CAPITULO II

INTRODUCCIN AL LGEBRA LINEAL

2.1 Matrices 2.1.1 Definicin de matrices Una matriz es un arreglo rectangular de elementos en filas y columnas que tienen la siguiente forma:

las matrices se denotan por letras maysculas y sus elementos por nmeros y por letras. Si A es una matriz aij denota el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j. Una matriz A es de orden m x n y se denota Amxn = (aij)mxn si tiene m filas y n columnas.

2.1.2 Matrices especiales1) A es una matriz cuadrada si tiene el mismo nmero de filas y columnas. Se denota por An y se llama matriz de orden n. Los elementos a11, a22,...ann estn en la diagonal principal de A. La traza de una matriz cuadrada An=(aij) es la suma de los elementos de la diagonal principal.2) A = (aij) y B = (bij) son iguales si y solo si tienen el mismo orden y aij = bij i,j.3) A una matriz es nula y se denota por , si todos sus elementos son iguales a cero.4) A es matriz triangular inferior si es cuadrada y aij= 0, ij.5) D es matriz diagonal si es triangular superior e inferior se denota D = diag (d11, d22, dnn)6) E es matriz escalar si es diagonal y d11 = d22 = dnn = . Una matriz identidad si es una matriz escalar con =1, si denota In7) Matriz rectangular es aquella que no es cuadrada. Una matriz fila es aquella que consta de una sola fila y una matriz columna es aquella que consta de una sola columna.8) La transpuesta de la matriz. A = (aij)mxm es la matriz AT= (aij)nxm A es simtrica si AT = A y es antisimtrica si A=-At.

2.1.3 OPERACIONES CON MATRICES

1) Adicin: Si A = (aij)y Bmxn = (bij) entonces A + B = C cij = aij + bij

Dos matrices son conformables respecto a la adicin si son del mismo orden 2) Multiplicacin de una matriz por un escalar Si A = (aij) y x es un escalar, entoncesXAmxn = (aij)mxn

3) Multiplicacin de matrices

Si Amxn = (aij) y Bmxn = (bij)pxn entonces

Amxn . Bmxp = Cnxp (Cij) si y solo si Cij

Dos matrices A y B son conformables respecto al producto si es posible efectuar A x B.

PROPIEDADES

Si A, B y C son matrices conformables con las operaciones indicadas, entonces.1. A + B = B + A2. (A + B) + C = A + (B + C)3. k(A + B) = kA + kB 4. (k + l)A = kA + lA 5. (kl)A = k(lA)6. l.A = A 7. A = (-1)A 8. A B = A + (-B)9. A (BC) = (AB)C 10. (A+B)C =AC + BC 11. A(B +C)= AB + AC 12. En general no se cumple AB= BA

Observacin: A0 = I , A1 =A, A2 = A . A, ..., An = A.An-1

Problemas

1) Dada las matrices

A =

Si A = B, hallar A + 3C

2) A = Si A es simtrica hallar traza A

3) Dos matrices A y B son conmutativas o permutables si AB = BA. Determinar si las matrices dadas son conmutativas.

a) b)

4) Determinar una frmula para An y luego demostrarla por induccin

a) b)

5) Sea A una matriz cuadrada. A es idempotente si A2 = A. A es involutiva, si A2 = I y A es nilpotente de ndice p, si Ap = , p Z mnimo. Determinar el tipo de las siguientes matrices.

2.2. DETERMINANTES Definicin : El determinante es una funcin que aplicada a una matriz cuadrada, A= (aij)n da un nico valor numrico llamado determinante de A y se denota |A| o det(A) o detA

Ejemplos(Reglas Prcticas)

1)

Si A = , entonces = a11a22 a21a22 2) Si , entonces

Propiedades: Sea A= (aij)n

1) Si se intercambian 2 filas el determinante cambia de signo2) Si intercambian 2 filas de A k lugares para obtener B, |B| = (-1)k |A|.3) Si todos los elementos de una fila de A son ceros, |A| =0 4) Si 2 filas son proporcionales, |A| =0 5) Si todos los elementos de una fila de A son multiplicados por k y se obtiene B, |B| = k|A|6) Si a cada elemento de una fila de A se le suma un mltiplo de los elementos correspondientes de otra fila, el valor del determinante no vara.7) |A| = |At|. Esta propiedad permite afirmar que las propiedades dadas, para filas tambin se verifican para las columnas.8) Si A es matriz triangular superior o inferior, entonces |A| =a11a22...ann 9) Si cada elemento de una fila A se expresa como la suma de los trminos, |A| se puede expresar como una suma de k determinantes, es decir (k=2)

10) Si D= diag (d11d22...dnn), entonces |D| =d11d22...dnn11) |In| = 1 y |n| = 012) a) |AB| = |A|.|B| b) |At|=|A| c) |A| = n|A|

Problemas:

1) Calcular los determinantes

2) Calcular los determinantes

a)

Definicin Si A = (aij)n, el menor complementario del elemento aij se denota Mij y es la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene eliminando en A la fila i y la columna j. Se llama cofactor del elemento aij al nmero Aij = (-1)i+j |Mij|.Teorema(Teorema de Expansin):El determinante de A es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) por sus respectivos cofactores. Es decir:

Si se toma la fila i : |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + .... + ain AinSi se toma la columna j : |A| = aij Aij + a2j A2j + ...+ anjAnj

Utilizar este mtodo para calcular

Definicin: Una matriz cuadrada A de orden n, es invertible, si existe una matriz cuadrada B de orden n tal que BA = AB = In. En este caso B se llama matriz inversa de A.

Teorema: Si A es invertible, su inversa es nica.

Verificar si

Definicin: A es matriz no singular si es cuadrada y |A|0.

Ejemplo:Determinar cuales de las siguientes matrices es no singular:

Definicin : Se llama matriz de los cofactores de A a la matriz Cof(A)= (Aij) donde Aij es el cofactor del elemento aij. Se llama matriz adjunta de A a la matriz

Adj(A) = (Cof A)T.

Teorema: Si A es una matriz invertible (|A|0), entonces

Ejercicio hallar la matriz inversa para

Definicin: Dada una matriz Amxn es posible obtener submatrices cuadradas de orden k x k contenidas en A. Se llama rango de la matriz Amxn al orden de la sub matriz cuadrada a ms grande contenido en A cuyo determinante es no nulo y se denota por r(A) o rango(A).Ejercicio Determinar el rango de las siguientes matrices

PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Hallar el rango de

Solucin: Calculamos |A|

Como |A| 0, ran (A) = 3

2. Hallar todas las sub matrices cuadradas de la matriz

Solucin:

En primer lugar hallamos las sub matrices cuadradas de orden 3 x 3

calculamos ahora las submatrices cuadradas de orden 2

3. Hallar el rango de la matriz del problema anterior

luego ran(B) = 3

4. Hallar la inversa de la matriz

Solucin.- Para hallar la inversa podemos utilizar el mtodo de las adjuntas:

Sea : La matriz de cofactores, donde Aij = (-1)i+j Mij siendo Mij el determinante de la submatriz que se forma al suprimir la fila i y la columna j de A.

Observacin

1) Si A es un matriz no nula, de orden n x m, entonces:0 < ran(A) min {n,m}

2) Si A es matriz cuadrada, no nula de orden n, entonces: 0 < ran(A) n 3) Si A y B son matrices conformables respecto a la suma A + B, entonces ran(A+B) ran(A) + ran(B)4) Si A y B son matrices conformables respecto del producto A B entonces: ran(AB) min{ran(A), ran(B)}

5 .Hallar el valor de k de tal manera que el rango sea mximo

a)

Solucin:

a) luego

ran(A) = 2 x C {1}

b)Como es submatriz cuadrada de la matrizpor la parte a) ran (A) = 2 x C {1}

c)

Luego ran(A) = 3 Si k C {4 }

d)como es submatriz de la matriz

por c) ran (A) = 3 Si k C {4 }

2.3 OPERACIONES ELEMENTALES MATRIZ ESCALONADA2.3.1 Operaciones elementales

Definicin: Se llaman operaciones elementales o transformaciones elementales por filas (o columnas) sobre una matriz A son aquellas que no alteran ni su orden ni su rango.Son las siguientes:

1) Intercambio de 2 filas ( 2 columnas) se denota fi x fj ( ci x cj)2) Multiplicacin de una fila ( 2 columnas) por un escalar.Se denota por fi kfi ( ci kci)3) A una fila (columna) le sumamos el mltiplo de otra fila (o columna) se denota: fi + kfj ( ci + kcj)

2.4 MATRICES EQUIVALENTES

DEFINICIN:Dos matrices A y B son equivalentes si una de ellas, si puede deducir de la otra mediante un nmero finito de operaciones elementales (fila o columna) si A y B son equivalentes se denota: A B.

Ejemplo

Por lo tanto A B

Matriz escalonadas (por filas)Definicin: Una matriz E = [eiji]mxn es escalonada si satisface las siguientes condiciones:

1) Las primeras k filas son no nulas y las (m-k) filas restantes son nulas2) El primer elementos no nulo en cada una de las (m-k) filas restantes es 1.3) En cada una de las k primeras filas, el nmero de ceros anteriores a la unidad crece de fila a fila.

Ejemplo Si

, Las matrices A y C son escalonadas por filas.

Propiedades1) Cualquier matriz A = [aij]mxn puede ser llevada a una matriz escalonada equivalente E= [eij]mxn , mediante un nmero finito de operaciones elementales fila. 2) A B ran(A) = ran(B)3) Para obtener ran(A): A ... EAy ran (EA) es el nmero de filas no nulas de EA 4) Para obtener la inversa de una matriz cuadrada A mediante un nmero finito de operaciones elementales:

y se hace B= A-1

Ejemplo: Hallar el rango de

a)

Solucin: a)

donde E es una matriz escalonada con 3 filas no nulas, luego ran (A) = 3

b)

Luego ran(C) = 3

Ejemplo: utilizando operaciones elementales hallar la matriz inversa de

a) Solucin:

a)

Por lo tanto

b) Observamos que no es posible [A|I4] [I4|B]

Luego, no existe A-1

2.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se llama sistema de ecuaciones lineales y ni incgnitas al conjunto de ecuaciones.

.......................

Observacin : el sistema (1) es equivalente a la ecuacin matricial

o simplemente : Anxn Xnx1 = bnx1

Definicin: una solucin del sistema es una n-upla (x1, x2,...xn) que satisface es todos las ecuaciones. Observacin: En el sistema (1) A es matriz de los coeficientes y se llama matriz ampliada o aumentada del sistema a la matriz Aa = [A/b]nx(n+1) 2.6 PROPIEDADES DE SISTEMAS

Observacin: Un sistema de ecuaciones es consistente si tiene una o ms soluciones, es caso contrario se dice que es inconsistente.

Propiedades:1) Dos sistemas de ecuaciones Ax = b, Cx = d son equivalentes, si y solo si sus respectivas matrices aumentadas equivalentes; es decir si y solo si Aa = [A; b] Ca = [C; d] 2. Dado el sistema lineal Ax = b, si

Aa = [A; b] ... EA = [E, f], entoncesAx = b y Ex = f son equivalentes

Conclusin: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales no homognea debemos llevar la matriz del sistema Aa a una escalonada equivalente y a partir de esta deducir las soluciones.

Propiedades: Dado el sistema de ecuaciones Ax=b

1 El sistema consistente si ran[A]=ran[A/b] adems:2.ran [A] = ran[A;b] = # incgnitas existe solucin nica.

2.ran [A] = ran[A;b]< # incognitas existe infinitas soluciones 1) El sistema es inconsistentes si ran[A]ran [A;b]

Observacin: Para hallar A-1 y la solucin del sistema Ax = b

[An; In; b] [In|A-1|S]

donde S es la solucin del sistema Ejemplo: Analizar y resolver:

Solucin: En primer lugar analizamos el sistema:

luego ran[A]=ran[Aa]=3= # incgnitas; por lo tanto existe solucin nica.

Calculamos la solucin del sistema, utilizando transformaciones elementales fila.

Como CE es matriz escalonada, el sistema dado es equivalente a

X1 + 3x2 = 4 x2 6x3 = -5 31x3 = 31

Luego, resolviendo la ltima ecuacin y reemplazando las anteriores, y as sucesivamente se tiene Ejemplo: Analizar los sistemas

Solucin: a) luego , por lo tanto ran(A) = 2

por lo tanto ran(A) = 3, kC-{6/7}. Entonces r[A] r[Aa], kC{6/7} en cuyo caso ser inconsistente. Por otro lado es ran [A;b]= ? Veamos

Como . Entonces ran[A|b]=2 ran[A] = # incgnitas, luego, en este caso el sistema es consistente y tiene solucin nica.

b) Solucin

|A| =0 kC, pues tiene 2 filas proporcionales, luego ran(A) 0, luego ran[A]3. Adems = 8 0, luego ran[A]=2. Por el anlisis anterior ran[A|b]=2. Por lo tanto ran[A] = ran[A|b]= # incgnitas. Se sigue entonces que el sistema es consistente y tiene solucin nica.

2.7 Regla de cramer (Regla prctica)El sistema (1) tiene solucin nica s y solo si |A| 0 y est dada por

y adems Ai es la matriz obtenida a partir de A, reemplazando la columna i de A por la matriz columna

2.8 Sistema de ecuaciones homogneasEs un sistema lineal de n ecuaciones lineales con n incgnitas de la forma.

.. . ... . .

El sistema A es equivalente a : donde Amxn , Xnx1,0mx1

Propiedades

1.El Sistema de ecuaciones (1) tienen al menos una solucin llamada solucin tribial.2 Si m = n, la condicin necesaria y suficiente para que al sistema tenga soluciones no triviales es que |A|0, ya que en este caso. ran (A)