XVII / 1

XVII. DISTRIBUCIÓNS

1.- Variable aleatoria

Chámase variable aleatoria a unha función que asocia a cada resultado dun experimento aleatorio

un número real, é dicir unha aplicación do espazo dunha mostra E en R.

)(/: eXeREX

Segundo sexa o conxunto de valores que poda tomar unha variable aleatoria, dicimos que a variable

aleatoria é discreta ou continua.

Dise que a variable aleatoria X é discreta cando só pode tomar un número finito ou infinito

numerable de valores.

nxxxXgEX ...,,,)(Im)( 21 , e no caso infinito numerable ...,,,)(Im)( 321 xxxXgEX

Exemplos: No experimento aleatorio que consiste en lanzar dúas moedas ao aire, o espazo da mostra

é E={cc, cx, xc, xx}. A variable aleatoria X que asocia a cada resultado o número de caras

obtido, é discreta.

Unha urna contén dúas bolas negras e unha branca. Realizamos o experimento de sacar

unha bola devolvéndoa á urna ata que saia branca. O espazo da mostra ven dado por

E={b, nb, nnb, nnnb, ... }. A variable aleatoria que asocia a cada suceso o número

correspondente ao lugar no que aparece a bola branca, é discreta xa que o conxunto de

valores que toma dita variable é infinito numerable.

Dise que a variable aleatoria X é continua cando pode tomar, polo menos teoricamente, tódolos

valores posibles dun intervalo da recta real que non se reduza a un punto, I .

Neste caso, RIXgEX )(Im)(

Exemplo: No experimento aleatorio que consiste en elixir ao azar un alumno de 2º, o espazo da

mostra E está formado por tódolos alumnos dese curso. A variable aleatoria X que asocia

a cada alumno a súa talla, é continua xa que pode tomar calquera dos infinitos valores do

intervalo, por exemplo, [155, 190].

Para describir a función de probabilidade dunha variable aleatoria discreta utilízase a función de masa

de probabilidade.

Para describir a función de probabilidade dunha variable aleatoria continua utilízase a función de den-

sidade.

XVII / 2 Matemáticas II ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

2.- Distribución binomial

Supoñamos un experimento aleatorio que ten as seguintes características:

· En cada proba do experimento só son posibles dous resultados, o suceso A e o seu contrario A .

· O resultado obtido en cada proba é independente dos resultados anteriores.

· A probabilidade do suceso A é constante e polo tanto non varía dunha proba a outra.

Normalmente represéntase por p a probabilidade de A e por q a de A . Tamén ao suceso A se lle

chama éxito e ao suceso A fracaso.

Exemplos: O lanzar unha moeda ao aire, (C, X); descendentes dunha parella, (H, M)

Á variable X, que expresa o número de éxitos obtidos en n probas do experimento, chamarémola

variable aleatoria binomial e a distribución asociada a esta variable, distribución binomial; represéntase

por B(n, p), sendo n e p os parámetros da distribución.

Esta variable é discreta, xa que se no experimento facemos n probas, só pode tomar os valores 0,

1, 2, ..., n.

A función de masa de probabilidade é:

rnr qpr

nrXprp

)()éxitos(

expresión que recibe o nome de función de probabilidade da distribución binomial, función que está

tabulada segundo os valores de p, n e r.

Exemplo: A probabilidade de que unha familia con 6 fillos teña dous varóns, se 51,0)( vp é

2249,0)49,0()51,0(2

6)2( 42

Xp

Exercicios1:

1. Cal é a probabilidade de que unha familia con seis fillos teña como máximo catro varóns, sendo a

probabilidade de ter varón, 0,51?

2. Se unha máquina produce un parafuso defectuoso cunha probabilidade de 0’1, achar a probabili-

dade de que elixidos ao chou cinco parafusos,

a) tres sexan defectuosos,

b) menos de tres sexan defectuosos,

c) polo menos un sexa defectuoso.

1 Lembrar as propiedades dos números combinatorios para poder cambiar iinini pq

in

nqp

i

n

DISTRIBUCIÓNS Matemáticas II XVII / 3

2.- Distribución normal 2

A distribución normal é o exemplo máis importante de distribución de variable aleatoria continua. É

un modelo de aproximación a unha importante variedade de fenómenos reais como, por exemplo, a

distribución dos individuos segundo a talla ou segundo o peso.

Para definir unha variable aleatoria continua cómpre coñecer dous datos:

· Percorrido ou intervalo de variabilidade.

· A súa función de densidade ou de distribución.

Dise que unha variable aleatoria continua X segue unha distribución normal de media e

desviación típica (parámetros da distribución), e desígnase por ),( N , se se cumpren as seguintes

condicións:

· A variable percorre toda a recta real.

· A súa función de densidade é

2

2

1

2

1)(

x

exf

A gráfica de f debido á forma de campá, é coñecida co

nome de Campá de Gauss.

3.- A distribución N(0, 1). Tipificación da variable

De todas as distribucións normais ten especial interese a distribución N(0, 1), que se chama lei

normal estándar ou distribución normal reducida, con funcións

de densidade 2

2

2

1)(

x

exf

, e de distribución

x

t

dtexXpxF 2

2

2

1)()(

Como a integración resulta complexa, para o cálculo de áreas se utiliza unha táboa que proporciona

probabilidades para valores positivos da variable.

Exercicio:

3. Se Z é unha variable aleatoria que segue unha N(0, 1), calcular:

)46'253'0(),25'157'2(),57'225'1(),45'1(),45'1( ZpZpZpZpZp

(Calquera outro caso poderase reducir a un dos aquí presentados)

2 O nome de Normal utilizouno por primeira vez o matemático belga Adolphe Quetelet (1796-1874), cando

levaba a cabo a inxente tarefa de recoller datos sobre as medidas corporais de miles de soldados escoceses.

XVII / 4 Matemáticas II ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Como non se poden construír táboas para cada distribución normal (serían infinitas), e a maioría dos

problemas que se presentan non son do tipo N(0, 1), se recorre a transformar a variable X que segue unha

distribución ),( N noutra variable Z que sega unha distribución N(0, 1).

Esta transformación coñécese como tipificación da variable e conséguese mediante o cambio

XZ

Exercicio:

5. Sexa X unha variable que segue unha N(8, 3). Calcular )7( Xp , )3( Xp , )1210( Xp ,

)21( Xp .

4.- Aproximación da distribución binomial pola normal

Son moitas as distribucións binomiais que ao aumentar o número de probas se comportan

practicamente como si foran distribucións normais. Ademais na distribución binomial B(n, p), cando n é moi

grande resulta moi complicado o cálculo da función de probabilidade.

Moivre (Abraham de M., matemático inglés de orixe francés, 1667-1754) demostrou que se X é

unha variable que segue unha binomial B(n, p), se pode aproximar mediante unha normal sempre que n sexa

grande e p non estea próximo nin a 0 nin a 1. Na práctica utilízase esta aproximación cando 5e5 nqnp

A aproximación consiste en utilizar a normal co a mesma media e desviación típica que a binomial:

npqnp , , é dicir pasamos de B(n, p) a ),( npqnpN

A distribución binomial é de variable aleatoria discreta e, polo tanto, ten sentido calcular

probabilidades puntuais. A distribución normal, sen embargo, é de variable aleatoria continua e, polo tanto,

non ten sentido calcular probabilidades puntuais por ser todas nulas.

Para calcular a probabilidade na distribución binomial cando se aproxima pola normal, procederase

considerando os valores da variable aleatoria discreta como marcas de clase de intervalos da seguinte forma

(corrección de Yates):

Exercicio:

6. A probabilidade de ter ollos pardos é 0,6. Se X é a variable aleatoria que representa o número de

individuos con ollos pardos dun grupo de 1100 persoas, obter a lei de probabilidade de X e

calcular )680(),675670( XpXp

DISTRIBUCIÓNS Matemáticas II XVII / 5

EXERCICIOS

1. A nota media dun exame de selectividade foi 5,8 e a súa desviación típica 1,75. Se as cualifica-

cións seguen unha distribución Normal e se admite na Universidade aos que superan un 6,5, cal é a

porcentaxe de admitidos?

2. Unha empresa instala 20.000 lámpadas. A duración dunha lámpada segue unha distribución

normal con media 305 días e desviación típica 40. Cantas lámpada se espera que fundan antes de

365 días? Cantas durarán máis de 401?

3. Unha persoa viaxa diariamente da súa casa á oficina e o tempo que emprega segue unha distribu-

ción normal de media 35,5 minutos e desviación 3,1 minutos. Se sae da súa casa ás 8h.20m. e debe

estar na súa oficina ás 9h.00m.,cantos días do ano se espera que chegue tarde supoñendo que fai

240 viaxes?

4. A temperatura máxima no mes de Xuño segue unha distribución normal con media 23 e desvia-

ción típica 5 . Calcula o número de días do mes nos que se espere alcanzar máximas entre 21 e

27

5. Unha máquina empaquetadora distribúe chinchetas en caixas segundo unha distribución

N(500,12). Calcular:

i) Cal é a probabilidade de que unha caixa teña máis de 506 chinchetas?

ii) Probabilidade de que teña máis de 490 e menos de 503.

iii) Se o 65% das caixas teñen entre 482 e chinchetas, acha .

6. A puntuación media das notas das probas de acceso é 5,5 e a desviación típica 0,5. Supoñendo que

a distribución das notas é Normal, se pide:

i) Porcentaxe de alumnos que superan o 5.

ii) Para que valor da desviación típica o 40% dos alumnos superaría o 6, coa mesma media.

7. Nun test realizado a 1000 alumnos, as puntuacións se distribúen normalmente con media 100 e

desviación típica 6. Calcular a porcentaxe de alumnos con puntuación superior a 112.

Supoñamos que da variable anterior coñecemos que a súa media é 100 pero descoñecemos a des-

viación típica. Se se sabe que 719 deses 1000 alumnos obtiveron puntuacións inferiores a 129,

canto vale a desviación típica?

8. As notas dun exame seguen unha distribución normal de media 6,5 e desviación típica 1,5. Calcula

a porcentaxe de alumnos cunha cualificación inferior a 5. Se o profesor vai cualificar con sobresa-

liente a un 10% da clase, a partir de que nota se conseguirá esta cualificación?

9. Certos estudos demostran que o consumo de gasolina dos coches é unha variable normal cunha

media de 7 litros por cada 100 quilómetros e unha desviación típica de 1.

i) Que porcentaxe de coches consumen entre 6 e 8 litros por cada 100 quilómetros?

ii) Calcula o consumo 0x se se coñece que o 30% dos coches teñen un consumo superior a 0x .

10. En certo exame, o 35% da poboación examinada obtivo unha nota superior a 6, o 25% entre 4 e 6,

e o 40% inferior a 4. Supoñendo que as notas seguen unha distribución normal, calcula a nota

media e a desviación típica. Que porcentaxe da poboación ten unha nota que se diferenza da media

en menos de 2 unidades?

11. A lonxitude das variñas producidas por unha máquina é unha variable normal de media 6 cm. e

desviación típica 0.05. Que proporción de variñas medirá entre 5.9 e 6.1 cm.? Que valor debería

ter a desviación típica desta variable para que o 99% das variñas producidas medisen entre 5.9 e

6.1 cm.?

12. Os litros de gasolina distribuídos cada día por unha gasolineira é unha variable normal de media

15.000 litros e desviación típica de 1.000 litros. Que cantidade diaria de litros hai que ter disposta

para a venta para poder satisfacer a demanda o 95% dos días? Se a gasolineira compra o litro a

0´6 € e o vende a 1 €, que porcentaxe de días os beneficios superarán os 6.500 €?

XVII / 6 Matemáticas II ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

13. O 45% dos votantes nun país o fan a favor dun determinado partido político. Calcula a probabili-

dade de que de 160 votantes, máis da metade opten por ese partido.

14. A porcentaxe de españois con estudos medios é do 35%. Elixindo oito ao azar, calcula a probabili-

dade de que entre 1 e 5 (ambos incluídos) teñan estudos medios, aplicando:

i) A distribución binomial;

ii) a aproximación normal á binomial.

15. A probabilidade de que a causa dun accidente automobilístico sexa o exceso de alcohol é 0´6.

i) De entre 10 accidentes, cal é a probabilidade de que polo menos 3 sexan por esa causa?

ii) Se nun ano se producen 1000 accidentes, cal é a probabilidade de que máis de 580 sexan

debidos ao exceso de alcohol?

16. O 3% dos libros editados teñen defectos de impresión. Se un libreiro solicita un pedido de 1500

libros:

i) Acha a probabilidade de que reciba 50 ou máis libros defectuosos.

ii) Se fai 100 pedidos de 1500 libros e rexeita todos os que conteñan 50 ou máis libros defectuo-

sos, cantos pedidos se espera que rexeite?

17. Nun bombo de lotería temos 10 bolas idénticas numeradas do 0 ao 9. Cada vez que facemos a

extracción dunha bola, a devolvemos ao bombo.

a) Se tomamos tres bolas, acha a probabilidade de que o 0 salga unha soa vez.

b) Se facemos 100 extraccións, acha a probabilidade de que o 0 salga máis de 12 veces.

c) Cal é a probabilidade de que saia exactamente 22 veces o 0?

18. Os erros de pesada dunha balanza seguen unha distribución normal de media cero e desviación

típica 2 gramos. Acha a probabilidade de que un obxecto sexa pesado cun erro (por defecto ou por

exceso) inferior a un gramo. Se se realizan tres pesadas consecutivas deste obxecto, calcula a

probabilidade de que polo menos nunha das tres pesadas o erro sexa inferior a un gramo.

19. Unha máquina que expende bebidas está regulada de modo que descarga unha media de 200 ml.

por vaso. Se a cantidade de líquido está distribuída normalmente con desviación típica de 15 ml.,

a) Que porcentaxe de vasos encherá con máis de 224 ml?

b) Se imos a utilizar 6 vasos de 224 ml., cal é a probabilidade de que se derrame líquido só en un

dos 6 vasos?

20. O peso das tortas de améndoa que fabrica unha panadería industrial segue unha distribución

normal de media 1 Kg. e desviación típica 80 gr.

A. O peso dunha torta considérase correcto se está comprendido entre 960 e 1.040 gr. Elixidas

dúas tortas ao chou, calcular a probabilidade de que algunha teña un peso correcto.

B. Nunha partida de 6 tortas, cal é a probabilidade de que só dúas delas teñan o peso correcto?

NOTA: Neste problema será de utilidade o valor: P(Z<0,5)=0,69 sendo Z unha variable

normal estándar (N(0, 1))

21. Sábese que no norte de Inglaterra o 20% das vacas tivo a enfermidade das “vacas tolas”.

a) Se un granxeiro tiña cinco vacas, cal é a probabilidade de que algunha das súas vacas tivera

esa enfermidade.

b) Se nunha comarca desta rexión había 10.000 vacas, cal é a probabilidade de que menos do

20% tivera a enfermidade?

22. Un saco que contén 400 moedas é baleirado sobre unha mesa. Achar a probabilidade:

a) De que aparezan máis de 210 caras

b) De que o número de caras sexa menor que 180

c) De que o número de caras estea comprendido entre 190 e 210, ambos inclusive.

DISTRIBUCIÓNS Matemáticas Aplicadas II XVII / 7

XVII / 8 Matemáticas II ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE