Mcm Mcm111

Conjunto de aplicación:

Definición.- Es un divisor común a los números dados y es el mayor posible

Ejemplo:

“De los Divisores Comunes el Mayor es 6”

Divisores Comunes:

METODOS PARA HALLAR EL MCD

1° Por Factorización Individual:

Luego de descomponer los números en sus factores primos, se toman únicamente los factores comunes afectados a sus menores exponentes.

Ejemplo: Los números descompuestos en sus factores primos son:

Divisores comunes Divisores del MCDde dos o más números de dichos números

PROPIEDAD :

=

2° Por Factorización Simultanea:

Se escriben los números en fila, luego se dividen simultáneamente del menor al mayor factor primo común a dichos números, hasta que los cocientes sean PESI.El MCD buscado es el producto de los divisores hallados.Ejemplo: Sean los números 2100 , 2520 y 840

3° Algoritmo de Euclides o Divisiones Sucesivas:Recuerda cuando hablamos de divisiones existen dos tipos de divisiones 1.- divisiones por defecto.2.- divisiones por exceso.

Por defecto

Ejemplo: Sean los números 1534 y 403 Halla el MCD por el Algoritmo de Euclides.

Por exceso

PESI

El MCD es el último divisor obtenido que dio residuo cero

1534 403

325 3

3 1 4 6

781543 403 325 13

78325 13 0

Cocientes

ResiduosMCD

Ejemplo: Sean los números 96 y 27 Halla el MCD por el Algoritmo de Euclides si las divisiones se realizaron por exceso.

EJEMPLOS: 1. Halle la suma de los cocientes obtenidos al encontrar el MCD por el Algoritmo de Euclides de los números 874 y 367.

Solución:

La suma de todos los cocientes es:

2. Halle el tercer resto al encontrar el MCD de los números 1748 y 500; por el Algoritmo de Euclides.

Solución:

4 3 2 2 2

96 27 12 9 6 3

12 9 6 3 0

ex.

ex.

q

rMCD

El MCD es el último divisor obtenido que dio residuo cero.

2796

12 4

El tercer resto es 0

Propiedades del MCD:

El MCD de un conjunto de números PESI es igual a 1

Para 2 números “A” y “B” si: entonces

Nota:

Para un conjunto de números “A, B, C, …” se siempre cumplirá que:

, , , …

Donde: “a, b, c, …” son PESI

Despejando de la propiedad anterior:


Si se multiplica o divide a un conjunto de números por un número

entonces a su MCD también quedara multiplicada o dividida por

dicha cantidad. Esto es:

Definición.- Es un múltiplo común a los números dados y es el menor posible

Ejemplo:

"De sus Múltiplos Comunes el Menor es 12”

Múltiplos Comunes:

Ejemplo1.

El producto de dos números es 1936; si el MCD es 11, cual es el MCM.

Solución:

Recuerda:El producto de 2 números siempre dará como resultado el producto de su MCM y su MCD.

Ejemplo2.

El MCM de dos números PESI es 95. Hallar la diferencia de ellos.

Solución:

El MCM de 2 números que son PESI es su producto, entonces:

La diferencia es:

METODOS PARA HALLAR EL MCM

1º Por Factorización Individual:

Luego de descomponer los números en sus factores primos, se toman a todos los factores, afectados de sus mayores exponentes.

Ejemplo: Los números descompuestos en sus factores primos son:

A B 95A B 19 5

2º Por Descomposición Simultanea:

Se divide los números dados simultáneamente a todos o algunos de ellos por los números primos. Ejemplo:

Propiedades del MCM:

El MCM de un conjunto de números PESI, será igual al producto de dichos números.

Para 2 números “A” y “B” si entonces

Nota:


Dónde: a, b, c, … son PESI

Para 2 números “A” y “B” se cumple que:

Si se multiplica o divide a un conjunto de números por un número

entonces su MCM también quedara multiplicado o

dividido por dicho número.

Si se tiene un grupo de números y se quiere hallar el MCD ó el MCM se puede agrupar de la manera más conveniente; Esto es:

También:

Para un conjunto de fracciones se tiene:

Si: a y b son PESI se cumple:

Para A, B , C y n que pertenecen a se tiene:

Dados dos números cuales quiera se cumple:

1. Dados los siguientes números:

Halle: “n” sabiendo que el MCM de A y B es 1728 y “n” es mayor que 2.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solución:

Descomponiendo A y B en sus factores primos y calculando su MCM se tendrá:

Pero por dato:

2. Determine “n” si el MCD de A y B es 8000 si:

a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

Solución:

Descomponiendo A y B en sus factores primos y calculando su MCD se tendrá:

Pero por dato:

Por comparación:

3. Hallar “x” sabiendo que el MCM de los números:

y ; tiene 1764 divisores.

a) 7 b) 5 c) 9d) 3 e) 1

Solución:

Descomponiendo los #s en sus factores primos:

Ahora su MCM será:

Recordando números primos

4. El producto de dos números es 240; si el MCM es 60, cual es el MCD.

a) 18 b) 5 c) 8d) 4 e) 16

Solución:

N

2

2 2

CD 1 1 1

1764 3x 2x x 1

294 x x 1

7 7 1 x x 1

Como el problema anterior:

5. El MCM de dos números PESI es 77. Hallar la diferencia de ellos.

a) 6 b) 5 c) 4d) 8 e) 15

Solución:El MCM de 2 #s que son PESI es su producto, entonces:

La diferencia es:

6. Dos números naturales son entre sí como 5 es a 9. Si su MCM es 945. ¿Cuánto vale el menor de dichos números?

a) 130 b) 110 c) 125d) 105 e) 135

Solución:

El menor número será:

7. Determinar el mayor de dos números; sabiendo que su suma es 280 y su MCM es 480

a) 120 b) 210 c) 610d) 160 e) 320

Solución:

Por comodidad y espacio en lugar de “MCD” y “MCM” usaremos “m” y “M” respectivamente.

Ahora usemos los datos del problema:

Dividiendo la ecuación 1 entre la 2 y tabulando los valores PESI de “a” y “b”:

A B 77A B 11 7

Ordenando adecuadamente

Finalmente el número mayor será:

8. El MCD de 2 números es 9. ¿Cuál es el MCM de dichos números, si su producto es 1620?

a) 180 b) 20 c) 270d) 1620 e) 400

Solución:

Recuerda:El producto de 2 números siempre dará como resultado el producto de su MCM y su MCD.

9. Determine 2 números enteros sabiendo que su MCD. es igual a 36 y su suma es 216. Indique el mayor de dichos números.

a) 140 b) 180 c) 120d) 160 e) 150

Solución:

Por dato el “MCD” que una vez más llamaremos “m” que es:

la cual también dice que “a” y “b” deben ser PESI, tendremos:

De donde:

10. Determinar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y que su suma es 288

a) 291 b) 219 c) 912d) 921 e) 192

Solución:

La diferencia será:

11. La diferencia de los cuadrados de dos números es 80. Si su MCD es 4. Hallar el menor de ellos.

a) 12 b) 8 c) 16d) 19 e) 14

A B 216

36

1

a 361

b 2166

a b 5 1

Solución:

El menor de los números será:

12. Determinar el mayor de 2 números tales que su MCD sea 36 y su MCM sea 5148.

a) 648 b) 684 c) 468d) 486 e) 846

Solución:

Sean a y b PESI entonces Se tiene:

El mayor número será:

13. La suma de dos números es a su diferencia como 8 es a 3; El MCM de los números es 55 veces su MCD. Determinar la suma de dichos números sabiendo que son los mayores y que tienen dos cifras.

a) 132 b) 144 c) 156d) 127 e) 151

Solución:

1er Paso:

2do Paso:

El máximo valor de cada número se dará cuando:

Puesto que son de dos

cifras

Por tanto:

14. La diferencia de 2 números es 44 y la diferencia entre su MCM y MCD es 500. ¿Cuál de los siguientes números es uno de ellos?

a) 36 b) 54 c) 28d) 100 e) 76

Solución:

Por comodidad y espacio en lugar de “MCD” y “MCM” usaremos “m” y “M” respectivamente para los dos problemas siguientes.

2 2

2

A B 80

4 a b a b 80

5

a b a b 3 2 3 1

Propiedades:

y

donde: “a” y “b” son PESIMCD=m y MCM=M

Dividiendo las 2 ecuaciones obtenidas, se tendrá:

Ordenando de forma adecuada:

Uno de los números sería:

15. Si se sabe que el cuadrado del MCM de 2 números es igual al cubo de su MCD y la suma de estos números es 180. Determine su MCD.

a) 24 b) 56 c) 36d) 72 e) 32

Solución:

Reemplazando (2) en (1):

Por lo tanto en (2):

16. La suma del MCD y el MCM de 2 números es 612. Si la razón de los números es 11/3. Determine la suma de los números.

a) 225 b) 243 c) 252d) 248 e) 280

Solución:

Conocemos la razón por dato:

Ahora la suma:

2 2

2 2 2 2

a b a b 180

a b a b 3 2 3 2

La suma de los números será:

17. La diferencia entre el MCM y el MCD de 3 números es 897, entre el mayor y el intermedio es 26 y con el menor es 65. Halle el mayor.

a) 52 b) 78 c) 91d) 117 e) 130

Solución:

Sea:

Ordenando adecuadamente los datos del problema, se tendrá:

Comprobando:

Por lo tanto el mayor será:

18. La suma de dos números A y B es 651, el cociente entre su MCM y su MCD es 108. Halle

.

a) 108 b) 216 c) 713d) 483 e) 438

RESOLUCIÓN

Donde y son números primos entre sí.

Luego:

Por condición:

M m 897mabc m 897

m abc 1 13 7 5 2 1

RPTA.: D

19. El MCM de dos números es 30030 y su MCD es 5. ¿Cuántos pares de números hay con esta propiedad?

a) 8 b) 16 c) 32 d) 64 e) 60

RESOLUCIÓNSean A y B los números,

entonces el

Los números A y B se podrán escribir como:

; donde “a” y “b” son números primos entre sí.

Aplicando la propiedad:

Entonces:

La cantidad de formas como se puede expresar un número como

el producto de dos factores es:

20. Si:

y

Calcule “N” si:

a) 10 500 b) 21 000 c) 13 500 d) 12 200 e) 12 400

RESOLUCIÓN

Se tiene:

RPTA.: A

21. Si:

Calcule:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

RESOLUCIÓN

Utilizando el criterio de divisibilidad por 11 se tiene:

RPTA.: E

22. Se sabe que:

y

Además

Calcule R si es un número entero mayor que 50 pero menor que 80.

a) 60 b) 70 c) 45 d) 50 e) 75

RESOLUCIÓN

y

Puesto que:

Entonces son

múltiplos de 9 Esto es:

Luego se tiene:

Remplazando:

RPTA.: B

23. Determinar dos números de tres cifras, cuya suma es 432 y su MCM es 323 veces su MCD. Dar como respuesta la diferencia de dichos números.

a) 12 b) 18 c) 24 d) 36 e) 42

RESOLUCIÓN

Se sabe:

RPTA.: C

24. Si el MCD de dos números es 144 y tienen 33 y 35 divisores. Halle el menor.

a) 9 216 b) 8 516 c) 9 310d) 8 750 e) 9 415

RESOLUCIÓNSean los números A y B

Por propiedad se tiene:

Además

Luego será de la forma:

Luego el menor: A = 9216

RPTA.: A

25. ¿Cuántos números menores que 80 tienen con 360 un MCD igual a 4?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

RESOLUCIÓN

Sea:

Remplazando:

Como

K =

Hay 6 valores.RPTA.: E

26. Sea y cuyo MCD es 495 estando el valor de B entre 5000 y 6000. Calcule A + B.

a) 8 610 b) 8 575 c) 6 930 d) 11 880 e) 4 950

RESOLUCIÓN

Observa:

entonces A y B son

Como B entre 5000 y 6000

y Esto es:

Además

y

en “A”

en “B”

Luego:

RPTA.: C

27. Si: , halle el

MCD de y

a) b) c)

d) e)

RESOLUCIÓN

Si:

Por propiedad

Elevando al cubo y luego a la sexta se tiene:

RPTA.: A

28. Si:

y

Calcule:

a) 160 b) 168 c) 172d) 180 e) 182

RESOLUCIÓNSea:

Por comparación de factores se tiene:

Por comparación de factores se tiene:

Pide:

RPTA.: E

29. Si:Además:

Calcule:

a) 18 b) 19 c) 17 d) 20 e) 21

RESOLUCIÓN

Si:

Luego los números

Remplazando se tiene:

Pide:

RPTA.: D

30. Se desea construir un aviso luminoso de la forma y dimensiones que se muestra. Determinar el menor numero de focos a utilizar, sabiendo que deben ser equidistantes y que debe haber focos en los lugares indicados.

a) 361 b) 316 c) 136d) 163 e) 613

Solución:

Razonemos:M: Ya que pondremos la menor cantidad de focos entonces el espacio entre foco y foco será Máximo.

C: Dicho espacio se usará en las 3 letras es decir es una medida Común.

D: El espacio entre cada foco debe Dividir en partes iguales a las medidas mostradas en la figura es decir ser Divisor de ellas.

Conclusión:

Ahora calculemos cuantos focos habrá en cada letra:

Calculemos los focos usados en total:

360

400 380

31. Un albañil trata de formar un cubo con ladrillos cuyas dimensiones son 20cm, 15cm y 6cm. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño posible?

a) 210 b) 120 c) 320d) 310 e) 230

Solución:

Razonando como en el problema anterior se concluirá que:

Ahora calculemos el número de ladrillos:

32. Se trata de vaciar 3 barriles de vino que contienen: 210, 300 y 420 litros de capacidad a envases que sean iguales entre si y tienen la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios para que todos queden llenos sin desperdiciar el aceite?

a) 21 b) 11 c) 31d) 41 e) 51

Solución:

El capacidad de cada uno de los envases que usaremos será:

Luego el N° de envases necesarios, será:

33. Del terminal terrestre el Lunes 30 de abril del 2012, a las 4pm salen simultáneamente 4 animales hacia Puno. Además se sabe que salen cada: 6, 8, 10 y 12 días. ¿Cuándo volverán a salir a la vez?

a) Lunes, 28 de Junio del 2012b) Miercoles, 29 de agosto del 2012c) Miercoles, 22 de Agosto del 2012d) Sábado, 16 de Julio del 2012

15

6 20

A 60

e) Martes, 28 de Agosto del 2012

Solución:

El tiempo que tardaran en volver a salir a la vez será:

Ahora calculemos la fecha y el mes en la que los 4 animales volverán a salir nuevamente a la vez:

Ahora calculemos el día:

Finalmente la fecha completa será:

Sábado, 28 de Agosto 2012

34. Determine ¿Cuántos rectángulos cuyas medidas de sus lados son números enteros existen de modo que el valor de su área sea 360 ?

a) 13 b) 11 c) 12 d) 15 e) 16

RESOLUCIÓN

FN: formas de descomponer un número en producto de 2 factores.

Piden:

RPTA.: C

30 de Abril

28 de Agosto

31 días 30 días 31 días 28 días

J unioMayo J ulio Agosto

120 días

35. Se tiene :

y Halle

a) 149 b) 151 c) 141d) 170 e) 131

RESOLUCIÓN

Despejando B:

Reemplazando se tiene:

Reemplazando en

RPTA.: B

36. Si: y

además el producto de A y B es 12960. Halle el

a) 2140 b) 2160 c) 4320 d) 432 e) 2140

RESOLUCIÓN

Por propiedad:

….

Del dato:

Reemplazando en se tiene:

Se sabe que

A 1 A A 1 30 31 32 MCD

1

RPTA.: B

37. Si:

Calcule en cuantos ceros termina “A x B”

a) 6 b) 13 c) 11

d) 9 e) 10

RESOLUCIÓN

El número de ceros depende de la cantidad de factores 5 y se utiliza para esto las divisiones sucesivas.

Termina en 10 ceros

38. Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular, cuyos lados miden 210, 270 y 300m. respectivamente. Sabiendo que hay postes en cada vértice y que la distancia entre poste y poste está comprendido entre 10 m. 20 m. Calcule cuántos postes se colocaron.

a) 50 b) 51 c) 52 d) 48 e) 60

RESOLUCIÓN

Es la distancia entre poste y

210270

300

aa

a

a a

a

poste además es divisor común de también

divide al

Luego:

RPTA.: C

39. En la función de una obra teatral, se ha recaudado en 3 días de funciones: S/. 5 068; S/. 3 388 y S/. 4032 respectivamente. ¿Cuántas personas han asistido en los tres días, sabiendo que el precio de la entrada es el mismo en los tres días y está comprendido entre S/.10 y S/.20?

a) 982 b) 892 c) 829d) 446 e) 561

RESOLUCIÓN

Hallemos el

Como el precio de una entrada

debe de estar comprendida entre S/. 10 y S/. 20 y divide a 28, luego el precio será S. 14.

Cantidad de personas que han asistido durante los días:

Cantidad de personas:

Asistieron 892 personas

RPTA.: B

40. Tres corredores A, B y C parten juntos de un mismo punto de una pista circular que tiene 90 m de circunferencia. La velocidad de A es 9 m/s; la velocidad de B es 5 m/s; la velocidad de C es 3 m/s. ¿Después, de cuánto tiempo tendrá lugar el segundo encuentro de los tres?

a) 90 seg. b) 75 seg. c) 60 seg. d) 45 seg. e) 180 seg.

RESOLUCIÓN

Cálculo de los tiempos que emplea cada corredor en dar una vuelta completa a la pista de carrera.

Tiempo para

Tiempo para

Tiempo para

Tiempo del primer encuentro de los tres corredores será:

Tiempo del segundo encuentro será

RPTA.: E

41. Al determinar el MCD de 2 números PESI por las divisiones sucesivas se obtuvieron los siguientes cocientes: 1, 2 , 3 y 4. Dé como respuesta la suma de las cifras del número mayor.

a) 18 b) 12 c) 13d) 7 e) 11

Solución:

Interpretando el problema obtenemos la siguiente tabla:

Recuerda:

Entonces reemplazando ese valor y completando la tabla de forma inversa se tendrá:

El número mayor es i la suma de cifras será:

42. La suma de 2 números es 2200 y los cocientes obtenidos por el Algoritmo de Euclides son: 1; 2; 3 y 1. Determine el MCD.

a) 90 b) 22 c) 200d) 130 e) 100

Solución:

En este problema por comodidad y espacio usaremos “m” en lugar de “MCD”.

Ahora por dato:

Si A y B son PESI:

×

+

. 1 2 3 4

A 43 B 30 13 4 1

. 13 4 1 0

Coci

Resi

13m 9m 4m m m

4m m m 0

Cocientes 1 2 3 1

A B

Residuos

×

+

43. El MCD de 2 dos números es 8 y los cocientes de las divisiones sucesivas para obtener dicho MCD son: 2, 2, 1, 1, y 7. Determinar el número mayor.

a) 364 b) 728 c) 634d) 827 e) 872

Solución:

El número mayor es: 728

44. Si la diferencia de 2 números es 82 y los cocientes obtenidos por las divisiones sucesivas son: 3; 2; 2 y 3. Determine el MCD.

a) 4 b) 2 c) 100

d) 5 e) 30

Solución:

Por comodidad y espacio usaremos “m” en lugar de “MCD”.

45. Si:

y al calcular se obtuvo como cocientes sucesivos por exceso 2; 5 y 6 y al calcular el se obtuvo como cocientes sucesivos por exceso 6; 5 y 2. Calcule mínimo. Si la cantidad de divisores de A y C es impar.

a) 220 b) 260 c) 280 d) 320 e) 440

RESOLUCIÓN

Para A y B

Para C y D

d MCD

5 6

0d

6d

2

B 29d

6d

A 52d

d MCD

5 2

0d

2d

6

D 9d

2d

C 52d d MCD

5 2

0d

2d

6

D 9d

2d

C 52d

×

+

2 2 1 1 7

A 728 B 304 120 64 56 8

120 64 56 8 0

Cocientes

Residuos

×

+58m 17m 7m 3m

7m 3m m 0

Cocientes 3 2 2 3

A B m

Residuos

RPTA.: B

46. Se tiene 3 números A; B y C al calcular el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2. Al calcular el MCD de A y C por el mismo método se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2. Halle el menor de dichos números si se cumple que:

a) 225 b) 273 c) 325 d) 383 e) 455

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

47. La suma de dos números es 1200 y los cocientes sucesivos al determinar su MCD por las divisiones sucesivas son: 3; 1; 3 y 5. Halle el mayor.

a) 938 b) 918 c) 981d) 984 e) 948

Solución:

Por dato:

Ahora el mayor será:

e MCD

2 2

0e

2e

1

C 5e

2e

A 7e

d MCD

1 2

0d

2d

1

B 3d

2d

A 5d

×

+79m 21m 16m 5m

16m 5m m 0

Cocientes 3 1 3 5

A B m

Residuos

48. Al calcular el MCD de los números y , mediante el algoritmo de Euclides, se observa que el primer cociente es igual al penúltimo residuo, sus cuatro cocientes son los primeros números simples impares. Determinar la suma de los divisores de .

a) 110 b) 120 c) 116d) 144 e) 231

Solución:

Interpretando los datos del problema y completando la tabla, se tendrá:

Ahora los divisores de “ ” serán:

49. En la determinación del MCD de 2 numerales por el Algoritmo de Euclides los residuos sucesivos son: r; 24 y 12; los tres primeros cocientes son: 3; 5 y 4. Determine la diferencia entre los numerales

a) 1 564 b) 1 800 c) 1 236d) 1 036 e) 1 264

Solución:

Simplemente completamos la tabla.

Ahora la diferencia:

50. Determine: (a + d) – (b + c) ; sabiendo que los cocientes sucesivos que se obtienen al hallar el MCD de: y por el Algoritmo de Euclides fueron: 5 ; 3 y 2

a) 0 b) –1 c) –2d) –3 e) –4

Solución:

Esta simbolizaremos al MCD con “r”.

Tratemos de hallar el valor de “m” recordando un poco de divisibilidad:

Calculemos el valor de “r”:

×

+

2

1800 564 108 24 12

108 0

Cocientes 3 5 4

A B

Residuos r 24 12

×

+

5 3 2

abcd 37r m(m 2)1 7r 2r r

2r r 0

Cocientes

Residuos

×

+151 115 36 7 1

36 7 0

Cocientes 1 3 5 7

bab bba

Residuos 1

Ahora los valores de a, b, c y d:

Finalmente:

51. El MCD de 2 números es 18. Uno de ellos tiene 21 divisores y el otro tiene 10. ¿Cuál es el MCM?

a) 5 134 b) 5 194 c) 5 184d) 5 324 e) 5 124

Solución:

Tenemos el MCD al descomponerlo es su factores primos veremos cuáles fueron las bases de los números originales.

Luego las bases son 2 y 3 y los exponentes tendrán que ser los factores de 21 (7 y 3) y de 10 (2 y 5) disminuidos en 1.

Finalmente el MCM será:

52. Hallar el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto sabiendo que su arista esta comprendida entre 2 y 3m y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8cm.

a) 5760 b) 720 c) 1020d) 246 e) 960

Solución:

Tal como resolvimos el problema 18 pero esta vez la arista tiene que ser:

“Un múltiplo del MCM en caso este mismo no satisfaga la condición del problema”

Razonando como en el problema anterior:

8 20

15

L

abcd 37r

abcd 37 113

abcd 4181

Por condición de problema:

Ahora calculemos el # de ladrillos:

53. Determine el mayor factor común a los números:

, y

a) 5 b) 11 c) 23d) 31 e) 35

Solución:

Recuerda:

Por lo tanto:

54. Al determinar el MCD de un número de 210 cifras, todas ellas 4, de la base 9 y otro de 180 ,cifras todas ellas también 4, en base 9. Calcular la suma de las cifras en base 10, del C.A. del MCD de dichos números.

a) 29 b) 119 c) 120d) 121 e) 122

Solución:

¡antes de todo, deben ser muy pacientes para este problema!

15

8 20

L=240cm

120, 240, 360, ...

2 m L 3 m200 cm L 300m

Si los números son de la forma:

Entonces

Artificio: “Multipliquemos por 2 ambas expresiones”

Recuerda esta Propiedad:

Usando la propiedad mencionada se tendrán los números en base 10:

Ahora calculemos el MCD de dichos números tal como lo hicimos en el problema 13:

Por propiedad tendremos:

Método práctico para calcular el CA:

Finalmente calculemos la suma de cifras del resultado en base 10:

55. Dados los números:

y

Determinar la cantidad de cifras en el sistema binario de su MCD

a) 12 b) 14 c) 16d) 18 e) 20

Solución:

Los números deben estar en base 2.

Ahora su MCD será:

56. Determinar en que cifra termina el MCM de los números:

y .

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

RESOLUCIÓN

Simplificando:

Termina en 4RPTA.: C

57. Halle la suma de las cifras del MCD de tres números enteros, sabiendo que cada uno de ellos está compuesto por 120 nueves, 180 nueves y 240 nueves respectivamente.

a) 60 b) 240 c) 300d) 360 e) 540

RESOLUCIÓN

Recuerda la propiedad

Escribiendo los tres números como potencias de 10:

Luego:

RPTA.: E

58. Determine la suma de las cifras del MCD y el MCM respectivamente de 3 números, sabiendo que c/u de ellos está compuestos por 210 nueves, 350 nueves y 490 nueves respectivamente.

a) 630 y 66 150 b) 630 y 4 410c) 630 y 33 075 d) 70 y 630e) 630 y 7 350

Solución:

Problema no apto para cardiacos.


PROPIEDAD….

Entonces se tiene:

Para el MCM utilizaremos la

inducción es decir a partir de un ejemplo deduciremos un caso general:

Nótese que se forman 7 parejas en el MCM y cada pareja suma 9, entonces:

Propiedad:“La suma de las cifras del MCM de 3 números cuyas cifras son todas 9 siempre será:”

Entonces:

Respuesta: 630 y 4 410

59. Encontrar el MCD de:

y

MCM 123332087666797 cifras 7 cifras

En base 2. dé como respuesta la suma de sus cifras en base 10.

a) 64 b) 70 c) 36d) 84 e) 72

Solución:


Ahora el MCD en base será:

La suma de cifras en base 10 será:

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. La diferencia de 2 números es 44 y la diferencia de su MCM y su MCD es 500, uno de ellos es:a) 32 b) 40 c)

36 d) 28 e) 42

02. Hallar dos números enteros sabiendo que su diferencia es 36 y su MCM es 336. Dar uno de ellos.a) 132 b) 130 c) 144 d) 148 e) 139

03. Al aplicar el método de divisores sucesivos para hallar el MCD de dos números se obtuvo de cocientes sucesivos; 2, 4, 1 y 2, Si su diferencia es 204, hallar la suma de dichos números.a) 720 b) 900 c) 620 d) 680 e) 540

04. El producto de dos números es 3402 y su MCD es 9, diga cuantos pares de números obtienen dichas condiciones.a) 1 b) 2 c)

3 d) 4 e) 5

05. Si:

Hallar “x”a) 9 b) 12 c)

15

d) 72 e) 63

06. La suma de 2 números es 180 y el cuadrado de su MCM es igual al cubo de su MCD; hallar el mayor de los números.a) 108 b) 144 c) 124 d) 132 e) 158

07. Si:

Hallar : a + ba) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

08. Sabiendo que: MCD ( 35 a ; 5 b ) = 70MCM ( 42 a ; 6 b) = 504Hallar: a x b

a) 168 b) 24 c) 84 d) 12 e) 316

09. ¿Cuál es el menor número entero que dividido entre 4; 6; 9 y 15 de cómo restos 2; 4; 7 y 13 respectivamente?a) 206 b) 168 c) 260 d) 280 e) 178

10. ¿Cuál es el menor número de losetas de 34 x 18 cm para construir un cuadrado?a) 135 b) 306 c) 153 d) 184 e) 148

11. El MCM de A y B es igual a 2ª y MCD es A/3, hallar el valor de A sabiendo además que : A – B = 168.a) 336 b) 168 c) 513 d) 342 e) 504

12. Si él MCD de 45A y 63B es 36, hallar el MCD de 25A y 35B.a) 16 b) 27 c)

20 d) 24 e) 18

13. En la determinación del MCD de 2 números primos entre si, los cocientes sucesivos son: 4; 3; 3; 5; 1 y 6. Hallar el numero mayor.a) 1854 b) 1345 c) 1584 d) 1324 e) 1880

14. Hallar el valor de “n” si MCM de los números: y

tiene 450 divisores.a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6

15. En el proceso de determinación del MCD de los números y

por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes sucesivos: 7; 1; 3 y 3, hallar : ( x + y + z + w + a).a) 14 b) 5 c) 16 d) 13 e) 18

16. Al aplicar el método de las divisiones sucesivas para hallar el MCD de dos números se obtuvieron como cocientes sucesivos: 2; 4; 1 y 2. Si su diferencia es 204, hallar la suma.a) 540 b) 870 c) 450 d) 480 e) 405

17. Determinar dos números tales que su MCD es 11 y la diferencia de sus cuadrados es 2904, dar el número de soluciones.a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18. Al calcular el MCD de los números y por el método del algoritmo de Euclides, se obtuvo por cocientes: 2; 3; 1 y 5. Calcular (a + b + c + d).a) 19 b) 21 c)

22 d) 24 e) 25

19. Al dividir un numero entre 10; 15 y 20, se obtiene como residuos respectivos 8; 13 y 18. Hallar dicho numero, si es el menor posible.a) 43 b) 58 c) 52 d) 62 e) 65

20. Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidades 12, 24, 56 y 120 galones respectivamente, ¿Cuál es la máxima capacidad del balde que se pueda usar para llenarlos exactamente?a) 4 b) 24 c) 6 d)12 e) 8

21. Una extensión rectangular cuyas dimensiones son 196 y 112 m es dividida en parcelas cuadradas iguales. ¿Cuál es mínimo numero de parcelas para obtener?a) 14 b) 28 c)

12 d) 18 e) 56

22. La suma de a y b es 651. El cociente entre su MCM y MCD es 108.

Halla a – ba) 11 b) 77 c) 483 d) 436 e) 66

23. Si el MCM (a,b) = 88 ya2 + b2 = 2000, hallar a + b.a) 52 b) 104 c) 72 d) 76 e) 84

24. Hallar MCD (A,B,C). Si : MCD (7A , 7B) = 140;

MCD (5B , 5C) = 80.a) 4 b) 8 c)

12 d) 16 e) 20

25. Con fichas de 12 x 16 cm se requiere formar un cuadrado y el mas pequeño posible ¿Cuántas fichas son necesarias?a) 12 b) 24 c) 48 d) 60 e) 30

26. La suma de dos números enteros es . Hallar “a”, si al calcularse el MCD de dichos números se obtuvieron como cocientes sucesivos, los cinco primeros números primos en orden ascendente.a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1

27. ¿Cuántos divisores tendrá el MCM de 40 x 60n y 60 x 40n, si su MCD tiene 100 divisores?a) 200 b) 250 c) 260 d) 240 e) 120

28. Al hallar el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides se obtuvieron por cocientes 3 números consecutivos y como primer y segundo residuo a 72 y 8 respectivamente. Hallar el máximo valor que puede tomar el mayor de los números.a) 8080 b) 8034 c) 8392 d) 8234 e) 8008

29. Si:

;Donde: m,

n, p y q son números primos, tales

que: y que la suma

de cifras del MCD de dichos

números es 12. Hallar: “a + m”.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

30. Si: ;

Hallar (x + y + b), sabiendo que es par.a) 16 b) 14 c)

12 d) 8 e) 20

31. Si el MCD de y

es igual a 13. Hallar a + b + c.a) 15 b) 14 c)

13 d) 12 e) 10

32. Si el MCD de y es múltiplo de 11 y 8; hallar (x + y).

a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

33. Si el MCD de 151 y 161 tiene 4608 divisores. Determinar el numero de divisores del MCM de 151 y 161.a) 6134 b) 6144 c) 6441 d) 6444 e) 6244

34. Hallar dos números primos entre si cuyo MCM sea 330 y cuya diferencia sea 7, El mayor de ellos es:a) 33 b) 22 c) 11 d) 44 e) 35

35. Si se se cumple que el

, ¿Cuántos

valores puede adoptar ?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) más de 3

36. Sabiendo que:

y ;Hallar el valor de “b”.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

37. Hallar el menor de 2 números que sean entre si como 20 es a 28 y cuyo MCD sea 25.a) 125 b) 175 c) 120 d) 145 e) 150

38. Sabiendo que:

Hallar: .

a) 480 b) 240 c) 120 d) 150 e) 60

39. Dos números A y B están comprendidos entre 100 y 200. SI el MCD de ellos es 24, ¿Cuántos pares de números A y B existen?a) 1 b) 3 c)

2 d) 5 e) 6

40. UN numero de 3 cifras y su C.A. tienen como MCD 24 ¿Cuántos números cumplen esta condición?a) 0 b) 1 c)

2 d) 3 e) 4

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