Mecánica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Dinámica...Más tarde (Lange, 1816) se introduce...

Mecanica I

Tema 4

Ecuaciones Generales de la Dinamica

Manuel Ruiz Delgado

29 de octubre de 2010

Manuel Ruiz - Mecanica I 2 / 64

Principios y modelos

Ecuaciones generales

Trabajo y Potencial


Principios y modelos

Leyes de NewtonComentarios a las leyes de NewtonSistemas inercialesLimitaciones de las Leyes de NewtonEcuaciones de Newton-EulerPostulados rigurososConsecuencias de los postuladosPrincipio de HamiltonLımites de la mecanica clasicaSistemas a considerarConceptos auxiliares

Leyes de Newton


Las tres leyes de Newton son los principios de la Mecanica Clasica:1

Leyes de Newton



1. Inercia: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento

uniforme y rectilıneo a no ser en tanto que sea obligado por fuerzas impresasa cambiar su estado.

F = 0 ⇒ m r = 0

Leyes de Newton





F = 0 ⇒ m r = 0

2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre

segun la lınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

F = m r =d

dt(m r)

Leyes de Newton





F = 0 ⇒ m r = 0

2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre

segun la lınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

F = m r =d

dt(m r)

3. Accion-reaccion: Con toda accion ocurre siempre una reaccion igual y

contraria. O sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y

dirigidas en direcciones opuestas.

Fij = −Fji

1Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1647

Comentarios a las leyes de Newton


La constante de la segunda ley (masa inerte) es proporcional a la de la ley dela gravitacion (masa gravitatoria). No se ha detectado ninguna desviacion enla relacion. Escogiendo las unidades adecuadamente, se pueden considerarcomo la misma magnitud (principio de equivalencia de Einstein).

bb bb




La primera ley ya fue enunciada por Galileo. Es el comienzo de la cienciamoderna. Aristoteles pensaba que el movimiento necesita una accioncontinua que lo mantenga, lo que daba lugar a ideas bizarras y erroneas(torbellinos de aire propulsores).

bb bb





En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones:

• debil: igual direccion y sentido contrario, Fij = −Fji

• fuerte: ademas, son colineales, Fij = −Fji = λ rij

bbi j

bbi j





En la tercera ley se pueden distinguir dos grados o formulaciones:

• debil: igual direccion y sentido contrario, Fij = −Fji

• fuerte: ademas, son colineales, Fij = −Fji = λ rij

bbi j

bbi j

La 3a ley no se cumple en efectos relativistas (fuerzas de Lorentz)

Sistemas inerciales


Las leyes de Newton tienen su forma mas sencilla en el espacio absoluto, queno es facilmente observable; el consideraba que se podrıa encontrar “en laregion de las estrellas fijas”.

Sistemas inerciales



Mas tarde (Lange, 1816) se introduce el concepto de sistema inercial, comosistema de referencia en el que se cumplen las leyes de Newton.

Sistemas inerciales




Conocido un sistema inercial, cualquier otro sistema que se mueva convelocidad rectilınea y uniforme, sin girar —transformacion de Galileo— estambien inercial o galileano. Esto constituye el principio de relatividad deGalileo, y se deduce directamente de la segunda ley.

Sistemas inerciales





En la teorıa especial de la Relatividad de Einstein tambien se postula unsistema de referencia inercial global, pero ahora la transformacion no es la deGalileo sino la de Lorentz.

Sistemas inerciales





En la teorıa especial de la Relatividad de Einstein tambien se postula unsistema de referencia inercial global, pero ahora la transformacion no es la deGalileo sino la de Lorentz.

Finalmente, en la teorıa general de la Relatividad no hay sistemas inercialesglobales.

Limitaciones de las Leyes de Newton


Los conceptos de masa y fuerza no estan claros: las definiciones pecan decirculares. Incluso cuando se define una fuerza por la deformacion estatica(dinamometros). Lo que sı es una magnitud perfectamente clara y medible esla aceleracion.




En la mecanica clasica, las fuerzas pueden depender de la posicion de laspartıculas, de su velocidad, y del tiempo, pero no de las aceleraciones:F(ri, ri, t) (¡lo que observamos son aceleraciones!)





Por tanto, la segunda ley se puede expresar diciendo que las aceleraciones sepueden expresar mediante una relacion funcional sencilla de las posiciones,velocidades, y del tiempo.






La segunda ley se aplica tambien a sistemas de masa variable. Hay que usarentonces la forma d

dt(mv), que da lugar al empuje: −mv.






La segunda ley se aplica tambien a sistemas de masa variable. Hay que usarentonces la forma d

dt(mv), que da lugar al empuje: −mv.

Newton habla solo de cuerpos, sin aclarar mucho, lo que corresponde a lapartıcula material. Para poder tratar solidos o medios continuos hay quehacer hipotesis adicionales, como las de Euler.

Ecuaciones de Newton-Euler


Para poder tratar solidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hipotesisadicionales:

Un metodo es suponer que las fuerzas internas entre las partıculas de unsolido siguen la tercera ley de Newton en su formulacion fuerte.

Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuacion del momento cineticocomo principio independiente.

Ecuaciones de Newton-Euler


Para poder tratar solidos con las ecuaciones de Newton, hacen falta hipotesisadicionales:

Un metodo es suponer que las fuerzas internas entre las partıculas de unsolido siguen la tercera ley de Newton en su formulacion fuerte.

Otro camino, seguido por Euler, es postular la ecuacion del momento cineticocomo principio independiente.

Por tanto, Euler formula dos principios basicos para la dinamica de cualquiersistema:

1. Cantidad de movimiento: F = ddt (mvG)

2. Momento de la cantidad de movimiento: MG = ddt (HG)

Tambien fue Euler el primero en escribir la segunda ley en la forma hoy conocida,F = m rG

Postulados rigurosos


Para superar las limitaciones de las leyes de Newton, se han buscado principios masrigurosos; por ejemplo:




1. A cada partıcula material se le asigna un escalar positivo, que llamamos masa.





2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores

ΣF = Σmi ri

que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF yel momento en cualquier punto MO.





2. En ciertos sistemas inerciales aislados, el sistema de vectores

ΣF = Σmi ri

que llamamos fuerzas, es nulo. Esto supone que se anula la resultante ΣF yel momento en cualquier punto MO.

3. Las fuerzas tienen expresiones funcionales simples:

Fi = Fi(rj , rj , t) (≡ 2o Ley de Newton)

Fi =∑

j

Fij

Fij decrecen con la distancia → sistema aislado

Consecuencias de los postulados


Masas: dependen de las unidades → masa patron.

b

b

b

b

b

b




Ax1y1z1 InercialBx0y0z0 Inercial

⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0

b

b

b

b

b

b





⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0

Partıcula aislada: r = 0 ⇒ r = ~Cte (≡ 1a ley de Newton)

b

b

b

b

b

b





⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0


Dos partıculas aisladas: Fij + Fji = 0 (≡ 3a ley de Newton)

b

b

b

b

b

b





⇔ ω01 = 0 ; rB01 = 0


Dos partıculas aisladas: Fij + Fji = 0 (≡ 3a ley de Newton)

Definir que partıculas forman parte del sistema:

• Fuerzas interiores: ejercidas sobre una partıcula del sistema por otratambien del sistema

• Fuerzas exteriores: ejercidas por partıculas que no son parte del sistema

b

b

b

i

j

kTodasinteriores

b

b

b

i

j

k

ij interiores

ik, jk exteriores

Principio de Hamilton


b b

La mecanica clasica puede basarse en un solo principio variacional.



b b


Sistema material de coordenadas x1, . . . , xn. El movimiento xi(t) es unacurva entre dos puntos del espacio [x1, . . . , xn, t].



t

xn

x2

x3

x1

b bt1 t2



El sistema se mueve de modo que el funcional accion tenga un valorestacionario:

δI = δ

∫ t2

t1

L(xi, xi, t) dt = 0

donde L = T − V (mec. clasica)



t

xn

x2

x3

x1

b bt1 t2



El sistema se mueve de modo que el funcional accion tenga un valorestacionario:

δI = δ

∫ t2

t1

L(xi, xi, t) dt = 0

donde L = T − V (mec. clasica)

Las funciones xi(t) que hacen δI = 0 son las que cumplen las ecuaciones deEuler del calculo de variaciones:

d

dt

∂L

∂xi−∂L

∂xi= 0 , i = 1 . . . n

que en mecanica se llaman ecuaciones de Lagrange.



Ventajas:

Unico, simple, elegante.

Da directamente un numero mınimo de ecuaciones (= GDL)

Mas generalidad: relativista, cuantica, medios continuos.



Ventajas:

Unico, simple, elegante.

Da directamente un numero mınimo de ecuaciones (= GDL)

Mas generalidad: relativista, cuantica, medios continuos.

Inconvenientes

Base matematica no se explica en primeros cursos.

Forma mas sencilla no valida para:

• Fuerzas no potenciales

• Sistemas no holonomos (ej.: rodadura sin deslizamiento)

aunque puede extenderse, pero ya no es unico y simple.

No permite tratar el rozamiento (importante en ingenierıa).

No aparecen las fuerzas de ligadura (puede ser una ventaja, pero es uninconveniente en ingenierıa).

Matematico. La fısica esta en la Lagrangiana L , distinta en Mecanicaclasica, relativista, etc.: incompleto

Lımites de la mecanica clasica


Teorıa especial de la relatividad: La velocidad de la luz es igual en todos los

sistemas inerciales: transformacion de Lorentz:[

1− v2

c2

]1/2, espacio-tiempo

de Minkowski. Apreciable en grandes distancias y cuando v → c





1− v2

c2



Teorıa general de la relatividad: Espacio de Riemann (espacio-tiempo-masa)que incorpora la masa en la matriz metrica: la gravedad curva el espacio. Nohay sistemas inerciales globales. Valido en la proximidad de grandes masas.Despreciable cuando r r∗ ' KGm/c2 (K ' 105, espacio plano)

Sol: GM/c2 = 1,47 km; Mercurio: rmer

GM/c2= 260684; r⊕

GM/c2' 108





1− v2

c2





GM/c2= 260684; r⊕

GM/c2' 108

Mecanica Cuantica: A nivel de partıculas (atomos, moleculas), los intercambiosde energıa estan cuantificados: ~ν. Despreciable para un numero grande departıculas, cuando el momento cinetico sea grande frente a la constante dePlank: H ~





1− v2

c2





GM/c2= 260684; r⊕

GM/c2' 108

Mecanica Cuantica: A nivel de partıculas (atomos, moleculas), los intercambiosde energıa estan cuantificados: ~ν. Despreciable para un numero grande departıculas, cuando el momento cinetico sea grande frente a la constante dePlank: H ~

La mecanica clasica es el lımite exacto de estas teorıas cuando la relacion deparametros caracterısticos tiende a cero: v

c = r∗

r = ~

H → 0.



rc/(Gm/c2

)

H/

TER

Mec. Cuantica

TGR

10,

1

v/c

0 105 108

1010 80

Tierra

Mercurio

Vehıculosterrestres

Aeronaves

Astronaves

Mercurio

Tierra

Vehıculos

Agujeronegro

Espacio plano

Sistemas a considerar


Partıcula: 3 Grados De Libertad

• 2a Ley de Newton: F = mr 3 ECs ↔ 3 GDL





Sistema de N partıculas: 3N GDL

• 2a Ley de Newton: Fi = miri 3N ECs ↔ 3N GDL

• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones:

Cantidad de movimiento:∑

Fi =∑miri 3 Ec

Momento cinetico:∑

ri ∧ Fi =∑

ri ∧miri 3 Ec

Energıa:∑

ri · Fi =∑

ri ·miri 1 Ec

Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).





Sistema de N partıculas: 3N GDL

• 2a Ley de Newton: Fi = miri 3N ECs ↔ 3N GDL

• O bien combinaciones de las 3N ecuaciones:

Cantidad de movimiento:∑

Fi =∑miri 3 Ec

Momento cinetico:∑

ri ∧ Fi =∑

ri ∧miri 3 Ec

Energıa:∑

ri · Fi =∑

ri ·miri 1 Ec

Si no son suficientes, se divide el sistema (principio de corte).

Solido: 6 GDL

• Cantidad de movimiento:∑

F = m rG 3 Ec

• Momento cinetico: MG = HG 3 Ec

Conceptos auxiliares


F = m ·r

Trabajo

Potencial

Ligaduras

Centro de masas

Tensor de inercia

Cantidad de movimiento

Momento cinetico

Energıa cinetica



F = m ·r

Trabajo

Potencial

Ligaduras

Centro de masas

Tensor de inercia


Momento cinetico

Energıa cinetica

S

i

αM =N∑

i=1

αi mi

Modelo desolido comoN masasdistribuidas

Ω

δm = ρ dxdydz

αM =∫

Ω

α(r) δm

Modelo desolido comocontinuo



F = m ·r

Trabajo

Potencial

Ligaduras

Centro de masas

Tensor de inercia


Momento cinetico

Energıa cinetica

S

i

αM =N∑

i=1

αi mi

Modelo desolido comoN masasdistribuidas

Ω

δm = ρ dxdydz

αM =∫

Ω

α(r) δm

Modelo desolido comocontinuo

Los dos modelos son equivalentes para N →∞, mi → 0

Tratamos el solido como N partıculas: evitamos el teorema del trans-porte para derivar la integral.


Ecuaciones generales

Ecuacion de la cantidad de movimientoEcuacion del momento cineticoMomento cinetico en punto movilMomento cinetico absoluto en punto movilMomento cinetico relativo en punto movilEcuacion de la energıaIntegral de la energıaEcuacion de la energıa respecto al centro de masas7 Ecuaciones generales de los sistemasPrincipio de corte de Euler-Cauchy

Ecuacion de la cantidad de movimiento


b

b

b

i

j

k

FEi

FIij

FIji

En un sistema de N partıculas, el movimiento esta deter-minado por las 3N ecuaciones de cantidad de movimiento(CM) de las partıculas:

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N



b

b

b

i

j

k

FEi

FIij

FIji


FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N

Suele ser util obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo,sumar para todo el sistema:

N∑

i=1

(

FEi +

3a ley (debil)

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)

= RE

N∑

i=1mi ri =

d2

dt2

N∑

i=1mi ri =

d2

dt2M rG =M rG



b

b

b

i

j

k

FEi

FIij

FIji


FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N

Suele ser util obtener combinaciones lineales de estas ecuaciones. Por ejemplo,sumar para todo el sistema:

N∑

i=1

(

FEi +

3a ley (debil)

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)

= RE

N∑

i=1mi ri =

d2

dt2

N∑

i=1mi ri =

d2

dt2M rG =M rG

d

dt(M rG) = RE

Este es el teorema de la cantidad de movimiento, o la ecuacion de la cantidad demovimiento del sistema, M vG; a veces se llama momento lineal, p =M vG.



El sistema se mueve como si toda la masa estuviera en el centro de masas,sometida a la resultante de las fuerzas exteriores.




Las fuerzas interiores no influyen directamente en el movimiento del centro demasas (uno no puede levantarse tirandose de las orejas).





• ¿Como se mueve una nave en el espacio?

• Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿porque la bala mata y el rifle no?

• Nube de basura espacial tras la explosion de un satelite.





• ¿Como se mueve una nave en el espacio?

• Si en el sistema rifle-bala se conserva la cantidad de movimiento, ¿porque la bala mata y el rifle no?

• Nube de basura espacial tras la explosion de un satelite.

Pueden influir indirectamente: cambiando la disposicion de las partes delsistema pueden cambiar las fuerzas exteriores (mover los alerones →modificar la sustentacion).



Se obtiene directamente una integral primera [ f(rj, rj , t) = Cte ] si se anula laresultante exterior en una direccion fija:

RE · u = 0 =d

dt(M rG) · u

u=0−−−→

d

dt(M rG · u) = 0 ⇒ rG · u = Cte

Si la direccion no es fija, u 6= 0, no hay integral primera por este motivo.

b

b b



Se obtiene directamente una integral primera [ f(rj, rj , t) = Cte ] si se anula laresultante exterior en una direccion fija:

RE · u = 0 =d

dt(M rG) · u

u=0−−−→

d

dt(M rG · u) = 0 ⇒ rG · u = Cte

Si la direccion no es fija, u 6= 0, no hay integral primera por este motivo.

Ejemplo: tiro libre en el vacıo.

m

xyz

=

00−mg

⇒

⇒

F · i = 0 ⇒ x = CteF · j = 0 ⇒ y = CteF · k 6= 0 ⇒ E.D.O. para z

bvx

bvx

bvx

g

Ecuacion del momento cinetico


O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji

Partiendo de las ecuaciones de cantidad de movimiento decada partıcula,

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N

se toman momentos en un punto fijo O y se suma paratodo el sistema.



O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N


El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple latercera ley de Newton en su formulacion fuerte:

ri ∧ FIij + rj ∧ FI

ji =3a ley fuerte

(rj +rji

)∧ FI

ij + rj ∧ FIji = rj ∧

3a ley debil(

FIij + FI

ji

)= 0



O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri i = 1 . . . N


El momento de las fuerzas interiores se anula dos a dos, si se cumple latercera ley de Newton en su formulacion fuerte:

ri ∧ FIij + rj ∧ FI

ji =3a ley fuerte

(rj +rji

)∧ FI

ij + rj ∧ FIji = rj ∧

3a ley debil(

FIij + FI

ji

)= 0

Solo queda el momento resultante de las fuerzas exteriores:

N∑

i=1

ri ∧ FEi = ME

O



O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji

El momento cinetico de una partıcula Mi en O es:

HMiO = ri ∧mi v

Mi



O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


HMiO = ri ∧mi v

Mi

Como O es un punto fijo, vMi = ri , y al derivar,

d

dtH

MiO =

ri ∧mi ri + ri ∧mi ri



O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


HMiO = ri ∧mi v

Mi


d

dtH

MiO =


Sumado tenemos la derivada del momento cinetico (MC) del sistema en O:

N∑

i=1

ri ∧mi ri =d

dt

N∑

i=1

ri ∧mi ri = HO



O

rj

ri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


HMiO = ri ∧mi v

Mi


d

dtH

MiO =


Sumado tenemos la derivada del momento cinetico (MC) del sistema en O:

N∑

i=1

ri ∧mi ri =d

dt

N∑

i=1

ri ∧mi ri = HO

Finalmente tenemos la ecuacion del momento cinetico en un punto fijo O (oteorema del momento cinetico, MC o momento angular):

d

dtHO = ME

O



El momento cinetico del sistema solo puede variar con momentos exteriores

• Conservacion del momento cinetico en el sistema solar

• Maniobras de satelites: cohetes/ruedas de maniobra

• Saltos de trampolın







Si no hay momento en una direccion fija, se obtiene una integral primera:

MEO · u = 0 =

(d

dtHO

)

· uu=0−−−→

d

dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte








MEO · u = 0 =

(d

dtHO

)

· uu=0−−−→

d

dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte

• Momento cinetico constante y velocidad variable, distribuyendo la masa:patinador.

• Separacion del sistema Tierra-Luna al disipar energıa por las mareas.








MEO · u = 0 =

(d

dtHO

)

· uu=0−−−→

d

dt(HO · u) = 0 ⇒ HO · u = Cte

• Momento cinetico constante y velocidad variable, distribuyendo la masa:patinador.

• Separacion del sistema Tierra-Luna al disipar energıa por las mareas.

Ecuacion poco intuitiva: giroscopo.

Momento cinetico en punto movil


riO1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij

S2 A veces es util tomar momentos en un punto O movil:

N∑

i=1

r′i ∧ FEi = ME

O =N∑

i=1

r′i ∧mi ri



riO1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij


N∑

i=1

r′i ∧ FEi = ME

O =N∑

i=1

r′i ∧mi ri

La parte derecha es mas complicada: ahora r′i 6= ri y elmomento cinetico tiene dos formas:

Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas:

H21O =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi21



riO1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij


N∑

i=1

r′i ∧ FEi = ME

O =N∑

i=1

r′i ∧mi ri

La parte derecha es mas complicada: ahora r′i 6= ri y elmomento cinetico tiene dos formas:

Momento en O de las cantidades de movimiento absolutas:

H21O =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi21

Momento en O de las cantidades de movimiento relativas:

H20O =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi20

S2 es el sistema de puntos; S0 son paralelos a los fijos con origen en O.

Momento cinetico absoluto en punto movil


ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij

S2

Buscamos una relacion

MEO =

N∑

i=1

r′i ∧mi rMi21 ←→ H21

O



ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij

S2


MEO =

N∑

i=1


O

Por campo de momentos, MEO1

= MEO + rO ∧RE



ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij

S2


MEO =

N∑

i=1


O


= MEO + rO ∧RE

Partimos de la ecuacion del MC en el punto fijo O1, y sustituimos ri = r′i + rO :

H21O1

=d

dt

∑[(r′i + rO

)∧mi ri

]=

=d

dt

∑

r′i ∧mi ri︸︷︷︸

H21

O

+ rO ∧∑

mi ri︸︷︷︸

vO01∧M vG

21

+ rO ∧∑

mi ri︸︷︷︸

rO∧RE



ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij

S2


MEO =

N∑

i=1


O


= MEO + rO ∧RE

Partimos de la ecuacion del MC en el punto fijo O1, y sustituimos ri = r′i + rO :

H21O1

=d

dt

∑[(r′i + rO

)∧mi ri

]=

=d

dt

∑

r′i ∧mi ri︸︷︷︸

H21

O

+ rO ∧∑

mi ri︸︷︷︸

vO01∧M vG

21

+ rO ∧∑

mi ri︸︷︷︸

rO∧RE

como MEO1

= H21O1

→ MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

Por ser O movil, aparece un termino corrector.

Momento cinetico relativo en punto movil


ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij

S2En la ecuacion del MC absoluto en punto movil,

MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21



ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij


MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

aplicamos composicion de movimientos

H21O = H20

O + H01O



ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij


MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21


H21O = H20

O + H01O

La derivada del momento cinetico de arrastre vale:

H01O =

d

dt

∑

r′i ∧mi vO01 =

∑

mi vMi20 ∧ vO

01 +∑

mi r′i ∧ vO

01 =

=∑

mi

(

vMi20 + vO

01

)

∧ vO01 +MOG ∧ vO

01 =M vG21 ∧ vO

01 +MOG ∧ vO01



ri

rO

O1

r′iO

S0

b i

FEi

FIij


MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21


H21O = H20

O + H01O

La derivada del momento cinetico de arrastre vale:

H01O =

d

dt

∑

r′i ∧mi vO01 =

∑

mi vMi20 ∧ vO

01 +∑

mi r′i ∧ vO

01 =

=∑

mi

(

vMi20 + vO

01

)

∧ vO01 +MOG ∧ vO

01 =M vG21 ∧ vO

01 +MOG ∧ vO01

Sustituyendo, tenemos la ecuacion del MC relativo en punto movil; tambienaparece un termino corrector, pero distinto:

MEO = H20

O +MOG ∧ vO01

Ecuacion de la energıa


drj

dri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji

Otra manera de obtener combinaciones de las ecuaciones de CM esdar un desplazamiento a cada partıcula y multiplicar escalarmente:

N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri

]



drj

dri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri

]

Por definicion, el termino de la izquierda es el trabajo elemental de las fuerzas:

N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

]

= δWE + δW I



drj

dri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri

]


N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

]

= δWE + δW I

El de la derecha se puede relacionar con la energıa cinetica:

midvi

dt· dri = mi dvi

dridt

= mi dvi vi =1

2mi d

(v2i

)= dTi



drj

dri

b

b

j

i

FEi

FIij

FIji


N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij = mi ri

]


N∑

i=1

dri ·

[

FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

]

= δWE + δW I

El de la derecha se puede relacionar con la energıa cinetica:

midvi

dt· dri = mi dvi

dridt

= mi dvi vi =1

2mi d

(v2i

)= dTi

Se obtiene la Ecuacion de la energıa: δWE + δW I = dT

Integral de la energıa


Se ha obtenido la ecuacion de la energıa en forma diferencial:

δWE + δW I = dT




δWE + δW I = dT

Se puede expresar como derivada (potencia) o como integral (trabajo finito):

WE + W I = T

∫ 2

1δWE +

∫ 2

1δW I = T2 − T1




δWE + δW I = dT


WE + W I = T

∫ 2

1δWE +

∫ 2

1δW I = T2 − T1

En general, δW no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de unpotencial. Entonces, la ecuacion de la energıa se integra directamente para obtenerla integral de la energıa:

δW = −dV = dT ⇒ T + V E + V I = E

donde la constante E es la energıa mecanica del sistema.




δWE + δW I = dT


WE + W I = T

∫ 2

1δWE +

∫ 2

1δW I = T2 − T1

En general, δW no es una diferencial exacta. Lo es si las fuerzas derivan de unpotencial. Entonces, la ecuacion de la energıa se integra directamente para obtenerla integral de la energıa:

δW = −dV = dT ⇒ T + V E + V I = E

donde la constante E es la energıa mecanica del sistema.

De las ecuaciones globales (CM, MC, EN), solo la de la energıa recoge elefecto de las fuerzas interiores.

Ecuacion de la energıa respecto al centro de masas


O1

S2

i

Tenemos la ecuacion de la energıa en ejes inerciales:

δWE21 + δW I

21 = dT21



O1

G

S0

S2

i


δWE21 + δW I

21 = dT21

Podemos plantearla respecto a unos ejes S0 paralelos a los fijos(ω01 = 0) con origen en el centro de masas del sistema G:

N∑

i=1

drMi20 ·

(FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)=

N∑

i=1

mi vMi21 · dr

Mi20



O1

G

S0

S2

i


δWE21 + δW I

21 = dT21


N∑

i=1

drMi20 ·

(FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)=

N∑

i=1

mi vMi21 · dr

Mi20

Por definicion,∑N

i=1 drMi20 ·

(FEi +

∑Nj=1

j 6=iFIij

)= δWE

20 + δW I20



O1

G

S0

S2

i


δWE21 + δW I

21 = dT21


N∑

i=1

drMi20 ·

(FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)=

N∑

i=1

mi vMi21 · dr

Mi20

Por definicion,∑N

i=1 drMi20 ·

(FEi +

∑Nj=1

j 6=iFIij

)= δWE

20 + δW I20

Por composicion de aceleraciones, vMi21 = v

Mi20 + v

Mi01 + 2ω01 ∧ v

Mi20



O1

G

S0

S2

i


δWE21 + δW I

21 = dT21


N∑

i=1

drMi20 ·

(FEi +

N∑

j=1

j 6=i

FIij

)=

N∑

i=1

mi vMi21 · dr

Mi20

Por definicion,∑N

i=1 drMi20 ·

(FEi +

∑Nj=1

j 6=iFIij

)= δWE

20 + δW I20

Por composicion de aceleraciones, vMi21 = v

Mi20 + v

Mi01 + 2ω01 ∧ v

Mi20

Podemos sustituir en el termino de la derecha y aplicar dadt db = dadb

dt :

N∑

i=1

mi

(

vMi20 + v

Mi01

)

· drMi20 =

N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20



O1

G

S0

S2

i

δWE20 + δW I

20 =N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20



O1

G

S0

S2

i

δWE20 + δW I

20 =N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20

El movimiento de arrastre es una traslacion: vMi01 = vG

01:

N∑

i=1

mi dvMi01 · v

Mi20 = dvG

01 ·

N∑

i=1

mi vMi20 = dvG

01 ·M

G≡G

vG20 = 0



O1

G

S0

S2

i

δWE20 + δW I

20 =N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20


01:

N∑

i=1

mi dvMi01 · v

Mi20 = dvG

01 ·

N∑

i=1

mi vMi20 = dvG

01 ·M

G≡G

vG20 = 0

Solo quedaN∑

i=1

mi dvMi20 · v

Mi20 =

N∑

i=1

1

2mi d

(

vMi20

)2= dT20



O1

G

S0

S2

i

δWE20 + δW I

20 =N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20


01:

N∑

i=1

mi dvMi01 · v

Mi20 = dvG

01 ·

N∑

i=1

mi vMi20 = dvG

01 ·M

G≡G

vG20 = 0

Solo quedaN∑

i=1

mi dvMi20 · v

Mi20 =

N∑

i=1

1

2mi d

(

vMi20

)2= dT20

Podemos ya plantear la ecuacion de la energıa respecto al centro de masas:

δWE20 + δW I

20 = dT20



O1

G

S0

S2

i

δWE20 + δW I

20 =N∑

i=1

mi

(

dvMi20 + dvMi

01

)

· vMi20


01:

N∑

i=1

mi dvMi01 · v

Mi20 = dvG

01 ·

N∑

i=1

mi vMi20 = dvG

01 ·M

G≡G

vG20 = 0

Solo quedaN∑

i=1

mi dvMi20 · v

Mi20 =

N∑

i=1

1

2mi d

(

vMi20

)2= dT20

Podemos ya plantear la ecuacion de la energıa respecto al centro de masas:

δWE20 + δW I

20 = dT20

Respecto al centro de masas: respecto a unos ejes paralelos a los fijos con origenen el centro de masas del sistema.

7 Ecuaciones generales de los sistemas


Hemos visto siete ecuaciones globales de los sistemas:

CM RE =M rG 3

MCa MEO1= H21

O1

3MCb MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

MCc MEO = H20

O +MOG ∧ vO01

ENa δWE21 + δW I

21 = dT21 1ENb δWE

20 + δW I20 = dT20




CM RE =M rG 3

MCa MEO1= H21

O1

3MCb MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

MCc MEO = H20

O +MOG ∧ vO01

ENa δWE21 + δW I

21 = dT21 1ENb δWE

20 + δW I20 = dT20

Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes:

MCb = f (CM,MCa)

MCc = f (CM,MCa)ENb = f (CM,ENa)




CM RE =M rG 3

MCa MEO1= H21

O1

3MCb MEO = H21

O + vO01 ∧M vG

21

MCc MEO = H20

O +MOG ∧ vO01

ENa δWE21 + δW I

21 = dT21 1ENb δWE

20 + δW I20 = dT20

Las tres formas de MC y dos de EN no son independientes:

MCb = f (CM,MCa)

MCc = f (CM,MCa)ENb = f (CM,ENa)

Toda la informacion esta en las 3N ecuaciones de las partıculas.

Las 7 globales pueden ser mas sencillas o convenientes.

Si no son suficientes, se divide el sistema

Principio de corte de Euler-Cauchy


Considerando el sistema completo, lasfuerzas internas no aparecen en las ecua-ciones de CM ni MC:

Fij = −Fji

al sumar para todo el sistema se anulala resultante (3a ley debil) y el momentoresultante (3a ley fuerte).

Si se necesitan mas de las 7 ecuaciones ge-nerales, se puede dividir el sistema en par-tes, pero entonces las fuerzas internas en-tre partıculas de ambas partes deben con-tarse como exteriores.

ij

k

ij

k


Trabajo y Potencial

Trabajo elementalTrabajo finitoCalculo del trabajo: Caso F(r, r, t)Calculo del trabajo: Caso F(r)Calculo del trabajo: fuerzas conservativasPropiedades del potencialCalculo del potencial: EDPCalculo del potencial: integracionPotenciales simples: peso-centrifuga-muelle-gravedadPotencial de un par de fuerzasEnergıa potencial - Potencial de un campoTrabajo de un par de fuerzasTrabajo sobre un solidoPotenciales no estacionariosEjemplo: potencial de un solido

Trabajo elemental


bdr

F

α

M

b

Una partıculaM esta sometida a una fuerza F. Se le da a la partıcu-la un desplazamiento diferencial dr. Se llama trabajo elemental alproducto escalar de la fuerza por el desplazamiento:

δW = F · dr = |F| · |dr| cosα

Trabajo elemental


bdr

F

α

M

bdr

F

α

M



El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (re-sistente) segun el angulo de la fuerza con el vector desplazamiento(S π/2)

Trabajo elemental


bdr

F

α

M

bdr

F

α

M



El trabajo elemental es positivo (motor), nulo (⊥) o negativo (re-sistente) segun el angulo de la fuerza con el vector desplazamiento(S π/2)

El trabajo es aditivo respecto a la fuerza y respecto al desplazamiento:

δW =∑

δW i = (F1 + · · ·+ Fn) · dr

δW =∑

δW i = F · (dr1 + · · ·+ drn)

por ser distributivo el producto escalar respecto a la suma de vectores.Se usa δ porque, en general, δW no es la diferencial de una funcion.

Trabajo finito


O

r1r2

b

b

MC

F

Una partıcula M se mueve a lo largo de la trayectoria Cdesde el punto r1 al r2 sometida a la fuerza F.Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a laintegral de lınea

W12 =

∮ r2

r1

F · dr =

∮ r2

r1

(Fxdx+ Fydy + Fzdz)

calculada a lo largo de la curva C.

Trabajo finito


O

r1r2

b

b

MC

F

Una partıcula M se mueve a lo largo de la trayectoria Cdesde el punto r1 al r2 sometida a la fuerza F.Se llama trabajo de la fuerza F en ese desplazamiento a laintegral de lınea

W12 =

∮ r2

r1

F · dr =

∮ r2

r1

(Fxdx+ Fydy + Fzdz)

calculada a lo largo de la curva C.

Para calcular el trabajo, hay que conocer F y dr como funciones del mismoparametro:

∮ r2

r1

F · dr =

∮ r2(u)

r1(u)F(u) · r′(u)du =

∫ u2

u1

f(u) du

En general, esto solo se conoce una vez resuelto el problema, por lo que estaecuacion no es muy util al principio.

Calculo del trabajo: Caso F(r, r, t)


En el caso mas general, la fuerza depende de la posicion, la velocidad y eltiempo: F(r, r, t) . Para calcular el trabajo necesitamos conocerlos los tres enfuncion del mismo parametro.




Lo normal es que el parametro sea el tiempo: necesitamos las ecuacioneshorarias r = r(t) ; es decir, solo podemos calcular el trabajo cuando elproblema esta completamente resuelto.





Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo:

∮ r2(t)

r1(t)F [r(t), r(t), t] · r(t)dt =

∫ t2

t1

f(t) dt =W (t1, t2)





Conocidas las ecuaciones horarias se calcula el trabajo:

∮ r2(t)

r1(t)F [r(t), r(t), t] · r(t)dt =

∫ t2

t1

f(t) dt =W (t1, t2)

Obviamente, en el caso general esta ecuacion no es muy util para resolver elproblema directo, porque para calcularla hay que tenerlo ya resuelto.

Calculo del trabajo: Caso F(r)


Si la fuerza depende solo de la posicion, F(r) , solo necesitamos conocer latrayectoria C sin referencia al tiempo.




Lo mas comodo es conocer las ecuaciones parametricas de la trayectoria,r(u). No es necesario que el parametro sea el tiempo ni el parametro naturallongitud de arco.





Conocidas las ecuaciones parametricas se calcula el trabajo:

∮ r2(u)

r1(u)F(u) · r′(u)du =

∫ u2

u1

f(u) du





Conocidas las ecuaciones parametricas se calcula el trabajo:

∮ r2(u)

r1(u)F(u) · r′(u)du =

∫ u2

u1

f(u) du

Esta ecuacion es algo mas util que la anterior: la velocidad con que serecorra, o el momento en que se pase por cada punto no influyen en eltrabajo. Hay movimientos en que es facil calcular la trayectoria pero no lasecuaciones horarias (orbitas keplerianas, por ejemplo).

Calculo del trabajo: fuerzas conservativas


El trabajo elemental es la diferencial exacta de una funcion si la fuerza esconservativa, es decir:




La fuerza es el gradiente de una funcion escalar de la posicion:

F (r) = −∇V (r) = −

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

Se dicen entonces que la fuerza deriva de un potencial V (r).





F (r) = −∇V (r) = −

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]


El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido:

W 12 =W 12 (r1, r2) = −V (r2) + V (r1)





F (r) = −∇V (r) = −

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]


El trabajo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino recorrido:

W 12 =W 12 (r1, r2) = −V (r2) + V (r1)

El campo de fuerzas es irrotacional:

∇∧ F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣

= 0



Las tres condiciones son equivalentes (⇔):

F (r) = −∇V (r) ⇒ δW = −

∫ r2

r1

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

· dr =

= −

∫ r2

r1

(∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

)

= −

∫ r2

r1

dV = V (r1)− V (r2)



Las tres condiciones son equivalentes (⇔):

F (r) = −∇V (r) ⇒ δW = −

∫ r2

r1

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

· dr =

= −

∫ r2

r1

(∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz

)

= −

∫ r2

r1

dV = V (r1)− V (r2)

O bien

∇∧ F =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣

=

∂Fz∂y −

∂Fy

∂z

∂Fx∂z −

∂Fz∂x

∂Fy

∂x −∂Fx∂y

= −

∂2V∂z∂y −

∂2V∂y∂z

∂2V∂x∂z −

∂2V∂z∂x

∂2V∂y∂x −

∂2V∂x∂y

= 0

que resulta ser la igualdad de derivadas cruzadas; y ası hasta las seisdemostraciones. . .

Propiedades del potencial


El trabajo de una fuerza conservativa en una curva cerrada es nulo:

W 11 = V (r1)− V (r1) = 0




W 11 = V (r1)− V (r1) = 0

La funcion potencial esta definida ± una constante arbitraria:

V = V (x, y, z) + Cte.

que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento:

F = −∇V W 12 = V (r1)− V (r2) +C − C




W 11 = V (r1)− V (r1) = 0

La funcion potencial esta definida ± una constante arbitraria:

V = V (x, y, z) + Cte.

que no influye para nada porque se usa la derivada o el incremento:

F = −∇V W 12 = V (r1)− V (r2) +C − C

A veces se usa la funcion de fuerzas, que es la misma funcion potencial con elsigno cambiado:

F = −∇V = +∇U

Se usa en mecanica orbital y geofısica, mientras que el potencial se usa enmecanica general.



C1

C2

C3

∇V

dr

La funcion potencial esta definida mas/menos una cons-tante arbitraria:

V = V (r)± Cte.

Dando valores a la constante, se tiene una familia de su-perficies

fi ≡ V (r) = Ci i = 1, · · · , n

en las que la funcion potencial es constante: las superficiesequipotenciales.

La fuerza es normal a la superficie equipotencial que pasa por ese punto:

F = −∇V ‖ n

Al moverse por la superficie equipotencial, el trabajo es nulo:

dW =⊥

F · dr = 0

Calculo del potencial: EDP


Dos caminos:

Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP).

Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro generico.

Calculo del potencial: EDP


Dos caminos:

Sistema de Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (EDP).

Integrar el trabajo entre un punto fijo arbitrario y otro generico.

El primer metodo puede ser el mas sencillo si se aprovechan las simetrıas de lafuerza:

Cartesianas: F(x, y, z) = −∇V (x, y, z) =

[∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z

]

Cilındricas: F(r, θ, z) = −∇V (r, θ, z) =

[∂V

∂r,1

r

∂V

∂θ,∂V

∂z

]

Esfericas: F(r, θ, φ) = −∇V (r, θ, φ) =

[∂V

∂r,

1

r cosφ

∂V

∂y,1

r

∂V

∂φ

]

Hay que tener cuidado con la definicion de las esfericas: latitud desde el ecuador φo colatitud desde el polo ϕ = π

2 − φ.

Calculo del potencial: integracion


Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no delcamino. Se puede calcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre unpunto fijo r0 y otro generico r :

x

y

z

b

b

r0

r

W (r0, r) = V (r0)− V (r) ⇒

⇒ V (x, y, z) = −W (r0, r) + V (r0)

Calculo del potencial: integracion


Para fuerzas conservativas, el trabajo solo depende del punto inicial y final, no delcamino. Se puede calcular el potencial integrando el trabajo de la fuerza entre unpunto fijo r0 y otro generico r :

x

y

z

b

b

r0

r

W (r0, r) = V (r0)− V (r) ⇒

⇒ V (x, y, z) = −W (r0, r) + V (r0)

Como es independiente del camino, se busca el mas sencillo:

W (r0, r) =

∫ x,y,z

x0,y0,z0

F · dr =

=

∫ x,y0,z0

x0,y0,z0

Fx(ξ, y0, z0) dξ +

∫ x,y,z0

x,y0,z0

Fy(x, η, z0) dη +

∫ x,y,z

x,y,z0

Fz(x, y, ζ) dζ =

= −V (r) + V (r0) = −V (x, y, z) + C

Potenciales simples: peso


xy

z

bM

mg

O

Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar cons-tante y vertical descendente:

F = −mg k = −∇V (r)

Es trivial calcular el rotacional ∇ ∧ F y comprobar que esnulo, o ver que las derivadas cruzadas son todas nulas.

Potenciales simples: peso


xy

z

bM

mg

O

Cerca de la superficie, la gravedad se puede considerar cons-tante y vertical descendente:

F = −mg k = −∇V (r)

Es trivial calcular el rotacional ∇ ∧ F y comprobar que esnulo, o ver que las derivadas cruzadas son todas nulas.

El sistema de EDP en cartesianas es trivial:

−∂V

∂x= 0

−∂V

∂y= 0

−∂V

∂z= −mg

⇒ V = V (z) = mg z + C

Potenciales simples: fuerza centrıfuga


xy

z

bM

ω

Fc

O

Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor deleje Oz con velocidad angular ω. La fuerza centrıfuga tienela forma:

Fc = mω2 (x i+ y j) = −∇V (r)

Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial: ∂Fx∂y =

∂Fy

∂z



xy

z

bM

ω

Fc

O

Suponemos un sistema de referencia que gira alrededor deleje Oz con velocidad angular ω. La fuerza centrıfuga tienela forma:

Fc = mω2 (x i+ y j) = −∇V (r)

Por derivadas cruzadas, se ve que es potencial: ∂Fx∂y =

∂Fy

∂z

El sistema de EDP en cartesianas es bastante simple:

−∂V

∂x= mω2 x

−∂V

∂y= mω2 y

−∂V

∂z= 0

⇒ V = f1(x) + f2(y) =

= −1

2mω2

(x2 + y2

)+ C



x

y

z

bM

ω

Fc

θ

r

O

La fuerza centrıfuga es mucho mas simple si se aprovechala simetrıa axial: se toman coordenadas cilındricas de eje elde revolucion:

Fc = mω2 r ur = −∇V (r, θ, z)



x

y

z

bM

ω

Fc

θ

r

O

La fuerza centrıfuga es mucho mas simple si se aprovechala simetrıa axial: se toman coordenadas cilındricas de eje elde revolucion:

Fc = mω2 r ur = −∇V (r, θ, z)

El sistema de EDP en cilındricas es trivial:

−∂V

∂r= mω2 r

−1

r

∂V

∂θ= 0

−∂V

∂z= 0

⇒ V = V (r) = −1

2mω2 r2 + C

Potenciales simples: muelle


x

y

z

b

bM

FO

Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremofijo en el origen:

F = −kOM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)

Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las deri-vadas cruzadas son nulas.



x

y

z

b

bM

FO

Se tiene un muelle ideal de longitud nula, con un extremofijo en el origen:

F = −kOM = −k (x, y, z) = −∇V (x, y, z)

Es obvio que la fuerza es potencial, porque todas las deri-vadas cruzadas son nulas.

Como la fuerza es lineal, el sistema de EDP en cartesianas es relativamente sencillo:

−∂V

∂x= −k x

−∂V

∂y= −k y

−∂V

∂z= −k z

⇒

V = f1(x) + f2(y) + f3(z) =

=1

2k(x2 + y2 + z2

)+ C =

=1

2kOM2 + C



x

y

z

b

b

θ

φ

M

FO

La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origentiene simetrıa central, por lo que lo mas simple es tomarcoordenadas esfericas:

F = −kOM = −k r ur = −∇V (r, θ, φ)



x

y

z

b

b

θ

φ

M

FO

La fuerza de un muelle con un extremo fijo en el origentiene simetrıa central, por lo que lo mas simple es tomarcoordenadas esfericas:

F = −kOM = −k r ur = −∇V (r, θ, φ)

El sistema de EDP en esfericas es trivial:

−∂V

∂r= −k r

−1

r cosφ

∂V

∂θ= 0

−1

r

∂V

∂φ= 0

⇒ V = f(r) =1

2k r2 + C

Potenciales simples: gravitacion


x

y

z

b

b

m2

Fm1

Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresiongeneral de la gravitacion. Tomando origen en una de lasmasas, m1, la fuerza que actua sobre la otra es:

F = −Gm1m2

(x2 + y2 + z2)3/2

xyz

= −∇V (x, y, z)



x

y

z

b

b

m2

Fm1

Lejos de la superficie de la tierra, hay que usar la expresiongeneral de la gravitacion. Tomando origen en una de lasmasas, m1, la fuerza que actua sobre la otra es:

F = −Gm1m2

(x2 + y2 + z2)3/2

xyz

= −∇V (x, y, z)

La fuerza es no lineal, y el sistema de EDP en cartesianas no parece simple:

−∂V

∂x= − Gm1m2

(x2+y2+z2)3/2x

−∂V

∂y= − Gm1m2

(x2+y2+z2)3/2y

−∂V

∂z= − Gm1m2

(x2+y2+z2)3/2z



x

y

z

b

b

θ

φ

m2

Fm1

Parece conveniente aprovechar la simetrıa central, y usarcoordenadas esfericas:

F = −Gm1m2

r2ur = −∇V (r, θ, φ)



x

y

z

b

b

θ

φ

m2

Fm1

Parece conveniente aprovechar la simetrıa central, y usarcoordenadas esfericas:

F = −Gm1m2

r2ur = −∇V (r, θ, φ)

El sistema de EDP en esfericas es trivial:

−∂V

∂r= −Gm1m2

r2

−1

r cosφ

∂V

∂θ= 0

−1

r

∂V

∂φ= 0

⇒ V = f(r) = −Gm1m2

r+ C

Potencial de un par de fuerzas


x y

z M2

M1

F12 F21

Potencial de un muelle con un extremo en el origen:

V (r2) =1

2kOM2

2 =1

2k(x2

2 + y22 + z2

2)



x y

z

x y

z

O

M2

M1

F12 F21


V (r2) =1

2kOM2

2 =1

2k(x2

2 + y22 + z2

2)

Trasladando el origen, tenemos el de un muelle conlos dos extremos en puntos arbitrarios:

V (r1, r2) =1

2kM1M2

2 =

=1

2k[

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2]



x y

z

O

M2

M1

F12 F21


V (r2) =1

2kOM2

2 =1

2k(x2

2 + y22 + z2

2)


V (r1, r2) =1

2kM1M2

2 =

=1

2k[

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2]

El potencial es simetrico respecto los dos puntos: potencial del par.



x y

z

O

M2

M1

F12 F21


V (r2) =1

2kOM2

2 =1

2k(x2

2 + y22 + z2

2)


V (r1, r2) =1

2kM1M2

2 =

=1

2k[

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2]


El mismo potencial genera la accion y la reaccion, derivando respecto a lascoordenadas del punto sobre el que actua la fuerza:

−F12 = ∇1V =

[∂V

∂x1,∂V

∂y1,∂V

∂z1

]

− F21 = ∇2V =

[∂V

∂x2,∂V

∂y2,∂V

∂z2

]



x y

z

O

M2

M1

F12 F21


V (r2) =1

2kOM2

2 =1

2k(x2

2 + y22 + z2

2)


V (r1, r2) =1

2kM1M2

2 =

=1

2k[

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2]


El mismo potencial genera la accion y la reaccion, derivando respecto a lascoordenadas del punto sobre el que actua la fuerza:

−F12 = ∇1V =

[∂V

∂x1,∂V

∂y1,∂V

∂z1

]

− F21 = ∇2V =

[∂V

∂x2,∂V

∂y2,∂V

∂z2

]

Lo mismo con el potencial gravitatorio: V = −Gm1m2

|r1−r2|

Energıa potencial - Potencial de un campo


Potencial: Funcion potencial de una fuerza que actua sobre una partıcula:

Fi = −∇V (ri, . . . )

Es el efecto: solo existe si una partıcula recibe esa fuerza. La causa serıa lapartıcula que ejerce la fuerza y crea el campo de fuerzas.




Fi = −∇V (ri, . . . )


Funcion de fuerzas: La misma funcion potencial, cambiada de signo:

Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V




Fi = −∇V (ri, . . . )



Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V

Energıa potencial de una partıcula o sistema: Suma de los potenciales detodas las fuerzas conservativas que actuan sobre la partıcula o sistema:

V (ri, . . . ) =N∑

i=1

[

V E(ri, . . . ) +12

N∑

j=1

j 6=i

V I(ri, rj)

]




Fi = −∇V (ri, . . . )



Fi = −∇V (ri, . . . ) = +∇U(ri, . . . ) U = −V

Energıa potencial de una partıcula o sistema: Suma de los potenciales detodas las fuerzas conservativas que actuan sobre la partıcula o sistema:

V (ri, . . . ) =N∑

i=1

[

V E(ri, . . . ) +12

N∑

j=1

j 6=i

V I(ri, rj)

]

1/2 porque sumamos dos veces el potencial del par V I(ri, rj).

(. . . ) por coordenadas de partıculas exteriores al sistema.



Campo de fuerzas: Una masa o carga produce una fuerza sobre cualquier otracarga/masa del espacio. Es la causa; el efecto es la fuerza que experimentauna partıcula, y la funcion potencial.




Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevaruna carga/masa unidad desde ∞ hasta el punto r.

Vc(r) =

∫ r

∞−

F

m· dr =

V (r)

m−V (∞)

m




Potencial del campo: Trabajo que hay que realizar contra el campo para llevaruna carga/masa unidad desde ∞ hasta el punto r.

Vc(r) =

∫ r

∞−

F

m· dr =

V (r)

m−V (∞)

m

Vcr

Se mira la causa, no el efecto: carga/masa unidad (carga de

prueba)

Medir el trabajo desde∞ equivale a escoger la constante paraque V (∞) = 0.

Tiene sentido para fuerzas que decrecen con la distancia: elpotencial tiene tangente horizontal en ∞.

Para aplicarlo a fuerzas crecientes (muelle, centrıfuga), habrıaque partir desde 0, no de ∞



x

y

z

b

b

r

θ

φ

m2

m1

b

bb

Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masam2 en un punto arbitrario.

Potencial de la fuerza sobre m2: −Gm1m2

|r2|

Potencial del campo creado por m1: −Gm1

r

Energıa potencial de m2: −Gm1m2

|r2|



x

y

z

b

b

r

θ

φ

m2

m1

x

y

z

b

bb

m2

m1

m3

Ejemplo: Se tiene una masa m1 fija en el origen, y otra masam2 en un punto arbitrario.

Potencial de la fuerza sobre m2: −Gm1m2

|r2|

Potencial del campo creado por m1: −Gm1

r


|r2|

Anadimos otra partıcula m3 en un punto arbitrario:

Potencial del campo creado por m1: igual −Gm1

r


|r2|− Gm3m2

|r2−r3|

Energıa potencial del sistema m2,m3: −Gm1m3

|r3|− Gm1m2

|r2|︸︷︷︸

E

−Gm3m2

|r2−r3|︸︷︷︸

I

Energıa potencial del sistema m1,m2,m3: −Gm1m3

|r3|− Gm1m2

|r2|− Gm3m2

|r2−r3|︸︷︷︸

I

Trabajo de un par de fuerzas


x y

zM2

M1

F12 F21u

O

Sean dos partıculas M1 yM2 sometidas a un par de accionreaccion. Por la 3a ley de Newton (fuerte):

F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1

|r2 − r1|



x y

zM2

M1

F12 F21u

O


F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1

|r2 − r1|

El trabajo del par al moverse las partıculas sera:

δW = F12 · dr1 + F21 · dr2 = f(r)u · (dr1 − dr2) = f(r)u · d (r u) =

= f(r)u · (dr u+ r du) = f(r) dr + f(r) r:⊥u · du ⇒ δW = f(r) dr

Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0.



x y

zM2

M1

F12 F21u

O


F12 = −F21 = f(r)u donde u =r2 − r1

|r2 − r1|

El trabajo del par al moverse las partıculas sera:

δW = F12 · dr1 + F21 · dr2 = f(r)u · (dr1 − dr2) = f(r)u · d (r u) =

= f(r)u · (dr u+ r du) = f(r) dr + f(r) r:⊥u · du ⇒ δW = f(r) dr

Pues u es un vector unitario, u · u = 1, y por tanto, derivando, u · du = 0.

Un par de fuerzas solo trabaja si las partıculas varıan su distancia mutua

En un solido (distancias constantes), las fuerzas internas son pares de accionreaccion y no trabajan.

Trabajo sobre un solido


x1

y1

z1

OMi

Fib

O1

Sea un solido formado por un numero grande de partıculas Mi

(en el lımite, ∞); sobre cada una actua una fuerza Fi (en ellımite, diferencial). El trabajo del sistema de fuerzas sobre elsolido es:

δW =∞∑

i=1

Fi · dri =

∞∑

i=1

Fi · vi dt



x1

y1

z1

OMi

Fib

O1



δW =∞∑

i=1

Fi · dri =

∞∑

i=1

Fi · vi dt

Podemos aplicar el campo de velocidades del solido: vi = vO + ω ∧OMi



x1

y1

z1

OMi

Fib

O1



δW =∞∑

i=1

Fi · dri =

∞∑

i=1

Fi · vi dt

Podemos aplicar el campo de velocidades del solido: vi = vO + ω ∧OMi

δW = dt∞∑

i=1

Fi · vO + dt

∞∑

i=1

Fi · ω ∧OMi =

prod. mixto

=

(∞∑

i=1

Fi

)

· vO dt+ ω ·

(∞∑

i=1

OMi ∧ Fi

)

dt ⇒

⇒ δW = RE · vO dt+MEO · ω dt



Propiedades del trabajo sobre un solido:

Las fuerzas internas sobre un solido no trabajan: sus puntos mantienendistancias constantes.





Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posiciondel punto de referencia y de los parametros de orientacion:

δW = RE · vO dt+MEO · ω dt = RE · drO +ME

O · dΘ =

= −dV (xO, yO, zO, ψ, θ, ϕ)





Si las fuerzas son conservativas, el potencial puede depender de la posiciondel punto de referencia y de los parametros de orientacion:

δW = RE · vO dt+MEO · ω dt = RE · drO +ME

O · dΘ =

= −dV (xO, yO, zO, ψ, θ, ϕ)

Un sistema de fuerzas nulo (RE = 0, MEO = 0) puede trabajar sobre un

sistema deformable, pero no sobre un solido.

Potenciales no estacionarios


Potencial ordinario estacionario V (r): Depende solo de las posiciones de laspartıculas. Se conserva la energıa:

dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz = ∇V · dr = −δW

dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E





dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E

Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posicion y deltiempo. La fuerza sigue siendo F = −∇V , pero no se conserva la energıa.

dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz + Vtdt = ∇V · dr+ Vtdt = −δW + Vtdt

dT − δW = dT + dV − Vtdt = 0 → d(T + V ) = Vt dt 6= 0





dT − δW = dT + dV = d(T + V ) = 0 → T + V = E

Potencial ordinario no estacionario V (r, t): Depende de la posicion y deltiempo. La fuerza sigue siendo F = −∇V , pero no se conserva la energıa.

dV = Vxdx+ Vydy + Vzdz + Vtdt = ∇V · dr+ Vtdt = −δW + Vtdt

dT − δW = dT + dV − Vtdt = 0 → d(T + V ) = Vt dt 6= 0

Potencial generalizado V (r,v, t): Depende de la posicion, de la velocidad y deltiempo (ej: fuerzas de inercia, como la de Coriolis; fuerzaselectromagneticas). No se estudian en este curso.



Un potencial ordinario puede depender del tiempo:

Porque una fuerza externa (un motor) mueva a la partıcula que crea elcampo; esta fuerza aporta o quita energıa al sistema.





Un sistema globalmente conservativo puede convertirse en no conservativo alseparar una parte y despreciar efectos muy pequenos: sistema solar - sateliteartificial.

⊕

Sol

Tierra

Sat

ms m,m⊕






⊕

Sol

Tierra

Sat

ms m,m⊕Sistema completo conservativo:+W−W = 0. Todos los cuerposse influyen:

V = −Gmm⊕

|r − r⊕|−

−Gmms

|r − rs|−

Gmsm⊕

|rs − r⊕|

Ejemplo: potencial de un solido


ξ

η

θ

G

sds δF

Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.



ξ

η

θ

G

sds δF

Una varilla se mueve en un plano Oxy. El eje Oy repele a cadaelemento de masa con una fuerza proporcional a la masa y ala distancia al eje, de constante ω2. Determinar la funcion defuerzas del solido.La configuracion de la varilla se determina con las coordenadas(ξ, η) del centro de masas, y el angulo con Ox, θ.



ξ

η

θ

G

sds δF


Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm paraextenderlo a todo el solido. El orden no importa.



ξ

η

θ

G

sds δF


Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm paraextenderlo a todo el solido. El orden no importa.Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva deuna funcion de fuerzas, analoga a la centrıfuga:

δF = ω2x δm i = +∇δU(x) ⇒ δU =1

2ω2x2 δm

tambien elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm.



ξ

η

θ

G

sds δF


Se necesitan dos integrales: en dr de la fuerza al potencial, y en δm paraextenderlo a todo el solido. El orden no importa.Empezaremos por la del potencial. La fuerza elemental δF obviamente deriva deuna funcion de fuerzas, analoga a la centrıfuga:

δF = ω2x δm i = +∇δU(x) ⇒ δU =1

2ω2x2 δm

tambien elemental, pues afecta solo al elemento de masa δm.Ahora hay que integrar para toda la varilla. Como solo tiene una dimension,usaremos la densidad lineal σ:

δm = σ ds =m

Lds



ξ

η

θ

G

sds

δF

La coordenada x del elemento de masa δm tambien dependede la coordenada interna s que lo identifica:

x = ξ + s cos θ



ξ

η

θ

G

sds

δF


x = ξ + s cos θ

Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en funcion delparametro s:

δU =1

2ω2x2 δm =

1

2ω2 (ξ + s cos θ)2

m

Lds



ξ

η

θ

G

sds

δF


x = ξ + s cos θ

Sustituyendo, tenemos el potencial elemental en funcion delparametro s:

δU =1

2ω2x2 δm =

1

2ω2 (ξ + s cos θ)2

m

Lds

Integramos ahora para todo el solido. Como es una integral de masa, lascoordenadas del solido ξ, θ se dejan constantes:

U =

∫

VδU =

ω2m

2L

∫ L/2

−L/2

(ξ2 + 2ξ cos θ s+ cos2 θ s2

)ds =

=ω2m

2L

[

ξ2s+ξ cos θ s2 + cos2 θ

s3

3

]L/2

−L/2

= U =mω2

2

(

ξ2 +L2

12cos θ

)

+ C



ξ

η

θ

G

sds δF

Otro camino es integrar primero el trabajo elemental para todoel solido en s, y luego integrar el potencial. Y para calcular eltrabajo tambien hay varios caminos. Uno es calcular el trabajode la fuerza elemental al moverse el solido:

δδW = δF · δr(s)

Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamientoelemental al solido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.



ξ

η

θ

G

sds δF



Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamientoelemental al solido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.La fuerza, la posicion y el desplazamiento son:

δF = ω2 (ξ + s cos θ) δm i

r = (ξ + s cos θ, . . . )δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )

δδW = ω2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =

= ω2[ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s− sin θ cos θδθ s2

]δm



ξ

η

θ

G

sds δF



Donde el trabajo es elemental por dos motivos: por dar un desplazamientoelemental al solido, (δξ, δη, δθ), y por ser un elemento de masa δm.La fuerza, la posicion y el desplazamiento son:


r = (ξ + s cos θ, . . . )δr = (δξ − s sin θδθ, . . . )

δδW = ω2 (ξ + s cos θ) (δξ − s sin θδθ) δm =

= ω2[ξδξ + (cos θδξ − ξ sin θδθ) s− sin θ cos θδθ s2

]δm

Integrando para toda la varilla en la variable s:

δW = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)



ξ

η

θ

G

sds δF

El trabajo elemental sobre todo el solido tambien se puede cal-cular mediante la resultante y el momento resultante en G:


δMG = −ω2 (ξ + s cos θ) s sin θ δmk



ξ

η

θ

G

sds δF




Sustituyendo δm = mL ds e integrando para toda la varilla, se tiene:

R = ω2mξ i MG = −ω2mL2

12sin θ cos θ k



ξ

η

θ

G

sds δF




Sustituyendo δm = mL ds e integrando para toda la varilla, se tiene:

R = ω2mξ i MG = −ω2mL2

12sin θ cos θ k

El trabajo elemental, teniendo en cuenta que ω = θ k, sera:

δW = R · δrG +MG · ω dt = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)

naturalmente, el resultado es el mismo.



Solo queda comprobar que es una diferencial exacta y calcular el potencial.

δW = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)

= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)




δW = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)

= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)

Las derivadas cruzadas son nulas,

V ξθ = V θξ = 0




δW = ω2m

(

ξδξ −L2

12sin θ cos θδθ

)

= −V ξ dξ − V θ dθ = −dV (ξ, θ)

Las derivadas cruzadas son nulas,

V ξθ = V θξ = 0

y el potencial se calcula directamente, porque es la suma de dos funciones de unavariable:

V =

∫

V ξ(ξ) dξ +

∫

V θ(θ) dθ = −ω2m

2

(

ξ2 +L2

12cos2 θ

)

+ C

El segundo sumando se podrıa escribir tambien como − sin2 θ, porque la diferenciaes una constante. El resultado es, como se esperaba, el opuesto de la funcion defuerzas U .

Mecánica I Tema 4 Ecuaciones Generales de la Dinámica...Más tarde (Lange, 1816) se introduce...

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