MATRICES Y DETERMINANTES UNIDAD IV - UNAM -...

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM Matrices y determinantes Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1

MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD IV IV.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es un conjunto de números, objetos u operadores, dispuestos en un arreglo bidimensional de renglones y columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que obedecen a ciertas reglas algebraicas. Ejemplos de matrices:

−106

81,

−−

3413

210

517

,

hg

fe

dc

ba

, [ ]ii 7523 −+

Cada una de las partes integrantes del arreglo es llamado elemento de la matriz y su localización en el arreglo es identificado por un sistema de doble subíndice, en el cual el primer subíndice indica el renglón y el segundo subíndice indica la columna.

=

nmnnn

m

m

m

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

K

MMMMM

K

K

K

321

3333231

2232221

1131211

En donde el elemento ija está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A .

Una matriz que tiene n renglones y m columnas se dice que es una matriz de orden n x m (se lee como matriz de orden n por m ). Cuando se trata de matrices muy grandes se representan con una sola letra mayúscula, o por un solo elemento con doble índice:

[ ]ijaA =

donde i va desde 1 hasta n y j va desde 1 hasta m Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o vector

columna respectivamente. Por ejemplo, la matriz B es un vector renglón de 51× y la matriz C es un

vector columna de 13× :

[ ]54321 bbbbbB = ,

=

3

2

1

c

c

c

C


2

Una matriz es cuadrada si posee el mismo número de renglones y de columnas: Ejemplo.

4411943

45101

3807

1624

×

−−

−−−−

=D

La diagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que aparecen sobre la diagonal del arreglo que va desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, es decir, aquellos elementos

iia . En el ejemplo anterior los elementos de la diagonal principal son 11,5,0,4 − .

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal. Se denota como

( )Atr . Ejemplo.

Para la matriz anterior, su traza es: ( ) ( ) 211504 −=−+++=Dtr

La transpuesta de una matriz A es la matriz designada por 'A ó TA en donde los renglones de A son

las columnas de TA , esto es, si:

[ ] [ ]jiT

ij aAaA =⇒=

Ejemplos.

a)

341146

802

937

215

×

−−−

−

=E ;

4311892

4031

6275

×

−−−−

=TE

b) 52×

=

jihgf

edcbaF ;

25×

=

je

id

hc

gb

fa

F T

Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y todos los elementos de la matriz son idénticos a sus correspondientes elementos de la otra matriz. Ejemplo.

5275216

80314

×

−−−

=P ;

524

28

3

15

7

14

4

4

2

122

16

2

0

3

9

6

6

2

8

×

−−

−−−

=Q

QP =


3

IV.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma

La suma de matrices BAC += se define como ijijij bac += . Esto es, la suma de matrices es igual a

la suma de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden. Ejemplo.

4243111

0762

×

−−−

=A ; 42

10124

5286

×

−−−−

=B

4214493

59144

×

−−−

=+ BA

La operación suma cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: ( ) ( )CBACBA ++=++

Propiedad conmutativa: ( ) ( )ABBA +=+ Ejemplos.

a) 222222222222

127

1017

95

311

32

136

95

311

03

84

31

52

××××××

=

−+

=

−+

+

−

222222222222

127

1017

98

515

31

52

95

311

03

84

31

52

××××××

=

+

−=

−+

+

−

b) 3232323232

5311

023

654

321

187

302

187

302

654

321

×××××

=

−+

−−

=

−−

+

−

Diferencia

La diferencia o resta de matrices BAC −= se define como ijijij bac −= . Esto es, la diferencia de

matrices es igual a la resta de los elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden. Ejemplo.

2313

85

97

×

−−

−=C ;

2341

23

50

×

−−=D

2352

68

147

×

−−

−=− DC


4

Multiplicación de una matriz por un escalar

El producto de una matriz A por un escalar k se define como: ijakAk ⋅=⋅ , esto es, se multiplica cada

uno de los elementos de la matriz por el escalar. Ejemplo.

5219085

710642

×

−−−−

=C ; 3−=k ; 52

32702415

213018126

×

−−−−−

=⋅Ck

Multiplicación de matrices Para efectuar el producto de dos matrices se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual que el número de renglones de la segunda. Cuando sucede esto se dice que las matrices son conformables para la multiplicación. Esto es, si A es de orden np× y B es de orden qn × el orden de la matriz producto es qp× .

Los elementos de la matriz producto BA ⋅ se definen de la siguiente manera:

∑=

⋅=n

kkjikij bac

1

donde i va desde 1 hasta p y j va desde 1 hasta q .

El elemento que ocupa la posición ( )ji, de la matriz C de p filas y q columnas, se obtiene sumando los

productos de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B . Ejemplos.

1) 22

46

51

×

−=A ;

22210

14

×

−−

=B

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

222222216

1154

864024

101504

241610446

251110541

×××

−−

=

+−−−−+

=

+−−+−+−−−+

=⋅ BA

2)

233231

2221

1211

×

=aa

aa

aa

A ; 4224232221

14131211

×

=

bbbb

bbbbB

4324321431233213312232123121321131

24221421232213212222122121221121

24121411231213112212121121121111

×

++++++++++++

=⋅babababababababa

babababababababa

babababababababa

BA

3)

2461

43

21

05

×

−

−=A ;

32503

121

×

−=B


5

343429217

23615

925

5105

30102181

20306123

1010261

0501005

××

−−−−

−

=

+−++−++−+−−−−++−+

=⋅ BA

4) [ ] 2154 ×−= iA ; 32

301

2110

×

−=

i

iiB

[ ] [ ] 31312 81544515804540 ×× +=−−+=⋅ iiiiiiiBA

5) 42

6250

4913

×

−−

=A ; [ ] 31971 ×=B

No son conformables para el producto. En general, el producto de matrices no es conmutativo: ABBA ⋅≠⋅ Ejemplo.

332410

023

151

×

−

−=A ;

33703

215

142

×

−−=B

−−

−

−=⋅

703

215

142

2410

023

151

BA

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )33

722411002144103254210

702213001243305223

712511011541315521

×

−+−+−+−+−+++−++−+++−+−+−+−+−++

=

33123634

11016

16124

×

−−

−−=

−

−

−−=⋅2410

023

151

703

215

142

AB

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33

2700134720531073013

2201154221551023115

2104124124521013412

×

−++−++++−−+−+−−+−+−+−+

−++−++++=

33174373

11518

42224

×

−−−−

=

ABBA ⋅≠⋅


6

El producto definido de matrices acepta las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: ( ) ( ) CBACBA ⋅⋅=⋅⋅

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma: ( ) BCACBAC ⋅+⋅=+⋅ IV.3 MATRICES ESPECIALES 1. Matriz cero (matriz nula) Es aquella matriz, la cual puede ser de cualquier orden, en la que todos sus elementos valen cero.

nm×

=

0000

0000

0000

0

K

MMMMM

K

K

sus propiedades son: 00 =⋅ A

AA =+0 Ejemplo.

Sean: 22

25

13

×

−=A ;

2200

000

×

=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

+−++−+

=

−

=⋅

00

00

20105030

20105030

25

13

00

000 A

( )

−=

++−++

=

−+

=+

25

13

2050

1030

25

13

00

000 A

2. Matriz identidad (matriz unitaria) Es una matriz cuadrada de orden n tal que todos los elementos de su diagonal principal son uno y los elementos fuera de ella son cero.

nn

I

×

=

1000

0100

0010

0001

K

MMMMM

K

K

K

La propiedad principal de una matriz cuadrada es que:

AIAAI =⋅=⋅ Ejemplo.


7

Sean: 22

13

24

×

−−

=A ; 22

10

01

×

=I

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−

=

+−+−−+−+

=

−−

=⋅13

24

11030113

12040214

10

01

13

24IA

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−

=

+−−++−−+

=

−−

=⋅

13

24

11203140

10213041

13

24

10

01AI

3. Matriz diagonal Es una matriz cuadrada de orden n tal que todos los elementos fuera de su diagonal principal son cero.

nnnnd

d

d

d

D

×

=

K

MMMMM

K

K

K

000

000

000

000

33

22

11

Ejemplo.

−=

700

060

0012

D

4. Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada de orden n en la cual todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero.

0=iju para ji >

nnnn

n

n

n

u

uu

uuu

uuuu

U

×

=

K

MMMMM

K

K

K

000

00

0

333

22322

1131211

Ejemplo.

−−

−−

=

i

ii

iii

iiii

U

9000

200

6340

13587


8

5. Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada de orden n en la cual todos los elementos por arriba de la diagonal principal son cero.

0=ijl para ji <

nnnnnnn llll

lll

ll

l

L

×

=

K

MMMMM

K

K

K

321

333231

2221

11

0

00

000

Ejemplo.

−−=

179

06L

6. Matriz simétrica

Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su propia transpuesta: TAA =

jiij aa = para toda i y para toda j

Ejemplo.

TAA =

−−

−

=

6408

4752

0542

8223

7. Matriz antisimétrica Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica si es igual al negativo de su propia transpuesta:

TAA −=

jiij aa −= para toda i y para toda j

Ejemplo.

AAAA TT =

−−

−=−⇒

−−−

=⇒

−−

−=

043

402

320

043

402

320

043

402

320

8. Matriz conjugada Sea A una matriz de números complejos. Si se reemplaza cada elemento por su complejo conjugado se

obtiene A que es su matriz conjugada.


9

Ejemplo.

+−−−+−

−+−−=

6171351610

911147648

163825

iii

iii

iiii

A

−−+−+−+

+−−−+=

6171351610

911147648

163825

iii

iii

iiii

A

9. Matriz hermitiana

Se dice que una matriz de números complejos cuadrada es hermitiana, denotada como *A , si es igual a

su propia transpuesta conjugada: *T AAA ==

jiij aa = para toda i y para toda j

Ejemplo.

+−

=462

625

i

iA

−+

=462

625

i

iA

Ai

iAA T =

+−

==462

625*

10. Matriz antihermitiana1 Se dice que una matriz de números complejos cuadrada es antihermitiana si es igual al negativo de su

propia transpuesta conjugada: *T AAA −=−=

jiij aa −= para toda i y para toda j

Ejemplo.

−−

=i

iA

69

911

−−=

i

iA

69

911

Ai

iAA *T −=

−−

==69

911

1 Las matrices simétricas son un caso especial de las hermitianas y las matrices antisimétricas son un caso especial de las antihermitianas. Por lo tanto, toda matriz simétrica es hermitiana, pero una matriz hermitiana no necesariamente es simétrica. De la misma forma, toda matriz antisimétrica es antihermitiana, pero una matriz antihermitiana no necesariamente es antisimétrica.


10

Ai

iA =

−−

=−69

911*

IV.4 DETERMINANTES IV.4.1 DEFINICIÓN

Sea A una matriz cuadrada de orden n . Se define como determinante de A (denotado como A ,

( )Adet ó A∆ ) a la suma de los n productos (signados) formados por n-factores que se obtienen al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un sólo elemento de cada fila y columna de A . Esto significa que un determinante es un valor numérico κ que está relacionado con una matriz cuadrada y que sigue ciertas reglas para su cálculo .

( ) κ==

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

L

MMMMM

K

K

K

321

3333231

2232221

1131211

det

Dos matrices diferentes (tanto en orden como en elementos) pueden tener igual determinante. Nótese como la notación de determinante no presenta los corchetes (a diferencia de las matrices) sino sólo líneas. IV.4.2 CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS Para calcular determinantes de segundo y tercer grado el método más simple es el de multiplicación diagonal, mejor conocido como Regla de Sarrus.

Esta regla establece que para una matriz de segundo orden

=

2221

1211

aa

aaA , su determinante se calcula

de la siguiente manera:

( ) 122122112221

1211det aaaaaa

aaA −==

esto significa que el determinante de segundo orden es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 21012524342

53=−=−=


11

2) ( ) ( ) 42428837473

84−=+−=−−−=

−−

3) ( ) ( ) 7830486541245

612=+=−−−−=

−−−

La regla de Sarrus aplicada a una matriz de tercer orden

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A , establece que su

determinante se calcula como:

( ) 233211331221132231231231133221332211

333231

232221

131211

det aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A −−−++==

esto significa que el determinante de segundo orden es la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y sus dos paralelas, menos la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus dos paralelas. Ejemplos.

1) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )101637542132507641

602

147

531

−−−−−−−−−++=−

−−

1840126406024 =+++−+=

2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )10728130511011073852

871

1053

012

−−−−−−++−=−

−

25414024010080 −=−−−−+−=

3) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )393154827357894123

197

324

853

−−−−−−−+−+−=−

−−

57281201121052886 −=−+−−−−= IV.4.3 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. Si todos los elementos de una columna o de un renglón son cero, entonces el determinante es cero.

Ejemplos.

1) ( ) ( ) 000060206

02=−=−=


12

2) ( )( ) ( ) 000100900

19=−=−−=

−

2. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz TA

Ejemplo.

−=

38

15A

( ) ( ) ( )( ) 23815183538

15det =+=−−=

−=A

−=

31

85TA

( ) ( ) ( )( ) 23815813531

85det =+=−−=

−=TA

3. Si cada elemento de un renglón o una columna es multiplicado por un escalar k , el determinante es

también multiplicado por k . Ejemplos.

( ) ( ) 21210345254

32−=−=−=

Multiplicando el primer renglón por 3=k

( ) ( )( ) 63630945654

96−=−=−=

Multiplicando la primera columna por 3=k

( ) ( ) 6363031256512

36−=−=−=

en general:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaa

kakaka

aaka

aaka

aaka

aaa

aaa

aaa

k

K

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

21

22221

11211

21

22221

11211

==

4. Si se intercambian dos renglones o (columnas) el signo del determinante cambia. Ejemplos.

( ) ( ) 358512421

54=−=−=

intercambiando renglones:


13

( ) ( ) 385245154

21−=−=−=

intercambiando columnas:

( ) ( ) 385421512

45−=−=−=

5. Si un renglón (o columna) se traslada p renglones (o columnas) entonces el determinante obtenido

es igual a: ( ) ∆− p1

Ejemplo.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )114221300120311204

210

101

324

−−−−−−−+−+−=−−−=∆

3440030 −=−+−+−= si se mueve la primera columna, dos posiciones, entonces:

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )122030411131420012

021

110

432

1 −−−−−−−+−+−=−−−=∆

( ) ∆−=−=+−−−−= 213404300 si se mueve el primer renglón, una posición, se tiene:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )311204120300114221

210

324

101

2 −−−−−−+−−+−=−−

−=∆

( ) ∆−==+++++−= 113300044

6. Si dos renglones o dos columnas son iguales, entonces el determinante es cero. Ejemplos.

1) ( ) ( ) 066166166

11=−=−=

2) ( )( ) ( )( ) 01010525252

52=+−=−−−=

−−

7. Un determinante no cambia de valor si a todos los elementos de un renglón (o columna) le son

sumados o restados los elementos de otro renglón (o columna) multiplicados por un escalar:

innninin

n

n

nnnnjn

nj

nj

nnnn

n

n

kaakaakaa

aaa

aaa

aakaa

aakaa

aakaa

aaa

aaa

aaa

+++

=

+

++

=

K

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

2211

22221

11211

21

222221

112111

21

22221

11211


14

Ejemplo.

( ) ( ) 538314241

32=−=−==∆

sumando a la primera columna la segunda multiplicada por 2 : ( )( ) ( ) ( ) 527323948

49

38

4421

33222 =−=−==

++

=∆

al segundo renglón de ∆ se le resta tres veces el primer renglón:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 51510355255

32

334231

322 =+−=−−−=

−−=

−−=∆

Esta propiedad es muy empleada para obtener ceros y así simplificar el cálculo del determinante. Ejemplo.

( )( )( )

15

300

250

111

30326

25224

11123

306

254

113

=−

=−−

−−=

−=∆

IV.4.4 MENOR DE UN ELEMENTO Sea un determinante de orden n , correspondiente a una matriz A :

( )

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

det =

Se define el menor de un elemento ija al determinante que resulta de eliminar el renglón i y la columna

j . Si se denota como ijM a tal determinante, se tiene:

nnnjnn

inijjj

nj

nj

ij

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M

LL

LLLLLL

LL

LLLLLL

LL

LL

21

21

222221

111211

=

Ejemplos. Dado el determinante:


15

2610

412

351

−

−−=∆

Algunos menores son:

32302210

31

2610

412

351

22 =+=−−−

=−

−−=M

2332041

35

2610

412

351

31 =+=−

=−

−−=M

56506610

51

2610

412

351

23 −=−−=−

=−

−−=M

Ejemplo. Dado el determinante:

6132

4578

10209

2315

−

=∆

Encontrar el menor 43M

Solución:

180350360801260

478

1009

215

6132

4578

10209

2315

43 −=−−−++==

−

=M

IV.4.5 COFACTOR DE UN ELEMENTO

Se define el cofactor de un elemento ija , el cual se denota ijA , como:

( ) ijji

ij MA +−= 1

es decir, el cofactor es igual al menor multiplicado por 1 ó 1− , dependiendo si la suma de los dos subíndices es par o impar, respectivamente. Ejemplo. Calcular los cofactores del siguiente determinante:

( )85

114det

−−=A


16

Solución:

811 −=A

512 =A

1121 −=A

422 =A Ejemplo. Calcular los cofactores de los elementos correspondientes al primer renglón del siguiente determinante:

( )2103

452

101

det −=A

Solución.

304010210

4511 −=−==A

( ) 1612423

4212 =−−−=

−−=A

351520103

5213 −=−−=

−=A

El determinante de una matriz A de cualquier orden puede obtenerse mediante la suma de los productos de los elementos de cualquier renglón o columna por sus respectivos cofactores:

( ) ∑ ∑= =

==n

j

n

iililkjkj AaAaA

1 1

det

Para el renglón k o la columna l . Así, para un determinante de tercer orden, se tiene:

( ) 131312121111

333231

232221

131211

det AaAaAa

aaa

aaa

aaa

A ++==

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa +−=

esto significa que se elige el primer renglón y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. Este procedimiento también puede aplicarse a columnas, por ejemplo, para el caso anterior:

( )2221

121133

3231

121123

3231

222113det

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA +−=


17

esto significa que se elige la tercera columna y se suman los elementos por sus respectivos cofactores. Ejemplo. Calcular el siguiente determinante aplicando cofactores:

( )312

546

821

det

−−

−=A

Tomando el primer renglón se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )86810182512112

468

32

562

31

541 +−−+−−+−=

−−

−+−−−

=

( ) ( ) ( )( ) 3916167288271 −=−−−=−+−−= Ahora, tomando la segunda columna se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )485116341018256

811

32

814

32

562 +−−+−+−−=

−−−

−−+−=

( ) ( ) ( ) 3953761653119482 −=+−−=+−−= Cuando aparecen varios ceros en un renglón o en una columna, a fin de simplificar el cálculo de un determinante, es conveniente utilizar ese renglón o columna. Ejemplo.

( )

3140

5230

2120

4121

det

−

−−

=A

1141312111 0001 AAAAA =+++=

calculando el cofactor 11A y tomando el segundo renglón se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )832209156214

232

34

531

31

522 −−−+−−+=

−−+−

−=

( ) ( ) ( )( ) 55221122112111112 =++=−−+−−= IV.4.6 MATRIZ ADJUNTA

Si ijaA = es una matriz cuadrada y ijA es el cofactor de ija , se define la matriz adjunta de A ,

denotada AAdj , como la matriz de cofactores de su transpuesta.

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

=

Esto significa que para encontrar la matriz adjunta primero se traspone la matriz y después, con base en ella, se calcula la matriz de cofactores.


18

Ejemplo. Obtener la matriz adjunta de:

−=

81

73A

La matriz transpuesta es:

−=

87

13TA

La matriz de cofactores de la matriz transpuesta es:

−=

31

78AAdj

Ejemplo. Encontrar la matriz adjunta de:

=433

232

321

A

Solución.

=423

332

321TA

−−−−

−=

−

−−

−

=133

452

516

32

21

32

31

33

3223

21

43

31

42

3223

32

43

32

42

33

AAdj

IV.5 MATRIZ INVERSA IV.5.1 MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE LA ADJUNTA En el álgebra matricial, la división no está definida. La inversión de matrices es la contraparte de la división en álgebra. La inversa de una matriz está definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por

resultado la matriz identidad, se denota como 1−A :

IAAAA =⋅=⋅ −− 11

esto se cumple siempre y cuando ( ) 0det ≠A .


19

La matriz inversa se obtiene en su forma clásica, de la siguiente manera:

( ) ( )nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAAdj

AA

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

1

det

1

det

1 =⋅=−

El procedimiento para obtener la matriz inversa de una matriz A por el método de la adjunta es el siguiente:

• Se calcula el determinante de A . Si ( ) 0det ≠A entonces tiene matriz inversa (en caso contrario se dice que es una matriz singular)

• Se obtiene la transpuesta de A , es decir, TA

• Se calcula la matriz de cofactores de TA , dando lugar a la matriz adjunta de A , esto es, AAdj

• Se forma el producto ( ) AAdjA

⋅det

1.

Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:

−−=

43

12A

Solución.

( ) ( ) 53843

12det −=−−−=

−−=A

−−

=41

32TA

−−=

23

14AAdj

−−=

−−−=⋅

−=−

5

2

5

35

1

5

4

23

14

5

1

5

11 AAdjA

Comprobación:

+−+−

−−=

−−

−−=⋅ −

5

8

5

3

5

12

5

125

2

5

2

5

3

5

8

5

2

5

35

1

5

4

43

121AA

I=

=

10

01

Ejemplo.


20

Obtener la matriz inversa de:

−−

−=

634

215

012

A

Solución.

( ) 14123008012det −=+−−−+=A

−−−

=620

311

452TA

−−−

=

−−

−−−

−−

−−

−−

−−−−

−

=3211

41238

2612

11

52

31

42

31

4520

52

60

42

62

4520

11

60

31

62

31

AAdj

−−

−−

−−

=

−−−

−=⋅

−=−

14

3

14

2

14

1114

4

14

12

14

3814

2

14

6

14

12

3211

41238

2612

14

1

14

11 AAdjA

Comprobación:

−−

−−

−−

−−

−=⋅ −

14

3

14

2

14

1114

4

14

12

14

3814

2

14

6

14

12

634

215

0121AA

+−−+−−+−

++−−−−−

+−++−++−

=

14

18

14

12

14

8

14

12

14

36

14

24

14

66

14

114

14

4814

6

14

4

14

10

14

4

14

12

14

30

14

22

14

38

14

60

014

4

14

40

14

12

14

120

14

38

14

24

I=

=100

010

001

La inversa de una matriz diagonal se obtiene invirtiendo sus términos, esto es, si:


21

⇒

=

×

nn

nnnn

a

a

a

a

a

a

A

100

01

0

001

00

00

00

22

11

22

11

L

MMMM

L

L

L

MMMM

L

L

La inversa de un producto de matrices se obtiene de la siguiente regla:

( ) 111 −−− ⋅=⋅ ABBA

IV.5.2 MATRIZ INVERSA POR TRANSFORMACIONES ELEMENTA LES El método se basa en agregar a la matriz original una matriz identidad del mismo orden. El objetivo de este método es producir ceros y unos en el lado de la matriz original, los unos deben estar alojados en la diagonal principal, y los ceros fuera de la diagonal principal, cuando se termine el proceso, la matriz que resulta del lado donde se añadió la matriz unitaria, será la matriz inversa. Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:

−−

=45

23A

Solución. Se agrega una matriz unitaria de segundo orden:

−−

=10

01

45

23A

dividiendo entre 3 el primer renglón:

−

−=10

03

1

453

21A

multiplicando por 5 el primer renglón y sumando al segundo:

−=

13

5

03

1

3

20

3

21

A

dividiendo entre 3

2 el segundo renglón:

−=

2

3

2

5

03

1

103

21A


22

multiplicando por 3

2 el segundo renglón y sumando al primero:

=

2

3

2

512

10

01A

por lo tanto:

=−

2

3

2

512

1A

Comprobación:

+−+−−−

=

−−

=⋅ −

651010

3356

2

3

2

512

45

231AA

I=

=

10

01

Ejemplo. Obtener la matriz inversa de:

−=

81015

523

697

A

Solución. Se agrega una matriz unitaria de tercer orden:

−=

100

010

001

81015

523

697

A

dividiendo entre 7 el primer renglón:

−

=100

010

007

1

81015

5237

6

7

91

A

multiplicando por 3− el primer renglón y sumando al segundo:

−−

−

=

100

0173

007

1

81015753

713

0

7

6

7

91

A

multiplicando por 15− el primer renglón y sumando al tercero:


23

−

−

−

−

−

=

107

15

0173

007

1

7

146

7

650

753

713

0

7

6

7

91

A

dividiendo entre 7

13− el segundo renglón:

−

−

−

−

−

=

107

15

0137

133

007

1

7

146

7

650

1353

10

7

6

7

91

A

multiplicando por 7

9− el segundo renglón y sumando al primero:

−

−

−

−

−=

107

15

0137

133

091

63

91

14

7

146

7

650

1353

10

91

39901

A

multiplicando por 7

65 el segundo renglón y sumando al tercero:

−

−

−

−

−=

113

650

013

7

13

3

091

63

91

14

170013

5310

91

39901

A

dividiendo entre 17− el tercer renglón:

−

−

−

−=

17

1

17

50

0137

133

091

63

91

14

1001353

10

91

39901

A

multiplicando por 91

399− el tercer renglón y sumando al primero:


24

−

−

−−

−=

17

1

17

50

013

7

13

3221

57

221

132

91

14

10013

5310

001

A

multiplicando por 13

53 el tercer renglón y sumando al segundo:

−

−

−−

=

17

1

17

50

221

53

221

146

13

3221

57

221

132

91

14

100

010

001

A

por lo tanto:

−

−

−−

=−

17

1

17

50

221

53

221

146

13

3221

57

221

132

91

14

1A

Comprobación:

−

−

−−

−=⋅ −

17

1

17

50

221

53

221

146

13

3221

57

221

132

91

14

81015

523

6971AA

−−++−++−

−−++−++−

+−−+−++−

=

17

8

221

530

221

855

17

40

221

1460

221

19800

13

30

91

21017

5

221

106

221

171

17

25

221

292

221

3960

13

6

91

4217

6

221

477

221

399

17

30

221

1314

221

9240

13

27

91

98

I=

=100

010

001


25

IV.6 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Muchos problemas de la vida real obligan a resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de forma tradicional así :

=+++

=+++=+++

mnmnmnm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

KLLK

K

L

221

22222121

11212111

Un sistema así expresado tiene m ecuaciones y n incógnitas, donde ija son los coeficientes reales del

sistema, los valores mb son los términos independientes del sistema y las incógnitas ix son las

variables del sistema. La solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales nsss ,,, 21 L

tales que al sustituir en las incógnitas satisfacen a la vez las m ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

[ ] [ ] [ ]BxA =⋅

=

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

KK

L

LLLL

L

L

2

1

2

1

21

22221

11211

donde:

[ ]A es una matriz de coeficientes

[ ]B es un vector de constantes

[ ]x es un vector de incógnitas IV.6.1 MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

Sea la ecuación matricial: [ ] [ ] [ ]BxA =⋅ que denota un sistema de ecuaciones lineales.

Esta ecuación puede ser resuelta para [ ]x , premultiplicando [ ]A por su inversa, y para no alterar el

resultado, también se premultiplica [ ]B por la inversa de [ ]A :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BAxAA ⋅=⋅⋅ −− 11, esto es:


26

[ ] [ ] [ ]BAx ⋅= −1

Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

1)

=+=+52

1543

21

21

xx

xx

Solución.

=

12

43A

( ) 58312

43det −=−==A

=

14

23TA

−−

=32

41AAdj

−

−=

−−

−=⋅

−=−

5

3

5

25

4

5

1

32

41

5

1

5

11 AAdjA

[ ] [ ] [ ]

=

−+−

=

−

−=⋅= −

3

1

36

43

5

15

5

3

5

25

4

5

11 BAx

3;1 21 ==∴ xx

2)

−=−+=+−=++

2634

523

1154

zyx

zyx

zyx

Solución.

−−=

314

123

541

A

( ) 1121364016156det =−++++=A

−−=

315

124

431TA


27

−−=

−−

−

−−−

−

−−

−−

−

=141511

142313

14175

24

31

14

41

12

4315

31

35

41

31

4315

24

35

14

31

12

AAdj

−

−=

−−=⋅=−

112

14

112

15

112

11112

14

112

23

112

13112

14

112

17

112

5

141511

142313

14175

112

1

112

11 AAdjA

[ ] [ ] [ ]

−−

=

−

−

=

++

−−

−+

=

−

−

−=⋅= −

5

3

2

112

560112

336112

224

112

364

112

75

112

121112

364

112

115

112

143112

364

112

85

112

55

26

5

11

112

14

112

15

112

11112

14

112

23

112

13112

14

112

17

112

5

1 BAx

5;3;2 =−=−=∴ zyx IV.6.2 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Dado un sistema de m ecuaciones con n incógnitas el método de eliminación de Gauss consiste en

obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga n incógnitas, la segunda 1−n , la

tercera 2−n , y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, se resuelve la última ecuación, a continuación la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss consiste en triangular la matriz de coeficientes.

=

=++=+++=++++

mnmn

nn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

KL

L

K

L

33333

22323222

11313212111

Esto significa que se deben eliminar 1x en la segunda ecuación, 1x y 2x en la tercera ecuación, 1x , 2x

y 3x en la tercera ecuación, etc. Finalmente en la última ecuación, se deben eliminar todos los

coeficientes excepto el de la variable nx . Una vez que se modificaron todas las ecuaciones, la solución

es completada por sustitución desde la última ecuación hacia las anteriores. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:


28

1) ( )( )2_

1_

1034

1625

=+=+

yx

yx

Solución.

multiplicando la ecuación ( )1 por 5

1:

( )'1_5

16

5

2 =+ yx


4− y se suma a la ecuación ( )2 :

( )'2_5

14

5

7 −=y

multiplicando la ecuación ( )'2 por 7

5:

2−=y

conocida y , se sustituye en ( )'1 y se despeja x , terminando el proceso:

( ) 45

20

5

4

5

162

5

2

5

16 ==+=−−=x

2;4 −==∴ yx

2)

( )( )( )3_

2_

1_

743

532

4723

321

321

321

=++=++

=++

xxx

xxx

xxx

Solución.

Multiplicando la ecuación ( )1 por 3

1:

( )'1_3

4

3

7

3

2321 =++ xxx


2− y se suma a la ecuación ( )2 :

( )'2_3

7

3

11

3

532 =− xx


3:

( )''2_5

7

5

1132 =− xx

multiplicando la ecuación ( )1 por 1− y se suma a la ecuación ( )3 :

( )'3_362 32 =− xx


6− y se suma a la ecuación ( )'3 :


29

( )''3_5

1

5

83 =− x

A fin de apreciar mejor el resultado, se adopta el siguiente orden:

( )'1_3

4

3

7

3

2321 =++ xxx

( )''2_5

7

5

1132 =− xx

( )''3_5

1

5

83 =− x

se observa que se debe convertir en 1 el coeficiente de 3x de ( )''3 para obtener la solución de esa

variable y comenzar la solución hacia atrás, así que se multiplica dicha ecuación por 8

5− :

8

13 −=x

conocida 3x , se sustituye en ( )''2 y se despeja 2x :

8

9

8

1

5

11

5

72 =

−+=x

estos dos valores se sustituyen en ( )'1 y se despeja 1x , terminando el proceso:

8

7

8

1

3

7

8

9

3

2

3

41 =

−−

−=x

8

1;

8

9;

8

7321 −===∴ xxx

IV.6.3 REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es aplicable para aquellos sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de

incógnitas ( )mn = y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, para sistemas de que tienen siempre una solución única (compatibles determinados).

=+++

=+++=+++

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

K

KLLK

K

L

221

22222121

11212111

El valor de cada incógnita jx se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la

matriz de coeficientes y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna j del determinante de la matriz de coeficientes por la columna de los términos independientes. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:


30

1)

=+=−

1365

2343

21

21

xx

xx

Solución.

38201865

43=+=

−=∆

Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:

538

190

38

52138613

423

1

1 ==+=∆

−

=∆

∆= xx

Para calcular 2x , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:

238

76

38

11539135

233

2

2 −=−=−=∆

=∆

∆= xx

2;5 21 −==∴ xx

2)

−=−−−=+−=+−

9396

28104

21732

zyx

zyx

zyx

Solución:

3618036421802526

396

1014

732

=+−−+−=−−−

−−

=∆

Para calcular 1x , se sustituyen los términos independientes en la primera columna:

436

144

36

189025263270176463399

10128

7321

==+−−+−=∆

−−−−−

=∆∆= xx

Para calcular y , se sustituyen los términos independientes en la segunda columna:

236

72

36

18025211761260252168396

10284

7212

−=−=+++−−−=∆

−−−=

∆∆

= yy

Para calcular z , se sustituyen los términos independientes en la tercera columna:

136

36

36

50410812650475618996

2814

2132

==+−−+−=∆

−−−−−

=∆∆= zz

1;2;4 =−==∴ zyx

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