Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak

UD3: matrizeak, determinanteak eta

ekuazio linealak

MATEMATIKA II

UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK

H1

• m x n ordenako edo dimentsioko matrize errealak parentesi artean gordetako eta m lerrotan eta n zutabetan ordenatutako m•n zenbaki errealien multzoak dira, eta A edo (aij) adierazten dira:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

1. MATRIZEAK


H1

3221 A

4

0

1

2

A

1.1. Matrize motak.

Lerro matrizea edo errenkada matrizea: 1 x n ordena duena da.

Zutabe matrizea: m x 1 ordena duena.

Matrize karratua: n x n ordena duena.

5211

0243

07521

1346

A


H1

40

12A

40

12A

1.1. Matrize motak.

A-ren aurkako matrizea: A-ren elementu guztiak aldatuz ateratzen zaiguna, eta – A –ren bidez adierazten dugu.

A-ren matrize iraulia: A-ko lerroak eta zutabeak elkar trukatuz ateratzen zaiguna, eta At –ren bidez adierazten dugu.

41

02tA


H1

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

1.1. Matrize motak.

Matrize karratuetan:

Diagonal nagusia; a11, a22,…, ann

Diagonal sekundarioa; a1n, a2(n-1),…, an1


H1

300

110

221

A

131

022

001

A

1.1. Matrize motak.

Matrize karratuetan:

Goi-triangeluarra: diagonal nagusiaren azpian dauden elementu guztiak zero badira, aij=0, baldin i>j.

Behe-triangeluarra: diagonal nagusiaren gainean dauden elementu guztiak zero badira, aij=0, baldin i<j.

Diagonala; diagonal nagusian ez dauden elementu guztiak zero badira, aij=0, i ≠ j.

Simetrikoa; diagonal nagusiarekiko simetrikoak diren elementuak berdinak baldin badira; aij= aji i,j

200

020

001

A

231

312

121

A


H1

10

0122xI

100

010

001

33xI

1.1. Matrize motak.

Identitate matrizea: I matrize karratu bat da; bertan, diagonal nagusiko elementu guztiak 1 dira eta diagonalean ez dauden elementu guztiak 0.

Matrize nulua: elementu guztiak 0 dituena.

1000

0100

0010

0001

44xI

00

00

00

A


H1

Demagun A=(aij) eta B=(bij) matrizeak ditugula eta biek m x n dimentsioa dutela. Leku berean dauden elementuak batzean, m x n dimentisoko beste matrize bat lortuko dugu, A eta B-ren batura dena;

)( ijij baBA

44

14

24

23

20

11

2. MATRIZEEN ARTEKO ERAGIKETAK

2.1. Matrizeen batuketak.

04

32

24

23

20

11


H1

Demagun m x n ordeneko A=(aij) matrizea eta λ zenbaki erreala ditugula. Bien arteko biderketa egitean, m x n ordeneko beste matrize bat lortuko dugu, A-ko elementu guztiak bider λ eginez lortzen dena.

ijaA

208

324

52

814

2.2. Zenbaki erreal baten eta matrize baten arteko biderketa.


H1

Bi matrize biderkatzeko ez da beharrezkoa ordena berekoak izatea; bai, ordea, lehenengoaren zutabe kopurua eta bigarrenaren lerro kopurua berdina izatea. Lortuko dugun matrizeak berriz, lehenengoaren lerro kopurua eta bigarrenaren zutabe kopuru berdina izango ditu.

Aaxb • Bbxd = Caxd

2.3. Matrizeen biderketa.


H1 Matrize hauek emanda A=(aij), mxn dimentsiotakoa, eta B=(bij), nxp

dimentsiotakoa.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

npnn

p

p

bbb

bbb

bbb

B

...

...

...

...

21

22221

11211

A-ren eta B-ren biderkadura m x p ordenako C=(cij) beste matrize bat izango da eta matrize horretan cij elementu bakoitza lortzeko, A-ko i lerroa eta B-ko k zutabeaz eskalarki bidertu beharko dugu.

n

jjkijij bac

1


H1

npmnpmpmnmnmm

npnppnn

babababababa

babababababa

C

.........

.........

.........

22111212111

12121111121121111


H1 2.4. Matrizeen berreketa.

Matrize karratuen multzoan, honela defini dezakegu matrizeen berreketa;

A2 = A • A

A3 = A2 • A = A • A • A

…

An = An-1 • A = A • A • A •…(n aldiz) •A


H2

n ordenako A matrize karratu baten alderantzizko matrizea n ordenako beste matrize bati deitzen zaio, betiere, hau betetzen badu (eta A-1 –ren bidez adierazten dugu):

IAAAA 11

10

01

10

12

tz

yx

3. ALDERANTZIZKO MATRIZEA.

Metodo zuzena;


H3

Ezezagun edo koefizientetzat matrizeak dituzten ekuazio edo sistemei ekuazio edo sistema matrizialak deitzen diegu.

41

443

51

21X

26

21

21

01X

4. EKUAZIO ETA SISTEMA MATRIZIALAK.

λ • X = A itxurakoak; X = 1/λ • A

Adibidea:

A • X = B itxurakoak; ala X • A = B itxurakoak

A-1 • A • X = A-1 • B X • A • A-1 = B • A-1

I • X = A-1 • B X • I = B • A-1

X = A-1 • B X = B • A-1


H3 Ekuazio matrizialen sistema linealak ebazteko, ekuazio linealen

sistemak ebazteko erabilitako prozesu berari jarraitu beharko diogu;

22

012

41

32

YX

YXAdibidea;


H4

a1, a2, …, an n elementuren permutazioak n elementu horiek ordenatzeko dituzten moduei deitzen zaie.

Lehendabiziko n zenbaki arrunten permutazio nagusia edo naturala deitzen zaio zenbaki horiek euren ordena naturalean daudeneko permutazioari; α = (1,2,3,…,n).

p eta q edozein permutazioren elementuak permutazio nagusiaren alderantzizko ordenan daudenean, alderanzketa osatzen dutela esaten da. Beraz, edozein permutazio alderanzketa kopuru finitu baten konposizioa da.

5. DETERMINANTEAK.


H4

nn jijiji

taaaAA ...1det

2211

A n ordenako matrize karratu bat bada, A matrizearen determinantea adierazpide honetatik ondorioztatzen den zenbaki erreala da;

Horretan, α = (i1, i2, …, in) eta β = (j1, j2, …, jn) 1, 2, …, n-ren bi

permutazio dira, eta t, berriz, α-tik β-ra igarotzeko balio digun alderanzketa kopurua da.


H4

211222112221

1211 aaaaaa

aa

22

31

12

25

43

22

5.1. Bi ordenako determinanteen kalkulua

Adibideak;


H4

211233113223312213

231231133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

5.2. Hiru ordenako determinanteen kalkulua

+ zeinuko batugaiak - zeinuko batugaiak


H4

231

112

101

241

011

012

240

121

111

Adibideak;


H4 5.3. “n” ordenako determinanteen kalkulua

5.3.1. Determinante bat garatzea ilara bateko elementuen bidez

n ordenako A matrize bat emanda, aij elementuaren azpimatrize osagarria deitzen zaio A matrizean i lerroa eta j zutabea ezabatzean sortzen den n-1 ordenako matrizeari. Matrize hori αij adierazten da.

23

1111

12

4132

32

1213

A n ordenako matrize karratu bat bada, aij elementuaren minore osagarria deitzen zaio aij elementuaren azpimatrize osagarriaren determinanteari; hau da, IαijI.


H4

n ordenako A matrize karratu bat emanda, aij elementuaren adjuntoa deitzen zaio adierazpen honek definitutako Aij zenbakiari;

ijji

ijA 1

A-ko elementu bakoitzaren ordez bere adjuntua jartzen badugu, A-ren matrize adjuntu izeneko beste matrize bat izango dugu, eta Adj(A) –ren bidez adierazten dugu.

576

7616

421

)(AAdj

471 133211

A n ordenako matrize karratu bat bada, haren determinantea ilara (lerro zein zutabe) bateko elementu bakoitzaren eta horren adjunuaren biderkaduraren batura da.


H4

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

21

22221

11211

nn AaAaAaA 1112121111 ...)det(

Adibidea:

41140011)20(20

103

212

111

0

103

212

211

1

113

222

211

2

110

221

211

0

1103

0120

2212

2111


H4 5.3. “n” ordenako determinanteen kalkulua

5.3.2. Determinante bat garatzea Pibotaren metodoaren bidez

► Bateko balioa duen determinantearen edozein aij elementu hartu behar da. Elementu horri pibota deitzen zaio.

Hartutako determinanteak bateko balioko elementurik izango ez balu, aij = k ≠ 0 balioko edozein hartuko genuke. Kasu horretan, i lerroaren edo j zutabearen elementu guztiak zati k zenbakia egin genezake, eta haren ondorioz, aij elementua bat bihurtuko litzateke. Eragiketa hori egitean, kontuan izan behar da determinantea kanpotik k zenbakiaz biderkatuta geratuko dela.

► Pibotaren lerroari eta zutabeari dagozkien elementuak ezabatu egiten dira.


H4 ► Determinantearen gainerako elementuen ordez hau jarriko dugu: elementu horien eta pibotaren i lerroan eta j zutabean elementuon lerro eta zutabeei dagozkien elementuen biderkaduraren kendura.

► Sortutako determinanteak hasierakoak baino ordena txikiagoa izango du, eta (-1)i+j zeinua.

► Prozesu hori behar adina aldiz egin daiteke, hiru ordenako matrizea lortu arte.

2354

6132

0413

5107

510

5)3(20)3(57)3(4

516013712

540401743

1 31


H4 5.5. Determinanteen propietateak

1. Matrize baten determinantea haren irauliaren determinantearekin bat dator. tAA

2. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe permutatuz gero, haren determinantea zeinuz aldatzen da.

621

45

6

45

21

6

12

54

3. Matrize bateko lerro edo zutabe bat zenbaki batez biderkatuz gero, determinantea ere zenbaki horrekin biderkatuta geratuko da.

621

45

12

21

810

21

810

21

452


H4 4. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe berdinak badira, haren determinantea zero izango da.

Bi lerro edo bi zutabe permutatzean determinantearen zeinua aldatzen dela esan dugu lehen, baina bi lerro edo zutabeak berdinak badira, hau beteko da;

det (A) = - det (A) det (A) = 0

5. Matrize bateko lerro edo zutabe bateko elementu guztiak muluak badira, determinantearen balioa zero izango da.

6. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe proportzionalak badira, haren determinantea zero izango da.

Lerro edo zutabe proportzionaletako bat p zenbaki egoki batez biderkatzen badugu, bi lerro edo zutabe berdin lortuko ditugu, eta, beraz: p · det(A) = 0 det(A) = 0

7. Matrize triangeluar baten determinantea haren diagonal nagusiko elementuen arteko biderkaduraren berdina da.

8. Matrize bateko lerro edo zutabe bateko elementu guztiak bi batugaien batuketa gisa deskonposatzen badira, haren determinantea ere deskonposatzen da, modu honetan, bi determinanteren batuketa gisa:


H4

3332

2322

1312

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aad

aac

aab

aaa

aaa

aaa

aada

aaca

aaba

9. Matrize bateko lerro edo zutabe bati beste baten konbinazio lineal bat batzen bazaie, ondorioztatzen den matrizearen determinantea hasierakoaren berdina izango da.


H4

Matrize karratu batek alderantzikoa badu, haren determinantea zeroaren desberdina da. Orduan, matrizea erregularra dela esaten da.

Beste moduan esanda, matrize baten determinantea zero bada, matrize horrek ez du alderantzizkorik.

A matrize karratu erregular bat bada, haren alderantzizko matrizea honela kalkulatu daiteke;

6. ALDERANTZIZKO MATRIZEA KALKULATZEA.

tAAdjA

A 11


H5 7. MATRIZE BATEN HEINA.

A matrize baten heina linealki independenteak diren A-ren lerro edo zutabeen gehienezko kopurua da.

2)(

162

231

131

ArangA 1)(

262

131

131

BrangB 3)(

162

211

141

CrangC

7.1. Heinaren kalkulua; Gauss-en metodoa. Adibide baten bidez aztertuko dugu;

9512

7150

1321

A

9512

7150

1321

A


H5 7.2. Heinaren kalkulua; Determinanteen metodoa.

A matrize baten p orndenako minoreak deituko diegu p ordenako A azpimatrize karratuen determinanteei.

101

121A 2

10

122

11

112

01

21

A matrize baten heina, rang(A), nulua ez den matrize horren minorerik handienaren ordena da.

Adibide baten bidez aztertuko dugu;

9512

7150

1321

A


H6 8. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK.

Ekuazio lineal bat, honako berdintza bat da;

a1· x1+ a2· x2+ a3· x3+ … + an· xn = b

Ekuazio horretan, a1, a2, a3, … , an eta b zenbaki errealak dira eta koefizienteak deitzen zaie, eta x1, x2, x3, … xn balio ezezaguneko zenbaki errealak dira, eta ezezagunak deitzen zaie.

Ekuazio lineal baten emaitza, ekuazioa betetzen duen n-kote (α1, α2, α3,…, αn ) oro da.

Ekuazioaren emaitza bakoitzari emaitza partikularra deitzen zaio, eta emaitza partikular guztien multzoari, berriz, ekuazioaren emaitza orokorra.

8.1. Ekuazio linealak.


H6 n ezezaguneko ekuazio lineal baten emaitza orokorra n – 1 parametroaren araberakoa da. n – 1 zenbakiari ekuazioaren indeterminazio maila deitzen zaio.

8.2. Ekuazio linealen sistemak.

n ezezaguneko m ekuazio linealen sistema bat honelako m berdintzaz osaturiko multzoa da;

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...........................................

...

...

2211

22222121

11212111

Ekuazio horretan, aij eta bi zenbaki erreal ezagunak dira; aij zenbakiak koefizienteak dira eta bi zenbakiak, sistemaren gai askeak.


H6 Sistema bat ebaztea, haren emaitza guztiak aurkitzea da.

Ekuazio linealen sistema haien koefizienteek eta gai askeek mugatzen dute. Zenbaki horiek taula batean jarriz gero, sisteman duten posizio berberetan, multzo ordenatu bat lortuko dugu; multzo hori matrizea da eta sistemaren adierazgarri da. Koefizienteek osatutako matrizea sistemaren matrizea da, edo koefizienteen matrizea. Matrize horri gai askeak gehituz gero, matrize zabaldua lortzen da.

mmnmm

n

n

mnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaazabalduaMatrizematrizeaeKoefizient

...

...

............

...

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

21

22221

11211

mmnmm

n

n

mnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaazabalduaMatrizematrizeaeKoefizient

...

...

............

...

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

21

22221

11211


H6 8.3. Ekuazio linealen sistemen sailkapena.


H6 8.4. Sistema baliokideak.

Ekuazio linealen bi sistema baliokideak dira, baldin eta ezezagun berberak badituzte eta emaitza berberak badituzte. Emandako sistema baten baliokidea den sistema bat lortzeko, transformazio hauek egin daitezke;

Sistemako ekuazio bat nulua ez den zenbaki batez biderkatzea.

Ekuazioen ordena aldatzea.

Gainerako ekuazioen konbinazio lineala den ekuazio bat eranstea edo ezabatzea.

Sistemako ekuazio bat eta zero ez den zenbaki batez biderkatutako beste bat batzea.

Ekuazio bateko ezezaguna bakantzea eta hori gainerakoetan ordezkatzea.

9. EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EBAZPENA.


H6

9.1. Gauss-en metodoa.

Gauss-en metodoa (triangelaketa metodoa ere deitzen zaio) laburketa metodoan oinarritzen da. Demagun n ezezaguneko m ekuazio linealen sistema bat dugula;

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...........................................

...

...

2211

22222121

11212111

Gauss-en metodoa sistema hori baliokide eta mailakatu bihurtzean datza. Hau da, honelako batetan bihurtzean datza;


H6

mnmn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

........................

...

...

22222

11212111

Sistema mailakatu bat ebazteko, bateragarria baldin bada, sistemako azken ekuaziotik hasi behar dugu.

Adibideak;

423

34

142

zyx

zyx

zyx

14

22

423

zx

zx

zyx


H6

9.2. Cramer-en erregela.

n ekuazio linealeko eta n ezezaguneko sistema batek emaitza du, eta bakarra da, koefiziente matrizea A erregularra denean, hau da, │A │≠ 0 denean.

(x1, x2,…, xn) sistemaren emaitzako xi osagai bakoitza bi determinanteen arteko zatidurak emanda dago; orokorrean, demagun honako sistema dugula;

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...........................................

...

...

2211

22222121

11212111


H6 Orduan honela kalkulatu ditzakegu ezezagunak;

Ekuazio eta ezezagun kopuru berdina duten eta koefizienteen matrizea erregularra duten sistemei Cramerren sistemak deitzen zaie, eta sistema mota horiei soilik aplika daiteke Cramerren erregela, eta ez beste motetan.

Adibidea;

A

baa

baa

baa

x

A

aba

aba

aba

x

A

aab

aab

aab

x

nnnn

nnn

n

n

nnnn

n

n

...

............

...

...

..............................................

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

12111

1

11

2121

1111

12

2

2222

1121

11

423

34

142

zyx

zyx

zyx

14

22

423

zx

zx

zyx


H6 9.3. Alderantzizko matrizeen bidezko ebazpena.

Azkenik, honako sistema bat izanik, alderantzizko matrizeen bidez ere kalkulatu ditzakegu ezezagunen balioa;

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...........................................

...

...

2211

22222121

11212111

Orduan;

BAX

BXA

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

nnmnmm

n

n

1

2

1

2

1

21

22221

11211

......

...

............

...

...


H6 Hau da, alderantzizko matrizeen bidez ere posible da ekuazio linealen sistemak ebaztea, horretarako A matrize erregularra izan behar duelarik.

Adibidez;

423

34

142

zyx

zyx

zyx

14

22

423

zx

zx

zyx

10. EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EZTABAIDA.


H7

10.1. Rouchéren teorema.

S ekuazio linealen sistema bat bateragarria izango da baldin, eta soilik baldin, A koefizienteen matrizearen heina A/B matrize zabalduaren heinaren berdina bada, hau da;

S bateragarria da heina(A) = heina(A/B)

Frogapena;

S sistema bateragarria baldin bada, (s1, s2, …, sn) emaitza bat badago, gutxienez eta horrek hau betetzen du; Z1· s1+ Z2· s2, …, + Zn· sn = B; beraz, B gai askeen zutabea Z1, Z2, …, Zn koefizienteen matrizearen zutabeen konbinazio lineala da; hortaz,

heina(Z1, Z2, …, Zn) = heina (Z1, Z2, …, Zn, B), hau da;

heina(A) = heina(A/B)

Frogapena; Demagun heina(A) = heina(A/B) dela; beraz,

heina(Z1, Z2, …, Zn) = heina (Z1, Z2, …, Zn, B).

Horren ondorioz, Z1, Z2, …, Zn –ren konbinazio lineala da B. Beraz, n zenbaki erreal daude, s1, s2, …, sn, honako hau egiaztatzen dutenak; Z1· s1+ Z2· s2, …, + Zn· sn = B. Horren ondorioz, (s1, s2, …, sn) sistemaren emaitza bat da, eta S bateragarria da, frogatu nahi genuen moduan.


H7

Beraz, Rouchéren teoremak sistema bat bateragarria izateko baldintza bat ematen du; hau da, koefizienteen matrizearen heinak eta matrize zabalduaren heinak erlazionatzen ditu.

Koefiziente matrizearen eta matrize zabalduaren heinak kontutan harturik, honela sailka ditzakegu n ezezaguneko eta m ekuazioko sistema linealak;


H7

Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak

Education

Transcript of Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak