Mecánica de Fluidos · 2020. 12. 21. · fluidos inmiscibles de densidades diferentes uno sobre...

Ing. Paulina Lima PhDMecánica de Fluidos – Período 2020 2020

Mecánica de Fluidos

Ing. Paulina Lima Ph.D

Departamento de Hidráulica

Universidad Central del Ecuador

Quito, Ecuador

SEMANA 04 – S04

1

Mecánica de Fluidos – Período 2020 2020 Ing. Paulina Lima PhDS04

Contenido

Contenido

▪ Presión

▪ Presión en un punto

▪ Ecuación básica para el campo de presión

▪ Variación de la presión en un fluido en reposo

▪ Principio de Pascal

▪ Medidores de presión

▪ Fuerzas provocadas por la presión hidrostática

2


Presión

3


Presión

Presión en un punto

4

▪ El término presión se utiliza para indicar la fuerza normal por unidad de área en un

punto dado, que actúa en un plano dado dentro de la masa de fluido de interés.

▪ Una pregunta que surge de inmediato es cómo la presión en un punto varía con la

orientación del plano que pasa por el punto.


Presión


5

Considere el diagrama de cuerpo libre: ▪ Esta se obtuvo al eliminar una pequeña

cuña triangular de fluido de alguna

ubicación arbitraria dentro de una masa

de fluido.

▪ Como se está considerando la situación

en la que no hay tensiones de corte, las

únicas fuerzas externas que actúan sobre

la cuña se deben a la presión y al peso.

▪ Para simplificar, las fuerzas en la dirección

x no se muestran, y el eje z se toma como

el eje vertical, por lo que el peso actúa en

la dirección negativa z.


Presión


6

∑𝐹𝑦 = 𝑝𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑠 sin 𝜃 = 𝜌𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

2𝑎𝑦

∑𝐹𝑧 = 𝑝𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦 − 𝑝𝑠𝛿𝑥𝛿𝑠 cos 𝜃 = 𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

2= 𝜌

𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

2𝑎𝑧

𝛿𝑦 = 𝛿𝑠 cos 𝜃 𝛿𝑧 = 𝛿𝑠 sin 𝜃

𝑝𝑦 − 𝑝𝑠 = 𝑝𝑎𝑦𝛿𝑦

2

𝑝𝑧 − 𝑝𝑠 = (𝑝𝑎𝑧 + 𝛾)𝛿𝑧

2

Como estamos realmente interesados en lo que está sucediendo

en un punto, tomamos el límite cuando x, y y z se acercan a

cero y se tiene que:

𝑝𝑦 = 𝑝𝑠 𝑝𝑧 = 𝑝𝑠

ps, = py = pz


Presión


7

Por lo tanto, como se muestra en la fotografía en el margen, en la unión del lado y la parte inferior

del vaso de precipitados, la presión es la misma en el lado que en la parte inferior.

La presión en un punto en un fluido en reposo es

independiente de la dirección.


Presión

Ecuación básica para el campo de presión

8

▪ Aunque hemos respondido a la pregunta de cómo

la presión en un punto varía con la dirección, ahora

nos enfrentamos a una pregunta igualmente

importante: ¿cómo varía la presión en un fluido en el

que no hay esfuerzos de corte de un punto a otro?

Para responder a esta pregunta, considere un

pequeño elemento rectangular de fluido retirado de

alguna posición arbitraria dentro de la masa de

fluido de interés como se ilustra en la figura:


Presión


9

▪ Hay dos tipos de fuerzas que actúan sobre este

elemento: fuerzas superficiales debido a la presión

y una fuerza de cuerpo igual al peso del elemento.

▪ Si dejamos que la presión en el centro del

elemento se designe como p, entonces la presión

promedio en las diversas caras se puede expresar

en términos de p y sus derivados, como se muestra

en la Figura.

▪ En realidad, estamos utilizando una expansión de

la presión de la serie Taylor en el centro del

elemento para aproximar las presiones a una corta

distancia y descuidar los términos de orden

superior que desaparecerán cuando dejemos que

x, y y z se acerquen a cero.


Presión


10

Por simplicidad, las fuerzas de superficie en la dirección x no se

muestran. La fuerza superficial resultante en la dirección y es:

𝛿𝐹𝑦 = 𝑝 −𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝜕𝑦

2𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑝 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦

𝜕𝑦

2𝛿𝑥𝛿𝑧

𝛿𝐹𝑦 = −𝜕𝑝

𝜕𝑦𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

Del mismo modo, para las direcciones x y z, las fuerzas superficiales

resultantes son:

𝛿𝐹𝑥 = −𝜕𝑝

𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 𝛿𝐹𝑧 = −

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

La fuerza superficial resultante que actúa sobre el elemento puede

expresarse en forma de vector como:

𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝐹𝑥 Ƹ𝒊 + 𝛿𝐹𝑦 Ƹ𝒋 + 𝛿𝐹𝑧𝒌

𝛿𝐹𝑠 = −𝜕𝑝

𝜕𝑥Ƹ𝒊 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦Ƹ𝒋 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝒌 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (1)


Presión


11

El grupo de términos entre paréntesis en la ecuación (1) representa

en forma vectorial el gradiente de presión y puede escribirse como:

𝛿𝐹𝑠 = −𝜕𝑝

𝜕𝑥Ƹ𝒊 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦Ƹ𝒋 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝒌 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (1)

𝜕𝑝

𝜕𝑥Ƹ𝒊 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥Ƹ𝒋 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝒌 = ∇𝑝

∇ =𝜕

𝜕𝑥Ƹ𝒊 +

𝜕

𝜕𝑦Ƹ𝒋 +

𝜕

𝜕𝑧𝒌

el símbolo (nabla) es el gradiente. La fuerza resultante por

unidad de volumen puede ser expresada como:

𝛿𝐹𝑠𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

= −∇𝑝

Como el eje z es vertical, el peso del elemento es:

−𝛿𝑊𝑘 = −𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧𝑘

La segunda ley de Newton, aplicada al elemento fluido,

puede expresarse como:

𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 𝒂

∑𝛿𝐹 = 𝛿𝐹𝑠 − 𝛿𝑊𝒌 = 𝛿𝑚 𝒂

O

−∇𝑝𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 − γ𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧𝑘 = 𝜌𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 𝒂

Y, por lo tanto:

−∇𝑝 − 𝛾𝑘 = 𝜌 𝑎 (2)

Ecuación general de movimiento para un fluido en el que no hay esfuerzos de corte


Presión


Para un fluido en reposo a = 0 y Eq. .2 se reduce a:

൯−∇𝑝 − 𝛾𝑘 = 𝜌 𝑎 (2 ∇𝑝 + 𝛾𝑘 = 0

O en su forma de componentes:

Estas ecuaciones muestran que la presión no depende de x o y. Por lo tanto, a medida que nos movemos de

un punto a otro en un plano horizontal (cualquier plano paralelo al plano x – y), la presión no cambia. Como p

depende solo de z, la última de las ecuaciones (3) puede escribirse como la ecuación diferencial ordinaria:

𝑑𝑝

𝑑𝑧= −𝛾 (4)

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0

𝜕𝑝

𝜕𝑧= −𝛾 (3)

La ecuación (4) es la ecuación fundamental para fluidos en reposo y puede usarse para

determinar cómo cambia la presión con la elevación.


Principio de Pascal

13


Principio de Pascal

Introducción

14

▪ La presión en un fluido en reposo es independiente de la forma o sección transversal del

recipiente que lo contiene.

▪ Ésta cambia con la distancia vertical, pero permanece constante en las otras direcciones.

▪ Por lo tanto, la presión es la misma en todos los puntos de un plano horizontal en un fluido

dado.


Principio de Pascal

Principio de Stevin

15

En 1586, el matemático holandés Simon Stevin (1548-1620) publicó el principio que se ilustra en la

Figura.

Nótese que las presiones en los puntos A, B, C, D, E, F y G son idénticos porque están a la misma profundidad e

interconectados por el mismo fluido estático. Sin embargo, las presiones en los puntos H e I no son iguales, porque

estos dos puntos no están interconectados por el mismo fluido (es decir, no se puede trazar una curva desde el

punto I hasta el H permaneciendo en el mismo fluido en todo momento), aun cuando están a igual profundidad.


Principio de Pascal

Máquina de Pascal

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Una consecuencia de que la presión en un fluido

permanezca constante en la dirección horizontal

consiste en que la presión aplicada a un fluido

confinado aumenta la presión en toda la extensión

de éste en la misma cantidad. Esto se conoce

como ley de Pascal.

Pascal también sabía que la fuerza aplicada por

un fluido es proporcional al área superficial.

Observó que se podían conectar dos cilindros

hidráulicos de áreas diferentes y se podía usar el

más grande para ejercer una fuerza

proporcionalmente mayor que la aplicada al más

pequeño.

𝑃1 = 𝑃2 →𝐹1𝐴1

=𝐹2𝐴2

→𝐹2𝐹1

=𝐴2𝐴1

(1)

La razón A2/A1 se llama ventaja mecánica ideal del

elevador hidráulico.


Medidores de Presión

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Medidores de presión

Manómetro

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Considerando la ecuación:

Δ𝑃 = 𝑃2 − 𝑃1 = 𝜌𝑔Δ𝑧 = 𝛾𝑠Δ𝑧 1

▪ Se advierte, que un cambio en la elevación de z en

un fluido en reposo corresponde a P/g, lo cual

sugiere que se puede usar una columna de fluido

para medir diferencias en la presión.

▪ Un instrumento que funciona según este principio se

llama manómetro.

▪ Es de uso común para medir diferencias en la

presión, pequeñas y moderadas. Un manómetro

consta principalmente de un tubo en U de vidrio o

plástico que contiene uno o más fluidos como

mercurio, agua, alcohol o aceite.

Puesto que los efectos gravitacionales de los

gases son despreciables, la presión en cualquier

parte del tanque y en la posición 1 tiene el

mismo valor. Además, debido a que la presión

en un fluido no varía en la dirección horizontal

dentro del mismo, la presión en el punto 2 es la

misma que la que se tiene en el punto 1, P2 = P1.



Manómetro

19

Δ𝑃 = 𝑃2 − 𝑃1 = 𝜌𝑔Δ𝑧 = 𝛾𝑠Δ𝑧 1

La columna diferencial de fluido de altura h está en equilibrio

estático y abierta a la atmósfera. Entonces de manera directa,

a partir de la ecuación:

)𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ 𝑜 𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝜌𝑔ℎ (2

se determina que la presión en el punto 2 es:

)𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ (3

donde es la densidad del fluido en el tubo.

Algunos manómetros se relacionan con múltiples

fluidos inmiscibles de densidades diferentes uno sobre

otro. Esos sistemas se pueden analizar con facilidad

cuando se recuerda que:

1. El cambio de presión de uno a otro lado de una

columna de fluido de altura h es P = gh

2. La presión aumenta hacia abajo en un fluido

dado y disminuye hacia arriba (es decir, Pfondo >

Parriba), y

3. Dos puntos a la misma altura en un fluido continuo

en reposo están a la misma presión.



Manómetro

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▪ El último principio (Dos puntos a la misma altura en

un fluido continuo en reposo están a la misma

presión), el cual es resultado de la ley de Pascal,

permite “saltar” de una columna de fluido a la

siguiente en los manómetros sin preocuparse por el

cambio de presión, mientras no se salte sobre un

fluido diferente y el fluido esté en reposo.

▪ Entonces, se puede determinar la presión en

cualquier punto cuando se parte de un punto de

presión conocida y cuando se suman o restan

términos gh a medida que se avanza hacia el

punto de interés.

▪ Por ejemplo, se puede determinar la presión en el

fondo del tanque de la Figura.

Si se empieza en la superficie libre,

en donde la presión es Patm, se

avanza hacia abajo hasta llegar al

punto 1 en el fondo y se iguala el

resultado a P1. Esto da:

)𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌1𝑔ℎ1 + 𝜌2𝑔ℎ2 + 𝜌3𝑔ℎ3 = 𝑃1 (4

En el caso especial de que todos los fluidos tengan la misma

densidad, esta relación se reduce a la ecuación (3), como era

de esperarse.



Manómetro

21

En particular, los manómetros son adecuados para medir

caídas de presión a lo largo de la sección horizontal de

flujo, entre dos puntos especificados, debido a la

presencia de un dispositivo, como una válvula o un

intercambiador de calor, o cualquier otra resistencia al

flujo.

Esto se realiza cuando se conectan los dos extremos del

manómetro a estos dos puntos.

El fluido de trabajo puede ser un gas o un líquido, cuya densidad es

1. La densidad del fluido manométrico es 2 y la diferencia en su

altura es h.

Se puede obtener una relación para la diferencia de presión P1 - P2

si se parte del punto 1 con P1, y se desplaza a lo largo del tubo por

medio de la suma o sustracción de los términos gh hasta alcanzar

el punto 2 e iguala el resultado a P2:

)𝑃1 + 𝜌1𝑔 𝑎 + ℎ − 𝜌2𝑔ℎ − 𝜌1𝑔𝑎 = 𝑃2 (5

Nótese que se saltó desde el punto A horizontalmente hasta el B y

se ignoró la parte que está abajo, puesto que la presión en los dos

puntos es la misma. Cuando se simplifica:

)𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌1 − 𝜌2 𝑔ℎ (6

Nótese que la distancia a no afecta el resultado, pero debe

incluirse en el análisis. Cuando el fluido que fluye en el tubo es un

gas, entonces 𝜌1 ≅ 𝜌2 y la relación de la ecuación (6) se simplifica a

𝑃1 − 𝑃2 𝜌2ℎ𝑔.



Otros medidores

22

▪ Otro tipo de dispositivo mecánico que comúnmente se utiliza

para medir la presión es el tubo de Bourdon, nombrado así en

honor del ingeniero e inventor francés Eugene Bourdon (1808-

1884). Consta de un tubo metálico hueco, doblado como un

gancho, cuyo extremo se cierra y se conecta a la aguja de un

indicador de carátula.

La electrónica ha abierto su camino hacia cada aspecto

de la vida, inclusive a los instrumentos de medición de la

presión.

En los sensores modernos de presión, llamados

transductores de presión, se aplican varias técnicas para

convertir el efecto de presión en un efecto eléctrico,

como un cambio en la tensión, la resistencia o la

capacitancia.

Los transductores de presión son más pequeños y más

rápidos, y pueden ser más sensibles, confiables y precisos

que sus contrapartes mecánicas. Pueden medir presiones

desde un millonésimo de 1 atm hasta varios miles de atm.



Barómetro

23

▪ La presión atmosférica se mide con un instrumento llamado

barómetro; por tanto, con frecuencia se hace referencia de la

presión atmosférica como presión barométrica.

▪ El italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) fue el primero en

probar de manera concluyente que se puede medir la presión

atmosférica cuando se invierte un tubo lleno de mercurio en

un recipiente lleno con este mismo líquido que está abierto a

la atmósfera, como se muestra en la Figura.

La presión en el punto B es igual a la atmosférica y

se puede tomar la presión en C como cero, ya que

sólo existe vapor de mercurio arriba del punto C, y la

presión es muy baja en relación con Patm por lo que

se puede despreciar para tener una aproximación

excelente. Si se escribe un balance de fuerzas en la

dirección vertical se obtiene.

𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔ℎ

donde es la densidad del mercurio, g es la

aceleración gravitacional local y h es la altura de la

columna de mercurio por arriba de la superficie libre.

Nótese que la longitud y el área de la sección

transversal del tubo no afectan la altura de la

columna de fluido de un barómetro.



Barómetro

24

▪ Una unidad de presión que se usa con frecuencia es la atmósfera estándar, la cual se

define como la presión producida por una columna de mercurio de 760 mm de altura a

0[°C] (Hg = 13 595 [kg/m3]) bajo la aceleración gravitacional estándar (g = 9.807 [m/s2])

▪ La presión a veces se expresa en términos de la altura de la columna de mercurio.

▪ Por ejemplo, la presión atmosférica estándar es de 760 [mm Hg] a 0[°C]. La unidad [mmHg]

también se conoce como torr, en honor de Torricelli. Por lo tanto, 1 [atm] = 760 [torr] y 1

[torr] = 133.3 [Pa].


Fuerzas provocadas por la presión hidrostática

25



26

▪ Sobre una superficie plana las fuerzas hidrostáticas

forman un sistema de fuerzas paralelas y, a menudo,

se necesita determinar la magnitud de la fuerza y su

punto de aplicación, el cual se llama centro de

presión.

▪ En la mayoría de los casos, el otro lado de la placa

está abierto a la atmósfera (como el lado seco de

una compuerta) y, donde, la presión atmosférica

actúa sobre los dos lados de la placa y conduce a

una resultante cero.

▪ En esos casos conviene restar la presión atmosférica

y trabajar sólo con la presión manométrica (Figura

4.1). Por ejemplo, Pman = gh en el fondo del lago.

Superficie plana



27

Superficie plana

Considérese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria, sumergida totalmente en un líquido, como se muestra

en la Figura junto con su vista desde arriba.



28

Superficie plana

El plano de esta superficie (normal al plano de la página) se interseca con la superficie libre horizontal y forma un

ángulo , y la línea de intersección se toma como el eje x. La presión absoluta arriba del líquido es P0, la cual es la

presión atmosférica local Patm si ese líquido está abierto a la atmósfera (pero P0 puede ser diferente de Patm si se

crea un vacío en el espacio que está arriba del líquido o se presuriza).



29

Superficie plana

Entonces la presión absoluta en cualquier punto de la placa es:

)𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sen 𝜃 (1

donde h es la distancia vertical del punto a la superficie libre y y es la distancia del punto al eje x (al punto O en

la Figura)



30

Superficie plana

La fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre la superficie se determina cuando se integra la fuerza P dA que actúa sobre

un área diferencial dA sobre toda el área superficial

𝐹𝑅 = න𝐴

𝑃 𝑑𝐴 = න𝐴

𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sen 𝜃 𝑑𝐴 = 𝑃0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴

)𝑦 𝑑𝐴 (2

Pero el primer momento de área 𝑎 𝑦 𝑑𝐴 está relacionado con la coordenada y del centroide (o centro) de la superficie por:

𝑦𝐶 =1

𝐴න𝐴

𝑃 𝑑𝐴



31

Superficie plana

𝐹𝑅 = න𝐴

𝑃 𝑑𝐴 = න𝐴

𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦 sen𝜃 𝑑𝐴 = 𝑃0𝐴 + 𝜌𝑔 sin 𝜃න𝐴

)𝑦 𝑑𝐴 (2 𝑦𝐶 =1

𝐴න𝐴

𝑃 𝑑𝐴

Se efectúan las sustituciones:

൯𝐹𝑅 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝐶 sen𝜃 𝐴 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶 𝐴 = 𝑃𝐶𝐴 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝐴 (3



32

Superficie plana

൯𝐹𝑅 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝐶 sen 𝜃 𝐴 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ𝐶 𝐴 = 𝑃𝐶𝐴 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝐴 (3

donde PC = P0 + ghC es la presión en el centroide de la

superficie, la cual equivale a la presión promedio sobre la

superficie, y hC = yC sen es la distancia vertical del

centroide a la superficie libre del líquido (véase la Figura ).

De ello se llega a la conclusión que:

La magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre una superficie

plana de una placa totalmente sumergida en un fluido homogéneo

(de densidad constante) es igual al producto de la presión PC en el

centroide de la superficie y el área A de ésta.


Bibliografía

REFERENCIAS

▪ Fundamentals of fluid mechanics, Munson, 2012

▪ Mecánica de fluidos, Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, Y., & Cimbala J.,

2006.

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