CAPITULO I

CONCEPTO DE VECTOR. LA ADICION VECTORIAL

1. 1 EI concepto de vector resulta al generalizar 0 abstraer las propiedades comunes a ciertas magnitudes conocidas en Fisica, tales como la fuerza, Ia velocidad, la intensidad de campo eIectrico o de campo magnetico, etc.

Definici6n. Se da el nombre de vector- a ciertas magnitudes que pueden ser representadas geometricamente por medio de un seg­mento orientado, en el cual se consideran las siguientes cualidades:

a) Longitud 0 modulo del vector, que es un numero positivo representativo de la intensidad de la magnitud que expresa. Por ejemplo, si una fuerza tiene una intensidad de 10 kilogramos, la lon­gitud del segmento AB sera igual a 10 veces la unidad de longitud eiegida para representar 1 kg. en el dibujo. 10 kgs., 0 su equivalen­te en el dibujo, viene a ser entonces el m6dulo del vector.

b) La dir-eccion, que es aqueIla de la recta que contiene el vec­tor. A tal recta se Ie llama linea de acci6n 0 tambien, soporte del vector.

c) EI sentido. Por cad a direcci6n hay dos sentidos, los cuales se particularizan, bien leyendo primero 131 origen, despues el extre­mo del vector, bien disponiendo una flecha sobre las letras que Ie

~ designan. As! decimos, "vector A - B" y escribimos AB como desig­naci6n para el vector que aparece en Ia Figura 1-1.

Varios son los procedimientos seguidos para designar un vec­tor. En este campo, como en otros de las ciencias matematicas, no se ha llegado a un sistema unico para designaci6n de los elementos y las operaciones.

11

En realidad, imponer una designacion unica, -un standard- po­dria no ser conveniente. As! tenemos, en apoyo de este punto de vis­ta, las multiples designaciones que existen en AnaJisis para las de., rivadas, diversidad que ofrece sus ventajas, segun el caso.

Una designacion muy usada es la que provee una flecha sobre Ia ]ctra 0 Ietras que design an el vector; resulta muy conveniente en las explicaciones griificas de catedra. Gran parte de los libros modernos han optado por designar el vector mediante una letra en negrita, 10 que hace innecesaria la provision de la flecha. Autores' de lengua alemana acostumbran designar el vector mediante una letra gotica, dejando para los restantes elementos matematicos caracteres latinos.

La designacion empleada en estas lecciones sera la de caracte­res en negrita, aunque las figuras correspondientes al texto indica­ran los vectores con flechas.

EI modulo del vector vendra a estar designado aqui mediante la letra ordinaria, si bien algunas veces, para ser enfaticos, provee­remos el vector con las iniciales mod. antepuestas a aquel.

Los vectores han quedado asi zdefinidos en el espacio ordinario,

(euclideo), de tres dimensiones. Como, segun la definicion, Ia po­sicion del vector no interesa, se usa la denomina~ion de vector li­bre.

Aplicar un vector a un punto es construir el vector dado, de tal

xmanera que su origen coincida con el punto. Asi, por ejemplo, en la Figura 1-1, hemos aplicado un mismo vector a los puntos A, A',

li"

A". Se concibe de esta manera la existencia de un conjunto infinito, (triplemente infinito), de vecto­res, que resultan al aplicar un mismo- vector a todos los puntos del espacio. De los vectores pertenecientes a dicho conjunto se dice que son equipolentes entre silo, como es mas acostumbrado ahora, se di­ce que son iguales.

ADICION DE VECTORES

L. 2. Sl,nna de dos vectores. Se da el nombre de suma ,de dos vectores Vl Y V':J a un tercer vec­tor construido segun el srguiente procedimiento:

Elegido un pun to A arbitraria­mente, (Fig 1-2), se construye el vecbr AB igual a VI y, por el punto B, un vector BC igual a V 2

EI vector AC que une el origen A de VI cori el extremo C de V2, es el vector suma de los dos vecto­res dados, 10 que se escribe en simbolos asi,

(1) AC = VI + V':J

Si hubiesemos sumado al vector AD = V2 , el vector DC = Vi> habriamos obtenido el mismo resultado, es decir, el vector AC. 0 sea, que se tiene,

(.2)

10 que se expresa diciendo: la suma vectorial tiene la propiedad conmutativa.

I 1. 3 Suma de n vectores. Si se Henen n vectores libres en el es­

pacio de tres dimensiones, se da el nombre de sutna vectorial de los mismos, 0 simplemente suma, al vector construido de acuerdo con el siguiente procedimiento:

I f

I

\ ./ /

/ //--

F \

/

A

.

rig 1-2

'I ADICION DE VECTORES

1. 2.S~,t'ma de do,'J vectores. vectores VI Y V2 a un tercer vec­tor construido segun el s1guiente procedimiento:

Elegido un punta A arbitraria­mente, (Fig 1-2), se construye el vecbr AB igual a VI y, por el punto B, un vector BC igual a V 2

El vectorAC que une el origen A de VI con eI extremo C de V 2, es el vector suma de los dos vecto­res dad os, 10 que se escribe en sfmbolos asi,

(1)

Se da el nombre de suma de dos

rig /-2

Si hubiesemos sumado al vector AD = V'}" el vector DC = VI' habrfamos obtenido el mismo resultado, es decir, eI vector AC. 0 sea, que se tiene,

C2)

10 que se expresa diciendo: la suma vectorial tiene la propiedud comnutativa.

1. .3 Suma de 11, vectores. Si se tienen n vectores libres en el es­pacio de tres dimensiones, se da el nombre de suma vectorial de los mismos, 0 simplemente SU1na, al vector construido de acuerdo con el siguiente procedimiento:

\ \

A

-/

/ /

I

/ //-­

F

8

13

r

Elegido un punto A, (Fig. 1-3), se aplica a tal punta el vector Vl ; por el extremo de este se apIica un vector igual a V2 ; por el ex­tremo de este se aplica un vector igual a Yl y as! sucesivamente has­ta aplicar Vn • El vector AN que une el origen del primer vector con el extremo del ultimo, recibe el nombre de surna de los vectores da­dos, y se escribe,

(1) AN = S = V l + V 2 + .... + Vn

La operacion de sumar Hene aqu! un contenido mas amplio quo !a operacion del mismo nombre tiene en Aritmetica con los nu­meros positivos, 0 en Algebra con todas las clases de numeros rea­les y complejos, pero conserva las mismas propiedades de estas su­mas 0 sea que, como veremos en seguida, la suma 'S esindependiente del orden de los sumandos (propiedad conmutativa) y ademas pue­den ser reemplazados varios sumandos por la suma parcial, (adieio­nesparciales), de tal manera que la suma de vectores posee la pro­piedad asociativa.

Aunque el dibujo correspondiente a la Figura 1-3, aparece en un plano, debe entenderse que proviene de proyectar las construc­

, eionez hechas en el espaeio de tres dimensiones. Para conocer la ver­dadera magnitud de los vectores, seria necesario proyectar sobre dos pIanos 0, en otras palabras, utilizar los procedimientos de la Geometrfta descriptiva.

Ahora, atendiendo a la Figura 1-3 es evidente que se tiene, por ejemplo,

(2) AN = S = AD + DF + FN

o bien,

(3) S = (Vl + V-;. + V;d t (VI + V r,) +- (Vi; + .... + Vn)

o sea que, se pueden reemplazar varios sumandos por el vector suma de los mismos, sin que se altere la suma general. Esto es, como ya hemos dicho, la pl'opiedad asociativa.

Demostremos ahora que, dada una suma de vectores, es posible cambial' el orden de dos elementos contiguos, 0, en otras palabras, cfectuar una transposicion, sin que la suma se altere.

Sea, para facilitar la demostracion, una suma limitada a cinco vectores,

14

(4)

Puesto que se puede introducir parentesis en virtud de la ley Dflociativa, se tiene,

(5)

Como la ley conmutativa vale para dos vectores, puede escri­hirse,

(6)

y finalmente suprimiendo el parentesis, queda,

(7)

En resumen: la suma no se afecta por la transposicio~ de dos elementos contiguos, (en este caso V3 y V4 ).

Ahora, para demostrar que la ley conmutativa es valida en ge­neral, haremos ver como, mediante un numero limitado de transpo­siciones se pasa de una ordenaeion dada, a otra cualesquiera orde­nacion de los sumandos.

Veamos por ejempo, la igualdad de las dos sumas siguientes:

Limitandose a escribir solamente los indices, &e tienen las si­guientes transposiciones:

(S") 3 5-1-4-2 3-1-5-4-2 1-3-5-4-2 1-3-5-2-4 1-3-2-5-4 1-2-3-5-4 1-2-3-4-5 (S')

De 10 expuesto hasta ahora se desprenden algunas consecueneias importantes que conviene mencionar.

------15

(4)

Puesto que se puede introducir parentesis en virtud de la ley af!ociativa, se tiene,

(5)

Como la ley conmutativa vale para dos vectores, puede escri­birse,

(6)

y finalmente suprimiendo el parentesis, queda,

(7) ,

En resumen: la suma no se afecta por la transposici6n de dos elementos contiguos, (en este caso Va Y V4).

Ahora, para demostrar que la ley conmutativa es valida en ge­neral, haremos ver como, mediante un numero limitado de transpo­siciones se pasa de una ordenaci6n dada. a otra cualesquiera orde­naci6n de los sumandos.

Veamos por ejempo, la igualdad de las dos sumas siguientes:

(S") : V;; + V'S + VI + Vi + V~

(S') : VI + V~ + Va + V4 + V" .

Limitandose a escribir s61amente los indices, Be tienen las si­guientes transposiciones:

(S") 3-5-1-4-2 3-1-5-4-2 1-3-5-4-2 1-3-5-2-4 1-3-2-5-4 1-2-3-5-4 1-2-3-4-5 (8')

De 10 expuesto hasta ahora se desprenden algunas consecuencias importantes que conviene mencionar.

15-----_.

Primera. La suma de vectores coplanarios (es decir, paru!e­los a un mismo plano), es coplanaria.

Segunda. La suma de vectores co-axiales (es decir paralelos a una misma recta), es co-axial. Como caso aun mas restringido de esta ultima suma, se tiene la suma de vectores iguales, pOl' ejemplo,

S = V + V + V = 3V

o sea, un vector cuyo modulo es tres veces el modulo de uno de los sumandos, pero que conserva la direcci6n y el sentido de estos.

Es oportuno decir que la sum a de numeros positiv~s y negati ­vos (de numeros reales en general), esta asociada a la suma de vec­tores co-axiales. En efecto, la operacion de sumar tales vectores y la operacion de sumar los numeros que expresan los modulos, afec­tados . de signo (+) para un senti do, de signo (-) para el sentido opuesto, estan en relaci6n de isollwr/ismo.

Pasamos ahora a vel' que se entiende por

1. 4 Producto de un numero (un escalar) 110r un vector.

Se define el producto de un numero m, real, POI' un vector V, como sigue:

El producto mV es un vector cuyo soporte es paralelo al sopor­te de V; en otros terminos, V y mV son paralelos. El m6dulo es igual a 1m/ . V. En cuanto al sentido, sera el mismo de V si m es positivo; el opuesto a V, si m es negativo.

Un caso particular importante es aquel en que m = -1, pues entonces el efecto del factor (-1), sera el de cambial' el sentido, conservando la direccion y el modulo. Se conviene en escribir

(1) (~l)V = -v

Se dice entonces que -V es el vector opuesto a V

Definiremos en seguida la

1. 5 Diferencia de vectores. Dados dos vectores, V1 y V2, se llama diferencia entre V2 (minuendo) y V1 (substraendo), a un ter­cer vector V que sumado a VI nos da V2 • En simbolos ha de cum­plirse,

16

(1) -V,

POI' razones que veremos lue­go, cabe escribir,

(2)

En la Figura 1-4 se hace vel' como el vector diferencia, une el extremo del vector substraendo al extremo del vector minuendo.

La definici6n dada se atiene a la ley de permanencia de las pr01Jiedades formales (Hankel).

Es faeil vel' como la diferencia entre los dos vectores se obtie­ne como resultado de sumar al vector V2, el vector opuesto a VI'

As! como en Algebra el concepto de imma se extiende a los nu­meros negativos, el calculo vectorial reduce la operaci6n de subs­traer 0 restar, a la de sumar los correspondientes vectores opuestos.

La raz6n. para escribir (2.) radica en que si se substituye en (,1), se obtiene identidad.

1. 6 Descomposicicn de un vector en una terna ca1'tesiana.

Utilizaremos en 10 que sigue la terna de ejes coordenados rec­tangulares con orientaei6n directa.

Sea un punto P de coordenadas (x, y, z). Si se une el origen del sistema con el punto P, se obtiene el vector OP, llamado vector de punto, vector de posicion 0 tambien, cOM'denada vectorial de P.

Si se construye sobre cada uno de los ejes, un vector de modulo unidad, orientado en el mismo sentido del correspondiente eje, a ta­les vectores unitarios (versores) z se les designani pOl'

Ti, j, Ie, - --:-7]

/ // - p/ Ipara los ejes x, y, z, respectiva­ r . ~ .<. ~~::'=--f.-_I,,------,Ymente.

I /Construido el contorno de coor­

denadas del punto P -mejor aun, xel paralelepipedo del cual OP .es

una diagonal- se tienen las si­guientes igualdades vectoriales,

17

(1) -v, Por razones que veremos lue­

go, cabe escribir,

(2)

En la Figura 1-4 se hace ver como el vector diferencia, une el extremo del vector substraendo al extremo del vector minuendo.

La definicion dada se atiene a la ley de permanencia de las propiedades /onnales (Hankel).

Es facil ver como la diferencia entre los dos vectores se obtie­ne como resultado de sumar al vector V~, el vector opuesto a VI'

Asi como en Algebra el concepto de suma se extiende a los nu­meros negativos, el calculo vectorial reduce la operacion de subs­traer 0 restar, a la de sumar los correspondientes vectores opuestos.

La razon para escribir (2) radica en que si se substituye en (1), se obtiene identidad.

1. 6 Descomposici6n de un vecto?' en una terna cartesiana.

Utilizaremos en 10 que sigue la terna de ejes coordenados rec­tangulares con orientacion directa.

Sea un punto P de coordenadas (x, y, z). Si se une elorigen del sistema con el punto P, se obtiene el vector OP, llamado vector de punto, vector de posicion 0 tambh~n, coordenada vectorial de P.

Si se construye sobre cada uno de los ejes, un vector de modulo unidad, orientado en el mismo sentido del correspondiente eje, a ta­les vectores unitarios se les designara pOl'

(versores) z

i, j, Ie, T -"7]

para los ejes x, y, z, respectiva­/

p/ I mente.

Construido el contorno de coor­denadas del punto P -mejor aun,

M)L------':,

el paralelepipedo del cual OP ,es x

una diagonal- se tienen las si­guientes igualdades vectoriales, tFty /-5

17

(1) OP == OM + MN + NP

== OM + OH + OT

Ahora bien, puede escribirse,

(2) OM == ix; OH == Iy; OT == kz

luego, substituyendo en la anterior,

(3) OF' == ix + iy + kz

]a cual expresa la descomposicion del vector en Ia terna ortogonal considerada.

1. 7 El vector libre como diferencia de vectores - posicion.

Atendiendo a la figura 1-6, se escribe,

(1) AB == OB - OA

qUe nos dice: el vector AB es igual a la diferencia entre la coordena­da vectorial del extremo, B, y la coordenada vectorial del origen, A

I I I

0y

A, del vector. z

Esta diferencia caracteriza los vectores libres, porque, para otro vector CD == AB, se tiene,

(2) OD == OB + BD

OC == OA + AC

x Efectuando la lSubstracd6n y

teniendo en cuenta que es BD -ACo' queda,

(3) OD - OC == OB - OA

igualdad que comprueba el enunciado.

La descomposici6n de un vector libre equivale en consecuencia a la descomposici6n de los dos vectores posicion. como sigue:

Sean,

(4)

18

(5)

de donde,

(6) OB

Para simplificar se escribe,

Z~-Zl == Z

en las cuales se designa con X, Y, Z, las proyecciones algebraicas 0

componentes del vector AB.

(7)

1. 8. Expresion de la suma de 1)ectores, en el si~tema de1coor­1 d Para n vectores V], V~, .... , Vn , hemos VISto que a su­aena as.

ma, .

(1) S == Vi + V~ + .... + Vn == ':i..V:

(desde r == 1 hasta r == n)

es un vector bien definido, independiente del orden en que se con­sideren los sumandos.

Si por otra parte, se tiene,

(2) V. == iX. + jYr + lcZr

la Buma se expresa aSI,

(3) 'S == ~ (iX. + jYt + kZr )

(desde r == 1 hasta r == n)

Distribuyendo la sumatoria, se tiene,

(4) S == i:SXr + j:SYr + l<::SZr (desde r 1 hasta r n)

o sea que, las componentes de S, valen,

(5) Sx :SX.; Sy = ~Yr ; (desde r = 1 hasta r

En palabras: la componente del vector suma, segun cada eje, es 1'gual a La suma de las componentes de los vectores snmandos.

19

(5)

de donde,

(6) OB

Para sirnplificar se escribe,

(7) Y~-Yl == Y ;

en las cuales se designa con X, Y, Z, las proyecciones algebraicas 0

componentes del vector AB.

1. 8. Expresi6n de la suma de vectores, en el sisterna de coor­denadas. Para n vectores VI, V~, ... 0' Vn, hernos visto que la su­rna, .

(l) s == VI + V~ + .... + Vn == "i.V..

(desde r == 1 hasta r == n)

es un vector bien definido, independiente del orden en que se con­sideren los surnandos.

Si por otra parte, se tiene,

(2) Vr == iX r + iYr + kZ r

la surna se expresa asi,

(3)

(4)

'5 == ~ (iX.. + iY f + kZ r )

(desde r == 1 hasta r = n)

Distribuyendo Ia surnatoria, se tiene,

'S == i~Xr + ilYr + k~Zr (desde r = 1 hasta r = n)

o sea que, las cornponentes de'S, valen,

(5) Sx = ~Xr ; (desde r

Sy l.Yr ; 1 hasta r

S. n)

En palabras: la cornponente del vector suma, segun cada eje, es igual a la suma de las componentes de los vectores smnandos.

19

Esto es intuitivo desde un punto de vista geometrico y vale tambien para sistemas oblicuos, de coordenadas.

As!, con atencion a la Figura 1-7, se ve que el enunciado ante­rior equivale a afirmar que la proyecci6n de "S es igual a la suma de las proyecciones de Vb .... , Vr., 0 sea que es

(6) (AF) = (AB) + (BC) + (CD) + (DE) + (EF)

(/.

V.x, Y, I )(~ y~

I I ~ I

x,YsI I

II II

;= xf)C EA B

FIg /-7

10 que se constata por inspeccion 0 tambien, anallticamente, as!:

El segundo lado de (6), vale,

(7) (X2 - Xl) + (X3 - X!!) + (X4 - xa) + (X5 - X4)

+ (xa - xu) = Xa - Xl = (AF)

Se ha utilizado el parentesis para indicar la medida algebrai­ca del segmento (proyeccion analitica 0 simplemente, proyecci6n).

I' I I

I::

20

NOTAS COMPLEil.YIENTARIAS Y EJERCICIOS

En estas lecciones daremos preferencia a la notacion,

(1) V = ix + jy + kz

para designar un vector en la terna cartesiana.

Otra designaci6n que ofrece ventajas en el algebra de Matri ­ces, es aquella que expresa el vector POl' medio de sus componentes cartesianas ordenadas, escritas entre parentesis, as!,

I (2) V = [x, y, z]

En los ejerclclOs que siguen, utilizaremos esta ultima designa­cion, POl' favorecer la brevedad. I

1) Determinar la suma de los vectores,

VI = [3; 4; 2] V~ = [4; -6; 0]I I Va = [5; -8; 11] V 4 = [3; 1;-4]

I 2) De la igualdad, V = [x, y, z], se deduce la siguiente ley de lllultiplicaci6n por un escalar, i

k.V = [kx; ky; kz]

3) Ejecutar la siguiente operacion,

Los vectores son los correspondientes del ejercicio 1.

4) Obtener los cosenos de direccion del vector [-3,; 4; 2], con relaci6n a los ejes cartesianos a que esta referido.

5) Que significado geometrico tiene el vector expresado por

( [X2 ---'- Xl]; [Y2 - yd; [z!! - zd ) ?

6) Dados los puntos,

rl= [-3;4;,2,]; r!!= [4;6;0];

calculense las longitudes de los lados del triangulo que forman.

(La locucion punta equivale a: extremidad del vector de posi­cion) .

21

NOTAS COMPLElViENTARIAS Y EJERCICIOS

En estas lecciones daremos preferencia a la notacion,

(1) v = ix + jy + kz

para designar un vector en la terna cartesiana.

Otra designacion que ofrece ventajas en el algebra de Matri­ces, es aquella que expresa el vector POI' medio de sus componentes carlesianas ordenadas, escritas entre parentesis, asi,

(2) v = [x, y, z]

En los ejercicios que siguen, utiIizaremos esta ultima designa­cion, pOl' favorecer la brevedad.

1) Determinar la suma de los vectores,

V1 =[3;4;2] V 2 = [4; -6; 0]

Va = [5; -8; 11] V4 = [3; 1; -4]

2) De la igualdad, V = [x, y, z], se deduce la siguiente ley de Jl1ultiplicacion POl' un escalar,

k.V = [kx; ky; kz]

3) Ejecutar la siguiente operacion,

Los vectores son los correspondientes del ejercicio 1.

4) Obtener los cosenos de direccion del vector [-3,; 4; 2], con rehlCion a los ejes cartesianos a que esta referido.

5) Que significado geometrico tiene el vector expresado por

( [X2 --'- Xl]; [y~

6) Dados los puntos,

rl = [-3; 4; ,2] ; r:;= [4;6;0];

calculense las longitudes de los lados del triangulo que forman.

(La locucion punto equivale a: extremidad del vector de posi­cion) .

21

r I

Dependencia lineal. -Cuando un conjunto de vectores, De este sistema es posible obtener A11 ~~, '\3, siempre que se ten­ga,

(3)

es tal, que se puede establecer una ecuacion,

(4)

con numeros kb k~, .... , k n que no son todos nulos, se dice que los vectores(3) son lineal mente dependientes.

Independencia lineal. -Cuando, por el contrario, la igualdad

(4) exige el que se tenga, kl = k:J = .... k n =: 0, los vectores (3),

son linealrnente independientes.

7) Demostrar que los tres vectores del ejercici06 son lineal­rnpnte independientes.

8) Demostrar que los vectores,

[-'3; 4; 12J, [4; -6; 0] ,

son lineal mente dependientes.

Los vectores unitarios pueden ser expresados como sigue,

i= [1;0;0], j = [0 j 1; OJ k=[O;O;lJ

9) Demostrar que mas de tres vectores no pueden ser lineal­mente independientes (en el espacio ordinario de tres dimensiones).

Esta importante proposicion puede cambiarse a la siguiente:

Si VI' V2, Va, son tres vectores linealmente independientes, (vec­tores base), todo vector V.j, podra expresarse aSl,

Vi =: AIVI + A3V':!' + A3Va

En efecto, la anterior conduce a las ecuaciones,

Xi = AIXI + A~;{;~ + A3X3

Y4 =: AlYI + A3V2 + A3Ya

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Xl X!l Xa

VI v~ Va ¢oD= Zl Z:l Z;J I

Mas esta condicion esta implicita en la de independencia lineal de V], V'}., V3 , pues en efecto, el sistema,

AlxI + A!lX2 + A3X3 = 0

AIVI + A'1.Y!l + AaVa = 0

Alzl + A2Z:j + A3Z3 = 0

s610 ha d~ tener como solucion la solucion trivial Al =A2 =A3 = 0, 10

que exige que el determinante D sea diferente de cero.

De este sistema es posible obtener AI. >..~, '\3, siempre que se ten­ga,

¢:oD= Yl

Mas esta condici6n est:i implicita en Ia de independencia lineal de VI, V2, Va, pues en efecto, el sistema,

AIXl + A2X~ + A:lX3 = 0

AlYI + A:lY~ + A3Y:! = 0

A1Zl + A2Z:! + AaZ3 = 0

s610 ha de tener como soluci6n la soluci6n trivial A1 ='\2 ='\3 :: 0, 10

que exige que el determinante D sea diferente de cero.

23