Material y Apuntes TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS CT-3412 · 2013-09-07 · Turbomáquinas Térmicas....

Turbomáquinas Térmicas. Prof. Dr. Miguel Alejandro ASUAJE TOVAR Pág 1 de 50

Material y Apuntes

TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS

CT-3412

Prof. Dr. Miguel ASUAJE


CONTENIDO CONTENIDO ............................................................................................................... 2 FIGURAS ..................................................................................................................... 3 1. ANÁLISIS DIMENSIONAL ................................................................................ 4 2. DEFINICIONES DE RENDIMIENTO O EFICIENCIA ................................... 10 2.1. TURBINA ........................................................................................................ 10 2.2. COMPRESOR ................................................................................................. 11 2.3. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA TOBERA .................................. 18 2.4. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UN DIFUSOR ................................... 19 3. FLUJO EN REJILLAS DE ALABES EN CASCADAS (flujo bidimensional) . 21 4. TURBINAS AXIALES (flujo bidimensional) .................................................... 26 4.1. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA ETAPA DE TURBINA ............ 31 4.2. PÉRDIDAS EN LA ETAPA ........................................................................... 32 4.3. Tipos de diseño de turbinas axiales ................................................................. 35 4.4. Grado de Reacción ........................................................................................... 36 5. COMPRESORES AXIALES (Flujo Bidimensional) .......................................... 41 5.1. Eficiencia de la etapa y Relación de Compresión ............................................ 43 5.2. Grado de Reacción ........................................................................................... 45 5.3. Factor o coeficiente de carga ........................................................................... 46 5.4. Características de funcionamiento fuera de diseño .......................................... 48 REFERENCIAS ......................................................................................................... 50


FIGURAS

FIGURA N°1. Propiedad de Estancamiento .................................................................... 4 Figura N°2. Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una turbomáquina .................................................................................................................... 6 Figura N°3. Curva característica de un compresor ........................................................... 9 Figura N°4. Curva característica de una turbina .............................................................. 9 Figura N°5. Proceso de Expansión en una turbina ......................................................... 10 Figura N°6. Proceso de Compresión .............................................................................. 12 Figura N°7. Proceso de compresión en pequeñas etapas ............................................... 13 Figura N°8. Proceso de compresión. Definición de rendimiento politrópico ................ 14 Figura N°8. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) .............................. 15 Figura N°9. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) .............................. 16 Figura N°10. Diagrama de Mollier mostrando el proceso de expansión dividido en un número de pequeños escalonamientos ............................................................................ 17 Figura N°11. Diagrama de Mollier para el proceso a través de una tobera .................... 18 Figura N°12. Diagrama de Mollier para el proceso a través de un difusor .................... 19 Figura N°13. Esquemas de difusores subsónicos ........................................................... 20 Figura N°14. Perfil aerodinámico ................................................................................... 21 Figura N°15. Rejilla de álabes. Definición de ángulos y parámetros geométricos ........ 22 Figura N°16. Fuerzas y triángulos de velocidades en una rejilla de álabes ................... 23 Figura N°17. Fuerza de sustentación y arrastre .............................................................. 25 Figura N°18. Proyecciones de las fuerzas ...................................................................... 25 Figura N°19. Diagramas de velocidad de una turbina axial ........................................... 26 Figura N°20. Línea de corriente y velocidades en una turbomáquina ........................... 27 Figura N°21. Diagramas de velocidad superpuestos de una etapa normal de una turbina axial ................................................................................................................................ 28 Figura N°22. Diagramas de velocidad adimensionales de una etapa normal de una turbina axial .................................................................................................................... 29 Figura N°23. Diagrama h-s de la etapa de una turbina ................................................... 30 Figura N°24. Distribución de presión en una rejilla de una etapa de una turbina axial . 33 Figura N°25. Correlación de Soderberg para los coeficientes de pérdidas en una turbina en función de la deflexión .............................................................................................. 34 Figura N°26. Esquema del canal interálabe ................................................................... 35


1. ANÁLISIS DIMENSIONAL Máquinas de Flujo Compresible m& Flujo de masa c Velocidad del Fluido

TRa ⋅⋅= γ Velocidad del sonido

01a Velocidad del sonido de estancamiento en la entrada de la turbomáquina

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−=− 12

21

2212 2

1 zzgcchhmWQ &&&

Energía Energía Cero para un gas Estática Cinética

02222 2

1 hch =+ Entalpía Total, Estancamiento ó Parada

ppp C

cTTTCcTC22

20202222 2

121

+=⇒=+

FIGURA N°1. Propiedad de Estancamiento

sh0Δ Cambio de entalpía isentrópico

0=Q& Adiabático Isentrópico η Eficiencia P Potencia

ss hhhmW

00102 Δ=−=−&

&

),,,,,,( 010110 γρημ amDFh s &=Δ

),,,,,,( 01012 γρημη amDF &= ),,,,,,( 01013 γρημ amDFP &=


Aplicando el Teorema π

Propiedad/Unidades M L T ρ01 M L-3

N (rpm) T-1

μ M L-1 T-1 a01 L T-1 m M T-1 Δh01 L2 T-2

P M L2 T-3 D L η γ

Se seleccionaron las siguientes variables independientes: ρ01, N y D (diámetro característico) y se aplico el teorema π Como ρ0 y a0 varían a través de una turbomáquina se toma el valor de estas variables en la entrada

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Δ γμ

ρρ

,,,01

201

301

1220

aNDND

NDmf

DNh s &

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= γ

μρ

ρη ,,,

01

201

301

2 aNDND

NDmf&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= γ

μρ

ρρ,,,

01

201

301

35301 a

NDNDNDmf

DNP &

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Δ γμ

ρρρ

η ,,,,,01

201

301

5301

220

aNDND

NDmf

DNP

DNh s &

Tarea: Demostrar el resultado obtenido

Simplificación: φρ

ρρ

=≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

0101

01

20101

301 Da

m

aNDDa

mNDm &&&

Coeficiente de Flujo

Se elimina este término porque ya está considerado en el análisis


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Δγ

μρ

ρρη ,,,,,

01

201

20101

5301

220

aNDND

Damf

DNP

DNh s &

Válido para cualquier gas

φ #Re #Mach Para una maquina que utiliza un gas perfecto se utiliza un conjunto diferente de relaciones funcionales Consideremos un compresor adiabático:

( ) [ ]010221

2212 2

1 hhmWQcchhmWQ −=−⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=− &&&&&&

Figura N°2. Variación adiabática ideal de las condiciones de parada a lo largo de una

turbomáquina

[ ]0102 hhmW −=− && Adiabático

[ ]0102 hhmW ss −=− && Isentrópico Si suponemos h=CpT se obtiene:

[ ]0102 TTCmW sps −=− &&

Nota: La relación 20 2

1 cPP ρ+= es una relación para flujo incompresible y por lo tanto

no se puede usar para el análisis de la turbomáquinas


Gas ideal ó perfecto: RTP=

ρ

Procesos adiabático isentrópico: ctteP=γρ

01

01

02

02

01

02

ρ

ρρ P

P

TT

RPT s =⇒= y usando

ctteP

γ

ρ

1

=

γγ

γγ

γγ

γ

γ1

1

01

1

01

1

01

02

01

02

1

01

02

/101

01

/102

02

01

02

−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

PP

TT

PP

TT

PP

PP

PP

TT ss

Esta propiedad se puede aplicar entre dos temperaturas cualesquiera que se encuentren en la misma línea isentrópica

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=Δ⇒−=−

−

11

1

01

0201

01

0201010200102

γγ

PP

TCTT

TCTTChTTCmW ps

pspssps &&

vp

v

p

CCRCC

−=

= γ

1−=

γγRC p

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

−−−

11

11

1

1

01

02201

1

01

0201

1

01

02010

γγ

γγ

γγ

γγγ

PPa

PPRT

PP

TCh ps

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Δ⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Δ

−

01

0222

0

1

01

02201

0 11

1

PP

fDN

h

PP

ah

s

sγ

γ

γ

El parámetro adimensional obtenido anteriormente es función de la relación de presiones ya que:

201

0

2

0122

022

0

ah

aND

DNh

DNh sss Δ

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ≈

Δ

Para el coeficiente de flujo:

γγρφ

012

012

0101

012

0101 PDRTm

DRTPRTm

Dam &&&

===


Usando la ecuación de gas ideal y la ecuación de la velocidad del sonido Para la potencia

( )( )( )2201

053

01

ˆNDNDD

TCmDN

PP p

ρρΔ

==&

, VelocidadAream ⋅⋅= ρ&

Área Velocidad

( ) ( ) 01

0

01

02

0120

20 1ˆ

TT

RT

TR

aND

ND

TC

ND

TCP pp Δ

≈Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ≈

Δ=

γγγ

Finalmente se obtiene: Parámetros adimensionales para un gas perfecto

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Δγ

γμρ

γη ,,,,,

01

201

012

01

01

0

01

02

RTNDND

PDRTm

fTT

PP &

Para una misma máquina que opera con #Re bajos y un mismo fluido se puede realizar una simplificación de los parámetros adimensionales:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Δ

0101

01

01

0

01

02 ,,,T

NDP

Tmf

TT

PP &

η


Figura N°3. Curva característica de un compresor

Figura N°4. Curva característica de una turbina


2. DEFINICIONES DE RENDIMIENTO O EFICIENCIA

2.1. TURBINA Rendimiento o eficiencia global η0 = Energía Mecánica disipada acoplamiento eje / tiempo Máxima diferencia de energía disponible en el fluido/tiempo Rendimiento adiabático o hidráulico ηt = Energía Mecánica suministrada al rotor / tiempo Máxima diferencia de energía disponible en el fluido/tiempo

[ ][ ]

s

sos

realt

ss

real

hmejePotencia

hhhh

hh

WW

hmhhmW

hmhhmW

00

0201

02010

max

00201max

00201

_Δ

=

−−

=ΔΔ

==

Δ=−=

Δ=−=

&

&

&

&&&

&&&

η

η

Rendimiento Mecánico

tm η

ηη 0=

ηm = Energía Mecánica disipada acoplamiento eje / tiempo Energía Mecánica suministrada al rotor / tiempo 95% Maquinas pequeñas 99% Máquinas grandes y medianas

Figura N°5. Proceso de Expansión en una turbina


Si se puede aprovechar la energía cinética en la salida de la turbina se define el rendimiento total a total ηtt

stt

ss

ssstt

hhhh

frecuenteescccccc

chch

chch

hhhh

21

21

21

2222

222

211

222

211

0201

0201

)_(

)21()2

1(

)21()2

1(

−−

=

=≅≈>

+−+

+−+=

−−

=

η

η

Si no se aprovecha la energía cinética del fluido en la salida de la turbina el rendimiento adiabático es total a estático ηts

2221

21

21

22

222

211

222

211

201

0201220201

0201

21

)_(2

1)21()2

1(

)21()2

1(

21

chhhh

frecuenteescc

cchch

chch

hhhh

chhhh

sts

ssssssts

+−

−=

=

++−+

+−+=

−−

=+−

−=

η

η

2.2. COMPRESOR Rendimiento o eficiencia global η0c = Energía mínima necesaria para comprimir de P1 a P2 / tiempo Energía suministrada en el acoplamiento / tiempo Rendimiento adiabático o hidráulico ηtc = Energía mínima necesaria para comprimir de P1 a P2 / tiempo Energía suministrada por el rotor al fluido / tiempo

[ ][ ]

0102

01020min

00102min

00102

hhhh

hh

WW

hmhhmW

hmhhmW

s

o

s

realtc

ss

real

−−

=ΔΔ

==

Δ=−=

Δ=−=

&

&

&&&

&&&

η


Figura N°6. Proceso de Compresión

Si c1=c2

12

12211

222

211

222

0102

0102

)21()2

1(

)21()2

1(

hhhh

chch

chch

hhhh ssss

c −−

=+−+

+−+=

−−

=η

Rendimiento Mecánico

tc

cm η

ηη 0=

ηm = Energía suministrada por el rotor al fluido/ tiempo Energía suministrada al acoplamiento / tiempo Rendimiento Politrópico: infinito número de etapas muy pequeñas de igual rendimiento


Figura N°7. Proceso de compresión en pequeñas etapas

Tds=dh-vdP Para un proceso a presión constante

Tsh

P

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Sobre una línea isentrópica las pendientes de la líneas de Presión contaste van aumentando si nos movemos desde abajo hacia arriba.

.........1

1min =−−

=−−

=Δ

Δ=

hxhyhxhys

hhxhhxs

WW

p &

&η

Como todas las etapas tienen el mismo rendimiento

∑∑

Δ

Δ=

WW

p &

&minη

( ) ( )∑ −=+−+−=Δ 121 ....... hhhxhyhhxW&

( ) ( )12

1 .........hh

hxhyshhxsp −

+−+−=η

12

12

hhhh s

c −−

=η Para c1=c2

Debido a la divergencia de las líneas de presión constante (ver última figura) se cumple:


( ) ( ) 121 ........ hhhxhyshhxs s −>+−+− Por lo tanto ηp > ηc

Para un proceso de compresión el rendimiento adiabático de la máquina es menor que el rendimiento del pequeño escalonamiento. Rendimiento del pequeño escalonamiento para un gas perfecto

Figura N°8. Proceso de compresión. Definición de rendimiento politrópico

( )

p

PP

TT

PPTTP

dPTdT

PdTRRTdP

dTRdTCdh

PRTdPdhis

PRTv

vdPdhisTdsdh

dhis

ppp

p

p

ηγγ

γηγ

γηγ

γγ

η

γγ

η

⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

=−⇒−

=⇒

−

=

−==

=⇒=

−==

=

1

1

2

1

2

1212 lnln1lnln1

1

1

0

También se pueden aplicar condiciones de estancamiento en esta propiedad Si se utiliza una línea isentrópica ηp=1


Ahora aplicamos esta propiedad a la definición de eficiencia del compresor

⇒−

−=

−−

=−−

=1

1

1

2

1

2

12

12

12

12

TTT

T

TTTT

hhhh

s

sscη

1

1

1

1

2

1

1

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⋅−

−

p

PP

PP

c

ηγγ

γγ

η Se pueden usar condiciones estáticas o de estancamiento

Figura N°8. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un

pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4)

Como se observa en la gráfica si se aumenta la relación de presión en un compresor manteniendo el rendimiento politrópico constante la eficiencia del compresor disminuye Rendimiento politrópico de una turbina: De manera análoga al compresor se obtiene

( )γ

ηγ p

PP

TT

1

1

2

1

2

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


( )

γγ

γηγ

η 1

1

2

1

1

2

1

1

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

PP

PP

p

c

Figura N°9. Relación entre el rendimiento isentrópico (o global) y el rendimiento de un

pequeño escalonamiento ( o politrópico) de un compresor (γ= 1.4) Como se observa en la gráfica si se aumenta la relación de presión en una turbina manteniendo el rendimiento politrópico constante la eficiencia de la turbina aumenta Factor de Recalentamiento o Recuperación: Se aplica en la práctica de la turbinas de vapor como una medida de la ineficiencia de la expansión completa


Figura N°10. Diagrama de Mollier mostrando el proceso de expansión dividido en un

número de pequeños escalonamientos

( ) ( )ss

h hhhis

hhhyshxhxshR

2121

1 .....−

Δ=

−+−+−

= ∑

1.03< Rh <1.08

hpss

t Rhhhis

hishh

hhhh

ηη =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Δ−

=−−

= ∑∑ 21

21

21

21 Eficiencia de una turbina

hpt Rηη =


2.3. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA TOBERA

Figura N°11. Diagrama de Mollier para el proceso a través de una tobera

( ) ( )[ ]21

2212 2

1 cchhmWQ −+−=− &&&

Tobera: Q=0 y W=0

0201211

222 2

12

1 hhchch =⇒+=+

Eficiencia de una tobera

ssn hh

hhc

c

201

20122

22

21

21

−−

==η


2.4. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UN DIFUSOR

Figura N°12. Diagrama de Mollier para el proceso a través de un difusor

( ) ( )[ ]21

2212 2

1 cchhmWQ −+−=− &&&

Difusor: Q=0 y W=0

0201211

222 2

12

1 hhchch =⇒+=+

Eficiencia de un difusor

22

21

22

21

1

122 cc

cchhhh ss

d−

−=

−−

=η

Diseño óptimo para un difusor recto


Figura N°13. Esquemas de difusores subsónicos


3. FLUJO EN REJILLAS DE ALABES EN CASCADAS (flujo bidimensional) Métodos matemáticos

- Flujo potencial - Transformación conforme

Métodos experimentales

- Túnel de viento → rejillas de alabes Métodos de simulación computacional

Figura N°14. Perfil aerodinámico

a , b puntos de máxima curvatura l = cuerda t = espesor La línea de centros o de curvatura puede ser circular, parabólica ó otro tipo de curva Tablas de perfiles normalizados → y/l, t/l en función de x/l


Figura N°15. Rejilla de álabes. Definición de ángulos y parámetros geométricos

b cuerda axial l cuerda α1’ = ángulo tangente línea de centros en la entrada α2’ = ángulo tangente línea de centros en la salida α1 = ángulo del fluido en la entrada α2 = ángulo del fluido en la salida i = α1 - α1’ Incidencia S = Paso (distancia entre dos alabes) ε = α1 - α2 Deflexión θ = α1’ - α2’ Curvatura δ = α2 - α2’ Desviación Análisis de fuerzas en cascadas: En el siguiente análisis se supone que el fluido es incompresible y el flujo estacionario


Figura N°16. Fuerzas y triángulos de velocidades en una rejilla de álabes

222

111

222

111

21

21

222111

22221111

tan

tancos

cos1

coscos

α

αα

α

ρρρρ

αραρ

cc

cccccc

SAA

cAcAmcAcAm

y

y

x

x

xx

=

===

×===

====

&

&

xxx ccc == 21 Fuerzas X y Y son las fuerzas que ejercen los alabes sobre el fluido

( )

( )( )21

2

21

12

tantan

1

ααρ

ρ

−=

−=

×−=

x

yyx

SCY

CCSCY

SPPX

Pérdidas de energía: Un fluido real que cruza la cascada experimenta una pérdida de presión total ΔP0 debido a la fricción superficial y a efectos afines


( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )21210

21212

221

22

22

21

21

22

21

22

21

210

222

21100201

21

21

21

21

yyyy

yyyyyyxyxy

ccccS

XP

cccccccccccc

ccPPP

cPcPPPP

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Δ

+−=−=+−+=−

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

Δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Δ=−

ρρ

ρρ

ρρ

Multiplica y divide por ρCxS

( ) ( )

( )

( )21

210

22

11

21210

tantan21tan

tantan2

1

tan

tan

211

ααα

ααρρρ

α

α

ρρρρ

+=

++−=Δ

=

=

−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Δ

m

x

y

x

y

yyxyyx

YSS

XPcccc

ccScccScS

XP

( )mYX

SP

αρρ

tan10 +−=Δ

Coeficiente de pérdidas de Ptotal o de estancamiento

21

0

20

21

21

cP

cP

x

ρϖ

ρξ

Δ=

Δ=

Coeficiente de elevación de presión

2212

21

21

xxp Sc

XcPPC

ρρ=

−=

Coeficiente de fuerza tangencial

( )

ξα

ααρ

−=

−==

mfp

xf

CC

ScYC

tan

tantan22

1 212

Sustentación y Resistencia


Figura N°17. Fuerza de sustentación y arrastre

L= Fuerza de sustentación ; D= Fuerza de Arrastre Fuerza Resultante L+D= Fuerza Resultante X +Y

Figura N°18. Proyecciones de las fuerzas

( )

( )( )

( ) mmx

mm

mmmm

mmm

mmm

mm

mm

senPSScL

senPSYLsenPSsenYL

YsenPSYL

PSXYD

XYsenDYXsenL

ααααρ

αααααα

ααα

ααα

αααα

0212

0

0

0

0

sectantan

seccostan

costan

costancos

coscos

Δ−+=

Δ−=Δ−+=

+Δ−=

Δ=−=

−=+=


Coeficiente de sustentación

121 2 ×

=lc

LCm

Lρ

Coeficiente de arrastre

121 2 ×

=lc

DCm

Dρ

4. TURBINAS AXIALES (flujo bidimensional)

Figura N°19. Diagramas de velocidad de una turbina axial

Velocidad del alabe

602

60RNDNU ππ

==

Ecuación de continuidad

333222111 xxx CACACAm ρρρ ===& Para este curso → 32321 xxxxx wwccc ====

ctteAyoA === 332211 ρρρ


Si 222 RTac γ== se alcanza la velocidad del sonido y el flujo se estrangula Tobera

( ) ( )[ ]2

12212 2

1 cchhmWQ −+−=− &&& Tobera: Q=0 y W=0

0201211

222 2

12

1 hhchch =⇒+=+ Se acelera el flujo

Rotor

[ ]0203 hhmWQ −=− &&& Rotor: Q=0

[ ]0302 hhmW −= && Como ⇒= 0201 hh [ ]0301 hhmW −= &&

Momento de la cantidad de movimiento Empleando la segunda ley de Newton aplicada a los momentos de las fuerzas

( )yA Rcdtdm=τ

Figura N°20. Línea de corriente y velocidades en una turbomáquina

Para un volumen de control de una turbomáquina genérica se puede obtener la ley del momento de la cantidad de movimiento. Para flujo estacionario unidimensional:

( )

( ) ( )33223322

3322

602

60yyyyA

yyA

cUcUmcRcRmPotencia

RRNDNU

cRcRm

−=−Ω=Ω=

Ω===

−=

&&

&

τ

ππ

τ

cy3 es usualmente negativo y en flujo bidimensional U2=U3=U


( )32 yy ccUmW += &&

[ ] ( )

( )3203010

320301

yy

yy

ccUhhh

ccUmhhmW

+=−=Δ

+=−= &&&

Si 32321 xxxxx wwccc ==== y U2=U3=U se pueden acoplar los triángulos de velocidades de la siguiente manera:

Figura N°21. Diagramas de velocidad superpuestos de una etapa normal de una

turbina axial Coeficiente de flujo

UCx=φ

Análisis Dimensional

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Δ γμ

ρρρ

η ,,,,,01

201

301

5301

220

aNDND

NDmf

DNP

DNh s &

φρρ

ρρ==≈=

UC

UDCD

NDDm

NDm xx

201

201

201

301

&&

Coeficiente o factor de carga

2UWΔ

=ψ

Análisis Dimensional

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Δγ

μρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

aNDND

NDmf

DNP

DNh s &

2220

UW

DNh s Δ

≈Δ

( ) ( ) 00301320301 TCpTTCpccUhhmWW yy Δ=−=+=−==Δ&

&


( ) ( )

2032

232

UTCp

Ucc

U

ccU yyyy Δ=

+=

+=ψ

Triángulos unitarios: Dividiendo los triángulos anteriores entre U obtenemos:

Figura N°22. Diagramas de velocidad adimensionales de una etapa normal de una

turbina axial Rotor

[ ]0302 hhmW −= &&

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( )

( ) 021

021

_

021

0221

02121

21

21

21

21

23

2232

323232

3232

33

22

323232

323232

32323232

322

32

232

32

322

3233

22

222

233

2220302

=−+−

=−++−

+=+

=+

=−

=+−−++−

=−−++−

=+−+++−

+=++−

=

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=−

yy

yyyy

yyyy

yy

yy

yyyy

yyyy

yyyyyy

yyyy

xx

yyyxyx

wwhh

wwwwhh

wwcc

wUc

wUctriángulosVer

UcUccchh

Ucccchh

ccUcccchh

ccUcchh

cc

ccUcchcchchchhh

Sumo y resto 221

xw


( ) 021 2

32232 =−+− wwhh

rr hh

whwh

0302

233

222 2

121

=

+=+ Entalpía de estancamiento relativa

Entonces Tobera: 0201 hh = Rotor: rr hh 0302 =

Figura N°23. Diagrama h-s de la etapa de una turbina


4.1. RENDIMIENTO O EFICIENCIA DE UNA ETAPA DE TURBINA ηtt= _______Trabajo real efectuado____________________ Trabajo real operando con los mismos niveles de presión

issstt W

Whhhh

ΔΔ

=−−

=0301

0301η

Etapa normal 31

31

αα == cc y se supone c3=c3ss

( ) ( ) ( )sssssstt hhhhhh

hhhhhh

normaletapa333331

31

31

31)_(−+−+−

−=

−−

=η

( )( )

( ) ( )

( )ssss

ssss

ss

ssssss

P

hhTT

hh

MollierdiagramaverssssssThh

ssThh

sThTshdP

vdPdhTds

222

333

2233

22222

33333

__

0

−=−

⇒−=−⎩⎨⎧

−=−−=−

Δ=Δ⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⇒=

−=

( ) ( ) ( )ss

tthh

TT

hhhh

hhnormaletapa

222

33331

31)_(−+−+−

−=η

Toberas: Ns chh ξ2222 2

1=−

Rotor: Rs Whh ξ2333 2

1=−

ξ= Coeficiente de pérdidas Condiciones totales a totales

( ) ( )

1

31

232

22

3

2

322

2331

312

1

21

21

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

+=++−

−=

hhT

TcW

TT

cWhh

hh NR

NR

tt

ξξ

ξξη


Condiciones totales a estática

( )

1

31

23

232

22

3

2331

312

1

21

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

+=+−

−=

hh

cTTcW

chh

hh NR

ss

ts

ξξη

4.2. PÉRDIDAS EN LA ETAPA - Generación de entropía

1) Fricción viscosa en capa límite por mezcla de chorros, por la estela del alabe

Pérdidas Subsónico (%) Supersónico (%) Capa límite 1/3 0.25

Estela 1/3 0.5 Paredes anulares 1/3 0.25

2) Transferencia de calor en diferencias de temperaturas finitas → flujo de refrigeración

3) Procesos en no equilibrio, ondas de choque, expansiones rápidas

- Por fuga de fluido en el extremo de los alabes Correlaciones de Soderberg y Zweifel Relación Paso-Cuerda S/b Optimo Pérdidas → Deflexión ε Relación aspecto del alabe H/b Relación Espesor alabe/ Cuerda perfil t/l #Re Queremos hallar ξN y ξR Se busca la relación S/b óptimo para que las pérdidas sean mínimas Zweifel: Distribución de presiones ideal para que no exista separación de flujo: lado de presión P0 y lado de succión P2


Figura N°24. Distribución de presión en una rejilla de una etapa de una turbina axial

P= lado de presión S= lado de succión Coeficiente de carga tangencial

( )( )20

211

tantanPPbccSc

YY xxx

ideal

realt −⋅⋅

+==Ψ

ααρ

( ) 2220

2220

211

21

cbPPb

cPP

ρ

ρ

=−⋅⋅

+=

( )2122 tantancos2 ααα +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅=Ψ

Nt b

S Toberas

( )2122 tantancos2 βββ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅=Ψ

Rt b

S Rotor

8,0_ =Ψ optimot Soderberg: Se cumple para: H/b = 3 #Re = 105 tmáx/ l =0,2 ε ≤ 120° Para i=0 (incidencia) → α1- α1’=0


Figura N°25. Correlación de Soderberg para los coeficientes de pérdidas en una

turbina en función de la deflexión

2

*100

06,004,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

εξ Coeficiente de pérdidas

Tobera: 2

10006,004,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= N

Nεξ 21 ααε +=N

Rotor: 2

10006,004,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= R

Rεξ 32 ββε +=R

Si no conocemos la deflexión se puede asumir ε ≈ θ (curvatura)

'2

'1 ααθ +=N

'3

'2 ββθ +=R

Si H/b ≠ 3 Tobera

( )( )( )( ) 1/021,0993,01

/021,0993,011*

1

*1

−++=

++=+

Hb

Hb

NN

NN

ξξ

ξξ

Rotor

( )( )( )( ) 1/075,0975,01

/075,0975,011*

1

*1

−++=

++=+

Hb

Hb

RN

RR

ξξ

ξξ

Si #Re ≠ 105


μρ 222Re hDc

= mojado

flujoh P

AD

4= ( )H

h SHSD

+=

2

2cos2

cos4α

α 141

5

2 Re10 ξξ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Figura N°26. Esquema del canal interálabe

Factor de corrección de pérdidas FCP FCP= Área alabes_____ Área alabes + holgura

ttcorregidott ηη =)( FCP

4.3. Tipos de diseño de turbinas axiales Consideremos el problema de seleccionar el diseño de una turbina axial para la cual se ha elegido de antemano la velocidad media del alabe U, el trabajo específico ΔW y la velocidad axial cx. El limite superior de la velocidad del alabe está fijado por tensiones mecánicas y la velocidad axial está limitada por consideraciones de la sección del flujo.

( ) 2332 yyyy cUWcccUW −

Δ=⇒+=Δ

Para diferentes valores de Cy2 se pueden construir los triángulos de velocidades, determinar los coeficientes de pérdidas y calcular ηts y ηtt. Stenning consideró una familia de turbinas donde cada turbina tenía un coeficiente de flujo Cx/U =0,4, una relación de aspecto de alabe H/b =3 y número de Reynolds =105 y cálculo ηts y ηtt para factores de carga del escalonamiento ΔW/U2 de 1, 2 y 3 utilizando la correlación de Soderberg. Los resultados de estos cálculos se muestran en la siguiente figura:


4.4. Grado de Reacción R = Caída de entalpía estática en el rotor Caída de entalpía estática en la etapa

31

32

hhhhR

−−

=

Suponemos etapa normal 31

31

αα == cc y la velocidad axial constante a lo largo de la etapa

0301

32

hhhhR

−−

=

En el rotor

( )22

2332

233

222

0302

21

21

21

wwhh

whwh

hh rr

−=−

+=+

=

Recordando ( ) ( )323203010 yyyy wwUccUhhh +=+=−=Δ


Entonces ( )32

22

23

0301

32

2 yy ccUww

hhhhR

+−

=−−

=

( ) ( ) ( )( )2323

222

223

22

23 yyyyxyxy wwwwwwwwww −+=+−+=−

( )( )

( )( ) ( )23

23

32

2323 tantan222

ββ −=−

=+

−+=

UC

Uww

wwUwwww

R xyy

yy

yyyy

( )23 tantan2

ββφ−=R

Ucx=φ

( )U

UccU

UcwU

wwR xxyyyy

2tantan

22232323 +−

=−−

=−

=αβ

( )

UcR x

2tantan

21 23 αβ −

+=

( ) ( )

Ucc

UUcUc

Uww

R yyyyyy

21

22232323 −

+=−−+

=−

=

( )

UcR x

2tantan1 23 αα −

+=

Grado de reacción cero

3231

32 0 hhhhhhR =⇒=

−−

=

32233

222

0302

21

21 wwwhwh

hh rr

=⇒+=+

=

( ) 2323 0tantan2

ββββφ=⇒=−=R


Etapa de turbina de acción o de impulso Suponga una etapa con 0 caída de presión en el rotor

Negativo

hhhhR ⇒

−−

=31

32 Etapa de impulso→Admisión Parcial

3223233

222

0302

21

21 wwhhwhwh

hh rr

>⇒>⇒+=+

=

Son ineficientes pero se pueden regular muy bien, se usan casi siempre como primera etapa debido a la regulación. Grado de reacción 0,5 (50%)

( )23

23 5,02

tantan21 αβαβ

=⇒=−

+=U

cR x

322131

32 5,0 hhhhhhhhR −=−⇒=

−−

=

Los triángulos de velocidades son simétricos por los tanto los alabes en el rotor y en el estator son iguales. Sólo difieren en que el rotor gira y el estator está fijo. La mayoría de


las turbinas comerciales tienen este grado de reacción debido a que es más económico construir el rotor y el estator con alabes iguales.

23

23

βααβ

==

23

33

wcwc

==

Grado de reacción 1 (100%)

( )23

23 12

tantan1 αααα=⇒=

−+=

UcR x

2131

32 1 hhhhhhR =⇒=

−−

=

2122

210201 2

121 cccchh =⇒=⇒= El estator no trabaja como tobera

Triángulo de velocidades relacionado con el grado de reacción

31

32

hhhhR

−−

= U

wwR yy

223 −

=


φψβ 12

tan 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= R

φψα 112

tan 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= R

φψβ 12

tan 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += R

φψα 112

tan 3 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= R

( ) ( )

Ucc

UUcUc

Uww

R yyyyyy

21

22232323 −

+=−−+

=−

=

( ) 2332 yyyy cUWcccUW −

Δ=⇒+=Δ

Uc

UWR y2

221 −

Δ+= → 2tan

21 αφψ

−+=R


5. COMPRESORES AXIALES (Flujo Bidimensional)

Triángulo de velocidades


Vamos a suponer en este curso → 21321 xxxxx wwccc ==== y etapa normal 31

31

αα == cc

Se obtiene en forma análoga a las turbinas axiales la ecuación de Euler:

[ ] ( )( )1201030

120103

yy

yy

ccUhhhccUmhhmW

−=−=Δ

−=−= &&&

Se puede demostrar Rotor

rr hh

whwh

0201

222

211 2

121

=

+=+

Difusor

( ) ( )[ ]2

22323 2

1 cchhmWQ −+−=− &&& Difusor: Q=0 y W=0

0302233

222 2

12

1 hhchch =⇒+=+ Se desacelera el flujo


( )1201030 yy ccUhhh −=−=Δ

Triángulos 211222

11yyyy

yy

yy wwcccwU

cwU−=−

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=−

( ) ( ) ( )21211201030 tantan ββ −=−=−=−=Δ xyyyy UCwwUccUhhh ( ) 0010301030 TCTTChhh pp Δ=−=−=Δ

( )210 tantan ββ −=Δp

x

CUCT

5.1. Eficiencia de la etapa y Relación de Compresión

etapa

ssssetapa T

TTT

TTTT

hhhh

0

01

0301

0103

0103

0103

0103

1

Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−−

=−−

=η

etapaetapa T

PPT

0

1

01

0301 1

Δ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−γ

γ

η

1

01

0

01

03 1−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

Δ+=

γγ

ηT

TPP etapa

etapa

Eficiencia de la etapa

( ) ( ) ( )0103

030303030103

0103

0103

hhhhhhhh

hhhh ssssss

etapa −−−−−−

=−−

=η

( )( )

( ) ( ) compresorMollierdiagramaverssssssThh

ssThh

sThTshdP

vdPdhTds

ssss

ss

ssssss

P

___

0

220303

22222

0303030303

⇒−=−⎩⎨⎧

−=−−=−

Δ=Δ⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⇒=

−=

( )ssss hhTThh 22

2

030303 −=−


( )( )

( ) ( ) compresorMollierdiagramaverssssssThh

ssThh

ss

ss

ss

___330303

33333

0303030303

⇒−=−⎩⎨⎧

−=−−=−

( )ss hhTThh 33

3

030303 −=−

( ) ( ) ( )

0103

333

0322

2

030103

0103

0103

hh

hhTThh

TThh

hhhh ss

ssetapa −

−−−−−=

−−

=η Suponemos 1,3

03

2

03 ≈TT

TT

Se supone densidad constante para la etapa 20 2

1 cPP ρ+= Flujo incompresible

Difusor

233

2220302 2

12

1 chchhh +=+⇒=

( ) ( ) ( )[ ]ρ1

21

30320223

2223 PPPPcchh −−−=−=− (a)

ρρdPdhdPdhTds =⇒−==

10 → ρ

2323

PPhh s−

=− Ver diagrama (b)

Restando (a) y (b)

( ) ( ) ( )ρ

233032022323

PPPPPPhhhh s−−−−−

=+−− → ρρ

ESTATORs

PPPhh 0030233

Δ=

−=−

Rotor

rr hh 0201 = → 222

211 2

121 whwh +=+ y

2

2

0wPP r +=

( ) ( )[ ]202101121 PPPPhh rr −−−=−ρ

(a)

De forma análoga al caso anterior ρ

1212

PPhh s−

=− Ver diagrama (b)

Restando (a) y (b) ( )ρρrROTOR

rrsPPPhh 0

0201221 Δ

=−=−

Entonces ( )0103

00

0103

0103 1hhPP

hhhh ESTATORrROTORss

etapa −Δ+Δ

−=−−

=ρ

η


5.2. Grado de Reacción R = Incremento de entropía estática en el rotor Incremento de entropía estática en la etapa

13

12

hhhhR

−−

=

Suponemos etapa normal 31

31

αα == cc y la velocidad axial constante a lo largo de la etapa

En el rotor

222

211

0201

21

21 whwh

hh rr

+=+

=

Como c1=c3 ( )123103010 yy ccUhhhhh −=−=−=Δ

( )( ) ( )

( )( )( )

( )12

2121

12

22

22

21

21

12

22

21

13

12

222 yy

yyyy

yy

xyxy

yy ccUwwww

ccUwwww

ccUww

hhhhR

−

−+=

−

+−+=

−−

=−−

=

Triángulos 211222

11yyyy

yy

yy wwcccwU

cwU−=−

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=−

( )

mxyy

Uc

Uww

R αφββ tan2

tantan2

2121 =+

=+

=

2tantantan 21 ββα +

=m

También se puede escribir de la siguiente manera 11 yy cUw −=

( )1tantan22

122 2

2121 αβ −+=+−

=+

=Uc

UwcU

Uww

R xyyyy

Para R=0,5 se reparte la pérdida por igual en el rotor y en el difusor y resulta que la etapa es más eficiente. Para R=0,5 los triángulos son simétricos

12

12

βααβ

==

12

12

wccw

==

Para R diferente a 0,5 se muestra a continuación como varían los triángulos de velocidades


5.3. Factor o coeficiente de carga Coeficiente o factor de carga

2UWΔ

=ψ

( )120103 yy ccUhhmWW −=−==Δ&

&

( )

UccU

UcwU

Ucc

UccU xxyyyyyy 121212

212 tantan αβψ −−

=−−

=−

=−

=

( )

Ucx 12 tantan1 αβψ +

−=

( )12 tantan1 αβφψ +−=

Triangulo de velocidades unitario con R=0,5


El factor de carga del escalonamiento se puede expresar también en función de los coeficientes de sustentación y resistencia para el rotor

Fuerza tangencial: mm DsenLY ββ += cos Fuerza axial: X

2tantantan 21 βββ +

=m

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += mm L

DLY ββ tan1cos

Coeficiente de sustentación Coeficiente de arrastre

121 2 ×

=lw

LCm

Lρ

12

1 2 ×=

lwDC

mD

ρ

D

L

CC

DL

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= m

L

DmLxm

L

DmLm C

ClCcCClCwY ββρββρ tan1sec

21tan1cos

21 22

( )mDLmx CClcY ββρ tansec21 2 +=

El trabajo realizado por cada alabe móvil pro segundo es YU y es transferido al fluido que evoluciona a través de un conducto de alabes durante dicho periodo. Potencia = Fuerza x Velocidad = YU

( ) ( )01030103 hhSChhmYU x −=−= ρ&


( )mDLmx

x

CCUS

lcUSc

YUU

hh ββρ

ψ tan2sec

220103 +==

−=

( )mDLm CC

Sl ββφψ tan

2sec

+⋅⋅

= El rendimiento optimo se obtiene para LD

m

CC <<°≈ 45β

( )DLoptimo CCSl

+=2

φψ

5.4. Características de funcionamiento fuera de diseño Horlock ha considerado como se comporta la carga del escalonamiento con la variación del coeficiente de flujo φ y como resulta influenciada esta característica de funcionamiento fuera de diseño por la elección de condiciones de diseño. Los datos de cascadas sugieren que los ángulos de salida del fluido β2 (para el rotor) y α1 (=α3) para el estator no varían apreciablemente para una gama de incidencias, hasta que se alcanza el punto de desprendimiento. Se puede hacer la simplificación de que, para un escalonamiento dado:

cttet ==+ 21 tantan βα

( ) t⋅−=+−= φαβφψ 1tantan1 12

20103

Uhh −

=ψ

Para U constante si el flujo másico disminuye xAcm ρ=& , Cx disminuye, φ disminuye, ψ aumenta y por lo tanto 0103 hh − aumenta


Para el punto de diseño d

ddd tt

φψφψ −

=⇒⋅−=11

t se fija sin tener en cuenta el grado de reacción y por lo tanto la variación de la carga del escalonamiento para condiciones fuera de diseño no depende de la elección del grado de reacción de diseño.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

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d

d

dddd

d

ψψ

φφ

ψψψ

φψ

φψ1111

Cuando ψd≈0,33 pequeñas variaciones de φ producen grandes variaciones de ψ y este es el funcionamiento más eficiente.


REFERENCIAS 1.- Apuntes Máquinas Térmicas. Profesor Pedro PIERETTI 2.- Apuntes Máquinas Térmicas. Profesor Miguel ASUAJE 3.- Termodinámica de las Turbomáquinas. S. L. Dixon. Editorial Dossat, S.A: 4.-Turbomachinery Performance Analisys. R. I. Lewis. Editorial Arnold

Material y Apuntes TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS CT-3412 · 2013-09-07 · Turbomáquinas Térmicas....

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