MD Solid Tesis

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA

ANALISIS DE PROBLEMAS DE

TRANSFORMACION DE ESFUERZO

PLANO CON MDSOLIDS

MONOGRAFIA

Que para obtener el ttulo de: INGENIERO MECNICO ELCTRICISTA

PRESENTA: LUIS MANUEL VALDEZ TEPETLA

DIRECTOR DE MONOGRAFIA:

ING. RODOLFO SOLORZANO HERNANDEZ

XALAPA, VER. JUNIO 2012

ndice

INTRODUCCIN ...................................................................................................................... 1

CAPTULO 1 ............................................................................................................................. 2 TRANSFORMACIN DE ESFUERZO PLANO ......................................................................................................................................................................... 2

CAPTULO 2 ............................................................................................................................. 6 ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZO CORTANTE MXIMO .............................................................................................................................................. 6

CAPTULO 3 ............................................................................................................................. 9 CRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO .................................................................................................................................................................... 9

CAPTULO 4 ............................................................................................................................ 13 MDSOLIDS .................................................................................................................................................................................................................. 13

CAPTULO 5 ............................................................................................................................ 29 ANLISIS DE PROBLEMAS SELECCIONADOS .................................................................................................................................................................... 29

COMENTARIOS FINALES ..................................................................................................... 41

BIBLIOGRAFA ....................................................................................................................... 42

Introduccin

Anlisis de problemas de transformacin de esfuerzo plano con MDSolids Pgina 1

Introduccin

La mecnica de materiales es un tema bsico en muchos

campos de la ingeniera, su objetivo principal es determinar los

esfuerzos, deformaciones unitarias y desplazamientos en

estructuras y en sus componentes, debido a las cargas que

actan sobre ellos. En el nivel universitario, particularmente en

el caso especfico del programa educativo en Ingeniera

Mecnica Elctrica de la Universidad Veracruzana, la mecnica

de materiales se ensea prcticamente al inicio de los estudios

de licenciatura, ya que como se ha dicho antes es un tema

bsico y necesario para los alumnos de las diversas reas de la

ingeniera.

Es importante tomar en cuenta que como en todos los cursos

de mecnica, la solucin de problemas es parte importante del

proceso de aprendizaje. Por tanto, al abordar la mecnica de

materiales el alumno deber estar consciente de que sus

estudios se dividirn en forma natural en dos partes: primero,

comprender el desarrollo lgico de los conceptos, y segundo,

aplicar esos conceptos a situaciones prcticas. Lo primero se

logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos, y

la segunda parte se logra resolviendo los problemas

propuestos. Los problemas que se trabajan en el curso pueden

ser de carcter numrico o de carcter simblico (algebraico).

El objetivo del presente trabajo es aportar un instrumento que

apoye el proceso de aprendizaje en lo que respecta a la

resolucin de problemas mediante la utilizacin de un software

educativo para estudiantes que toman los cursos del rea de la

mecnica de materiales, llamado MDSolids. El software

dispone de mdulos didcticos para el anlisis de diversos

tpicos de la mecnica de materiales, sin embargo, dentro de

los alcances de este trabajo se har uso del MDSolids

aplicndolo nicamente en la resolucin de problemas de

transformacin de esfuerzo plano, tema que se estudia como

parte del programa de la experiencia educativa Mecnica de

Materiales del programa educativo en Ingeniera Mecnica

Elctrica de la Universidad Veracruzana.

Transformacin de esfuerzo plano


Captulo 1 Transformacin de esfuerzo plano

La figura 1.1 muestra el estado ms general de esfuerzo en un

punto dado , el cual incluye seis componentes de esfuerzo,

tres de las cuales , y , definen los esfuerzos normales

ejercidos sobre las caras de un elemento cbico centrado en

y con la misma orientacin de los ejes coordenados y las otras

tres, , y , las componentes de de los esfuerzos

cortantes del mismo elemento.

Figura 1.1

En la figura 1.2 se observa el mismo estado de esfuerzos

mediante un conjunto diferente de componentes debido a que

se han girado los ejes.

Figura 1.2

En este captulo estudiaremos cmo se transforman las

componentes de los esfuerzos cuando se giran los ejes

coordenados.

El anlisis de transformacin de esfuerzos tratar

principalmente con el esfuerzo plano, es decir, una situacin en

la cual dos caras del cubo estn libres de esfuerzo, como se

aprecia en la figura 1.3.



Figura 1.3

Tal situacin ocurre en una placa delgada sometida a fuerzas

que actan en su plano medio (figura 1.4) o en la superficie libre

de un elemento estructural o elemento de mquina, es decir, en

cualquier punto de la superficie que no est sujeto a una fuerza

externa (figura 1.5).

Figura 1.4

Figura 1.5



A continuacin aprenderemos a determinar el comportamiento

de las componentes de esfuerzo , y asociadas con el

elemento mostrado en la figura 1.6(a) despus de que ha girado

un ngulo alrededor del eje , es decir, las componentes de

esfuerzo , y asociadas con el elemento mostrado en

la figura 1.6(b).

Figura 1.6

Consideremos el elemento prismtico de la figura 1.7, cuyas

caras son perpendiculares a los ejes , y , y apliquemos la

primera condicin de equilibrio sumando las componentes de

fuerza a lo largo de los ejes y .

Figura 1.7



Resolviendo la primera ecuacin para y la segunda para

, se tiene:

y

Podemos simplificar las ecuaciones anteriores si utilizamos las

siguientes relaciones trigonomtricas:

Sustituyendo adecuadamente las identidades trigonomtricas

en las ecuaciones de y , tenemos que:

La expresin para el esfuerzo normal se obtiene

reemplazando en la ecuacin de , por el ngulo

que el eje forma con el eje , y por tanto:

Como y ,

podemos verificar que la suma de los esfuerzos normales

ejercidos sobre un elemento cbico de material es

independiente de la orientacin del elemento.

Esfuerzos principales y esfuerzo cortante mximo


Captulo 2 Esfuerzos principales y esfuerzo

cortante mximo

Las ecuaciones obtenidas en el captulo anterior son las

ecuaciones paramtricas de un crculo, esto significa que si

escogemos un sistema de ejes rectangulares y se grfica un

punto de coordenadas para cualquier valor de los

puntos as obtenidos estarn situados en un crculo. La figura

2.1 representa un crculo de radio cuyo centro se ubica en el

punto de coordenadas .

Figura 2.1

Los puntos y , donde el crculo interseca el eje horizontal,

son de especial inters, ya que corresponden al valor mximo y

mnimo del esfuerzo normal , respectivamente. Observe que

en ambos puntos el esfuerzo cortante es cero.



Los valores de del parmetro que corresponden a los

puntos y pueden obtenerse haciendo en la

segunda ecuacin obtenida en el captulo anterior.

Esta ecuacin define dos valores que difieren en 180 y, y

por tanto, dos valores que difieren en 90. Cualquiera de

estos dos valores puede usarse para determinar la orientacin

del elemento correspondiente (figura 2.2).

Figura 2.2

Los planos que contienen las caras del elemento obtenido se

llaman planos principales de esfuerzo en el punto , y los

valores correspondientes y del esfuerzo normal

ejercido sobre estos planos son los esfuerzos principales en .

No hay esfuerzo cortante en los planos principales.

Haciendo referencia nuevamente al crculo de la figura 2.1,

observe que los puntos y , localizados en el dimetro

vertical del crculo, corresponden al mayor valor numrico del

esfuerzo . La abscisa de los puntos y es . Los

valores de del parmetro que corresponden a los puntos

y pueden obtenerse haciendo en la primera

ecuacin obtenida en el capitulo anterior.

Esta ecuacin define dos valores que difieren en 180 y, y

por tanto, dos valores que difieren en 90. Cualquiera de



estos dos valores puede usarse para determinar la orientacin

del elemento correspondiente al esfuerzo cortante mximo

(figura 2.3).

Figura 2.3

Al observar en la figura 2.1 notamos que el valor mximo del

esfuerzo cortante es igual al radio del crculo.

El esfuerzo normal correspondiente a la condicin de esfuerzo

cortante mximo es:

Es importante destacar lo siguiente:

Los planos de esfuerzo cortante mximo estn a 45 de

los planos principales.

Se debe estar consciente de que el anlisis sobre la

transformacin de esfuerzo plano se ha limitado a las

rotaciones en el plano de esfuerzo.

Crculo de Mohr para esfuerzo plano


Captulo 3 Crculo de Mohr para esfuerzo

plano

El crculo usado en el captulo anterior para obtener algunas de

las ecuaciones bsicas relativas a la transformacin de un

esfuerzo plano lo introdujo el ingeniero alemn Otto Mohr (1835

1918) por lo que se le conoce como crculo de Mohr para

esfuerzo plano. Este crculo (figura 3.1) puede utilizarse como

mtodo alternativo de solucin en problemas de transformacin

de esfuerzo plano. Este mtodo se basa en consideraciones

geomtricas simples y no requiere el uso de ecuaciones

especializadas. Aunque fue diseado para obtener soluciones

grficas, se puede aplicar muy bien empleando una

calculadora.

Figura 3.1

Figura 3.2



A continuacin se describir el procedimiento para dibujar el

crculo de Mohr de la figura 3.1. Para ello, consideremos un

elemento cuadrado de un material sometido a esfuerzo plano

cuyas componentes de esfuerzo se ilustran en la figura 3.2:

1. Trace un sistema de ejes rectangulares, el eje de las

abscisas corresponder a y el de las ordenadas a .

2. Dibuje un punto de coordenadas y un punto

de coordenadas . Si es positivo, como se

supone en la figura 3.2, el punto est situado debajo

del eje y el punto encima.

3. Una los puntos y con una lnea recta y en la

interseccin de la lnea y con el eje se identifique el

punto que define la posicin del centro del crculo. La

lnea es el dimetro del crculo.

4. Dibuje el crculo con centro en y dimetro .

Las abscisas de los puntos y , en donde el crculo (figura

3.1) interseca el eje , representan respectivamente los

esfuerzos principales y en el punto considerado. El

ngulo es igual en magnitud a uno de los ngulos , as

pues, el ngulo que define la orientacin del plano principal

(figura 3.2) correspondiente al punto (figura 3.1) puede

obtenerse dividiendo por la mitad al ngulo medido en el

crculo de Mohr. Observe que si y , como es el

caso que se representa en las figuras 3.1 y 3.2, la rotacin de

hacia es en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Por tanto, el sentido de rotacin en ambas figuras es el mismo.

Figura 3.3



El crculo de Mohr est definido en forma nica, por lo que el

mismo crculo puede obtenerse considerando las componentes

, y , correspondientes a los ejes y de la figura

3.3.

Figura 3.4

En la figura 3.4 se identifican los puntos y

localizados en el crculo de Mohr y el ngulo

debe ser el doble del ngulo de la figura 3.3. Por otra

parte, en la figura 3.4 el ngulo es el doble del ngulo

de la figura 3.3. Se observa que la rotacin que hace

coincidir el dimetro con el dimetro en la figura 3.4, tiene

igual sentido que la rotacin que superpone los ejes a los ejes

en la figura 3.3.

La propiedad que acaba de indicar puede usarse para verificar

el hecho de que los planos de esfuerzo cortante mximo estn

a 45 de los planos principales (figura 3.5).

Figura 3.5



Figura 3.6 Crculo de Mohr para carga axial concntrica

Figura 3.7 Crculo de Mohr para carga de torsin

0, xyyxA

P

A

Pxyyx

2

J

Tcxyyx 0

0 xyyxJ

Tc

MDSolids


Captulo 4 MDSolids

MDSolids es un software educativo (en idioma ingls) para

estudiantes de los cursos del rea de la mecnica de

materiales, disciplina bsica de la mecnica aplicada en

diversos programas de ingeniera. El software dispone de

mdulos didcticos para anlisis de vigas estticamente

determinadas, miembros en torsin, columnas, estructuras

sujetas a carga axial, armaduras, propiedades de secciones

transversales, y el crculo de Mohr, incluyendo el anlisis de las

transformaciones de esfuerzo.

La idea que plantea MDSolids es que el estudiante obtenga una

mayor compresin de los problemas y que el docente tenga una

herramienta ms para apoyar al alumno en la resolucin de

ciertos casos los cuales, en ocasiones, no pueden ser

explicados de manera clara y concisa.

El software puede ayudar a desarrollar el problema que

soluciona, proporcionando a los estudiantes una interface

intuitiva que los dirige a los factores importantes que inciden en

varios tipos de problema, les ayuda a visualizar la naturaleza de

esfuerzos internos y deformaciones, y proporciona un medio

fcil de usar y de investigar un nmero mayor de problemas y

variaciones. Basado en esta premisa, MDSolids fue

desarrollado con varios objetivos:

VERSATILIDAD

MDSolids tiene rutinas que pertenecen a todos los aspectos

enseados en un curso tpico de mecnica de materiales. Estas

rutinas son agrupadas en doce mdulos, similares a captulos

que pertenecen a una amplia gama de problemas de los textos

comunes disponibles actualmente. Dentro de los mdulos, cada

rutina soluciona los tipos de problemas clsicos de la mecnica

de materiales. El alcance de MDSolids ofrece rutinas para

ayudar a estudiantes en todos los niveles de comprensin,

ayudndole a resolver desde problemas de aplicacin hasta

problemas ms complejos que requieren el anlisis y la sntesis.

FACILIDAD DE ENTRADA

La facilidad de entrada es un aspecto esencial en el concepto

MDSolids. La solucin de problemas de mecnica de materiales

confunde bastante a los estudiantes. El estudiante debera ser

capaz de definir un problema por intuicin y directamente de un

libro sin la necesidad del manual de usuario. MDSolids,

MDSolids


proporciona seales grficas para dirigir a usuarios en la

entrada de datos. Las ilustraciones fcilmente pueden ser

ajustadas de modo que la pantalla introducida se vea muy

similar a la ilustracin del libro.

COMUNICACIN VISUAL

En cada rutina MDSolids destaca un cuadro, el bosquejo y el

argumento que grficamente representa los aspectos

importantes del problema. Los bosquejos son usados para

mostrar la direccin de esfuerzos internos, cargas aplicadas, y

reacciones.

EXPLICACIONES A BASE DE TEXTO

Muchos de los mdulos MDSolids proporcionan explicaciones

suplementarias para describir en palabras cmo son realizados

los clculos. Estas explicaciones pueden ayudar a los

estudiantes a desarrollar los procesos usados en la solucin de

problemas de la mecnica de materiales. Las explicaciones de

texto son dinmicas y sensibles a contexto, adaptadas al

problema particular en trminos de los valores y del sistema de

unidades del problema. Errores comunes en ecuaciones de

equilibrio y manipulaciones de ecuacin se corrigen cuando un

estudiante compara clculos de la mano con las explicaciones

de MDSolids.

CARCTERSTICAS

MDSolids ofrece opciones grficas al usuario para todos los

datos requeridos o unidades. En el dibujo de la fuerza

transversal y diagramas de momento, por ejemplo, el usuario

puede pulsar sobre un cuadro de una flecha y entrar en la

magnitud de la carga para definir una carga de punto hacia

abajo vertical.

En la mayora de los casos, cuatro unidades comunes (dos del

sistema ingls y dos del sistema internacional) son aseguradas

en cada variable. Por ejemplo, la tensin puede ser calculada

en psi, ksi, kPa, o MPa. El usuario es libre de mezclar las

unidades de cualquier modo deseado. Por ejemplo, la seccin

transversal de una viga podra ser definida en milmetros, su

longitud en pulgadas, un diagrama de momento flexionante en

kNm, y presentar el esfuerzo de flexin en psi.

Todas estas opciones para fuerzas y unidades son hechas

simplemente pulsando los botones apropiados sobre las formas

mostradas. Los conceptos de mecnica de materiales son

MDSolids


bastante difciles sin aadir la confusin sobre convenciones de

signo y sistemas de unidades.

El software est escrito en Visual Basic para correr en el

entorno de Windows, requiere resolucin SVGA (800 x 600) y

para correrlo es suficientemente un ordenador 486-33MHz, pero

es recomendable emplear un equipo ms rpido para obtener

una mayor visualizacin de los grficos.

Figura 4.1 - Pantalla principal de MDSolids (Mdulos de MDSolids)

MODULOS

Problem Library

Contiene rutinas diseadas para doce tipos comunes de los

problemas frecuentemente utilizados para introducir los

conceptos de esfuerzo y deformacin (figura 4.1). Para cada

tipo de problema, la rutina incluye preguntas tpicas las cuales

son relativas a la estructura, variaciones comunes (como el

corte doble o cortante simple) y una imagen o dibujo que

describe la geometra del problema

Figura 4.2 Men mdulos de MDSolids

MDSolids


Despus de que el estudiante hace clic en el botn compute, la

rutina prepara una explicacin detallada del enfoque que se

debe tomar para resolver el problema con los datos de entrada

suministrados por el usuario y las unidades.

Por ejemplo, la rutina de la viga y el puntal se dedica a un grupo

de problemas que comnmente se utiliza para introducir los

conceptos de esfuerzo y deformacin. Estos problemas

incluyen una viga que se fija en un extremo y con el apoyo de

una barra o puntal en el otro extremo. A menudo, estos

problemas requieren especificar el dimetro de los pernos y sus

configuraciones, ya sea de corte simple o doble en las

conexiones. El estudiante puede ser requerido para determinar

la capacidad de la estructura teniendo en cuenta el esfuerzo

normal permisible en el puntal y los esfuerzos de corte en las

conexiones. Un problema de la viga y el puntal, en cualquier

configuracin, puede ser resuelto por este mdulo.

Trusses

Armaduras estticamente determinadas pueden ser analizadas

las fuerzas internas axiales. La entrada de datos es grfica y

slo requiere la definicin mnima por parte del usuario. Las

dimensiones de la armadura son establecidas creando una

cuadrcula definida por el usuario de los puntos de nodo (figura

4.3). Los miembros de la armadura son definidos con el mouse

al dibujar las lneas que conectan los nodos deseados. El

software comprueba los miembros a medida que son definidos

para garantizar que los supuestos de idealizacin de armadura

estn satisfechos (por ejemplo, los miembros conectados slo

en las articulaciones). Los apoyos y cargas tambin son

definidos con movimientos del mouse. Los controles de

software permiten al menos a tres limitaciones de apoyo y de

aceptar cargas slo en las articulaciones.

Figura 4.3 Armadura estticamente determinada

MDSolids


El etiquetado de las uniones se realiza automticamente. Los

ngulos de los miembros de la armadura se calculan y se

muestran cuando la armadura es creada. Los resultados del

anlisis se muestran sobre la armadura. Los miembros de

tensin, de compresin y de fuerza cero son indicados cada

uno por un color diferente.

Opcionalmente, los esfuerzos normales pueden ser calculados

para los miembros de la armadura, o dado un lmite de

esfuerzos, el rea de la seccin transversal requerida para cada

miembro puede ser calculada a partir de los resultados del

anlisis de armadura.

Indet Axial

En este mdulo se consideran estructuras estticamente

indeterminadas sujetas a carga axial compuestas por dos

miembros (figura 4.4). Problemas de ste tipo son por lo

general los que se indican en las siguientes variaciones:

miembros coaxiales, miembros de extremo a extremo con una carga

aplicada en la unin, miembros de extremo a extremo con una

separacin entre los dos y sujetos a una variacin de temperatura,

miembros de extremo a extremo con un desajuste entre ellos que se

cierra antes de aplicar una carga a la estructura, dos miembros

axiales conectados a una barra fija rgida que gira, y, un cerrojo que

pasa por una manga con una tuerca que es apretada.

1.

Figura 4.4 Una de las pantalla del mdulo indet axial

Torsion

La torsin de elementos con seccin transversal circular es

considerada por el software MDSolids. Cuatro opciones

MDSolids


diferentes de miembros sujetos a torsin estn disponibles. El

usuario puede definir un miembro en torsin simple (por

ejemplo, un eje con un momento de rotacin). ste eje se

muestra como una representacin en tres dimensiones. Una

cuadrcula se sobrepone en el eje para ilustrar la torsin

producida por un momento de rotacin (figura 4.5). La

perspectiva del dibujo es variable de modo que el usuario

pueda observar el eje desde varios puntos de vista.

Figura 4.5 - Torsin simple

Opcionalmente, una fuerza axial tambin puede ser

considerada en el problema, y si el eje es una forma de tubular,

los efectos de la presin pueden ser incluidos. Esto permite a

problemas con carga axial y efectos de torsin ser

considerados.

Los clculos de crculo de Mohr tambin pueden ser iniciados

desde esta opcin de torsin. Los valores estndar para los

mdulos de corte estn disponibles para el usuario simplemente

pulsando sobre el material deseado en un men desplegable.

Dos opciones de torsin toman en cuenta los problemas de

transmisin de potencia. Una de estas opciones considera un

solo eje conectado a un motor mientras que la segunda opcin

considera un eje de potencia unido por engranajes a un eje

simple.

La opcin de eje de potencia simple, figura 4.6, tambin incluye

un motor animado y el movimiento de engranaje con

reguladores simulados de modo que los usuarios puedan

observar los efectos producidos por el cambio de alimentacin

del motor, la velocidad, o relacin de engranaje.

MDSolids


Figura 4.6- Transmisin de potencia

Cada una de estas tres opciones tiene un ejercicio de formato

de definicin flexible. El usuario introduce las variables

conocidas y el software soluciona para el resto de las variables.

El software incluye explicaciones adicionales que describen el

procedimiento especfico que debera ser usado para solucionar

cada problema.

Una cuarta opcin de torsin considera un solo eje con

mltiples momentos de torsin. Esta opcin produce un

diagrama de momento de torsin, un diagrama esfuerzo

cortante y un diagrama de ngulo de giro (figura 4.7).

Figura 4.7 - Eje de torsin con mltiples torques

MDSolids


Determinate Beams

El usuario puede definir a cualquier viga estticamente

determinada simplemente apoyada, con voladizo simple o doble

y empotrada. Las cargas que pueden aplicarse a las vigas

incluyen carga puntual, uniformemente distribuida, linealmente

variable y momentos de flexin (figura 4.8).

Figura 4.8 - Modulo de vigas estticamente determinadas

Los iconos mostrados en un formato de barra de herramientas

permiten a los usuarios seleccionar la carga deseada sin

necesidad de la consideracin de una convencin de signos.

Figura 4.9 Diagramas de fuerza cortante y momento flector

MDSolids


Los diagramas, figura 4.9, que muestran la fuerza cortante,

momento flexionante, pendiente y deflexin son dibujados

inmediatamente despus de la entrada de una carga. Esto

permite al usuario ver el efecto de cada carga al ser aadida.

MDSolids incluye explicaciones adicionales que describen:

1) La forma de configurar las ecuaciones de equilibrio

necesario para resolver las reacciones de la viga,

2) cmo las fuerzas concentradas y momentos afectan a la

fuerza de corte y diagramas de momento, y

3) la forma de calcular el rea en cada parte del diagrama de

fuerza cortante, como encontrar puntos de cero en fuerza

cortante, y como construir el diagrama de momento a partir

del diagrama de fuerza cortante.

Las cargas se pueden introducir, ya sea para anlisis sin factor

de carga o con factor. Las cargas sin factor se utilizan en la

filosofa de diseo por esfuerzo permisible habitualmente

encontrada en los textos de la mecnica de materiales. Las

cargas con factor se utilizan en el diseo por resistencia para

estructuras de acero y hormign. Tres combinaciones de carga

estn disponibles: 1.4D, 1.2D + 1.6L, y 1.4D + 1.7L.

Con el mouse, el usuario puede pulsar en una posicin

especfica sobre el diagrama de carga y obtener la fuerza

cortante, momento, pendiente o la deflexin en ese punto.

Flexure

Si una seccin transversal se define, el software puede mostrar

la forma de la seccin transversal y trazar la distribucin de

cualquier esfuerzo normal o cortante, los cuales varan en la

profundidad de la seccin (figura 4.10). El software incluye una

pestaa desplegable en la que los usuarios puedan indicar una

posicin especfica en la profundidad de la seccin transversal y

muestra los valores de esfuerzo normal y cortante calculados

para ese punto. En el clculo del esfuerzo cortante, el valor de

Q tambin se calcula para la posicin elegida por el usuario.

Las distribuciones de esfuerzo se trazan y algunos ejercicios

especficos pueden ser calculados para secciones transversales

compuestas. Adems, las fuerzas axiales en la seccin

transversal tambin pueden ser consideradas de modo que las

cargas combinadas puedan ser analizadas.

MDSolids


Figura 4.10 - Diversas pantalla del modulo de flexin

El usuario puede definir esfuerzos admisibles para que la fuerza

axial admisible, la fuerza cortante y el momento flexionante

puedan ser calculados. Los estudiantes que lo requieran podrn

resolver ejercicios de diseo de vigas para calcular el tamao

de viga necesaria. La flexin de formas asimtricas puede ser

considerada.

Section Properties

Los mens permiten al usuario calcular las propiedades de la

seccin transversal de 19 figuras genricas diferentes. Las

formas generales que se incluyen son: I, T, C, L, Z", caja,

circular slida, tubular y las formas rectangulares. Tambin se

incluyen formas dobles I, T, C y L.

Los botones de visualizacin permiten al usuario hacer girar la

forma a la orientacin deseada. Por ejemplo, una forma de T se

puede girar de modo que el tallo de la T seale hacia arriba.

Esta caracterstica permite a los usuarios hacer coincidir

exactamente con lo planteado en el ejercicio particular que se

est analizando.

Las propiedades de la seccin calculada incluyen: localizacin

del centroide, momento de inercia, mdulo de seccin, radio de

MDSolids


giro, mdulo plstico, momento polar de inercia y, momentos

mximos y mnimos de inercia. La forma de la seccin

transversal se vuelve a dibujar a escala y se muestran los ejes

centroidales.

Figura 4.11 - Modulo propiedades de la seccin

El mdulo de elasticidad de la seccin se puede introducir

directamente o el usuario puede seleccionar de una lista de

materiales comunes. Por ejemplo, el usuario simplemente

podra pulsar sobre " el Aluminio 6061-T6 " y el software

recuperar un valor de 10,000,000 de psi para el mdulo de

elasticidad.

Las propiedades de seccin tambin pueden ser calculadas

para reas transversales compuestas. Dos materiales

diferentes pueden ser seleccionados y asignados a las partes

deseadas de las secciones transversales. Para las secciones

transversales compuestas, los resultados se dan en trminos

del mtodo de rea transformada para posibles

transformaciones.

MDSolids incluye las dimensiones y propiedades seleccionadas

por el American Institute of Steel Construction (AISC) de una

lista de perfiles de acero estndar, en denominaciones usuales

de los sistemas ingls (US) y mtrico (SI).

En cada anlisis de seccin transversal el programa genera una

tabla con los parmetros calculados, que incluyen:

1) centroide y momentos de inercia,

2) eje neutro (y/o plano neutro) y mdulo de la

seccin, y

3) producto de inercia.

MDSolids


Para las reas compuestas, el centroide y el momento de

inercia estn calculados con la conversin del material A en el

material B y viceversa. Los clculos de propiedades de seccin

actan recprocamente tanto con la viga, la flexin, como con la

rutina de columna.

Columns

Los clculos de columnas se basan en la frmula de pandeo de

Euler:

MDSolids muestra dos vistas de pandeo (figura 4.12), del eje

fuerte y el eje dbil, con las vistas de corte transversal

correspondientes para cada columna. Cualquier condicin de

soporte en los extremos de la columna (articulado, fijo,

empotrado y libre) puede ser seleccionada para uno u otro

extremo de la columna. La carga crtica de pandeo y el esfuerzo

son calculados por el software, que adems, muestra la

direccin del pandeo de la columna.

Figura 4.12 - Mdulo de pandeo de columnas

El usuario tambin puede agregar soportes intermedios en

cualquier direccin que se pueden colocar en cualquier posicin

entre los apoyos de los extremos. Un grfico de esfuerzo crtico

contra la relacin de esbeltez se muestra y los resultados de las

dos direcciones de pandeo se indican sobre la curva.

Opcionalmente, el usuario puede definir el lmite de elasticidad

del material y/o el lmite de proporcionalidad de modo que el

pandeo de Euler pueda ser evaluada.

MDSolids


Se pueden realizar diseos de columnas utilizando el acero

estndar, el aluminio y/o madera.

Figura 4.13 - Diseo de columnas

Mohrs circle

El anlisis del crculo de Mohr para esfuerzo plano y los

momentos de inercia estn disponible en MDSolids. Los

esfuerzos normales en las direcciones y son especificados

en trminos de tensin o compresin y no como un nmero

positivo o negativo. El esfuerzo cortante se define en el sentido

de las manecillas del reloj o en sentido contrario sobre la cara

positiva del elemento de esfuerzos. Un diagrama de orientacin

aparece para mostrar el resultado de las condiciones de

esfuerzo segn lo especificado por el usuario.

El crculo de Mohr se dibuja, etiquetando los puntos que

corresponden a la orientacin de los ejes y del elemento de

esfuerzos. Se dibujan planos de esfuerzos separados para

indicar la orientacin de los esfuerzos principales en relacin

con el sistema de coordenadas , as como la orientacin del

esfuerzo cortante mximo.

Los diagramas de los estados de esfuerzos dan a los usuarios

una clara representacin visual de la orientacin o direccin de

rotacin del estado de esfuerzos para representar los planos de

esfuerzos principales y de esfuerzo cortante mximo. Los

esfuerzos en cualquier orientacin arbitraria pueden ser

obtenidos a partir del diagrama de un plano de esfuerzos

ubicado en el interior de un transportador que permite al usuario

obtener los valores correspondientes en cualquier orientacin

arbitraria con simplemente un clic del ratn.

MDSolids


Los clculos del crculo de Mohr se pueden obtener tanto desde

el mdulo de vigas estticamente determinadas como de las

partes del mdulo de miembros de torsin de MDSolids. Los

datos de planos de esfuerzos combinados automticamente

son suministrados desde estas rutinas al clculo de crculo de

Mohr. Los clculos de esfuerzo plano se pueden obtener a

partir de los datos de deformacin normal y cortante.

Figura 4.14 - Mdulo de transformacin por crculo de Mohr

Dos tipos de galgas extensmetricas, rectangulares y en delta,

que pueden ser analizadas en este modulo (figura 4.15).

Los momentos principales de inercia pueden ser calculados a

partir de los momentos de inercia en torno a dos ejes

ortogonales ms el producto de inercia.

Figura 4.15 - Mdulo de transformacin por crculo de Mohr (galgas extensmetricas)

MDSolids


Combined Loading

Figura 4.16 - Mdulo de cargas combinadas

Pressure Vessels

Figura 4.17 - Mdulo de recipientes a presin

MDSolids


General Analysis, Axial Torsion, Beams

En este mdulo se consideran estructuras axiales

estticamente determinadas e indeterminadas, ejes y vigas.

Figura 4.18 - Mdulo de anlisis general

Anlisis de problemas seleccionados


Captulo 5 Anlisis de problemas

seleccionados

En este captulo se presenta una seleccin de problemas de

elementos cargados axialmente (tomados del libro de texto

Mec nica de Materiales, 5. edicin de Ferdinand P. Beer, E.

Russell Johnston, Jr., John T. DeWolf y David F. Mazurek,

editorial McGraw-Hill) cuya solucin puede realizarse con la

ayuda del MDSolids.

Figura 5.1 - MDSolids documentos de ayuda

Es conveniente hacer mencin que para poder implementar el

software en la resolucin de los ejercicios, stos deben

adaptarse a las caractersticas de las rutinas disponibles que

han sido diseadas para problemas tipo de algunas ediciones

de textos clsicos de mecnica de materiales.

Para consultar el listado de ejercicios abra el programa y haga

clic en MDSolids Help Documents (Figura 5.1). En la ventana

de la figura 5.1, seleccione MDSolids Navigator y haga clic en el

botn Open y se abrir como en la figura 5.2 (a). El MDSolids

Navigator tiene la intencin de ayudarle a utilizar MDSolids en

el contexto del estudio de la mecnica de los materiales. Usted

encontrar una serie de libros de texto que figuran en la tabla

de contenidos (figura 5.2 (b)).

Abra el libro que corresponde a su libro de texto de clase y

encontrar una lista de problemas que pueden ser resueltos y

explicados por MDSolids. Haga clic en un nmero de problemas

y el MDSolids Navigator le mostrar una breve descripcin de

los pasos que debe realizar para resolver el problema con la

ayuda del software.



(a)

(b)

Figura 5.2 - MDSolids Navigator

En el caso de que la edicin del libro de texto que utiliza en su

curso no corresponda a la especificada por el programa deber

elegir problemas similares a los que se enlistan, por lo que sera

conveniente contar con un ejemplar de ambas ediciones para

realizar la comparativa.

Esperando que estas notas sirvan de apoyo a los estudiantes

del curso de las experiencias educativas del rea de la

mecnica de materiales en lo concerniente al anlisis de

problemas de transformacin de esfuerzo plano, a continuacin

se presenta una seleccin de ejercicios resueltos aplicando el

MDSolids.



Problema 1

7.23 Se aplica una fuerza de 19.5 kN en el punto D del poste de

hierro fundido que se muestra en la figura. Si se sabe que el

poste tiene un dimetro de 60 mm, determine los esfuerzos

principales y el esfuerzo cortante mximo en el punto H.

7.24 Se aplica una fuerza de 19.5 kN en el punto D del poste de

hierro fundido que se muestra en la figura (figura 5.3). Si se

sabe que el poste tiene un dimetro de 60 mm, determine los

esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo en el punto

K.

Figura 5.3 Problema 1 (7.23 y 7.24)

Solucin con MDSolids:

Previo a la apicacin del software, es necesario establecer el

sistema equivalente fuerza par en la seccin transversal que

contiene a los puntos H y K.

Si observamos la figura 5.3, la fuerza aplicada se representa

con el vector:

El par lo definimos de la siguiente manera:

Por tanto, el sistema equivalente fuerza par en dicha seccin

es:



(a)

(b)

Figura 5.4

Observe que la figura 5.4(a) se obtiene al rotar a la figura 5.3 de

tal manera que la podemos hacer coincidir con la figura que

presenta MDSolids en el mdulo de cargas combinadas

(Combined Loadings Module) con la configuracin eje slido

doblado a la izquierda (Solid Shaft Bend Left) como se aprecia

en la figura 5.4(b). Los puntos H y K de la figura original del

problema que estamos analizando estn representados por los

puntos A y D en la figura 5.5, la longitud que se representa

sobre el eje corresponde a la ubicacin de la seccin

transversal que contiene a los puntos H y K. Tome en cuenta

que debido a la rotacin que le dimos a la figura debemos

adaptar la direccin de las componentes de la fuerza aplicada

como se muestra en la figura.

Figura 5.5



Propiedades de la seccin transversal del poste:

Para el punto H (representado por A en la figura 5.6); los

subndices en las siguientes ecuaciones corresponden a la

figura original del problema.

Como puede observarse los valores de esfuerzo normal y

esfuerzo cortante para el plano de esfuerzos correspondiente al

punto H corresponde a los del punto A de la figura 5.6. A

continuacin abrimos el mdulo de crculo de Mohr (Mohrs

Circle), capturamos los valores calculados y hacemos clic en los

botones compute y details para obtener la pantalla mostrada en

la figura 5.7.

Figura 5.6

Figura 5.7



Tanto en la figura 5.6 como en la figura 5.7 podemos observar

el valor de los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante

mximo, adems en la figura 5.7 se despliegan un par de

figuras que representan la orientacin del plano de esfuerzos

principales y el plano de esfuerzo cortante mximo.

; ;

Para el punto K (representado por D en la figura 5.8); los

subndices en las siguientes ecuaciones corresponden a la

figura original del problema.

Con los valores calculados, nuevamente vamos al mdulo de

crculo de Mohr, y obtenemos la pantalla mostrada en la figura

5.9.

; ;

Figura 5.8

Figura 5.9



Problema 2

7.31 Para el estado de esfuerzo dado, determine a) los planos

principales, b) los esfuerzos principales. Utilice el crculo de

Mohr para resolver este problema.

Figura 5.10 Problema 1 (7.31)


Abrimos MDSolids y en la pantalla principal seleccionamos

MDSolids Help Documents, damos clic en MDSolids Navigator,

elegimos Beer, Johnston, and DeWolf, 3rd Edition y

seleccionamos la rutina Prob. 7.31 thru 7.40, como se muestra

en la figura 5.11. En la figura 5.12 se tiene el procedimiento que

seguiremos en la solucin de este problema y en la figura 5.13

se muestra la pantalla donde se indican los valores de solucin.

Figura 5.11

Figura 5.12



Figura 5.13

a) ; b) ,

Problema 3

7.55 Determine los planos principales y los esfuerzos principales para el estado de esfuerzo plano resultante de la superposicin de los dos estados de esfuerzo que se muestran en la figura.



En problemas como este de superposicin de estados de esfuerzo plano, podemos auxiliarnos con el software de la siguiente manera. En primer lugar abriremos el mdulo de crculo de Mohr y supondremos que en el segundo plano de esfuerzos de la figura

5.14 se tiene un , capturamos este dato, hacemos clic en los botones Compute y Details, a continuacin haremos girar 30 en sentido de las manecillas del reloj al estado de esfuerzos, vase la figura 5.15.



Figura 5.15

Ahora, haremos la superposicin del primer estado de esfuerzos de la figura 5.14 y los valores obtenidos en la figura 5.15 para la orientacin de -30 del segundo de los estados de esfuerzo.

Introducimos los valores anteriores al mdulo de crculo de Mohr para obtener los valores de solucin que pide el problema.

Figura 5.16

De la figura 5.16 se tiene que:

y

,



Problema 4

7.68 Para el estado de esfuerzo plano ilustrado en la figura,

determine el esfuerzo cortante mximo cuando a) ,

b) . (Sugerencia: Considere los esfuerzos

cortantes en el plano y fuera de ste)






seleccionamos la rutina Prob. 7.66 thru 7.68, como se muestra

en la figura 5.18 en la cual se muestra el procedimiento que

seguiremos en la solucin de este problema y en la figuras 5.19

y 5.20 se muestran las pantallas donde se indican los valores

de esfuerzo cortante mximo absoluto.

Figura 5.18

Figura 5.19 -



Figura 5.20 -

Problema 5

7.120 Un par de torsin de magnitud de se aplica

en el extremo de un tanque que contiene aire comprimido bajo

una presin de 8 MPa. Si el tanque tiene 180 mm de dimetro

interno y 12 mm de espesor de pared, determine el esfuerzo

normal mximo y el esfuerzo cortante mximo en el tanque.






seleccionamos la rutina Prob. 7.118, como se muestra en la

figura 5.22 en la cual se muestra el procedimiento que

seguiremos en la solucin de este problema.



Figura 5.22

Figura 5.23 Mdulo de torsin (torsin simple)

Figura 5.24 Mdulo de crculo de Mohr

Del anlisis por torsin simple (figura 5.23) y del anlisis de

transformacin de esfuerzo plano por crculo de Mohr (figura

5.24), se concluye que los valores de los esfuerzos normal

mximo y el esfuerzo cortante mximo en el tanque son:

(fuera del plano)

Comentarios finales


Comentarios finales

La mecnica de materiales es un tema bsico en muchos

campos de la ingeniera, se ensea prcticamente al

inicio de los estudios de licenciatura, ya que como se ha

dicho antes es un tema bsico y necesario para los

alumnos de las diversas reas de la ingeniera.

Este trabajo presenta una propuesta para complementar

con software especializado la enseanza presencial o el

uso de libros texto, es decir, tomar ventaja de la

tecnologa disponible para mejorar la calidad y eficiencia

del aprendizaje.

Las posibilidades de usar visualizaciones y simulaciones

animadas es una ventaja clara comparada con los libros,

especialmente si hay que estudiar diagramas de cuerpo

libre, distribucin de esfuerzos y procesos de

deformacin.

El ambiente de poco estrs creado bajo un software

adecuado para el aprendizaje autodidctico permite a los

estudiantes avanzar segn su propio ritmo.

Reitero la intencin de que lo expuesto en este trabajo

sirva de apoyo a los estudiantes de las experiencias

educativas del rea de la mecnica de materiales en lo

concerniente al anlisis de problemas de transformacin

de esfuerzo plano.

Bibliografa


Bibliografa

Beer, Johnston, DeWolf, Mazurek,

MECNICA DE MATERIALES, 5

Edicin, McGraw-Hill, Mxico 2010

Gere, James M., MECNICA DE

MATERIALES, 6 Edicin, Editorial

Thomson, Mxico 2006

http://www.mdsolids.com/

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