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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

FACULTAD DE INFORMÁTICA

MEDIDAS AUTOSEMEJANTES CON SOLAPAMIENTO: DIMENSIÓN,

MOMENTOS Y APROXIMACIÓN

TESIS DOCTORAL

MARÍA ASUNCIÓN SASTRE ROSA

Lda. en Ciencias Matemáticas

2003

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICA

FACULTAD DE INFORMÁTICA

MEDIDAS AUTOSEMEJANTES CON SOLAPAMIENTO: DIMENSIÓN,

MOMENTOS Y APROXIMACIÓN

Autora: María Asunción Sastre Rosa

Lda. en Ciencias Matemáticas

Director: Emilio Torrano Giménez

Dr. en Ciencia Matemáticas

2003

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad

Politécnica de Madrid, el día de de 2003

Presidente D.

Vocal D

Vocal D

Vocal D

Secretario D.

Realizó el acto de defensa y lectura de la Tesis el día.

de de

en

Calificación:

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

A Antonio, Tania y Ana

A Cristina

A mi padre y Marta

A Chelo

Agradecimientos

Al llegar a este momento siento la necesidad de dar las gracias a todas las personas

de mi alrededor que tanto me han apoyado, animado y ayudado.

Quiero dar las gracias a mis compañeros del Departamento de Matemática Apli-

cada de la Facultad de Informática de la Universidad Politécnica de Madrid, por

hacerme sentir en familia.

Gracias a mis compañeros del seminario de polinomios ortogonales, Raquel, Car-

men, Víctor, Venancio, Antonio y Emilio, y a Miguel que se ha incorporado justo

cuando lo he necesitado, por sus comentarios, su apoyo y sobre todo por hacerme

disfrutar trabajando. En especial quiero dar las gracias a Emilio, por su entusiasmo

contagioso.

Gracias a Manuel, por proponerme el problema que ha hecho posible realizar

este trabajo. Al final, aunque ha resultado un problema más difícil de lo que en un

principio habíamos pensado, ha vahdo la pena. Los momentos en que he tenido el

privilegio de trabajar con él, sólo comparables con las discusiones con Emilio y con

Carmen, son los que me han hecho disfrutar con la investigación.

He tenido muchos buenos profesores a lo laxgo de los años, a los que he de agrade-

cer su dedicación, pero principalmente uno ha dejado dentro de mi algo más que

Matemáticas, J. F. Ochoa.

También quiero dar las gracias a mis amigos, a los de siempre, por ser siempre

amigos; y a los nuevos, por demostrar ser amigos en menos tiempo: Esther, Elo, Ana

y en especial Mónica, la otra madre de mi hija. A Pablo, por estar siempre ahí, a

pesar de no estar aquí. A Pilar, por hacerme partícipe de su pecuhar forma de ver la

vida. A Alejandro por estar siempre conmigo, incluso cuando no estuvo, y que por

ser como es me hace ser mejor persona, o al menos intentarlo.

Gracias a mi familia, mi madre y mis hermanos con los que siempre he podido

contar, en especial a Marta; punto de apoyo para todos. A mi padre, gracias por

todo, un todo que no puedo expresar con palabras. A mi otra familia, la abuela,

Mari, Carmen y Patri, y especialmente a Chelo, más que una madre y buena persona

donde las haya.

Por último, decir gracias es poco para una persona que ya está incluida entre las

citadas anteriormente, compañero de trabajo, famiUa, amigo. Si como compañero de

trabajo es excepcional, como compañero en la vida es inmejorable. Si, como dicen

mis amigos, soy una persona con suerte, mi mayor suerte es Antonio, Tania y Ana.

índice general

INTRODUCCIÓN 1

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y ESTADO DEL ARTE 13

1.1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MEDIDA 13

1.2. CONVOLUCIÓN DE MEDIDAS 18

1.3. CONVERGENCIA DÉBIL DE MEDIDAS Y CONVOLUCIÓN . . . 20

1.4. CONVOLUCIÓN DE DISTRIBUCIONES DE BERNOULLI 23

1.5. NOTAS HISTÓRICAS Y ESTADO DEL ARTE 28

2. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA FRACTAL 39

2.1. INTRODUCCIÓN 39

2.2. MEDIDA Y DIMENSIÓN 44

2.2.1. Medida y dimensión de Hausdorff 46

2.2.2. Medida y dimensión pacldng 53

2.2.3. Sistemas de funciones iteradas 54

2.3. MEDIDAS INVARIANTES 59

2.3.1. Dimensión de una medida 63

3. SISTEMAS DE FUNCIONES ITERADAS CON SOLAPAMIEN-

TO 67

3.1. SISTEMAS DE FUNCIONES ITERADAS EQUIVALENTES . . . . 68

I

3.2. APROXIMACIÓN DE MEDIDAS AUTOSEMEJANTES 86

3.3. LA PROPIEDAD ^ 95

3.4. TOPOLOGÍA Y CONVOLUCIONES DE BERNOULLI 105

3.5. DIMENSIÓN PRINT 106

4. MOMENTOS DE LAS CONVOLUCIONES DE BERNOULLI 113

4.1. INTRODUCCIÓN 114

4.2. MOMENTOS DE LA ICBM 120

4.2.1. Números de Euler 125

4.3. NUEVAS RELACIONES PARA LOS NÚMEROS DE BERNOULLI 128

4.4. LOS CASOS ABSOLUTAMENTE CONTINUOS r = ^ 129

4.5. COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO DE LOS MOMENTOS . . . . 136

4.6. CÁLCULOS CON ORDENADOR 139

BIBLIOGRAFÍA 168

II

RESUMEN

La tesis MEDIDAS AUTOSEMEJANTES CON SOLAPAMIENTO: DIMEN-

SIÓN, MOMENTOS Y APROXIMACIÓN se desarrolla en el área de la teoría geo-

métrica de la medida.

En 1981, J. E. Hutchinson [HutSl] formalizó una teoría unificada sobre el estudio

y la obtención de los conjuntos y medidas autosemejantes. La definición matemática

de conjunto autosemejante, que allí se da, permite que las piezas en que se descom-

pone el conjunto autosemejante, se corten, mientras la intersección sea pequeña en

comparación con el conjunto. El problema del solapamiento consiste precisamente

en estudiar estos conjuntos y medidas, cuando no se pone restricción en los cortes y

falla la teoría de Hutchinson.

Para abordar este problema el trabajo se centra en el estudio de las convoluciones

infinitas de distribuciones de Bernoulli, que llamaremos ICBM (del inglés Infinitely

Convolution Bernoulli Measures), planteado ya en 1935 por B. Jessen y A. Wintner.

Este es un ejemplo de medidas autosemej antes con solapamiento que, en principio,

puede parecer bastante sencillo ya que se trata de medidas definidas en un intervalo

acotado en M a partir de dos semejanzas con igual radio de contracción. Sin embargo,

estas medidas se han estudiado durante más de sesenta años y siguen sin resolverse

las principales cuestiones planteadas ya por A. Garsia [Gar62] en 1962.

En el primer capítulo se describe con detalle el problema de las convoluciones de

Bernoulh y los resultados que se han obtenido desde su planteamiento en 1935 hasta

la actuafidad. Se comienza con una introducción a la teoría de la medida.

El capítulo segundo es una introducción la geometría fractal, marco en el que se

desarrolla la investigación.

Los capítulos tercero y cuarto, se dedican a presentar los resultados originales

obtenidos.

El capítulo tercero comienza con la definición de sistemas equivalentes de fun-

III

ciones iteradas y el estudio de las propiedades que permiten obtener un sistema

equivalente a uno dado. El método, que consiste en eliminar el solapamiento me-

diante sistemas equivalentes, es muy restrictivo. Se muestra, mediante un ejemplo,

que puede ser efectivo en casos concretos. El resultado central de este capítulo es la

aproximación de medidas autosemej antes con solapamiento mediante una sucesión

de medidas autosemej antes con condición fuerte de separación, definidas a partir de

los cilindros del sistema de funciones iteradas inicial. Para medidas autosemej antes

en M, como es el caso de las convoluciones de BernouUi, la existencia de esta sucesión

depende de que se verifique una cierta propiedad que llamaremos T. Se prueba la

propiedad T para el sistema de funciones iteradas correspondiente a la convolución

infinita de BernouUi para el inverso de la razón áurea.

En el último capítulo se utilizan técnicas de la teoría de los polinomios ortogonales

para estudiar las ICBM. El resultado central de este capítulo es el cálculo de una

fórmula explícita para los momentos de la familia de convoluciones de BernouUi [Xf.

Esta permite expresar los momentos de orden n de las medidas yUr como cociente de

dos polinomios en la variable r. Se prueba que el coeficiente conductor del polinomio

numerador es en valor absoluto el número de Euler E^n- En la siguiente sección

se deducen nuevas relaciones para los números de BernouUi a partir de la fórmula

que se ha obtenido para los momentos. A continuación se calcula el comportamiento

asintótico de los momentos de las convoluciones infinitas de BernouUi y de las medidas

que se obtienen variando las probabilidades.

En la última sección se presentan diferentes cálculos numéricos obtenidos a partir

de las fórmulas desarrolladas a lo largo de este capítulo. Se muestra gráficamente la

concordancia del teorema de Rakhmanov [MNT85] con los resultados de Erdós. Por

último, se aproxima la función de distribución y la función de densidad, en caso de

existir, de las convoluciones de BernouUi mediante el teorema de representación de

HausdoríT con las fórmulas de los momentos obtenidas en las secciones anteriores.

IV

ABSTRACT

The thesis SELF-SIMILAR MEASURES WITH OVERLAPPING: DIMENSIÓN,

MOMENTS AND APPROXIMATION belongs to the área of geometric measure

theory.

In 1981, J. E. Hutchinson [HutSl] introduced, in a formal way, a unified theory

for the study and generation of self-similar sets and measures. The mathematical

definition of a self-similar set, given there, allows small overlapping, provided that

the intersection is small, compared to the set. The overlapping problem consists

precisely in the study of these sets and measures, when there is no restriction in the

intersections and Hutchinson's theory does not hold.

In this framework, we center our work on the problem of ICBM (Infinitely Convo-

lution BernouUi Measures), already stated in 1935 by B. Jessen y A. Wintner. This is

an example of self-similar measures with overlapping which, at first may look simple,

because they are defined in a bounded interval in R, using only two similarities with

the same contraction ratio. However, these measures have been studied for more than

sixty years and the main questions posad by A. Garsia [Gar62] in 1962, still remain

unsolved.

In the first chapter, the problem of ICBM is described in detall, as well as the main

results obtained since they were introduced in 1935, until nowadays. The chapter

starts with an introduction to measure theory.

The second chapter is an introduction to fractal geometry, which is the general

área of the research.

The third and fourth chapters are dedicated to present the original results.

The third chapter starts with the definition of equivalent iterated functions Sys-

tems and with the study of the properties that allow to obtain equivalent systems.

The method, which permits to delete the overlapping using equivalent systems, is

very restrictive. It is shown, using an example, that it can be useful in some specific

V

cases. The main result of this chapter is the approximation of self-similar measures

with overlapping through a sequence of self-similar measures, satisfying the strong

separation condition, defined using the cyünders of the former iterated function sys-

tem. For self-similar measures in R, as it is the case for BernouUi convolutions, the

existence of this sequence depends on the fact that some property, which we cali

T, holds. It is proved that that property J^ holds for the iterated function system

associated to the ICBM for the reciprocal of the golden ratio.

In the last chapter the techniques of the theory of orthogonal polynomials are

used to study the ICBM. The main result of this chapter is an exphcit formula for

the moments of the family of the

ICBM [Ir- This formula allows to express the moments of order n of the measures

\ir as a quotient of two polynomials in r. It is proved that the driver coefficient of

the polynomial in the numerator is the absoluta valué of Euler number E-in- In the

next section new relation are obtained for BernoulU numbers. Next, the asymptotic

behavior of the moments of the ICBM is calculated, as well as that of the measures

obtained changing the probabilities.

In the last section several numerical computations, obtained using the formulae

developed previously, are shown. The concordance of Rakhmanov's theorem [MNT85]

with the results by Erdos is illustrated in a graphical way. Finally, the distribution

and density functions of the ICBM, when the latter exists, are approximated, by

Hausdorff's representation theorem, using the formulae for the moments obtained in

the previ cus sections.

VI

INTRODUCCIÓN

La necesidad de medir el tamaño de conjuntos en la recta, el plano o el espa-

cio viene de antiguo. Se sabía medir figuras geométricas sencillas como triángulos o

rectángulos ya en la Grecia clásica. Mediante triangulaciones se podían medir conjun-

tos más complicados, siempre que estuvieran limitados por líneas rectas. Para otros

conjuntos no se pueden utilizar triangulaciones, y ya Arquímedes utilizaba el método

de exhaución, que consistía en ir calculando áreas conocidas dentro del conjunto que

queremos medir, hasta "agotar" su área.

Sin embargo, costó dos mil años dar una definición satisfactoria de área. A finales

del S.XIX aparecen diferentes definiciones de medida. La idea consiste en recubrir un

conjunto C dado con una cantidad finita de otros conjuntos cuya medida conocemos,

como intervalos (Stolz y Harnack,1884) o esferas (Cantor 1885), evaluar la suma

de las medidas de estos conjuntos y, finalmente, tomar el ínfimo como medida del

conjunto C. Algunos años después, Peano y Jordán (1890) intentan subsanar algunos

inconvenientes de estas definiciones introduciendo el concepto de conjunto medible,

pero esta definición presenta también algunas anomalías. Son las ideas de Borel

(1898) las que llevan a Lebesgue, ya en el siglo XX, a formular la definición de lo que

hoy se conoce como medida de Lebesgue, ésta generaliza lo que entendemos como

longitud, área y volumen en la recta, el plano y el espacio, respectivamente.

Es claro que si queremos medir un cuadrado en el plano, tendremos que medir su

área y la herramienta adecuada sería la medida de Lebesgue en E^. Si utifizamos la

I N T R O D U C C I Ó N

medida de Lebesgue 1-dimensional, se obtiene longitud infinita, ya que un cuadra-

do contiene infinitos segmentos de longitud positiva. Si calculamos su medida de

Lebesgue en M̂ nos dará cero, ya que podemos cubrir el conjunto con un prisma

cuya base sea el propio cuadrado y la altura tan pequeña como se quiera. Así, para

que la medida de un conjunto sea relevante, se debe medir en la dimensión adecuada.

La aparición de conjuntos muy irregulares como el conjunto de Cantor (1883), las

curvas de Peano (1890), de Hilbert (1981) y de Koch (1904) causaron gran confusión

entre los matemáticos de la época. Las sorprendentes propiedades geométricas y

analíticas de estos conjuntos hicieron que, en un principio, fueran considerados como

curiosidades matemáticas. Según se profundizaba en su estudio, se fueron plantean-

do diferentes problemas. Por ejemplo, la medida de Lebesgue no distingue entre el

conjunto de Cantor, que es no numerable, y un conjunto numerable de puntos. Las

curvas se miden con la medida 1-dimensional, sin embargo, las curvas de Peano y

Hilbert tienen longitud infinita y área positiva, mientras que la curva de Koch tiene

longitud infinita entre dos puntos cualesquiera y cubre área nula.

Carathéodory, en 1914, pensó en estimar la medida de un conjunto a partir de

recubrimientos por conjuntos acotados arbitrarios.

En 1919, Hausdorff generalizó la idea de Carathéodory introduciendo el concepto

de dimensión asociado a un proceso de medida, esto es, para cada s > O se define

la medida s-dimensional de Hausdorff, TL^. Se define la dimensión de Hausdorff de

un conjunto A como el único valor de s en que la medida ¿-dimensional pasa de ser

infinito (para í < s), a ser cero (para t > s).

Aunque no se resuelven todos los problemas, la teoría de Hausdorff sí establece

diferencias entre el conjunto de Cantor que tiene dimensión positiva, s = :; , y un logS

conjunto numerable que tiene dimensión cero.

Poco después, en los años 20, Besicovitch se dedicó al estudio de las propiedades

geométricas de los conjuntos de dimensión de Hausdorff 1. Su teoría y sus técnicas

INTRODUCCIÓN

son consideradas como el origen de la teoría geométrica de la medida.

Según se fueron desarrollando las herramientas matemáticas necesarias para dis-

tinguir, medir y analizar estos conjuntos, se comenzó a percibir tanto su belleza

matemática como sus aplicaciones. No sólo las ciencias aplicadas se han visto influen-

ciadas por esta nueva rama de las Matemáticas, sino que también se ha manifestado

su incidencia en diferentes ramas de las Matemáticas, como sistemas dinámicos,

teoría de números, variable compleja, como puede verse en diferentes libros como

[GMMR93].

En 1977, B.B. Mandelbrot pubhcó "The Fractal Geometry of Nature" describien-

do numerosas aplicaciones de este tipo de estructuras, las autosemejantes, para la

investigación en ciencias aplicadas, convirtiéndose en una herramienta fundamental

en la modelización de un gran número de fenómenos naturales. El término fractal,

procedente del latín "fractus" (fragmentado, irregular), fue introducido por Mandel-

brot para designar estos conjuntos que no tenían ningún nombre concreto, y desde

entonces se conoce esta rama de las matemáticas como geometría fractal o teoría

geométrica de la medida.

Intuitivamente, un conjunto autosemejante es aquel que puede ser descompuesto

en partes cada una de las cuales tiene idéntica forma al conjunto total, pudien-

do diferenciarse en tamaño, orientación o ubicación espacial. La autosemejanza es

una propiedad presente en la naturaleza. Muestra de ello podría ser la estructura

y distribución de las protuberancias nubosas que se repiten a diferentes escalas, la

estructura de los árboles y de los ríos, la estructura granulométrica del suelo, etc. Por

otra parte, los conjuntos autosemejantes, dada su peculiaridad geométrica, resultan

ser de los conjuntos fractales más sencillos de imaginar, y de los más útiles a la hora

de modelizar ciertos elementos de la Naturaleza.

Los ejemplos más fáciles de describir de conjuntos autosemejantes se encuentran

entre los ya mencionados anteriormente: el conjunto de Cantor, la curva de Koch, el

INTRODUCCIÓN

triángulo de Sierpinski,... El conjunto de Cantor (ver capítulo 2), se descompone en

dos partes disjuntas idénticas al conjunto total. Cuando un conjunto autosemejante

se compone de varias piezas que no se tocan, se dice que cumple la condición fuerte

de separación. Evidentemente, este no es el caso de la curva de Koch ni del triángulo

de Sierpinski, ya que las piezas en las que se descomponen se tocan, aunque sólo

sea en un punto. En estos casos en los que las piezas se tocan sólo en el borde se

hablará de condición de abierto.

En 1981, J.E.Hutchinson [HutSl], estudiando las propiedades comunes de los

conjuntos fractales y las medidas soportadas por estos, formalizó una teoría unificada

sobre el estudio y la obtención de los conjuntos y medidas autosemejantes, dando

lugar a una amplia gama de conjuntos y medidas fractales. La definición matemática

de conjunto autosemejante, que allí se da, permite que las piezas se corten, mientras

la intersección sea pequeña en comparación con el conjunto.

Nosotros utilizaremos el término autosemejante en sentido más amplio, es decir,

aunque las piezas se corten en un conjunto "grande". El problema del solapamiento,

que es el que se va a abordar a lo largo de esta memoria, consiste precisamente en

estudiar estos conjuntos y medidas en los que falla la teoría de Hutchinson.

Poco después, en 1985, M.F.Barnsley y S.Demko [BD85] generalizaron el método

de Hutchinson. Mientras que Hutchinson utiliza semejanzas contractivas, Barnsley

permite cualquier tipo de funciones contractivas, de forma que el conjunto no se

descompone en partes idénticas al total, sino que permite deformaciones. De esta

forma se amplía notablemente la cantidad de conjuntos y medidas fractales que

se pueden obtener con el método de Barnsley. Estos conjuntos y medidas no tienen

todas las propiedades geométricas y de dimensión que tienen los conjuntos y medidas

autosemej antes.

El gran auge que la geometría fractal ha experimentado en los últimos años se

debe, en buena medida, a la utilización del ordenador, ya que es especialmente eficaz

INTRODUCCIÓN

a la hora de repetir los procesos sencillos que suelen definir los conjuntos fractales.

Generalmente con unos sencillos algoritmos se generan formas y estructuras muy

complejas y con unas propiedades sorprendentes. Con la ayuda del ordenador, la

geometría fractal nos provee de una potente herramienta mediante la cual podemos

describir y generar, con una reducida cantidad de información, numerosas formas de

la naturaleza.

El problema de ICBM

El problema del solapamiento sigue sin ser bien comprendido a pesar de ser uno

de los principales problemas que se plantean en la teoría geométrica de la medida y

que se ha trabajado en profundidad en los últimos años.

Para abordar este problema nos centraremos en el estudio de las convoluciones

infinitas de distribuciones de Bernoulli, que llamaremos ICBM (del inglés Infinitely

Convolution Bernoulli Measures), planteado ya en 1935 por B. Jessen y A. Wintner.

Estas convoluciones, que describiremos a continuación, son medidas que dependen de

un parámetro r. Cuando r es menor o igual que - , se cumple la condición de abierto,

por lo que se cumple toda la teoría de autosemejantes de Hutchinson. En este caso

el conjunto autosemej ante es un conjunto tipo Cantor y la convolución infinita de

Bernoulü es la medida de Hausdorff s-dimensional, siendo s la dimensión del soporte.

Cuando este parámetro r es mayor que - , tenemos medidas autosemej antes con

solapamiento cuyo soporte es un intervalo. En principio, parece que, en este caso, la

ICBM es un ejemplo bastante sencillo de medidas autosemej antes con solapamiento,

ya que se trata de medidas en un intervalo acotado en M, con sólo dos semejanzas

(partes iguales al total) con el mismo radio de contracción (tamaño). Sin embargo,

estas medidas se han estudiado durante más de sesenta años y siguen sin resolverse

las principales cuestiones planteadas ya por A. Garsia [Gar62] en 1962.

Para describir el problema de la convolución infinita de distribuciones de Bernou-


lli, partimos de una sucesión { r„}^^ de números reales. A partir de esta sucesión

se considera la familia simétrica de distribuciones de BernouUi Í/„, con masa - en

los puntos —r„ y r„. La convolución de las n primeras medidas, que notaremos por n

/i„, es una medida atómica con 2" átomos, 2_^±r^, y masa 1 distribuida por igual 1=1

entre todos los puntos del soporte. El límite de estas medidas es la convolución

infinita que converge absolutamente a una distribución continua si y sólo si la serie oo

N r„ converge absolutamente [JW35]. En este caso, llamaremos^ a la distribución n = l

límite. Jessen y Witner probaron que la distribución ¡j, es continua y que o bien es

absolutamente continua, o bien es singular.

En el caso de series geométricas, Vn = r'^^ se tiene que la convolución infinita de

Bernoulli converge si y sólo si r es menor que uno, r e (0,1). Este es el caso en el que

se centrará nuestro estudio. Para cada r 6 (0,1) consideramos la familia de distribu-

ciones simétricas de Bernoulli /in, con soporte spt(/i„) = {—r",r"-}. Llamaremos /i^

la convolución infinita de estas distribuciones de Bernoulli.

Cuando r < -, como se puede ver en [Mor89], el soporte spt(/i^) es un conjunto

tipo Cantor con dimensión de Hausdoríf s = r menor que uno, por lo que su log^

medida de Lebesgue es nula y /i^ es singular.

Si r = - , /ir es la medida de Lebesgue normalizada, en el intervalo [—1,1], por

lo que es absolutamente continua.

Cuando r > - la medida es mucho más compficada, ya que pasamos a tener

medidas autosemejantes con solapamiento, y permanecen sin resolver muchas cues-

tiones sobre estas medidas, a pesar de que se llevan estudiado desde los años treinta.

Una clasificación de los valores del parámetro r para los que /LÍ̂ es absolutamente

continua o singular, sigue sin conocerse . En particular, no se sabe qué sucede cuando

r es racional.

A lo largo de estos años, se han utilizado diferentes técnicas para estudiar estas

medidas. Las primeras que surgieron estudiaban la transformada de Fourier de una

6

INTRODUCCIÓN

medida ¡JL.

Una condición necesaria para que una medida sea absolutamente continua es que

su transformada de Fourier tienda a cero en el infinito. Esta condición se utiliza

para probar que en algunos casos la medida /i,, es singular, como puede verse en los

ejemplos de Jessen y Wintner. Erdós [Erd40] y Salem [Sal44] probaron que si r es el

inverso de cierto tipo de números algebraicos, los números de Pisot-Vajayaraghvan

(en adelante P.V.), la transformada de Fourier de ^r^ no tiende a cero. Por tanto,

si r es el inverso de un P.V., sabemos que /i^ es singular. Al no ser una condición

suficiente no se podemos asegurar qué sucede con la ICBM si r no es el inverso de un

P.V. El menor de los números P.V. es la solución positiva de x'̂ — a; — 1 = O [Sie44],

por lo que a partir de su inverso (/?o = 0,754...) no se conoce ningún valor de r para

el que la medida ¡ir sea singular.

Utilizando el teorema de inversión, Erdós [Erd40] probó que para cada m £ N

existe un número positivo 5{m) tal que /ir es absolutamente continua con derivadas

de orden m — 1 para casi todo r € (1 — 5{m), 1). Por otro lado, Garsia [Gar62]

encontró una familia de números algebraicos, la más amplia encontrada hasta la

actuafidad, para los que la medida es absolutamente continua.

Recientemente, Solomyak [Sol95] ha probado que HT es absolutamente continua,

para casi todo r e ( o' "'̂ ) ' utilizando métodos de transformadas de Fourier. Pos-

teriormente, Peres y Solomyak [PS96] han probado este mismo resultado de forma

más sencilla utiUzando técnicas de teoría geométrica de la medida. Actualmente

están apareciendo en la literatura nuevas formas de atacar el problema de las ICBM

aphcando estas técnicas [Lau93],[LN98], [PSS00],[LN99a],[Ngu01], [NWOl].

El problema de las convoluciones de Bernoulli puede ser útil como una primera

aproximación al estudio de las medidas autosemejantes con solapamiento, que será el

objetivo de esta investigación.

En el primer capítulo describiremos con detalle el problema de las convoluciones


de BernouUi y los resultados que se han obtenido desde su planteamiento en 1935

hasta la actualidad. Empezaremos exponiendo los conceptos básicos de teoría de la

medida necesarios para comprender el problema.

El capítulo segundo de esta memoria se dedica a exponer los conceptos de la

geometría fractal, ya que éste será el marco en el que se desarrolle nuestra investi-

gación.

Los capítulos tercero y cuarto, se dedican a presentar los resultados que hemos

obtenido y son casi en su totalidad originales.

Empezaremos el capítulo tercero formalizando la idea intuitiva de eliminar el

solapamiento pasando a un sistema equivalente con condición de abierto. Este método

es muy restrictivo, aunque como se muestra, puede ser efectivo en algunos casos

concretos. El resultado central de este capítulo es la aproximación de una medida

autosemejante con solapamiento mediante una sucesión de medidas autosemejantes

con condición fuerte de separación, definidas a partir de los cilindros de la medida

inicial. Veremos que, para medidas autosemej antes en R (caso de las convoluciones de

BernouUi), la existencia de esta sucesión depende de que se verifique una propiedad

que llamaremos T. Esta propiedad consiste en que la familia de conjuntos de medida

cero sea invariante para el sistema de funciones iteradas, tanto por imágenes inversas

(esta condición se cumple siempre), como por imágenes directas. Veremos que el

sistema de funciones iteradas que tiene como medida asociada la convolución infinita

de BernouUi para el inverso de la razón áurea verifica esta propiedad.

A continuación, expondremos una forma diferente de afrontar el problema del

solapamiento en R, trasladando la complejidad del problema del solapamiento a otro

campo. La idea consiste en no utilizar la métrica usual al definir los conceptos de

medida y dimensión de Hausdorff si no utilizar una nueva métrica definida a partir de

la medida /i, que se pretende estudiar, de los intervalos. La dimensión de Hausdorff

de la medida que define esta métrica, se calcula casi automáticamente y vale siempre

8

INTRODUCCIÓN

uno. En contrapartida, se complica enormemente el cálculo de esta dimensión para

la medida de Lebesgue. Aquí, el problema a estudiar es la equivalencia de la métrica

usual y la métrica definida a partir de la medida ¡.i.

Para acabar este capítulo, calcularemos las acotaciones más finas que se tienen

en la actualidad de la dimensión print la curva de Koch y el triángulo de Sierpinski.

La dimensión print de un conjunto fue introducida por C. A. Rogers [Rog88] para

distinguir entre conjuntos que con estructura geométrica muy diferenciada tienen la

misma dimensión de Hausdorff. Sin embargo, esta dimensión es tan complicada de

calcular, que aún no se conoce la dimensión de fractales tan sencillos como la curva

de Koch o el triángulo de Sierpinski. Aunque el problema del solapamiento es arduo

en sí mismo, puede ser útil a la hora de calcular la dimensión print de un conjunto

mediante la proyección de las medidas que soporta. Generalmente, estas proyecciones

son medidas autosemejantes con solapamiento.

El último capítulo se dedica a los resultados que hemos obtenido relacionados con

la teoría de los polinomios ortogonales. Esta amplia teoría, con fuerte relación con

la teoría de operadores, puede parecer, en principio, muy alejada del problema que

aquí se aborda. Sin embargo, el análisis de las propiedades de una medida a partir

del comportamiento de los coeficientes de la fórmula de recurrencia (elementos de la

trididiagonal de Jacobi) se remonta a O. Blumenthal [Blu98], aunque el verdadero

iniciador dé la aplicación de la teoría de operadores al estudio de los polinomios

ortogonales es M.H. Stone que, en [Sto32], dedica una amplísima sección al estudio

de la tridiagonal de Jacobi. En otro orden hay que situar a G. Szegó [Sze75], Shohat

[Sho34] o L. Y. Geronimus [GerTl] interesados en la caracterización la medida, en

el caso de la circunferencia unidad o la recta real, pero sin utilizar técnicas propias

de la teoría de operadores. El teorema de E.A. Rakhmanov [Rak83, RakST] es uno

de los resultados clave de los últimos años en la teoría de los poUnomios ortogonales

reales. La aparente simplicidad de su enunciado despertó el interés de numerosos

9

INTRODUCCIÓN

investigadores que han tratado de aproximarse a los problemas abiertos de su entorno,

retomando las técnicas usadas por M.H. Stone, como es el caso de J. Dombrowski

[Dom78], [DomSO], [Dom84], [Dom85], [DN86], y [Dom87].

Salvo una pequeña introducción a esta teoría, con la que comenzaremos, este

capítulo es original.

El resultado central de este capítulo es el cálculo de una fórmula explícita para

los momentos de convoluciones de distribuciones de BernouUi. Esta viene dada en

función de los números de BernouUi y de particiones de números enteros. A partir de

esta fórmula se obtienen los momentos de orden n de las medidas fir como cociente

de dos polinomios en r. En esta sección probamos que el coeficiente conductor del

polinomio numerador es en valor absoluto el número de Euler E2n- Para demostrar

esto, utilizaremos una fórmula recurrente para los momentos basada en que estas

medidas son autosemejantes.

En la siguiente sección se deducen nuevas relaciones para los números de BernouUi

a partir de la fórmula que hemos obtenido para los momentos cuando i^ = 7:, que es

el caso de la medida de Lebesgue y los polinomios de Legendre.

A continuación probaremos que la dimensión puntual de las convoluciones infini-

tas de BernouUi existe para el punto a; = 1, y calcularemos su valor. Recientemente,

autores como Goh y Wimp [GW93], [GW94] analizan el comportamiento asintótico

de los momentos de algunas medidas invariantes. Fisher, en [Fis95c], relaciona el

comportamiento asintótico de los momentos de una medida en [0,1] con su dimen-

sión puntual. Mantica [Man96] describe una técnica recursiva para determinar las

matrices de Jacobi de medidas invariantes multifractales. Utilizando los resultados

de H. J. Fisher, determinaremos el comportamiento asintótico de los momentos tanto

para las convoluciones de BernouUi como para las medidas que se obtienen varian-

do las probabilidades. También se deduce una fórmula recurrente para la función

generatriz exponencial de los momentos para el caso más general de convoluciones

10

INTRODUCCIÓN

infinitas con pesos.

En la última sección haremos diferentes cálculos numéricos a partir de las fórmu-

las que hemos obtenido en este capítulo. Veremos gráficamente la concordancia del

teorema de Rakhmanov [MNT85] con los resultados de Erdos sobre la singularidad

de los inversos de los P.V. Por último, utilizaremos el teorema de representación de

Hausdoríf y los momentos obtenidos en las secciones anteriores para aproximar las

distribuciones y sus densidades en caso de existir. También veremos, al representar

los casos de medidas singulares, la divergencia de la derivada de la distribución, al

no existir función de densidad.

11

INTRODUCCIÓN

12

Capítulo 1

PLANTEAMIENTO DEL

PROBLEMA Y ESTADO DEL

ARTE

En este capítulo vamos a describir un problema clásico, planteado en los años 30

por B. Jessen y A. Wintner [JW35] sobre las convoluciones de infinitas distribuciones

de BernouUi, que será el centro de nuestro estudio. Para ello introduciremos los

conceptos de Teoría de la Medida necesarios para comprender este problema y a

continuación haremos un recorrido histórico.

1.1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA

MEDIDA

En todo el trabajo consideraremos un espacio métrico {X,d), que normalmente

será un compacto de M" con la métrica euclídea.

Definición 1.1.1. Una medida en X es una función de conjunto no negativa,

monótona y subaditiva, que toma el valor cero para el conjunto vacío, es decir:

13

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y ESTADO DEL ARTE

La función de conjunto ¡i : V{X) —> [O, oo] es una medida si verifica las siguientes

propiedades.

1. Ai(0) = O.

2. fi{A) < fx{B) para todo Ac B.

( oo \ oo \JA]

1.1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MEDIDA

Observación 1.1.4. Generalmente, en la teoría de la medida, una medida es una

función de conjunto no negativa y cr-aditiva, definida en una cr-álgebra y no en V{X).

La definición que aquí se da es la de medida exterior. En la actualidad, se tiende a

denominar medidas a las medidas exteriores y medidas aditivas a la restricción de

estas a la a-álgebra de los conjuntos medibles. Por otro lado, toda medida aditiva

/L¿ que está definida en una cr-álgebra M, se puede extender a una medida ¡i*, de la

siguiente forma

11*[A) - inf{Ai(5) \AcBe M}.

Esta forma de definir medidas mediante recubrimientos, que veremos más ade-

lante, es lo que se conoce como método I de construcción de medidas .

Definición 1.1.5. Sea ¡i una medida en X. Recordemos que la tr-álgebra de Borel

es la mínima cr-álgebra que contiene a los conjuntos abiertos. Se dice que:

1. / /es localmente finita si para todo x £ X existe r > O tal que fx{Br{x)) < oo,

2. /i es una medida de Borel si los conjuntos de Borel son /li-medibles,

3. /i es regular si para todo conjunto A C X existe un conjunto B C X /U-medible

de forma que A C B y ^{A) = n{B),

4. ¡1 es Borel regular si es una medida de Borel y para todo conjunto A C X

existe un conjunto B C X de Borel de forma que A C B y IJ-{A) = IJ.{B),

5. ^ es una medida de Radon si es una medida de Borel y verifica las siguientes

propiedades:

i) IJ-{K) < cx) para todo compacto K de X,

ll) i-i{G) = s\ip{n{K) \ K C G.,K compacto } para todo G conjunto abierto

d e X ,

lii) i2{A) = mí{ii{G) \ A C G,G abierto } para todo conjunto A de X.

15

file:///AcBe


Observación 1.1.6. Una medida de Radon es Borel regular El recíproco no es cierto,

aunque se tiene el siguiente resultado (ver [Mat95, pag.l2]).

Una medida ¡j, en E" es una medida de Radon si, y sólo si, es localmente finita y

Borel regular.

Las medidas autosemejantes, como veremos más adelante, son medidas de pro-

babilidad Borel regulares en M", y por tanto son medidas de Radon.

A continuación vamos a describir un método de construcción de medidas que

nos va a permitir ver la relación entre una medida fx y la, medida que se obtiene al

extender la medida aditiva /i* que se obtiene como restricción de ¡j. a, la. a-álgebra

de los conjuntos /x-medibles. Es de esperar, que al restringir y luego extender, se

obtenga la medida de partida. Esto será así cuando /i sea regular.

Definición 1.1.7. Una función r definida sobre una clase C de subconjuntos de X,

se dice que es una pre-medida si:

1. 0 G C y r ( 0 ) = O,

2. T{C) G [O, oo] para todo C G C.

Teorema 1.1.8. Sea r es una pre-medida definida sobre una clase de conjuntos C.

Para cada conjunto A de X, se considera la función de conjunto

{ oo oo Y,r{Q) \ A c\J Cu CiEC

con el convenio de que inf(0) = oo. Entonces, ¡J, es una medida en X. En estas

condiciones, diremos que ¡i es la medida construida a partir de la pre-medida (r, C)

por el Método I.

Es fácil comprobar que toda medida puede considerarse construida por el Método

I, donde la pre-medida de partida es ella misma.

En el siguiente teorema (Carathéodory-Halm) se recogen las principales propie-

dades de una medida construida por el Método I, tomando como pre-medida una

medida a-aditiva. 16

1.1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA MEDIDA

Teorema 1.1.9. Sea ¡j, una medida a-aditiva y sea M. la a-álgebra de los conjuntos

fi-medibles. Sea ¡i* la medida construida por el Método I a partir der — iiyC — M.

Entonces:

1. /x*(A) = inf{/í(M) \M ^M.AcM} para todo conjunto A de X.

2. ¡1* es una extensión de ¡i.

3. La clase M* de los conjuntos ij*-medibles contiene a Ai y, por tanto, ¡i* es

regular.

oo

4- Si X = \\ Ai con /i* (A) < oo po-f^o, todo i, entonces, la restricción de ¡i* a Á4*

es ¡1.

5. Si fj, es la restricción de una medida regular fj,Q a la clase de los conjuntos

Ho-medibles, se tiene que fi = ¡i*.

Definición 1.1.10. Una función F : R —> R se dice que es una función de distribu-

ción si es no decreciente y continua a la derecha.

Si F es una función de distribución, podemos definir una función de conjunto

aditiva

iJ,F{a,b] = F{b)- F{a)

para cada o, 6 G R. Esta función de conjunto, nos define a partir del Método I, una

única medida de Borel en R. Recíprocamente, si tenemos una medida de Borel /i en

R, la función F : R —> R definida por

uíO, x] si X > O F{x) = • ^^ J

—/i(a;,0] si x < O

es la función de distribución de ¡j,.

Si la medida /j, es de probabilidad, la función de distribución de la medida fi

verifica que lím F{x) = O y lím F{x) = 1. X—>—oo X—•oo

17


El soporte de una medida es el conjunto spt(/i) formado por los puntos x tales que

¡Ji{E) > O para todo conjunto E que tiene x como punto interior. El soporte puntual

de fj, es el conjunto P{ij) = {x G R | //(x) > 0} de los puntos con masa o átomos.

Una medida se dice continua o discontinua dependiendo de si el espectro puntual es

vacío o no. Se dice que /i es puramente atómica si / Í ( P ( / Í ) ) = fx{M). Diremos que

es singular, si es continua y existe un conjunto E de Borel de medida de Lebesgue

cero y tal que /i esta concentrada en E, es decir, ^(R \E) = 0. Por último, diremos

que una medida es absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue, si

/i(£') = O para todo conjunto de Borel E de medida de Lebesgue cero. Este caso se

da si y solo si existe una función D integrable Lebesgue, es decir, D G L^, de forma

que

//(E) = / D{x)dx, JE

para cualquier conjunto de Borel E. Esta función D se llama densidad de ¡i.

Toda medida de probabilidad /i se puede escribir de la forma:

siendo «i, «2, «3 números no negativos, tales que cti + QÍ2 + Q;3 = 1 y /ii, ^̂ 2, /Us son me-

didas de forma que /ii es puramente discontinua, 1^2 es singular y ^3 es absolutamente

continua. Esta descomposición es única.

La función característica o transformada de Fourier de una medida es

^,{y) = Je'^yd^,{x).

1.2. CONVOLUCION DE MEDIDAS

Definición 1.2.1. Sean /ii y H2 dos medidas de probabilidad con funciones de dis-

tribución Fi y F2 respectivamente. Se define la convolución fj, = ni * ¡12 como una

18

1.2 CONVOLUCION DE MEDIDAS

nueva medida de probabilidad con función de distribución F, dada por:

F{x)= í F,{x-y)dF2{y). JE.

Observación 1.2.2. La convolución de las medidas de probabilidad ni y ^2 se puede

definir también de las siguientes formas:

1. Suma de variables aleatorias independientes. Sean X e Y dos variables aleato-

rias con distribuciones F y G respectivamente. La variable aleatoria Z — X+Y

tiene como función de distribución,

Hiz) = P{X + Y


3. Sea ¡I = ¡ii * fj,2- Si fj,i y IJ,2 son discretas, entonces ¡i es discreta. Si fii es

continua, entonces /i es continua. Si /ii es absolutamente continua, entonces ¡JL

es absolutamente continua.

4. Si /ii y /i2 son medidas absolutamente continuas con funciones de densidad di

y (¿2, respectivamente, la convolución fi tiene como densidad la convolución de

las densidades di * ¿2 = di{x — y)d2{y)dx.

5. La función característica, también llamada transformada de Fourier, de la con-

volución /i = /ii * ;U2 es el producto de las funciones características.

1.3. CONVERGENCIA DÉBIL DE MEDIDAS Y

CONVOLUCIÓN

En lo que sigue, Mp{X) denotará el conjunto las medidas de probabilidad Borel

regulares en el espacio métrico {X, d) que consideraremos separable y completo.

Definición 1.3.1. Diremos que una sucesión de medidas {^n} C J^p{X) converge

débilmente a /i e A^p(X) si

lím / fdjin = / fdfi, para toda función / e Co{X), n^ooj J

donde Co{X) es el espacio de las funciones continuas en X, con soporte compacto.

Esta convergencia la notaremos por /i„ -^ ¡i.

Observación 1.3.2. P. Mattila [Mat95, pg. 18] define esta convergencia para medi-

das de Radon. Edgar [Edg98, pg. 102] la define para medidas de Borel de probabilidad

"tight", esto es, tales que la medida de los conjuntos de Borel se puede aproximar

por la medida de los compactos contenidos en él. Si el espacio es completo y sepa-

rable, cualquier medida de Borel es "tight". Falconer [Fal97, pg. 13] la define para

20

1.3 CONVERGENCIA DÉBIL DE MEDIDAS Y CONVOLUCION

medidas localmente finitas. Todas estas definiciones coinciden en el caso de medidas

invariantes.

O. Prostman [Pro35] define la convergencia débil de una sucesión de medidas Hn

a una medida ¡j., cuando se verifica lím ^n{E) = A¿(-̂ )i Pî'^ todo conjunto E de n—+00

X tal que ¡Ji{dE) = 0. El siguiente teorema nos muestra que ambas definiciones son

equivalentes. Lá demostración de este teorema y de las propiedades de la convergencia

débil que enunciamos a continuación se puede ver por ejemplo en [Edg98].

Teorema 1.3.3. Sea /i„ —> /i.

1. Si G es un conjunto abierto de X, entonces

límmífin{G)>ii{G). n—ôo

2. Si F es un conjunto compacto de X, entonces

límsup/.in(i^) < íîF). n—>oo

Teorema 1.3.4. Una sucesión {^„} de medidas en M.p{X) es débilmente conver-

gente a ¡j, E Mp{X), si y sólo si, fJ,n{E) —>• n{E) para todo conjunto E de X tal que

li{dE) = 0.

En lo que sigue, cuando hablemos de convergencia nos referiremos a la noción de

convergencia débil.

Definición 1.3.5. Sea {^„} una sucesión de medidas en Mp{X). Diremos que la

convolución infinita fxi * 112 * • • • es convergente, si existe una distribución fj. tal que

-071 -^ A* siendo V'n = A*i * M2 * • • • * A*n- En este caso, escribiremos /i = /ii * /J2 * • • • •

Una condición necesaria y suficiente para que la convolución infinita converja es

que el producto infinito de las funciones características converja uniformemente sobre

cada compacto. En este caso se tiene

21


Los siguiente teoremas de [JW35] nos serán muy útiles.

Teorema 1.3.6. Si fi — fií * fi^ * • • • es convergente, entonces

Spt(Ai) = Spt(/i i) + Spt(/LÍ2) H .

Para el siguiente teorema necesitamos los siguientes conceptos. Dada una medida

/i definimos M2(^) = / \xfdij{x). Por otra parte, notaremos por c(/i) el centro de

gravedad de la distribución ¡j, y definimos fí{E) = n{E + C(/LÍ)), es decir, fj, es la

distribución /j. trasladada por su centro de masas de forma que c{fl) = 0.

Teorema 1.3.7. Si todos los soportes de la medidas ^n están contenidos en una

esfera fija, esto es, spt(/i„) C {|x| < K} para todo n G N, entonces la convergencia

de las series

Y.ciflr^) y 5 ] M 2 ( / Í ) n = l n = l

es condición necesaria y suficiente para la convergencia de la convolución infinita

H = f i i * 1X2* • • • •

Diremos que la convolución infinita /.i = /.¿i * /i2 * • • • converge absolutamente si

es convergente para cualquier reordenación de términos.

Teorema 1.3.8. Si todos los soportes de la medidas ¡Xn están contenidos en una

esfera fija, esto es, spt(/¿„) C {\x\ < K] para todo n G N, entonces la convergencia

de las series

^|C(A¿„) | y X1^2(/i)

es condición necesaria y suficiente para la convergencia absoluta de la convolución

infinita n ~ jji * ¡12 * • • • •

22

1.4 CONVOLUCION DE DISTRIBUCIONES DE BERNOULLI

1.4. CONVOLUCION INFINITA DE DISTRI-

BUCIONES DE BERNOULLI

Sea S el conjunto {~r,r}, siendo r un número real positivo. Sea fi la distribución

de Bernoulli para ese soporte, es decir ¡-i{E) es O, - ó 1 dependiendo de que E

contenga ninguno, uno o ambos de dichos puntos. La función característica de esta

distribución es \E'(Í/, [i) = cos(ry) y su soporte es spt(^) = P{}i) — S. Se tiene que el

centro de masas C{IJ,) es cero y que M2(/.¿) = r^.

Sea {vn} una sucesión de números reales positivos. Sea ^„ la distribución de

Bernoulli para el soporte 5„ = {—r„,r„}. La distribución z/„ = /ii * ̂ 2 * • • • * /̂ n es

una distribución discreta, cuyo soporte es spt(t'„) — P{vn) = 5i + ^2 H [- -?„ y se

tiene que

, card{(ci, C2,..., c^) | c, = ±1 , ciVi + C2r,. H h CnV^ G E] u^[E) = .

El teorema L3.8 junto con otros resultados de Jessen y Wintner, nos da el si-

guiente resultado [JW35, Teor.ll] para las convoluciones infinitas de Bernoulli.

Teorema 1.4.1. Sea {r„} una sucesión de números reales positivos. La convolución

infinita ¡j, de las distribuciones de Bernoulli ¡i^ con soporte en {—r„, r„} es absoluta-00

mente convergente, y por tanto convergente, si y solo si la serie V J r^ es convergente. n=l

00

La función característica es \í̂ ^ = 1 1 cos(r„|/). El soporte spt(yu,) es acotado o es toda 00

la recta real, dependiendo de si la serie N^ Tn converge o diverge. El espectro puntual n = l

es vacío y n es, o bien singular, o bien absolutamente continua.

Ejemplo 1.4.2. Cuando la sucesión r.„ sea una progresión geométrica (r„ = r"), la

convergencia absoluta de la convolución infinita de las distribuciones de Bernoulli

asociadas está asegurada si r < 1. Veamos algunos casos.

23


1. Sea Tn = —• Entonces spt(/i) es el conjunto ternario de Cantor en el intervalo

--, - . Esta medida es singular y es un ejemplo muy sencillo de distribución

"" / 1 \ continua, con función característica í'̂ i ~ TT eos ( —y 1 que no tiende

n=i V^" / a cero.

La distribución es la escalera del diablo.

1-

0.8-

0.6-

/ 0.4-

J 0 .2-

-Ó.4 -0.2 0 J

/

0.2 0.4

2. Sea rr, 1

. En este caso se obtiene la distribución de Lebesgue en el intervalo

1 °° / 1 \ -1,1] cuya función de densidad es -X[-i,i] y *Í^ = ü ^°^ ( o^^ ) ""

sen y

O. D G 3 J TY]

vr . Como la convolución es absolutamente continua, podemos reor-

denar la sucesión, de forma que hacemos primero la convolución de todas las

potencias pares de r y obtenemos la distribución de Lebesgue [—1,1]. Después,

hacemos la convolución de las potencias impares y obtenemos la distribución

de Lebesgue en [—-\/2, \/2]. Por tanto, en este caso, la ICBM es la convolución

de dos distribuciones de Lebesgue.

sení/sen(?/\/2) La función característica será 't,, =

Su función de densidad será:

y yV2

1 1 1 f f^{x) - -X[-i,i]{x) * ^X[-V2,V2]i^) = —/^ J X[-i,il(a^ - ^)X[-V2,V2]iy)dy,

24


de donde

/ ^ (x ) - <

X 1 + ^ 2

2A/2 + 2 2X/2 + 2 1

2 + v^ 1 + ^ 2

2\/2 + 2 2 ^ + 2

si - 1 - V2 < a; < - 1

si - 1 < X < 1

si 1 < X < 1 + \/2

Su gráfica es

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Observación 1.4.3. También se puede considerar la convolución de infinitas

distribuciones de Bernoulli no simétricas, simplemente poniendo la masa de las

sucesivas distribuciones discretas en los puntos {0,r"-}. Por lo general se suele

normafizar de forma que el soporte este contenido en [0,1], es decir, poniendo

Í r" O, 7fr-1-r

25

1. P L A N T E A M I E N T O DEL P R O B L E M A Y ESTADO DEL ARTE

De esta forma, la distribución anterior tiene como densidad,

0.2 0.4 0.6 0.8 1

cuya expresión explícita es

/ (^) = <

( (x/2 + 1)̂ -X si o < X <

V2 SI

\/2 + l

< X < V2

V2 -x + V2

v ^ + l A/2 + 1

si —= < X < 1 \/2 + l "

4. Veamos la convolución para r„ ( ^ ) "

. Descomponiendo la sucesión y reor-

ganizando por múltiplos de tres, múltiplos de tres más uno y múltiplos de tres

más dos, se tiene que /.¿ es la convolución de una distribución como la anterior

en el intervalo [—1 — v^, 1 + \/2] con una de Lebesgue en [—v^, \ ^ ] por lo

que el soporte será [-1 - v ^ - ^ , 1 + ^ + v ^ ] .

26


La expresión explícita de la función de densidad de ¡j, es:

16 8 \ 16 /

X ^ + ^ 7"^ -A SI

4 4 l - ^ - ^ < 2 ; < - l + ^ - ^

-Y^ + ^ x+\ ^ si -l + ^+^


1.5. NOTAS HISTÓRICAS Y ESTADO DEL

ARTE

Para cada r G (0,1) consideramos la familia de distribuciones simétricas de

BernouUi /LÍ„, con soporte spt(^n) = {—r"•,?'"•}. Como ya hemos visto [JW35], la

convolución infinita de esta familia converge absolutamente a una distribución con-

tinua ¡Ir que, o bien es absolutamente continua, o bien es singular. Su soporte es

spt((U,.) = lím (spt(/Líi) H h spt(;U„)), 71—»0O

esto es, el conjunto de los límites de todas las sucesiones {xn} con x^ G spt(/ii) +

|-Spt(;Li„).

Como veremos en el capítulo 2, estas medidas /ir son medidas autosemejantes,

asociadas a un sistema de funciones iteradas.

R. Kershner y A. Wintner [KW35] observaron que, cuando el parámetro r es

menor que - , el soporte de /¿̂ es un conjunto tipo Cantor de dimensión menor que

uno, por lo que [ly es singular. Este caso corresponde a medidas invariantes asociadas

a sistemas de funciones iteradas con condición fuerte de separación, por lo que desde

el punto de vista de la geometría fractal son muy sencillas y es conocido tanto su

comportamiento local como su dimensión. De hecho, estas medidas coinciden con la

medida de HausdoríT en dicho conjunto de Cantor. Sin embargo, desde el punto de

vista de la teoría de polinomios ortogonales, nos interesará encontrar los momentos,

los polinomios ortogonales asociados y los coeficientes de la fórmula de recurrencia.

En 1935, A. Wintner [Win35] probó que si r = - o r = -r^, [ir es absolutamente 2 v 2

continua con densidad en C'̂ " .̂ En particular, si r = - se obtiene la medida de

Lebesgue en el intervalo [—1,1] multiplicada por - .

Cuando r > - , el soporte de la medida [ir es el intervalo y podría esperarse

que [ir fuera absolutamente continua. Sin embargo, este caso es el más complicado y

28

1.5 NOTAS HISTÓRICAS Y ESTADO DEL ARTE

siguen sin resolverse numerosos problemas, como para qué valores de r la medida es

singular o absolutamente continua. Desde el punto de vista de la teoría geométrica

de la medida, la medida Hr es invariante para un sistema de funciones iteradas

con solapamiento. El problema del solapamiento sigue sin ser bien comprendido, a

pesar de que ha sido el más estudiado y el que más literatura ha generado en los

últimos años en el área de la teoría geométrica de la medida. El objetivo de nuestro

estudio será el problema del solapamiento y en particular las convoluciones infinitas

de distribuciones de BernouUi.

El problema fundamental sobre las convoluciones de Bernoulli para sucesiones

geométricas es encontrar para qué valores de r G ( 7; > 1 I ^^ medida /ir es absoluta-

mente continua o singular. Cuando la densidad existe, es natural preguntarse por su

derivabihdad. Si la medida es singular, nos gustaría conocer su dimensión. También

nos interesa determinar la dimensión del conjunto S± de los números r G ( o ) ! )

para los que /i.̂ es singular.

Estas medidas se han venido estudiando desde los años 30 y han revelado sor-

prendentes conexiones con análisis armónico, teoría de números, sistemas dinámicos

y dimensión de Hausdorff.

Hay diferentes formas de acercarse al problema. Veamos algunas y los resultados

obtenidos hasta el momento.

1. Transformada de Fourier. Números de Pisot-Vajayaraghvan (P.V.)

La transformada de Fourier de una distribución /i es

En el caso de las convoluciones de Bernoulli, se tiene

0 0 0 0

n = l n = l

29


Una condición necesaria para que una medida n sea absolutamente continua es

que í'^(y) —> O cuando y —>• oo (Lema de Riemann-Lebesgue [Rud79, pg. 109]).

Aunque se puede aplicar a algunos casos para probar que fj,r es singular, como se

puede ver en los ejemplos de [JW35], esto en general no resuelve el problema, por

ser una condición necesaria pero no suficiente.

Los números de Pisot-Vajayaraghvan. Medidas singulares

En 1939, Erdos [Erd39] prueba que si r es el inverso de un número de Pisot-

Vajayaraghvan (un número algebraico mayor que la unidad, se dice de P.V. si todos

sus conjugados son, en valor absoluto, menores que la unidad) entonces ^^^iy) -¡-^ 0.

Esto proporciona a lo sumo una colección numerable de valores r 6 I "> 1 I para los

que la medida es singular. En 1943, Salem [Sal43] probó que si r G (0,1) no es

el inverso de un P.V., entonces ''^^^Xy) —* O si |y| -^ oo. Como el menor de estos

números es la solución positiva de a;"̂ — x — 1 = O [Sie44], se tiene que su inverso

/?o = 0,754... (solución de x^ + x^ — 1 = 0) es el mayor de los valores para los que

^iír (y) 'f~^ O y no se conoce en la actualidad ningún valor mayor que /?o para el que

la medida sea singular.

Puesto que los inversos de los P.V. son los únicos valores que se conocen para

los que la medida es singular, nos interesa saber como es el conjunto S de los P.V.

(véase [BDGMH'^92]). Salem [Sal44] probó que S es un conjunto cerrado y que

a = 1 es un punto aislado, por lo que existe ai 6 5 que es el menor P.V. mayor que

uno. Siegel [Sie44] probó que tanto este valor, que es la raíz positiva ás. x^ ~ x — \

(ai = 1,324...), como el siguiente a^ G 5, que es la raíz positiva de x'' — x^ — 1

(a2 = 1,380 . . . ) , son también puntos aislados y son los únicos números de S menores

que \/2. Pisot y Dufresnoy probaron que el menor punto de acumulación es la razón

áurea a = 1,618... (solución de x^ — x — 1). Finalmente, se sabe [Har02] que los

puntos de acumulación de S forman dos sucesiones crecientes que convergen a 2.

30


Cada una de estas sucesiones es la solución positiva de una familia de polinomios,

x"'(x — 2) — {x — 1) y x"- — x'^"^ — x'"~-̂ — • X — 1, y ambas sucesiones son números

de Pisot, al ser S un conjunto cerrado [Har02].

0.1

0.05

-0.05

-O.H

1.6 1.7 1.8 1.9

En relación con nuestro problema, lo que nos interesa es cómo se distribuyen los

inversos de los P.V., que forman una colección numerable de valores para los que fir

es singular. Según lo anterior, hay dos sucesiones decrecientes que tienden a - que

son puntos de acumulación de inversos de P.V., por lo que en cualquier entorno de -

hay infinitos valores de r para los que la medida es singular. El mayor de estos puntos

de acumulación es el inverso de la razón áurea [oT^ = 0,618...), por tanto, para

cualquier £ > O, sólo hay una cantidad finita conocida de valores r > o;~̂ + e para

los que la medida es singular, en particular, sólo hay dos de estos valores mayores

que —jn que son a{^ = (5Q = 0,754... y a^^, siendo (3Q el mayor valor conocido para v 2

el que la medida es singular.

Medidas absolutamente continuas

Por el teorema de inversión sabemos que si existe p > O tal que

/ \yY\ •^,,M \dy


Con argumentos de este tipo en [Erd40] se prueba que para cada m E N existe un

número positivo ¿(m) tal que /i^ es absolutamente continua con derivadas de orden

m — 1 para casi todo r G {1 — 5{m), 1).

Más tarde, Kahane [Kah71] indica que el argumento de Erdos implica que la

dimensión de Hausdorff de S± fl (a, 1) tiende a cero cuando a t 1-

Kahane y Salem [KS58] obtienen un criterio para que las convoluciones de Bernou-

lli tengan densidad en L^. Aunque no aplican este criterio al caso de /i^, analizan la T"

distribución para ciertos casos de sucesiones r„ con cocientes —— aleatorios. Tn-l

El mayor conjunto explícito de valores r para los que /i^ es absolutamente continua

(y tiene densidad acotada), dado hasta la fecha, fue encontrado por A. Garsia [Gar62].

Este conjunto esta formado por los inversos de los números algebraicos enteros en

(1,2) cuyo polinomio minimal tiene alguna otra raíz fuera del círculo unidad y el

término independiente es ±2, estos pohnomios son, por ejemplo, x""*"̂ — 3;" — 2 donde

Pi^ > 1 y máx{p, n} > 2. La conjetura ya planteada por Garsia y que sigue vigente

actualmente, es que los únicos valores para los que la media es singular, son los

inversos de los P.V. Utilizando métodos de transformada de Fourier, B. Solomyak

[S0I95] probó que ¡ir es absolutamente continua para casi todo r € I - , 1 j . Poco

después. Peres y Solomyak [PS96], dan una demostración más sencilla, con técnicas

de teoría geométrica de la medida. Peres y Slag establecen, como corolario de un

resultado más general, que la dimensión de Hausdorff de S± n (a, 1) es menor que

uno, para todo a > - , lo que parece reforzar la conjetura de A. Garsia.

2. Medidas autosemejantes y Dimensión

Aunque el siguiente capítulo se dedica introducir los conceptos de la geometría

fractal, podemos ver aquí, que la convolución infinita de distribuciones de BernouUi

Hr es una medida autosemejante para el conjunto de contracciones

{(pi(x) = rx — 1 + r, íp2{x) — rx + 1 — r},

32


es decir,

l^ÁA) = -Ai.((^r'(^)) + ^l-


absolutamente continua, la dimensión de Rényi o dimensión de información y la

dimensión de Lyapunov coinciden siendo diferentes en el caso de los P.V.

El cálculo de la dimensión de ciertas gráficas de funciones continuas y no diferen-

ciables en ningún punto, como las funciones de Weierstrass, es un problema abierto.

Relaciones de las convoluciones de Bernoulli y el estudio de estas dimensiones se

estudian en [PU89], [Led92].

Ya en 1963, A. Garsia [Gar63] estudia la entropía

Hr,{r) = - ^ Mr,n J ^ C¿r' I log /Xr,n í Y] CJT'

CO,Cl,...,Cn = - l , l \ 2=0 / \ ¿ = 0

de la medidas discretas fim y demuestra que el límite Gr — lím —-— existe. Si ra->oo n + 1

no hay coincidencias en las sumas finitas, se tiene que la medida de cada punto es

l^r,n ^ cy j = —^ por lo que Hr,{r) = (n + 1) log 2 y G,. = log 2. En caso de que

haya coincidencias en las sumas finitas, se tiene que Gr < log 2. Garsia probó que

si Gr < log ( - I, entonces la medida Hr es singular. Esta desigualdad se cumple

G para los inversos de los P.V. En [AY84] probaron que j—rr- es siempre una cota

superior de la dimensión de Rényi o dimensión de información de yû y la igualdad

se da en el caso de los inversos de los P.V., en concreto, en [Lal98] se prueba que

Q r'^es un P.V. => dim(/ir) = -^—r- < 1-

l o g í -

Muchos autores han estudiado la medida /i^ para el caso de los P.V., estimando

diferentes dimensiones y dando alternativas demostraciones de su singularidad. En

particular, para el caso de la razón áurea a, Alexander y Zagier [AZ91] prueban que

0,99557 < dim{ij,a) < 0,99574. Más tarde, Sidorov y Vershik hacen una demostración

con teoría ergódica, de la singularidad de //«. Ledrappier y Porzio [LP94] y de forma

independiente Lalley [Lal98] expresan la dimensión de /ÍQ como los exponentes de

Lyapunov de un cierto producto de matrices aleatorio. Lalley estudia el caso más ge-

34


neral de convoluciones de distribuciones binomiales, es decir, cuando la probabilidad

del signo más y menos no es necesariamente igual.

Una demostración con teoría de autómatas, también para el caso de la razón

áurea, se da en [Bov96].

Formalismo multifractal

Recientemente, en la teoría de autosemejantes se estudia la relación entre el L'-

espectro de una medida y su dimensión local. La L^-dimensión (q > 1) de una

medida fue introducida por Rényi [RenTO] como una generalización de la dimensión

de entropía, y se define como

dim. O") = hmmf -— —,

donde Qi denota la malla de cubos de lado h. Varias técnicas se han desarrollado

[Lau92, LW93, LN98, JRS, STZ95] para calcular estas dimensiones y otras cantidades

relacionadas.

Si /u es una medida de Borel, se define el espectro de dimensión local o espectro

de singularidad como la aplicación

fia) — dim < X üm - — ; — = a > ^ ^ \ ' k^o+ log h j

que a cada parámetro a le hace corresponder la dimensión de Hausdorff del conjunto

de los puntos con dimensión local a. Se dice que /i es una medida multifractal si

/ ( a ) 7¿ O para una cantidad no numerable de a's. Este parámetro fue propuesto

primeramente por los físicos para estudiar modelos multifractales que se presentaban

en algunos fenómenos naturales como la turbulencia, agregación por difusión hmitada

y percolación [Man74, FP85, HJK'*"86]. Hentschel y Procaccia [HP83], Halsey et al

[HJK"'"86] y Prisch y Parisi [FP85] observaron experimentalmente que, bajo ciertas

condiciones, f{a) coincide con la conjugada cóncava del L^-espectro de ¡j,.

35


El í/^-espectro de ¡x se define por

Tiq) = limmf ^r^ g G M, h-^o+ log h

y su conjugada cóncava (también llamada la transformada de Legendre), viene dada

por r*{a) = inf{gQ; - r(g) | q e M}.

Si la medida /x esta construida a partir del algoritmo de cascada y tanto / como

T son suaves y cóncavas, se tiene que T*{a) = / ( a ) .

Esta relación se llama formalismo multifractal o formalismo termodinámico por

su analogía con el estado de Gibbs, la presión y el principio variacional de ter-

modinámica [Bow75, BR87]. La cuestión matemática básica es encontrar condi-

ciones y justificaciones adecuadas para este principio y entender la estructura del

sistema dinámico subyacente. En varios casos el principio ha sido probado con ri-

gurosidad como en las apHcaciones cookie-cutter hiperbólicas [Ran89], la aphcación

crítica sobre el circulo, con la razón áurea [CLP87] y la medida maximal asociada

a las aplicaciones racionales en el plano complejo [Lop89]. Actualmente se conoce

completamente la teoría cuando el SFI consiste en semejanzas que cumplen cier-

ta condición de separación conocida como condición de abierto (en inglés, OSC)

[AP96, Fal94, CM92, EM92, 01s95, 01s94a, 01s94b, Rie95].

En este caso la fórmula para calcular el ¿''-espectro de ¡j, es

donde Pi son las probabilidades y r¿ son los radios de contracción de las semejanzas

del sistema.

Muy poco se conoce cuando no se verifica la condición de abierto. Actualmente

se están desarrollando nuevos resultados para casos con solapamiento. Autores como

K. S. Lau y S. M. Ngai [LN99b, LN98], definen una nueva condición de separación

que denominan condición débil de separación (WSC, del inglés "weak separation

condition") al ser más débil que la OSC. Bajo esta condición de separación prueban

36


que se cumple el formalismo multifractal. Como ejemplo de SFI que cumple la WSC

esta la ICBM para los inversos de los P.V. El problema ahora, es obtener el L'-

espectro de estas medidas para poder calcular, a partir del formalismo multifractal,

el espectro de dimensión local. Los mismos autores [LN98] encuentran una fórmula

para obtener el L^-espectro, para 5 > O, de la medida correspondiente al inverso de

la razón áurea. Esta es la primera fórmula que se obtiene cuando no hay condición

de abierto. La técnica que utilizan de reducir el SFI con solapamiento a uno sin

solapamiento es bastante restrictiva. Aparte de la razón áurea, otro valor, inverso de

un P.V., que lo cumple es el que su inverso es la solución de x'̂ — X'̂ + 2x — 1 = O,

pero para la mayoría de valores no se puede aplicar esta técnica. Posteriormente,

los mismos autores [LN99a] dan un algoritmo para calcular el L^-espectro de estas

medidas cuando q es un entero positivo.

En [NWOl] se define una nueva condición de separación (sistemas de "tipo fini-

to"). Recientemente N. Nguyen [NguOl] ha demostrado que un SFI de tipo finito

satisface la condición débil de separación.

3. Polinomios ortogonales y teoría de aproximación

El estudio de una medida conlleva el estudio de sus propiedades más relevantes

como la función característica, los momentos y sus funciones generatrices, sistemas

ortogonales y relaciones de recurrencia, el operador "shift", además de las fórmulas

de recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales y su comportamiento

asintótico.

El teorema de Rakhmanov [MNT85] nos da condiciones suficientes para que una

medida sea absolutamente continua, en relación al comportamiento asintótico de los

coeficientes de la tridiagonal de Jacobi. Por tanto, otra forma de abordar el problema

de las convoluciones de BernouUi es a través de la teoría de polinomios ortogonales.

En este sentido, autores como Goh y Wimp [GW93, GW94] analizan el compor-

37

1. P L A N T E A M I E N T O DEL P R O B L E M A Y ESTADO DEL ARTE

tamiento asintótico de los momentos de algmias medidas invariantes. En [Fis95c] se

relaciona el comportamiento asintótico de los momentos de una medida en [0,1] con

su dimensión puntual. En [Man96] se describe una técnica recursiva para determi-

nar las matrices de Jacobi de medidas invariantes multifractales. La multifractalidad

de una medida está relacionada con la dimensión puntual de la medida y con su

comportamiento local.

La búsqueda de "buenos" nodos para interpolar es uno de los principales proble-

mas a la hora de aproximar y, como es bien sabido, es un tema relacionado con los

ceros de los polinomios ortogonales. Es por ello que el cálculo de los polinomios y

de la tridiagonal de Jacobi es esencial para desarrollar fórmulas de cuadratura, muy

necesarias en la teoría de aproximación e interpolación, en particular para funciones

definidas sobre conjuntos fractales.

38

Capítulo 2

INTRODUCCIÓN A LA

GEOMETRÍA FRACTAL

En este capítulo introduciremos los conceptos básicos de la Teoría Geométrica de

la Medida que serán utilizados a lo largo de esta memoria.

2.1. INTRODUCCIÓN

La aparición de conjuntos muy irregulares como el conjunto de Cantor (alrededor

de 1890) y de otros que le siguieron (triángulo de Sierpinski, curva de Koch, curva

de Peano,....) causaron gran confusión entre los matemáticos de la época. El origen

de la geometría fractal está en el estudio de estos conjuntos y sus propiedades.

En 1977 B.B. Mandelbrot publicó el libro "The Fractal Geometry of Nature"

describiendo numerosas aplicaciones de este tipo de estructuras para la investigación

en ciencias aplicadas, siendo una herramienta fundamental en la modelización de

un gran número de fenómenos naturales. El término fractal, procedente del latín

"fractus" (fragmentado, irregular), fue introducido por Mandelbrot para designar

estos conjuntos que no tenían ningún nombre concreto y desde entonces se conoce

esta rama de las matemáticas como geometría fractal.

39

2. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA FRACTAL

En cuanto a la definición de fractal, hay que destacar que no existe una definición

unánimemente aceptada, ya que cualquiera de ellas deja fuera alguno de los conjuntos

tradicionalmente aceptados como fractales, o incluye otros que no lo son. La definición

más aceptada de conjunto fractal la dio Mandelbrot en [Man82] como aquel conjunto

que tiene dimensión topológica menor que su dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

A finales del S.XIX surgieron conjuntos muy irregulares que poseían propiedades

geométricas y analíticas sorprendentes. Estos conjuntos fueron considerados como

curiosidades, entretenimientos, pero sin mucha importancia ya que tenían medida

nula. A medida que se fueron creando las herramientas matemáticas necesarias para

distinguirlos y medirlos se comenzó a percibir sus semejanzas con procesos y formas

de la naturaleza.

En los años 70, Mandelbrot describe de forma intuitiva numerosas aplicaciones

de este tipo de estructuras para el estudio de las ciencias aplicadas.

En 1981 J.E.Hutchinson [HutSl], estudiando las propiedades comunes de los con-

juntos fractales, formahzó una teoría unificada sobre el estudio y la obtención de

una ampha gama de conjuntos fractales, los conjuntos y medidas autosemejantes.

Poco después, en 1985, M.F.Barnsley y S.Demko [BD85] generalizaron el método

de Hutchinson. Mientras que Hutchinson utiliza semejanzas contractivas, Barnsley

permite cualquier tipo de funciones contractivas, ampliando notablemente la canti-

dad de conjuntos fractales y de medidas que se pueden obtener con este método.

En contrapartida, tanto estas medidas como estos conjuntos que amplían la idea de

autosemejanza pierden algunas de las propiedades geométricas y de dimensión que

tienen estos últimos.

Intuitivamente, un conjunto autosemejante es aquel que puede ser descompuesto

en partes cada una de las cuales tiene idéntica forma al conjunto total, pudiendo

diferenciarse en tamaño, orientación o ubicación espacial. A continuación veremos

algunos de los de conjuntos fractales más conocidos y que son autosemejantes en este

40

2.1 INTRODUCCIÓN

sentido intuitivo.

Conjunto de Cantor

Georg Cantor publicó por primera vez en 1883 el conjunto que lleva su nombre,

como ejemplo de ciertos conjuntos excepcionales. Se puede decir que el conjunto de

Cantor es el de mayor importancia entre los "monstruos matemáticos" o primeros

fractales, a pesar de ser menos vistoso y tener una interpretación menos inmedia-

ta que otros. Actualmente, aparece en numerosas áreas de las matemáticas como

sistemas dinámicos caóticos, teoría geométrica de la medida, etc.

El conjunto de Cantor es un subconjunto de puntos del intervalo [0,1] que se cons-

truye a partir de un proceso infinito. Partimos del intervalo unidad /o y le quitamos el

intervalo abierto central de longitud - , quedándonos los intervalos 1} = ó -¡

¡- . A cada uno de estos nuevos intervalos le quitamos a su vez el intervalo abierto central que ahora tendrá longitud - , obteniendo cuatro intervalos /2,/2,/2''^2 ^^

longitud - . Así sucesivamente, en el paso n-ésimo tendremos 2" intervalos I^,--- , / J '

de longitud —. 6 3"

Figura 2.1: Conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor es el conjunto que nos queda después de eliminar infinitos

intervalos, esto es, oo 2"

c=nuA. T l = l Í = l

41


El conjunto de Cantor es un conjunto compacto, perfecto, totalmente desconec-

tado, no numerable y de medida de Lebesgue cero. Además es autosemejante, en el

sentido de que se puede descomponer en dos partes disjuntas, la correspondiente al

intervalo 1

"•3 y al intervalo

2

3 - ' semejantes al conjunto total.

La curva de Koch

La curva de Koch fue introducida por Helge von Koch en 1904 y es un ejem-

plo de una curva que no tiene tangente en ningún punto. Para construir la curva

de Koch consideramos el intervalo unidad y reemplazamos el intervalo central de

longitud - por dos segmentos de la misma longitud formando un ángulo de 60 gra-o

dos. En cada uno de los 4 intervalos que se han formado, repetimos la operación, y

así sucesivamente. La curva de Koch es el límite de este proceso infinito.

A.

A

J \... , A....A A.

.^A,J\_AJ ..v\_,

V.-A„. J L^

A . ,

Í ,AJ C A T ( ^ CA_

,.A^

Figura 2.2: La curva de Koch

La curva de Koch K es una curva de longitud infinita que no tiene tangente en

ningún punto. También es un conjunto autosemejante ya que se compone de cuatro

42

2.1 INTRODUCCIÓN

partes semejantes al total. Aunque estas partes no son disjuntas, la intersección dos

a dos es como mucho un punto.

Triángulo de Sierpinski

El triángulo y la alfombra de Sierpinski fueron introducidos por Waclaw Sierpinski

unos 40 años después que el conjunto de Cantor, como ejemplos de una curva en la

que todo punto es de ramificación y como una curva cantoriana que contiene una

imagen biunívoca continua de cualquier curva dada, respectivamente. Curiosamente

en el pulpito de la catedral de Ravel'lo (s.XII), aparecen formas del tipo del triángulo

de Sierpinski. i •

La construcción geométrica del triángulo de Sierpinski es la siguiente. Se parte

de un triángulo equilátero, al que se le quita el triángulo (sin bordes) que resulta

de unir los puntos medios de sus lados. En este primer paso tenemos tres nuevos

triángulos. A cada uno de ellos le aplicamos el proceso anterior. Así sucesivamente,

tenemos 3,9,27,81,... triángulos, cada uno de ellos es una copia a escala - de los

triángulos de la etapa anterior.

El triángulo de Sierpinski es el conjunto de puntos que quedan después de aplicar

este proceso infinito. Este conjunto se compone de tres partes que son semejantes al

total.

43


Figura 2.3: Triángulo de Sierpinski

2.2. MEDIDA Y DIMENS )N

La necesidad de medir conjuntos en la recta,^ ei'plano o el espacio viene de antiguo.

Sin embargo, costó dos mil años dar una definición satisfactoria de área. A finales

del S.XIX aparecen diferentes definiciones de medida. La idea consiste en recubrir un

conjunto C dado con una cantidad finita de otros conjuntos cuya medida conocemos,

como intervalos (Stolz y Harnack,1884) o esferas (Cantor 1885) y evaluar la suma

de las medidas de estos conjuntos y tomar el ínfimo como medida del conjunto C.

Algunos años después, Peano y Jordán (1890) intentan subsanar algunos inconve-

nientes de estas definiciones, introduciendo el concepto de conjunto medible, pero

esta definición presenta también algunas anomalías. Son las ideas de Borel (1898)

las que llevan a Lebesgue, ya en el siglo XX, a formular la definición de lo que hoy

se conoce como medida de Lebesgue.

La medida de Lebesgue no distingue entre conjuntos con tamaño claramente

diferente. Por ejemplo, el conjunto de Cantor tiene longitud cero y su medida 0-

dimensional es infinita, lo mismo que ocurre con un conjunto de puntos que sea

numerable.

Para solucionar estos problemas se introducen dimensiones fraccionarias asocia-

44

2.2 MEDIDA Y DIMENSIÓN

das a un proceso de medida. Este es el caso de la dimensión de Hausdorff.

En esta sección veremos cómo se introduce la medida de Lebesgue y la medida de

Hausdorff s-dimensional. Trabajaremos con el concepto de medida exterior, aunque

para simplificar, hablaremos sólo de medida.

Para introducir la medida de Lebesgue en R", se parte de la medida de un inter-n n

valo / = j T [a/c, bk] en K", que es bien conocida y vale £"(/) = JT [6̂ — afc|. Podemos fc=i k=i

intentar medir un conjunto A cualquiera a partir de la medida de los intervalos. Esto

se hace recubriendo el conjunto A con intervalos, sumamos las medidas de éstos y

tomamos el ínfimo de todos estas posibles sumas, es decir, la medida de Lebesgue de

un conjunto A en R" se define como

{ oo n oo n J2llhk-a,,,k\:Ac\Jl[[a,,k,bi,k] i = l fc=l i = l fc=l

Esta forma de definir una medida, recubriendo un conjunto por conjuntos de una

familia determinada, para los que tenemos definida una pre-medida, se conoce como

Método I de construcción de medidas.

Al recubrir un conjunto A con intervalos y ver lo que miden, es claro que cuanto

más pequeños sean los intervalos, más nos acercamos a la medida de A.

Figura 2.4: Dos recubrimientos de un conjunto A

Así, podemos definir la medida de la forma

{ oo n oo n Yi n î .̂*̂ - ^̂ 1̂ -^^[j rit̂ '̂̂ ' hk] \=lím £̂ (A). ¿=i fc=i i=ik=i '

45


siendo C^{A) la medida que se obtiene recubriendo con intervalos de diámetro menor

o igual que S, esto es,

f o o n o o n / " \ " ^ y ^ Y[ \hk - «í,fc| : ̂ «̂ U n['^*''=' î,fc]> diam j J][[ai,fc - b,^k] \ . t = l fc=l ¿=1 /c=l \ / c = l / J

Esta forma de definir una medida es la que se utiliza para definir la medida de

Hausdorff.

2,2.1. Med ida y dimensión de Hausdorff

La medida s-dimensional (5 G M"*") de Hausdorff, H^, de un conjunto A C K" se

define recubriendo el conjunto A por conjuntos cualesquiera con diámetro menor que

un cierto S. Como no podemos evaluar la medida de estos conjuntos arbitrarios, lo

que evaluamos es su diámetro elevado a s. Tomamos el ínfimo de estos valores, para

cada 5 y hacemos tender 5 a cero, es decir

H'{A) = supinf \ y ' d i am ' (5 i ) : ̂ C M Si,diam{Si)

2.2 MEDIDA Y DIMENSIÓN

El siguiente teorema recoge las propiedades de la medida s-dimensional de Haus-

doríf. Su demostración se puede ver en [Fal95].

Teorema 2.2.1. La medida s-dimensional de Hausdorff H^ cumple las siguientes

propiedades:

i) Si f es una isometría (es decir \f{x) — f{y)\ = |x — y\,yx,y), entonces

H^ifiA)) ^ H^{A).

ll) Si f es una homotecia de razón X (es decir \f{x) — f[y)\ = \\x — y\,'^x,y),

entonces

H\fiA)) = yH'{A).

lu) Si f es lipschitziana (es decir 3c > O tal que \f{x) — f{y)\ < c\x — y\,\fx,y),

entonces

H'ifiA)) < dH'{A).

Como consecuencia, las s-medidas son homogéneas por semejanzas en el siguiente

sentido: Si / : M" ^ W^ es una semejanza de razón r entonces para todo £̂ C M" se

tiene que H'{f{E)) = r'H'{E).

Este procedimiento de construir una medida recubriendo con conjuntos de diá-

metro menor que 5, evaluar "algo" de estos conjuntos, tomar el ínfimo y hacer tender

6 a cero se conoce como método de Carathéodory o Método II. Variando el tipo de

conjuntos que se utilizan para recubrir y la función que determina qué evaluar de

estos conjuntos, se obtienen diferentes medidas. Por ejemplo, si utilizamos bolas para

recubrir en la definición de H^, se obtienen las medidas de Hausdorff esféricas, B^.

Estas medidas no coinciden con las medidas H^, pero se anulan o se hacen infinito

a la vez. Esto hace que la dimensión asociada a ambas medidas coincida, por lo

que para calcular la dimensión de un conjunto se puede utilizar cualquiera de estas

medidas (ver [Fal85]).

47


Definición 2.2.2. Dado un conjunto A C M", se tiene que para cada ¿ > O y para

O < r < í < oo.

H¡iA) = inf ¡ ¿diam*(5¿) -.AclJSi, diam(5¿) < 5 i = i 1=1

{ oo oo J]]diam''(5i)diam*"''(5,) : A c[jS^,di&m{Si) < 6 i = l ¿=1 < S'-'H¡{A),

por lo que se tiene

si H'{A) < oo ^ /í*(^) = O,

si H'{A) >O^H'{A) = 00,

y existe un único valor s tal que

H\A) = oo si í < 5,

H\A) = 0 si í > 5.

A este s le llamaremos dimensión de Hausdorff del conjunto A y lo notaremos por

dim(v4) = s, es decir,

dim(A) = sup

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