Mecánica Vectorial Cap. 2

Juan Manuel Rodriguez Prieto I.M., M.Sc., Ph.D.

Estática de partícula

Primero aprenderemos a sustituir dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula por una fuerza que tenga el mismo efecto que ellas. Esta equivalente es la resultante de las fuerzas originales. Derivaremos las relaciones que existen entre distintas fuerzas que actuan sobre una partícula en un estado de equilibrio y la usaremos para determinar algunas de las fuerzas presentes sobre dicha partícula.  

Fuerzas en un plano

•  Una fuerza representa la acción de un cuerpo sobre otro y se caracteriza por su punto de aplicación, su magnitud, su dirección y sentido.

•  Las fuerzas sobre una partícula tienen el mismo punto de aplicación. Entonces, consideraremos que la fuerza esta completamente definida por su magnitud y sentido.

Ley del paralelogramo

•  Dos fuerzas P y Q que actúan sobre una partícula A, pueden sustituirse por una sola fuerza resultante R que produce el mismo efecto sobre la partícula.    

P

Q A

Ley del paralelogramo

•  Dos fuerzas P y Q que actúan sobre una partícula A, pueden sustituirse por una sola fuerza resultante R que produce el mismo efecto sobre la partícula.

P

Q A

La diagonal que pasa por A se como como la resultante R

Ley del paralelogramo (Cantidades físicas)

Cantidades que poseen magnitud y dirección se suman usando la ley del paralelogramo Ejemplo: •  Fuerzas •  Desplazamientos •  Velocidades •  Aceleraciones •  Momentos Matemáticamente, las anteriores cantidades pueden representarse matemáticamente como vectores.

Ley del paralelogramo

Debido a que el paralelogramo construido con los vectores P y Q no depende del orden en que se seleccionen P y Q, se concluye que la adición de vectores es conmutativa, escrita así

P+Q =Q+P

Ley del triangulo

La suma de P y Q puede encontrarse colocando la cola de Q en la punta de P y uniendo la punta de Q y la cola de P.

Q

A

P

R

Ley del paralelogramo vs. Ley del triangulo

Suma de tres vectores (P,Q,S)

La suma de P,Q y S se obtendrá sumando primero los vectores P y Q y agregando el vector S al vector P+Q. De igual manera, la suma de cualquier numero de vectores se puede obtener aplicando repetidamente la ley del triangulo a pares sucesivos de vectores, hasta que todos los vectores sean sustituidos por un solo vector.

Suma de tres vectores (P,Q,S)

Descomposición de una fuerza en sus componentes

Una fuerza F que actúa sobre una partícula puede remplazarse por dos o más fuerzas que produzcan juntas, el mismo efecto sobre la partícula. A estas fuerzas se les llama componentes de F , y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes.

Descomposición de una fuerza en sus componentes

(Dos casos de interés) 1. Una de las dos componentes se conoce (P). La segunda componente, Q , se obtiene aplicando la regla del triangulo y uniendo la punta de P a la punta de F; la magnitud, la dirección y el sentido de Q se determinan gráficamente o por trigonometría. Una vez que Q se ha determinado, ambas componentes deben aplicarse en A. P Q

F

Descomposición de una fuerza en sus componentes

(Dos casos de interés) 2. Cuando se conoce la línea de acción de cada una de las componentes. La magnitud y el sentido de las componentes se obtiene aplicando la ley del paralelogramo y trazando líneas, por la punta de F, paralelas a la línea de acción dadas. De esa forma obtenemos las dos componentes bien definidas P y Q, que pueden determinarse gráficamente o por trigonometría.

P

Q

F

Descomposición de una fuerza en sus componentes

Descomposición de una fuerza en sus componentes

Se pueden sumar y restar fuerzas usando un sistema de coordenadas cartesiano

FR =FRxFRy

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Fx = Fixi=1

n

∑

FRy = Fjyj=1

n

∑

La magnitud de la fuerza resultante la podemos calcular u s a n d o e l t e o r e m a d e Pitágoras

FR = FRx2 + FRy

2

La dirección de la fuerza se puede determinar usando trigonometría

θ = tan−1 FRy /FRx⎡⎣ ⎤⎦

Ejemplo 1

Ejemplo 1 (Solución)

F1F2

FR

F1

F2

FR

Ejemplo 2

Ejemplo 2 (Solución)

F1x = F1 sin(30º ) = 250sin(30º )

F1y = F1 cos(30º ) = 250cos(30º )

F2x = F2 sin(45º ) = 375sin(45º )

F2y = − F2 cos(45º ) = −375cos(45º )

FRx = 250sin(30º )+ 375sin(45º ) = 125 + 265,16 = 390,16FRy = 250cos(30º )− 375cos(45º ) = 216,50 − 265,16 = −48,66

θ = tan−1 −48,66 / 390,16[ ]

Ejemplo 3

Ejemplo 3 (Solución)

F1x = F1 cos(60º ) = 600cos(60º ) = 300lb

F1y = F1 sin(60º ) = 600sin(60º ) = 519,61lb

F2x = − T sin(θ )F2y = T cos(θ )

FRx = 300 − T sin(θ ) = 0FRy = 519,6 + T cos(θ ) = 1200

Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

519,6 + 300ctg(θ ) = 1200300680,38

= tan(θ )

θ = 23,73º

300 − T sin(23,73º ) = 0T = 750lb

Tarea

Tarea

Tarea

Tarea

Tarea

Tarea

Vectores en 3D Sistema coordenado derecho

Un sistema coordenado rectangular es derecho si el pulgar de la mano derecha señala en la dirección del eje z positivo, cuando los dedos de la mano derecha se curvan alrededor de este eje y están dirigidos del eje x positivo hacia el eje y positivo.

Vectores en 3D Sistema coordenado derecho

Cuando A está dirigido dentro de un octante del marco x, y, z, entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo, podemos dividir el ve c t o r e n c o m p o n e n t e s c o m o

A=A’+Az y luego A’=Ax+Ay. Al combinar estas ecuaciones, para eliminar A’ se representa mediante la suma vectorial de sus tres componentes rectangulares.

A = Ax +Ay +Az

Vectores en 3D Vectores unitarios cartesianos

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente. El sentido (o cabeza de la flecha) de estos vectores se representará analíticamente mediante un signo de más o menos, dependiendo de si están dirigidos a lo largo de los ejes x, y o z positivos o negativos.

Vectores en 3D Representación de un vector cartesiano

Las tres componentes de A actúan en las direcciones positivas i, j y k, podemos escribir A en forma de vector cartesiano como

A = Axi + Ay j+ Azk

Vectores en 3D Magnitud de un vector cartesiano

A partir del triángulo rectángulo azul y del triángulo rectángulo sombreado Al combinar estas ecuaciones se obtiene

A = Ax

2 + Ay

2 + Az

2( )

A = A '2+ Az

2( )

A ' = Ax

2 + Ay

2( )

Vectores en 3D Dirección de un vector cartesiano

La dirección de A se definirá mediante los ángulos directores coordenados medidos entre la cola de A y los ejes x, y, z positivos. Cada uno de estos ángulos estará entre 0 y 180º . Los ángulos directores coordenados se determinan como sigue    

cos(α ) = Ax

A cos(β ) =

Ay

A cos(γ ) = Az

A

α β γ

Vectores en 3D Dirección de un vector cartesiano

Una manera fácil de obtener estos cosenos directores es formar un vector unitario uA en la dirección de A las componentes i, j, k de uA representan los cosenos directores de A si sólo se conocen dos de los ángulos coordenados, el tercer ángulo puede encontrarse con la siguiente ecuación Finalmente A puede expresarse de la siguiente manera    

uA =Ax

Ai +

Ay

Aj+ AzAk

uA = cos(α )i + cos(β )j+ cos(γ )k

cos(α )2 + cos(β )2 + cos(γ )2 = 1

A = A cos(α )i + A cos(β )j+ A cos(γ )k

Vectores en 3D Dirección de un vector cartesiano

Az = A cos(φ)A ' = A sin(φ)Ax = A ' cos(θ ) = A sin(φ)cos(θ )Ay = A ' sin(θ ) = A sin(φ)sin(θ )

Por lo tanto, A escrito en forma de vector cartesiano se convierte en

A = A sin(φ)cos(θ )i + A sin(φ)sin(θ )j+ A cos(φ)k

Vectores en 3D Suma de vectores cartesianos

A = Axi + Ay j+ Azk

B = Bxi + By j+ Bzk

FR = Fx∑ i + Fy∑ j+ Fz∑ k

Para un sistema de fuerzas la fuerza resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas presentes y puede escribirse como

R = A +B = (Ax + Bx )i + (Ay + By )j+ (Az + Bz )k

Vectores 3D Ejemplos

Vectores 3D Ejemplos

Vectores 3D Ejemplos

Vectores 3D Ejemplos

Vectores 3D Ejemplos

Vectores 3D Tarea

Vectores 3D Tarea

Vectores 3D Tarea

Vectores 3D Tarea

Vectores 3D Tarea

Vectores 3D Vector posición

Un vector de posición r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro punto. Por ejemplo, si r se extiende desde el origen de coordenadas, O, hasta el punto P(x, y, z), entonces r se puede expresar en forma de vector cartesiano como

Vectores 3D Vector posición

En el caso más general, el vector de posición puede estar dirigido desde el punto A hasta el punto B en el espacio. Por la suma vectorial de cabeza a cola y con la regla del triangulo se requiere que Despejando r y expresando rA y rB en forma cartesiana se obtiene

rA + r = rB

r = rB − rA = (xB − xA )i + (yB − yA )j+ (zB − zA )k

Vectores 3D Vector posición

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea

F = F (xB − xA )i + (yB − yA )j+ (zB − zA )r

r = (xB − xA )2 + (yB − yA )

2 + (zB − zA )2

La  fuerza  se  especifica  por  dos  puntos  a  través  de  dos  puntos  por  los  cuales  pasa  su  línea  de  acción  

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea Tarea

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea Tarea

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de

una línea Tarea

Vectores 3D Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea

Tarea

Vectores 3D Producto punto

En estática usamos el producto punto para: •  localizar el ángulo entre dos líneas •  calcular las componentes de una fuerza paralela y

perpendicular a una línea

El producto punto de los vectores A y B, que se escribe A.B, y se lee “A punto B”, se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo entre sus colas

A iB = A B cos(θ )

A iB = AxBx + AyBy + AzBz

Vectores 3D Producto punto

Ejemplos

Vectores 3D Producto punto

Ejemplos

Vectores 3D Producto punto

Tarea

Vectores 3D Producto punto

Tarea

Vectores 3D Producto punto

Tarea