MA_U3_A2_JOSC

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Matemáticas AdministrativasCuadernillo de ejercicios

CUADERNILLO DE EJERCICIOS: La derivada y las funciones marginales.

CARRERA: CUATRIMESTRE: DosASIGNATURA:

Matemáticas Administrativas ELABORÓ/REVISÓ:Nalleli Guadalupe María Acosta Topete / Alicia Pérez Godínez

UNIDAD: Cálculo Diferencial y sus Aplicaciones

Fórmulas básicasFórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripción

Ley de signos para multiplicación

Menor queMayor que

Menor o igual queMayor o igual que

Aproximadamente igualAproximadamenteDiferente que (a)

Igual que (a)Infinito

Incremento, gradiente, cambioQue tiende a… /que se aproxima

a…Porciento

Raíz cuadradaRaíz cúbica

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Sociales y Administrativas

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Fórmulas unidad 3.

Fórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripción

Donde:

1. y : incrementos de las

variables

respectivamente.

2. , representa a la

razón o tasa promedio de

cambio de con respecto a

x en el intervalo , esto

es que tanto varía el valor de

por cada unidad de cambio

en .

3. , se

interpreta como la razón o tasa instantánea de

Derivada de con respecto a


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Fórmulas unidad 3.


cambio de con respecto a

, en el punto .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Regla de la

cadena.

Fórmulas y reglas de derivación

Consideraciones para el uso de las fórmulas y reglas de derivación:

1. : son funciones cuya

variable independiente es x.

2. : son números

constantes.

3. ...

4. es el logaritmo natural

de u, en dónde .

5. Para la Regla de la cadena: “Calcular la derivada de la función en el interior del paréntesis y multiplicarla por la derivada del exterior”

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Fórmulas y reglas de derivación

Consideraciones para el uso de las fórmulas y reglas de derivación:1. : son funciones cuya

variable independiente es x.

2. : son números

constantes.3. ...

4. es el logaritmo

natural de u, en dónde

.


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Fórmulas unidad 3.


Razón o tasa promedio de cambio

Razón o tasa instantánea de cambio

La primera derivada se representa o denota como:

o

La segunda derivada se representa o denota como:

o

La tercera derivada se representa o denota como:

o

Y así sucesivamente hasta llegar a la n-sima derivada de una función.

Derivadas de orden superior

Ingreso marginal: corresponde a la derivada de la función de ingreso.

Costo Marginal: es la derivada de la función de costo.

Costo promedio o medio marginal: es la derivada de la función de costo promedio

Utilidad Marginal: es la derivada de la función de utilidad


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Fórmulas unidad 3.


Elasticidad de la demanda.

Precio.

Demanda.

Cambio de la demanda en

función del precio de venta y/o producción.

Cambio o incremento de una variable

Cambio o incremento de una función

1. Si cuando

, entonces f es

una función creciente en .

2. Si cuando

, entonces f es una función decreciente en

.

3. Si cuando

, entonces f es

una función constante en

.

Criterio de la primera derivada:

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la primera derivada son:

1. Obtener la derivada de la función.

2. Determinar los valores críticos, esto es los valores de x en la derivada de la

función cuando .

3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se

1. Si cuando

, entonces f es una función

cóncava hacia arriba en

.

2. Si cuando

, entonces f es una función

cóncava hacia abajo en

.

Criterio de la segunda derivada.

Los pasos a seguir para evaluar una función con el criterio de la segunda derivada son:

1. Obtener la segunda derivada de la función.

2. Determinar los puntos de inflexión, esto es los valores de x en la segunda derivada de la función cuando .

3. Se marcan los puntos de inflexión en la recta numérica y se escoge un valor cualquiera entre cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la


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Fórmulas unidad 3.

Fórmula / Símbolo Descripción Fórmula / Símbolo Descripcióndeterminará el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después del valor crítico.

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:a. S

i los signos son , se

tiene un máximo local.b. S

i los signos son , se

tiene un mínimo local.c. S

i los signos son o

, no hay extremo

local.

segunda derivada, con lo que se determinará el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes y después de los puntos de inflexión.

4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el siguiente criterio:

a. Si , entonces la

función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

b. Si , entonces la

función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Diferencial de una función

1.

2.

3.

Leyes logarítmicas


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Ejemplo: En un restaurante se determinó que los costos por la elaboración de su platillo principal están dados por la siguiente

función:

En miles de pesos, y que los ingresos la venta del platillo mensualmente sigue la función:

Si hasta el momento mensualmente se han vendido 1000 platillos principales, determina cuáles serán las utilidades

aproximadas de elaborar y vender el platillo 1001.

Solución: para determinar las utilidades por las ventas del platillo 1001, se utiliza la función de utilidad marginal, es decir:

Por lo que primero se determina la función de utilidad marginal:

Ahora se obtiene la función de utilidad marginal:

Así el valor aproximado de la utilidad al elaborar y vender el platillo 1001, estará dado por:

Y como la función está dada en miles de pesos, mensualmente las utilidades por vender el platillo 1001 serán

aproximadamente de:


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Ejemplo: En un restaurante se determinó que los costos por la elaboración de su platillo principal están dados por la siguiente

función:

En miles de pesos, y que los ingresos la venta del platillo mensualmente sigue la función:

Si hasta el momento mensualmente se han vendido 1000 platillos principales, determina cuales serán las utilidades

aproximadas de elaborar y vender el platillo 1001.

Solución: para determinar las utilidades por las ventas del platillo 1001, se utiliza la función de utilidad marginal, es decir:

Por lo que primero se determina la función de utilidad marginal:

Ahora se obtiene la función de utilidad marginal:

Así el valor aproximado de la utilidad al elaborar y vender el platillo 1001, estará dado por:

Y como la función está dada en miles de pesos, mensualmente las utilidades por vender el platillo 1001 serán

aproximadamente de:


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Ejercicio 3. Incremento de utilidad

Una fábrica de cajas de cartón calcula que sus utilidades están dadas por la siguiente función:

En dólares, mensualmente, si actualmente su nivel de producción es de 200 cajas por mes, determina ¿cómo serán los ingresos si su producción

aumenta en un 25 porciento?

Respuesta: 5, 108, 751,000 dólares si se incrementa un 25%

Solución:

Δf(x)=Δy=f(x final)-f(x inicial)

Datos: 200 cajas x mes U (200) cajas iniciales=670(200)³+20(200)-5000000

25%= 250 cajas U (200) cajas iniciales=670(8000000)+4000-5000000

U (200) cajas iniciales=5360000000+4000-5000000

U (200) cajas iniciales=5, 355, 004,000 dólares x mes

U (250) cajas finales=670(250)³+20(250)-5000000

U (250) cajas finales=670(15625000)+5000-5000000

U (250) cajas finales=10468750000+5000-5000000

U (250) cajas finales=10, 463, 755,000 dólares x mes

Δx=x final-x inicial

Δx=10, 463, 755,000 -5, 355, 004,000

ΔX=5, 108, 751,000 dólares si se incrementa un 25%

Razón de cambio:


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ΔG/Δx=U(x final)-U(x inicial)/Δx

ΔG/Δx=U (250)-U (200)/50

ΔG/Δx=10, 463, 755,000- 5, 355, 004,000/50=102, 175,020

Conclusión: con el 25% de crecimiento en una empresa es una compañía muy rentable que está generando muchos ingresos y asi

crecerá e sus activos, creo que así esta empresa cotiza en la bolsa de valores. Jejejje saludos cordiales


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Ejercicio 4 Elasticidad de la demanda

La demanda de un nuevo modelo de un dispositivo de audio está dada por:

En donde es el número de artículos demandados, con y donde está dado en miles de pesos. Determina la función de elasticidad de

la demanda del nuevo modelo.

Respuesta: ε = -10/ (p - 10)

Solución: η=¬x dy Q=Demanda

Y dx C=Constante positiva

P= Precio de artículos

Qd(p)=150p/10−pdQd(p)/dp=(150(10−p)+150p)/(10−p)2=1500/(10−p)2Ep=(1500/(10−p)2)*(p/(150p/10−p)=(1500/(10−p)2)*((p(10−p))/150p)=10/(10−p)

Conclusión:

Al incrementarse el precio la demanda aumentara 10 unidades


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