Material de Analise Complexa

AVANZA. Vol. II. FM - IIT, UACJ (2012) 21–56.

Transformaciones casiconformes y dinamica

Holomorfa*

Juan Francisco Estrada Garcıa, Julio Erasto Poisot Macıas **

Resumen

En este artıculo se da una introduccion a los conceptos y resultados basicosde las transformaciones casiconformes y el espacio de Teichmuller con algunasde sus aplicaciones en el estudio de la dinamica generada por las transforma-ciones racionales definidas en la esfera de Riemann

Palabras clave: Casiconformes, superficie de Riemann, espacio deTeichmuller, sistemas dinamicos holomorfos

1. Introduccion

De acuerdo con Ahlfors [2], la nocion de transformacion casiconforme fueintroducido por H. Grotzsch en 1928, al darse cuenta que si Q es un cuadra-do y R es un rectangulo, que no es un cuadrado, no existe transformacionconforme de Q en R, tal que envıe vertices en vertices. Al conseguir medir laaproximacion a la conformidad de la transformacion que resolvıa su problema,Grotzsch dio el primer paso hacia la creacion de la Teorıa de las transforma-ciones casiconformes. Fue hasta 1935 en que los mapeos de Grotzsch fueronretomados por Lavrentieff en un artıculo, que trata acerca de las ecuacionesdiferenciales parciales no lineales asociadas al estado de un flujo potencial deun gas incomprensible. Tal trabajo proporciona una nueva interpretacion delas ecuaciones de Cauchy-Riemann, a saber la conformidad. Esta teorıa, poramplio consenso, tiene su nacimiento en un artıculo de Lars Ahlfors en 1954 enel Journal D’ Analyse, en donde se presenta su primer trato sistematico y en sucorrecta generalidad, y se ha desarrollado tanto, que no todos los topicos pue-den ser cubiertos en un solo escrito sin importar el punto de vista que se tome.

*Artıculo de divulgacion cientıfica.

**Facultad de Ciencias Fısico Matematicas. BUAP, [email protected]

22 F. Estrada, J. Poisot

En este artıculo, introducimos las definiciones y resultados basicos necesariospara entender la Teorıa de la deformacion de las transformaciones casiconfor-mes en el plano. Cualquiera de tales transformaciones, puede ser deformada ala identidad dentro de toda la familia de transformaciones casiconformes. Deacuerdo al Teorema de Uniformizacion, el caso de las transformaciones entresuperficies de Riemann puede reducirse al caso de dominios planos. Esto nospermite tratar la Teorıa de los espacios de Teichmuller, la cual entre otrascosas nos da una parametrizacion de todas las estructuras complejas de unasuperficie dada. Finalizamos este artıculo dando algunas de las aplicaciones deesta teorıa en el estudio de la dinamica holomorfa.

2. Transformaciones conformes

2.1. Definicion y resultados basicos

Una transformacion en plano que preserva medidas de angulos y orienta-cion, se llama conforme. En analisis complejo, una funcion f diferenciable conderivada no cero, preserva angulos y orientacion. En particular, una funcionbiyectiva entre dos dominios (abiertos y conexos) A y B, holomorfa, es un biho-lomorfismo entre estos dos dominios, y establece un homeomorfismo conformeentre estos dos dominios. A tal transformacion le llamamos equivalencia confor-me. Estos conceptos se generalizan a dominios del plano complejo extendidoC := C ∪ ∞ cuya representacion geometrica es la esfera de Riemann. En elcaso especial de que A = B, tal equivalencia conforme se llama automorfismoconforme de A.

Ejemplos fundamentales de transformaciones conformes son los grupos deautomorfismos conformes de los dominios canonicos C, C,M= z ∈ C : |z| < 1, H = z ∈ C : Im (z) > 0, descritos en el siguiente teo-rema:

Teorema 2.1. (i) Todo elemento de Aut(C) tiene la forma:

γ (z) =az + b

cz + d,

donde a, b, c, d ∈ C con ad− bc = 1.

Transformaciones casiconformes 23

(ii) Todo elemento de Aut(C) tiene la forma:

γ (z) = az + b,

donde a, b ∈ C con a 6= 0.(iii) Todo elemento de Aut(M) tiene la forma:

γ (z) =az + b

bz + a,

donde a, b ∈ C con |a|2− |b|2 = 1. Estos elementos tambien se pueden escribircomo.

γ (z) = exp iθz − α1− αz

,

donde θ ∈ R y α ∈M.(iv) Todo elemento de Aut(H) tiene la forma:

γ (z) =az + b

cz + d,

donde a, b, c, d ∈ R con ad− bc = 1.

Demostracion. (i) Si γ ∈ Aut(C) y γ (∞) = ∞, entonces en una vecindad de∞, γ tiene una expansion de Laurent:

γ (z) = az +∞∑n=0

bnz−n,

con a 6= 0. Entonces γ (z) − az es holomorfa en C, y por el principio delmaximo se tiene que γ (z) − az debe ser una constante b. Ası obtenemos queγ (z) = az + b con a 6= 0. Si γ ∈ Aut(C) y γ (∞) = z0 6= ∞, entoncesdefiniendo γ1 (z) = 1/(z−z0), vemos que γ1,γ1 γ ∈ Aut(C), y γ1 γ(∞) = ∞.Ası obtenemos que γ1 γ (z) = 1/(γ(z)−z0) = a1z + b1, donde a1, b1 ∈ C cona1 6= 0. Por lo tanto, γ se escribe en la forma enunciada con ad − bc 6= 0.Ademas, γ no cambia cuando a, b, c y d son multiplicados por una constantecomun, por lo cual podemos normalizar la expresion de γ con ad− bc = 1.

(ii) Cada elemento γ ∈ Aut (C) se extiende a uno de Aut(C), si estable-cemos que γ (∞) = ∞. Ası que por el argumento anterior, se sigue que γ seexpresa en la forma estipulada.


(iii) Sea γ ∈ Aut(4) con γ(0) = β. La transformacion γ1(z) = (z−β)/(1−βz)pertenece a Aut(4). Por tanto, γ2 = γ1 γ ∈ Aut(4) y γ2(0) = 0. De acuerdoal lema de Schwarz, γ2 es una rotacion γ2(z) = expiθ z; con θ ∈ R, la otraexpresion estipulada se sigue de inmediato.

(iv) T (z) = (z−i)/(z+i) es un biholomorfismo entre H y 4; entonces, paracada elemento γ ∈ Aut(H), obtenemos γ1 = T γ T−1 ∈ Aut(4). Ası, γ1 esuna transformacion que puede expresarse como en (i). Y puesto que γ envıaH sobre si mismo, podemos suponer que a, b, c , d ∈ R, con ad − bc > 0. Portanto, γ puede escribirse de la forma en (iii), y en consecuencia de la forma en(iv).

Todas estas transformaciones pertenecen al grupo de transformaciones deMobius, las cuales se definen como:

Mob(C)

=T (z) =

az + b

cz + d: a, b, c, d ∈ C con ad− bc 6= 0

. Una propiedad geometrica de las transformaciones de Mobius, es que trans-forman cırculos en la esfera en cırculos en la esfera. Dado que tres puntoscaracterizan un cırculo, entonces dados dos triangulos en C, existe una unicatransformacion de Mobius, que lleva un triangulo en el otro y que lleva verticesen vertices.

Uno de los resultados mas importantes del analisis complejo, tanto porsus multiples aplicaciones a la fısica matematica como a la geometrıa, es elTeorema de Transformacion Conforme de Riemann.

Teorema 2.2. . [Representacion Conforme de Riemann] Todo dominio sim-plemente conexo del plano que no sea todo el plano, es conformemente equi-valente al disco unitario 4.

Una demostracion de este teorema puede encontrarse en [1]. Es claro queutilizando los automorfismos del disco unitario, podemos obtener una infinidadde representaciones conformes de un dominio simplemente conexo que no seael plano. La unicidad de tal transformacion queda establecida exigiendo queel cero del disco unitario, sea la imagen de un punto dado en el dominiosimplemente conexo y que la derivada en ese punto sea un numero real positivo,o exigiendo que el argumento de la derivada en ese punto sea un numero realdado en el intervalo (−π, π

]. Para establecer el comportamiento en la frontera


de la transformacion de Riemann, necesitamos recordar que un dominio deJordan es una imagen homeomorfa del disco unitario cerrado.

Teorema 2.3 (Caratheodory-Osgood). Una transformacion conforme del dis-co unitario sobre un dominio en el plano, puede ser extendida a un homeomor-fismo del disco cerrado sobre la cerradura del dominio si y solo si este dominioes de Jordan.

Una demostracion de este teorema puede encontrarse en [3]. El teoremade Riemann es de existencia, ası que en sus aplicaciones tanto a la fısicacomo a la geometrıa, es muy conveniente, contar con una expresion explıcitadel biholomorfismo, lo cual es establecido en el siguiente resultado, dondese usa que el semiplano superior y el disco unitario son biholomorfos, y elbiholomorfismo esta dado por:

T (z) = exp (iθ)(z − λz − λ

),

donde Im(λ) > 0 y θ ∈ R.

Teorema 2.4 (Formula de Schwarz-Christoffel). Sea f una transformacionconforme del semiplano superior H sobre el interior D de un polıgono cerradoP en el plano; sean −∞ < a1 < a2 < · · · < an ≤ ∞ la lista de puntostransformados a los vertices de P por el homeomorfismo extendido f de f a lacerradura H de H en C, y sea αjπ el angulo interior de P en el vertice f(aj).Entonces, existen constantes A y B, tales que para cualquier z ∈ H:

f(z) = A

∫ z

i(ς − a1)α1−1(ς − a2)α2−1 · · · (ς − an)αn−1dς +B

si an 6=∞, mientras que:

f(z) = A

∫ z

i(ς − a1)α1−1(ς − a2)α2−1 · · · (ς − an−1)αn−1−1dς +B

si an =∞.

Una demostracion puede encontrarse en [1].


2.2. Sobre la solucion al problema de Grotzsch

Podemos enunciar la problematica de Grotzsch del modo siguiente: existeuna transformacion conforme que envıe un cuadrado en un rectangulo, que noes un cuadrado, de forma que lleve vertices a vertices?, su respuesta es negativa.A¿Existe un difeomorfismo C1 que resuelva este problema?, su respuesta esafirmativa. A¿Existe un modo de medir la desviacion de la conformodidad dela solucion?, su respuesta es afirmativa. El siguiente argumento nos permiteverificar estas respuestas [2]:

Sea f : U → V un difeomorfismo de clase C1 entre dos dominios U y Vdel plano que preserva orientacion, es decir, el jacobiano Jf (z) :=| ∂f (z) |2− | ∂f (z) |2 es positivo en U , lo cual denotamos por f ∈ Dif+ (U, V ), parael cual se definen las derivadas parciales complejas ∂f y ∂f con z = x + iy, ladiferencial df y la derivada Df por:

∂f =12

(fx − ify) , ∂f =12

(fx + ify)

df = ∂fdz + ∂fdz

[Df (z)] (u) = ∂f (z)u+ ∂f (z) u.

La derivada ∂αf en la direccion α:

∂αf (z) = lımr→0

f (z + r exp (iα))− f (z)r exp (iα)

.

Entonces, ∂αf = ∂f + ∂f exp (−2iα), y ası:

maxα| ∂αf (z) |=| ∂f (z) | + | ∂f (z) |, mın

α| ∂αf (z) |=| ∂f (z) | − | ∂f (z) | .

La diferencia | ∂f (z) | − | ∂f (z) | es positiva, ya que el jacobiano Jf :=| ∂f |2− | ∂f |2 es positivo para los difeomorfismos que preservan la orientacion. Enconsecuencia, el cociente de dilatacion:

Df (z) :=maxα | ∂αf (z) |mınα | ∂αf (z) |

=| ∂f (z) | + | ∂f (z) || ∂f (z) | − | ∂f (z) |

es finito y mayor o igual a 1.


La transformacion f es conforme si y solo si ∂f se anula en su domi-nio. Entonces, ∂αf es independiente de α: y obtenemos que ∂αf = ∂f =f′, lo cual es equivalente a que el cociente de dilatacion sea identicamente

igual a 1.El cociente de dilatacion es un invariante conforme: si g y h son transforma-

ciones conformes, tales que w = h f g este definida, entonces se demuestraque Df (z) = Dw

(g−1 (z)

).

Sean R y R′ dos rectangulos con lados a, b y a′, b′, respectivamente. Po-demos suponer que a/b ≤ a′/b′ y que b ≤ b′; de otra manera, intercambiamosa y b. Supongamos que R ⊂ U y R′ ⊂ V y f (R) = R′, y que f envıa lados aen lados a′ y lados b en lados b′. Obtenemos las siguientes estimaciones:(

|∂f | −∣∣∂f ∣∣) |dz| ≤ |df | ≤ (|∂f |+ ∣∣∂f ∣∣) |dz| ,

lo cual se sigue de la definicion de diferencial; ademas:

a′ =∫ a

0|df (x+ iy)| dx ≤

∫ a

0

(|∂f |+

∣∣∂f ∣∣) dxa′b′ ≤

∫ a

0

∫ b

0

(|∂f |+

∣∣∂f ∣∣) dxdya′2b′2 ≤

∫ a

0

∫ b

0

|∂f |+∣∣∂f ∣∣

|∂f | −∣∣∂f ∣∣dxdy

∫ a

0

∫ b

0

(|∂f |2 −

∣∣∂f ∣∣2) dxdy= a′b′

∫ a

0

∫ b

0Dfdxdy

oa′

b′a

b≤ 1ab

∫ ∫RDfdxdy

y en particular,a′

b′a

b≤ sup

z∈UDf (z) .

El mınimo es alcanzado para la transformacion afın, dada por:

f (z) =12

(a′

a+b′

b

)z +

12

(a′a− b′

b

)z.

Esto demuestra que no existe transformacion conforme, que resuelva elproblema de Grotzsch.


3. Definicion analıtica de transformacionCasiconforme

3.1. El caso diferenciable

De acuerdo a la seccion anterior, siguiendo a Ahlfors, podemos definir elconcepto de transformacion casiconforme para f ∈ Dif+ (U, V ).

Definicion 3.1. f ∈ Dif+ (U, V ) es K−casiconforme, con K ≥ 1 si Df (z) ≤K para todo z ∈ U . Diremos que f ∈ Dif+ (U, V )es casiconforme, si existeun K ≥ 1, tal que f es K−casiconforme. La menor K, tal que f es K-casiconforme, es llamada dilatacion casiconforme de f .

Ejemplo 3.2. 1) Sean U = x+ iy : |y| ≤ 2x y 0 < x < 1, V = C. Conside-remos la funcion f : U → V, dada por:

f (x+ iy) = 2√x+ i

y√x,

es casiconforme, ya que f ∈ Dif+ (U, V ) y Df es acotada en U.

2) Sea K > 1. La funcion h : 4 → 4, dada por h (z) = z |z|K , es casicon-forme, ya que h ∈ Dif+ (4,4) y

Dh =|∂h|+

∣∣∂h∣∣|∂h| −

∣∣∂h∣∣ ≤KK+1 + 1

1− KK+1

.

3) Sea U = x+ iy : |y| ≤ x y 0 < x < 1 , V = C. La transformaciong : U → V, dada por g (x+ iy) = x + i yx , es un elemento de Dif+ (U, V ) ,tal que Dg no es acotada en U por lo cual no es casiconforme. Sin embargo,para cualquier punto en U , podemos construir una vecindad de tal punto, enla cual esta transformacion es casiconforme.

Desde el punto de vista geometrico, podemos hacer las siguientes observa-ciones: 1) Una transformacion conforme infinitesimalmente envıa circunferen-cias en circunferencias, lo cual se desprende directo de la definicion de deri-vada compleja. 2) Una transformacion casiconforme infinitesimalmente envıacircunferencias en elipses, es decir, la derivada envıa circunferencias en elipses,lo cual se constata del siguiente argumento:

Df (z) r exp (iθ) = r∂f (z) exp (iθ) + r∂f (z) exp (iθ) .


Y si tomamos ∂f (z) = r1 exp (iθ1), y ∂f (z) = r2 exp (iθ2), la parte derechade la igualdad anterior toma la forma:

r exp(iθ1 + θ2

2

)(r1 + r2) cos

(θ1 − θ2

2+ θ

)+ i (r1 − r2) sin

(θ1 − θ2

2+ θ

),

que es la representacion polar de una elipse, cuyo cociente de las longitudes del ejemayor y el eje menor es:

r1 + r2

|r1 − r2|=|∂f (z)|+

∣∣∂f (z)∣∣

|∂f (z)| −∣∣∂f (z)

∣∣ = Df (z) ,

lo cual nos proporciona una interpretacion geometrica de Df (z) .Si S1 = z ∈ C : |z| = 1 y f ∈ Dif+ (U, V ), para z ∈ U , denotamos por Ef (z) la

elipse Df−1 (f (z))(S1)

considerada modulo una homotecia real y se define la funcionµf (z) := ∂f(z)

∂f(z) . Tenemos que |µf (z)| < 1. Las condiciones siguientes son equivalentes:

i) La transformacion f es conforme, es decir, f es holomorfa con derivada no nulaen U .

ii) Ef es el campo de circunferencias.

iii) µf = 0 en U .

Los datos provistos por el campo de elipses Ef en U (considerado modulo una homo-tecia real en cada punto) y los de la funcion µf : U → 4, son equivalentes. Ademas,tenemos que µf y Df estan relacionadas por:

Df (z) =1 + |µf |1− |µf |

.

El argumento principal de µf (z) satisface:

Arg (µf (z)) = θ2 − θ1 = −2ϕ,

donde ϕ es el angulo que hace el eje menor de la elipse con el eje real.La definicion de la funcion µf y su significado geometrico, nos permite plantearnos

la siguiente pregunta: dado un dominio en U j C y un campo de elipses E definidoen U , ¿podemos encontrar un difeomorfismo f : U → V , tal que el campo E = Ef? Locual equivale a: dada una funcion µ : U → 4, ¿podemos encontrar un difeomorfismof : U → V , tal que µ = µf? Es decir, nos estamos preguntando por las soluciones dela ecuacion en derivadas parciales:

∂f = µ∂f,


la cual es conocida como ecuacion de Beltrami . Esta ecuacion surge tambien en el estu-dio de la geometrıa diferencial de superficies, en particular en lateorıa de superficies que admiten una estructura holomorfa, conocidas como superfi-cies de Riemann, y esta teorıa es fundamental en el estudio de la dinamica holomorfa.Una de las tecnicas mas exitosas en dinamica holomorfa inaugurada en la decada de1980, es la llamada cirugıa holomorfa, en la cual el uso del teorema que garantiza laexistencia de soluciones a la ecuacion de Beltrami, es un hecho fundamental, ası co-mo en el estudio de grupos kleinianos. En todas estas aplicaciones de la ecuacion deBeltrami, es necesario considerar que la funcion µ no es necesariamente continua; esdecir, f no es necesariamente diferenciable. Por lo que necesitamos generalizar nuestroconcepto de transformacion casiconforme.

3.2. El caso general

Para tratar el caso general, necesitamos introducir algunas nociones basicas de laTeorıa de distribuciones de L. Schwartz. Sea U un abierto de C. Denotamos con C (U)(respect. C1 (U), C∞ (U)) el espacio vectorial de funciones continuas definidas en U ,y que toman valores en C (respect. el espacio de funciones con derivadas continuasy el espacio de funciones con derivadas de todos los ordenes). Denotamos Ccomp (U)el espacio de funciones con soporte compacto definidas en U , y definimos igualmenteC1comp (U) y C∞comp (U).

El espacio L2 (U) es completacion del espacio Ccomp (U) con la norma L2 definidapor:

(‖f‖L2)2 =∫∫|f |2 =

∫∫z∈U|f (z)|2 dxdy,

donde la integral es considerada respecto a la medida de Lebesgue. Este es un espaciode Hilbert complejo. Denotamos por L2

comp (U) el subespacio de funciones de L2 (U)que tienen soporte compacto en U , y por L2

loc (U) el espacio defunciones definidas en U y que estan localmente en L2. De igual manera, definimosL1 (U), L1

comp (U), L1loc (U). Recordemos que

L∞ (U) = f : U → Cmedible y acotada

es un espacio de Banach complejo, con la norma |f |∞ :=sup esencz∈U |f (z)|.

Definicion 3.3. Dadas dos funciones f y g en L1loc (U), decimos que g = ∂f

∂x en elsentido de distribuciones, si:

(∀h ∈ C∞comp (U)

) ∫∫gh = −

∫∫f∂h

∂x.


La funcion g esta determinada de manera unica (como elemento de L1loc (U)) por

esta condicion.

Definicion 3.4. Definimos el espacio de Sobolev H1loc (U) como el espacio vecto-

rial de funciones f ∈ L1loc (U), que admiten derivadas parciales ∂f

∂x y ∂f∂y en el

sentido de distribuciones contenidas en L2loc (U). Para f ∈ H1

loc (U), definimos ∂fy ∂f en el sentido de distribuciones mediante las formulas habituales:

∂f =12

(∂f

∂x− i∂f

∂y

), ∂f =

12

(∂f

∂x+ i

∂f

∂y

).

Teorema(lema de H. Weyl). Si U ⊂ C es abierto, y f : U→ C es una funcion continua,tal que ∂f ∈ L1

loc (U) y ∂f = 0 en el sentido de distribuciones, entonces f es holomorfaen U .

Una demostracion puede encontrarse en [9]. Con estos conceptos estamos en la po-sibilidad de enunciar la definicion analıtica general de transformacioncasiconforme.

Definicion 3.5. Sean U, V subconjuntos abiertos de C, tomemos K ≥ 1, y seak := (K − 1) / (K + 1), ası que 0 ≤ k < 1. Una transformacion f : U → V esK−casiconforme, si es un homeomorfismo cuyas derivadas parciales en el sentido dedistribuciones ∂f y ∂f pertenecen a L2

loc (U) y satisfacen:∣∣∂f ∣∣ ≤ k |∂f |en L2

loc (U); es decir, |µ| ≤ k a µ se llama dilatacion compleja de f .

Supongamos que f es k−casiconforme y g es k′−casiconforme, y pongamos:

K =1 + k

1− k, K ′ =

1 + k′

1− k′,

entonces la K ′′ correspondiente a f g es a o mas K ·K ′ y ası f g es k′′−casiconformepara alguna k′′ = k′′ (k, k′) . En realidad, se puede demostrar que:

Proposicion 3.6. Si f : U → V y g : V → W son homeomorfismos casiconformes,entonces la composicion g f es casiconforme y

µgf (z) =µf (z) + µg (z) · ∂f(z)

∂f(z)

1 + µg (f (z)) · µf (z) · ∂f(z)∂f(z)

.

Si f es holomorfa, entonces µgf (z) = µg (f (z)) · ∂f(z)∂f(z) .


Una demostracion puede encontrarse en [2]. De acuerdo al lema de Weyl,tenemos:

Teorema 3.7. Sean U, V ⊆ C abiertos. Un homeomorfismo f : U → V que es1-casiconforme, es conforme.

El siguiente resultado es el punto de partida para la Teorıa de la deformacion detransformaciones casiconformes en el plano.

Teorema 3.8. (Morrey, Bojarski, Ahlfors, Bers) (Transformacion medible de Rie-mann). i) Sea U ⊆ C un abierto y sea µ ∈ L∞ (U) , tal que ‖µ‖∞ < 1. Entoncesexiste una transformacion casiconforme f := fµ : U → C, que satisface la ecuacionde Beltrami:

∂f = µ∂f

Ademas, f (z) − z→ 0 cuando z → ∞. A tal funcion µ se le llama coeficiente deBeltrami en U .

ii) Si g es otra solucion casiconforme de esta ecuacion, entonces existe una funcionholomorfa e inyectiva ϕ : f (U)→ C, tal que g = ϕ f , ası que µϕf (z) = µf (z).

iii) Si la funcion µ depende tambien de un parametro λ, es decir, µ : Λ×U → C,donde λ ∈ Λ y Λ es un dominio de C, y la dependencia de µ respecto a λ es holomorfa(respect. continua), entonces las soluciones de la ecuacion de Beltrami, fµλ , dependende manera holomorfa (respect. continua) del parametro λ.

Una demostracion se encuentra en [7].

Nota 3.9. Dos transformaciones entre superficies f , g : S1 → S2, se dicen isotopicassi existe una familia a un parametro Ht : S2 → S2 de homeomorfismos, tal queH0 = idS2 y H1 f = g. De acuerdo a (ii), dos soluciones fµ y gµ de la ecuacion deBeltrami, son isotopicas. Ademas, si fµ y gµ son homeomorfismos casiconformes dela esfera C, entonces gµ = ϕ fµ para alguna transformacion de Mobius ϕ.

4. Superficies de Riemann

En el estudio del comportamiento multivaluado de ciertas funciones holomorfas,o en el estudio de la extension del dominio de holomorfıa (continuacion analıtica) de es-tas funciones, surge el concepto de superficie de Riemann. Hay variasformas de introducir este concepto, pero la forma que nos conviene en esta expo-sicion es la siguiente:

Una variedad de dimension n es un espacio topologico conexo Hausdorff X, talque cada punto del espacio posee una vecindad abierta, que es homeomorfa a unabierto de Rn o de Cn(variedad topologica). Si ademas en cada punto p ∈ X, para


dos vecindades U, U ′ de p, con ϕ : U → Rn y ψ : U ′ → Rn homeomorfismos a abiertosde Rn (o Cn), se tiene que:

ϕ ψ−1 : ψ (U ∩ U ′)→ ϕ (U ∩ U ′)

es diferenciable (analıtica), la variedad se llama diferenciable (analıtica).

Definicion 4.1. Sea S una variedad diferenciable de dimension real 2. Una cartacompleja es un homeomorfismo ϕ : U → V de un subconjunto abierto U ⊂ S sobreun subconjunto abierto V ⊂ C. Dos cartas complejas ϕi : Ui → Vi, i = 1, 2, se dicencompatibles holomorfamente si la funcion:

ϕ2 ϕ−11 : ϕ1 (U1 ∩ U2)→ ϕ2 (U1 ∩ U2)

es biholomorfa.

Un atlas complejo en S es un sistema U = ϕi : Ui → Vi, i ∈ I de cartas, que soncompatibles holomorfamente y que cubren a S; es decir, ∪i∈IUi = S.

Dos atlas complejos U y U ′se dicen equivalentes holomorfamente ,si toda carta de Ues compatible holomorfamente con toda carta de U ′. Notese que lacomposicion de funciones biholomorfas es biholomorfa; en consecuencia, la nocionde equivalencia holomorfa de atlas complejos es una relacion de equivalencia.

Una estructura compleja sobre una variedad S de dimension real 2, es una clasede equivalencia de atlas equivalentes holomorfamente sobre S.

Definicion 4.2. Una superficie de Riemann es un par (S,Σ) , donde S es una variedadde dimension real 2, conexa y Σ es una estructura compleja sobre S.

Usualmente escribimos S en lugar de (S,Σ), siempre que sea clara la estructuracompleja Σ que estamos considerando.

Ejemplo 4.3. Ejemplos de superficies de Riemann:(a) El plano complejo C. Su estructura compleja esta definida por el atlas cuya

unica carta es la funcion identidad C→ C.(b) Dominios. Supongamos que S es una superficie de Riemann y que D ⊂ S es

un subconjunto abierto y conexo. Entonces D tiene una estructura compleja natural,que lo convierte en una superficie de Riemann. El atlas es aquel formado por todas lascartas complejas ϕ : U → V sobre S, tales que U ⊂ D. En particular, todo dominiode C es una superficie de Riemann.

(c) La esfera de Riemann C. Introducimos la siguiente topologıa sobre C. Losconjuntos abiertos son, los conjuntos abiertos usuales U ⊂ C, junto con los conjuntosde la forma V ∪∞, donde V ⊂ C es el complemento del subconjunto compacto G ⊂


C. Con esta topologıa, C es un espacio topologico Hausdorff compacto, homeomorfoa la esfera de dimension 2, S2. Tomemos:

U1 := C ∞ = C

U2 := C 0 = C 0 ∪ ∞ .

Definimos las funciones ϕ1 : U1 → C como la funcion identidad y

ϕ2 (z) :=

1z para z∈C0

0 para z=∞ .

El atlas definido por estas dos cartas, convierte a Cen una superficie de Riemann.(d) El cilindro. Considerese el grupo cıclico G de traslaciones actuando en C, cuyos

elementos son de la forma z → z+n, donde n ∈ Z. Entonces hay una transformacioncubriente natural (vease la seccion siguiente) π : C → C/G, que envıa un punto a laorbita bajo la accion de G. Topologicamente, el espacio de orbitas puede ser repre-sentado como la banda infinita z | 0 5 x < 1 con el punto iy en el lado izquierdode la banda, identificado con 1 + iy en el lado derecho. Las ramas de π−1 restringi-das a la imagen de π de conjuntos abiertos en C, que estan estrictamente entre doslıneas verticales separadas una unidad, son homeomorfismos. Esos homeomorfismosconstituyen un sistema de cartas para C/G, cuyas transformaciones de transicion sontraslaciones en G. Ası que C/G es una superficie de Riemann. Ademas, se puede veri-ficar que la transformacion z → exp 2πiz induce un isomorfismo conforme de C/Gsobre C \ 0.

(e) Los toros. Sea G el grupo de las traslaciones de la forma z → z + nw1 +mw2

con n, m ∈ Z, y w1, yw2 forman una base sobre R para C, actuando en C. EntoncesR = C/G es un toro, y como en el ejemplo anterior, este tiene una estructura desuperficie de Riemann, dada por las ramas de la inversa de la transformacion cubrienteπ : C→ C/G.

(f) El Teorema de Transformacion medible de Riemann nos conduce naturalmentea la idea de que cada µ ∈ L∞ (U), en un dominio simplemente conexo U ⊂ C, produceuna nueva superficie de Riemann (U,Σµ), con la estructura conforme Σµ definida porel atlas U (µ) , que consiste en la familia de todas las transformaciones ϕ : U → C, lascuales son casiconformes con dilatacion µ en U . El punto (ii) de tal teorema garantizaque las funciones de transicion entre dos diferentes cartas coordenadas, es holomorfa.

Definicion 4.4. Una funcion entre dos superficies de Riemann f : (S1,Σ1) →(S2,Σ2), se dice holomorfa si para cualesquiera cartas complejas ϕ : U → V , φ :U ′ → V ′ de Σ1 y Σ2, respectivamente, tales que f (U) ⊂ U ′, se verifica que la expre-sion local de la funcion φf ϕ−1 : V → V ′ es holomorfa. Dos superficies de Riemannse dicen equivalentes biholomorfamente ,si existe una funcion biyectiva y holomorfaentre ellas, con inversa holomorfa.


Uno de los problemas mas importantes del analisis complejo es el de la clasificacionde superficies de Riemann, bajo la relacion de equivalencia biholomorfa. Este problemaalcanzo finalmente su respuesta (Koebe, Poincare, Klein) a principios del siglo XX,lo cual queda establecido en el siguiente teorema.

4.1. Espacios cubrientes

La Teorıa de los espacios cubrientes esta relacionada con el estudio del grupofundamental. Muchas cuestiones topologicas basicas sobre espacios cubrientes, puedenreducirse a cuestiones puramente algebraicas sobre los grupos fundamentales de losdistintos espacios involucrados. Recurriremos a esta teorıa para establecer resultadosbasicos en el estudio de las superficies de Riemann.

En lo que sigue, se supondra que todos los espacios son arco-conexos y localmentearco-conexos, mientras no se diga lo contrario.

Definicion 4.5. Decimos que una transformacion continua π : X → X entre espaciostopologicos, es llamada transformacion cubriente o que X recubre a X a traves de π, sicada y ∈ X tiene una vecindad V , tal que π−1 (V ) = ∪j∈JUj , donde los Uj son abiertosconexos ajenos de X, tales que para todo j ∈ J , π : Uj → V es un homeomorfismo.

Definicion 4.6. Decimos que dos curvas α, α′ : [0, 1]→ X son homotopicas (relativasa los puntos extremos), si existe una funcion continua γ : [0, 1] × [0, 1] → X tal quepara γs (t) = γ (t, s) se tiene que γ0 = α y γ1 = α′, y las curvas γs tienen los mismospuntos extremos para cada s.

En particular, si α es una curva cerrada α (0) = α (1) = x0, entonces las γs sontambien curvas cerradas con punto extremo x0. La funcion γ es llamada homotopıaentre α y α′. Dado x0 ∈ X, sea π1 (X,x0) el espacio de clases de homotopıa decurvas cerradas, con γ (0) = γ (1) = x0. Este espacio puede convertirse en el grupofundamental de X con punto base x0, definiendo para cada [γ1], [γ2], pertenecientes aπ1 (X,x0), su suma [γ1] + [γ2] como la clase de homotopıa de la curva:

γ (t) =

γ1(2t) para t∈[0, 12 ]γ2(2t−1) para t∈[ 1

2 ,1].

Un espacio X es conexo simplemente si π1 (X,x0) = 0, donde 0 representa la clase dehomotopıa de la curva constante x0. La propiedad principal de una transformacioncubriente es que curvas y homotopıas, pueden ser levantadas: para cada α : [0, 1]→ Xcontinua, existe α : [0, 1] → X con π α = α. Ademas, si γ es una homotopıa entreα y α′, entonces existe una homotopıa γ entre α y algun levantamiento α′ de α′. Uncubriente es universal si X es conexo simplemente.


Teorema 4.7. Sea X un espacio topologico conexo por trayectorias. Entonces, tene-mos lo siguiente:

1. Existe una transformacion cubriente π : X → X.2. Cada transformacion continua f : Y → X, tiene un levantamiento. Mas pre-

cisamente, para cada y ∈ Y y cada x ∈ π−1 (f (y)), existe una unica transformacioncontinua f : Y → X con π f = f y f (y) = x.

3. Si f : Y → Y es una transformacion cubriente y Y es conexo simplemente,entonces f es un homeomorfismo. En particular, el cubriente universal es unico salvohomeomorfismos.

Una demostracion puede consultarse en [9]. Debido al teorema precedente, unopuede levantar π : X → X a una transformacion π : X → X. Puesto que π es unatransformacion cubriente, π tambien es una transformacion cubriente, y puesto que Xes conexo simplemente, es un homeomorfismo. Sea Γ el espacio de tales levantamientos:

Γ =π; π es un levantamiento de π : X → X

.

Este espacio es un grupo con la composicion, y es llamado grupo de transformacionescubrientes.

Ejemplos de superficies cubrientes:(i) Sea π : C→ C − 0, dado por π (z) = exp (z). Entonces, C es una superficie

cubriente universal de C− 0.(ii) Sea π : H→ ∆−0, dado por π (z) = exp (2πiz). Entonces, H es un cubriente

universal de ∆− 0.(iii) Sea π : C−0 → C−0, dado por π (z) = zn, con n ∈ N. Entonces, C−0

es una superficie cubriente de sı misma, pero no es una superficie cubriente universal.(iv) Sea λ > 1, definamos r = exp

(−2π2

/log λ)

y A = w ∈ C : r < |w| < 1.Definimos π : H → A por π (z) = exp (2πi log(z)/log(λ)), donde log (z) denota su ramaprincipal. Entonces, H es la superficie cubriente universal del anillo A.

(v) Sea Γτ = γ = m · 1 + nτ : m,n ∈ Z, τ ∈ H, el grupo de red generado por 1 yτ con la operacion de suma. Este grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo Aut(C),donde el isomorfismo esta dado por γ → γ′ (z) = z +m · 1 + nτ . Sea π la proyeccionde C→ C/Γτ , entonces C es la superficie cubriente universal del toro C/Γτ .

(vi) Si X es localmente conexo simplemente, el grupo Γ actua discontinuamentesobre X (es decir, cada punto tiene una vecindad U , tal que γ (U)∩U 6= ∅ para soloun numero finito de elementos γ ∈ Γ). Ademas, el espacio X es homeomorfo a X/Γ yel grupo Γ es isomorfo al grupo fundamental π1 (X) .

Teorema 4.8. En toda superficie de Riemann S, existe una superficie cubrienteuniversal S de S, la cual es biholomorfa a una de las siguientes:

1) El plano complejo C.2) La esfera de Riemann C.3) El disco unitario 4.


Demostracion. Este teorema es consecuencia de un notable resultado, debido a Koebe,llamado Teorema de Planaridad de Koebe, el cual establece que cualquier superficiede Riemann plana, es conformemente equivalente con una de las tres posibilidadessiguientes: C, C, o un dominio contenido en C. Una superficie R es plana si cualquiercurva cerrada simple, contenida en R, divide a R en dos componentes. De la Teorıa delos espacios cubrientes, cualquier superficie R tiene una cubierta universal simplemen-te conexa R con transformacion cubriente π : R→ R, donde π es un homeomorfismolocal y hay un grupo G de transformaciones cubrientes actuando en R sin puntos fijos,con la propiedad de que eR/G es homeomorfo a R. Ademas, cada punto p ∈ R tieneuna vecindad N , tal que γ (N) ∩N es vacıo para cada elemento γ ∈ G \ id.

La estructura conforme dada en R, induce una estructura conforme en el espaciocubriente R, convirtiendolo en una superficie de Riemann plana simplemente conexa.Ası, el Teorema de Planaridad y el Teorema de Representacion Conforme de Riemann,implican que R es conformemente equivalente a C o a C o a H.

Notese que el grupo G es libre de torsion actuando en H, cuyo espacio factor esconforme a R, pero no es determinado en forma unica. Sin embargo, si G′ es otro sub-grupo libre de torsion de PSL (2,R), tal que H factorizado por G′ es conformementeequivalente a R, entonces existe una transformacion de Mobius B, que preserva H,tal que G′ = B G B−1.

Nos referiremos a estas tres posibilidades como el caso euclidiano (o parabolico),hiperbolico, y esferico (o elıptico), respectivamente. Esas superficies de Riemann no sonmutuamente conformemente equivalentes. El plano complejo C no es biholomorfo aC, ya que C no es compacto y C sı lo es. Por la misma razon, ∆ y C no son biholo-morfos. El plano C y el disco ∆ no son biholomorfos, ya que en C toda funcion enteraacotada es constante y en ∆, existen funciones holomorfas acotadas no constantes. Latransformacion de Mobius w = (z−i)/(z+i) modifica biholomorfamente H en el discounitario ∆.

4.2. Metricas en superficies de Riemann

De acuerdo a la seccion anterior, una superficie de Riemann es una variedad dife-renciable de dimension real 2 y en el estudio de la geometrıa diferencial, el conceptode metrica riemanniana sobre ellas es una herramienta fundamental, lo cual necesita-remos mas adelante.

Definicion 4.9. Una metrica riemanniana sobre una superficie de Riemann S, es unaforma cuadratica positiva sobre el espacio tangente en cada punto de S.En una carta local z = x+ iy, esta se puede escribir como:

ds2 = a (z) dx2 + 2b (z) dxdy + c (z) dy2,


donde a (z) > 0 y b (z)2−a (z) c (z) < 0 y la matriz asociada(a (z) b (z)b (z) c (z)

)depende

suavemente de z. Con la notacion compleja dz = dx+ idy y dz = dx− idy, la metricase puede expresar como:

ds2 = ρ (z) |dz + µ (z) dz|2 ,

con ρ (z) > 0 y |µ (z)| < 1. La metrica estandar de C es ds20 := |dz|2 = dx2 + dy2 y la

de C es:

ds2C =

(2 |dz|

1 + |z|2

)2

.

La metrica hiperbolica (o de Poincare) en el disco unitario ∆ es:

ds2∆ =

(2 |dz|

1− |z|2

)2

,

la cual tiene a las transformaciones de Mobius Mob (∆) como isometrıas.

De cada metrica, podemos obtener una distancia d (z1, z2) integrando a lo largode las curvas de z1 a z2 y tomando el ınfimo de tales longitudes. Dos metricas ds2

1

y ds22 son equivalentes conformemente, si existe una funcion positiva τ (z), tal que

ds22 = τ (z) ds2

1. Una clase de equivalencia conforme de metricas, define una estructuraconforme sobre S. Trataremos tambien con estructuras conformes medibles, para lascuales los coeficientes de la metrica se suponen medibles y las relaciones anterioresson satisfechas casi donde quiera, con respecto a la medida de Lebesgue. La estructuraconforme estandar es σ0 :=

[ds2

0

]=[ds2C], donde los corchetes denotan la clase de

equivalencia de las metricas respectivas. Se puede demostrar usando lo anterior, quelas estructuras conformes medibles estan en una correspondencia uno a uno con lasdiferenciales de Beltrami , tensores de la forma µ (z) dzdz , la cual es consistente bajocambios de coordenadas. Una estructura conforme medible es llamada acotada, si|µ (z)|∞ < 1.

5. Deformaciones de estructuras complejas y espa-cio de Teichmuller

En el siglo XIX, B. Riemann se pregunta como describir las variaciones de es-tructuras complejas sobre una superficie dada. Esta problematica es retomada porO. Teichmuller en 1938, utilizando como herramienta fundamental las transforma-ciones casiconformes, dando origen a la Teorıa del espacio de Teichmuller, que da


una respuesta a este problema construyendo una parametrizacion del conjunto detodas las estructuras complejas de una superficie dada. Esta teorıa esta en la in-terseccion de muchas importantes areas de las matematicas como: la Teorıa desuperficies de Riemann, variedades complejas, grupos fuchsianos, kleinianos, gruposde Lie, topologıa en dimensiones 2 y 3, ecuaciones diferenciales, dinamica holomorfay Teorıa ergodica. Recientemente esta teorıa ha empezado a jugar un rol importanteen la Teorıa de cuerdas.

5.1. Deformaciones casiconformes de funciones holomorfas

Dado U ⊂ C abierto, denotamos con B (U ) el conjunto de todos los coeficientesde Beltrami sobre U , que es la bola unitaria en L∞ (U). La metrica de Poincare sobreB (U ), se define como sigue:

dB (µ1,µ2) = sup esencz∈UdP (µ1 (z) , µ2 (z)) ,

donde dP (µ1 (z) , µ2 (z)) es la distancia de Poincare entre dos puntos en ∆.Un camino de Beltrami en U es una funcion t→ µt ∈ B (U), tal que para casi todo

z ∈ U , t→ µt (z) es una geodesica hiperbolica en ∆. Si µt es un camino de Beltrami,entonces su vector tangente en t = t0,

νt0 (z) =d

dtµt (z) |t=t0 ,

es una funcion medible esencialmente acotada, llamada vector de Beltrami. Inversa-mente, cualquier funcion ν ∈ L∞ (U) es tangente a un unico camino de Beltrami.

Lema 5.1. (1) Sea f : U → V una transformacion casiconforme. Si µ ∈ B (V ),entonces su funcion regreso f?µ se define por:

(f?µ) (z) =µf (z) + µ (f (z)) · ∂f(z)

∂f(z)

1 + µ (f (z)) · µf (z) · ∂f(z)∂f(z)

y esta expresion es un coeficiente de Beltrami sobre U .(2) La funcion f? : B (V ) → B (U), definida por µ 7−→ f?µ, es una isometrıa de

la metrica de Poincare y transforma caminos de Beltrami en caminos de Beltrami.

Observaciones. (1) Si f es holomorfa, entonces:

(f?µ) (z) = µ (f (z)) · ∂f (z)∂f (z)

casi donde quiera

y esta funcion de regreso esta bien definida aun si f no es inyectiva.


(2) µf = f? (0). En otras palabras, el coeficiente de Beltrami de un homeomorfis-mo casiconforme f es el regreso del coeficiente de Beltrami identicamente cero.

(3) La accion tangente de f sobre un vector de Beltrami, esta dada por:

(Tf? (µ)) (ν) (z) =

(∂f(z)∂f(z)

)(1− |µf |2

)(

1 + µ (f (z)) · µf (z) · ∂f(z)∂f(z)

)2 ν (f (z)) .

De manera que si ν es un vector de Beltrami tangente al camino de Beltrami µt ent = t0 y µt0 = µ, entonces (Tf? (µ)) (ν) es el vector de Beltrami tangente al caminode Beltrami f? (µt) en t = t0. Notese que si f es holomorfa, entonces

(Tf? (µ)) (ν) (z) = ν (f (z)) · ∂f (z)∂f (z)

casi donde quiera.

Los caminos de Beltrami pueden ser usados para construir deformaciones de funcio-nes holomorfas. Una demostracion del lema anterior, ası como del teorema siguiente,pueden encontrarse en [4].

Teorema 5.2. Sea F : U → V una funcion holomorfa entre conjuntos abiertos, talesque V ⊂ U . Sea µt : V → C un camino de Beltrami en V con µ0 ≡ 0, satisfaciendola condicion

F ? (µt) = µt para toda t.

Sea ϕt : V → Vt ⊂ C una familia continua de homeomorfismos casiconformes conϕ0 = id, tal que el coeficiente de Beltrami de ϕt es µt. Entonces:

Ft = ϕt F ϕ−1t

es una familia continua de funciones holomorfas.

Definicion 5.3. Sea S una superficie de Riemann, un coeficiente de Beltrami µ sobreS es una coleccion de coeficientes de Beltrami µi : Vi → C, uno para cada cartaϕi : Ui → Vi de S, llamada expresion de µ en ϕi, satisfaciendo la condicion decompatibilidad: (

ϕj ϕ−1i

)?µj = µi sobre ϕi (Ui ∩Uj )

y la condicion de acotacion:

|µi (z)| < k para casi todo z ∈ Vi,

donde k < 1 es independiente de i.


Definicion 5.4. Un homeomorfismo f entre dos superficies de Riemann S1 y S2,es K−casiconforme si todas las expresiones locales de f son K−casiconformes. Latransformacion de regreso f? : B (S2) → B (S1), se define tomando los regresos de lasexpresiones locales de la funcion f . La metrica de Poincare sobre B (S) se define comosigue:

dB (µ1, µ2) = supi

sup esencz∈ϕi(Ui)dP (µ1,i (z) , µ2,i (z)) .

Notemos que dP (µ1,i (z) , µ2,i (z)) = dP (µ1,j (z′) , µ2,j (z′)) si ϕ−1i (z) = ϕ−1

j (z′).De tal manera que el supremo anterior sobre i, puede ser tomado sobre cualquieratlas. Notemos tambien que f? es una isometrıa.

Decimos que una familia a un parameto µt de coeficiente de Beltrami, es un caminode Beltrami sobre la superficie de Riemann S, si para cada carta ϕi : Ui → ϕi (Ui),t 7→ µi,t es un camino de Beltrami en ϕi (Ui), donde µi,t es la expresion de µt en estacarta. Analogamente, definimos un vector de Beltrami ν en el coeficiente de Beltramiµ como una coleccion νi:ϕi (Ui)→ C de vectores de Beltrami, tales que:

T(ϕj ϕ−1

i

)?(µj) (νj) = νi

y tal que el supremo esencial |νi| es uniformemente acotado. Esta condicion de inva-rianza puede ser escrita en coordenadas locales como sigue:

∂(ϕj ϕ−1

i

)∂(ϕj ϕ−1

i

) · νj (ϕj ϕ−1i (z)

)= νi (z) ;

como antes, cada vector de Beltrami ν en µ determina un unico camino de Beltramiµt con µ0 = µ e inversamente.

5.2. Deformaciones casiconformes de estructurasComplejas

Con los conceptos introducidos en la seccion anterior y el Teorema de Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers, podemos definir con toda precision el significado de la defor-macion casiconforme de una estructura compleja, asociada a un coeficiente de Beltra-mi, sobre una superficie de Riemann.

Teorema 5.5. (Superficie de Riemann Sµ). Sean S una superficie de Riemann yµ un coeficiente de Beltrami sobre S, entonces µ determina una nueva superficie deRiemann Sµ y una transformacion casiconforme f : S → Sµ, tal que f?(0) = µ.

Corolario 5.6. (1) Toda transformacion casiconforme f : U → U , donde U ⊂ C undominio, es isotopica a la identidad. (2) Toda transformacion casiconforme f : S → Scon S una superficie, es isotopica a la identidad.


Idea de la demostracion del teoremaSea U = ϕi : Ui → Vi, con i ∈ I un atlas sobre S y para cada ϕi ∈ U , sea µi :Vi → C la expresion local de µ. Sea ψi : Vi → ψi (Vi) la transformacion casi-conforme cuyo coeficiente de Beltrami es µi, es decir, ψ?i (0) = µi. Entonces, U =ϕi = ψi ϕi : Ui → ψi (Vi) es un atlas para S. La transformacion casiconforme fqueda determinada localmente por las ψi.

Nota 5.7. Sea Sµ el espacio topologico S dotado con la estructura compleja defini-da por el atlas U . Tomando f como la transformacion identidad en Sµ, obtenemosf? (0) = µ, Por lo cual un camino de Beltrami µt sobre S, define una familia a unparametro de superficies de Riemann Sµt . Si µ0 = 0, entonces esta es una deformacionde la estructura compleja original sobre S. Inversamente, dada cualquier superficiede Riemann S1 y un homeomorfismo casiconforme f : S → S1, podemos obtener uncoeficiente de Beltrami µ = f? (0) sobre S. Por lo tanto, podemos identificar el espacioB (S) con el C (S) de todas las estructuras complejas sobre el espacio topologico S,que son homeomorfas casiconformemente a la estructura original.

5.3. Espacio de Teichmuller de una superficie de Riemann

De acuerdo a las secciones anteriores, podemos dar la siguiente definicion de es-pacio de Teichmuller:

Definicion 5.8. Dada una superficie S, dos coeficientes de Beltrami µ1 y µ2 sobre Sson equivalentes en el sentido de Teichmuller µ1 ∼T µ2, si µ1 = ϕ?µ2, donde ϕ : S → Ses un homeomorfismo casiconforme que es isotopico a la identidad. El espacio de clasesde equivalencia de coeficientes de Beltrami sobre S, es llamado espacio de Teichmullerde S y es dentado por T (S). Sea π : B (S) → T (S) la correspondiente proyeccion,esta puede ser utilizada para dotar a T (S) de una estructura compleja. Definimossobre T (S) la metrica de Teichmuller como sigue:

dT ([µ1] , [µ2]) = dB(π−1 ([µ1]) , π−1 ([µ2])

).

Notemos que esto es precisamente el mınimo de la distancia de Poincare, dedP (µ1, ϕ

? (µ2)) sobre todos los homeomorfismos casiconformes ϕ : S → S, queson isotopicos a la identidad. Otra manera de definir el espacio T (S) es la siguien-te: para cualquier transformacion casiconforme f : S → S1, donde S1 es otra su-perficie de Riemann, consideramos el par (S, f). Decimos que dos pares (S1, f1)y (S2, f2) son equivalentes en el sentido de Teichmuller ,si f2 f−1

1 es homotopicaa una transformacion conforme de S1 sobre S2. Denotamos por [S, f ] la clase deequivalencia del par (S, f). Entonces, llamamos al conjunto de todas las clasesde equivalencia el espacio de Teichmuller de S.


Ejemplo 5.9. (1) El espacio de Teichmuller C es trivial (cualquier transformacioncasiconforme en C es isotopica a la identidad), lo cual se desprende del Teorema deIntegracion de Morrey-Bojarski-Ahlfors-Bers.

(2) Para la superficie de Riemann

S = AR = z ∈ C : 1 < |z| < R

con R > 1. Notemos que la imagen de S bajo una transformacion casiconforme,es conformemente equivalente a otro anillo S1 = z ∈ C : 1 < |z| < s , y que todatransformacion casiconforme de S sobre sı misma, es homotopica a la identidad o ala transformacion conforme z → s

z . Ademas, por el principio de reflexion, podemosconcluir que anillos correspondientes a diferentes valores de s, no son mutuamenteconformemente equivalentes. Por lo tanto, T (S) se identifica con el intervalo abierto(1,∞).

(3) Supongamos que S = 4 o S = ∆ − 0. Entonces, la imagen de S bajo unatransformacion casiconforme es conformemente equivalente a S y toda transformacioncasiconforme de S sobre sı misma, es homotopica a la identidad. Por lo tanto, T (∆)y T (∆− 0) consisten de un solo punto.

(4) Supongamos que la cubriente universal de S es C. Por un teorema (con-secuencia del Teorema de Uniformizacion) que afirma: una superficie de Riemanntiene una cubriente universal biholomorfa a C si y solo si esta es biholomorfa a unade las tres siguientes: C, C − 0, o C/Γ con Γ un grupo de red. Entonces, S esconformemente equivalente a una de las tres C, C − 0, o C/Γ. La imagen de Co C − 0 por una transformacion casiconforme, es equivalente conformemente aC o C−0, respectivamente. Ademas, toda transformacion casiconforme de C sobresı misma es homotopica a la identidad. Por lo tanto, T (C) consiste de un solo punto.Toda transformacion casiconforme de C − 0 sobre sı misma, es homotopica a laidentidad o a la transformacion conforme z → 1

z . Por tanto, T (C− 0) consiste deun solo punto. Con una argumentacion un poco mas elaborada, se puede mostrar queexiste un homeomorfismo entre T (C/Γ) y H.

6. Movimiento holomorfo

La introduccion de este concepto estuvo motivada por el estudio de la estabilidadestructural (la cual trataremos en una seccion posterior) de la dinamica generada porla iteracion de funciones racionales de una variable compleja, actuando en la esferade Riemann en un celebre artıculo de Mane, Sad y Sullivan [MSS]. Esta teorıa se haconvertido en anos recientes en una herramienta muy importante para el estudio dela dinamica holomorfa y de los espacios de Teichmuller.


Definicion 6.1. Una funcion Φ : 4 × A → C es llamada movimiento holomorfo deun conjunto A ⊂ C, si:

(i) para cualquier a ∈ A fijo, la transformacion λ→ Φ (λ, a) es holomorfa en ∆.(ii) para cualquier λ ∈ ∆ fijo, la transformacion a→ Φλ (a) = Φ (λ, a) es inyectiva.(iii) la transformacion Φ0 es la identidad en A.

Observacion.— En la definicion anterior, podemos sustituir el disco 4 por unavariedad compleja conexa.

No es difıcil convencerse de que cada transformacion g, que es parte de un movi-miento holomorfo, es casiconforme. En particular, cada transformacion que es partede un movimiento holomorfo, distorsiona figuras en a lo mas una cantidad acotada.El resultado que introdujo este concepto y que sirve para caracterizar la estabilidades:

Teorema 6.2. (λ−lema MSS). Sea Λ una variedad compleja analıtica, y sea A ⊂ C.Si ϕ : Λ × A → C es un movimiento holomorfo de A, entonces para cada λ ∈ Λ, latransformacion A→ C, dada por a 7→ ϕ (λ, a), es casiconforme.

Puede consultarse una demostracion de este teorema en [15].

Notese que no se pide que A sea abierto, ası que la definicion analıtica de casicon-formidad no tiene sentido, por lo que es necesario usar caracterizaciones geometricasde las transformaciones casiconformes.

Corolario 6.3. Si ϕ : Λ × A → C es un movimiento holomorfo, entonces ϕ escontinua, y se extiende continuamente a un movimiento holomorfo ϕ : Λ × A → C,donde A es la cerradura de A en C.

Un resultado mas general tambien es cierto.

Teorema 6.4. (Slodkowski). Sea A ⊂ C. Cualquier movimiento holomorfo ϕ : ∆ ×A→ C, se extiende a un movimiento holomorfo ϕ : ∆× C→ C.

Una demostracion se encuentra en [8].

7. Aplicaciones a la dinamica holomorfa

7.1. Preliminares sobre dinamica holomorfa

Una funcion racional f (z) = P (z)Q(z) , donde P y Q son polinomios de una varia-

ble compleja con coeficientes complejos y primos relativos, define una funcion ho-lomorfa de C en sı misma. Consideramos a f como una transformacion cubriente


ramificada de C. Para una cantidad finita de excepciones, cada valor w ∈ C tiene exac-tamente d preimagenes, donde el grado de f es d = max grado de P, grado de Q.Siempre supondremos que el grado de f es mayor que 1. Denotamos porRd el conjuntode todas las funciones racionales de grado d. La iteracion de f es la sucesion de funcio-nes fnn≥0, donde f0 = id, fn+1 = ffn, lo cual genera un sistema dinamico holomor-

fo en la esfera de Riemann C. La orbita de z ∈ C bajo f es O+ (z) = fn (z) : n ≥ 0.La orbita inversa es O− (z) = ∪n≥0f

−n (z) = ∪n≥0 (fn)−1 (z). La orbita grande de zes Og (z) = ∪n≥0O− (fn (z)). Dos funciones racionales f y g se dicen conjugadas poruna transformacion de Mobius h : C→ C, si g = h f h−1. Notemos que en este casoh lleva orbitas bajo f a orbitas bajo g. Por lo tanto, funciones racionales conjugadaspor una transformacion de Mobius seran consideradas equivalentes desde un puntode vista dinamico. Consideraremos tambien conjugaciones mediante homeomorfismoso transformaciones casiconformes, y conjugaciones locales, las cuales seran definidassolo en subconjuntos de C, tales como una vecindad de un punto periodico.

Un punto es llamado punto periodico si existe un n ≥ 1, tal que fn (z) = z, y elmas pequeno n con tal propiedad es llamado perıodo de z. El multiplicador del cicloes la derivada λ = (fn)′ (z) cuando z 6=∞, y es definido despues de una conjugacioncon una apropiada transformacion de Mobius, enviando el ∞ en C cuando z = ∞.Cuando 0 < |λ| < 1 (respect. λ = 0, |λ| = 1, |λ > 1|), z es llamado atractor (respect.superatractor , indiferente, repelente). Un punto periodico indiferente z es llamado pa-rabolico, si λ es una raız de la unidad, o irracionalmente indiferente en el otro caso.

Un punto crıtico de f es un punto donde f no es localmente inyectivo, lo cualequivale a que f ′ (z) = 0, si z 6= ∞ y f (z) 6= ∞. Denotamos por Cf el conjuntode puntos crıticos y Vf = f (Cf ) es el conjunto de valores crıticos de f . Entoncesf : C \ f−1 (Vf ) → C \ Vf es una cubierta (no ramificada) de grado d. El conjuntoposcrıtico Pf de f , se define por:

Pf = ∪z∈Cf , n≥1 fn (z) .

En cierto sentido, este conjunto captura la esencia del sistema dinamico generado porf . Un punto excepcional es un punto z, tal que O− (z) es finito.

Definicion 7.1 (Familia normal y conjuntos de Fatou y Julia). Una familia F defunciones holomorfas de un conjunto abierto U ⊂ C a C, se dice ser normal si pa-ra cualquier sucesion de F , existe una subsucesion que converge uniformemente enconjuntos compactos, donde la distancia en la imagen es medida en terminos de ladistancia esferica.

Un teorema de Montel asegura que cualquier familia que omite tres valores en C,es normal; ademas, las funciones lımite tambien son holomorfas. El conjunto de Fatou


de f esta definido por:

Ff =z ∈ C :

la familia de iteradas fnn≥0 es normalen alguna vecindad abierta de z

y su complemento es el conjunto de Julia Jf = C \ Ff . Intuitivamente, si el valorinicial z ∈ Ff , entonces el comportamiento de su orbita O+ (z) para n suficientementegrande, no es sensible a pequenas perturbaciones de z.

A continuacion se enuncian los resultados basicos acerca de los conjuntos de Fatouy Julia.

Teorema 7.2. (Linealizacion, forma normal). Supongamos que f es una funcionholomorfa definida en una vecindad de z0 ∈ C, tal que f (z0) = z0 y λ = f ′ (z0).

(i) Si 0 < |λ| < 1 o |λ| > 1, entonces existe una transformacion conforme ψdefinida en una vecindad de z0, tal que ψ (z0) = 0, ψ′ (z0) 6= 0 y ψ f ψ−1 (z) = λzen una vecindad de 0.

(ii) Si λ es una raız q−esima primitiva de la unidad, λ = exp(

2πipq)

, y fq no es

la identidad, entonces fq tiene una expansion de la forma fq (z) = z+c (z − z0)kq+1+O (z − z0)qk+2

, donde k ∈ N y c 6= 0. En este caso, existen kq dominios Ωi (i ∈ Z/kqZ)con z0 ∈ ∂Ωi y funciones holomorfas ψi : Ωi → C, tales que f

(Ωi)⊂ z0 ∪ Ωi+kp,

fnq (z)→ z0 en Ωi (n→∞) y ψi (fq (z)) = ψi (z) + 1.(iii) Si λ = 0, dj

dzj f (z0) = 0 (j = 1, ...k − 1) y dk

dzkf (z0) 6= 0, entonces existe

una transformacion conforme ψ definida en una vecindad de z0, tal que ψ (z0) = 0,ψ′ (z0) 6= 0 y ψ f ψ−1 (z) = zk en una vecindad de 0.

En el caso (i), ψ es llamada coordenada linealizante; las ψi en (ii) son llamadascoordenadas de Fatou, y ψ en (iii) es llamada coordenada de Bottcher .

Teorema 7.3. Para cualquier funcion racional f , se tiene lo siguiente:(i) El conjunto de Julia Jf es distinto del vacıo y cerrado en C, y Ff es abierto.

Ellos son completamente invariantes (es decir, f (Ff ) = Ff = f−1 (Ff ) y f (Jf ) =Jf = f−1 (Jf )). Ademas, C = Jf t Ff .

(ii) Puntos periodicos atractores y sus cuencas de atraccion estan contenidos enFf , donde la cuenca de atraccion de z0 de perıodo p, se define por:

B (z0) =z ∈ C : fnp (z)→ z0cuando n→∞

.

Puntos periodicos parabolicos estan en Jf ; sin embargo, ellos tienen cuencas (ex-cluyendo las orbitas inversas de los puntos parabolicos) que estan contenidas en Ff .En ambos casos, el ciclo de cuencas contiene al menos un punto crıtico. Puntos pe-riodicos repulsores estan en Jf . En cuanto a los puntos indiferentes irracionales,ambos casos pueden ocurrir.


(iii) Si U es un conjunto abierto, tal que U ∩ Jf 6= ∅, entonces ∪n≥0fn (U)cubre

C, excepto a lo mas dos puntos, los cuales, si existen, son excepcionales.(iv) Si z no es un punto excepcional, entonces Jf ⊂ O− (z). La igualdad vale si

z ∈ Jf .(v) Jf = a la cerradura de puntos periodicos repulsores de f.(vi) Si f es un polinomio, entonces ∞ es un punto fijo superatractor y

Jf = ∂Kf = ∂B (∞) ,

donde Kf es el conjunto de Julia lleno; es decir,

Kf =z ∈ C : fn (z)n≥0 es acotada

.

Una demostracion de estos teoremas puede encontrarse en [14, 15, 3].

7.2. Teorema de No Errancia de Sullivan

Dada la invariancia bajo iteracion de los conjuntos de Julia y Fatou y como elconjunto de Fatou es abierto, en general, el conjunto de Julia subdivide en com-ponentes conexas al conjunto de Fatou, las cuales llamaremos componentes de Fa-tou. Dada una componente U ⊂ Ff , el conjunto f (U) es una componente cone-xa de C − Jf y f induce una transformacion propia de U sobre f (U). Decimosque U es periodica si existe k > 0, tal que fk (U) = U ; si existe m≥ 0, tal quefm (U) es periodica, decimos que U es periodica eventualmente si las fn (U) sondos a dos distintas, por lo que llamamos a U componente de Fatou errante. Unode los problemas mas importantes en la dinamica racional que plantearon y deja-ron sin respuesta Fatou y Julia (1920), consistio en averiguar sobre la existencia decomponentes de Fatou errantes. En 1982, D. Sullivan introdujo las transformacionescasiconformes y el espacio de Teichmuller en la solucion de este problema. Esta tecnicaha resultado la base de las subsecuentes investigaciones en esta area.

Teorema 7.4. (No Errancia). Una funcion racional de grado mayor que uno, notiene componente de Fatou errante.

Ideade la demostracion. Sea U una componente errante. Para n suficientemen-te grande, f induce un isomorfismo de fn (U) sobre fn+1 (U), ası que haciendo uncorrimiento, podemos suponer que esto sucede desde n = 0. Sea µ una forma deBeltrami sobre U , tal que ‖µ‖ < 1, transportemosla con f sobre las fn (U), despuessobre las f−m (fn), y por ultimo, la extendemos por 0. Se obtiene sobre C una formade Beltrami en L∞ de norma < 1, que de acuerdo al Teorema de Morrey-Bojarsky-Ahlfors-Bers, define sobre C una estructura compleja σµ (diferente en general de laestructura compleja estandar σ0), y f es una transformacion analıtica de

(C, σµ

)en


ella misma. Por el teorema de uniformizacion, existe un isomorfismo ϕµ de(C, σµ

)sobre

(C, σ0

). Entonces, fµ = ϕµ f ϕ−1

µ es una nueva funcion racional. Sullivandemuestra que para toda p, se puede encontrar en el espacio de formas de Beltramicontinuas con soporte compacto sobre U , un subespacio E de dimension p, y en E, unabierto no vacıo W , tal que las fµµ∈W son distintas dos a dos, lo cual es una con-tradiccion con el hecho de que una transformacion racional de grado d solo dependede un numero finito de parametros.

7.3. El espacio de Teichmuller de una funcion racional

Dado que no hay componentes errantes en el conjunto de Fatou, toda componentede Fatou es periodica eventualmente por lo cual el siguiente teorema nos da unadescripcion completa de la dinamica de una funcion racional sobre su conjunto deFatou. Utilizando el teorema de linealiacion y forma normal de la seccion anterior y eldesarrollo de Taylor de f en una vecindad de los puntos periodicos, podemos enunciarel siguiente teorema.

Teorema 7.5 (Teorema de clasificacion). Si U es una componente de Fatou de pe-riodo p para f , entonces solo una de las siguientes afirmaciones es valida.

(CA) Cuenca atractora: existe un punto periodico atractor z0 ∈ U de perıodo ptal que la sucesion de iteradas fnp (z)→ z0 (n→∞) uniformemente sobre conjuntoscompactos en U ;

(CSA) Cuenca superatractora: igual que en (CA) excepto que z0 es superatractory ademas z0es un punto crıtico de f .

(CP) Cuenca parabolica: existe un punto periodico parabolico z0 ∈ ∂U tal quefp (z0) = z0, el multiplicador del ciclo es 1 y fnp (z) → z0 (n→∞) uniformementesobre conjuntos compactos de U .

(DS) Disco de Siegel: existe una transformacion conforme ψ : ∆→ U y un numeroirracional α tal que ψ fp ψ−1 (z) = exp (2πiα) z;

(AH) Anillo de Herman: Lo mismo que en (DS) excepto que ∆ es reemplazado porun anillo A = z ∈ C : r < |z| < 1.

Puede consultarse un demostracion en [14, 15, 3]. Para el numero de ciclos decomponentes de Fatou periodicas, tenemos:

Teorema 7.6 (Teorema de Shishikura). Denotamos por nCA, nSCA, nCP , nDS, nAHel numero de cıclos de cuencas atractoras, cuencas superatractoras, cuencas paraboli-cas, discos de Siegel y anillos de Herman de una funcion racional de grado d. EntoncesnCA+nSCA+nCP +nDS + 2nAH ≤ 2d−2 y nAH ≤ d−2. Ademas, existen al menos(nDS + 2nAH) de puntos crıticos en el conjunto de Julia.


Para una demostracion vease [17].

Deformaciones casiconformes sobre componentes de Fatou. Cuando f tie-ne una componente de Fatou periodica, podemos construir una deformacion casicon-forme especıfica de acuerdo a su tipo. Veamos esta construccion en el caso de cuencasatractoras. Supongamos que f tiene un punto periodico atractor z0 de perıodo p conmultiplicador λ. Sea ψ la coordenada linealizante como en el Teorema de Linealiza-cion. Notemos que ψ puede ser extendida a toda la cuenca B (z0) por medio de laecuacion funcional. Sea B′ (z0) igual a B (z0) menos la orbita grande de z0 y puntoscrıticos.

Definimos:E = ψ (B′ (z0)) ∼,

donde la equivalencia es definida por w ∼ w′si y solo si w′ = λnw para algun n ∈ Z.Entonces, E es isomorfo a un toro C ((log λ)Z+ 2πiZ) menos un conjunto finito depuntos, y la funcion ψ induce una funcion natural ψ : B′ (z0)→ E, que es una trans-formacion cubriente. De hecho, E puede ser identificado con el conjunto de orbitasgrandes en B′ (z0). Dada cualquier estructura conforme medible acotada σ sobre E,podemos definir una estructura conforme f invariante por σ′ = π? (σ) sobre B (z0)y σ′ = σ0 sobre el resto. Por lo tanto, el lema de Shishikura nos permite obtener ladeformacion casiconforme g de f mediante la estructura σ′.

Analogamente, una deformacion casiconforme se puede construir para cuencasparabolicas, donde la coordenada linealizante es reemplazada por la de Fatou, dondeel toro C (log λ′)Z+ 2πiZ menos un conjunto finito de puntos, es reemplazado porel cilindro CZ menos un conjunto finito de puntos.

Para discos de Siegel o anillos de Herman, notemos que cualquier orbita grande(excepto para el centro de un disco de Siegel) es densa en una curva invariante. Poresta razon, las deformaciones estaran basadas sobre la deformacion de superficiesde Riemann foliadas; por ejemplo, un disco o un anillo redondo foliado por discosconcentricos, y tal deformacion debera preservar la foliacion. Una situacion similarocurre para cuencas superatractoras, pues la clausura de orbitas grandes correspondea la union de cırculos concentricos en la coordenada de Bottcher.

Existe tambien la posibilidad de una deformacion casiconforme soportada sobreun conjunto de Julia.

Definicion 7.7. Decimos que f tiene un campo de lıneas invariante sobre el conjuntode Julia, si existe un subconjunto completamente invariante medible X contenido enJf ; es decir, f−1 (X) = X, con medida de Lebesgue positiva y una funcion medibleX 3 z 7→ l (z), donde l (z) es una lınea recta que pasa por 0 en el espacio tangenteTzC y f ′ evıa l (z) en l (f (z)) para todo z ∈ X.


Si f tiene un campo de lıneas invariante sobre su conjunto de Julia, es decir, enX se tiene una diferencial de Beltrami µ = µ (z) dzdz soportada en X, con |µ|=1. Unadiferencial de Beltrami determina una funcion en el espacio tangente, homogenea degrado cero, por:

µ (v) = µ (z)a (z)a (z)

,

donde v = a (z ) ∂∂z es un vector tangente. El correspondiente campo de lıneasconsiste en esos vectores tangentes, para los cuales µ (v) = 1 (union el vector cero).Entonces, este define un campo de elipses con una excentricidad constante. Este, asu vez, define una estructura conforme invariante σ que es diferente de la estructuraconforme estandar sobre el conjunto de Julia. Por lo tanto, f puede ser deformadapor σ.

Para describir el espacio de Teichmuller de funciones racionales, se necesitan lassiguientes definiciones:

Definicion 7.8. La clase de conjugacion casiconforme de f es:

cc (f) = funciones racionales que son casiconformemente conjugadas a f .

El espacio de Teichmuller de una funcion racional f es:

T (f) =

(g, h) | g es una funcion racional; h es una transformacioncasiconforme, tales que h f= g h

∼,

donde la relacion de equivalencia ∼ es definida por (g1, h1) ∼ (g2, h2) si y solo si existeuna isotopıa Ht : C→ C (t ∈ [0, 1]), tal que Ht g1 = g2 Ht y H0 = h2 h−1

1 y H1

es una transformacion de Mobius.

Otras definiciones necesarias son: un punto es llamado acıclico si no es periodiconi preperiodico. Dos puntos son llamados equivalentemente foliados por la gran orbita,si tienen la misma orbita grande o ambos estan en el conjunto de Fatou y las clausurasde las orbitas grandes dentro del conjunto de Fatou coinciden. Por ejemplo, los puntossobre las mismas curvas invariantes de un disco de Siegel o de un anillo de Herman, sonequivalentes en este sentido. Tambien los puntos z, z′ en una cuenca superatractora,cuyas coordenadas de Bottcher estan relacionadas por |ψ (z′)| = |ψ (z)|k

n

(n ∈ Z)(donde k es el grado local del punto periodico superatractor), son equivalentes en estesentido.

Sea nAC (U) denota el numero de clases de equivalencia foliada por grandes orbitasde puntos crıticos acıclicos, cuya orbita intersecta U . Sea nCL el numero maximo decampos de lıneas invariantes sobre el conjunto de Julia con soportes mutuamenteajenos.


Teorema 7.9 (McMullen-Sullivan). El espacio de Teichmuller de una funcion racio-nal f , puede ser descrito como sigue:

T (f) = M1 (Jf , f)×∏U

T (U, f) ,

donde el producto es sobre todos los ciclos periodicos de componentes de Fatou, conU representando una componente en el ciclo.

(i) M1 (Jf , f) es el conjunto de diferenciales de Beltrami f invariantes µ consoporte en Jf y |µ|∞ < 1. Este espacio es isomorfo al polidisco de dimension nCL.

(ii) Si U es una cuenca atractora o una cuenca parabolica, entonces T (U, f) esel espacio de Teichmuller ordinario del toro cociente o del cilindro cociente, descritosantes con nAC (U) perforaciones correspondientes a las orbitas grandes de puntoscrıticos. En el ultimo caso, el cilindro perforado es isomorfo a C con nAC (U) + 2perforaciones.

(iii) Si U es una cuenca superatractora, un disco de Siegel o un anillo de Herman,entonces T (U, f) es el espacio de Teichmuller definido por un disco foliado o anillofoliado con hojas marcadas, correspondiendo a las orbitas grandes foliadas de puntoscrıticos.

(iv) La dimension de T (U, f) es nAC (U) para una cuenca atractora, una cuencasuperatractora o un disco de Siegel. Esta es nAC (U) − 1 para una cuenca parabolicay nAC + 1, para un anillo de Herman. Por lo tanto,

dimT (f) = nAC − nCP + nAH + nCL.

Ademas, existe un grupo Mod (f) (grupo modular), que actua sobre T (f) propia ydiscontinuamente y existe un isomorfismo de orbifolds:

cc (f) ∼Mobius' T (f)Mod (f) .

Para una demostracion de este teorema, consultese [13, 12].

7.4. Estabilidad estructural

Definicion 7.10. Una funcion racional es llamada hiperbolica, si todo punto crıticoes atraıdo a un ciclo periodico atractor o superatractor. Una familia holomorfa de fun-ciones racionales, parametrizada por una variedad compleja conexa Λ, es una funcionholomorfa F : Λ×C→ C. Entonces, fλ = F (λ, •) : C→ C es una funcion racional degrado constante d > 1. Una familia se dice que es J−estable en el parametro λ0 ∈ Λ,si existe una vecindad U de λ0 contenida en Λ y una funcion H : U × J (fλ0) → C,tal que hλ = H (λ, •) : J (fλ0) → J (fλ) es un homeomorfismo para cada λ ∈ U ;y ademas hλ fλ0 = fλ hλ y hλ → hλ0 cuando λ → λ0, uniformemente sobreJ (fλ0). De manera analoga, es definida estabilidad estructural en el parametro λ0 sireemplazamos J (fλ0) y J (fλ) por C en la definicion anterior.


Cuando Λ es igual a Racd (la variedad compleja constituida por todas las funcio-nes racionales de grado fijo d) y F es la funcion F (g, z) = g (z) (donde g ∈ Racd),entonces las funciones mismas son llamadas J−estables o estructuralmente estables,si las condiciones anteriores son satisfechas.

Lema 7.11. Las funciones racionales hiperbolicas son J−estables. Ademas, el con-junto de funciones estructuralmente estables es abierto y denso dentro de las hiperboli-cas. Las conjugaciones hλ pueden ser elegidas de manera que hλ es un movimientoholomorfo del conjunto de Julia (o de C en el caso de funciones estructuralmenteestables).

La primera afirmacion en el lema anterior, es una consecuencia inmediata delλ−lema. De hecho, para funciones hiperbolicas, los puntos periodicos repulsores nose bifurcan, por lo cual ellas definen un movimiento holomorfo, el cual se extiende asu cerradura, que es el conjunto de Julia. Ademas, hay otro notable resultado.

Teorema 7.12. Para cualquier familia holomorfa de funciones racionales, los parame-tros estructuralmente estables forman un abierto y denso. Ademas, en las componentesconexas de los parametros estructuralmente estables, la conjugacion hλ es casiconfor-me y define un movimiento holomorfo.

Una demostracion de este teorema puede consultarse en [4, 13, 15].

7.5. Cirugıa casiconforme

Cirugıa casiconforme es una manera de construir nuevas funciones racionales conciertas propiedades dinamicas, a partir de las funciones ya existentes. Para haceresto, se construye una transformacion que no es holomorfa (al menos en una partede su dominio), pero que aun es casi-regular. Despues, convocando al Teorema de laTransformacion Medible de Riemann, se recupera la holomorfıa. Con el paso por lastransformaciones casi-regulares, se gana flexibilidad en la construccion.

Definicion 7.13. Una transformacion continua g : C→ C es llamada casi-regular , siexiste una K ≥ 1, tal que en cada punto de C, g puede ser localmente escrita comouna composicion de una funcion holomorfa y una funcion K−casiconforme.

Las estructuras conformes medibles pueden ser regresadas por transformacionescasi-regulares. Por tanto, se puede hacer una construccion como en el teorema de laseccion 5.1 para transformaciones casi-regulares. La pregunta es como obtener una σque sea invariante.

Lema 7.14. (Principio de cirugıa). Supongase que g : C→ C es una transformacioncasi-regular y σ es una estructura conforme medible acotada, tal que g? (σ) = σ (casi


donde quiera) fuera de un conjunto medible X. Si cada orbita de g pasa por X alo mas una vez (o un numero acotado de veces), entonces existe una transformacioncasiconforme ϕ : C→ C, tal que h = ϕ g ϕ−1 es una funcion racional.

Una demostracion de este lema puede consultarse en [17].

A continuacion, se establecen algunas aplicaciones de la cirugıa. Empezamos conla Teorıa de las transformaciones con parecido polinomial, introducidas por Douady-Hubbard, que de hecho inician los trabajos en cirugıa.

Definicion 7.15. Una transformacion con parecido polinomial , es un triplete f =(f, U, V ) donde, U , V son dominios conexos simplemente en C con U ⊂ V y f : U → Ves una funcion holomorfa propia. Su grado es el numero de imagenes inversas de unpunto z ∈ V , contadas con multiplicidad, que son independientes de z. Su conjuntode Julia lleno es:

Kf = z ∈ U : fn (z) (n = 0, 1, 2, . . .) estan definidas y pertenecen a U .

Cualquier polinomio P puede ser restringido a un dominio U de modo que

(P |U , U, P (U))

se convierte en una transformacion con parecido polinomial del mismo grado.

Teorema 7.16. (Rectificacion). Sea f = (f, U, V )una transformacion con parecidopolinomial de grado d, y supongase ademas que las fronteras de U y V son curvas deJordan analıticas reales. Entonces, existe un unico polinomio P (z) y una transforma-cion casiconforme ϕ : V → V ′ ⊂ C, tal que ϕ f = P ϕ sobre U . Ademas, ϕ puedeser escogido de forma que ∂ϕ/∂z = 0 casi donde quiera en Kf (lo cual unicamente tie-ne sentido si Kf tiene medida positiva). El polinomio P es unico, salvo conjugacionafın si Kf es conexo.

Una demostracion puede consultarse en [6].

La nocion de transformacion con parecido polinomial es de gran importancia enla Teorıa de las renormalizaciones, la cual es de gran importancia en la dinamicaholomorfa.

Otro tipo de cirugıa es la que relaciona los anillos de Herman con los discosde Siegel. Un homeomorfismo de R en sı mismo, o de S1 en si mismo, es llamadocasisimetrico si este se extiende a una transformacion casiconforme de C.

Teorema 7.17. Sea f una funcion racional que envıa S1 = z ∈ C : |z| = 1 sobresı mismo. Supongase que f |S1 es casisimetricamente conjugada a una rotacion irra-cional z → exp (2πiα) z sobre S1, donde α ∈ R \ Q. Entonces, existe una funcion


racional h y una transformacion casiconforme ϕ : C→ C, tal que h = ϕ f ϕ−1 so-bre ϕ

(C \ 4

)y h tiene un disco de Siegel con numero de rotacion α, el cual contiene a

ϕ (4) como un subdisco invariante. La curvaϕ(S1)

es una curva invariante en el disco de Siegel o su frontera, de acuerdo acuando S1sea una curva invariante en un anillo de Herman de f o no.

Una demostracion puede consultarse en [16]. Si f tiene un anillo de Hermande perıodo 1, el cual contiene a S1 como una curva invariante, entonces f |S1 esconjugado de forma real-analıtica a una rotacion irracional; por tanto, esta cirugıapuede ser aplicada. Sin embargo, un ejemplo mas interesante es el caso de la funcion:

f (z) = exp (iω) z2 z − 31− 3z

,

la cual tiene un punto crıtico en S1. Para cualquier numero irracional α, existe unω ∈ R, tal que f |S1 tiene numero de rotacion α, lo cual significa en este caso quelas orbitas de f |S1 tienen el mismo orden cıclico como el de z 7→ exp (2πiα) z. Sujetaα a una condicion de teorıa de numeros llamada de tipo acotado, Herman fue capazde demostrar que f |S1 es conjugado casisimetricamente a la rotacion irracional. Deforma que obtuvo el siguiente:

Teorema 7.18. Si α es un numero irracional de tipo acotado, es decir, satisfaceque

∣∣∣α− pq

∣∣∣ ≥ Cq2 para cualquier pq ∈ Q con una constante fija C > 0, entonces

la funcion Pα (z) = exp (2πiα) z + z2 tiene un disco de Siegel, cuya frontera es uncuasicırculo conteniendo un punto crıtico de Pα.

Una demostracion puede consultarse en [16].

Este artıculo constituye una introduccion a los temas tratados. Nos resta solamen-te citar las referencias en las cuales se basa este artıculo y donde pueden encontrarselas demostraciones omitidas en esta presentacion, ası como mayor extension en sutratamiento.

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Francisco Estrada Garcıa ([email protected])Julio Poisot Macıas ([email protected])Facultad de Ciencias Fısico Matematicas. Benemerita Universidad Autono-ma de Puebla - Ciudad Universitaria.

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