matimatica4_guiadoc

Cmo es Matimtica 4..................................................................... 2Cmo es la Gua Docente.............................................................. 3Planificacin anual.......................................................................... 4El enfoque didctico....................................................................... 6Captulo 1: Los.nmeros.naturales.............................................. 8Captulo 2: Multiplicacin.y.divisin.entrenmeros.naturales...........................................................................20Captulo 3:.Figuras.circulares......................................................35Captulo 4:.Los.nmeros.racionales.fraccionarios................40Captulo 5: ngulos.y.tringulos................................................44Captulo 6:.Propiedades.de.los.nmeros.fraccionarios......50Captulo 7: Cuadrilteros.y.cuerpos..........................................58Captulo 8:.Nmeros.con.coma..................................................65Captulo 9: Medidas........................................................................72Cmo se usa Mati.net?...............................................................81

Directora.de.la.serieLiliana Kurzrok

Andrea.Novembre

ndice

Primaria

PARA ELDOCENTE

Con instrucciones para

GDM4_peliminares.indd 1 10/02/2011 09:36:37 a.m.

2Actividades para resolver con la calculadora

Actividades para realizar en la carpetaque integran los temas del captulo

Secciones especiales

Secuencias didcticas

Pistas para resolver los problemas

Actividades para resolver con la computadora

Juegos para aprender

AprenderActividades de integracin

con la calculadoraAprender Aprender

jugar entre todos

Definiciones y sistematizaciones Azul: definiciones.Anaranjado: conclusiones.

JUGANDO

con la computadora

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Cmo es el libro


3Cmo es la Gua Docente

Tratamiento de los problemas

Posibles estrategias de los alumnos

Posibles intervenciones docentes

Posibles debates

Aspectos a considerar

Conclusiones

Sistematizaciones

Problemas

Problemas.para.resolver.en.pequeos.grupos

Problemas.para.resolver.de.tarea

Problemas.para.resolver.con.toda.la.clase

NAP

Objetivos

Ttulo del captulo

Pgina del libro

Problemas.para.resolver.de.manera.individual

Problemas.para.resolver.en.parejas

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4Propsitos Contenidos Actividades

Marzo Reconocer.y.usar.los.nmeros.

naturales.Explicitar.las.caractersticas.del.sistema.decimal.de.numeracin.en.situaciones.que.requieran:-.interpretar,.registrar,.comunicar.y.comparar.cantidades.y.nmeros;-.argumentar.sobre.el.resultado.de.comparaciones.entre.nmeros.y.sobre.procedimientos.de.clculo.usando.el.valor.posicional.de.las.cifras.

Nmeros.naturales.El.sistema.de.numeracin.decimal.Valor.posicional.de.las.cifras.Operaciones.con.el.sistema.de.numeracin.El.sistema.romano.de.numeracin.Estrategias.para.sumar.y.restar.

Usar,.leer.y.escribir.nmeros.naturales..(Pginas.6.y.7)Caracterizar.el.sistema.de.numeracin..(Pginas.8.y.9)Reconocer.el.valor.posicional.de.las.cifras..(Pginas.10.y.11)Operar.con.el.sistema.de.numeracin..(Pgina.12)Leer.y.escribir.nmeros.con.el.sistema.romano..(Pgina.13)Resolver.problemas..(Pginas.14.y.15)Usar.diversas.estrategias.para.sumar.y.restar..(Pginas.16.y.17)Resolver.con.la.calculadora..(Pgina.18)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.19.y.20)

Abril Reconocer.y.hacer.operaciones.entre.

nmeros.naturales..Explicitar.las.propiedades.del.sistema.en.situaciones.problemticas.que.requieran:-.multiplicar.y.dividir.con.diversos.significados;.decidiendo.si.se.quiere.un.clculo.exacto.o.aproximado.y.evaluando.la.razonabilidad.del.resultado.obtenido;-.analizar.relaciones.numricas.para.formular.reglas.de.clculo,.producir.enunciados.sobre.las.propiedades.de.las.operaciones.y.argumentar.sobre.su.validez.

Multiplicacin.y.divisin.entre.nmeros.naturales.Estrategias.para.multiplicar.y.dividir.Estrategias.de.clculo.mental.Estimacin.de.resultados.Mltiplos.y.divisores..Proporcionalidad.directa.

Resolver.problemas.con.sumas.y.multiplicaciones..(Pginas.22.y.23)Usar.estrategias.de.clculo.mental..(Pginas.24.y.25)Resolver.problemas.combinando.operaciones..(Pginas.26.a.29).Usar.estrategias.para.multiplicar.y.dividir..(Pginas.30.y.31)Estimar.resultados..(Pginas.32.y.33)Encontrar.mltiplos.y.divisores..(Pginas.34.y.35)Resolver.problemas.de.proporcionalidad.directa..(Pginas.36.y.37)Resolver.con.la.calculadora.y.la.computadora..(Pginas.38.a.40)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.41.a.44)

May

o Reconocer.figuras.circulares.Producir.y.analizar.construcciones.de.figuras.considerando.sus.propiedades.en.situaciones.que.requieran:-.construir.figuras.con.determinados.instrumentos;-.componer.y.descomponer.figuras.estableciendo.relaciones.entre.las.propiedades.de.sus..elementos.

Figuras.circulares.Circunferencia.y.crculo.Copia.de.figuras.

Trazar.figuras.circulares.con.comps..Dar.y.recibir.instrucciones..(Pginas.46.y.47)Usar.comps.y.reglas.graduadas.y.no.graduadas..(Pginas.48.y.49)Diferenciar.circunferencia.y.crculo..(Pginas.50.a.53)Copiar.figuras..(Pginas.54.y.55)Resolver.con.la.calculadora..(Pgina.56)Resolver.actividades.de.integracin..(Pgina.57.y.58)

Junio Reconocer.y.usar.fracciones.en.

situaciones.problemticas.que.requieran:-.interpretar,.registrar.o.comparar.el.resultado.de.una.medicin,.de.un.reparto.o.una.particin,.con.fracciones,.a.travs.de.varias.escrituras;-.comparar.fracciones.entre.s.y.con.nmeros.naturales,.a.travs.de.varios.procedimientos.

Nmeros.racionales.fraccionarios.Situaciones.de.reparto.Repartos.equivalentes.Repartos.usando.la.divisin.Fracciones.y.medida.

Resolver.situaciones.de.reparto..(Pginas.60.y.61)Resolver.repartos.equivalentes..(Pginas.62.y.63)Repartir.usando.la.divisin..(Pginas.64.y.65)Reconocer.fracciones.de.una.unidad..(Pgina.66.y.67)Resolver.con.la.computadora..(Pgina.68)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.69.y.60)

Julio Reconocer.figuras.geomtricas;.

producir.y.analizar.construcciones.considerando.las.propiedades.involucradas.en.situaciones.problemticas.que.requieran:-.copiar.y.construir.figuras.usando.las.propiedades.conocidas,.mediante.el.uso.de.escuadra,.regla.y.comps;-.evaluar.la.figura.obtenida.en.relacin.con.la.informacin.dada;-.comparar.y.medir.ngulos.con.varios.recursos.

ngulos.y.tringulos.Relaciones.entre.los.lados.de.un.tringulo.ngulos..Uso.del.transportador.Clasificacin.de.los.tringulos.Rectas.paralelas.y.rectas.perpendiculares.

Construir.tringulos.a.partir.de.figuras.circulares..(Pginas.72.y.73)Comprobar.las.relaciones.entre.los.lados.de.un.tringulo...(Pginas.74.y.75)Trazar.y.medir.ngulos..(Pginas.76.y.77)Usar.el.transportador..(Pginas.78.y.79)Clasificar.tringulos..(Pginas.80.y.81)Trazar.rectas.perpendiculares.y.paralelas..(Pginas.82.y.83)Usar.el.programa.Regla.y.comps.(GeoGebra).en.MATI.net...(Pgina.84)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.85.y.86).

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5Propsitos Contenidos Actividades

Ago

sto Reconocer.y.usar.fracciones.en.situaciones.

problemticas.que.requieran:-.interpretar,.registrar.o.comparar.el.resultado.de.una.medicin,.de.un.reparto.o.de.una.particin,.con.fracciones,.a.travs.de.diversas.escrituras;-.comparar.fracciones.entre.s.y.con.nmeros.naturales,.con.varios.procedimientos..

Propiedades.de.los.nmeros.fraccionarios.Las.partes.y.los.enteros.Del.entero.a.las.partes.y.viceversa.Fraccin.de.una.cantidad.Fracciones.equivalentes.Comparar.y.ordenar.fracciones.Relaciones.entre.nmeros.fraccionarios.Nmeros.fraccionarios.en.la.recta.numrica.Clculo.mental..Estrategias.para.sumar.y.restar.

Reconocer.las.partes.y.los.enteros..(Pginas.88.y.89)Relacionar.enteros.y.partes..(Pginas.90.y.91)Reconocer.fracciones.de.una.cantidad..(Pginas.92.y.93)Reconocer.y.operar.con.fracciones.equivalentes..(Pginas.94.y.95)Comparar.y.ordenar.fracciones..(Pginas.96.y.97)Establecer.relaciones.entre.nmeros.fraccionarios..(Pginas.98.y.99)Ubicar.nmeros.fraccionarios.en.la.recta.numrica..(Pginas.100..y.101)Efectuar.clculos.mentales.y.usar.estrategias.variadas..(Pginas.102.a.105)Resolver.con.la.computadora..(Pgina.106)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.107.a.110)

Septiembre Reconocer.y.usar.relaciones.espaciales.en.

situaciones.problemticas.que.requieran:-.establecer.las.referencias.necesarias.para.ubicar.objetos.en.el.espacio.tridimensional.o.sus.representaciones.en.el.plano;-.interpretar.y.elaborar.representaciones.del.espacio.prximo.teniendo.en.cuenta.las.relaciones.espaciales.entre.los.objetos.representados;-.componer.y.descomponer.figuras.estableciendo.relaciones.entre.las.propiedades.de.sus.elementos..

Cuadrilteros.y.cuerpos.Caractersticas.de.algunos.cuadrilteros.Construcciones.de.cuadrados.y.rectngulos.Diagonales.de.cuadrados.y.rectngulos.Cuerpos.geomtricos.Caractersticas.y.desarrollos.planos.de.prismas.

Reconocer.caractersticas.de.algunos.cuadrilteros..(Pginas.112..y.113)Construcciones.de.cuadrados.y.rectngulos..(Pginas.114.y.115)Diagonales.de.cuadrados.y.rectngulos...(Pginas.116.y.117)Construir.con.regla.y.escuadra..(Pginas.118.y.119)Construir.con.regla.y.comps..(Pginas.120.y.121)Copiar.figuras..(Pginas.122.y.123)Caracterizar.cuerpos.geomtricos.y.sus.desarrollos.planos..(Pginas.124.a.129)Usar.el.programa.Regla.y.comps.(GeoGebra).en.MATI.net...(Pgina.130)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.131.a.134)

Octub

re Reconocer.y.usar.expresiones.decimales.de.uso.social.habitual.en.situaciones.problemticas.que.requieran:-.interpretar,.registrar.o.comparar.cantidades.usando.expresiones.con.una.o.dos.cifras.decimales;-.interpretar.la.equivalencia.entre.las.expresiones.fraccionarias.y.decimales.de.uso.frecuente.para.una.misma.cantidad;-.comparar.fracciones.y.expresiones.con.una.o.dos.cifras.decimales.de.uso.frecuente,.con.nmeros.naturales,.a.travs.de.varios.procedimientos.

Nmeros.con.coma:.lectura.y.escritura.Comparacin.de.nmeros.con.coma.Estrategias.de.clculo.mental.Estrategias.para.sumar.y.restar..Nmeros.con.coma.y.medidas.

Usar.nmeros.con.coma.y.centavos..(Pginas.136.y.137)Leer.y.escribir.nmeros.con.coma..(Pginas.138.y.139)Comparar.nmeros.con.coma..(Pginas.140.y.141)Usar.estrategias.de.clculo.mental..(Pginas.142.a.145)Usar.nmeros.con.coma.para.expresar.medidas..(Pgina.146)Usar.el.programa.para.programar.con.la.computadora,.en.MATI.net..(Pgina.148)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.149.a.152)

Nov

iembre - D

iciembre Comprender.el.proceso.de.medir,.

considerando.varias.expresiones.posibles.para.una.misma.cantidad.en.situaciones.problemticas.que.requieran:-.estimar,.medir.efectivamente.eligiendo.el.instrumento.y.registrar.cantidades.usando.la.unidad.adecuada.segn.la.situacin;-.comparar.y.calcular.cantidades.de.uso.social.habitual.estableciendo.equivalencias.si.la.situacin.lo.requiere.

Medidas.de.longitud,.peso,.capacidad.y.tiempo.Estimacin.de.pesos,.capacidades.y.longitudes.Determinacin.de.permetros.y.reas.

Resolver.problemas.de.medicin..(Pginas.154.y.155)Usar.medidas.de.longitud...(Pginas.156.y.157)Usar.medidas.de.peso..(Pginas.158.y.159)Usar.medidas.de.capacidad..(Pginas.160.y.161)Usar.medidas.de.tiempo..(Pginas.162.y.163)Estimar.pesos,.capacidades.y.longitudes..(Pginas.164.y.165)Determinar.permetros.y.reas..(Pginas.166.a.171)Usar.el.programa.Regla.y.comps.(GeoGebra).en.MATI.net...(Pgina.172)Resolver.actividades.de.integracin..(Pginas.173.a.176)

Planificacin anual

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6El enfoque didctico Cuando.pensamos.en.qu.queremos.que.nuestros.alumnos.se.lleven.de.las.clases.de.matemtica.aparecen.varias.preguntas..Qu.significa.saber.sumar,.restar,.multiplicar.y.dividir?.Alcanza.con.conocer.los.algoritmos.de.las.operaciones.para.decir.que.los.nios.saben.operar?.Saber.matemtica.es.saber.las.operaciones?.Qu.queremos.que.nuestros.alumnos.sepan.de.geometra?.Para.qu.es.necesaria.la.geometra?.Para.qu.queremos.que.aprendan.las.propiedades.de.las.figuras.y.los.cuerpos?Antiguamente.se.consideraba.que.una.persona.no.era.analfabeta.si.saba.leer,.escribir.y.operar..Hoy.en.da.sabemos.que.eso.no.alcanza..El.mundo.que.nos.rodea.es.lgica,.razonamiento,.deduccin.y.creacin..Lo.que.alcanzaba.hasta.ayer,.hoy.no.es.suficiente..Un.nuevo.programa,.una.nueva.estrategia:.el.mundo.cambia.a.nuestro.alrededor,.mucho.ms.rpido.que.cuando.nosotros.bamos.a.la.escuela.Uno.de.los.objetivos.centrales.de.nuestra.enseanza.debe.ser,.entonces,.que.nuestros.alumnos.sean.capaces.de.razonar,.deducir.y.crear..Que.puedan.adaptarse.satisfactoriamente.a.las.circunstancias.cada.vez.ms.cambiantes..Queremos.educar.nios.pensantes,.capaces.de.analizar,.de.resolver.situaciones,.de.buscar.estrategias.innovadoras;.en.sntesis,.nios.preparados.para.afrontar,.cuando.crezcan,.el.mundo.que.los.rodea..Pero.cmo.lograrlo?La.propuesta.didctica.de.nuestra.serie.se.basa.en.la.perspectiva.constructivista.e.interaccionista..Queremos.generar.en.el.aula.una.actividad.de.produccin.de.conocimiento.semejante.al.quehacer.matemtico,.es.decir.que,.a.medida.que.los.alumnos.se.apropian.de.los.saberes,.se.apropian.tambin.de.los.modos.de.producir.esos.saberes..Construir.el.sentido.de.un.conocimiento.no.es.solo.reconocer.las.situaciones.para.las.cuales.es.til,.sino.tambin.conocer.los.lmites.de.su.empleo,.es.decir,.en.qu.condiciones.se.cumplen.ciertas.propiedades,.en.qu.casos.es.necesario.apelar.a.otra.tcnica.o.a.otro.concepto,.cmo.se.relacionan.los.conceptos.entre.s,.cules.son.las.formas.de.representacin.ms.tiles.para.obtener.ms.informacin,.cmo.se.controla.la.coherencia.de.la.respuesta,.cmo.se.recomienza.desde.el.error.En.los.siete.libros.de.la.serie,.estudiar.y.aprender.matemtica.es.fundamentalmente.hacer.matemtica,.construirla,.fabricarla.y.producirla,.como.hacen.los.matemticos.Es.cierto.que.ellos.tienen.muchos.conocimientos.y.recursos;.sin.embargo,.cuando.se.les.plantea.un.problema,.en.primera.instancia.no.saben.cules.de.todos.los.conocimientos.y.recursos.les.conviene.usar,.y.deben.seleccionarlos.entre.los.muchos.que.estn.a.su.disposicin..Esto.es.lo.que.proponemos.que.hagan.los.alumnos.

Esta.serie.plantea.problemas,.muchos.de.los.cuales..no.son.de.aplicacin.sino.que.fueron.pensados.para.ensear.contenidos,.lo.cual.puede.producir.sorpresa..Muchos.se.preguntarn.cmo.es.posible.que.los.alumnos.resuelvan.si.antes.no.se.les.explica.cmo.hacerlo..Esta.es.una.de.las.riquezas.del.modelo.de.enseanza.y.aprendizaje.al.que.adherimos.

Qu es un problema?

Un.problema.es.una.situacin.que.el.alumno,.en.principio.no.sabe.con.qu.herramienta.puede.resolver,.pero..tiene.recursos.para.empezar.a.hacerlo.Para.ser.considerada.un.problema,.una.situacin.tiene.que.ser.un.desafo.para.el.alumno.y.permitir.diversas.estrategias.de.resolucin..A.veces.los.problemas.permiten.resolver.situaciones.externas.a.la.matemtica,.como.por.ejemplo:

Y.otras,.para.resolver.problemas.internos.de.la.matemtica.

Por.lo.tanto,.una.situacin.no.es.un.problema.por.el.solo.hecho.de.tener.un.texto.Cuando.nos.referimos.a.problemas.usados.para.ensear.contenidos,.no.esperamos.que.los.alumnos.los.resuelvan.

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7completamente,.ni.con.la.estrategia.ms.econmica.o.convencional,.ya.que,.si.fuese.as,.o.ya.saban.el.contenido.que.se.pretende.que.aprendan.o.alguien.les.dijo.previamente.cmo.hacerlo..Sin.embargo,.es.esperable.que.establezcan.relaciones.que.el.docente.luego.retomar.en.una.instancia.colectiva..Para.que.esta.actividad.sea.llevada.a.cabo.con.xito.es.necesario.estructurar.la.clase.pensando.esencialmente.en.4.momentos.diferenciados.

La gestin de la claseProponemos.una.primera.instancia.de.actividad.individual.por.parte.del.alumno..En.este.momento.cada.uno.se.enfrenta.con.la.situacin.y.esboza.sus.primeras.ideas..Puede.ser.que.sean.escasas,.cortas.y.muy.poco.claras;.pero.les.damos.el.momento.para.que.se.enfrenten.con.la.situacin.de.anlisis.y.la.confronten.

La.segunda.instancia.es.el.de.trabajo.en.pequeos.grupos..En.l,.los.alumnos.confrontan.sus.ideas,.comienzan.las.discusiones.y.arman.los.primeros.acuerdos.Es.muy.importante.que,.en.este.momento,.no.seamos.nosotros,.los.docentes,.los.que.determinemos.si.un.razonamiento.es.correcto.o.no..Permitamos.que.piensen.solos.aunque.sus.razonamientos.sean.errneos..Esta.interaccin.entre.ellos.permite.que:.confronten.las.respuestas.elaboradas.individualmente,.comprendan.las.divergencias.en.las.estrategias.para.llegar.a.una.respuesta,.comuniquen.su.mtodo.o.su.solucin.y.lo.defiendan,.comprendan.otros.procesos,.los.cuestionen.e.interpreten,.identifiquen.los.procesos.trabajados,.a.menudo.de.modo.no.convencional..

Los.alumnos.saben.que.nosotros.tenemos.ms.conocimientos.que.ellos,.por.lo.que.a.nosotros.no.nos.discutirn.tanto.como.a.sus.pares..Es.por.eso.que,.en.este.momento,.es.importante.que.nos.mantengamos.al.margen..Ante.las.consultas.de.los.alumnos,.es.aconsejable.contestar.con.otras.preguntas.que.los.hagan.reflexionar..Por.ejemplo:.pero.el.enunciado.dice?,.te.acords.cuando.vimos?,.viste.lo.que.hizo?,.etctera.

La.tercera.instancia.es.la.de.la.discusin.colectiva..Cada.pequeo.grupo.llega.a.ella.con.una.idea,.un.acuerdo.entre.los.integrantes.del.pequeo.grupo..Ese.acuerdo.vuelve.a.ponerse.en.discusin..Se.genera.entonces.un.debate..Debatir.no.consiste.en.oponer.una.opinin.a.otra.sino.que.exige.a.todos.aportar.argumentos.basados.en.hechos.que.los.dems.puedan.

constatar..El.objetivo.de.este.debate,.entonces,.es.confrontar.procedimientos.y.producir.conclusiones.colectivas..

La.cuarta.instancia.es.aquella.en.la.que.el.docente.sintetiza.lo.aprendido.y.pone.nombre.a.las.propiedades..En.este.momento.se.establecen.las.relaciones.entre.el.conocimiento.que.ha.circulado.en.clase.y.el.que.se.pretenda.ensear..

En.todo.este.proceso.el.docente.tiene.un.rol.fundamental..Sus.funciones.son:.elegir.y.proporcionar.los.problemas,.organizar.las.actividades.de.los.alumnos,.ayudar.a.que.se.hagan.cargo.de..la.situacin,.plantear.preguntas,.ensear.a.debatir.y.a.justificar,.moderar.en.el.debate.sacar.a.la.luz.los.razonamientos.que.pudo.ver.en.los.diferentes.grupos,.mientras.pasaba.a.mirar.lo.que.iban.haciendo,.gestionar.el.estudio.de.los.alumnos,.definir.finalmente.los.nuevos.conceptos.que.los.alumnos.fueron.construyendo.

Pensamos.esta.gua.para.ayudar.a.los.docentes.a.transitar.estos.momentos,.fundamentalmente.los.dos.ltimos..Aqu.encontrarn.el.anlisis.de.todos.los.problemas.planteados.en.los.libros.con.posibles.estrategias.de.los.alumnos,.sugerencias.de.intervenciones.docentes.a.partir.de.ellas.y.sistematizaciones..[el.maestro].es.aquel.que.ayuda.al.alumno.a.adquirir.un.poder.aprendiendo.a.forjar,.a.comprender.y.a.utilizar.instrumentos.matemticos.1

Esperamos.que.la.gua.los.ayude.en.el.desafo.diario.de.ensear.y.aprender.

1 R. Bkouche (1991)

Enfoque didctico

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8Captulo 1: Los nmeros naturales

Objetivo:Analizar y comprender las caractersticas del sistema de numeracin.

NAP:El reconocimiento y uso de los nmeros naturales, de la organizacin del sistema decimal de numeracin y la explicitacin de sus caractersticas, en situaciones problemticas.

Problema 1 a. Comience la clase pidiendo a los alumnos que

resuelvan el problema de manera individual. Aqu aparecen los nmeros como portadores de diferentes tipos de informacin, no solamente cantidades. Como no es un problema que plantee diferentes estrategias de resolucin, la puesta en comn debera ser un intercambio corto, aunque conviene que queden las conclusiones registradas en los cuadernos de los alumnos, por ejemplo: Los nmeros no solo sirven para contar sino que tambin pueden representar: una direccin, un telfono, el nmero de documento, una patente, etctera.La escritura de las conclusiones es, desde nuestro punto de vista, un trabajo valioso, ya que recoge lo que merece recordarse de un problema y ayuda a organizar el estudio posterior de los alumnos. Ellos no saben hacerlo solos, por lo cual el docente debe ayudarlos a aprender a estudiar, y una de las herramientas necesarias en esta tarea es el cuaderno o la carpeta. No es posible estudiar de un cuaderno hermtico, lleno de nmeros, sin explicaciones ni conclusiones ni ideas para recordar.

1. a. Los nmeros representan: el nmero de una calle, un cdigo postal, un nmero de telfono, el

nmero de factura, el nmero de CUIT y una cantidad de dinero.

Problemas 1 b. y 2 Proponga a los alumnos que resuelvan en parejas

estos problemas sobre la numeracin oral y escrita. Es esperable que muchos nios, para escribir el nmero dos mil cuatrocientos veintiocho, anoten 200040028 o alguna otra escritura similar. Por qu sucede esto? En general, traducen literalmente la numeracin oral a la escrita. Cuando decimos dos mil cuatrocientos veintiocho nos referimos a varias operaciones: 2000 + 400 + 28. Muchos alumnos desconocen esto y directamente yuxtaponen los nmeros: 200040028. La numeracin oral y la escrita no funcionan de la misma manera, por lo cual es necesario aclarar esto. Una manera de hacerlo es analizar las regularidades de la escritura de los nmeros. Por ejemplo: los nmeros entre 10 (diez) y 99 (noventa y nueve) se escriben con dos cifras; los que estn

entre 100 (cien) y 999 (novecientos noventa y nueve) con 3 cifras. El primer nmero que se escribe con 4 cifras es 1.000, mientras que el ltimo es 9.999, etc. Esto permite que los alumnos controlen la escritura o incluso que anticipen algunas cuestiones: si se les pide que escriban el nmero tres mil doscientos cuatro, los alumnos saben que se escribe con 4 dgitos (es menor que 9.999).Si las escrituras anteriores no aparecen, puede proponerlas para discutirlas. Por ejemplo, Mara tena que escribir el nmero mil trescientos cincuenta y seis y escribi 2000300506. Qu les parece lo que hizo Mara?. Como parte de la puesta en comn plantee preguntas con el objetivo de que surjan pistas que ayuden a escribir nmeros, y que tendran que quedar registradas en las carpetas, por ejemplo: Podemos saber cuntas cifras va a tener un nmero antes de escribirlo? Podemos saber con qu cifra empieza? Y con cul termina?.De esta manera, ante la pregunta de un alumno sobre cmo escribir un nmero, recomindele que lea su carpeta, devolvindole la responsabilidad de la resolucin del problema y corrindose del lugar de proveedor de respuestas.

1. b. Cuatro mil veinte.2. 2.428

Problema 3Este problema funciona como una referencia y usted

puede proveer una estrategia de escritura: sabiendo que la

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9Captulo 1

numeracin oral muchas veces indica una suma, escriba en el pizarrn algo similar a lo siguiente: Tres mil ocho: 3.000 + 8 = 3.008 Tres mil ochenta: 3.000 + 80 = 3.080 Tres mil ochocientos: 3.000 + 800 = 3.800

3. 3.008, 3.080 y 3.800.

Problema 4Proponga este problema como tarea casera ya que

no requiere demasiada discusin porque no admite diversas estrategias. En caso de ser necesario, explique que cada valor que forma un nmero se llama dgito o cifra y que para formar el mayor nmero posible es necesario poner la cifra mayor en el primer dgito. En cuanto a la menor cifra es posible considerar el nmero 0246 pero este no tiene 4 cifras sino 3. Por lo tanto, el menor nmero de 4 cifras que se puede formar con esos nmeros es: 2.046. En cambio, si se pudieran repetir, sera 2.000.

4. a. El mayor nmero que se puede escribir sin que se repitan las cifras es 6.420.

b. Si se pudieran repetir las cifras, el nmero mayor sera 6.666.

Problemas 5 y 6Estos problemas vuelven a destacar la relacin entre la numeracin oral y la escrita, pero para nmeros

mayores. Organice pequeos grupos y pida que los nios

propongan pistas para ayudar a otros a escribirlos. Por ejemplo: El ltimo nmero que se escribe con 4 cifras es 9.999. El nmero que le sigue a 9.999 es 10.000 y es el primero que se escribe con 5 cifras. El ltimo nmero que se escribe con 5 cifras es 99.999.Todo esto debe quedar registrado para completar una lista de cuestiones que sirvan para estudiar cmo se escriben los nmeros.

5. 010200 6. 10.101

Problema 7Este problema pone el acento sobre la serie numrica, en particular en lo que se refiere al anterior

y posterior de nmeros que terminan en 9, lo cual suele ser difcil para los nios. Para facilitar la tarea, en la puesta en comn elabore las regularidades de la serie numrica que ayudan a determinar el orden en que estn los nmeros: Si un nmero termina en 0, el siguiente termina en 1 y tiene el mismo dgito en el lugar de las decenas; el anterior tiene un dgito menos en el lugar de las decenas y termina en 9. Si un nmero termina en 9, el siguiente termina en 0 y el dgito que ocupa el lugar de las decenas es uno ms; el anterior tiene el mismo dgito en el lugar de las decenas y termina en 8.

7.

Uno menos Nmero Uno ms

8.989

7.558

4.789

9.998

9.088

7.999

8.990

7.559

4.790

9.999

9.089

8.000

8.991

7.560

4.791

10.000

9.090

8.001

Problema 8Mientras resuelven este problema pida que consulten

en las carpetas cualquier duda que les surja. En la puesta en comn pida a los alumnos que digan cmo hicieron para darse cuenta de qu nmeros deban escribir. Esto es ms til que solo corregir el problema, porque pone en juego algo que habitualmente queda afuera de las reflexiones colectivas y que tiene que ver con el modo que se emplea para darse cuenta de cmo resolver un problema.En el caso del problema 8 b., las preguntas que permiten descubrir un nmero ponen en juego las relaciones y las regularidades aprendidas. Pero, adems, hay preguntas que sirven para descartar ms nmeros que otros, por ejemplo: es mayor que 20.050?Concluya que para completar cada fila hay que cambiar la cifra

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10

que ocupa el lugar de las unidades y en cada columna cambia la cifra que ocupa el lugar de los dieces.

8. Los nmeros que faltan para completar el cuadro son: 20.004, 20.012, 20.019, 20.021, 20.033, 20.037, 20.040,

20.048, 20.051, 20.056, 20.069, 20.070, 20.082, 20.085, 20.097.

Problema 9Pida que resuelvan el problema de tarea y plantee

una puesta en comn solo si es necesario.

9. a. diez mil uno. b. veinte mil doscientos. c. treinta y tres mil. d. cuarenta y cinco mil cuarenta y cinco.

e. cien mil. f. ochenta y nueve mil ciento seis.

Problema 10 Este problema requiere lo que ya se discuti en los

anteriores. Surge la relacin entre contar de 1 en 1, de 10 en 10 y de 100 en 100. Proponga que lo resuelvan y luego realice una puesta en comn. Pregunte qu cambia en cada fila y en cada columna y concluya que no es lo mismo que en el problema 8.

10. a. 51 casilleros. b. 31 casilleros.

Problema 11 Pida que resuelvan el problema y que expongan,

en la puesta en comn, lo que pensaron. Registre que si un nmero est entre 54.700 y 64.700 seguro tiene 5 cifras. Pero, adems, el nmero pedido termina en 555. Por lo tanto ser __ __ 555. Es necesario determinar entonces qu dgitos poner en los primeros lugares. Para el primer lugar seguro que va 5 o 6. Segn lo que se ponga all quedarn distintas posibilidades para el segundo lugar. Es decir, se pueden poner: 55-56-57-58-59-60-61-62-63-64. Hay 10 nmeros posibles. Es muy valioso analizar con los alumnos problemas que tengan ms de una solucin y otros que no tengan ninguna y tambin incentivar la indagacin de los problemas sacando conclusiones parciales.

11. 55.555; 56.555; 57.555; 58.555; 59.555; 60.555; 61.555; 62.555; 63.555 y 64.555.

Problema 12Pida que resuelvan el problema y pregunte luego qu cambia en un nmero cuando se le suma o

resta 1. Es posible que los alumnos contesten que solo cambia la ltima cifra. Si ese es el caso pida que observen el nmero 49.999 que esta en la tabla y que cuenten cmo lo calcularon. Registre las conclusiones en la carpeta, por ejemplo: Cuando se suma o resta 1 a un nmero, siempre cambia la ltima cifra. A veces tambin cambian las otras.

12. a.

Uno menos Nmero Uno ms

34.566 34.567 34.568

49.998 49.999 50.000

45.348 45.349 45.350

60.999 61.000 61.001

b. El nmero que deben rodear es 45.350.

Problemas 13 a 15A partir de estos problemas se analizan las

caractersticas de la recta numrica. Proponga que resuelvan el problema 13. La escala ocupa aqu un rol central: solamente a partir de ella se pueden ubicar los nmeros en la recta. Conviene que los nios se den cuenta y este tiene que ser uno de los objetivos de la puesta en comn que midiendo la distancia entre dos nmeros pueden determinar la ubicacin de cualquier otro. Pida que registren en los cuadernos o carpetas, junto a un ejemplo, para que est disponible cuando estudien. Por ejemplo, si ya esta elegida la distancia entre 10 y 20, esta se tendr que mantener entre 20 y 30, 30 y 40, etctera. Para reforzar estas conclusiones pida que resuelvan los problemas 14 y 15 en parejas o de manera individual.

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Captulo 1

13. a.

10 20 60

b.

0 8.0004.000

14. a.

100 200 3000

b.

1 5 90

15.

10.000 30.00020.000

25.000

Problema 16Los problemas 16 a 24 tratan sobre la posicionalidad y la descomposicin de nmeros en potencias de 10,

teniendo en cuenta que no hay una nica manera de hacerlo y que la descomposicin polinmica es una forma ms. Proponga a los alumnos que resuelvan el problema 16. Luego plantee una puesta en comn.Este problema propone la escritura de una relacin. Es esperable que los nios no sean demasiado claros o que la explicacin no sea completa. Debido a esto, y porque la explicacin es, desde nuestra forma de pensar el aprendizaje, una actividad inherente a hacer matemtica, es necesario

que discuta con ellos el tipo de escritura que propusieron. Es tambin posible que se proponga una escritura consensuada. En este problema no solo hay que explicitar cmo darse cuenta de que los nmeros 576 y 765 son diferentes, sino que tambin puede usarse para discutir sobre la explicacin y cmo escribirla. Por ejemplo: Si quiero pagar 576 con la menor cantidad de billetes de 1, 10 y 100, voy a usar 5 billetes de 100; en cambio para pagar 765 con las mismas cantidades hay que poner 7 billetes de 100; por lo tanto, los nmeros son diferentes porque las cifras estn ubicadas en otro lugar.

16. Los nmeros 576 y 765 tienen los mismos dgitos pero ubicados en distintos lugares y, por eso, los dgitos representan diferentes cantidades y los

nmeros son distintos. Por ejemplo, el 5 de 576 representa la cantidad de cienes, y el 5 de 765 la cantidad de unidades.

Problemas 17 y 18Estos problemas proponen resolver clculos mentales. Para el problema 17 pregunte qu cambia

en un nmero cuando se descuenta 100. Concluya que si se resta 100 siempre cambia la cifra que ocupa el lugar de los cienes pero que tambin pueden cambiar otras cifras. Por ejemplo, cuando se descuenta 100 de 1.054 cambia el 0 y el 1.Si bien los clculos del problema 18 reciben el nombre de mentales, deben ser por escrito, porque la escritura requiere que se expliciten las propiedades que se usaron. No significa que los alumnos nombren las propiedades, sino que las apliquen. Cuando hablamos de clculo mental, nos referimos siempre a un clculo pensado, reflexionado, que no excluye el lpiz ni la calculadora. Por ejemplo: 15.300 + 700 = 15.000 + 300 + 700 = 15.000 + 1.000 = 16.000La puesta en comn es el momento para explicitar el proceso que lleva a obtener el resultado. Ayude a plantear la escritura que explica cada clculo, por ejemplo: 43.456 400 56 = 43.000 + 400 + 56 400 56 == 43.000 + 400 400 + 56 56 = 43.000 52.371 2.000 = 50.371 + 2.000 2.000 = 50.371 52.371 2.000 = 50.000 + 2.000 + 371 2.000 = 50.000 + 371 == 50. 371Las descomposiciones, en este caso, facilitan un clculo. Es probable que algunos alumnos no puedan despegarse del algoritmo y lo apliquen mentalmente. Aclare que no deben hacer clculos convencionales sino solo mostrar qu procedimiento usaron.

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sistema de numeracin y dar sus caractersticas; para ello pida que lean el lateral de la pgina 11 y remita cada una de las caractersticas a alguno de los problemas de este captulo. Pida que registren que no hay una nica manera de descomponer a un nmero como suma de nmeros multiplicados por potencias de 10 y que la descomposicin polinmica es solo una de esas maneras.

20.

Billetes de $100 Billetes de $10 Monedas de $1

$945 9 4 5

$1.234 12 3 4

$1.568 15 6 8

$3.456 30 45 6

$4.621 45 12 1

$2.480 20 48 0

21. Para pagar $12.300 se necesitan 123 billetes de $100 y $1.230 billetes de $10.22. a. 12.345 = 1 10.000 + 2 1.000 + 3 100 + 4 10 + 5b. 23.987 = 2 10.000 + 3 1.000 + 9 100 + 8 10 + 7c. 45.036 = 4 10.000 + 5 1.000 + 3 10 + 6d. 20.095 = 2 10.000 + 9 x 10 + 5 23. a. 1.234 = 1.000 + 2 100 + 30 + 412.349 = 10.000 + 2 1.000 + 3 100 + 40 + 989.785 = 8 10.000 + 9 1.000 + 7 100 + 8 10 + 556.871 = 50.000 + 6 1.000 + 800 + 7 10 + 1b. Produccin personal.24. a. 3.333 = 1.000 3 + 300 + 30 + 3

17.

ProductoPrecio sin descuento

Precio con descuento

Secador de pelo $452 $352

Licuadora $856 $756

Heladera $2.640 $2.540

Lavarropas $1.054 $954

18. a. 12.300 b. 40.000 c. 50.371 d. 16.000 e. 43.000 f. 23.235

Problema 19En este problema se ponen en juego las formas de

descomponer nmeros en sumas y restas que se usaron hasta ahora, por lo cual, la primera parte puede resolverse de manera individual y la segunda en grupos para que comparen las posibles descomposiciones. En la puesta en comn pida que digan algunas descomposiciones y regstrelas en el pizarrn. Podrn aparecer, por ejemplo: 1.234 = 1.200 + 34; 1.234 = 617 + 617; 1.234 = 1.229 + 5Luego, plantee las siguientes preguntas: Cmo podemos darnos cuenta si una descomposicin es correcta? Cmo se hace para pensar maneras de descomponer un nmero?La primera pregunta brinda a los alumnos un mecanismo de control de sus respuestas: la suma y/o la resta tiene que resultar igual al nmero que se est descomponiendo. En cuanto a la segunda pregunta, el objetivo es explicitar las estrategias que se usan para descomponer nmeros. El registro de las respuestas en las carpetas es una buena herramienta de estudio.

19. Hay muchas maneras. Por ejemplo:1.234 = 1.200 + 30 +4 = 1.500 - 266

68.987 = 60.000 + 8.000 + 900 + 80 + 7 = 68.980 + 735.560 = 35.000 + 56050.560 = 51.000 - 440

Problemas 20 a 24Estos problemas vuelven a plantear descomposiciones en potencias de 10. Como esto ya se ha tratado,

proponga que formen grupos y luego, una puesta en comn. En ella, adems de verificar las respuestas, pregunte cmo saben si la descomposicin es correcta aplicando la conclusin de los problemas anteriores y compare las descomposiciones del problema 19 con las del problema 20. Explique la diferencia entre una descomposicin cualquiera y la polinmica, donde los nmeros que multiplican a cada potencia de 10 no pueden ser mayores que 9. Esta descomposicin puede obtenerse con solo mirar el nmero. Es tambin el momento de definir qu es un

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Captulo 1

21.471 = 10.000 2 + 1.000 + 400 + 70 + 183.503 = 80.000 + 3.000 + 500 + 0 + 383.785 = 10.000 8 + 3.000 + 700 + 80 + 546.888 = 40.000 + 6 1.000 + 800 + 80 + 8b. Produccin personal.

Problemas 25 y 26Es muy probable, casi seguro, que los nios usen los

algoritmos para realizar los clculos propuestos en los problemas 25 al 30. Muestre que se pueden realizar de otra manera y explique por qu. La puesta en comn debe tratar sobre estas relaciones insistiendo en la escritura de la explicacin.Es factible que no tengan dificultad para decidir qu clculo permite resolver cada problema, pero seguramente aplicarn el algoritmo tradicional. En el caso del problema 25, algunas estrategias de los alumnos pueden ser: 2.350 : 10 235 10 Restar varias veces 10 a 2.350 para luego contar la cantidad de veces que pudieron hacerlo. Sumar 10 varias veces hasta llegar a 2.350 y contar la cantidad de sumas que hicieron. Multiplicar 10 por un nmero, de manera que el resultado sea 2.350.Todas estas estrategias remiten a la cantidad de veces que 10 entra en 2.350 y esto puede responderse con conocimientos del sistema de numeracin. A los que tienen dificultades para responder esta pregunta, plantesela en trminos de dinero:

Cuntos billetes de $10 se necesitan para pagar $2.350?En el problema 26 es probable que intenten calcular 63.500 1.000. Pero algunos alumnos dirn que no saben resolver divisiones cuando el divisor tiene 2 cifras o ms; diga en este caso que intenten resolver las divisiones como puedan, que piensen qu estn tratando de calcular.Es interesante sealar que no se espera que los alumnos resuelvan estos problemas completamente. Por eso aproveche lo que hayan planteado como apoyo para su explicacin aunque el tiempo no les haya alcanzado para resolverlo por completo.

25. S, porque 235 10 = 2.350.26. Se necesitan 64 talonarios.

Problemas 27 a 29En los problemas 27 y 28, la escritura de las

conclusiones ocupa un lugar central, ya que explica cmo multiplicar y dividir por una potencia de 10. Es para ello que aparecen estos problemas. Pida que realicen los tres juntos y luego, en la puesta en comn, anote las conclusiones con un ejemplo para que los alumnos puedan comprenderlas. Por ejemplo: 23 10 son 23 dieces, o sea, 230. Otra forma es pensar que con 23 billetes de $10 se tienen $230. 23 100 son 23 cienes, o sea, 2.300. Con 23 billetes de $100 se tienen $2.300. 23 1.000 son 23 miles, o sea, 23.000. 230 : 10 significa encontrar la cantidad de veces que entra 10 en 230, es decir, 23 porque 23 10 = 230. 2.300 : 100 significa encontrar la cantidad de veces que entra 100 en 2.300, es decir, 23 porque 23 100 = 2.300. 23.000 : 1.000 significa encontrar la cantidad de veces que entra 1.000 en 23.000, es decir, 23 porque 23 1.000 = 23.000.

27. 23 10 = 230; 23 100 = 2.300; 23 1.000 = 23.00028. 230 : 10 = 23; 2.300 : 100 = 23; 23.000 : 1.000 = 23

29. La relacin es la siguiente: si 23 1.000 = 23.000, entonces, 23.000 : 1.000 = 23.

Problema 30Este problema plantea una extensin de lo aprendido en los anteriores y conviene que lo resuelvan en grupos

de no ms de 4.Los nmeros que hay que dividir por 10 no contienen una cantidad exacta de dieces y es posible que algunos nios no recuerden o no sepan qu es el resto de la divisin. Recurdeles que una de las maneras de pensar la divisin de 7.208 por 10 es como la cantidad de veces que 10 entra en 7.208 (o la cantidad mxima de billetes de $10 que se necesitan para pagar $7.208). Como 7.208 contiene 720 dieces y sobran 8, el cociente de la divisin es 720 y el resto, 8 (no alcanza para formar otro 10, por eso es lo que sobra). Esta explicacin debera registrarse en las carpetas para que puedan usarla como referencia en el momento de resolver otras divisiones por 10 u otra potencia de 10.

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Otro aspecto a tener en cuenta es analizar que el resto es el ltimo dgito del dividendo y que este hecho no es casual. La dificultad est en cmo se explica. Puede hacerlo as: 4.259 contiene 425 dieces, por lo que se puede descomponer como 425 10 + 9. Esto indica que el cociente de la divisin es 425 y el resto es 9. Si se pone otro nmero para dividir por 10 tambin resulta que el ltimo dgito, que siempre es menor que 10, indica lo que sobra y por eso no alcanza para formar otro 10.Adems, conviene recordar que, si se divide por otro nmero que no sea una potencia de 10, el resto no tiene por qu coincidir con el ltimo dgito del dividendo. Esto sucede porque nuestro sistema de numeracin es decimal.

30. a.

7.208 10 8 720

4.259 10 9 425

32.591 10 1 3.259

b. Porque cada nmero se puede escribir como una multiplicacin de otro nmero por 10 ms la ltima cifra. Por ejemplo: 7.208 = 720 10 + 8.c. Si pensamos el problema como la cantidad mxima de billetes de $5 necesarios para pagar en este caso se necesitan 685 billetes y no sobra nada.

Problema 31En los problemas 31 a 35 se propone que aprendan

el sistema romano de numeracin con el nico objetivo de comparar un sistema no posicional con nuestro sistema de numeracin. Es decir, se ensearn solamente las nociones fundamentales sobre los nmeros romanos.La mayora de los nios alguna vez ha visto relojes de agujas, y no les resultar difcil darse cuenta de cules tienen que ser los nmeros que ah aparecen (nmeros de 1 a 12). Esto permitir conocer la escritura de los primeros doce nmeros naturales. Arme la tabla y pida que la escriban en las carpetas.

Decimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Romano I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Si los chicos no conocen los relojes de agujas, explique cmo son y qu significa cada uno de los nmeros que ah aparecen.Concluya y registre que el sistema de numeracin romano es otra forma de escribir nmeros.

31. Primer reloj, 10:10; segundo reloj, 1:55; tercer reloj, 6:05.

Problema 32Este problema agrega la escritura de otros nmeros y, a partir de ellos, se pide que interpreten algunas

escrituras. Como los chicos no disponen todava de las reglas de escritura de los nmeros romanos, proponga que discutan qu nmeros estn representados. Para esto pueden usar como referencia los nmeros de los relojes.En la puesta en comn, luego de escuchar las propuestas de los grupos, indique que lean y analicen con su ayuda las reglas que aparecen en el lateral de la pgina.

32. III = 3; VI = 6; IV = 4; MDLXXVII = 1.577; IX = 9; LIII = 53; XI = 11; CXXVIII = 128.

Problema 33Proponga que resuelvan el problema y luego plantee

una puesta en comn. Es posible que algunos alumnos indiquen que 90 se puede escribir como XXXXXXXXX (porque es 9 veces 10) o como LXXXX (50 y 4 veces 10). Es importante remarcar en ese caso que si bien es cierto que esos nmeros parecen ser 90, no cumplen una de las condiciones de este sistema de numeracin, que es que un smbolo solo puede repertirse 3 veces.

33. La escritura que representa el nmero 90 es XC.

Problema 34 Este problema pone en juego lo aprendido en los problemas anteriores. Cuando terminen de

resolverlo, haga una puesta en comn rpida para verificar los resultados obtenidos.

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Captulo 1

34.

Romano VIII DCII CDIII MCC CMV ___ X

___ XX CL

Decimal 8 602 403 1.200 905 10.000 20.150

Problema 35Este problema admite diferentes respuestas. Hay nmeros que se escriben con menos smbolos en el

sistema romano que en el decimal, por ejemplo, C y 100. Otros, usan ms smbolos en el sistema romano que en el decimal, como MCCXXXIII y 1.233. En la puesta en comn, destaque que en el sistema de numeracin romano no se cumple una propiedad que s se cumple en nuestro sistema: cuanto ms largo es un nmero, ms grande es.

35. a. Por ejemplo X = 10. b. Por ejemplo: 8 = VIII.

Problemas 36 y 37El problema 36 puede calcularse con una suma

porque se busca averiguar la cantidad de entradas vendidas conociendo la cantidad de los dos tipos de entradas que se vendieron. No deberan tener dificultades para identificar la operacin que permite resolverlo. El problema 37 plantea una diferencia respecto del 36. No se pide que resuelvan el problema sino que identifiquen qu clculo permite encontrar la solucin. Es posible que los alumnos

piensen que la suma no sirve porque el problema dice agua que se pierde, sin embargo se pierde agua y se busca la cantidad total de agua perdida. En la puesta en comn retome los dos problemas juntos. Pregunte qu clculo permite resolver cada uno y cmo hacen para darse cuenta. Registre en el pizarrn y en la carpeta las conclusiones. Por ejemplo: En el problema 36 sabemos cuntas entradas populares y plateas se vendieron y se quiere saber la cantidad de personas que asistirn, lo cual se puede encontrar sumando. En el problema 37 conocemos cunto lquido se pierde un da y el da siguiente. La suma indica la cantidad total de lquido que se pierde en los dos das.

36. Asistirn 32.000 personas.37. El clculo es 3.500 + 2.700.

Problemas 38 y 39 Estos problemas pueden plantearse como una suma

o una resta. Segn la destreza que tengan los alumnos para resolver clculos, elegirn una u otra forma.En la puesta en comn pida que enuncien brevemente las respuestas y pregunte cmo hicieron para darse cuenta qu haba que hacer. Es esperable que haya dos tipos de respuestas: A las 12.350 personas que haba, hay que sacarle las 1.250 que se fueron para ver cuntas quedan. Hay que encontrar cuntas personas le faltan a 1.250 para llegar a 12.350. Escriba las explicaciones anteriores, ayudando para que queden claras, y los clculos que permiten traducirlas, por ejemplo: 12.350 1.250 o 1.250 + = 12.350 4.029 2.100 o 2.100 + = 4.029

38. Se quedaron 11.100 personas.39. El clculo es 4.029 2.100.

Problema 40Este problema retoma lo elaborado en el 37. Pida que

contesten la pregunta a., centrando el inters en la explicacin. Concluya que los dos valores dados corresponden a peso perdido, por lo cual para obtener el peso total perdido hay que sumarlos. Si los restaran, hallaran la diferencia entre lo que baj durante cada semana.

40. a. No es correcto lo que dice Tatiana. El clculo es 340 + 280.

b. Despus de la segunda semana habr adelgazado 620 g.

Problemas 41 y 42 Estos problemas tratan de varias transformaciones sucesivas que no son iguales: cuando un pasajero

sube, se suma, mientras que si baja, se resta al total. Es probable que los alumnos no se den cuenta de esta diferencia y sumen todos los valores. En ese caso pida que digan en

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palabras qu representa el resultado. Tambin puede pedirles que estimen qu sucede luego de cada transformacin. Por ejemplo, si en la primera parada bajan 23 pasajeros, habr ms o menos que antes?.Plantee la puesta en comn despus de haber resuelto los dos problemas. Pida a un alumno por grupo que explique qu hicieron y por qu, especialmente para los clculos que eligieron y propusieron. Solicite que expliquen por qu suman o restan. Registre en las carpetas cmo darse cuenta si hay que sumar o restar. Como es difcil escribirlo en general, hgalo segn alguno de estos dos problemas.

41. El clculo correcto es 568 23 34 + 60 + 29. Porque cuando bajan, hay que restar, y cuando

suben, hay que sumar.42. Martina obtuvo 3.100 puntos.

Problemas 43 y 44La explicitacin de las tcnicas permiten darle sentido al clculo mental. Asegrese de que quede

muy bien explicado. Si bien es cierto que los dos clculos ayudan a encontrar el resultado del problema 43, no se tuvo en cuenta que se usa 23 + 8 = 31 para hallar 23.000 + 8.000 = = 31.000. Es muy probable que los alumnos puedan afirmar que el resultado no es correcto pero que tengan dificultades para explicar por qu. Aydelos a explicitarlo en la puesta en comn.En el problema 44 no sirve hacer 500 450 porque en realidad hay que hacer 450 500 y no es posible. No es difcil mostrar que el razonamiento no es correcto, pero insista en cmo resolverlo correctamente. Una posibilidad es:3.450 2.500 = 3.500 2.500 50 = 1.000 50 = 950.

43. No es correcto lo que hizo Juan. El resultado correcto del clculo es: 1.000 + 31.000 = 32.000.

44. No es correcto lo que hizo Lazlo. Una posibilidad es: 3.450 2.500 = 3.500 2.500 50 = 1.000 50 = 950.

Problema 45 Este problema usa las relaciones elaboradas en los dos problemas anteriores. Luego de que los grupos

digan cmo pensaron cada clculo, en la puesta en comn, aydelos a escribir sus razonamientos. Por ejemplo: Como 35 + 5 = 40 y 200 + 800 = 1.000, entonces, 35.200 + 5.800 = 40.000 + 1.000 = 41.000. 3.240 1300 = 3.300 1.300 60 = 2.000 60 = 1.940

45. a. 41.000 b. 1.940

Problema 46A partir de los problemas 46 a 51 se busca desarrollar

estrategias de clculo mental para sumas y restas. En este problema, adems de las posibles confusiones respecto de si

hay que sumar o restar 10 o 100, el objetivo es reflexionar sobre una forma simple de calcular. En la puesta en comn pregunte: Cmo podemos darnos cuenta si tenemos que sumar o restar 10 o 100? Luego de responder esta pregunta y escribir entre todos la respuesta, plantee que cuando se suma o resta 10 o 100, el resultado es muy parecido al nmero. Pregunte: Es posible saber qu cifras van a cambiar antes de hacer la cuenta?.Concluya que, en general, al sumar o restar 10 cambia el dgito que ocupa el lugar de las decenas. Si se suma o resta 100, en general, cambia el dgito de las centenas. Para que vean las excepciones, pida que anticipen qu dgito va a cambiar en el resultado de 299 + 10, donde cambia ms de un dgito.

46.

Artculo Precio Precio promocin

Televisor $676 $666

Lavarropas $1.195 $1.095

Heladera $2.340 $2.240

Equipo de audio $408 $398

Equipo de DVD $299 $289

Microondas $104 $94

Cocina $399 $389

Ventilador $109 $99

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Apoyndose en clculos conocidos: como 8 + 2 = 10, entonces, 80 + 20 = 100. Registre estas conclusiones en las carpetas.Para resolver el punto b. se pueden aprovechar las estrategias que se desarrollaron en el punto a.. Realice una puesta en comn solo si es necesario.

48. a. Para llegar a 100, a 80 le falta 20; a 50, 50; a 25, 75; a 75, 25; a 64, 36.

b. Para llegar a 10.000, a 2.000 hay que sumarle 8.000; a 3.500, 6.500; a 6.000, 4.000; a 7.200, 2.800; a 8.400, 1.600.

Problema 49 Si bien este problema propone un trabajo sobre clculos mentales, la necesidad de usar el clculo

dado como dato (9 + 6 = 15) hace que no se pueda usar cualquier transformacin. El intercambio, una vez ms, debera proponer una discusin sobre cmo se explica la manera de obtener cada resultado. No solo es necesario para que los alumnos expliciten sus razonamientos, sino tambin para evitar que usen el algoritmo creyendo que hacen un clculo mental. Registre en la carpeta enunciados del estilo: Como 6 + 9 = 15, entonces, 90 + 60 = 150 y 9.000 + 6.000 = 15.000. 49 + 46 = 40 + 40 + 9 + 6 = 80 + 15 = 95190 + 160 = 100 + 100 + 90 + 60 = 200 + 150 = 350

49. a. 150 b. 15.000 c. 95 d. 350

Problema 50 En este caso, el objetivo es que reflexionen sobre cules son los clculos fciles de resolver, y que

expliquen por qu. Proponga una discusin acerca de cmo hicieron para resolver fcilmente los clculos planteados. Es esperable que los alumnos elaboren conclusiones que usted puede ayudar a escribir. Por ejemplo: Si a un nmero de 4 cifras se le suma 10.000, solo se le agrega un 1 adelante: 10.000 + 3.450 = 13.450. Como 15 + 5 = 20, entonces 15.000 + 5.000 = 20.000. Como 43 + 7 = 50, entonces 43.000 + 7.000 = 50.000. 23.587 487= 100 + 23.487 487 = 100 + 23.000 = 23.100 17.890 800 90 =17.090 90 = 17.000 52.300 + 1.700 = 52.000 + 300 + 1.000 + 700 = = 52.000 + 1.000 + 300 + 700 = 53.000 + 1.000 = 54.000

50. a. 13.450 b. 23.100 c. 20.000 d. 17.000 e. 50.000 f. 54.000

Problema 51 Se plantea aqu una estrategia de clculo mental que se usa para facilitar clculos cuando uno de

los sumandos est a una unidad de un nmero terminado en cero. Para pensar este problema conviene observar en qu

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Captulo 1

Problema 47 Este problema vuelve a analizar estrategias de

clculo mental. Aclare que no usen algoritmos para hacer estos clculos, sino que se apoyen en clculos conocidos. Es el docente el que puede habilitar o deshabilitar alguna estrategia posible segn el inters que tenga en ese momento. En caso de bloqueos, sugirales que revisen los problemas 43, 44 y 45 y lean el cartel lateral. En la puesta en comn, adems de los resultados, pida que indiquen en qu resultado conocido se apoyaron en cada caso. En las carpetas, debe quedar escrito: Si 4 + 4 = 8 entonces 40 + 40 = 80. Si 6 + 4 = 10 entonces 60 + 40 = 100. Si 1 + 2 = 3 entonces 100 + 200 = 300. Si 2 + 5 = 7 entonces 2.000 + 5.000 = 7.000. Si 35 + 5 = 40 entonces 3.500 + 500 = 4.000. Si 75 + 25 = 100 entonces 7.500 + 2.500 = 10.000.

47. 40 + 40 = 80; 60 + 40 = 100; 100 + 200 = 300; 2.000 + 5.000 = 7.000; 3.500 + 500 = 4.000;

7.500 + 2.500 = 10.000.

Problema 48 Una vez que lo resolvieron en la etapa colectiva,

plantee una reflexin sobre cmo se puede hacer para encontrar cunto le falta a cada nmero para llegar a 100 mediante clculos mentales. Por ejemplo: Hallar el nmero que sumado a 80 da 100 (80 + = 100). A travs de una resta: 100 80.

hay que sumar o restar 10 o 100, el objetivo es reflexionar sobre una forma simple de calcular. En la puesta en comn pregunte: Cmo podemos darnos cuenta si tenemos que sumar o restar 10 o 100? Luego de responder esta pregunta y escribir entre todos la respuesta, plantee que cuando se suma o resta 10 o 100, el resultado es muy parecido al nmero. Pregunte: Es posible saber qu cifras van a cambiar antes de hacer la cuenta?.Concluya que, en general, al sumar o restar 10 cambia el dgito que ocupa el lugar de las decenas. Si se suma o resta 100, en general, cambia el dgito de las centenas. Para que vean las excepciones, pida que anticipen qu dgito va a cambiar en el resultado de 299 + 10, donde cambia ms de un dgito.

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casos la tcnica propuesta resulta til. Muchos alumnos tienen dificultades para entender esto y a veces plantean, por ejemplo, 1.299 + 450 = 1.299 + 451 1. La igualdad anterior es verdadera pero no sirve para hacer clculos mentales. Registre esto en las carpetas, junto a relaciones del tipo: 561 + 299 = 561 + 300 1 = 861 1 = 860 1.299 + 450 =1.300 + 450 1 = 1.750 1 = 1.749 19.999 + 345 = 20.000 + 345 1 = 20.345 1 = 20.344

51. a. Produccin personal.b. i. 561 + 299 = 561 + 300 1 = 861 1 = 860

ii. 1.299 + 450 = 1.300 1 + 450 = 1.750 1 = 1.749iii. 19.999 + 345 = 20.000 1 + 345 = 20.345 1 = 20.344

Problema 52Pida que lean la resolucin de Martina del problema

52 y pregunte: Dnde est el 340 en esa cuenta? Por qu Martina decide restar de esa manera? Dara lo mismo si antes restara el 40?Poner a discutir diferentes maneras de resolucin permite que los alumnos vayan incorporando estas estrategias de clculo mental y las tengan disponibles en otras oportunidades.Pida luego que resuelvan los clculos con la estrategia de Martina y en la puesta en comn pregunte cmo lo hicieron.

52. a. 4.210 b. 5.005 c. 12.150 d. 10.000 e. 33.330 f. 49.982

Conclusin

Un buen trabajo con el sistema de numeracin sirve para facilitar y comprender algunos clculos. Es as que varias relaciones que habitualmente se ven sin explicacin, como si hubiera que aceptarlas sin discusin, pueden explicarse a travs del sistema de numeracin. Por ejemplo, 18 100 puede pensarse que se quiere determinar cunto es 18 cienes (o 18 billetes de 100). De la misma forma, dividir por 100 puede interpretarse como la cantidad de veces que 100 entra en el nmero, o la cantidad de cienes que tiene un nmero. Por ejemplo, 1.500 : 100 = 15 porque el nmero 1.500 tiene 15 cienes o, dicho de otra forma: 1.500 : 100 = 15 porque 15 100 = 1.500. Segn este enfoque, las actividades respecto al sistema de numeracin no estn centradas en descomponer nmeros en centenas, decenas y unidades ni en determinar, por ejemplo, cuntas decenas hay en algn nmero. Esto es as por varias razones, por ejemplo: Para resolver 249 28 no conviene pensar al 249 como 200 + 40 + 9 sino como 250 1. Cuando se pregunta cuntas decenas hay en el nmero 249 es muy probable que la respuesta sea 4 y, sin embargo, hay 24 decenas en 249. Dicho de otro modo, para pagar $249 se necesitan 24 billetes de $10.

Uso de la calculadora en el aula

En esta etapa cuando los alumnos estn aprendiendo a hacer clculos no pensamos darles una calculadora para hacerlos. Esto anulara el proceso que intentamos construir. Sin embargo, la calculadora es til para explorar propiedades del sistema de numeracin. Usar la calculadora permite hacer muchos ensayos sin tener que preocuparse por los clculos. Para que estos ensayos sean tiles es necesario que los alumnos, antes de usar la calculadora, escriban el clculo que quieren hacer y luego anoten el resultado del ensayo.Por ser la primera vez que los nios usan una calculadora en este libro, proponga que exploren los botones: cul es el botn que enciende, cul es el que apaga, etctera.

Problema 1 Los alumnos estn en condiciones de resolver este problema sin dificultades. Por eso, puede resolverse

entre todos y escribir la conclusin: Para que solo cambie el 4 por un 5, hay que sumar un nmero que tenga un 1 en la misma posicin que el 4 y ceros en el resto de las posiciones, o sea 10.000.

1. Sumar 10.000.

Problemas 2 y 3Estos problemas ponen en juego propiedades del sistema de numeracin, en particular la

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Captulo 1

posicionalidad. Pida que anoten cada uno de los clculos que intentan. Esto permite que despus reflexionen sobre ellos. Si algn clculo no logr el objetivo, habra que preguntarle a los alumnos: Por qu piensan que sucede esto?.Solicite que resuelvan el problema 2. Para que el nmero 12.542 se transforme en 12.042, los chicos pueden intentar algunos de los siguientes clculos:

12.542 5 = 12.537 No da

12.542 50 = 12.492 No da

12.542 500 = 12.042 Da

Los ensayos, fallidos y correctos, en este caso permiten analizar la posicionalidad del sistema de numeracin. Para que el 5 se convierta en 0, como est en la posicin de los cienes, hay que restar 5 cienes, o sea, 500.Terminado este problema haga una breve puesta en comn para comparar resultados. Pida luego que resuelvan el problema 3 a. y que anticipen qu nmero cambia al sumar 1.000. En el caso 3 b. se espera que ensayen para determinar cul es el clculo adecuado.La puesta en comn de ambos problemas tratar sobre cmo darse cuenta del clculo que hay que hacer. Por ejemplo: Para que 12.542 se transforme en 12.042 se puede pensar que 12.542 es el resultado de 12.000 + 500 + 42; entonces, para que quede 12.042 hay que restarle 500.

2. Restar 500.3. a. 35.567. b. Restar 1.000.

Problema 4 Este problema trata la relacin entre suma y resta,

por un lado, y/o el clculo de una suma por complemento. En la puesta en comn ponga nfasis en que expliquen qu pensaron para encontrar el nmero faltante. Algunas estrategias de los alumnos pueden ser: Probar sumando: 234 + 100 = 334, no sirve; 234 + 50 = 284, da menos; 234 + 60 = 294, 234 + 61 = 295; ...; 234 + 66 = 300. A 234 le faltan 6 para llegar a 240 y a 240 le faltan 60 para llegar a 300; entonces a 234 le faltan 6 + 60 = 66 para llegar a 300. Restar 300 234. Para el b. podran pensar 1.350 1.000 = 350, entonces 1.350 999 = 351.

4. a. 66 b. 999 c. 1.101 d. 4.038

Problemas 5 a 7Estos problemas refuerzan la idea de descomposicin

polinmica de un nmero pero desde otro lugar. Si hay que hacer exactamente 4 restas para convertir el nmero 2.876 en 0 es conveniente realizar: 2.876 2.000 800 70 6. Es probable que los chicos busquen otras maneras que incluyan otros dgitos, por ejemplo: 2.876 2.300 500 75 1. Pida en ese caso que vuelvan a leer la consigna. Los problemas 5, 6 y 7

refuerzan estos conceptos y puede dejarlos como tarea casera o para que los alumnos los resuelvan solos.

5. 2.876 2.000 800 70 6 = 0 6. 400; + 100; + 1.000; + 100; 10

7. a. Restar 10. b. Restar 4.000.

Problemas 8 y 9Pida que resuelvan estos problemas de tarea que

permiten reflexionar acerca del uso de la calculadora. En la puesta en comn, pida a un alumno de cada grupo que explique cules son los clculos del problema 9 conviene hacer con calculadora y cules mentalmente, explicando por qu. Para los que sean mentales, pida que expliciten su resolucin.

8. + 100; + 1.000; 3109. Mentalmente: b., c. y d..

Respuestas de las actividades de integracin

1. a. El ltimo nmero de la tabla es 80.099. b. El primer nmero de la tercera fila es 80.020, y el ltimo de la cuarta columna es 80.093. c. 80. 060. d. 80.098. e. Es cierto porque hay 10 nmeros en el medio. f. Obtendrn el nmero que est en la misma columna 2 filas abajo. 2. Tatiana pens el 20.055. En el caso de Matas, hay varios: 85.666, 86.666, 87.666, 88.666, 89.666, 90.666, 91.666, 92.666, 93.666, 94.666. 3. El mayor es 99.900 y el menor, 10.011.4. S, el tercero es el 10.578.5. Perdi 4.960 puntos. Gan 7.943. Ahora tiene 2.983.6. 4 = IV; 9 = IX; 47 = XLVII; 199 = CXCIX; 1.999 = MCMXCIX.7. El clculo que sirve es 24.300 17.500.8. 75; 200; 225.

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Captulo 2Multiplicacin y divisin entre nmeros naturales

Objetivo:Que los alumnos reflexionen sobre los tipos de problemas que pueden resolverse con cada operacin y desarrollen estrategias de clculo mental y algortmico, explicando el origen de cada una.

NAP:El reconocimiento y uso de las operaciones entre nmeros naturales y de sus propiedades a travs de distintas representaciones.

Problemas 1 y 2 En estos problemas surge el producto para hallar la

cantidad total de elementos distribuidos en filas y columnas, por un lado, y la multiplicacin como la suma de varias veces el mismo nmero. Realice una puesta en comn despus de que hayan resuelto la parte a. del problema 1. Es probable que los alumnos resuelvan parte del problema sin necesidad de multiplicar, debido a que es posible contar las naranjas en una fila y luego duplicar el resultado. Pero, para hallar el total de naranjas en 10 cajones, necesitarn resolver 48 10. Mustreles que en cada capa hay 6 filas de 4 naranjas y el total se obtiene sumando seis veces cuatro, que es lo mismo que 6 4 (si se miran las columnas se llega a 4 6). Registre en las carpetas: Una manera de encontrar la cantidad total de elementos que estn puestos en filas y columnas es multiplicando la cantidad de filas por la cantidad de columnas. Los conocimientos sobre el sistema de numeracin permiten interpretar a 48 10 como 48 dieces, o sea, 480. Luego de la puesta en comn pida que resuelvan la parte b. Como se reutiliza lo desarrollado en a., haga una breve puesta en comn centrada en escribir: 70 100 son 70 dieces, 700.El problema 2 es ms complejo que el anterior porque hay que elegir los clculos que permiten resolverlo y descartar los que no. Obliga a los alumnos a tener que interpretar el sentido de cada clculo. Pueden reconocer fcilmente que una manera es a travs de 20 15. Tendrn que descubrir qu otro clculo sirve, aunque muchos se quedarn solo con este. Analice, en la puesta en comn, cada uno de los clculos segn su sentido. Por ejemplo: No es posible sumar ni restar filas y manzanas, por lo que ni 20 + 15 ni 20 15 sirven. Como 20 15 es una respuesta posible y 15 20 tambin, si reemplazamos 20 por 10 2 nos queda 15 10 2. 15 10 2 puede pensarse como la suma de dos veces el resultado de 15 10, o sea, 15 10 + 15 10.Para hallar el resultado puede usarse cualquiera de las expresiones correctas, aunque con algunas es ms simple: Para resolver 15 10 2 se tiene que 15 10 son 15 dieces, 150, y al multiplicarlo por 2 se obtiene el doble, o sea, 300. 15 10 + 15 10 = 150 + 150 = 300.

1. a. Se bajaron 480 naranjas. b. Se habran bajado 700 naranjas.

2. a. Los clculos que sirven son: 20 15; 10 15 + 10 15; 15 10 2. b. En la chacra hay 300 manzanos.

Problemas 3 y 4Las dos partes de cada problema pueden resolverse con el mismo clculo, pero no tienen el mismo sentido.

En la parte a. se conoce el total y el valor de cada parte y se pide hallar entre cuntos se reparti (particin). En b. se da el total y entre cuntos se reparte y se pide el valor de cada parte (reparto). Pregunte, en la puesta en comn, cmo pueden darse cuenta de que las dos partes de cada problema pueden resolverse dividiendo. Pida que escriban el clculo, indicando el significado de cada uno de los nmeros para cada parte, lo cual ayudar a reconocer las diferencias. Por ejemplo, 360 : 30 sirve para calcular la cantidad de cajas necesarias, si se ponen 30 huevos en cada una. Tambin sirve para encontrar la cantidad de huevos que va en cada caja, si se tienen 30 cajas.Reflexione acerca de cmo resolver las divisiones. No se espera que usen algoritmos sino que apelen a qu significa dividir. En este caso, para resolver 456 : 10 hay que encontrar la cantidad de dieces que hay en 456, hay 45 y sobran 6. Si es necesario, recurra a los billetes.

3. a. Completar 45 pginas y en una quedarn 6 figuritas.

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b. Pegar 45 figuritas en cada pgina y sobrarn 6 figuritas.4. a. En la chacra de Soledad se necesitan 12 cajas. En la chacra de Agustina se pueden poner 12 huevos en cada caja. b. Tienen en comn la cuenta. La diferencia es que esa cuenta indica cosas distintas.

Problemas 5 y 6 Estos problemas retoman el sentido de la multiplicacin en organizaciones rectangulares.

Pero todo problema multiplicativo tambin puede resolverse mediante una divisin, si se cambia la incgnita de lugar. Por lo tanto, tambin permiten buscar estrategias para hallar resultados de multiplicaciones sin usar algoritmos.Pida que resuelvan el problema 5 y haga una primera puesta en comn. Pregunte cmo los resolvieron y por qu. Centre la discusin en la estrategia seleccionada y la forma de hallar el resultado. Aquellos alumnos que en los problemas anteriores similares a este no usaron el producto, tendrn ms dificultades en este caso por los nmeros involucrados (son grandes y los dibujos y el conteo, tediosos). Discuta entonces, por qu 12 15 sirve. Otra cuestin que conviene analizar es cmo calcular el resultado. Como las sumas son muchas, es esperable que algunos alumnos busquen estrategias alternativas. Si esto no sucede, propngalas usted. Por ejemplo: Para multiplicar 15 por 12 se puede multiplicar por 2, obteniendo el doble de 15, 30, y luego por 6. Como 6 3 = 18, entonces, 6 30 =180 y 12 15 = 180. 15 12 = 15 10 + 15 2 = 150 + 30 = 180.

Solicite que resuelvan el problema 6 y nuevamente plantee una instancia colectiva. En este caso no se conoce cuntas filas se pueden armar. Los alumnos pueden buscar varias estrategias. Por ejemplo: Averiguar la cantidad de sillas que se necesitan para armar 20 filas: 14 20 = 14 2 10 = 28 10 = 280. Se necesitan menos de 287 sillas, entonces alcanzan. Encontrar la cantidad de filas que se pueden armar con 287 sillas y 14 sillas por fila: 287 : 14 = 20,5. Se pueden armar 20 filas y media, luego, alcanzan.Estos problemas tienen por objetivo desarrollar formas de multiplicar y dividir sin usar algoritmos. Estas formas usan propiedades de las operaciones de manera implcita.

5. La pared tena 180 ladrillos.6. S, le alcanza, porque 14 20 = 280.

Problema 7Pida que resuelvan el problema que propone una manera de multiplicar por 20 sabiendo multiplicar

por 10. Plantee luego una puesta en comn en la que cada grupo demuestre su estrategia. Solicite que toda la clase opine si lo expuesto result claro y completo. Registre en las carpetas cuestiones similares a: Multiplicar un nmero por 20 es lo mismo que multiplicarlo por 10 y despus por 2. Multiplicar por 2 es lo mismo que hacer el doble. 45 20 = 45 10 2 = 450 2 = 900. Como 20 es el doble de 10, entonces el resultado de la multiplicacin de 45 y 20 es el doble del resultado de 45 10.

7. El razonamiento es correcto, porque 45 20 = 45 10 2.

Problema 8 Proponga que resuelvan el problema y haga una rpida puesta en comn donde es esperable que

aparezcan escrituras numricas como: 542 30 = 542 10 3 = 5.420 3 = 16.260 425 10 5 = 4.250 5 = 21.250 781 40 = 781 10 4 = 7.810 4 = 31.240Registre estas escrituras en las carpetas.

8. a. Produccin personal.b. 542 30 = 542 x 3 10 = 1.626 10 = 16.260;

425 50 = 425 5 10 = 2.125 10 = 21.250;781 40 = 781 4 10 = 3.124 10 = 31.240.

Problemas 9 y 10Estos problemas reutilizan la estrategia desarrollada

en el problema 8. Pida que hagan los dos juntos y luego plantee una instancia colectiva. Insista en la escritura de razones

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que avalen los resultados hallados. Concluya y registre en las carpetas razonamientos como: 13 10 = 130 porque son 13 dieces. 78 20 es el doble de 78 10 = 780, o sea, 780 + 780 = 1.400 + 160 = 1.560. 450 10 = 4.500 porque son 450 dieces. Como 50 es la mitad de 100, 741 50 es la mitad de 741 100 = = 74.100, o sea, 37.050. Tambin puede resolverse como; 741 50 = 741 10 5 = 7.410 5 = 37.050. Como 25 es la cuarta parte de 100, 42 25 es la cuarta parte (o la mitad de la mitad) de 42 100 = 4.200, es decir, 1.050. 23 20 = 23 10 2 = 230 2 = 460, 23 30 = 230 3 = 690, 23 40 = 230 4 = 920.

9. 13 10 = 130; 78 20 = 1.560; 450 10 = 4.500; 741 50 = 37.050; 345 100 = 34.500; 42 30 =

= 1.260.10. 23 20 = 460; 23 30 = 690; 23 40 = 920.

Problema 11Pida que resuelvan el problema. Haga nfasis en

que no se pide que resuelvan las cuentas sino que usen la dada para resolver otras. Si es necesario sugiera que relean las conclusiones de los problemas anteriores. Es posible que intenten usar exactamente las mismas estrategias que en los problemas 9 y 10 por lo que les quedar:

12 30 = 12 3 10Si bien es correcta la igualdad, no les permitir usar la cuenta pedida. Discuta con ellos sobre este punto. No es que lo que hicieron es matemticamente incorrecto sino que usaron propiedades que no permiten arribar a la respuesta usando los datos suministrados.Como 30 es el doble de 15 y por lo tanto, una estrategia posible es:

12 30 = 12 15 2 = 180 2 = 360Observe que la estrategia usada es similar a la de los problemas anteriores pero la descomposicin del nmero es distinta. Esta es una de las razones por las cuales no es conveniente encasillar las descomposiciones solo en la forma polinmica.Luego de la puesta en comn concluya que si en una multiplicacin, uno de los factores se multiplica por un nmero, el producto quedar multiplicado por el mismo nmero.

11. a. 12 30 = 12 15 2 = 180 2 = 36024 15 = 2 12 15 = 2 180 = 360

120 15 = 12 10 15 = 180 10 = 1.800120 150 = 12 15 10 10 = 180.000120 30 = 12 10 15 x 2 = 180 10 2 = 3.6001.200 15 = 12 15 100 = 18.000b. Produccin personal.

Problema 12 Muchas veces el enunciado de Tatiana les alcanza

a los nios para convencerse de que lo que dice es cierto. Por

esto algunos no encuentran otro tipo de explicacin. Si este es el caso, sugirales que intenten buscar una explicacin con nmeros, por ejemplo: 6 48 = 6 2 24 = 12 24, entonces, el 2 que se le saca a 48 se lo agregamos a 12.

12. Es cierto lo que dice Tatiana. Porque, 12 24 = 6 2 48 : 2 = 6 48 2 : 2 = 6 48.

Problema 13 Antes de analizar en la puesta en comn cada tem, pregunte: Cmo hicieron para darse cuenta qu

clculos se podan resolver con la tcnica dada?. La primera sistematizacin puede ser: Podemos usar este mtodo si hay dos nmeros que multiplicados dan 10, 100 1.000. Luego, es posible determinar que los nicos clculos que no se pueden resolver usando la tcnica anterior es 57 12 4.

13. a. 12 2 50 = 12 100 = 1.200b. 20 45 5 = 45 100 = 4.500

c. 5 23 2 = 23 10 = 230d. El clculo 57 12 4 no se puede resolver de manera similar al de Lazlo.

Problema 14Si las divisiones por 10 y 100 estn disponibles en el

repertorio de los alumnos, podrn usarlas en otras ocasiones. Estas divisiones pueden pensarse a partir de propiedades del sistema de numeracin, debido a que equivale a encontrar

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la cantidad de dieces o cienes que contiene un nmero. En la puesta en comn, debe registrar estas explicaciones: 23.400 : 10 = 2.340 porque hay 2.340 dieces en 23.400. 23.400 : 100 = 234 porque hay 234 cienes en 23.400. Dividir por 10 es buscar la cantidad de veces que 10 entra en un nmero. Dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en un nmero.

14. 23.400 : 10 = 2.340; 23.400 : 100 = 234; 75.200 : 10 = 7.520; 75.200 : 100 = 752.

Problema 15 Pida que lean el problema y que encuentren una

explicacin. Por ejemplo, Dividir por 5 es buscar la cantidad de veces que entra 5 en un nmero. Como en 10 hay dos cincos, la cantidad de veces que entra 5 es el doble de la cantidad de veces que entra 10 en el mismo nmero. Entonces, el resultado de dividir por 5 es el doble del resultado de dividir por 10 el mismo nmero.

15. S, es correcto lo que hizo Camilo, porque el resultado de 3.250 : 5 es el doble del resultado de 3.250 : 10.

Problema 16Solicite que resuelvan los problemas. Si estn

bloqueados, sugirales que lean las conclusiones anteriores. Salvo que haya dificultades, limite la puesta en comn a la

pregunta b.. A partir del anlisis de lo que resolvieron, concluya, por ejemplo: Si se conoce el resultado de una multiplicacin y uno de los factores se multiplica por otro nmero, el resultado se multiplica por el mismo nmero. El resultado de dividir un nmero por 20 es la mitad del resultado de dividirlo por 10. Esto es porque en un nmero entran la mitad de veintes que de dieces. El resultado de dividir un nmero por 40 es la mitad del resultado de dividirlo por 20 y la cuarta parte del resultado de dividirlo por 10.

16. a. 48.000 : 10 = 4.800; 48.000 : 100 = 480; 48.000 : 1.000 = 48; 48.000 : 20 = 2.400; 48.000 : 200 =

240; 48.000 : 2.000 = 24; 48.000 : 40 = 1.200; 48.000 : 400 = 120; 48.000 : 4.000 = 12. b. Produccin personal.

Problema 17 Este problema usa nuevamente los contenidos de organizaciones rectangulares. Es posible que algunos

nios intenten armar los rectngulos ensayando, lo que puede resultar largo, aunque correcto. Si eso ocurre, mustreles que hay una forma de hacerlo considerando que la cantidad de cuadraditos (24) se obtiene multiplicando la cantidad de filas y columnas. Se trata, entonces, de encontrar dos nmeros que multiplicados den 24, es decir, 1 24, 2 12, 3 8 y 4 6. Esto es lo que debera quedar registrado.

17. Por ejemplo:

Problema 18 Este problema se refiere a un reparto. Por eso los alumnos no deberan tener dificultades para decidir

que pueden resolverlo con una divisin. Pero 4.937 : 12 no es un clculo que sepan hacer. Pida que lo resuelvan cmo puedan. Adems de divisiones mal resueltas, algunas estrategias de los alumnos pueden ser: Sumar de a 12 hasta llegar lo ms cerca posible a 4.937. Restar de a 12 a 4.937. Buscar mltiplos de 12 que se acerquen a 4.937. Como el nmero es grande, la suma y la resta resultan demasiado largas, apyese en lo que los nios han pensado para proponer una resolucin: 12 400 = 4.800, entonces si se

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arman 400 paquetes quedan 4.937 4.800 = 137 imanes para guardar; 12 10 = 120, luego si arman 10 paquetes ms, se usan 120 imanes y quedan 137 120 = 17 para guardar. Los que quedan sirven para armar 1 caja ms y sobran 17 12 = 5 imanes. En total armamos 400 + 10 + 1 = 411 paquetes..

18. Puede armar 411 paquetes y sobran 5 imanes.

Problema 19 Este problema es similar al 18. Si bien no hay una nica

manera de hacerlo, escriba en la instancia colectiva, una posible resolucin aclarando que en todos los casos se obtiene el mismo resultado. En 10 vagones entran 64 10 = 640 personas y quedan 831 640 = 191 personas. En 2 vagones entran 64 2 = 128 personas y quedan 191 128 = 63 personas. Entonces, con 10 + 2 = 12 vagones quedan 63 personas sin ubicar, pero como todos tienen que viajar sentados se necesita un vagn ms, o sea, 13 en total.

19. El tren tiene que tener 13 vagones.

Problema 20Pregunte, en la puesta en comn, cmo hicieron para calcular los resultados. Es esperable que

haya respuestas variadas y si algunas relaciones no surgen, plantelas. En este tipo de problemas de proporcionalidad directa conviene que concluya, por ejemplo: Si en 2 cajas hay 12 alfajores, en 4 cajas (el doble) hay el doble de alfajores, 24. Si en 2 cajas hay 12 alfajores, en 1 caja hay 6 y en 5 hay 12 + 12 + 6 = 30. Si 30 alfajores van en 5 cajas, 60 alfajores (el doble) van en el doble de cajas, 10. En la segunda tabla, cada caja tiene el doble de alfajores que en la primera, entonces las cantidades de alfajores para la misma cantidad de cajas es el doble.

20.

Cantidad de cajas 2 4 5 10 30 90 20 40 80

Cantidad de alfajores 12 24 30 60 180 540 120 240 480

Cantidad de cajas 1 4 5 6 20 40 150 430 100

Cantidad de alfajores 12 48 60 72 240 480 1.800 5.160 1.200

Problema 21 Este problema plantea un nuevo sentido de la divisin. Es muy posible que no lo reconozcan.

Por eso, su tarea ser mostrarles por qu lo es. Una forma de resolucin esperable consiste en restar 20 a 457 tantas veces

como se pueda. Esto permite descartar el primer clculo (hay que restar ms veces 20), el segundo (al sumar se aleja de 0) y el tercero tambin queda descartado porque se aleja de cero. Para estar seguros de que sirve el cuarto, sin usar un simple descarte concluya y registre: Restar tantas veces como se pueda 20 a 457 es lo mismo que buscar la cantidad de veces que 20 entra en 457.

21. El clculo que resuelve el problema es 457 : 20. El ltimo nmero mayor que 0 al que llega es el resto

de la divisin entre 457 y 20.

Problema 22 Nuevamente, la divisin es una manera de resolver

este problema y es necesario que los alumnos tengan claro por qu. Luego de proponer una instancia colectiva en la que digan cmo lo resolvieron, registre en las carpetas: La cantidad de paradas es la cantidad de veces que 200 entra en 1.099 y eso se puede saber dividiendo 1.099 : 200.

22. Lisandro realizar 5 paradas.

Problema 23 Este problema no debera plantear dificultades, ya que se basa en una proporcionalidad. En la puesta en

comn concluya que: Si en 2 cajas hay 12 botellas, en 1 hay 6 (la mitad). Entonces, en 3 cajas hay 12 + 6 = 18 cajas.

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23. En 1 caja hay 6 botellas, y en 3 cajas, 18 botellas.

Problema 24Este problema reutiliza un sentido de la divisin ya

conocido: la particin. Se agrega, en el punto b. el anlisis del resto. Por eso no es necesario resolverlo en clase y solo plantee una puesta en comn si los alumnos tienen dudas.

24. a. Se pueden llenar 16 pginas. b. Se necesitarn 6 estampillas ms para completar

otra pgina.

Problema 25 En este problema hay que reconstruir el dividendo a partir del divisor, el cociente y el resto. Es esperable

que digan que para determinar la cantidad de globos usados es necesario resolver el clculo 32 5 + 3 = 163. Pueden surgir explicaciones orales, por ejemplo: Cada invitado tiene 5 globos y hay 32 personas, entonces se usaron 32 5 globos. Le agregamos los 3 sobrantes y hay 163 en total. Observe que la pregunta se refiere a si el paquete puede tener 100 globos. Con lo cual no es necesario saber de manera exacta la cantidad de globos que se necesitan. Una posible respuesta podra ser: Como 32 5 es ms que 30 5 = 150, seguro que el paquete tiene ms de 100 globos.

25. No es posible que el paquete tenga 100 globos, porque 32 5 + 3 es ms que 100.

Problema 26Pida que resuelvan el problema. En l es necesario reutilizar los conceptos del problema 25 aplicado a

una situacin que tiene un contexto interno a la matemtica. Si los alumnos plantean dificultades, propngales un contexto externo a la matemtica, por ejemplo: Al repartir globos entre 12 chicos, cada uno recibi 5 y sobraron 2, cuntos globos haba?. Registre en las carpetas los datos y el clculo que permite hallar el dividendo: En una divisin, el divisor es 12, el cociente es 5 y el resto es 2. Entonces, el dividendo es 5 12 + 2.

26. El clculo que permite encontrar el nmero es 5 12 + 2.

Problema 27 El problema consiste en plantear una divisin y

analizar su resto. En la puesta en comn es posible que los alumnos digan que la solucin del problema es 25, que es el cociente de la divisin, sin tener en cuenta que el resto son personas que tambin tienen que viajar. En este tipo de problemas la solucin no es ninguno de los nmeros que aparecen en el clculo. El razonamiento que debe quedar registrado es: Para saber cuantos viajes se necesitan se puede hacer la siguiente divisin:

335 13 10 25

El cociente 25 significa que se necesitan 25 viajes, y el resto es la cantidad de personas que sobran (no entran en ninguna camioneta). Como todos tienen que viajar, se necesita hacer un viaje ms.

27. Lisandro hizo 26 viajes.

Problema 28Aparece aqu otro sentido del producto, la combinatoria. En la puesta en comn insista en

encontrar la cantidad de maneras en que se pueden combinar dos caractersticas, en este caso, el color del auto y el de su decoracin. Para que no se olviden de ningn caso ni cuenten dos veces el mismo, hay que buscar una forma de organizar los datos de manera ordenada. Pregunte cmo hicieron para resolver. Anote las soluciones de los alumnos en el pizarrn ayudndolos en la explicacin. Por ejemplo: Hacer un diagrama de rbol como el siguiente.

azul rojo verde marrn negro

plateado dorado plateado dorado plateado dorado plateado dorado plateado dorado

Pensar que para cada color de auto hay dos posibilidades de decoracin (plateada o dorada) y como hay 5 colores diferentes,

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