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  • Modelos de Fallo a Fatiga en Engranajes Jos I. Pedrero

    MODELOS DE FALLO A FATIGA EN ENGRANAJES

    Las transmisiones por engranajes constituyen, con toda seguridad, uno de los componentes mecnicos de mayor complejidad para el diseo. En primer lugar, la geometra de los perfiles conjugados, incluso la ms sencilla y usual de evolvente de circunferencia, presenta notables dificultades para aplicar sobre ella los modelos resistentes de la teora de la elasticidad. Es cierto que algunos casos, como el estudio de los engranajes rectos, pueden enfocarse desde la hiptesis de estado tensional plano [1, 2], lo que sin duda simplifica el clculo. Sin embargo, incluso en estos casos, la variacin del espesor con la altura del diente o las distancias relativamente pequeas de los puntos de aplicacin de las cargas a las secciones en las que se han de calcular las tensiones, producen efectos de concentracin de esfuerzos, no fciles de evaluar [3]. Ms complicado resulta, obviamente, el clculo de los engranajes helicoidales, en los que la hiptesis de estado plano resulta mucho ms precaria, si bien se han obtenido buenas aproximaciones trabajando con la llamada seccin normal del engranaje helicoidal, cuya geometra se asemeja a la de un engranaje recto virtual [1, 2]. Por ltimo, los casos tridimensionales, como los engranajes cnicos espirales o las transmisiones por tornillo sinfn, revisten una complejidad inabordable en la prctica, si no es a partir de drsticas hiptesis simplificativas. A lo anterior cabe aadir que son muchos los parmetros que intervienen, o mejor, que definen la geometra de la transmisin, y complicadas las relaciones que dichos parmetros presentan entre s [1]. A modo de ejemplo, la geometra de un eje de transmisin queda perfectamente definida con el dimetro de la seccin y la longitud de cada tramo, junto con los radios de acuerdo en los saltos de seccin. Y no existe restriccin geomtrica alguna para modificar cualquiera de esos parmetros, si el diseador lo estima conveniente. Un par de engranajes rectos que se calculen para funcionar con una distancia entre ejes inferior a la nominal requerirn un desplazamiento negativo de la herramienta en el tallado, para producir un adelgazamiento en los dientes que permita el acercamiento, y una reduccin de los radios de cabeza, para mantener la holgura radial requerida para la evacuacin del lubricante; operarn con un ngulo de presin de funcionamiento inferior al de tallado, y con un grado de recubrimiento transversal que es funcin, y funcin trascendente nada

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    sencilla, de estos parmetros desplazamiento y radio de cabeza de ambas ruedas y ngulo de presin de funcionamiento, de manera que resulta notablemente complicado asegurar el valor del grado de recubrimiento, que ha de mantenerse dentro de unos lmites, y en todo caso siempre por encima de 1, para asegurar la continuidad de la transmisin. Pero si complejas son las relaciones puramente geomtricas entre los parmetros de la transmisin, mucho ms an lo son las relaciones entre estos parmetros y los factores de diseo del problema [4, 5]. Una leve modificacin de la distancia entre centros puede tener, en algunos casos, considerable influencia en la capacidad de transmisin de las ruedas, y no alterarla apenas en otros. Un ligero aumento en el ancho de cara de un engranaje helicoidal produce una variacin, tambin ligera, en el rendimiento de la transmisin, pero curiosamente esa variacin puede ser positiva o negativa [6]. Sin embargo, y pese a todo lo anterior, no es la geometra de los engranajes la causa principal de la complejidad de clculo de estos elementos. Hoy da, las potencias que se transmiten son de tal magnitud, en relacin con las dimensiones con que se disea, que hacen que los dientes trabajen prcticamente al lmite de su capacidad. La razn de esto es evidente: cuanto ms pequeas sean las dimensiones de los elementos, ms reducido resultar el coste de su fabricacin. Pero ello tiene el inconveniente de que obliga a disear con enorme precisin, teniendo que tomar en consideracin tanto el riesgo de aparicin de multitud de tipos de fallo [7] como la influencia que, en cada uno, pueda tener una enorme cantidad de factores, incluso aqullos cuya incidencia es tan pequea que no se tendran en cuenta si no se estuviera tan cerca del lmite [8, 9]. La toma en consideracin del riesgo de multitud de tipos de fallo ha supuesto el desarrollo de otros tantos modelos de comportamiento frente a picadura, frente a rotura en la base, frente a gripado, etc., todos los cuales se deben comprobar para asegurar un buen diseo. Del mismo modo, la consideracin de la influencia de factores tan singulares como el error de distorsin por deformacin bajo carga o la reduccin de error de paso de base por rodaje [9] provoca la aparicin de infinitos coeficientes de correccin en cada uno de los anteriores modelos, con lo que ello supone no slo de complicacin a la hora de realizar o verificar un diseo, sino especialmente en la modelizacin de estas influencias, es decir, en las ecuaciones o curvas de estos coeficientes de correccin, basadas a menudo en la realizacin de pruebas experimentales, y necesitadas siempre de constante revisin. Hoy da es relativamente frecuente la aplicacin de otras tcnicas para el clculo de engranajes, ya sean matemticas anlisis del contacto, potencial complejo, elementos finitos o elementos de contorno, entre otros o empricas. Estas tcnicas, correctamente aplicadas, producen resultados muy fiables, aunque presentan a su vez algunos inconvenientes. En primer lugar, su aplicacin no es sencilla, requieren una definicin muy precisa de la geometra y tiene algunas limitaciones. Por ejemplo, la transformacin inversa del slido semiindefinido obtenido en el campo complejo no desemboca en el perfil exacto del diente, por lo que los resultados son slo aproximados [10]. En segundo lugar, son mtodos potentes para el anlisis, pero no tanto para el diseo. Proporcionan informacin muy precisa del comportamiento del diente, pero slo para la geometra introducida y para las condiciones de carga introducidas, por lo que es

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    muy difcil extraer conclusiones relativas a qu modificaciones realizar para mejorar el diseo fase imprescindible en todo buen diseo, siendo necesario recurrir a aplicaciones reiterativas del mtodo, probando modificaciones dictadas, casi exclusivamente, por la experiencia del diseador. Por ltimo, no es posible generalizar los resultados obtenidos mediante esta tcnicas al estudio de otros casos. Estos resultados son especficos del problema considerado, por lo que en la prctica el campo de aplicacin est restringido a la fabricacin de series relativamente grandes o costosas. La tendencia actual es a no renunciar, en lo posible, a los modelos basados en la teora de la elasticidad, por ms que puedan ser necesarios cuantos factores de correccin se puedan imaginar. En efecto, las series de fabricacin pequeas no justifican el tiempo y la cualificacin requeridos para la correcta aplicacin de las tcnicas anteriores. Pero adems, la marcada tendencia a la normalizacin presente hoy en todos los mbitos, adquiere particular relevancia en el campo del diseo. En un mercado competitivo, es imprescindible un mtodo que garantice resultados homogneos, que se puedan comparar. La capacidad de carga de una transmisin viene limitada fundamentalmente por dos aspectos: la posibilidad de rotura en la base del diente y el riesgo de aparicin de picaduras en las superficies. A estos aspectos es a los que afecta de manera ms directa la necesidad de normalizacin, y por tanto, la necesidad de disponer de un modelo de clculo analtico. Ambos son de naturaleza muy diferente: catastrfica la del primero, con inmediata parada de la mquina e incluso peligro de accidente, ms suave la segunda, con un deterioro progresivo de las caractersticas de la transmisin, aunque no por ello menos indeseable. Sin embargo, los dos tienen algo en comn: son fallos asociados a fenmenos de fatiga, producidos por tanto por variaciones cclicas de las condiciones de carga. El procedimiento seguido para establecer los modelos de clculo citados consiste bsicamente en aplicar los modelos sencillos de la teora lineal de la elasticidad el de Navier para flexin y el de Hertz para presin superficial a la geometra del problema, por lo general asimilado a un estado plano, y corregir las expresiones obtenidas mediante los factores de influencia a los que antes se ha aludido. Para la determinacin de estos factores, o ms exactamente, de las expresiones que permiten evaluarlos, es para lo que se emplean las tcnicas matemticas mencionadas ms arriba o los resultados obtenidos mediante la experimentacin, en ambos casos seguido de una bsqueda de correlaciones con los valores de los parmetros de los que previsiblemente puedan depender. Obviamente, cuanto ms complicada es la geometra del problema, o menos asemejable es el estado tensional a un estado plano, ms conservadores habrn de ser los valores de estos factores de correccin. Este es el procedimiento seguido por las normas internacionales de diseo de engranajes, AGMA e ISO fundamentalmente, y tambin por la mayor parte de las diferentes normas de rango nacional, DIN, UNE, etc. En lo que sigue se van a tratar los modelos de clculo a rotura en la base del diente por flexin y a picadura por presin superficial, para engranajes rectos y helicoidales. En ellos se basan los modelos de los restantes tipos de transmisiones, a partir de las, as llamadas, magnitudes aparentes, a partir de las cuales, y mediante el empleo de factores

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    de correccin suficientemente mayorados, se reduce el problema a uno de similares caractersticas a los aqu considerados.

    Modelo general de fallo por fatiga

    Del mismo modo que el modelo ms sencillo de clculo esttico establece que el fallo se producir en el momento en que la tensin equivalente en el material alcanza el valor de la resistencia esttica del mismo, el modelo de clculo a fatiga establece que el fallo se producir tras un determinado nmero de ciclos de aplicacin de la carga, si el valor de la componente alternante de la misma alcanza el de la resistencia a fatiga del material. Pero esta resistencia a fatiga no es un valor fijo, como en el caso esttico, sino una funcin que depende, por un lado, del valor de la tensin media, y por otro de la duracin y fiabilidad para las que se desee disear. La relacin entre el valor de la fuerza admisible es decir, el valor de la fuerza que produce una tensin igual a la resistencia y el de la fuerza en las condiciones de operacin previstas, es lo que se conoce como factor de seguridad o factor de carga. En el fondo, seguridad, duracin y fiabilidad son, por as decir, tres aspectos de una misma realidad. Es decir, una transmisin determinada, que trabajar en unas condiciones tambin determinadas, tendr un factor de seguridad para una duracin y una fiabilidad, y otro factor de seguridad diferente para otra duracin y otra fiabilidad, tambin diferentes. Sin embargo, no por ello la transmisin es mejor ni peor: es la misma, slo que su capacidad de transmisin se puede interpretar de diversas maneras. No es frecuente, por ello, en el clculo de engranajes, hablar de factor de seguridad. El clculo se realiza igualando la tensin a la resistencia, para unas condiciones de duracin y fiabilidad determinadas, y a partir del valor obtenido de la tensin se determina la potencia mxima transmisible, que se acostumbra a denominar capacidad de transmisin. Si esta capacidad de transmisin resulta ser mayor que la potencia a transmitir, se tendr que el par de ruedas diseado trabajar en las condiciones previstas con una duracin o fiabilidad mayores que las establecidas, y menores en caso contrario. Naturalmente, estos nuevos valores de la duracin y la fiabilidad se pueden calcular, y como antes, se pueden interpretar de infinitas maneras, es decir, se podrn obtener infinitos pares de valores (duracin, fiabilidad), que representan otras tantas maneras de decir lo mismo. Pero en todo caso es ms frecuente esto que hablar de factor de seguridad, pues realmente refleja mejor las condiciones de trabajo de la transmisin que se disea. Sin embargo, si el factor de seguridad se entiende no tanto como medida del margen de que se dispone para hacer frente a sobretensiones, sino como medida del margen de incertidumbre en el valor de las resistencias, entonces s tiene sentido en el clculo de engranajes. En este caso, el factor de seguridad se conoce tambin con el nombre de factor de resistencia, y ha de tener en cuenta aspectos como:

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    Diseo (adecuacin del modelo empleado a las condiciones reales). Propiedades del material (valor efectivo de la resistencia frente al valor

    estimado de la misma, normalmente en funcin de la dureza y del tratamiento superficial; en el mejor de los casos mediante ensayos, siempre sujetos a un margen de incertidumbre).

    Tolerancias en la fabricacin, y por tanto discrepancias entre la geometra real y la terica, a la que se aplican los modelos de la teora de la elasticidad.

    Coste del fallo, no slo en trminos econmicos (coste de la reparacin, prdida de productividad, etc.) sino tambin de riesgo de accidente.

    Desde este punto de vista, el factor de seguridad no es el valor del cociente entre la resistencia y la tensin, sino un valor establecido a priori por el diseador, con el que se minora la resistencia, antes de igualarla a la tensin, para determinar la capacidad de transmisin teniendo en cuenta todas estas incertidumbres. As se entender, en todo lo que sigue, el factor de seguridad.

    log Sf Ciclo alto

    Duracin infinita

    Ciclo bajo log Sut

    log 0.9Sut

    log Se

    3 6-80 log N Figura 1. Diagrama de fatiga.

    El modelo general de fallo por fatiga [11] se basa en tres teoras: la teora de la variacin de la resistencia a la fatiga con el nmero de ciclos de inversin de esfuerzo, la teora de variacin de la resistencia a la fatiga con la tensin media y la teora de variacin de la resistencia a la fatiga con el deterioro. La teora de la variacin de la resistencia a la fatiga con el nmero de ciclos de inversin de esfuerzo establece los valores de las resistencias frente a cargas alternantes cargas que producen unas tensiones que oscilan entre un valor y l mismo cambiado de signo para los distintos valores del nmero de ciclos de inversin del esfuerzo. En otras palabras, proporciona los valores mximos de las tensiones alternantes en funcin de la duracin, medida en ciclos de carga. La figura 1 muestra una variacin tpica. En ella se aprecia que existen tres zonas en el diagrama claramente diferenciadas:

    Zona de fatiga de ciclo bajo, que se extiende desde 1 hasta un valor que, en el caso de aceros, se sita en torno a 103 ciclos, en la que se produce una

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    J. I. PedreroFalta un salto de lnea

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    reduccin muy tenue de la resistencia, desde el valor de la resistencia esttica del material para 1 ciclo como es natural, hasta ms o menos el 90% de ese valor para 1000.

    Zona de fatiga de ciclo alto, desde 103 hasta un valor entre 106 y 108 ciclos, dependiendo del tipo de acero, en la que la reduccin de la resistencia es mucho ms brusca, hasta un valor, conocido como lmite de fatiga, que depende fundamentalmente de la resistencia esttica del material y a travs de sta, de la temperatura, del acabado superficial, del tamao, de la fiabilidad con que se disee, del tipo de carga y, en el caso de materiales dctiles como el acero, de la concentracin de tensiones en los cambios de seccin.

    Zona de duracin infinita, a partir del lmite anterior, en la que la curva se convierte en una recta horizontal, de manera que para valores de la tensin alternante por debajo del lmite de fatiga no se producir fallo.

    En definitiva, el diagrama de fatiga proporciona los valores de las resistencias a fatiga para cada nmero de ciclos de inversin de esfuerzo, o a la inversa, la duracin estimada en ciclos para cada valor de la tensin alternante.

    a Lnea de carga Sf(N) A

    CGerber

    D CaD

    Goodman

    Bm Sut mD

    Figura 2. Resistencia a fatiga con tensin media.

    En el caso de que la tensin flucte entre dos valores max y min que no sean iguales y de signo contrario, siempre se podr descomponer en una componente media y otra alternante

    2

    2minmax

    minmax

    =

    +=

    a

    m

    de tal manera que la componente alternante se comportar como una carga alternante, y la componente media producir una reduccin de la resistencia a la fatiga. Respecto a cmo es esta reduccin existen varias teoras, pero todas ellas tendrn en comn que

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    habrn de pasar por dos puntos: para tensin media nula la resistencia habr de ser la que se obtiene del diagrama anterior para cada nmero de ciclos, y para tensin media igual a la resistencia ltima del material la resistencia a fatiga habr de ser nula. Esto significa que en diagrama de la figura 2, todas las teoras se representarn mediante curvas que pasarn por los puntos A y B, donde la ordenada del punto A es la resistencia a fatiga del material para el nmero de ciclos considerado, obtenida del diagrama de fatiga de la figura 1 el diagrama de la figura 2 es, por tanto, vlido slo para una duracin determinada, y la abscisa del punto B es la resistencia ltima del material. Tambin se sabe que las tensiones medias de compresin no tienen influencia sobre la resistencia a fatiga, por lo que todas estas curvas, a la izquierda del punto A, se convertirn en rectas horizontales. En la figura se representan las dos teoras ms comnmente utilizadas: la de Goodman, que supone una variacin lineal de la resistencia entre los dos puntos anteriores, y responde a la ecuacin

    ( ) 1=+ utm

    f

    a

    SNS

    y la de Gerber, algo menos conservadora pero bastante ajustada al comportamiento de los aceros, en la que se supone una variacin parablica del tipo

    ( ) 12

    =

    +

    ut

    m

    f

    a

    SNS

    Ambas curvas se pueden utilizar en sentido inverso: a partir de los valores de a y m correspondientes a la carga que se tenga, se puede despejar el valor de Sf(N), y a partir de l, con el diagrama de fatiga, obtener la duracin esperada para el estado de carga estudiado (a,m). En este caso, Sf(N) ms que al valor de una resistencia corresponde al de una tensin alternante pura equivalente, y se puede designar por a0. En efecto, todos los puntos de cada una de las curvas del diagrama de la figura 2 tienen la misma duracin, segn el criterio correspondiente, y a0 sera la tensin alternante pura la tensin media es 0 con esa misma duracin. Sin embargo, cuando el diagrama se emplea para calcular resistencias para estados de carga con tensin media, hay que tener en cuenta una importante consideracin: no siempre la resistencia a fatiga para la tensin media para la que se disea que viene dada por la ordenada del punto de la curva correspondiente al criterio que se utilice cuya abscisa sea igual a esta tensin media de diseo representa una medida del margen de tensin alternante de que se dispone para la seguridad. En efecto, las propias condiciones del problema pueden establecer, y de hecho establecen, relaciones entre las componentes media y alternante de la tensin. En el caso de los engranajes, por ejemplo, cuando un diente entra en contacto con su conjugado se ve sometido a una carga, que produce una tensin en su base. Cuando el engrane finaliza, desaparece la carga y tambin la tensin. El estado de carga a que se ve sometido el diente provoca una tensin en la base que oscila entre 0 y un valor mximo, funcin de la potencia que se transmite. Quiere decirse, por tanto, que las tensiones media y alternante sern iguales. Si por la razn que sea se produce una sobrecarga, las tensiones sern mayores, pero las componentes media y alternante seguirn siendo iguales. Ello introduce el concepto de lnea de carga, definido como el

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    lugar geomtrico, en el diagrama a-m, de la representacin de los estados de carga posibles, de acuerdo con las caractersticas del problema. En el caso de los dientes de engranajes, como se acaba de ver, esta lnea de carga es la recta a=m, que aparece representada en la figura 2, y si el punto D representa las condiciones de diseo previstas, la resistencia a la fatiga para una duracin de N ciclos a la que corresponde el diagrama de la figura vendra dada por la ordenada del punto C, y no la del punto C.

    log Sf log 0.9Sut

    log a0 log Se log Se* Minner

    log Se* Manson

    log N 3 log Nr 6Figura 3. Deterioro de la resistencia a fatiga.

    Por ltimo, se plantea el problema de estudiar la situacin resultante de someter a un material a un estado de carga, caracterizado por una tensin alternante pura equivalente a0 mayor que su lmite de fatiga Se, cuando se somete a un nmero de ciclos de carga N0, inferior a la duracin correspondiente a esa tensin alternante N(a0), obtenida del diagrama de fatiga. Una cosa parece clara: si se designa por Nr el nmero de ciclos que faltan hasta la rotura para la tensin a0 inicial, ( ) 00 NNN ar = el nuevo diagrama de fatiga del material deteriorado, en el que los ciclos se vuelven a contar desde 0, habr de pasar por el punto (logNr,loga0). A partir de aqu hay dos teoras: la de Minner, que establece que el nuevo diagrama de fatiga se obtiene mediante un desplazamiento paralelo del inicial, hasta que pase por el punto anterior, y el de Manson, para el que el nuevo diagrama de fatiga en la zona de ciclo alto es la recta que pasa por el citado punto y mantiene su extremo en el punto (3,log0.9Sut). Ambos criterios aparecen representados en la figura 3. Se aprecia que el criterio de Minner es ms conservador que el de Manson para posteriores estados de carga con tensiones mayores que a0, y a la inversa para tensiones menores. Ambos, en todo caso, predicen reducciones en el valor del lmite de fatiga. Por medio de estos criterios se puede abordar el estudio de estados de carga que varan con el tiempo arbitrariamente, y no slo de forma cclica. Los modelos de clculo a fatiga de engranajes se basan en todas estas teoras, en las que introducen algunas modificaciones que se comentarn ms adelante. En todo caso,

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    y como paso previo a la comparacin con las resistencias, se han de determinar los valores de las tensiones de fatiga que se presentan en los dientes de los engranajes, determinacin que, como se indic antes, se realiza a partir de la teora de Hertz, para la presin superficial, y la ley de Navier, para la flexin en la base. De acuerdo con ello, el esquema del desarrollo que sigue se puede resumir en los siguientes puntos:

    Determinacin de las presiones de contacto en la superficie y las tensiones en la base mximas a que se ve sometido el diente durante el proceso de engrane, en funcin de la potencia a transmitir.

    Introduccin de los factores de correccin que afectan a la carga, y por tanto a los valores de la tensin.

    Determinacin de las resistencias a presin superficial y a rotura en la base del material empleado.

    Introduccin de los factores que afectan a la resistencia, incluidos los referentes a la duracin en ciclos y a la fiabilidad, y el factor de seguridad, entendido como margen de incertidumbre en el valor de la resistencia.

    Determinacin de la capacidad de transmisin por igualacin de los valores corregidos de la tensin y la resistencia.

    Modelo tensional

    Aplicar una teora elstica al clculo tensional de un elemento exige un planteamiento inicial y el establecimiento de una serie de hiptesis. El planteamiento inicial consiste en definir la geometra del problema y las condiciones de contorno; con el establecimiento de hiptesis simplificativas se persigue aproximar el problema a otro razonablemente parecido que pueda ser abordado matemticamente. En este sentido, los estados de carga tridimensionales no son fciles de reducir a ecuaciones. Las ecuaciones de compatibilidad y las de equilibrio en el contorno se suelen convertir en integrales extraordinariamente complicadas, que por lo general no es posibles resolver ms que por mtodos numricos. El estado tensional en la base del diente de un engranaje recto es perfectamente asemejable a un estado tensional plano, cuya formulacin es mucho ms sencilla, pese al efecto de concentracin de tensiones producido tanto por la variacin del espesor del diente con el radio como por la proximidad entre las secciones en que se aplica la carga y en que se calcula la tensin. Sin embargo, no ocurre lo mismo en los engranajes helicoidales, en cada una de cuyas secciones acta la carga a una distancia distinta del eje de la rueda. Afortunadamente, todos estos puntos de la lnea de contacto definen siempre una lnea recta sobre el perfil del diente, de tal manera que todas ellas estn contenidas en un plano que forma un ngulo b, llamado ngulo de hlice en la base, con el plano frontal del engranaje, es decir, con el plano perpendicular al eje de rotacin

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    de la rueda. En este plano, el estado tensional podra ms o menos asemejarse a un estado plano, pero naturalmente con la geometra del diente en ese plano, al que se conoce con el nombre de plano normal. La circunferencia primitiva del engranaje degenera, en el plano normal, en una elipse, cuyo radio de curvatura en el punto de interseccin con el eje del diente es

    bb

    mZr 22 coscos2cos ==

    donde m es el mdulo normal, Z el nmero de dientes y el ngulo de inclinacin de tallado. Quiere decirse que la seccin normal de un diente helicoidal corresponde a la de un engranaje recto del mismo mdulo, con un nmero virtual de dientes Zv

    b

    vZZ 2coscos=

    Algo ms sencillo resulta el clculo de la presin superficial sobre los flancos de los dientes. Tanto los engranajes rectos como los helicoidales presentan una lnea de contacto que es siempre una recta, con la nica diferencia de que, en engranajes rectos, sta es paralela al eje de la rueda, y en helicoidales no. Pero en ambos casos, el contacto ser muy similar al contacto entre dos cilindros que estudi Hertz [12], para los que se habr de suponer unos radios iguales a los radios de curvatura de los perfiles en el punto de contacto. La ligera variacin que estos radios tienen a lo largo de la lnea de contacto en el caso de dentaduras helicoidales apenas tendr influencia en un fenmeno tan localizado como la presin de contacto. Con estos planteamientos, el problema del anlisis de tensiones consistir en determinar cundo y dnde se presentan las condiciones ms desfavorables, y calcular la tensin en estas condiciones. El desarrollo que sigue se limitar a engranajes helicoidales, dado que los rectos no son ms que un caso particular con =0. Presin superficial Hoy da se admite que el fallo por picadura est producido por la tensin de cortadura en la subsuperficie del diente. La distribucin de presiones en la zona de contacto crea una distribucin de tensiones en los puntos prximos a la superficie, en uno de los cuales la tensin cortante mxima o la tensin equivalente de Tresca alcanza un valor mximo. Si ese valor supera el de la resistencia a la cortadura, se origina en este punto una grieta, que ante la repeticin de ciclos de esfuerzo, se propaga hacia la superficie, hasta producir desprendimientos de material, en forma de conos, muy caracterstica de este fenmeno. Sin embargo, no es usual utilizar este valor mximo de la tensin de cortadura en los modelos de contacto. Hertz [12] demostr que dicho valor de la tensin cortante mxima es proporcional al de la presin mxima en la zona de contacto. En consecuencia, el resultado del anlisis es el mismo que el de trabajar con los valores de la presin de contacto mxima, siempre que las resistencias estn calculadas del mismo modo, es decir, afectando a la resistencia a la cortadura del mismo factor de

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    proporcionalidad, si bien es ms usual determinar directamente las resistencias a presin superficial mediante la experimentacin. El modelo de Hertz establece que la presin mxima de contacto entre dos cilindros de radios R1 y R2, sometidos a una fuerza por unidad de longitud W/l, viene dada por

    +=

    210

    11RRl

    WC pH donde Cp es el coeficiente elstico

    +

    =

    2

    22

    1

    21 11

    1

    EE

    C p

    siendo E1 y E2 los mdulos de elasticidad, y 1 y 2 los coeficientes de Poisson de los materiales de ambos cilindros. Para aplicar esta ecuacin al contacto entre dientes, se sustituir W por WN, fuerza normal a los perfiles, l por la longitud de la lnea de contacto lc, y los radios R1 y R2 por los radios de curvatura en la seccin normal que es la seccin perpendicular a la lnea de contacto, n1 y n2, con lo que resulta

    +=

    210

    11

    nnc

    NpH l

    WC

    Esta ecuacin presupone haber introducido la simplificacin de que la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la lnea de contacto. Esto no es cierto ni en engranajes rectos en el intervalo de carga compartida en el que se encuentran dos pares de dientes en contacto simultneo, ni en engranajes helicoidales, en los que los distintos puntos de la lnea de contacto se encuentran a diferente altura, ya que la rigidez del diente es diferente en cada punto del perfil. Ello significa que en algn momento se habr de corregir la carga mediante algn factor que tenga esto en cuenta. La carga normal sobre la superficie de los dientes contenida en el plano normal de los mismos se puede descomponer en dos: la componente contenida en el plano frontal, tambin llamado plano transversal, y la perpendicular al mismo, paralela por tanto al eje de rotacin. Es obvio que esta ltima se absorbe en los apoyos y no transmite potencia. En cuanto a la otra, cuya lnea de accin es siempre la tangente comn a las dos circunferencias de base, en virtud de las propiedades de los perfiles de evolvente, se puede descomponer a su vez, en el punto de interseccin de la lnea de accin con la circunferencia primitiva de referencia, en su componente tangencial a dicha circunferencia Wt que forma un ngulo con la lnea de accin igual al ngulo de presin de referencia en la seccin transversal, t y su componente normal, que tampoco transmite potencia. Puesto que el ngulo formado por los planos normal y transversal era el ngulo de hlice en la base, se tiene btNt WW coscos= Asimismo, en virtud del teorema de Meusnier y teniendo en cuenta que el radio de curvatura segn el plano normal que contiene la lnea de contacto es infinito, los radios de curvatura de los perfiles en las secciones normal y transversal estn relacionados por

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    la expresin

    b

    tn

    cos

    = Con lo anterior, la presin de contacto se puede expresar como

    +=

    210

    11cos ttct

    tpH l

    WC

    Esta expresin constituye el punto de partida de los modelos de clculo a presin superficial de las normas AGMA [8, 13] e ISO [9], aunque a partir de aqu introducen algunas alteraciones. El siguiente paso sera determinar, a partir de la ecuacin anterior, el punto en el que la presin superficial es mxima, teniendo en cuenta que los radios de curvatura varan con el punto del perfil, y la longitud de contacto con el momento del engrane, es decir, con la posicin del pin. Un estudio terico [14, 15] revela lo siguiente:

    En el caso de engranajes rectos, la mxima presin de contacto se produce, segn los casos, en el punto ms bajo del perfil activo del pin, es decir, el que engrana con la cabeza de la rueda en cuyo caso la longitud de contacto ser igual al doble del ancho de cara del diente, pues habr dos parejas de dientes en contacto, o en el punto ms bajo del intervalo de contacto nico del pin el que est en contacto en el instante en que la pareja anterior finaliza su engrane, con una longitud de contacto, por tanto, igual al ancho de cara. Ser uno u otro dependiendo de algunos factores, en particular de la relacin de transmisin.

    En el caso de engranajes helicoidales, la presin de contacto mxima se produce siempre en el punto ms bajo del perfil activo del pin, con una longitud de contacto igual a la longitud mnima de contacto.

    Estos resultados tericos, sin embargo, no estn muy de acuerdo con la experiencia, segn la cual el punto crtico para el caso de engranajes rectos es, prcticamente siempre, el de contacto nico inferior del pin, y algn punto de la zona intermedia del perfil, para helicoidales. La razn de estas discrepancias hay que buscarla en la hiptesis empleada de reparto uniforme de la carga a lo largo de la lnea de contacto. En efecto, un estudio basado en la distribucin de carga que minimiza el potencial de deformacin [6, 16, 17] arroja resultados mucho ms cercanos a los experimentales. En todo caso, para elaborar un modelo es preferible situar la presin superficial mxima en el punto donde la experiencia dice que se presenta, y ya se corregir ms adelante el valor de la fuerza en ese punto mediante algn factor, para conseguir el valor real de la presin. En efecto, si se tomara el punto del mximo terico, el factor de correccin habra de tomar en consideracin ms parmetros los relativos a la geometra del punto terico, que intervienen en el resultado, y en consecuencia sera ms difcil de evaluar, y con toda probabilidad, menos preciso. En este sentido, la norma AGMA [8, 13] sugiere calcular la presin de contacto

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    mxima de la siguiente manera:

    Para engranajes rectos, esto es, engranajes con grado de recubrimiento en el salto igual a 0, en el punto de contacto nico inferior del pin, con una longitud de contacto igual al ancho de cara b, que corresponde efectivamente con la longitud de contacto durante todo el intervalo de contacto nico.

    Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto mayor o igual que 1, en el punto medio del pin, cuyo radio es

    ( )211 21

    aam rrCr += donde C es la distancia entre centros y ra1 y ra2 los radios de cabeza de pin y rueda, respectivamente, para una longitud de contacto igual a la longitud de contacto mnima durante el engrane. (Se puede comprobar que, efectivamente, siempre es posible encontrar una seccin transversal del diente contactando en el punto medio durante el intervalo de longitud de contacto mnima).

    Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto entre 0 y 1 se tomar un valor del parmetro

    21

    11

    tt

    cl

    +

    obtenido por interpolacin lineal entre los valores del mismo parmetro correspondientes a =0 y a =1, es decir,

    ( )

    PM21

    min

    PCUI211021

    111

    1111

    +

    +

    +

    =

    +

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    punto de rodadura. (Por lo general, el punto de rodadura y el punto medio del pin estn muy prximos; incluso son coincidentes en muchas circunstancias).

    Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto entre 0 y 1, en un punto intermedio entre los dos, obtenido por interpolacin lineal del parmetro

    21

    111

    tt +

    es decir,

    ( )

    PR21PCUI211021

    1111

    111

    111

    +

    +

    +

    =

    +

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    cos11

    cosPRPCUI21

    ISO0ef

    tt

    t

    tpH l

    WC

    +

    = donde los radios de curvatura y, en el caso de la tensin AGMA, la longitud de contacto, se calculan en un punto u otro, o mediante la interpolacin lineal inversa anterior, segn el valor de . Flexin en la base El estudio de la flexin en dientes de engranajes es semejante al de una viga empotrada en la base del diente de seccin rectangular de espesor variable, sobre la que acta una fuerza F, con una componente Fx perpendicular al eje de la viga, que produce flexin, y otra Fy paralela al eje, que produce compresin. Los esfuerzos cortantes, tanto los debidos a Fx como los que, en virtud del teorema de Colignon, origina la flexin, son casi siempre despreciables. En estas condiciones, la tensin en una seccin cualquiera de la viga, entre la del empotramiento y la de aplicacin de la carga, a una distancia h de esta ltima, en virtud de la ley de Navier, vendr dada por

    asF

    ashF

    asFs

    as

    hF yxyxF == 2

    30

    62

    121

    donde a es el ancho de la seccin, s su espesor medido en la direccin de Fx y el signo menos se debe a que se considerarn siempre las tensiones mximas positivas en la seccin, pues las negativas, aunque mayores en valor absoluto, son menos desfavorables desde el punto de vista de la fatiga por lo que ya se indic antes de que las tensiones medias de compresin no reducen el valor de la resistencia de fatiga. Aplicar la ecuacin anterior a la geometra de un diente requiere algunas consideraciones previas. En primer lugar, esta ecuacin parte de la hiptesis de estado plano de tensiones, por lo que para el caso de engranajes helicoidales se habr de emplear la geometra virtual del diente, en la que el estado tensional se asemejaba a uno plano. En segundo lugar, es necesario conocer en qu punto del perfil del diente debe actuar la carga para producir las mayores tensiones en la base. En principio, cuanto ms alejada est la carga de la seccin del empotramiento, mayor es el brazo de la fuerza, y por tanto mayores son los momentos flectores y las tensiones de Navier. Sin embargo, ya se ha discutido antes que la longitud de contacto vara a lo largo del engrane y por tanto con el punto de aplicacin de la fuerza, lo que supone que el parmetro a en la ecuacin anterior no es constante, y que el estudio ha de realizarse considerando conjuntamente las variaciones de h y de a. En tercer lugar, se ha de determinar tambin en qu seccin se producen las mayores tensiones. Por la misma razn de antes, la seccin ms desfavorable ser la ms alejada de la de aplicacin de la carga, es decir, la del empotramiento el pie del diente , pero en el caso que nos ocupa el espesor del diente es variable, por lo que es tambin variable el parmetro s de la ecuacin, lo que

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    origina que la seccin crtica pueda no ser y de hecho no es la del empotramiento. Por ltimo, la ecuacin anterior est basada en la hiptesis de Saint-Venant de que las secciones donde se calculan las tensiones estn alejadas de los puntos de aplicacin de las fuerzas, y en la de que la seccin de la viga es constante, o sufre variaciones muy suaves. Ninguna de estas dos hiptesis se verifican en las secciones de la base del diente, por lo que ser necesario introducir un factor de correccin de tensiones que tenga en cuenta estos efectos. Para plantear con rigor la discusin de dnde se localiza la tensin mxima y cul es su valor, es necesario primero adaptar la expresin anterior a la geometra de los dientes. En primer lugar, el valor de la fuerza es WN, puesto que se est considerando la seccin normal del diente. Esta fuerza vena expresada en funcin de la componente que transmite potencia Wt mediante

    bt

    tN

    WW coscos=

    que tendr la direccin de la normal al perfil en el punto de contacto, y por tanto unas componentes segn los ejes x perpendicular al eje del diente e y el eje del diente

    nL

    bt

    t

    nLbt

    t

    W

    W

    sen

    coscos

    coscoscos

    respectivamente, donde nL es el ngulo que forma la normal al perfil con el eje x, llamado ngulo de carga. El ancho a de la seccin corresponder al valor de la longitud de contacto lc, el brazo de la fuerza h a la distancia del punto de interseccin de la lnea de accin de la fuerza la normal al perfil y el eje del diente a la seccin en que se calcule la tensin, y s al espesor del diente en dicha seccin. Asimismo, se ha comprobado que la inclinacin de la lnea de contacto de los engranajes helicoidales origina una ligera reduccin de los valores de la componente de flexin de la tensin. Esto se tiene en cuenta mediante la inclusin de un factor Ch slo en el trmino de flexin mayor que 1, excepto para dientes rectos, en cuyo caso, obviamente, vale 1. Finalmente, se habr de incluir un factor de correccin de esfuerzos Kf, del que ya se ha tratado con anterioridad, con lo que la expresin de la tensin nominal en la base del diente queda de la forma

    fnL

    hbtc

    nLtF KsCs

    hl

    W

    =

    tg6coscos

    cos20

    La expresin del factor helicoidal Ch se determin [18] a partir de un estudio terico, a partir de una viga de seccin rectangular constante. La del factor de correccin de esfuerzos Kf, mediante la correlacin de resultados obtenidos mediante anlisis fotoelsticos [3] o experimentales [19, 20]. Ambos vienen expresados en funcin de los parmetros geomtricos de los dientes. La determinacin de las condiciones para las que la tensin en la base es mxima ha de hacerse estudiando conjuntamente la variacin de los parmetros nL, lc, h y s a lo

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    largo del engrane. El estudio terico de esa variacin [21] arroja los siguientes resultados:

    Para engranajes rectos, el punto de carga ms desfavorable es el punto de contacto nico superior del pin, al que corresponde una longitud de contacto igual al ancho de cara b, pues aunque en la cabeza el brazo de la fuerza h es mayor, la longitud de contacto es el doble de la anterior una relacin muy superior a la de los valores de h, mientras que el ngulo de carga nL no vara significativamente.

    Para engranajes helicoidales, el punto de carga ms desfavorable sera la cabeza del diente del pin, pues ya se indic ms arriba que siempre existe algn punto contactando en la cabeza durante algn punto del intervalo de mnima longitud de contacto.

    La seccin ms desfavorable habra de determinarse en cada caso resolviendo la ecuacin anterior, para las condiciones de carga sealadas, lo que no resulta nada sencillo.

    De nuevo estos resultados no se ajustan del todo a la prctica experimental. Por ello, las normas establecen sus modelos de clculo a partir de la expresin y las consideraciones anteriores, pero introduciendo algunas correcciones. As, la norma AGMA [8, 13] sugiere determinar la tensin en la base mediante la ecuacin anterior, en las siguientes condiciones:

    Para engranajes rectos, con la carga en el punto de contacto nico superior, con una longitud de contacto igual a la mnima, en este caso, el ancho de cara b. Es decir, coincidiendo con la teora.

    Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto mayor o igual que 1, con la carga en la cabeza y longitud de contacto igual a la mnima. Tambin coincide con la teora.

    Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto menor, mediante una interpolacin entre los dos valores anteriores interpolacin mucho ms confusa que la empleada para el caso de presin superficial, que no coincide exactamente con las condiciones, geomtricas y de carga, en ningn punto concreto.

    En todos los casos, la seccin crtica de la base se determina mediante el punto de tangencia de una parbola con vrtice en el punto de interseccin de la lnea de accin de la fuerza y el eje del diente, y eje el mismo que el del diente con el perfil del diente en su base, como viene representado en la figura 4. Es una aproximacin muy razonable, porque esta seccin es aqulla en la que la componente de flexin de la tensin es mxima. En efecto, a la vista de la expresin de la tensin de flexin, la forma que habra de tener el diente para que en todas sus secciones la tensin fuese la misma, sera la de una parbola

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    22 cte cte cte shsh

    x === En las restantes secciones del diente la tensin ser menor, pues su espesor es mayor que el de la seccin correspondiente de la parbola. El problema es que su determinacin es sumamente laboriosa, debido a la complejidad de las ecuaciones del perfil, especialmente en la base, donde corresponden a las de una trocoide.

    WN WN

    h 30 h

    sAGMA sISO

    Figura 4. Seccin crtica del diente.

    Parecidas recomendaciones hace ISO [9], aunque introduce algunas simplificaciones adicionales:

    La seccin crtica, como se representa en la figura 4, es siempre aqulla en la que la tangente al perfil forma un ngulo de 30 con el eje del diente, con independencia de dnde acte la carga. Es posible que este planteamiento sea menos preciso que el anterior, pero ciertamente las variaciones, en trminos de tensin de Navier, son bastante poco significativas.

    Se desprecia la componente de compresin de la tensin. Esta decisin se basa en que esta componente es, en efecto, pequea en comparacin con la otra, y adems la simplificacin acta en sentido de la seguridad. Con esta aproximacin, los factores Ch y Kf se pueden agrupar en uno slo, que ISO designa por YS, aunque lo sigue llamando factor de correccin de esfuerzos.

    La longitud de contacto es siempre la longitud mnima de contacto (el ancho de cara, por tanto, en el caso de engranajes rectos).

    La carga acta en el punto de contacto nico superior, en el caso de dientes rectos, y en la cabeza o entre medias de ambos puntos, en el caso de helicoidales. En este caso la ubicacin del punto es todava ms confusa. ISO permite calcular con la carga en la cabeza o en el punto de contacto nico superior, a eleccin del diseador, pero las expresiones de los factores de correccin tanto el factor de correccin de esfuerzos, del que ya se ha

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    hablado, como los que se vern ms adelante son diferentes en ambos casos. El resultado es similar aunque no idntico, pero en todo caso es difcil traducir eso en las condiciones de carga que, de modo intrnseco, se estn considerando.

    Resumiendo lo anterior, las tensiones nominales AGMA e ISO se calcularan mediante las expresiones

    SnLbtc

    tF

    fnL

    hnL

    btc

    tF

    Ysh

    lW

    KsCs

    hl

    W

    PEXTPCUS2ISO

    ISO

    minISO0

    PEXTPCUSAGMA2AGMA

    AGMA

    minAGMA0

    6cos

    coscos

    tg6cos

    coscos

    =

    =

    Factores de correccin de las tensiones Las anteriores expresiones de los valores nominales de las tensiones, tanto en el punto de contacto como en la base del diente, se han obtenido a partir de unos modelos elsticos relativamente sencillos, y ya incluyen algunas correcciones para predecir las condiciones crticas de la manera ms precisa posible. Pero todas ellas parten de un valor uniforme de la carga transmitida, que ni mucho menos se puede considerar realista. En primer lugar, la uniformidad de la transmisin se puede ver alterada por las sobrecargas externas. Estas sobrecargas pueden provenir tanto de los arranques y paradas como de las caractersticas de las mquinas conectadas. Obviamente no es lo mismo transmitir potencia desde un motor elctrico a un ventilador que de un motor de combustin monocilndrico a una cinta transportadora. Estas sobrecargas externas se tienen en cuenta en los modelos mediante la inclusin de un factor de sobrecarga KA, tambin llamado factor de aplicacin, que multiplicar a la carga transmitida, cuyo valor depender de las caractersticas de las mquinas conectadas a la transmisin, del nmero de arranques diarios previsto y de la duracin de los mismos. Naturalmente, el valor del factor de sobrecarga no es la relacin entre la sobrecarga y la carga de rgimen, pues acta sobre el engranaje slo durante una serie de intervalos cortos. Pero como tampoco se trata de aplicar la regla de Minner, antes comentada, que es la que las normas recomiendan para las variaciones de carga nominal en engranajes, a cada una de estas sobrecargas, es suficiente con unos valores promedio, que vienen dados en funcin de los parmetros sealados anteriormente. Otro efecto a considerar son las cargas dinmicas, inducidas por el propio funcionamiento de la transmisin. Estn motivadas por los llamados errores de transmisin y por la respuesta dinmica del sistema. Cuando la accin de un diente sobre el contrario es perfectamente conjugada, la relacin de transmisin, es decir, la relacin entre las velocidades angulares de los ejes de ambas ruedas, es constante en

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    todo momento del engrane. Se conoce como error de transmisin a la fluctuacin de esta relacin, y est motivado por las desviaciones de los perfiles respecto de los perfiles tericos. Estas desviaciones se deben a errores en el tallado, sea por desajustes en la sincronizacin del movimiento de la herramienta y de la rueda que se talla, sea por las deformaciones producidas por los esfuerzos que se inducen durante el proceso de corte, y muy especialmente al propio mecanismo del tallado. En efecto, el perfil generado sera el perfil terico exacto si la generacin fuese continua, pero esta talla continua no es posible en la prctica, debido a que tan slo las aristas de la herramienta cortan realmente, y generan el perfil. Puesto que, aparte del movimiento de corte, la herramienta debe describir un movimiento relativo con respecto a la rueda, los cortes se producen a intervalos discretos, y el perfil obtenido es slo aproximado. Posteriores procesos de acabado pueden mejorar el perfil, pero nunca se conseguir ajustarlo del todo. Este error de transmisin producir variaciones en la relacin de transmisin, y por tanto aceleraciones y deceleraciones cclicas, que inducirn esfuerzos. Pero aunque el error de transmisin es el que origina las sobrecargas dinmicas, la magnitud de estas sobrecargas no depende slo de l. Influyen tambin factores como la velocidad tangencial, la carga transmitida, la inercia y rigidez de todo el conjunto, incluidos los ejes, los posibles desalineamientos y desequilibrios en stos, las posibles deformaciones plsticas en la zona de contacto, la variacin de la rigidez del diente en los distintos puntos de contacto, incluso las fuerzas de rozamiento y la viscosidad del lubricante. Ante estas sobrecargas dinmicas, el diente tiene a su vez una respuesta dinmica, es decir, responde a ellas con un movimiento vibratorio, que depende de los mismos factores anteriores, adems de las velocidades crticas de los ejes y de la proximidad de las frecuencias de excitacin a las de resonancia del sistema. Para tener en cuenta este efecto, las normas introducen el llamado factor dinmico Kv, cuyo clculo es complejo, pero para el que se han obtenido aproximaciones razonables mediante expresiones relativamente sencillas, al menos para el caso de frecuencias de excitacin alejadas de las de resonancia. A diferencia del factor de sobrecarga, el factor dinmico s se debe calcular con relacin a la magnitud total de la sobrecarga, pues esta se repite cclicamente en el engrane de cada diente. Es decir, si se determinara que el valor de esta sobrecarga dinmica es Wd, el factor dinmico vendra dado por

    t

    dtv W

    WWK

    += Otro aspecto a considerar es la posible falta de uniformidad en el reparto de la carga a lo largo de la lnea de contacto. Ya se ha comentado en secciones precedentes que la diferente rigidez de los dientes en cada punto origina repartos de carga tambin diferentes, a lo que hay que aadir otros efectos, como los errores de fabricacin comentados ms arriba, posibles desalineamientos de los ejes, deformaciones torsionales de los mismos al transmitir un par, deformaciones elsticas y holguras en los apoyos y la estructura, deformaciones de los dientes por efectos centrfugos y de temperatura, y las modificaciones de la hlice, que son abombamientos intencionados

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    de las lneas de contacto, introducidos para descargar ligeramente los extremos y evitar el posible desconchado de los mismos. Para tener en cuenta esta falta de uniformidad en la distribucin de la carga, se introduce el factor de distribucin de carga, cuyo valor es la relacin entre la carga por unidad de longitud mxima en la lnea de contacto y el valor medio de la misma. Su determinacin puede llegar a ser extraordinariamente compleja, en especial por el mtodo propuesto por ISO, y depende de parmetros tan singulares como la rigidez media de contacto, la longitud de contacto aparente, el error de distorsin por fabricacin, el error de distorsin por deformacin bajo carga, la reduccin del error de distorsin por rodaje, el error de paso de base, la reduccin del error de paso de base por rodaje y la resistencia del material, entre otros. Para el clculo, ISO desglosa este factor de distribucin de carga en dos: el factor de distribucin longitudinal de carga K, que corrige el reparto de la carga a lo ancho del diente, y el factor de distribucin transversal de carga K, que corrige el reparto de la carga entre las distintas parejas de dientes en contacto simultneo. Curiosamente, ambos factores de distribucin de carga, longitudinal y transversal, son diferentes para el clculo de la tensin en la base y la presin superficial. El nico factor de distribucin de carga que presenta AGMA, al que llama Km, es igual en los dos casos. La razn fundamental de que la distribucin de carga pueda ser diferente para el clculo de la presin de contacto y la tensin en la base, estriba en la diferente influencia que sobre una y otra tiene la aparicin de deformaciones plsticas en las regiones de la subsuperficie prximas a la zona de contacto. Por este motivo, AGMA introduce, slo para el clculo a presin superficial, un factor de condicin de la superficie Cf, que depende fundamentalmente del acabado superficial de los perfiles y de las propiedades del material. En definitiva, las tensiones de clculo, tanto a flexin como a presin superficial, se calcularn a partir de las correspondientes tensiones nominales, introduciendo los valores de los diferentes factores que afectan a la carga. En el caso del clculo a presin superficial, como la tensin nominal era proporcional a la raz cuadrada de la carga transmitida, los factores de correccin aparecen en la expresin de la tensin bajo la raz, es decir, multiplicando a la carga, como corresponde a su condicin de correctores de la carga. Por consiguiente, las expresiones de estas tensiones de clculo quedan de la forma

    FFvAFF

    mvAFF

    HHvAHH

    fmvAHH

    KKKKKKKKKKK

    CKKK

    ISO0ISO

    AGMA0AGMA

    ISO0ISO

    AGMA0AGMA

    ==

    ==

    donde los subndices H y F en los factores ISO de distribucin de carga designan los correspondientes a la presin superficial y a la tensin en la base, respectivamente.

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    Resistencia a fatiga Una vez determinadas las tensiones que se presentan en los dientes, se ha de proceder a continuacin a calcular las resistencias, frente a cada una de las solicitaciones, que presentan los mismos. Las normas presentan tablas con los lmites de fatiga para distintos tipos de acero, en funcin de su dureza brinell y sus caractersticas metalrgicas (tamao de grano, grado de nitruracin, etc.). Estos valores, que se designarn por Hlim y Flim para presin superficial y tensin en la base, respectivamente, estn referidos a una fiabilidad del 99% y a una duracin de 107 ciclos, que es donde, para los aceros empleados en la fabricacin de engranajes, se sita el lmite de duracin infinita. (ISO altera ligeramente ese lmite de 107 ciclos para duracin infinita, y lo sita en 3 106 ciclos, para la resistencia a la flexin en la base, y en un valor que oscila entre 2 106 ciclos para aceros nitrurados y 5 107 para aceros bonificados, para la resistencia a presin superficial; incluso AGMA sita el lmite de duracin infinita para flexin en los mismos 3 106 ciclos, pero los valores de las resistencias los tabula para 107). Como se dijo antes, estos valores de las resistencias estn concebidos como valores lmite de la tensin de contacto o de flexin con el fin de que puedan ser comparados directamente con los valores de las correspondientes tensiones. En realidad, aunque el resultado final sea el mismo, las cosas suceden de manera diferente. La presin de contacto aparece en el momento en que el contacto se produce en el punto considerado, y desaparece despus. Quiere decirse que los valores medio y alternante de la tensin son ambos la mitad de los calculados en el apartado anterior. Como adems la componente media es de compresin, no afecta al lmite de fatiga, lo que quiere decir que la resistencia que dan las tablas es en realidad el doble del valor de la misma si la carga fuese invertida que es el valor que se debe introducir en el diagrama de fatiga, pero como, por la misma naturaleza del fenmeno de contacto, la tensin nunca puede ser de traccin, lo mismo da comparar la componente alternante, que es la mitad de la mxima, con el valor real de la resistencia frente a carga invertida, que la tensin mxima, que es el doble de la alternante, con el doble del valor de la resistencia, que dan las tablas. Algo parecido ocurre con la tensin de flexin. La que se ha calculado antes es la mxima, pero sta aparece y desaparece, por lo que sus componentes media y alternante valdrn la mitad. En este caso, la componente media es de traccin, por lo que el lmite de fatiga real, si el material se comporta segn el criterio de Goodman y se supone que el lmite de fatiga es ms o menos el 50% de la resistencia ltima, sera, de acuerdo con la figura 5,

    lim

    limlim

    75.0 12

    22Fe

    e

    F

    e

    F

    SSS

    ==+ y si el material se comporta segn el criterio de Gerber

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    lim

    2limlim

    60.0 12

    22Fe

    e

    F

    e

    F

    SSS

    =

    +

    pero, al igual que en el caso anterior, ya sea uno u otro el criterio vlido lo mismo que si fuese cualquier otro posible el resultado final sera el mismo, ya que la tensin mxima y la tensin alternante pura equivalente estaran en la misma relacin que Flim y Se. Sin embargo, esto no ocurre si el diente se carga por los dos lados, situacin que se presenta en los engranajes intermedios, situados entre el pin y la rueda de una etapa. En este caso la tensin se invierte, y habra por tanto de ser comparada con el valor de Se, y no con el de Flim. Por esta razn, la norma recomienda reducir el valor de la resistencia al 70% del obtenido en tablas, que como se aprecia es un valor intermedio entre los dos anteriores, ni tan conservador como Gerber ni tan restrictivo como Goodman.

    Se Se Hlim/2 Hlim/2

    2Se 2Se Hlim/2 Hlim/2 Figura 5. Correccin de la resistencia a fatiga por inversin de carga.

    La primera correccin que ha de hacerse a estos valores es la de los factores de seguridad. Como se dijo antes, son valores introducidos por el diseador en prevencin de incertidumbres en los valores de la resistencia, y no tienen por que ser los mismos para la resistencia a presin superficial o a rotura en la base, si las incertidumbres se estiman diferentes, o si las consecuencias de ambos fallos son diferentes. Se designan por SH y SF, respectivamente, y puesto que han de tomar valores mayores que 1 como factores de seguridad que son, sus valores dividen a los de las correspondientes resistencias. La segunda correccin es debida a la fiabilidad. Todos los resultados de medidas de resistencias de fatiga tienen una dispersin, ms o menos modelizada mediante una distribucin de Weibull, que al final se traduce en un factor de fiabilidad KR, que aumenta a media que aumenta la fiabilidad requerida, y por tanto aparece dividiendo el valor de la resistencia. La tercera correccin es la de la duracin. Si en el diagrama de fatiga se dividen todos los valores de las resistencias por el de la resistencia para una duracin de 107 ciclos (que es la que dan las tablas, con las salvedades anteriores), puesto que los ejes son logartmicos, se obtiene una grfica exactamente igual, pero desplazada en sentido vertical una distancia igual al logaritmo de la resistencia de referencia. Esa grfica representa el mismo fenmeno, pero en lugar de leerse en su eje vertical los valores de

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    las resistencias, se leeran los valores de los nmeros por los que hay que multiplicar la resistencia para 107 ciclos, para obtener la resistencia para la duracin deseada. En consecuencia, ese diagrama as obtenido correspondera a un factor de correccin por duracin, o simplemente factor de duracin, que multiplicara a la resistencia para la duracin de referencia, dada por las tablas. Y eso es sencillamente lo que hacen las normas. La nica diferencia estriba en que, en este sentido, la norma AGMA es algo menos conservadora, y a la derecha de los 107 ciclos dibuja una recta no horizontal, sino ligeramente descendiente, aunque con una pendiente mucho ms suave que a la izquierda. Este factor de correccin es diferente para la presin superficial que para la tensin en la base, y se designa por ZN o YN, respectivamente. Una de las razones por las que los factores de duracin ZN e YN son diferentes es por el tipo de carga. En general ya se indic antes el lmite de fatiga ha de corregirse por tipo de carga. Pero en engranajes el tipo de carga es perfectamente conocido, de manera que su efecto se recoge en los valores de la resistencia y de los factores de correccin de la misma. Lo que ocurre es que, debido a ello, factores que intuitivamente deberan ser iguales para la flexin y la tensin de contacto, en la prctica no lo son. En cambio, s ha de tenerse en cuenta, como en el caso general, el efecto de tamao. ISO considera un factor de tamao distinto para presin superficial y para flexin, ZX e YX, respectivamente, que hace decrecer con el tamao, y por tanto toma en cuenta su efecto multiplicando la resistencia. AGMA los considera iguales, KS, y crecientes con el tamao, y por tanto dividiendo a la resistencia. Es de destacar que en las frmulas de la AGMA, KS aparece como multiplicador de la tensin. Ya se ve que el efecto es el mismo, pero parece que el tamao afecta ms bien a la resistencia que a la tensin. Por ello, y con el fin de uniformizar el planteamiento, aqu se considerar un factor KX=KS-1, que multiplicar a la resistencia. Especficamente para la resistencia a presin superficial, se ha de considerar otro efecto. Se ha comprobado que las transmisiones en las que la dureza superficial del pin es sensiblemente superior a la de la rueda, se comportan mejor que aqullas en las que la dureza es similar. Por ello, las normas introducen un factor de relacin de dureza, CH para AGMA y ZW para ISO, que aumenta el valor de la resistencia en el caso comentado. Finalmente, ISO introduce una serie de factores adicionales, que corrigen la resistencia cuando las condiciones de lubricacin, rugosidad y viscosidad para presin superficial y correccin de tensiones relativa, sensibilidad relativa a la muesca y rugosidad relativa para flexin difieren de aqullas que la norma tiene establecidas para los ensayos de determinacin de resistencias. Estos factores son el factor de lubricacin ZL, el factor de rugosidad ZR y el factor de velocidad ZV, para la resistencia a presin superficial, y el factor de correccin relativa de tensiones YS, el factor de sensibilidad relativa a la muesca YrelT y el factor de rugosidad relativa YRrelT, para flexin. Con ello se corrigen tambin efectos de temperatura, que AGMA, por su parte, tiene en cuenta mediante el factor de temperatura KT. Con todo lo anterior, las resistencias a presin superficial y a rotura en la base, o tensiones admisibles, segn cada una de las normas, vendrn dadas por

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    RrelTrelTSXNRF

    FF

    T

    XN

    RF

    FF

    VRLWXNRH

    HH

    T

    HXN

    RH

    HH

    yYYYYKS

    KKY

    KS

    ZZZZZZKS

    KCKZ

    KS

    limISOadm

    limAGMAadm

    limISOadm

    limAGMAadm

    =

    =

    =

    =

    Determinacin de la capacidad de transmisin Hasta aqu se han descrito los dos modelos de comportamiento a presin superficial y a flexin en la base segn las dos normas AGMA e ISO, siguiendo un procedimiento que se puede resumir en los siguientes pasos:

    Determinacin de las tensiones nominales 0, en funcin de la carga transmitida nominal Wt.

    Clculo de las tensiones de clculo afectando las tensiones nominales anteriores de los factores de correccin de la carga.

    Determinacin de las tensiones admisibles adm a partir de las resistencias de tablas y los factores de correccin de las resistencias.

    A partir de aqu, el clculo de la capacidad de transmisin se basa en la determinacin de la carga transmisible Wtadm valor de la carga transmitida que hace la tensin de clculo igual a la admisible, que ser directamente proporcional a la potencia transmisible, que es por definicin la capacidad de transmisin. Puesto que son dos los criterios que se estn manejando presin superficial y rotura en la base, se obtendrn dos valores de la carga transmisible: la carga transmisible por presin superficial y la carga transmisible por flexin en la base. Obviamente, la capacidad de carga vendr determinada por la menor de las dos. El procedimiento para la determinacin de la carga transmisible segn ambos criterios y segn ambas normas consistir en igualar la tensin de clculo a la tensin admisible correspondiente, y despejar la carga transmitida de la expresin obtenida. De este modo, la carga transmisible por presin superficial, segn la norma AGMA, vendr dada por

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    PMPCUI

    min

    212

    2

    lim

    AGMAadm

    lim

    PMPCUI

    min

    21AGMAadm

    11

    cos

    11

    cos

    +

    =

    =

    +

    c

    ttfmvAp

    tT

    HXN

    RH

    H

    Ht

    T

    HXN

    RH

    HfmvA

    c

    tt

    t

    Htp

    lCKKKC

    KCKZ

    KSW

    KCKZ

    KSCKKK

    lWC

    Anlogamente, la carga transmisible por presin superficial segn ISO ser

    cos

    11

    cos

    cos

    11

    cos

    PRPCUI212

    2

    lim

    ISOadm

    limPRPCUI21ISOadm

    ef

    ttHHvAp

    tVRLWXNRH

    H

    Ht

    VRLWXNRH

    HHHvA

    ef

    tt

    t

    Htp

    lKKKKC

    ZZZZZZKS

    W

    ZZZZZZKS

    KKKKl

    WC

    +

    =

    =

    +

    Y lo mismo para la carga transmisible por flexin en la base: segn AGMA

    PEXTPCUS2

    minlim

    AGMAadm

    lim

    PEXTPCUS2

    min

    AGMAadm

    tg6cos

    coscos

    tg6coscoscos

    =

    =

    sCshKKK

    lKKY

    KSW

    KKY

    KSKKKK

    sCsh

    lW

    nL

    hnLmvA

    btcT

    XN

    RF

    F

    Ft

    T

    XN

    RF

    FmvAf

    nL

    hnL

    btc

    Ft

    y segn ISO

    SnLFFvA

    btcRrelTrelTSXNRF

    F

    Ft

    RrelTrelTSXNRF

    FFFvASnL

    btc

    Ft

    YshKKKK

    lyYYYYKSW

    yYYYYKS

    KKKKYsh

    lW

    PEXTPCUS2

    minlim

    ISOadm

    lim

    PEXTPCUS2

    min

    ISOadm

    6cos

    coscos

    6coscoscos

    =

    =

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    Finalmente, la capacidad de transmisin se determina teniendo en cuenta que la potencia transmisible es igual al momento transmisible carga transmisible por radio primitivo multiplicado por la velocidad angular 11admadm pt rWP = Es frecuente en la prctica identificar la capacidad de transmisin con la potencia transmisible segn el ms restrictivo de los criterios normalmente el de presin superficial y expresar el otro en trminos de factor de seguridad ahora entendido como factor de carga, o lo que es lo mismo de potencia para la misma potencia transmisible.

    Referencias [1] G. Henriot, Engrenages, Dunod 7e ed., Pars, 1999. [2] G. Niemman, Tratado Terico-Prctico de Elementos de Mquinas, Labor,

    Barcelona, 1973. [3] T. J. Dolan, E. L. Broghamer, A Photoelastic Study of the Stresses in Gear Tooth

    Fillets, University of Illinois, Engineering Experiment Station Bulletin 335, 1942.

    [4] M. Arts, J. I. Pedrero, Computerized Graphic Method for the Analysis of Gear Design, Mechanism and Machine Theory, vol. 29, 1994.

    [5] C. Garca-Masi, Optimizacin del Diseo de Engranajes por Anlisis Paramtrico, Tesis Doctoral, UNED, Madrid, 1994.

    [6] J. I. Pedrero, M. Estrems, A. Fuentes, Determination of the Efficiency of Cylindric Gear sets, Proceedings IV World Congress on Gearing and Power Transmissions, Pars, 1999.

    [7] P. Lafont, Clculo de Engranajes Paralelos, Servicio de Publicaciones de la ETSII, Madrid, 1991.

    [8] AGMA Standard 2001-C95, Fundamental Rating Factors and Calculation Methods for Involute Spur and Helical Gears, American Gear Manufacturers Association, Alexandria, 1995.

    [9] ISO International Standard 6336, Calculation of Load Capacity of Spur and Helical Gears, International Organization for Standardization, Ginebra, 1996.

    [10] A. Cardou, G. V. Tordion, A Study of Spur Gear Geometry Factor Through Complex Potential Analysis, ASME Journal of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design, vol. 111, no. 2, 1989.

    [11] J. E. Shigley, L. D. Mischke, Diseo en Ingeniera Mecnica, McGraw-Hill 5 ed., Mejico, 1990.

    [12] J. Hertz, On the Contact of Elastic Solids, Miscellaneous Papers, Macmillan, 1896.

    [13] AGMA Information Sheet 908-B89, Geometry Factors for Determining the

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    Pitting Resistance and Bending Strength of Spur, Helical and Herringbone Gear Teeth, American Gear Manufacturers Association, Alexandria, 1989.

    [14] J. I. Pedrero, C. Garca-Masi, A. Fuentes, Theoretical Approach to Wear Stress Calculation for Involute Gear Teeth, Proceedings IX World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Miln, 1995.

    [15] M. Estrems, Modelo de Clculo a Presin Superficial de Engranajes Cilndricos de Perfil de Evolvente, Tesis Doctoral, Universidad de Murcia, Murcia, 1998.

    [16] J. I. Pedrero, M. Arts, A. Fuentes, Modelo de distribucin de carga en engranajes cilndricos de perfil de evolvente, Revista Iberoamericana de Ingeniera Mecnica, vol. 3, no. 1, 1999.

    [17] J. I. Pedrero, M. Arts, M. Pleguezuelos, C. Garca-Masi, A. Fuentes, Theoretical Model for Load Distribution on Cylindric Gears: Application to Contact Stress Analysis, AGMA Paper 99FTM15, American Gear Manufacturers Association, Alexandria, 1999.

    [18] E. J. Wellauer, A. Seireg, Bending Strength of Gear Teeth by Cantilever Plate Theory, ASME Journal of Engineering for Industry, vol. 82, 1960.

    [19] C. M. Rao, G. Muthuveerappan, Finite Element Modelling and Stress Analysis of Helical Gear Teeth, Computers and Structure, vol. 49, no. 6, 1993.

    [20] H. Von Eiff, K. H. Hischmann, G. Lechner, Influence of Gear Tooth Geometry on Tooth Stress of External and Internal Gears, Proceedings 1989 Power Transmissions and Gearing Conference, Ontario, 1989.

    [21] A. Fuentes, Modelo de Clculo a Flexin de Engranajes Cilndricos de Perfil de Evolvente, Tesis Doctoral, UNED, Madrid, 1996.

    MODELOS DE FALLO AFATIGA EN ENGRANAJESModelo general de fallo por fatigaModelo tensionalPresin superficialFlexin en la base