Mecanica Engranajes

MECNICA PARA MQUINAS

Y MECANISMOS

ELEMENTOS DE MAQUINAS.

Parte 1: ENGRANAJES.

1

NDICE Introduccin.

Ruedas de friccin.

Dentado de engranajes.

Tipos de ruedas dentadas.

Perfiles conjugados.

Perfil de evolvente de crculo.

Relacin de contacto.

Interferencia.

Trenes de engranajes.

Trenes de engranajes ordinarios.

Trenes de engranajes epicicloidales.

2

Introduccin

Existe la necesidad de transmitir movimiento de rotacin entre ejes de forma que exista una relacin constante entre sus velocidades angulares.

Para ello se usan diferentes sistemas:

Ruedas de friccin.

Correas.

Cadenas.

Engranajes.

3

Introduccin

Hay diferentes motivos por los que se requiere la transmisin de movimiento entre ejes. Existencia de ejes no coincidentes. Establecimiento de relaciones de velocidad precisas. Necesidad de invertir el sentido de giro de un eje. Adecuar la velocidad de un motor a las caractersticas de la

carga.

Relacin de transmisin: t= w2/ w1 w1 es la velocidad de entrada. w2 es la velocidad de salida. Es una ec. cinemtica de enlace: t w1 - w2= 0 Relacin de reduccin: i= 1/t

4

Ruedas de friccin.

Estos mecanismos slo pueden transmitir movimiento de un cuerpo a otro si existe suficiente rozamiento entre las superficies de contacto; por este motivo se denominan ruedas de friccin.

5

Ruedas de friccin: cilindros

Puesto que no hay deslizamiento P es c.i.r. y las velocidades de los puntos perteneciente a cada uno de los cilindros son iguales:

6

);3()2( PvPv

;)3(y )2( 33

2

2 RPvRPv SS ww

3

3

2

2 RR SS ww3

2

2

3

R

RS

S

w

w

3232 RCRCRR 1

33

3

2

3

R

C

R

RCS

S

w

w

t

w

w

1

12

33

CCR

S

S

Ecuacin de diseo para engranajes cilndricos.

Ruedas de friccin: cilindros

Puesto que no hay deslizamiento P es c.i.r. y las velocidades de los puntos perteneciente a cada uno de los cilindros son iguales:

t

w

w

1

12

33

CCR

S

S

7

);3()2( PvPv

;)3(y )2( 33

2

2 RPvRPv SS ww 33

2

2 RR SS ww

3

2

2

3

R

RS

S

w

wCRRRCR 3223

33

3

2

3

1R

C

R

CRS

S

w

w

Ecuacin de diseo para engranajes cilndricos.

Ruedas de friccin: conos Si los ejes se cortan, pueden utilizarse conos de friccin.

8

Puesto que la velocidad del punto P es la misma tanto para el perteneciente al cono 3 como para el perteneciente al cono 2:

En el diseo de mquinas, el problema ms habitual es calcular los ngulos de cada uno de los conos una vez conocida la relacin de transmisin y el ngulo que forman los ejes.

3

2

2

3

2

2

3

3

)2()3(

R

R

RR

PvPv

S

S

SS

w

w

ww

Ruedas de friccin: conos

9

Los ngulos de los conos pueden ser expresados como:

Dividiendo ambos trminos entre s:

Como

De donde, finalmente:

OP

Rsen

OP

Rsen 33

22 y

2

0

3

0

3

2

3

2

w

w

R

R

sen

sen

32

2

0

3

0

3

33 coscos

w

w

sen

sensen

t

w

w

s

sentg

tg

sen

co cos 32

0

3

0

3

Ruedas de friccin: conos

Si se desea cambiar el sentido de giro del eje de salida, se deber usar un cono con contacto interior y otro con contacto exterior.

En este caso se obtiene que: 32

10

t

t

t

w

wt

cos

cos

cos

3

3

3

33

3

2

2

0

3

0

sentg

tg

sen

sen

sencosen

sen

sen

Ruedas de friccin: hiperboloides

En la figura las superficies de contacto son hiperboloides.

Un hiperboloide puede generarse por rotacin de una lnea alrededor de un eje con el que no es paralela, ni se corta.

En la figura, la lnea A-A se ha rotado alrededor del eje B-B, manteniendo R2 y f2 constantes, para generar el hiperboloide 2. Por otra parte, rotando A-A alrededor del eje C-C, manteniendo R3 y f3 constantes, se genera el hiperboloide 3.

11

f

f

f f

Ruedas de friccin: hiperboloides Al ser generados de esta forma los

hiperboloides, la lnea A-A pertenece tanto al 2 como al 3 siendo el elemento de superficie comn. Los crculos de radio mnimo, para cada uno de los hiperboloides, son los de radio R2 y R3.

Cuando dos hiperboloides como los mostrados giran alrededor de sus ejes, presentan contacto de rodadura en direccin normal al elemento comn de superficie, pero presentarn deslizamiento a lo largo de dicho elemento, de forma que:

12

f

f

f f

3

3

2

2 )3(y )2( RPvRPv SS ww

desvPvPvPvPvPv

)2()3( )3()2()3( 00200

Ruedas de friccin: conclusiones Los cilindros conos de friccin pueden presentar

contacto de rodadura entre sus superficies siempre y cuando el rozamiento sea lo suficientemente elevado, para evitar el deslizamiento.

En la prctica se utilizan superficies que presentan un elevado coeficiente de rozamiento, pero nunca se puede asegurar que el contacto sea nicamente de rodadura.

El par transmitido es proporcional a la fuerza de contacto y al radio de las ruedas, lo que obliga a aumentar esta fuerza para transmitir un par superior; esta operacin tiene las siguientes repercusiones:

La presin de contacto puede superar la admisible.

El momento flector ejercido sobre el eje es mayor.

Aumentan las cargas sobre los rodamientos.

13

R3

T3

meP

P

R2

R3

T2

T3

P

P

3e3 RPT m

Dentado de engranajes

Por tanto, para asegurar que no exista deslizamiento y que no aumenten las cargas sobre el eje y soportes de este, se procede a realizar un dentado en las ruedas.

Para poder transmitir movimiento y fuerza en ambos sentidos se hace necesario disponer de 2 perfiles que hacen que aparezcan los dientes de las ruedas dentadas.

Como se ver los perfiles de los dientes tienen que cumplir unas propiedades determinadas.

14

Dentado de engranajes. Nomenclatura.

Normas aplicables:

UNE-18004 (ISO-1122): Engranajes: Vocabulario y definiciones geomtricas.

15


Normas aplicables:

UNE-18033 (ISO-701): Notacin internacional de los engranajes. Smbolos de datos geomtricos.

16


Normas aplicables:

UNE-EN-ISO-2203: Dibujos tcnicos. Signos convencionales para engranajes.

17


Superficies primitivas: Son las superficies que sirven de referencia para generar los engranajes y son aquellas que definen un par de ruedas de friccin (que ruedan sin deslizar). Las superficies primitivas (axoides) podrn estar constituidas por cilindros, conos o hiperboloides, dependiendo del tipo de engranaje.

Circulo primitivo (d): Circulo obtenido al dar una seccin a la superficie primitiva segn un plano perpendicular el eje de giro.

18

Pin: La ms pequea de las dos ruedas que forman un engranaje. La ms grande se denominar simplemente rueda.

Paso o paso circular: Es la distancia, medida sobre la circunferencia primitiva, desde un punto de un diente hasta el mismo punto en el diente adyacente.

p = p d / z


Mdulo (m): Es la relacin del dimetro de la circunferencia primitiva (en mm) al nmero de dientes de la rueda. El mdulo se utiliza para normalizar el tamao del diente (ISO 54-1996)

m = d / z

Espesor del diente (s): Espesor de un diente medido sobre la circunferencia primitiva. Debe de ser igual al ancho del hueco (e).

s = p / 2

19

Altura de la cabeza o

adendo (ha): Distancia

radial desde el borde

superior del diente a la

circunferencia primitiva. El

borde superior del diente

est limitado por la

circunferencia de cabeza

(da). Su valor,

normalmente, se hace igual

al mdulo.

ha = m


Altura del pie del diente o dedendo (hf): Distancia radial desde el borde inferior del diente a la circunferencia primitiva. El borde inferior del diente est limitado por la circunferencia de pie (df). Su valor, normalmente, se hace igual a 1,2 veces el mdulo.

hf = 1,2 m

Juego de cabeza (C): Juego entre la circunferencia de cabeza de una rueda y la de pie de la rueda con la que se acopla.

Juego de engrane de los flancos (j): An cuando el ancho del hueco (e) debe hacerse tericamente igual al espesor del diente (s), por motivos de construccin y funcionamiento debe dejarse un juego de engrane en los flancos.

20

Circunferencia base (db): Es la circunferencia que sirve de base para generar el perfil de evolvente.


Ruedas cilndricas: Se utilizan para ejes paralelos Los axoides son cilindros. Pueden tener dientes rectos o helicoidales.

21


Ruedas cnicas: Se utilizan para ejes que se cortan. Los axoides son conos. Pueden tener dientes rectos, inclinados. o

espirales.

22


Ruedas hipoidales: Se utilizan para ejes que se cruzan. Los axoides son hiperboloides.

23


Para ejes que se cruzan tambin pueden utilizarse ruedas cilndricas: Cilndricos helicoidales cruzados (contacto puntual). Corona tornillo sin-fin.

24

Perfiles conjugados.

La relacin de transmisin ha de permanecer constante instantneamente (no solo su valor promedio). De esta forma se evita, durante la accin de engrane de un diente, variaciones en las aceleraciones del eje conducido que le sometern a un par alternativo que excitar con vibraciones torsionales a los elementos de la mquina produciendo ruido, vibraciones y dao por fatiga.

Para ello se debe cumplir la ley de engrane: Para que la relacin de transmisin permanezca constante, la lnea de empuje debe cortar siempre en el mismo punto a la lnea de centros.

Cuando dos perfiles cumplen la ley de engrane se dice que son perfiles conjugados.

25

A

B

Perfiles conjugados. Condicin de engrane.

El valor de la proyeccin de la velocidad del punto J, de cada uno de los cuerpos, sobre la normal comn (lnea de empuje) deber ser igual:

BOAO

2Jv1Jv

2

2S

01

1S

0

normal0normal0

ww

)()(

IO

IO

BO

AO

2

1

2

1

1S

0

2S

0 w

wt

26

Por semejanza entre los

tringulos O1AI y O2BI.

Por lo tanto, si se desea que =cte, el punto I tiene que

permanecer fijo.

Perfil de evolvente de crculo.

Dado un perfil arbitrario y la relacin de transmisin, es posible encontrar su perfil conjugado, por lo se que podran utilizar infinidad de perfiles que cumpliesen la ley de engrane.

En la prctica, el perfil de evolvente de crculo es prcticamente el nico utilizado como perfil para los dientes de las ruedas. Las circunferencias que se utilizan para definir el perfil de

evolvente se denominan circunferencias base.

w

wt

cos

cos

2

1

2b

1b

1S

0

2S

0

r

r

r

r

27

Perfil de evolvente de crculo. Ventajas del perfil de evolvente de crculo como

perfil de los dientes de las ruedas dentadas:

Su perfil conjugado es otra evolvente de crculo.

La lnea de engrane es recta, por lo que es constante y la fuerza de contacto no cambia de direccin (fatiga, ruidos, vibraciones..).

Aunque vare la distancia entre ejes, t permanece constante sin embargo varan los radios de los axoides, el ngulo de empuje y los juegos de los dientes.

Si rb= la evolvente es una recta y se obtiene una cremallera que es fcil de construir y se utiliza como herramienta para el tallado de los dientes.

28

Relacin de contacto (e) Cada pareja de dientes transmite movimiento durante una

fraccin de vuelta, por esta razn, para garantizar un movimiento continuo e ininterrumpido, se debe disponer de parejas uniformemente espaciadas, de forma que un par de dientes debe comenzar a engranar antes de que el par anterior finalice su engrane.

29

La relacin de contacto (grado de recubrimiento) indica el nmero medio de pares de dientes que estn haciendo contacto. Este dato es muy importante a la hora de calcular las tensiones en los dientes de las ruedas ya que cuanto mayor sea el grado de recubrimiento mayor ser el nmero de dientes que soportan la fuerza que ejerce una rueda sobre la otra y, por lo tanto, menores las tensiones sufridas por estos.

Se debe cumplir e >1,1


A medida que un par de diente engrana, el punto de contacto se desplaza a lo largo de la lnea de presin (o lnea de accin) desde el punto inicial donde comienza la accin de engrane hasta el punto en el que los dientes se separan. La distancia recorrida de esta forma por el punto de contacto recibe el nombre de longitud de contacto (g).

30

Punto A: Comienza el

contacto. Interseccin de

la circunferencia de

cabeza de la rueda (2)

con la lnea de presin.

Punto E: Finaliza el contacto.

Interseccin de la

circunferencia de cabeza

del pin (1) con la lnea

de presin.


Puesto que la distancia entre dos dientes consecutivos es

pe , la expresin de la relacin de contacto vendr dada

por:

epg

e

cosm

senCrrrr

2

b

2

a

2

b

2

a 2211

31

Partiendo de las relaciones geomtricas

existentes, se demuestra

que:

Interferencia. Contacto entre partes de perfiles que no son

conjugados.

La altura de cabeza de la cremallera se ha elegido de forma que el punto donde comienza el contacto es A, que es el punto de

tangencia entre la lnea de accin y la circunferencia base.

El perfil de evolvente no est definido en el interior de la circunferencia base, por lo que el perfil representado en el

interior de toda la circunferencia no ser perfil de evolvente.

32

Interferencia.

La mxima longitud de aproximacin es AP y el mximo adendo que puede ser utilizado en la cremallera es a. Si se tomase un adendo a`>a,

al hacer rodar el pin segn el sentido mostrado, las posiciones que

ocuparn los dientes de la cremallera y el pin sern tales que se

solaparn interfiriendo entre ellas.

Si los dientes se tallan por generacin la interferencia se elimina, ya que la herramienta suprime parte del material de la rueda que est

tallando, dando lugar a un rebaje en el diente.

33

Interferencia.

Por tanto, cuando se produce interferencia:

Aparecen dientes rebajados.

Se reduce la longitud de contacto (y por tanto la relacin de contacto).

Los dientes as obtenidos estn muy debilitados.

34

Se deben estudiar las

condiciones necesarias para que

no se produzca rebaje en los

dientes cuando estos son

tallados.

Nmero mnimo de dientes. Para determinar si existir interferencia entre

una rueda y un pin, se debe analizar en que punto las circunferencias de cabeza cortan a la lnea de accin, tal y como se muestra en la figura.

El punto lmite es aquel en el que la lnea de accin es tangente a las circunferencias base; luego si los puntos A y B (puntos de corte de las circunferencias de cabeza con la lnea de contacto) quedan fuera de los puntos T1 y T2, respectivamente, se producir interferencia. Por lo tanto los puntos T1 y T2 son puntos lmites.

Por otra parte, la posibilidad de que exista interferencia depender del tamao del pin: ser menor cuanto mayor sea su dimetro, pues ms alejado del punto P se encontrar el punto T1.

Se ver, a continuacin, que resultado se obtiene al imponer la condicin lmite de interferencia.

35

Nmero mnimo de dientes. Teniendo en cuenta la indicacin lmite para que no exista interferencia

(punto A coincidente con T1) atendiendo a la figura, se obtendr:

Puesto que la altura de cabeza se expresa en funcin del mdulo:

de donde se obtiene:

Siendo el nmero mnimo de dientes:

=20 => 17 dientes

Utilizndose como n mnimo de dientes prctico:

=20 => 14,2 dientes

2sen

k2

6

5z

36

r

APsen sen

a

APsen2

a

r

a k m siendod

z

r

z

m

2

sen22 2

k r

z r

k

z

zk

22sen

Desplazamiento de perfil.

=

2 1 + 2

Dado que el mdulo est normalizado y no puede elegirse un valor

arbitrario:

y los dientes de los engranajes son 2 nmeros enteros, es imposible

encontrar una combinacin de ellos para ciertas distancias entre ejes.

El desplazamiento de perfil consiste en tallar el diente del engranaje a

una distancia radial desplazada de la posicin normal, un valor (xm),

gracias a que el dentado de evolvente a diferencia del cicloidal- es

insensible a los aumentos de la distancia entre ejes, donde:

x es el factor de desplazamiento de perfil.

xm es el desplazamiento.

37


El desplazamiento de perfil puede ser positivo (x>0), cuando separamos la herramienta de tallado una distancia xm del centro del tocho de partida.

Y es negativo (x. Disminuye el riesgo de interferencia. Dientes ms robustos en su pie, por lo que pueden transmitir mayores

esfuerzos.

Dientes ms puntiagudos en su cabeza. Un desplazamiento de perfil negativo, produce los efectos contrarios.


Por todo ello, a la hora de disear la transmisin mediante engranajes:

1. La primera eleccin sera utilizar engranajes estndar sin desplazamiento

de perfil (tallados a cero),

2. Si ste fuera necesario, es mejor el positivo que el negativo.

3. Mejor aplicarlo a un engranaje que a los dos

4. Y dentro de ellos, es preferible en el engranaje de ms diente, dado que

cuanto mayor es el nmero de dientes, menos difiere el engranaje con

perfil desplazado del estndar.

39

Trenes de engranajes

Cuando dos o ms ruedas dentadas se unen para transmitir movimiento y potencia entre diferentes ejes se forma un tren de engranajes.

Los trenes de engranajes pueden ser:

Ordinarios: Los ejes de las ruedas no presentan movimiento respecto a la bancada.

Epicicloidales o planetarios: Los ejes de algunas de las ruedas presentan movimiento circular respecto a la bancada.

40

Trenes de engranajes ordinarios. Trenes ordinarios:

Trenes simples: Compuesto por ruedas simples (cada eje monta una sola rueda).

Trenes compuestos: Existen ejes que incorporan ms de una rueda (que giran solidariamente)

conducidas

sconductora

n

1n

3

2

2

1

)1n(S

0

nS

0

2S

0

3S

0

1S

0

2S

0

1S

0

Sn

0

z

z

z

z

z

z

z

z t

w

w

w

w

w

w

w

wt

41


Trenes epicicloidales:

Los ejes de algunas ruedas presentan movimiento circular respecto a la bancada.

Las curvas que describen los puntos de estas ruedas respecto a la bancada se denominan epicicloides; de ah el nombre de estos trenes.

Aparece otro elemento, el brazo, sobre el que se montan las ruedas denominadas satlites.

42



Si se analiza el movimiento desde un sistema de referencia solidario al brazo, el tren se convierte en uno

ordinario y se obtiene:

Ecuacin del tren:

b

0

1S

0

b

0

2S

0b

b

0

2S

0

2S

b

b

0

1S

0

1S

b

b

0

2S

b

2S

0

b

0

1S

b

1S

0

2

1

1S

b

2S

bb

z

z

ww

wwt

www

www

www

www

w

wt

b

0

1S

0

b

0

2S

0

2

1b

z

z

ww

wwt

43



La ecuacin del tren es una ecuacin que relaciona las velocidades de 3 slidos (la rueda 1, la 2 y el brazo).

La ecuacin elimina un grado de libertad, por lo que el tren posee 2 grados de libertad.

Esta ecuacin se conoce como la ecuacin de Willis.

b

0

1S

0

b

0

2S

0

2

1b

z

z

ww

wwt

44


Para las variantes constructivas de trenes de engranajes

simples se obtiene las siguientes ecuaciones:

Caso a) Casos b) y c)

S2

S1

b

0

1S

0

b

0

2S

0b

zz

zz

ww

wwt

S2

S1

b

0

1S

0

b

0

2S

0b

zz

zz

ww

wwt

45


Si, en cualquiera de los trenes estudiados, se inmoviliza

alguno de los ejes (de las ruedas 1 y 2 del brazo), a

partir de la ecuacin de Willis se obtienen las diferentes

relaciones de transmisin:

En los casos en los que tb sea positivo y prximo a la unidad, si se inmovilizan las ruedas 1 2, las relaciones de

transmisin alcanzan valores extremos.

46

b1S

0

2S

0

0

b

0

b

b

1S

0

b

0

0

2S

0

bb

0

2S

0

0

1S

0

b

0

1S

0

b

0

2S

0b

b0

2S0

1S0

0

10

10

tw

wtw

t

t

w

wtw

tw

wtw

ww

wwt

w

w

w


METODO TABULAR Partimos de la misma expresin que frmula Willis (velocidad absoluta):

donde:

i representa la velocidad angular absoluta de una rueda cualquiera.

b es la velocidad angular absoluta del brazo.

i/b es la velocidad relativa de la rueda respecto al brazo.

Forma de operar:

1. Se supondr el tren epicicloidal bloqueado y se girar una vuelta a todo el sistema (clculo de la velocidad angular del sistema).

2. Se fija el brazo y se gira una vuelta en sentido contrario al anterior a la rueda que est unida a la bancada. Se calcula el nmero de vueltas que girar el resto de las ruedas, que se comportarn, al haber fijado el brazo, como en un tren ordinario (movimiento respecto al brazo).

3. Se suman las vuelta que han girado cada una de las ruedas en los pasos 1) y 2) (composicin del movimiento), y se calcula la relacin de transmisin como el cociente entre el nmero de vueltas total de la rueda conductora entre el de la conducida.

Si el tren tiene ms de una entrada se aplica el MTODO DE SUPERPOSICIN

47

bibi /www


METODO TABULAR

48

2 3 4 brazo

Movimiento del brazo +1 +1 +1 +1

Movimiento relativo al brazo -1 0

Movimiento total 0 +1

z

z

z

z

2

3

3

4

3

21z

z 1 2

4

z

z

3

2

z

z

4

24 1

1

z

zn

nb

t

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