ∑ se lee como: ʻSumatoria deʼ y significa que lo que esté enfrente se debe de sumar. De la misma manera, se define la media aritmética poblacional µ como:

μ =Σ 𝑥𝑁

La media aritmética 𝑿 se emplea cuando estamos hablando de muestras, y la media aritmética μ cuando estamos estudiando poblaciones. Otra distinción es la n minúscula para muestras y N mayúscula para poblaciones. Los valores para nuestro conjunto de datos son el peso de cada concha son:

X1=50 X2=52, X3=58, X4= 56, X5=48, X6=62, X7=39, y X8= 42 Sustituyendo en la fórmula obtenemos:

𝑋 = ! !!

= !"!!"!!"!!"!!"!!"!!"!!"!

= !"#!= 50.87

Es decir, el peso promedio de las conchas es 50.87 gramos. ¿Notaste que hubo una pieza de pan que pesó más de 60 gramos y otra que pesó menos de 40?, ¿qué piensas? En los ejemplos anteriores, calculamos la media aritmética de pocos datos que, además, no estaban organizados. Cuando los datos están organizados en una distribución de frecuencias simple o de intervalos, la media aritmética se calcula con la expresión:

𝑋 =Σ 𝑓. 𝑥𝑛

En donde, el término f ⋅ x es el producto de cada valor multiplicado por su respectiva frecuencia y el símbolo Σ (sumatoria) significa que se deben sumar estos productos, veamos cómo funciona.



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Ejemplo : Si consideramos la siguiente distribución de frecuencias para calcular la media aritmética de los datos, primero se calcula la columna f ⋅ x cuando se tiene completa la columna, se suma (como lo indica la fórmula) y éste resultado se divide entre N, que es el número total de observaciones o datos.

Calificación X

Frecuencia f

fX

2 0 0 3 2 6 4 5 20 5 7 35 6 8 48 7 10 70 8 8 64 9 6 54

10 4 40 50 337

Tabla 1. Tabla de Frecuencia. Ramírez 2009 En la tabla 1 se observa que Σ 𝑓𝑥 = 337 y que N = 50. Por lo tanto, la media aritmética del conjunto de observaciones es:

𝑋 =Σ 𝑓 ∙ 𝑋𝑛

=33750

= 6.74 Cuando los datos están agrupados en clases, como en la tabla 2, la media aritmética se calcula con la misma expresión, sólo que ahora “x” representa la marca de clase.

𝑋 =Σ 𝑓 ∙ 𝑋𝑛

Clases Valor Medio x

Frecuencia f

fx

42-46 44 2 88 47-51 49 9 441 52-56 54 31 1674 57-61 59 50 2950 62-66 64 51 3264 67-71 69 30 2070 72-76 74 7 518

180 11005 Tabla 2. Tabla de Intervalos de clase. Ramírez 2009



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En la tabla 2 se observa que Σ 𝑓. 𝑥 = 11005 y que N = 180. Por tanto, la media aritmética de los datos de la tabla 2 es:

𝑋 =Σ 𝑓𝑥𝑛

= 11005180

= 61.14 Ahora que ya hemos estudiado la media aritmética, que es uno de los parámetros más útiles de la estadística, vamos a revisar la moda. La moda ¿A qué te suena la palabra 'moda'? Ésta se usa normalmente para referirnos a lo que la gente usa: vestidos, pantalones, bolsos, gorras, lentes o cualquier otro accesorio. Entonces, ¿qué es la moda?, ¿es una forma de vestir?, ¿cuándo se considera que algo está de moda o que ya pasó de moda? Una respuesta puede ser que “lo que está de moda” es lo que más prefiere la gente. Lo que “ya pasó de moda” puede ser algo que se usó pero que actualmente ya no se usa. ¿Se te ocurre algo más? Por ejemplo, en el conjunto: 5,5,6,7,7,7,7,7,8,9,10,11,11,12 El número que más se repite es el 7 ya que aparece 5 veces. En este caso decimos que la moda de este conjunto de datos es Mo = 7.

En estadística, la moda (Mo) es una medida de tendencia central que se define como aquel valor que tiene la frecuencia mayor (es decir, el dato que más se repite). Levin (1988:94).

Veamos la siguiente distribución de frecuencias:

Clases Valor medio x

Frecuencia f f x

42-46 44 2 88 47-51 49 9 441 52-56 54 31 1674 57-61 59 50 2950 62-66 64 51 3264 67-71 69 30 2070 72-76 74 7 518

180 11005 Tabla 3. Tabla de distribución de frecuencias. Ramírez 2009



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La clase con la frecuencia mayor es 62-66 con f =51. Sin embargo, nota que la clase 57 – 61 tiene una frecuencia f = 50, son las dos clases de mayor frecuencia (f), pero en este caso solo la clase 62-66 tiene el mayor número por tanto esa es la moda. En distribuciones de frecuencias con intervalos, la moda es la marca de clase con la mayor frecuencia por lo que, si consideramos las dos modas: Mo1 = 59 y Mo2 = 64 Es importante notar que una distribución puede tener más de una moda, o puede no tener moda. Cuando un conjunto de datos no tiene moda significa que ningún dato u observación se está presentando más que los demás de manera significativa. Si recordamos el peso de las conchas del panadero: 50, 52, 58, 56, 48, 62, 39 y 42, ningún dato aparece más que los demás. Por lo tanto, este conjunto de datos no tiene moda. Sencillo, ¿no? A diferencia de la moda, el cálculo de la tercera medida de tendencia central, la mediana, es un poco más complicado... pero sólo un poco, así que no hay de qué preocuparse. La mediana La mediana (Mdn) es la última de las medidas de tendencia central que analizaremos. ¿Alguna idea del significado de la mediana? Suena a que es algo que está en medio ¿o no?

Dado un conjunto de datos, la mediana se conoce como el valor tal, que debajo de él se encuentra el 50% del total de datos, y arriba de él otro 50%. (Exacto, es el dato que se encuentra en medio). Levin (1988:87)

La observación o dato que ocupe la posición !!!

! será la mediana.

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 =𝑛 + 12

Una consideración importante para la determinación de la mediana es que los datos deben estar ordenados por magnitud; en nuestro curso del menor al mayor.



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Es necesario distinguir cuando tenemos:

1) un número impar de datos 2) cuando tenemos un número par.

1) Cuando el tamaño de la muestra es impar, la mediana es la observación que ocupa el lugar: !!!! veamos el siguiente ejemplo:

Encontrar la mediana para el siguiente conjunto de datos:

40 50 52 60 62 70 90 Como tenemos 7 datos, la mediana es el dato que ocupa la posición

428

217

==+

40 50 52 60 62 70 90 Posición 1 Posición 2 Posición 3 Posición 4

↑ Valor central

Concluimos que la mediana del conjunto de datos es 60=mdn . 2) Si el conjunto tiene un número par de datos que están ordenados por su magnitud, entonces la mediana es la media aritmética de los valores centrales. Para el conjunto

27 30 31 34 40 41 44 54 ↑ ↑ Valores centrales

el número total de datos es par (8 datos) cuyos valores centrales son 34 y 40, por lo que la mediana será la media aritmética de 34 y 40, esto es,



7

37274

24034

==+

=X

Por lo tanto, el valor de la mediana es 37=mdn . Los cálculos anteriores sirven para datos no agrupados. Cuando los datos están agrupados ya sea en una distribución de frecuencias simple o en una distribución de frecuencias con intervalos, el procedimiento es algo distinto. Mediana de un conjunto de datos en una distribución de frecuencia simple

La posición de la mediana la determinamos nuevamente con la fórmula 21+n

.

Tomemos como ejemplo la distribución de frecuencias simple de la tabla siguiente.

Calificación X

Frecuencia f

2 0 3 2 4 5 5 7 6 8 7 10 8 8 9 6

10 4 50

Tabla 4. Tabla de distribución de frecuencias. Ramírez 2009 Como N=50, la mediana será el valor que ocupa el lugar

!"!!!

= 25.5 Con el propósito de visualizar el dato que ocupa la posición 25.5 en nuestra distribución de frecuencias simple, a continuación se muestra nuevamente la tabla agregando la columna de la frecuencia acumulada:



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Calificación X

Frecuencia f

Frecuencia acumulada

2 0 0 3 2 2 4 5 7 5 7 14 6 8 22

7 10 32 Aquí está ubicado el 25.5, Ya que Los diez datos iguales a 7, ocupan desde la posición 23 a la 32

8 8 40 9 6 46

10 4 50 50

Tabla 5. La Mediana en una tabla de distribución de frecuencias. Ramírez 2009 Por lo que la mediana es:

Mdn=7 Lo anterior es debido a que el lugar 25.5 se encuentra entre la posición 23 y la 32. ¿Por qué si hay un número par de datos no se calculó la media aritmética de los valores centrales? Porque en este caso, los dos valores centrales son ambos el número 7 y al calcular la media aritmética sigue siendo 7. Mediana de un conjunto de datos en una distribución de frecuencia con intervalos El cálculo de la mediana en una distribución de frecuencias con intervalos implica una serie de pasos que se describen a continuación:

1. Determina la clase que contiene a la mediana. Esta clase se llama clase de la mediana y es la que contiene el valor que ocupa el lugar

!!

, en donde N es el número total de datos. 2. Calcula la frecuencia acumulada que corresponde a la clase inmediata inferior a la clase de la

mediana. 3. Determina la frecuencia de la clase de la mediana. 4. Determina el ancho de la clase. 5. Determina el límite inferior de la clase de la mediana. 6. Aplica la fórmula:

if

fan

LMdn ×−

+= 2



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En donde

L = Límite inferior de la clase de la mediana. N = número total de datos. fa = frecuencia acumulada en la clase inmediata inferior a la clase de la mediana. f = frecuencia en la clase de la mediana. i = la longitud del intervalo o clase de la mediana.

Utilizaremos la siguiente tabla para calcular la mediana aplicando los pasos indicados.

Clases Valor medio x

Frecuencia f f a

42-46 44 2 2 Datos de la posición 1 al 2





67-71 69 30 173 72-76 74 7 180 n=180

Tabla 6. La Mediana en una tabla de distribución de frecuencias. Ramírez 2009 1. Lo primero es determinar la clase de la mediana. Calcula

902180

2==

n

Como la clase de la mediana es la clase que contiene el dato que ocupe la posición 90, en este caso la clase de la mediana es 57 – 61, porque en esa clase se encuentra el dato que ocupa la posición 90. En la última columna de la tabla se indica que los datos de esta clase van desde el dato en la posición 43 hasta el dato en la posición 92.

2. Luego se necesita determinar la frecuencia acumulada (fa) de la clase inmediata inferior a la clase

de la mediana.

Esto se puede determinar inspeccionando la tabla (la cual ya incluye la frecuencia acumulada).



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Clases Valor medio

x Frecuencia

f

f a 42-46 44 2 2 47-51 49 9 11 Clase inmediata inferior 52-56 54 31 42 Clase de la mediana 57-61 59 50 92 62-66 64 51 143 67-71 69 30 173 72-76 74 7 180 180

Tabla 7.Determinar Mediana en una tabla de frecuencias. Ramírez 2009

Esto es, el valor de fa es 42.

3. Determinar la frecuencia de la clase de la mediana. La frecuencia de la clase de la mediana es

f=50 4. El ancho de la clase es 61-56=5, por lo que i=5.

5. Hallar el límite inferior de la clase de la mediana. Éste número es L=57.

6. Ahora sólo falta sustituir los valores encontrados en la fórmula

𝑀𝑑𝑛 = 𝐿 +𝑛2 − 𝑓𝑎𝑓

× 𝑖

𝑀𝑑𝑛 = 57 +1802 − 4250

× 5

𝑀𝑑𝑛 = 61.8 La media ponderada y la media geométrica Existen, además de la media aritmética, la media ponderada y la media geométrica que son muy útiles en situaciones específicas. La siguiente tabla muestra la fórmula que se utiliza para calcularlas. Se incluye también la media aritmética para tenerla de referencia.



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Fórmula Media aritmética

nX

X ∑=

Media Ponderada

∑∑=WXW

XW

Media Geométrica nnXXXXMG 321=

Tabla 8.Fórmulas para determinar diferentes tipos de media. Ramírez 2009.

La media ponderada es utilizada cuando, al calcular un promedio, algunos de los datos a considerar tienen un “peso mayor” que los demás, vamos a ver de qué se trata.

Ayudando a Raúl a calcular su promedio Raúl estudia bachillerato en la UVEG y, en las políticas de uno de sus cursos, se le informó que la forma de evaluarlo sería la siguiente:

Rubro Ponderación Promedios parciales

40%

Examen Final 50% Trabajo final 10%

Tabla 9. Ponderaciones. Fuente: Datos ficticios. Si Raúl obtuvo un promedio parcial de 83, 75 en su examen final y 92 en el trabajo final, ¿cuál es la calificación que aparecerá en la boleta de Raúl? Para resolver el problema de Raúl, debemos tomar en cuenta que las calificaciones no tienen el “mismo peso”, es decir, el examen final es la calificación con el mayor peso en la calificación (50%) mientras que el trabajo final es la de menor peso (10%). Por ello, para calcular la media ponderada es necesario incluir dos columnas más: la columna peso (W) y la columna del producto XW.

Rubro Calificación Peso (W)

XW

Promedios parciales

83 4 332

Examen Final 75 5 375 Trabajo final 92 1 92 ΣW = 10 ΣXW = 799

Tabla 10.Tabla de registro de calificaciones. Ramírez 2009



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Si ahora sustituimos el valor de ΣW y ΣXW en la fórmula obtenemos:

𝑋! =Σ!"

Σ!

𝑋! =79910

= 79.9

Raúl tiene una calificación final de 79.9 Sin embargo, la media ponderada no se utiliza sólo para obtener promedios, veamos el siguiente ejemplo:

Tienda de abarrotes La Veracruzana La tienda de abarrotes La Veracruzana vende cuatro diferentes tipos de escobas, algunas de ellas le dan a ganar más que otras. La siguiente tabla muestra la utilidad de cada escoba y el número de escobas vendidas.

Marca de Escoba

Utilidad en pesos por escoba

(X)

Número de escobas vendidas en un mes

(W)

XW

Limpia todo $3.0 7 21.0 Plasti-limpia $2.4 6 14.4

Escobón $5.2 12 62.4 Dʼzacate $7.4 4 29.6

$18 Σ! = 29 Σ!" = 127.4 Tabla 11.Tabla de registro de ventas. Fuente: Datos ficticios. Ramírez 2009

La media ponderada es utilizada cuando, al calcular un promedio, algunos de los datos a considerar tienen un “peso mayor” que los demás.

𝑋! =Σ!"

Σ!



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Se puede calcular la media de las utilidades dividiendo la suma de las utilidades entre el número de marcas de escoba, esto es, 18/4=4.5. Este resultado no es completamente cierto porque vende más escobas de una marca que de otras.

La media ponderada es:

393.4294.127

=

=

W

W

X

X

Esto significa que la utilidad promedio de La Veracruzana, en la venta de sus escobas es de $4.393 pesos.

Eduardo y sus quesos Eduardo Negrete es un conocido empresario del estado de Hidalgo y productor de quesos, que destina gran parte de sus ingresos en campañas publicitarias para incrementar sus utilidades. Quiere determinar la tasa promedio de aumento de sus ingresos de los últimos 5 años y evaluar si continúa o no con la misma compañía de publicidad. La tasa promedio del estado de Hidalgo es del 13%. La siguiente tabla muestra los ingresos de la empresa de Eduardo de los últimos 5 años:

Año Ingreso (en pesos)

2002 $142,000 2003 152000 2004 165000 2005 182000 2006 203000

Tabla 12. Ingresos. Fuente: Datos ficticios. Para calcular la media geométrica es necesario calcular primero el porcentaje de aumento de los ingreso por cada año. En otras palabras ¿qué incremento tuvieron los ingresos de 2002 a 2003? Este incremento se calcula dividiendo el ingreso del año 2003 entre el ingreso del año 2002, es decir:

152 000/142 000=1.07



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Lo anterior significa que el incremento fue de 0.07 o del 7%. De la misma manera se calculan los demás incrementos. Los resultados de los cálculos se muestran en la siguiente tabla:

Año Ingreso (en pesos)

Porcentaje

2002 $142,000 2003 152000 1.070 2004 168000 1.105 2005 223000 1.327 2006 262000 1.174

Tabla 13. Porcentajes. Fuente: Datos ficticios Estos resultados se sustituyen en la fórmula para calcular la media geométrica La media geométrica (MG) se determina calculando la enésima raíz del producto de n números mediante la fórmula:

nnXXXXMG 321=

Sustituyendo tenemos:

( )( )( )( ) 1649.1174.1327.1105.1070.14 ==MG Lo anterior significa que el incremento promedio porcentual de los ingresos de Eduardo es 0.1649 (o 16.49%). ¿Cuál hubiese sido el resultado si se hubiera utilizado la media aritmética? Observa:

169.14

174.1327.1105.1070.1=

+++=X

El error o diferencia entre los resultados parece no ser significativo. Antes de llegar a una conclusión al respecto, analiza la siguiente tabla que compara ambos resultados.

Usando X Usando MX

142000x1.169=165998 142000x1.1649=165415 165998x1.169=194051 1655415x1.1649=192691 164862x1.169=226845 192691x1.1649=224465 226845x1.169=265181 224465x1.1649=261479≈262000 265181 es mayor que 262000. 261479 es prácticamente igual que 262000.

Tabla 14.Tabla comparativa de ambos métodos. Ramírez 2009



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este ejemplo viste la forma de calcular la media geométrica y queda de manifiesto que, en ocasiones es más apropiado utilizarla que la media aritmética. Por último, debido a que el incremento promedio porcentual de los ingresos de Eduardo es de 16.49% y es superior al promedio estatal (13%), Eduardo ha decidido no cambiar de compañía de publicidad.

La media geométrica (MG) es muy recurrida en economía y negocios pues muestra los cambios en porcentaje de una serie de números positivos, por ejemplo: el cambio porcentual en ventas, en ingresos, en utilidades, entre otros. Se determina calculando la enésima raíz del producto de n números mediante la fórmula:

nnXXXXMG 321=

Comparación entre media, mediana y moda. De las medidas de tendencia central, la media es la de uso más común ya que su manipulación e interpretación es más sencilla. Desafortunadamente, la media se ve afectada por valores extremos. Para el conjunto de datos 3, 5, 8, 12, 17, 18, la media es 10.5 y la mediana es 10. Ambos representa de buena manera al conjunto de datos. Sin embargo, si cambiamos el 18 por un 68, por ejemplo, la media es 18.83 mientras que la mediana sigue siendo 10. Debido a que el valor de la mediana no cambia con el valor extremo, representa de mejor forma al conjunto de datos. Por otro lado, el inconveniente de la moda es que en ocasiones no existe y cuando hay más de una moda su existencia puede no ser de gran ayuda. El anterior análisis no significa que una medida de tendencia central sea mejor que la otra, sólo invita a utilizar la más adecuada para un conjunto de datos en específico.

Referencias

Levin, R. 1988. Estadística para administradores. Mc.GrawHill: México.

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