Analise Espectral Pr´ atica´ · 2019. 3. 22. · Analise Espectral Pr´ atica´ Airlane Pereira...

Análise Espectral Prática

Airlane Pereira Alencar

22 de Março de 2019

Alencar, A.P. (IME-USP) Análise Espectral Prática 22 de Março de 2019 1 / 37

Índice

1 Pré-requisitos

2 Espectro

3 Aliasing

4 FFT

5 Tendência e Ajuste Sazonal

6 Periodograma Suavizado e Largura de banda

7 Estimador Suavizado do Espectro

8 Referências


Pré-requisitos

Já vimosProcessos estocásticos;Estacionariedade;Exemplos;Função de autocovariância: propriedades e estimação;Modelos Harmônicos.Espectro e seus estimadores (vou revisar)


Espectro

Caracterização de processos estacionários

Uma condição suficiente para que o espectro (densidade) exista é∫ ∞−∞|γ(τ)|dτ

Espectro

Espectro tempo discreto: t ∈ Z

Se∞∑

k=∞|γk |

Espectro

Espectro: parametrizações e simplificações

Tempo discreto (prática)

Como f (λ) é par e de perı́odo 2π, basta visualizar f (λ),0 < λ < π.Se considero a frequência ω = λ2π (λ = 2πω), tenho ω ∈ [0,1/2] eo perı́odo é 1/ω (=12 meses). (SS)

f (λ) =1

2π

∞∑k=−∞

γke−iλk =1

2π

∞∑k=−∞

γkcos(λk)


Espectro

Exemplos: Encontre f (λ)

X = {X (t), t ∈ Z} processo estacionário∞∑

k=−∞|γk |

Espectro


MA centrado Yt = 13(Xt−1 + Xt + Xt+1), Xt ∼ RB

γk =

3σ2/9 , se k = 0;2σ2/9 , se |k | = 1;σ2/9 , se |k | = 2;0 , se |k | > 3;

f (λ) =1

2π

∞∑k=−∞

γke−iλk =

=1

2π

[3σ2

9+

2σ2

9(e−iλ + eiλ) +

σ2

9(e−iλ2 + eiλ2)

]=

12π

σ2

9[3 + 4 cos(λ) + 2 cos(2λ)]

curve((1/9)*(1/(2*pi))*(3+4*cos(x)+2*cos(2*x)), 0, pi)Alencar, A.P. (IME-USP) Análise Espectral Prática 22 de Março de 2019 8 / 37

Espectro


MA centrado Yt = 13(Xt−1 + Xt + Xt+1), Xt ∼ RB

f (λ) =1

2πσ2

9[3 + 4 cos(λ) + 2 cos(2λ)]

curve((1/9)*(1/(2*pi))*(3+4*cos(x)+2*cos(2*x)), 0, pi)


Aliasing

Teorema Cramér - Tempo contı́nuo

X = {X (t), t ∈ R} processo estacionário real com FACv contı́nua.Então existe proc. estac. {Z (λ), λ ∈ R} de incrementos ortogonais talque

X (t) =∫ ∞−∞

eitλdZX (λ), ∀t ∈ R

onde ZX (λ) tem incrementos ortogonais:E(dZX (λ)) = 0, ∀λE |dZX (λ)|2 = dF (λ), ∀λ

Integral estocástica:∫ b

a g(t)dX (t) = E{∑

g(ti)[X (ti)− X (ti−1)]}2Tem equivalente para tempo discreto.X (t) pode ser aproximado por soma de componentes harmônicas deamplitutes aleatórias.


Aliasing

Aliasing

O processo Yt é amostrado a cada ∆t unidades:Yt = ∆X (t .∆t), t = . . . ,−1,0,1, . . .. Pelo teorema da representação

Yt =∫ ∞−∞

eit∆tλdZX (λ)

=∞∑

k=−∞

∫ (2k+1) π∆t

(2k−1) π∆t

exp[it∆t

(λ+

2kπ∆t

)]dZX

(λ+

2kπ∆t

)

exp[it∆t

(λ+

2kπ∆t

)]= exp

[it∆tλ+

(it∆t

2kπ∆t

)]= exp [it∆tλ+ (2kπit)] = exp [it∆tλ]

Yt =∞∑

k=−∞

∫ + π∆t

− π∆t

exp [it∆tλ] dZX

(λ+

2kπ∆t

)Tenho dZY (λ) =

∑∞k=−∞ dZX

(λ+ 2kπ∆t

)Alencar, A.P. (IME-USP) Análise Espectral Prática 22 de Março de 2019 11 / 37

Aliasing

Aliasing

Tenho dZY (λ) =∑∞

k=−∞ dZX(λ+ 2kπ∆t

)Todas as frequências λ+ 2πk∆t , k ∈ Z são confundidas com λ.A frequência 2π∆t é chamada de freq. de Nyquist.Não observo perı́odo menor que 2∆t .


FFT

Teorema Bochner-Wiener-KhintchineX = {X (t), t ∈ R} processo estacionário real e FACv γ(τ) contı́nua ∀τ .γ(τ) é FACv de processo estacionário⇔

γ(τ) =

∫ ∞−∞

eiλτdFλ, ∀τ ∈ R

onde F (λ) é função real, não decrescente e limitada.Prova: Ondas p. 116 A.3

Herglotz

X = {X (t), t ∈ Z} processo estacionário real com FACv γk .γk é FACv de processo estacionário⇔

γk =

∫ π−π

eiλkdFλ, ∀k ∈ Z

onde F (λ) é função real, não decrescente e limitada.Alencar, A.P. (IME-USP) Análise Espectral Prática 22 de Março de 2019 13 / 37

FFT

PeriodogramaSupomos que Xt é processo estacionário centrado com FACV γk .O Periodograma, estimador do espectro f (λp) para λp = 2πpN , é

I(N)p =∣∣∣d (N)p ∣∣∣2 = 12πN

∣∣∣∣∣N−1∑t=0

Xte−iλp t∣∣∣∣∣2

(3)

A transformada d (N)p necessita de N multiplicações e N somas.Fatorando N = r .s, temos:

t = r t1 + t00, . . . ,N − 1 0, . . . , s − 1 0, . . . , r − 1

ex: r = 3; s = 5 : t = 3t1 + t0, t1 = 0, . . . ,4; t0 = 0,1,2Para as frequências λp = 2πpN ,p = 0, . . . ,N − 1, façop = sp1 + p0,p1 = 0, . . . , r − 1,p0 = 0, . . . , s − 1.


FFT

d (N)p =N−1∑t=0

Xte−iλp t =r−1∑t0=0

s−1∑t1=0

Xrt1+t0exp[−i 2πp

r .s(rt1 + t0)

]

=r−1∑t0=0

exp[−i 2πp

r .s(t0)] s−1∑

t1=0

Xrt1+t0exp[−i 2πp�r .s

(�r t1)]

Agora p = sp1 + p0:

exp[−i 2π(sp1 + p0)

st1

]=((((

((((exp [−i2πp1t1]exp[−i 2πp0t1

s

]


FFT

d (N)p =r−1∑t0=0

exp[−i 2πp

r .s(t0)] s−1∑

t1=0

Xrt1+t0exp[−i 2πp0

st1

]

=r−1∑t0=0

exp[−i 2πp

r .s(t0)]α(p0, t0)

Tem α(p0, t0) tem s valores de p0 e r valores de t0 e cada α tem somade s parcelas = r .s2 operaçõesDepois tenho soma de r parcelas e N valores de p: Nr

r .s.s + Nr = N(s + r) < N2

Se fatoro em mais fatores N = r1r2 . . . rk posso reduzir o número deoperações.Para N = 2k , tenho 2kN = 2 log2(N).N operações.Se não tenho potência de 2, posso imputar zeros até obter N ′ econsiderar as freq. ω = 2πkN′ e usar taper nos extremos.


Tendência e Ajuste Sazonal

Xt = θ1φ1(t) + . . .+ thetaqφq(t) + Yt ,

Yt processo com média zero e espectro desconhecido hY (ω)

Ajusto modelo usando MQO, θ̂∗ = (X T X )−1X T y , e calculoresı́duo estacionário ŶtSe fura suposições de erros RB, uso MQP:θ̂ = (X T Σ−1X )−1X T Σ−1yGrenander e Rosenblatt(1957a ch7) obtêm condições para que oestimador θ̂∗ seja eficiente com relação a θ̂. Assim, podemosusar MQO para tirar tend e saz. e depois estimar hY () a partir dosresı́duos como se estivesse usando Yt observado.



Condições1 Φr (n) =

∑nt=1 |φr (t)|2 →n→∞∞ para cada r

2 limn→∞Φr (n + 1)

Φr (n)= 1 para cada r

3 limn→∞∑n

t=1φr (t+h)φ∗s (t)

[Φr (n).Φs(n)]1/2= Rrs(h) existe

4 A matriz R(0) é não singular.



As condições são satisfeitas por ex:

Polinômios: µt = θ1 + θ2t + . . .+ θqtq−1

Reg. Trigonométrica: µt = θ1 + θ2exp(iλ1t) + . . .+ θqexp(iλqt)ou µt =

∑qr=1[Ar cos(λr t) + Br sin(λr t)]

Obs: também podemos retirar tendências e sazonalidade comdiferenças (filtros lineares).


Periodograma Suavizado e Largura de banda

I(N)j =1

2πN

(N∑

t=1

Zte−iλj t)(

N∑s=1

Zseiλj s)

=1

2πN

N∑t=1

N∑s=1

ZtZse−iλj (t−s)h=t−s

=1

2π

N−1∑h=−(N−1)

1N

N−|h|∑t=1

ZtZt+he−iλj h

=1

2π

N−1∑h=−(N−1)

γ̂(h)e−iλj h



Periodograma - Observações

∑Nt=1(Zt − Z̄ )2 =

∑[ N2 ]k=−[ N−12 ]

2πI(N)k

I(N)k é a contribuição da freq λk = 2πk/N à variabilidade da série.An. Harmônica Zt = µ+ A cos(ωt) + B sin(ωt) + et equivZ = Wθ + etUsamos ortogonalidade e temos o periodograma como

I(ω) =N8π

(Â2(ω) + B̂2(ω))

=1

2πN

( N∑t=1

(Zt − Z̄ ) cos(ωt)

)2+

(N∑

t=1

(Zt − Z̄ ) sin(ωt)

)2



Propriedades do Periodograma

γ̂h =1N

N−|h|∑t=1

ZtZt+h (4)

é f. não negativa definida (Wei, 2006) e é est. consistente para γh.

E [I(N)j ] =1

2π

N−1∑h=−(N−1)

E [γ̂(h)]e−iλj h

=1

2π

N−1∑h=−(N−1)

(1− |h|

N

)γ(h)e−iλj h

→N→∞

f (λ) =1

2π

∞∑k=−∞

γke−iλk

O periodograma é estimador assintoticamente não viesado doespectro.



Propriedades da DFT

Teo 15.5 TCL

Se Zt for gaussiano e o espectro contı́nuo, então as variáveis d(N)j são

assint. indep. quando N →∞ com dist. assint. Nc1 (0, f (λj)), j 6= 0,N/2e N1(0, f (λj)), j = 0,N/2 (Morettin, 1979).

Teo 15.6 sem normalidadeSe Zt for estacionário (γ0


Distribuição do Periodograma

Teo 15.7

As ordenadas do periodograma I(N)j são vas assint. indep. e

I(N)jD→{ 1

2 f (λj)χ22, j 6= 0,N/2

f (λj)χ21, j = 0,N/2

Então para N grande

Var(I(N)j ) ={ 1

22 f2(λj)2 ∗ 2 = f 2(λj), j 6= 0,N/2

2f 2(λj), j = 0,N/2

Var(I(N)j ) não vai para 0 quando N →∞, logo I(N)j é assint. não

viesado mas não é estimador consistente do espectro.


Estimador Suavizado do Espectro

Voltando à esperança do periodograma

E [I(N)j ] =1

2π

N−1∑h=−(N−1)

E [γ̂(h)]e−iλj h

=1

2π

N−1∑h=−(N−1)

(1− |h|

N

)γ(h)e−iλj h

=1

2π

N−1∑h=−(N−1)

w(h)γ(h)e−iλj h

com kernel de Bartlett w(h).O estimador suavizado do espectro é

f̂ (λ) =1

2π

∞∑h=−∞

wM(h)γ̂(h)e−iλj h



Estimador Suavizado

O estimador suavizado do espectro é

f̂ (λ) =1

2π

∞∑h=−∞

wM(h)γ̂(h)e−iλh (5)

com pesos w(h) (lag window) tal que

0 ≤ wM(h) ≤ wM(0) = 1wM(−h) = wM(h)wM(h) = 0, |h| ≥ M



Espectro Suavizado

Como f̂ (λ) é a TF do produto dos pesos e covariância amostral, entãopelo Teo. da Convolução:

f̂ (λ) =∫ ∞−∞

WM(λ− α)I(N)(α)dα (6)

é tb suavização do periodograma com pesos

WM(λ) =1

2π

N−1∑h=−(N−1)

wM(h)e−iλh

Janela espectral WM(λ) correspondente a wM(h) satisfaz

WM(−λ) = WM(λ)∫∞−∞WM(λ)dλ = wM(0) = 1



Janelas - Priestley 437-449

Janela wM(h) WM(λ)Truncada I|h|≤M DM(λ)Bartlett 1− |h|M I|h|≤M FM(λ) FéjerTukey 1− 2a + 2a cos(πhM )I|h|≤M aDM(λ−

πM ) + (1− 2a)DM(λ)+aDM(λ+ πM )

Daniell sin(πh/M)πh/MM2π I|λ|≤π/M

em queDM(λ) = 12π

∑Ms=−M cos(sλ) =

12π

sin[(M+1/2)λ]sin(λ/2) é o núcleo de Dirichlet;

FM(λ) = 12π∑

=Ms=−M

(1− |s|M

)cos(sλ) = 12πM [

sin(Mλ/2)sin(λ/2) ]

2 é o núcleode Féjer.



Viés e Variância assintótica para algumas janelas

Daniel: Viés= − π2

6M2h′′(ω) e Var=

M.h2(ω)N

Bartlett: Viés= − 1M

h(1)(ω) e Var=M.h2(ω)

N23

h(1)(ω) = 12π∑∞

s=−∞ |s|R(s)e−iωs

M ↑ ⇒ Var ↑ Viés ↓

Também tem que escolher M de modo que não se sobreponham asjanelas de 2 picos.



Teo 15.8

Se a janela WM(λ) é concentrada ao redor de λ = 0 e f (λ) é aprox.constante no intervalo de freq. semelhante ã largura do pico deWM(λ), então

E (̂f (λ)) ≈ f (λ)

Cov (̂f (λ), (̂f (µ)) ≈ 2πN

∫ π−π

WM(λ− α)[WM(µ− α)WM(µ+ α)]

f 2(α)dα

Var (̂f (λ)) ≈ 2πN

f 2(λ)∫ π−π

W 2M(α)dα < Var(I(N)(λ)) =

f 2(λ)2



Estimador Suavizado do Periodograma

Trocando a integral em (6) pela soma:

f̂ (λ) ≈N/2∑

j=−(N−1)/2

WM(λ− λj)I(N)j (7)

para λj = 2πj/NEm Ondas e Ondaletas ou SS(2016), assintoticamente

I(N)jf (λj)/2

∼ χ22 (j 6= 0,N) (8)

Para M e N grandes (M/N →N→∞

0)

f̂ (λ)f (λ)

∼ combinação de dists χ22 indep

∼ cχ2rAlencar, A.P. (IME-USP) Análise Espectral Prática 22 de Março de 2019 31 / 37


Dist. Periodograma Suavizado

Priestley p.466

f̂ (λ) ∼ combinação de dists χ22 indep∼ cχ2r

E(

f̂ (λ))→ f (λ) = cr

Var(

f̂ (λ))≈ 2π

Nf 2(λ)

∫ π−π

W 2M(α)dα ≈ c22r

c = f (λj )r e r =[E(

f̂ (λ))

]2

[Var(

f̂ (λ))

]/2= N

π∫ π−π W

2M (α)dα

A partir de f̂ (λj) ∼f (λj )

r χ2r , podemos obter IC para f (λ)[

rf̂ (λ)

b; r

f̂ (λ)a

]



Observações

Dividindo por γ(0), temos ρ(τ) =∫∞−∞ e

iλτdG(λ);F (λ) é definida a menos de uma constante e podemos fixarF (−∞) = 0 e F (∞) = γ(0)γ(0) =

∫∞−∞ dF (λ) , F (λ) é chamada de distribuição espectral de

X(t) sobre o eixo das frequênciasIntegral Riemann-Stieltjes (Priestley p.155) t0. . . . , tn ∈ (a,b):

R =∫ b

ag(t)dF (t) = lim

max(ti−ti−1)→∞

n∑i=1

g(ti)[F (ti)− F (ti−1)].



Decomposição do Espectro

Discreta + Contı́nuaComo F (λ) parece f. dist. pode ser decomposta nas componentesdiscreta, contı́nua e singular em F (λ) = a1Fd (λ) + a2Fc(λ) + a3Fs(λ)com a1 + a2 + a3 = 1Na prática nem considera a singular e temos mistura de funçãoescada e contı́nua

γ(τ) =∞∑

j=−∞eiλjτp(λj) +

∫ ∞−∞

eiλτ fc(λ)dλ

Se temos∑∞

k=∞ |γk |


Processo Harmônico - Priestley p147

Xt =K∑

i=1

Aicos(ωi t + φi)

K ,Ai fixas e para estudar proc. estocásticos consideramosφi ∼ U(−π, π).Exercı́cio

E(Xt ) = 0

γ(h) =K∑

i=1

(A2i /2)cos(ωih)



Observações

Na prática, se conheço K e as frequências, ajusto modelo deregressão e para os resı́duos verifico se tem mais frequênciasocultas e depois considero modelo com senos e cossenosincluindo todas as frequências relevantes.Ideia: usar os testes para periodicidades como o de Fisher masele assume que fora as frequências relevantes, temos RB, masagora temos a parte contı́nua do espectro de Processo LinearGeral.


Referências

Referências

All Time series analysis

PriestleyMorettin e ToloiShumway e Stoffer


Pré-requisitosEspectroAliasingFFTTendência e Ajuste SazonalPeriodograma Suavizado e Largura de bandaEstimador Suavizado do EspectroReferências

Analise Espectral Pr´ atica´ · 2019. 3. 22. · Analise Espectral Pr´ atica´ Airlane Pereira...

Documents

Transcript of Analise Espectral Pr´ atica´ · 2019. 3. 22. · Analise Espectral Pr´ atica´ Airlane Pereira...