GEOMETRÍA 3DGEOMETRÍA 3D

Profesor: Cristian Quintana SepúlvedaCorreo: cristianquintana@institutoclaret.cl

GEOMETRÍA 3D

Instrucciones

• Lee y analiza cada uno de los siguientes conceptos.

• Resuelve de forma ordenada los ejercicios.

• El desarrollo y/o análisis de cada ejercicio debe quedar registrado en sus cuadernos para ser revisados, posteriormente, al regreso a clases.

• Si tienes dudas o consultas puedes escribir a mi correo cristianquintana@institutoclaret.cl o visitar el Instagram del nivel matematica_claret

De paseo por Valdivia

En la ciudad de Valdivia, dentro de susmuchos atractivos turísticos, hay una posibilidad decruzar caminando el puente Pedro de Valdivia, queconecta la ciudad con la Isla Teja. También sepuede navegar por el río Calle en embarcacionesturísticas como veleros, catamaranes, barcazas,entre otras. Caminando, se puede seguir variasrutas y el trayecto seguido dependerá de lascondiciones geográficas. Por otro lado, cada vezque se navega por el río, la embarcación se veafectada por la velocidad con que éste fluye o a lavelocidad del viento, por lo que es necesarioconsiderar esto factores al avanzar por el río.Usando vectores, se describirá rutas que se afecteno no por distintas fuerzas a la vez.

Analicemos la ruta

1. Una persona está ubicada en un extremo del punte Pedro de Valdivia ydesea cruzar a isla teja, ¿Cómo podrías describir el trayecto que debeseguir?

a. ¿Hacia dónde debe moverse? ¿Cuál es el sentido de su movimiento?

b. ¿En qué dirección se debe mover? Haz la diferencia con la preguntaanterior.

c. ¿cuánto se debe mover? ¿Cuál es la distancia que debe recorrer?

d. Si solo hubieses usado un número para describir el trayecto de lapersona, ¿habrías logrado ser tan preciso? ¿Cómo lo habrías hecho?

2. Observa el desplazamiento de una persona desde el punto A hasta elpunto B. Construye un vector usando GeoGebra, tal como se muestraen la figura siguiente.

Analicemos el vector

a. Indica las coordenadas del punto de origen y del punto extremo.

b. Indica cuál es el vector de desplazamiento

Notación Punto origen o punto inicial Punto extremo o punto terminal

𝑃(𝑎, 𝑏)

Notación Vector de desplazamiento

𝑢 = (𝑢1, 𝑢2)

c. ¿Cuál es la diferencia entre los puntos y el vector? ¿Cuál es la diferencia geométrica y en el contexto entre un punto y un vector?

Conocimientos previo

Recordemos que un vector es un segmento con cierta longitud que se le asignan algunas características como:

• Origen y extremo

• Dirección

• Sentido A

B A: OrigenB: ExtremoAB: longitud

Vectores equipolentes (equivalentes): Son aquellos que tienen igualdirección, sentido y magnitud.Vectores opuestos: son aquellos que tienen igual dirección ymagnitud, pero sentido contrario.

Vector en el plano cartesiano

Todo vector Ԧ𝑣 = (𝑥. 𝑦) centrado en el origen tiene doscomponentes: una 𝑥 y otra 𝑦 , las cuales se denominan lascomponentes cartesianas de un vector.

x

y

𝑥

(𝑥, 𝑦)𝑦

Ubica en el plano cartesiano el punto 𝑃 3,4 y traza el vector desde elorigen Ԧ𝑣 = 3,4 .

Si observamos el desplazamiento que describe el vector podemos decir que,un “objeto” se movería 3 espacios (unidades) a la derecha y 4 espacios(unidades) hacia arriba.

Describe el desplazamiento de un objeto dados los siguientes vectores:

a. Ԧ𝑎 = −2,5

b. 𝑏 = (0,−1)

Vector en el plano cartesiano

Si ubicamos el punto P(7, 3) . y lo trasladamos según el vector Ԧ𝑣 = 1,2obteniendo el punto Q.

¿Cómo se pueden obtener las coordenadas del vector desplazamiento,usando las coordenadas del punto origen y del extremo?

Punto origen Punto extremo

𝑃(7,3) Q( , )

Vector en el plano cartesiano

Se puede determinar el vector en el origen de un vector sabiendo lascoordenadas del punto de origen y del punto extremo como sigue acontinuación:

Sean los puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) se determina el vector

𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1Ejemplo: Sean A(3,5) y B(7,2) el vector 𝐴𝐵 estaría determinado por:

𝐴𝐵 = 7 − 3, 2 − 5𝐴𝐵 = (4,−3)

Notar que se restan las coordenadas del punto extremo menos las del de origen.

Vector en el plano cartesiano

Ejercicios

Dados los siguientes puntos, determinar las coordenadas del vector en el origen correspondiente.

𝐴(1,−1) 𝐵(0,−3) 𝐶 4,0 𝐷(−2, 5)

Vector Punto de origen Punto extremo Componentes del vector

𝐴𝐵

𝐶𝐷

𝐷𝐵

𝐵𝐴

Vectores opuestos

Del ejercicio anterior, ¿qué observas respecto de las componentesde los vectores 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴?

Recordemos que el vector 𝐴𝐵 va de A hasta B mientras que elvector 𝐵𝐴 es el vector que va desde B hasta A. Por lo tanto, tienensentido contrario.

Sea 𝒗 = (𝒙, 𝒚) el vector opuesto corresponde a −𝒗 = (−𝒙,−𝒚)

Módulo de un vector en el origen

Recordemos que un vector Ԧ𝑣 = (𝑥, 𝑦), tiene como característica elmódulo, que corresponde a la longitud del segmento asociado.

Luego, el módulo del vector Ԧ𝑣 se simboliza como Ԧ𝑣 y se calcula:

Ԧ𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2

Sea el vector Ԧ𝑣 = 2,−4 un vector en el origen entonces,

Ԧ𝑣 = 22 + (−4)2= 4 + 16 = 20

Grafica el vector en GeoGebra y determina su módulo.

Hallar el módulo de los siguientes vectores:

• 𝑣1 = (1,2)

• 𝑣2 = (−3,5)

• 𝑣3 = 0,−6

• 𝑣4 = (12,0)

Ejercicios

Módulo de un vector

Recordemos que un vector 𝐴𝐵 también se puede describir según suspuntos extremos. Si el punto de origen es el punto 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y su puntoextremo es el punto B(𝑥2, 𝑦2) el módulo del vector corresponde a lalongitud del segmento 𝐴𝐵.

Luego, el módulo del vector 𝐴𝐵 se simboliza como 𝐴𝐵 y se calcula:

𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2

Hallar el módulo de los siguientes vectores:

• AB con A(3,4) y B(-2,0)

• CD con C(2,-1) y D(1,-2)

• PQ con P(4,1) y Q(4,1)

Nota: a un vector cuyo módulo es cero, es decir, su origen coincide con su extremo, se le llama vector nulo y se representa como 0

Ejercicios

Suma de vectoresSupón que una persona, además de cruzar a IslaTeja por el puente Pedro de Valdivia, decidecontinuar caminando por la orilla del río Calle Calle.Su trayectoria podría describirse mediante la figura:

a. Indica las coordinadas de los vectores 𝑢 𝑦 Ԧ𝑣.

b. Si pudieras ir de A hasta C en línea recta, ¿quécamino seguirías? Márcalo en el gráfico.

c. ¿Qué vector describe el trayecto que seguirías?Llama al nuevo vector 𝑤.

Suma de vectores

Sean Ԧ𝑎 y 𝑏 dos vectores centrados en el origen y cuyascomponentes son 𝑎1, 𝑎2 y 𝑏1, 𝑏2 , respectivamente. Entonces la sumade ambos vectores está dada por:

Ԧ𝑎 + 𝑏 = 𝑎1, 𝑎2 + 𝑏1, 𝑏2 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2)

Ejemplo: Sea Ԧ𝑑 = 4,8 y Ԧ𝑓 = (2,−5) el vector suma Ԧ𝑔 = Ԧ𝑑 + Ԧ𝑓 sería:

Ԧ𝑑 + Ԧ𝑓 = 4 + 2, 8 + −5

Ԧ𝑔 = (6,3)

Suma de vectores

Sean Ԧ𝑎 y 𝑏 dos vectores centrados en el origen y cuyascomponentes son 𝑎1, 𝑎2 y 𝑏1, 𝑏2 , respectivamente. Entonces la sumade ambos vectores está dada por:

Ԧ𝑎 + 𝑏 = 𝑎1, 𝑎2 + 𝑏1, 𝑏2 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2)

Ejemplo: Sea Ԧ𝑑 = 4,8 y Ԧ𝑓 = (2,−5) el vector suma Ԧ𝑔 = Ԧ𝑑 + Ԧ𝑓 sería:

Ԧ𝑑 + Ԧ𝑓 = 4 + 2, 8 + −5

Ԧ𝑔 = (6,3)

Resta de vectoresSean Ԧ𝑎 y 𝑏 dos vectores centrados en el origen y cuyas componentes son

𝑎1, 𝑎2 y 𝑏1, 𝑏2 , respectivamente. Entonces la resta de ambos vectores estádada por:

Ԧ𝑎 − 𝑏 = Ԧ𝑎 + −𝑏 = 𝑎1, 𝑎2 − 𝑏1, 𝑏2 = (𝑎1 − 𝑏1 , 𝑎2 − 𝑏2)

Ejemplo: Sea Ԧ𝑡 = 2,5 y Ԧ𝑣 = (4,−3) entonces el vector resta ℎ = Ԧ𝑡 − Ԧ𝑣sería:

Ԧ𝑡 + Ԧ𝑣 = 2 − 4, 6 − −3

ℎ = (−2,9)

Ejercicios

Ingresa en el siguiente link para practicar la suma y resta de vectores

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:vectors/x9e81a4f98389efdf:vector-add-sub/e/adding_vectors

Producto de un vector por un número real

La multiplicación de un número real 𝜆 (también llamado escalar) por un vector Ԧ𝑎 = 𝑎1, 𝑎2 , corresponde a otro vector 𝜆 Ԧ𝑎, de modo que:

𝜆 Ԧ𝑎 = 𝜆 𝑎1, 𝑎2 = 𝜆𝑎1, 𝜆𝑎2

Ejemplo: Sea Ԧ𝑎 = −3,5 y 𝜆 = 2 el vector 𝜆 Ԧ𝑎𝜆 Ԧ𝑎 = 2 −3,5𝜆 Ԧ𝑎 = 2 ∙ −3,2 ∙ 5𝜆 Ԧ𝑎 = (−6,10)

Ejercicios

Dado el vector 𝑢 = (2,8) y los escalares 𝜆 = 2 , α = −1 , 𝛽 =1

2completa la siguiente tabla. (Usa GeoGebra para apoyarte)

Vector Componentes del vector

Módulo del vector

𝜆𝑢

𝛽𝑢

𝛼𝑢

Análisis

En la situación anterior, analiza módulo, sentido y dirección de cada uno de los nuevos vectores respecto del original.

a. ¿Qué ocurre cuando realizas el producto por un escalar positivo mayor que 1?

b. ¿Qué ocurre cuando realizas el producto por un escalar positivo menor que 1?

c. ¿Qué ocurre cuando realizas el producto por un escalar negativo?