Matemáticas...3 La pirámide de base cuadrada que hay al fondo del dibujo, ¿cuántos vértices...

MatemáticasGUÍA DIDÁCTICA

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

La guía didáctica Matemáticas 6, para sexto curso de Primaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:

TEXTO Y EDICIÓN José Antonio Almodóvar Herráiz Pilar García Atance Magdalena Rodríguez Pecharromán

ILUSTRACIÓN Agustín Comotto Carlos Díaz Herrera Eduardo Leal Uguina

EDICIÓN EJECUTIVA José Antonio Almodóvar Herráiz

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa

DIRECCIÓN Y COORDINACIÓN EDITORIAL DE PRIMARIA Maite López-Sáez Rodríguez-Piñero

PR

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La presente obra está protegida por las leyes de derechos de autor y su propie-dad intelectual le corresponde a Santillana. A los legítimos usuarios de la misma solo les está permitido realizar fotocopias para su uso como material de aula. Queda prohibida cualquier utilización fuera de los usos permitidos, especialmen-te aquella que tenga fines comerciales.

Dirección de arte: José Crespo

Proyecto gráfico: Estudio Pep Carrió Fotografía de la cubierta: Leila Méndez

Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: Jorge Gómez, Raúl de Andrés

Dirección técnica: Jorge Mira

Coordinación técnica: Alejandro Retana Confección y montaje: Hilario Simón, Raquel Sánchez Corrección: Marta Rubio, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas

Fotografías: F. Po; J. C. Muñoz; J. Jaime; M. Moreno; ORONOZ; ACTIVIDADES Y SERVICIOS FOTOGRÁFICOS/J. Latova; EFE/SIPA-PRESS/Pall Stefansson; GARCÍA-PELAYO/JUANCHO; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Thinkstock; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. PREYSLER; ISTOCKPHOTO/ Tomislav Forgo; MUSEUM ICONOGRAFÍA; NASA/Jacques Descloitres, MODIS Land Rapid Response Team, NASA/GSFC, NASA/JPL; Meade; MATTON-BILD; MUSEO ARQUEOLÓGICO NACIONAL, MADRID; MUSEO NACIONAL DEL PRADO; REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES DE SAN FERNANDO, MADRID; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NEW YORK; ARCHIVO SANTILLANA.

© 2015 by Santillana Educación, S. L.Avda. de los Artesanos, 6 28760 Tres Cantos, MadridPRINTED IN SPAIN

ISBN: 978-84-680-2979-5 Depósito legal: M-18626-2015CP: 665806

ÍndiceMapa de contenidos .................................................... 4

Guiones didácticos

Unidad 11. Áreas y volúmenes ................................... 6

Unidad 12. Estadística y probabilidad ..................... 24

Soluciones Proyecto Fin de etapa ............................ 53

Soluciones Lo esencial ............................................. 78

Unidad Información y actividades

1 Números naturales. Operaciones 6

Números de hasta nueve cifras Operaciones combinadas

Operaciones con números naturales Números romanos

2 Potencias y raíz cuadrada 22 Potencias Expresión polinómica de un número

Potencias de base 10 Raíz cuadrada

Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características

3 Números enteros 38

Números enteros Suma y resta de enteros

La recta entera. Comparación Coordenadas cartesianas

4 Divisibilidad 54

Cálculo de todos los divisores M.c.m. y m.c.d.

Criterios de divisibilidad Problemas de m.c.m. y de m.c.d.

Tratamiento de la información. Gráficos lineales de dos características

5 Fracciones. Operaciones 70 Reducción a común denominador Suma y resta de fracciones

Comparación de fracciones Multiplicación y división de fracciones

REPASO TRIMESTRAL

6Números decimales. Operaciones 88

Suma y resta de números decimales Aproximaciones y estimaciones

Multiplicación de números decimales

7División de números decimales 102

División de decimal entre natural Aproximación de cocientes

División de natural entre decimal Expresión decimal de una fracción

División de decimal entre decimal

Tratamiento de la información. Histogramas

8Proporcionalidad y porcentajes 118

Proporcionalidad Escalas: planos y mapas

Problemas de porcentajes

9 Medida 132 Longitud, capacidad y masa Superficie

Sistema sexagesimal

Tratamiento de la información. Histogramas

10 Volumen 148

Volumen con un cubo unidad Volumen de ortoedros y cubos

El metro cúbico. Submúltiplos Volumen y capacidad El metro cúbico. Múltiplos

REPASO TRIMESTRAL

11 Áreas y volúmenes 164

Áreas de figuras planas Áreas de cuerpos geométricos

Cuerpos geométricos. Poliedros regulares Volúmenes de cuerpos geométricos

12Estadística y probabilidad 180

Variables estadísticas. Frecuencias Mediana. Rango

Media y moda Probabilidad

Tratamiento de la información. Análisis crítico de gráficos

REPASO FINAL

PROYECTO FIN DE ETAPA Descubre las Matemáticas en…

Solución de problemas Cálculo mental Saber hacer

Relacionar enunciado y resolución

Pasos para resolver un problema

Sumar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Sumar 999, 1.999, … a números de 4 cifras

Elegir un presupuesto

Explicar qué se ha calculado

Buscar datos en varios gráficos

Restar 1.001, 2.001, … a números de 4 cifras

Restar 999, 1.999, ... a números de 4 cifras

Analizar la difusión de una noticia

Sacar conclusiones de un enunciado

Buscar datos en varios textos y gráficos

Dividir un número natural entre decenas y centenas

Calcular la fracción de un número

Interpretar datos geográficos

Elaborar tablas a partir de informaciones

Hacer una tabla

Sumar por compensación: sumar y restar el mismo número

Sumar por compensación: restar y sumar el mismo número

Organizar un campamento

Determinar la representación gráfica de una situación

Representar la situación

Restar por compensación: sumar el mismo número

Restar por compensación: restar el mismo número

Estudiar la pureza de una joya

Cambiar los datos

Anticipar una solución aproximada

Multiplicar un número natural por 2


Analizar acciones de la Bolsa

Extraer datos de la resolución

Representar datos con dibujos



Entender la etiqueta de un alimento

Escribir preguntas a partir de una tabla o gráfico

Resolver problemas empezando por el final

Estimar sumas y restas de números decimales aproximando los términos a las unidades

Interpretar información científica

Escribir la pregunta que se responde con unos cálculos

Representar gráficamente la situación

Sumar un número decimal y un natural

Restar un número natural a un decimal

Analizar datos hidrológicos

Elegir preguntas que se puedan resolver

Empezar con problemas más sencillos

Estimar productos aproximando el número decimal a las unidades

Multiplicar un número decimal por decenas y por centenas

Trabajar con densidades

Elegir la solución correcta

Reducir el problema a otro problema conocido

Calcular el 10 % de un número


Diseñar envases

Determinar varias soluciones

Hacer un diagrama de árbol



Realizar un control de calidad

Áreas y volúmenes11Contenidos de la unidad

SABER GEOMETRÍA

• Áreas de figuras planas.

• Cuerpos geométricos.

• Poliedros regulares.

• Áreas de cuerpos geométricos.

• Volúmenes de cuerpos geométricos.

SABER HACER

GEOMETRÍA

• Cálculo de áreas de figuras planas: paralelogramos, polígonos regulares, círculos y figuras compuestas.

• Reconocimiento y clasificación de cuerpos geométricos (prismas, pirámides, cuerpos redondos…) y sus elementos.

• Identificación de los poliedros regulares y sus características.

• Cálculo de áreas de cuerpos geométricos (prismas, pirámides y cuerpos redondos).

• Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos (prismas, pirámides y cuerpos redondos).

• Resolución de problemas de áreas y volúmenes.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• Elección de la solución correcta a un problema entre varias opciones.

• Resolución de problemas reduciéndolos a problemas conocidos.

TAREA FINAL • Diseñar envases.

SABER SER FORMACIÓN EN VALORES

• Valoración de la utilidad del cálculo de áreas y volúmenes en distintas situaciones cotidianas.

• Interés por realizar los cálculos de forma cuidadosa y expresar las soluciones de manera correcta.

6

Banco de recursos para la unidad


Programación didáctica de aula

Recursos para la evaluación

• Evaluación de contenidos. Unidad 11: pruebas de control B y A.

• Evaluación por competencias. Prueba 11.

• Rúbrica. Unidad 11.

Enseñanza individualizada

• Plan de mejora. Unidad 11.

• Programa de ampliación. Unidad 11.

Proyectos de trabajo cooperativo

• Proyecto del tercer trimestre.

Recursos complementarios

• Fichas para el desarrollo de la inteligencia.

• Manual de uso de la calculadora.

• Operaciones y problemas.

Aprendizaje eficaz

• Técnicas de estudio y preparación de exámenes.

Proyectos interdisciplinares

• Programa de Educación en valores.

• Programa de Educación emocional.

• Inteligencias múltiples.

RECURSOS DIGITALES

LibroMedia

• Unidad 11: actividades y recursos.

LibroNet

MATERIAL DE AULA

Láminas

OTROS MATERIALES DEL PROYECTO

Cuaderno del alumno

• Tercer trimestre. Unidad 11.

Solución de problemas. Método DECA

SUGERENCIA DE TEMPORALIZACIÓN

Abril JunioMayo

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PRIMARIA

PRIMARIA

Ma

tem

áti

ca

s Matemáticas

Tercer trimestre

Matemáticas

Tercer trimestre

PRIMARIA

Tercer

trim

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MatemáticasTercer trimestre

MatemáticasTercer trimestreP

RIM

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CUADERNO

CUADERNO

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7

164

11 Áreas y volúmenes

¿Cómo eran las tumbas en Egipto antes de las pirámides?

Si te preguntan cómo eran las tumbas de los faraones en el Antiguo Egipto seguro que piensas en las pirámides. Es cierto que en esa época tenían forma de pirámide con base cuadrada, pero si investigas, verás que las tumbas anteriores eran distintas.

Las tumbas de los primeros faraones eran cámaras subterráneas. Sobre ellas se levantaban construcciones de base rectangular y paredes inclinadas con forma de trapecio, siendo su techo también rectangular. Este tipo de tumba se llama mastaba. Su forma era como la de una pirámide de base rectangular a la que le hubieran quitado con un corte su parte superior.

Las mastabas dieron paso a otro tipo de monumento formado apilando mastabas. Eran las pirámides escalonadas. Más tarde, estas pirámides escalonadas evolucionaron a las pirámides que conoces.

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Propósitos• Reconocersituacionesrealesdondeaparecencuerposgeométricos.

• Recordarlosconceptosbásicosnecesariosparaeldesarrollode la unidad.

Previsión de dificultades• Elaprendizajedelasfórmulasexigeunesfuerzodeatencióny memorización.Alprincipiopuedeayudaralosalumnostenerenclaseunmuralconunatabladefórmulas,aunqueposteriormenteconvengaquetrabajensinesteapoyográfico.Alhacerlasactividades,pídalesqueescribansiemprelafórmulaqueutilizan.Tambiénesinteresantepreguntarlesdevezencuandoquédatosnecesitanparapoderaplicarcadafórmulaparaquevayaninteriorizandolasrelacionesexistentesencadacuerpoentresuáreaovolumenylasmedidasnecesariasparacalcularlos(base,altura,radio,perímetro…).

Trabajo colectivo sobre la láminaPidaaunalumnoquelealalecturay preguntealaclasequétérminosgeométricosaparecenenella.Explorelasideaspreviasyloscontenidossobrecuerposgeométricosyáreasquelosalumnosrecuerdandecursosanteriores.

1 Eltechodelamastabateníala mismaformaquelabase,perosusuperficieeramenor.

2 Lamastabatenía8vértices,6 carasy12aristas.

3 Lapirámidedebasecuadradatiene5vértices,5carasy8aristas.

4 Lascaraslateralesdelapirámidesontriángulosisóscelesy acutángulos.

5 Seobtendríandospiezas:unapirámidedebasepentagonalyunpoliedro.Lapirámide

Otras formas de empezar

• Dibujeenlapizarravariasfigurasplanasycuerposgeométricos,indiquealosalumnosquesonrepresentacionesdelugaresyobjetos,ypongaalgunosejemplosencomún:fincasocamposdecultivo,envases,depósitos,edificios…

Hágalespreguntasycomentariosparaquecomprendanlautilidaddehallarsusáreasyvolúmenes.Porejemplo:

– ¿Cómopodemossabercuántocuestaestafinca,sinosdanelpreciodel metrocuadradodeterreno?

– ¿Cómopodemossabercuántosmetrosdecartónsenecesitaríanpara hacermilenvasescomoeste?

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165

Lee, comprende y razona

1 Observa el dibujo. El techo de la mastaba ¿tiene la misma superficie que la base?

2 ¿Cuántos vértices tiene la mastaba? ¿Y caras? ¿Y aristas?

3 La pirámide de base cuadrada que hay al fondo del dibujo, ¿cuántos vértices tiene? ¿Y caras? ¿Y aristas?

4 ¿De qué polígono tienen forma las caras laterales de la pirámide?

5 EXPRESIÓN ORAL. Si cortases una pirámide cuya base fuera un pentágono con un corte paralelo a la base, ¿cómo serían los dos cuerpos obtenidos? Descríbelos.

Áreas de figuras planas

Cuadrado Rectángulo y Romboide

A 5 lado 3 lado A 5 base 3 altura

A 5 l 3 l 5 l 2 A 5 b 3 h

Triángulo

A 5 base 3 altura2

5 b 3 h2

1 Halla el área de cada figura plana.

Un cuadrado de lado (l) 4 cm.

Un rectángulo y un romboide de base (b) 5 cm y altura (h) 3 cm.

Un triángulo de base (b) 12 cm y altura (h) 6 cm.

Un círculo de radio (r) 10 cm.

2 Piensa y contesta.

Al duplicar la longitud del lado de un cuadrado, ¿qué ocurre con su área?

¿Qué sabes ya?

TAREA FINAL

Diseñar envases

Al final de la unidad diseñarás envases para distintos productos. Antes, trabajarás con los cuerpos geométricos, sus áreas y sus volúmenes.

SABER HACER

l

l

b

h

b b

Círculo

A 5 p 3 radio2

A 5 p 3 r 2

Usa 3,14 como valor de p.

hr

h

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UNIDAD 11

tendría 6 caras, 6 vértices y 10 aristas. El poliedro obtenido, que no es un prisma, ya que sus bases no son iguales, tendría 7 caras, 10 vértices y 15 aristas.

¿Qué sabes ya?Con estas actividades el alumno recordará algunas fórmulas de áreas de figuras planas conocidas ya de cursos anteriores y que le serán necesarias en el trabajo posterior realizado en la unidad.

1 • A 5 4 cm 3 4 cm 5 16 cm2

• A 5 5 cm 3 3 cm 5 15 cm2

• A 5 (12 cm 3 6 cm) : 2 5 36 cm2

• A 5 p 3 (10 cm)2 5 314 cm2

2 Al duplicar la longitud del lado de un cuadrado, su área se multiplica por 4.

Notas

Competencias

• Competencia lingüística. En la actividad de Expresión oral los alumnos deben describir cuerpos geométricos sin ayuda de una representación gráfica. Pídales que usen términos matemáticos y se expresen de forma clara y razonada.

• Aprender a aprender. Comente a los alumnos que ya conocían cómo hallar áreas y perímetros de figuras planas y que en esta unidad van a seguir avanzando en esos conocimientos y aprender a calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Indíqueles que ahora pasarán de las dos dimensiones a las tres dimensiones.

Inteligencia

lingüística

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166

1 Mide las diagonales de cada rombo y calcula su área.

2 Calcula el área de cada rombo.

La diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal menor 6 cm.

La diagonal menor mide 7 m y la diagonal mayor 8 m.

Cada diagonal mide 12 cm.

Una cometa con forma de rombo cuyo palo largo mide 8 dm y el palo corto mide 5 dm.

3 Piensa y resuelve. Ayúdate de un dibujo.

Un rombo está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm, respectivamente.

Calcula el área del rombo como suma de las áreas de los triángulos.

¿Cuánto mide la diagonal menor del rombo? ¿Y la diagonal mayor?

Halla el área del rombo con la fórmula usual. ¿Obtienes el mismo resultado que antes?

Área del rombo

¿Cuál es el área de este rombo?

Fíjate en que si trazamos paralelas a cada diagonal del rombo por sus vértices, se forma un rectángulo.

La base del rectángulo es igual a la diagonal mayor del rombo, D, y la altura del rectángulo es igual a la diagonal menor, d.

Observa que la parte amarilla es de igual área que la parte naranja. Es decir, el área del rombo es la mitad del área del rectángulo.

Área del rombo 5 área del rectángulo2

5 diagonal mayor 3 diagonal menor2

5 D 3 d

2

Área 5 D 3 d

2 5 5 cm 3 2 cm

2 5 5 cm2

d 5

2 c

m

D 5 5 cm

h 5

d 5

2 c

m

d

D

b 5 D 5 5 cm

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Propósitos• Calculareláreadeunrombo.

• Resolverproblemasrealesque impliquenelcálculodeáreasderombos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Muestrecómosepuedeobtenerlafórmuladeláreade unromboapartirdeláreadeunrectánguloquetengacomobasela diagonalmayorycomoalturaladiagonalmenor.Indíquelestambiénquepodemosobtenereláreacomola sumadelasáreasdeloscuatrotriángulosrectángulosenlosqueestádivididoporsusdiagonales.

Para reforzar.Pidaalosalumnosquedibujendistintosrombosenunahojadepapel(indíquelesquebastacontrazardosperpendiculares,marcarlalongituddecadadiagonalenellasyunirlospuntosobtenidos).Después,lospasaránasucompañeroparaqueestecalculesusáreas.

Actividades1 A 5 (6cm 3 2cm):256cm2

A 5 (3cm 3 2cm):253cm2

A 5 (6cm 3 4cm):2512cm2

2 • A 5 (10cm 3 6cm):25530cm2

• A 5 (8cm 3 7cm):25528cm2

• A 5 (12cm 3 12cm):25572cm2

• A 5 (8dm 3 5dm):25520dm2

3 • A 5 (8cm 3 6cm):2524cm2

A 5 4 3 24cm2596cm2

• d 52 3 6cm512cm D 52 3 8cm516cm

• A 5(16cm 3 12cm):25596cm2Elresultadoeselmismo.

Notas

Otras actividades

• Pidaalosalumnosquebusquentodoslosromboscuyasdiagonalesseannúmerosenterosytenganunáreadefinidaporusted;porejemplo,48cm2.Después,puedepedirlesquedibujenalgunosdeellos,losrecortenyloscomparenporsuperposición.

• Entreguealosalumnosenunahojacuadradosdedistintostamaños,de maneraquesusladosmidancentímetrosexactos.Solicitequetracensus diagonalesycalculeneláreadecadaunocomouncasoparticularde rombo.Pídalesquelacomparenconlaqueobtendríanusandolafórmuladeláreadelcuadrado.Setratadequeinvestiguenlarelaciónentrela longituddelladodelcuadradoyladesudiagonal.

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167

11Área de polígonos regulares

¿Cuál es el área de este pentágono regular?

Todos los polígonos regulares se pueden descomponer en triángulos iguales, uniendo su centro con sus vértices.

La base de cada triángulo es un lado del polígono y la altura es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio del lado. Ese segmento se llama apotema, ap.

El área del polígono es la suma de las áreas de todos los triángulos obtenidos.

Si colocamos los triángulos en fila, su área total es la mitad del área de un romboide cuya base es el perímetro del polígono, P, y cuya altura es la apotema, ap.

Área del polígono regular 5 área del romboide

2 5 perímetro 3 apotema

2 5

P 3 ap2

Área 5 P 3 ap

2 5

10 cm 3 1,4 cm2

= 7 cm2

1 Observa cada polígono regular y contesta.

¿En cuántos triángulos iguales se puede dividir?

¿Cuál es su área, sabiendo que el área de cada triángulo marcado es 5 m2?

2 Calcula el área de cada polígono regular.

Cálculo mental

10 % de 6 10 % de 30 10 % de 800

10 % de 9 10 % de 80 10 % de 420

0,1 3 5 0,1 3 67 0,1 3 3.000

0,1 3 7 0,1 3 79 0,1 3 5.200

Calcula el 10 % de un número o multiplica por 0,1: divide entre 10

40 : 10 5 410 % de 40

0,1 3 40

ap1,4 cm

l 5 2 cm b 5 l 5 2 cm

h 5 ap 5 1,4 cm

h 5 ap 5 1,4 cm

b 5 P 5 5 3 2 cm 5 10 cm

l 5 10 cm

ap 5 6,9 cm

l 5 6 cm

ap 5 7,2 cml

l

ap ap

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UNIDAD 11

Propósitos• Calculareláreadepolígonosregulares.

Sugerencias didácticasPara explicar.Esimportantequelos alumnosveanunsentidoenlasfórmulas,yaqueesoles ayudaráamemorizarlasoarecordarlasencasodeolvido.Señalecómoseobtieneelromboidea partirdelostriángulosenlosquepodemosdividircadapolígonoregular,ymuestrecómoeláreadel polígonoeslamitaddeláreadeeseromboide.

Para reforzar.Entreguealosalumnosdistintospolígonosregularesdibujadosenunahojacuyosladosmidancentímetrosexactos.Pídalesquetracenlacircunferenciaquepasaportodossusvérticesyquemidandespuéslaapotemadelpolígono.Porúltimo,calcularánsusáreas.

Actividades1 Cuadrado:

• En4triángulos.

• A54 3 5m2520m2

Hexágonoregular:

• En6triángulos.

• A56 3 5m2530m2

2 • A5(50cm 3 6,9cm):25 5172,5cm2

• A5(48cm 3 7,2cm):25 5172,8cm2

Cálculo mental• 0,6

• 0,9

• 0,5

• 0,7

• 3

• 8

• 6,7

• 7,9

• 80

• 42

• 300

• 520

Notas

Otras actividades

• Dibujeenlapizarrauncuadradode4dmdeladoypidaaunalumnoque tracesusdosdiagonales.Muestrequeelpuntodondesecortanlas diagonaleseselcentrodelcuadrado,tracelaapotemayrazoneencomúnquemide2dm.Pidaalosalumnosquecalculensuáreadedosformas:porlafórmulausualdeláreadelcuadradoyporlafórmuladeláreadeunpolígonoregular,yquecompruebenqueseobtieneelmismoresultado.

11

168

Cuerpos geométricos: tipos y elementos

Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos.

Los prismas y pirámides son poliedros. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases, y el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base, y el resto de caras son triángulos. Se nombran según el polígono que forma sus bases.

Sus elementos son:

Hay cuerpos geométricos que no son poliedros. Los cuerpos redondos son cuerpos con superficies curvas.

Sus elementos son:

1 Clasifica cada cuerpo.

2 Copia en tu cuaderno las oraciones verdaderas.

Todos los poliedros son prismas o pirámides.

Todos los prismas y pirámides son poliedros.

Los cuerpos redondos tienen todas sus superficies curvas.

Un poliedro tiene siempre más de 3 caras.

Un prisma tiene siempre un número par de vértices.

base

base

vértice o cúspide

Prisma hexagonal

Cilindro Esfera

Pirámide hexagonal

arista básica basearista básica

arista lateral cara lateral

cara lateral

superficie lateral curva

arista lateral

vértice

radio

vértice

vérticegeneratriz

Cono

superficie lateral curva

base

radio

superficie curva

radio

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Propósitos• Reconocerloscuerposgeométricosmásimportantes:prismas,pirámidesycuerposredondos,ydistinguirsuselementos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comenteconlosalumnoslasdiferenciasentrepoliedrosycuerposredondos,yloselementosdelosdistintoscuerposgeométricos.Recuérdelesquelosprismasy pirámidessenombrabanporel polígonodesubase.Escribaenlapizarraunesquemaenelquequedeclaraladivisióndeloscuerposgeométricos:poliedros(y,dentrode ellos,prismas,pirámidesyotrospoliedros)ycuerposredondos(y,dentrodeellos,cilindros,conosyesferas).

Para reforzar.Dibujedistintoscuerposgeométricosenlapizarra(opidaaalgúnalumnoquelohaga)paraquesuscompañerosdigande quécuerposetrataycuálessonsuselementos.

Actividades1 Pirámidepentagonal.

Esfera.

Poliedro.

Cono.

Prismahexagonal.

Cilindro.

2 Sonverdaderaslasegunda,cuartayquintaoraciones.

Notas

Otras actividades

• Formuleenclasepreguntassimilaresalassiguientes,pidiendoque las contestenensucuadernodeunmodorazonado:

– ¿Puedeunprismatenersolamentedoscaraslaterales?

– ¿Puedetenerunprismadosdesarrollosdiferentes?

– ¿Puedetenerunapirámidemenosdecuatrovértices?

– ¿Puedeunprismatenerunnúmeroimpardevértices?

– ¿Puedeunapirámidetenerunnúmeroimpardearistas?

12

169

11

1 Observa los cinco poliedros regulares y completa la tabla en tu cuaderno.


Las caras de un dodecaedro son pentágonos regulares de lado 10 cm y apotema 6,9 cm. ¿Cuál es el área de una de sus caras? ¿Y de todas las caras?

Las caras de un octaedro son triángulos equiláteros de base 8 cm y altura 6,9 cm. ¿Cuál es el área de una de sus caras? ¿Y de todas las caras?

Poliedros regulares

Desde la Antigüedad, ha habido un tipo de poliedros que ha interesado a muchos matemáticos. Son los poliedros regulares.

Los poliedros regulares son aquellos que tienen como caras polígonos regulares iguales entre sí y en cada vértice del poliedro coincide el mismo número de caras. Solo existen estos cinco:

Observa las figuras y escribe qué poliedros forman al plegarlas.

Razonamiento

Tetraedro

4 caras

Octaedro

8 caras

Icosaedro

20 caras

Cubo

6 caras

Dodecaedro

12 caras

Nombre del poliedro regular

Número de caras

Polígono de las caras

Estas figuras se llaman desarrollos. Plegándolas,

se pueden formar cuerpos geométricos.

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UNIDAD 11

Propósitos• Reconocerlospoliedrosregulares,suselementosycaracterísticas.

Sugerencias didácticasPara explicar.Señalequelospoliedrosregularesnosolodebentenersuscarasiguales,sinoquedebeconcurririgualnúmerodeellasencadavértice.Indiquequesolamenteexistenloscincopoliedrosmostradosenlapáginaypídalesqueenunciensuscaracterísticas.

Para ampliar.Pidaalosalumnosque averigüenelnúmerodevérticesy aristasdecadapoliedroregular.Ayúdelescomentandoquepuedenpartirdelnúmerodearistasyvérticesdecadacaraymultiplicar,peroquedebentenercuidadoporquecadaladodelascarasycadavérticeestácompartidoconotrascaras.

Actividades 1 Tetraedro:4caras,triángulos

equiláteros.Octaedro:8caras,triángulosequiláteros.Icosaedro:20caras,triángulosequiláteros.Cubo:6caras,cuadrados.Dodecaedro:12caras,pentágonosregulares.

2 • A5(50cm 3 6,9cm):255172,5cm2A512 3 172,5cm2552.070cm2

• A5(8cm 3 6,9cm):25527,6cm2A58 3 27,6cm25220,8cm2

RazonamientoFiguraverde:cubo.

Figuraroja:tetraedro.

Figuramorada:ortoedro.

Figuraamarilla:pirámidepentagonal.

Otras actividades

• Proporcionealosalumnosdesarrollosdelospoliedrosregularesypídalesquelosconstruyan.Deestamanera,podránconocerlosmejorytrabajarel conteodeelementosenloscasosenlosquehayantenidomásdificultades.

• Realiceactividadessimilaresalaactividad2dellibro,proporcionandoa los alumnosdatossobrelospolígonosdelascarasypidiéndolesque calculeneláreadelpoliedroregularasociado.

13

170

Áreas de prismas y pirámides

1 Calcula el área de cada cuerpo geométrico. Fíjate en su desarrollo.

2 Calcula el área de cada cuerpo.

El área de un cuerpo geométrico se obtiene sumando las áreas de todas las superficies que lo delimitan.

El área de un prisma es la suma de las áreas de las dos bases (polígonos iguales) más las áreas de las caras laterales (paralelogramos).

A 5 ABASES 1 ACARAS LATERALES

ABASES 5 2 3 8 cm 3 3 cm 5 48 cm2

AC. LATERALES 5 2 3 3 cm 3 5 cm 1 2 3 8 cm 3 5 cm 5

5 30 cm2 1 80 cm2 5 110 cm2

A 5 48 cm2 1 110 cm2 5 158 cm2

El área de una pirámide es la suma del área de su base más la suma de las áreas de las caras laterales (triángulos).

A 5 ABASE 1 ACARAS LATERALES

ABASE 5 10 cm 3 8 cm 5 80 cm2

AC. LATERALES 5 2 3 10 cm 3 13,7 cm

2 1 2 3

8 cm 3 14 cm2

5

5 137 cm2 1 112 cm2 5 249 cm2

A 5 80 cm2 1 249 cm2 5 329 cm2

RECUERDA

El área de un polígono regular es igual al perímetro por la apotema dividido por 2.

8 cm

3 cm5 cm

10 cm 8 cm

10 c

m

10 cm

h 5 12 cm

ap 5 6,9 cm

8 cm

5 cm

5 cm

5 cm

3 cm8 cm

13,7 cm 14 cm

10 cm8 cm

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 10 12/02/2015 17:18:00

Propósitos • Calcularáreasdeprismasy pirámides.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comenteconlosalumnoslosdosejemplosresueltosenelcuadroteóricoydejeclaroque el áreadelcuerpoeslasumade lasáreasdetodoslospolígonosqueformansuscaras.Encasode dificultades,puededibujaren la pizarraeldesarrollodeloscuerposparaquelosalumnoscomprendanmejoresarelación.Señalelaimportanciadesabercalcularlasáreasdefigurasplanasa lahoradeobtenerlasáreasde los prismasypirámides.

Para reforzar. Pidaalosalumnosquecalculenlasáreasdedistintosprismasypirámidesobtenidoscambiandolosdatosdelasfigurasqueaparecenenlapágina.Entreguealosalumnosdiferentesdesarrollosplanosrotuladosy pídalesquediganquécuerpose formaapartirdeellosycuálseráeláreadeesecuerpo.

Actividades1 • A52 3 5cm 3 3cm1

12 3 3cm 3 8cm112 3 5cm 3 8cm55158cm2

• A55cm 3 5cm114 3 (5cm 3 8cm):255105cm2

2 • A56 3 10cm 3 10cm55600cm2

• A5(48cm 3 6,9cm):2116 3 (8cm 3 12cm):255453,6cm2

Notas

Competencias

• Competencia matemática, científica y tecnológica.Laactividad1permiterealizaruntrabajomuyinteresanterelacionadoconlavisiónespacial.Seproporcionaalosalumnoseldesarrollodecadacuerpopara quetomenconcienciadelarelaciónentrelarepresentaciónplanay sucorrespondenciaenelespacio.Pidaaunalumnoquesalgaa la pizarra,copiecadadesarrolloy,conlaayudadesuscompañeros,rotulecadaunodelossegmentosdel desarrollodeacuerdocon la rotulacióndeloscuerposgeométricos.

14

171

11Áreas de cuerpos redondos

1 Calcula el área de cada cuerpo. Fíjate en su desarrollo.

2 Piensa y calcula el área de cada cuerpo redondo.

Un bote de conservas cilíndrico de radio 8 cm y altura 12 cm.

Un cono de plástico de radio 10 cm y generatriz 20 cm.

Una bola de madera de radio 40 cm.

El área de un cuerpo redondo se obtiene sumando las áreas de las superficies, planas y/o curvas, que lo delimitan.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo. En el caso del cilindro se usa también la de su altura (h) y en el del cono, la de su generatriz (g).

Área del cilindro

A 5 ABASES 1 ASUP. CURVA

A 5 2 3 p 3 r2 1 2 3 p 3 r 3 h

Área del cono

A 5 ABASE 1 ASUP. CURVA

A 5 p 3 r2 1 p 3 r 3 g

Área de la esfera

A 5 ASUP. CURVA

A 5 4 3 p 3 r2

Piensa y contesta. Después, calcula y comprueba tu respuesta.

Un cilindro, un cono y una esfera tienen el mismo radio, 10 cm. La altura del cilindro y la generatriz del cono miden también las dos 10 cm. ¿Cuál de los tres cuerpos crees que tiene mayor área? ¿Cuál crees que tiene un área menor?

Razonamiento

La esfera NO tiene desarrollo plano.

3 cm10 cm

5 cm8 cm

hg

r

r

r

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 11 16/03/2015 11:47:11

UNIDAD 11

Propósitos • Calcularáreasdecilindros,conosy esferas.

Sugerencias didácticasPara explicar.Muestrealosalumnoslassimilitudesconlasáreasdeprismasypirámides(eláreadecadacuerpoeseláreadelassuperficiesqueloforman)ysusdiferencias(en loscuerposredondosnosepuedehablardecaras).Dibujeenlapizarralosdesarrollosplanosdecilindrosy conosycomentequétérminode la fórmulaseasociaconcadapartedeldesarrollo.

Para reforzar. Entreguealosalumnosdistintosdesarrollosplanosrotuladosypídalesquediganquécuerposeformaapartirdeellosy cuálseráeláreadeesecuerpo.

Actividades1 • A52 3 p 3 (3cm)21

12 3 p 3 3cm 3 8cm55207,24cm2

• A5 p 3 (5cm)211 p 3 5cm 3 10cm55235,5cm2

2 • A52 3 p 3 (8cm)2112 3 p 3 8cm 3 12cm551.004,8cm2

• A5 p 3 (10cm)211 p 3 10cm 3 20cm55942cm2

• A54 3 p 3 (40cm)25520.096cm2

Razonamiento• ACILINDRO52 3 p 3 (10cm)21

12 3 p 3 10cm 3 10cm551.256cm2

• ACONO5 p 3 (10cm)211 p 3 10cm 3 10cm55628cm2

• AESFERA54 3 p 3 (10cm)2551.256cm2

Elcilindroylaesferatienenlamismaárea.Elcuerpodemenoráreaeselcono.

Otras actividades

• Pidaalosalumnosqueexplorencómovaríaeláreadeloscuerposredondoscuandocambiansusdimensiones.Dígalesquetomencasosconcretosparaintentarenunciarunareglageneral.Porejemplo:

– Uncilindroquetengaeldoblederadioydealturaqueotro,¿tieneeldobledeárea?

– ¿Cuáltienemayorárea:uncilindroderadioyalturaigualesounaesferaconelmismoradioqueelcilindro?

– Unconoquetengalamitadderadioqueotroysumismaaltura,¿tienelamitaddeárea?

Inteligencia

espacial

15

172

Volúmenes de prismas y pirámides

1 Calcula el volumen de cada cuerpo.

2 Calcula el volumen de cada cuerpo. Haz un dibujo aproximado.

Un prisma de base triangular y altura 10 cm. Su base es un triángulo de 7 cm de base y 5 cm de altura.

Una pirámide cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado y cuya altura es 12 cm.

3 Calcula el volumen de este cuerpo. Fíjate bien en los cuerpos que lo componen.

El volumen de un prisma es el producto del área de una base por la altura.

V 5 ABASE 3 h

ABASE 5 8 cm 3 3 cm 5 24 cm2

V 5 24 cm2 3 5 cm 5 120 cm3

El volumen de una pirámide es un tercio del producto del área de la base por la altura. La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice. No la confundas con la altura de las caras laterales.

V 5 ABASE 3 h

3

ABASE 5 P 3 ap2

5 6 3 10 cm 3 8,7 cm2

5 261 cm2

V 5 261 cm2 3 15 cm

3 5 1.305 cm3

5 cm

3 cm8 cm

10 cm

15 cm

8,7 cm

8 cm

8 cm

8 cm

9 cm10 cm

8 cm

5,2 cm

6 cm

8,7 cm

20 cm 10 cm10 cm

10 cm5 cm

5 cm

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 12 12/02/2015 17:18:03

Propósitos• Calcularvolúmenesdeprismasy pirámides.

• Hallarvolúmenesdecuerposgeométricoscompuestos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comentelasfórmulasdelosvolúmenesdeprismasypirámides.Puedesermuyinteresanteconstruir,apartirdesudesarrollo,un prismayunapirámidequetenganlamismaáreadelabaseylamismaaltura,yquelosalumnoscomprueben,llenandolapirámidepor ejemploconarena,queel volumendetrespirámidesequivalealdelprisma.Señalelaimportanciade noconfundir,enlaspirámides,la alturadelapirámideconlaalturade lascaraslaterales.

Para reforzar. Pidaalosalumnosquerealicendibujosdeprismasy pirámidesylosrotulenparaquesus compañeroscalculensusáreasy volúmenes.

Actividades1 • V5(8cm 3 8cm) 3 8cm5

5512cm3

• ABASE5(9cm 3 10cm)5590cm2V5(90cm2 3 8cm):355240cm3

• ABASE5(36cm 3 5,2cm):25593,6cm2V5(93,6cm2 3 8,7cm)55814,32cm3

2 • ABASE5(7cm 3 5cm):25517,5cm2V517,5cm2 3 10cm55175cm3

• ABASE510cm 3 10cm55100cm2V5(100cm2 3 12cm):355400cm3

3 • V520cm 3 5cm 3 5cm1110cm 3 10cm 3 10cm551.500cm3

Otras actividades

• Ademásderealizarmásactividadesdecálculodevolúmenesdefigurascompuestasapilandootras(actividad3),esinteresantetrabajarconlosalumnosactividadesenlasqueaparezcanprismasquetengan«agujeros»,y queestosseantambiénprismas.Señalequeelvolumendeesecuerpopuedeobtenersecomoelvolumendelcuerpomayormenoselvolumenque ocupaese«agujero».Muestrequeelvolumenresultantenodependede laposiciónquetengaese«agujero».

16

2

173

11

1 Halla el volumen de cada cuerpo redondo.

Un bote de conservas cilíndrico de radio 10 cm y altura 15 cm.

Un cono de plástico de radio 12 cm y altura 16 cm.

Una bola de vidrio de radio 4 cm.

2 Calcula el volumen de cada cuerpo.

Volúmenes de cuerpos redondos

El volumen de un cilindro y de un cono se calculan de forma similar al de un prisma y una pirámide, respectivamente. El de la esfera se halla de forma diferente.

En todas las fórmulas se usa la longitud del radio (r) del cuerpo. En el caso del cilindro y el cono se usa también la de su altura (h).

Volumen del cilindro

V 5 ABASE 3 h

V 5 p 3 r2 3 h

Volumen del cono

A 5 ABASE 3 h3

V 5 p 3 r2 3 h

3

Volumen de la esfera

V 5 4 3 p 3 r3

3

Cálculo mental

50 % de 6 50 % de 60 50 % de 6.000

50 % de 8 50 % de 90 50 % de 4.200

0,5 3 4 0,5 3 46 0,5 3 8.000

0,5 3 12 0,5 3 84 0,5 3 2.600

Calcula el 50 % de un número o multiplica por 0,5: divide entre 2

80 : 2 5 4050 % de 80

0,5 3 80

10 cm

8 cm

6 cm 6 cm

5 cm

h

r

rh

r

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 13 12/02/2015 17:18:05

UNIDAD 11

Propósitos• Calcularvolúmenesdecilindros,conosyesferas.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comentelassimilitudesenlasfórmulasdeprismasycilindrosydeconosypirámides,indicandoquelabasede cilindrosy conosesuncírculo.Comenteel casoespecialdelaesfera,indicandoquenotienedesarrolloplano.

Actividades1 • V5 p 3 (10cm)2 3 15cm5

54.710cm3

• ABASE5 p 3 (12cm)255452,16cm2

V5(452,16cm2 3 16cm):3552.411,52cm3

• V5(4 3 p 3 (4cm)3):35593,6cm2 3 8,7cm55267,95cm3

2 V5 p 3 (5cm)2 3 10cm55 785cm3

V5 (p 3 (6cm)2 3 8cm):35

5301,44cm3

V5 (4 3 p 3 (6cm)3):35

5904,32cm3

Cálculo mental• 3

• 4

• 2

• 6

• 30

• 45

• 23

• 42

• 3.000

• 2.100

• 4.000

• 1.300

NotasOtras actividades

• Pidaalosalumnosqueexplorencómovaríanlosvolúmenesdeloscuerposredondosalcambiaralgunadesusdimensiones.Porejemplo:

– Sielradiodeunaesferaeseldoblequeeldeotra,¿cómoessuvolumen?

– Uncilindrotienedeiguallongitudsuradioysualtura,yunconotieneelmismoradioyeltripledealtura.¿Cómosonsusvolúmenes?

• Propongaactividadesdecálculodevolúmenesdecuerposcompuestosapartirdevarioscuerposredondos,porejemplounmolinoformadopor uncilindroquetieneunconoencima.

17

174

Elige la solución correcta calculando mentalmente. Después, comprueba tu respuesta.

1 En una almazara tenían un gran depósito de 4 kl lleno de aceite. Envasaron todo en garrafas de 0,5 dal cada una. ¿Cuántas garrafas obtuvieron?

A. Obtuvieron 8 garrafas. C. Obtuvieron 800 garrafas.

B. Obtuvieron 8.000 garrafas. D. Obtuvieron 80.000 garrafas.

2 Un camión puede transportar 3 t y 5 q de carga. Va cargado con 6 paquetes de 500 kg cada uno. ¿Cuántos kilos más puede llevar?

A. Puede llevar 50 kg más.

B. No puede llevar más peso.

C. Puede llevar 5.000 kg más.

D. Puede llevar 500 kg más.

3 Sonia tiene que colocar placas de madera en el suelo de una pista de 2 dam2. Va a utilizar placas cuadradas de 2 dm de lado. ¿Cuántas placas utilizará?

A. Utilizará 5.000 placas.

B. Utilizará 1.000 placas.

C. Utilizará 500 placas.

D. Utilizará 2.000 placas.

En la fábrica han envasado 1.000 litros de zumode piña en bricks de 200 cm3 cada uno.¿Cuántos bricks han obtenido?

Calcula mentalmente y elige la solución correcta.

A. Han obtenido 5 bricks.

B. Han obtenido 50.000 bricks.

C. Han obtenido 500.000 bricks.

D. Han obtenido 5.000 bricks.

Sabes que 1 cm3 5 1 ml, luego cada brick contiene 200 ml. Con 1 litro de zumo (1.000 ml) se obtendrán 1.000 : 200 5 5 bricks. En total serán 5 3 1.000 5 5.000 bricks. La respuesta correcta es la D.

Elegir la solución correcta entre varias

Solución de problemas

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 14 16/03/2015 11:47:13

Propósitos • Elegirlasolucióncorrectaaunproblemaeligiéndolaentrevarias.

Sugerencias didácticasPara explicar.Trabajeelproblemaresueltomostrandolaformadeelegirlasolucióncorrecta.Puedehacerseresolviendoelproblemaybuscándola,obienvalorandoparacadaunadelas respuestassielvolumentotalde losbrickscoincideconelenvasado.

Para reforzar.Pidaalosalumnosqueelaborenporsímismosproblemassimilaresalostrabajadosenlapágina.Resuelvaalgunosdeellosencomún.

Actividades1 4.000:55800

LarespuestacorrectaeslaC.

2 3.50023.0005500LarespuestacorrectaeslaC.

3 20.000:455.000LarespuestacorrectaeslaA.

Notas

Otras actividades

• Esinteresanteplantearproblemassimilaresalospropuestosenestapáginaparapotenciarenlosalumnoslacapacidaddeestimaciónaltrabajarcon medidas.Setratadequeseancapacesdedescartarrápidamentevarias delassolucioneserróneasalverquenotienensentidoenlasituaciónplanteada.Comenteconelloslasunidadesdemedidaprincipalesantesde trabajarlosparaquetenganpresentecómosonenlarealidad.

18

Resuelve los problemas reduciéndolos primero a un problema que sepas resolver.

1 Ramiro ha hecho una cenefa y ha coloreado de naranja parte de ella. ¿Qué área ha coloreado de naranja?

2 Leo ha hecho un diseño uniendo piezas iguales formadas con un rectángulo y un semicírculo. ¿Cuál es su área?

3 INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página que pueda resolverse reduciéndolo a otro conocido.

175

11

Resuelve los problemas reduciéndolos primero a un problema que sepas resolver.

1 Ramiro ha hecho una cenefa y ha coloreado de naranja parte de ella. ¿Qué área ha coloreado de naranja?

2 Leo ha hecho un diseño uniendo piezas iguales formadas con un rectángulo y un semicírculo. ¿Cuál es su área?

3 INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página que pueda resolverse reduciéndolo a otro conocido.

Paloma ha comprado una alfombrilla de bañode plástico formada por círculos con huecos cuadrados. ¿Qué área de plástico en cm2 tiene la alfombrilla?

Para resolver el problema lo mejor es reducirlo primero a un problema que sepas hacer: hallar el área de cada una de las piezas que forman la alfombrilla.

El área de cada pieza es igual al área del círculo menos el área del hueco cuadrado.

Área del círculo 5 p 3 r2 5 p 3 52 cm2 5 78,5 cm2

Área del cuadrado 5 l2 5 52 cm2 5 25 cm2

Área de una pieza 5 78,5 cm2 2 25 cm2 5 53,5 cm2

La alfombrilla tiene 50 piezas (5 filas de 10 piezas cada una).

Área de la alfombrilla 5 50 3 53,5 cm2 5 2.675 cm2

Solución: La alfombrilla tiene un área de 2.675 cm2.

Reducir el problema a otro problema conocido


8 cm8 cm

8 cm

12 c

m

10 cm

5 cm

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 15 12/02/2015 17:18:10

Inteligencia

intrapersonal

UNIDAD 11

Propósitos • Resolverproblemasreduciéndolosaotrosconocidos.

Sugerencias didácticasPara explicar. Lleveacaboconla claseelproblemaresuelto.Hágalesverqueelproblemaplanteado,complejoenprincipio,puesaparecengrancantidaddecírculosconhuecosensuinterior,puedereducirseaunproblemamuchomássencilloyqueyasabenresolver:calcular,paraunasolapieza,cuáleseláreadecolorrojo.Indiquelaimportanciadeanalizarsiemprelosproblemascuidadosamente,antesdelanzarsea realizarcálculos,porquedeeseanálisispuedededucirseunaformamuchomásrápidaysencilladeresolución.

Para reforzar. Pidaalosalumnosqueplanteenasuscompañerosproblemassimilaresalostrabajados,quepuedanresolverseapartirdeotrosconocidos.

Actividades1 Áreatriángulo5

5(8cm 3 8cm):2532cm2Áreanaranja520 3 32cm255640cm2

2 Áreapieza5 8cm 3 12cm11 p 3 (4cm)2:255121,12cm2 Áreaverde512 3 121,12cm2551.453,44cm2

3 Respuestalibre(R.L.).

Notas

Competencias

• Iniciativa y emprendimiento.Alahoradequelosalumnosplanteenactividadessimilaresalastrabajadasenlapágina,anímelosautilizarlos conocimientosnuevosdelaunidad(áreasyvolúmenesdecuerposgeométricos).Intentequepropongansituacionesrealesycreativas,estimulandoenelloselemprendimiento,yresuelvaalgunasen comúncon todalaclase.

19

176

ACTIVIDADES

1 VOCABULARIO. Define cada uno de estos términos.

Poliedro. Cuerpo redondo.

Prisma. Cilindro.

Pirámide. Cono.

Poliedro regular. Esfera.

2 Clasifica cada cuerpo.

A B C

D E F

G H I

3 Observa cada cuerpo y contesta.

¿Es un poliedro? ¿Por qué?

¿Es un prisma? ¿Por qué?

¿Es una pirámide? ¿Por qué?

4 Cuenta y escribe para cada poliedro de la actividad 3.

Número de caras

Número de vértices

Número de aristas

5 Cuenta y comprueba.

Cuenta en distintos poliedros de esta unidad las caras (C), vértices (V) y aristas (A) y comprueba que se cumple la relación de Euler: C 1 V 5 A 1 2.

6 Escribe a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.

7 Calcula el área de los poliedros de la actividad 6 suponiendo que:

– Cada triángulo tiene 10 cm de base y 8,7 cm de altura.

– Cada cuadrado tiene 8 cm de arista.

8 Calcula el área y el volumen de estos cuerpos. Fíjate bien en las medidas.

9 Halla el área y el volumen de estos cuerpos. Piensa en qué datos necesitas.

10 Piensa y contesta. Luego calcula y comprueba tu respuesta.

El radio de una esfera es el doble que el de otra. Su área ¿es también el doble? ¿Qué relación hay entre sus volúmenes?

5 dm

3 m

8 d

m

8 cm

4 cm

4 cm

12 cm

9 cm12 cm

10 cm 15 cm

8 cm

12 c

mES0000000001195 462607_U11_18705.indd 16 12/02/2015 17:18:12

Propósitos• Repasarloscontenidosbásicosde launidad.

• AplicarlasMatemáticasendistintoscontextos.

Actividades1 R.L.

2 A.Tetraedro. B.Esfera.C.Ortoedro. D.Cono.E.Pirámidepentagonal.F.Cubo. G.Prismatriangular.H.Octaedro. I.Cilindro.

3 Cuerponaranja: • Esunpoliedro,suscarasson

polígonos. • Noesunprisma,susbasesno

soniguales. • Noesunapirámide,suscaras

lateralesnosontriángulos. Cuerpoamarillo: • Esunpoliedro,suscarasson

polígonos. • Esunprisma,tienedosbases

igualesyparalelasysuscaraslateralessonrectángulos.

• Noesunapirámide,suscaraslateralesnosontriángulos.

4 Cuerponaranja:5caras,6vérticesy9aristas. Cuerpoamarillo:6caras,8vérticesy12aristas.

5 Compruébeloencomúnen algunoscasosconlaclase.

6 Cuboeicosaedro.

7 Cubo:6 3 8cm 3 8cm5384cm2Icosaedro:20 3 (10cm 3 8,7cm):255870cm2

8 • A52 3 8cm 3 4cm112 3 8cm 3 4cm112 3 4cm 3 4cm5160cm2V58cm 3 4cm 3 4cm55128cm3

• A52 3 p 3 (5dm)2112 3 p 3 5dm 3 8dm55408,2dm2V5 p 3 (5dm)2 3 8dm55628dm3

• A54 3 p 3 (3m)25113,04m2

V54 3 p 3 (3m)3:355113,04m3

Otras actividades

• Pidaalosalumnosquellevenaclasedistintosenvasesdeproductoscon formasvariadas.Dígalesquetomenenelloslasmedidasqueestimennecesariasyquecalculensusáreasysusvolúmenes(enalgunoscasospodráncomprobarsilohanhechobienapartirdelacapacidadrotuladaen elenvase).Enelcasodeenvasescuyasformasnoseanprismas,pirámidesocuerposredondos,pídalesquetratendeidearmétodosparacalcularsusáreasyvolúmenesaproximados(porejemplo,superponiendotrozosdepapelcuadriculado,llenándolosdeaguaymidiéndolaconuna probetamástarde…).

20

177

11

11 Piensa y dibuja.

Sara quiere hacer una caja cúbica y ha dibujado varios desarrollos. Identifica los que pueden formar un cubo y dibuja tú otros posibles.

12 Resuelve.

La gran pirámide de Keops tiene una base cuadrada de 230 m de lado y una altura de 136 m. La altura de sus caras laterales es de 178 m. ¿Cuál es el volumen de la pirámide? ¿Y su área?

Imagina un enorme cono con dimensiones muy similares a la gran pirámide: radio de 115 m, altura de 136 m y generatriz de 178 m. ¿Cuál sería su volumen? ¿Y su área? ¿Son mayores o menores que los de la pirámide?

En un cubo de 20 cm de arista se han metido 8 esferas de 5 cm de radio. ¿Qué volumen del cubo queda vacío?

13 Piensa y resuelve.

En la fábrica de batidos tienen un gran depósito cilíndrico y están pensando en construir otro de forma diferente.

El depósito cilíndrico está lleno de batido de chocolate. Tiene 10 m de altura y el radio de su base es la mitad. ¿Cuántos litros hay en el depósito?

El contenido del depósito se usará para rellenar bricks cuyas dimensiones son 6 cm, 4 cm y 10 cm. ¿Cuántos llenarán?

En la fábrica dudan entre construir un depósito cúbico con 15 m de arista o uno esférico con 15 m de diámetro, ambos de chapa metálica. ¿En cuál se gastará más chapa metálica para construirlo? ¿Cuál podrá contener más batido?

14 Jaime ha pintado de rojo una esfera de 10 cm de radio y la ha cortado en 4 partes iguales. ¿Cuál es el área roja y el volumen de cada parte?

Demuestra tu talento

Problemas

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 17 12/02/2015 17:18:15

UNIDAD 11

9 • A 5 12 cm 3 12 cm 1 1 4 3 (12 cm 3 10 cm) : 2 5 5 384 cm2

V 5 (144 cm2 3 8 cm) : 3 5 5 384 cm3

• A 5 p 3 (9 cm)2 1 1 p 3 9 cm 3 15 cm 5 5 678,24 cm2 V 5 p 3 (9 cm)2 3 12 cm : 3 5 5 1.017,36 cm3

10 Su área es 4 veces mayor y su volumen es 8 veces mayor.

11 Forman un cubo las figuras roja y amarilla.

12 • A 5 134.780 m2 V 5 2.398.133,33 m3

• A 5 105.802,3 m2 V 5 1.882.534,66 m3 Su área y su volumen son menores que los de la pirámide.

• VCUBO 5 (20 cm)3 5 8.000 cm3 VESFERA 5 4 3 p 3 (5 cm)3 : 3 5 5 523,33 cm3

VESFERAS 5 8 3 523,33 cm3 5 5 4.186,66 cm3

VVACÍO 5 3.813,33 cm3

13 • V 5 p 3 (5 m)2 3 10 m 5 5 785 m3 5 785.000 ℓ

• V 5 6 cm 3 4 cm 3 10 cm 5 5 240 cm3 5 0,24 ℓ 785.000 : 0,24 5 5 3.270.833,33 Llenarán 3.270.833 bricks y sobrarán 0,08 ℓ.

• ACUBO 5 6 3 (15 m)2 5 1.350 m2 AESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m)2 5 5 706,5 m2

VCUBO 5 (15 m)3 5 3.375 m3 VESFERA 5 4 3 p 3 (7,5 m)3 : 3 5 5 1.766,25 m3

Se gastará más chapa en construir el cubo y contendrá más batido.

Demuestra tu talento14 El área roja de cada parte es la

cuarta parte del área de la esfera, ya que las cuatro partes son iguales. El volumen también es la cuarta parte.

AROJA 5 p 3 (10 cm)2 5 314 cm2 V 5 p 3 (10 cm)3 : 3 5 5 1.046,66 cm3

Competencias

• Competencia social y cívica. El contexto de la actividad 13 permite entablar una charla con los alumnos sobre distintos valores sociales y cívicos.Puedecomentaraspectoscomolaimportanciadelasmedidasde seguridad en el trabajo, el respeto por todas las profesiones, la necesidad de realizar nuestras tareas siempre de forma responsable y correcta, la conveniencia de trabajar en equipo en tareas difícilesycomplejas…Pídalesqueaportensuspropiasideas y experiencias.

21

178

Diseñar envases

En la empresa de Laura trabajan en en el diseño de nuevos envases. Sus clientes les dan las dimensiones de los objetos que quieren envasar, o bien las condiciones que deben cumplir los envases, y ellos les presentan distintas opciones para que elijan la que prefieran.

Laura está ahora resolviendo varios encargos. Ayúdala con lo que has aprendido en la unidad.


Laura debe presentar a Lácteos Martínez, una empresa que vende leche, distintos modelos de envases. Ha preparado estas opciones:

Halla el área de cartón plastificado que necesita cada envase y su capacidad. ¿Qué envase crees que es mejor para la empresa? Razona tu respuesta.

Una empresa de productos deportivos quiere diseños de envases para pelotas de petanca. El diámetro de cada una es 8 cm y cada envase albergará tres.

Opción 1 Cilindro Opción 2 Ortoedro

Radio: 4 cm 8 cm 3 8 cm 3 24 cm

Altura: 24 cm

Halla el área de plástico que necesita cada envase. ¿En qué envase queda más volumen vacío? ¿Qué envase es mejor?

2 TRABAJO COOPERATIVO. Pensad e investigad.

Junto con tu compañero, dibujad distintas posibilidades de envases con forma de ortoedro para albergar 6 pelotas de petanca como las de arriba. Calculad el área de plástico usada en cada opción y el volumen vacío que queda en el envase.

SABER HACER

Envase modelo A

Ortoedro

Base: 4 cm 3 10 cmAltura: 25 cm

Envase modelo B

Ortoedro

Base: 5 cm 3 10 cmAltura: 20 cm

Envase modelo C

Cubo

Arista: 10 cm

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 18 12/02/2015 17:18:18

Inteligencia

interpersonal

Propósitos • Desarrollarlacompetenciamatemáticaresolviendoproblemasreales.

• Repasarcontenidosclave.

Actividades pág. 1781 • ModeloA:

A5780cm2V51.000cm351ℓ

ModeloB:A5700cm2V51.000cm351ℓ

ModeloC:A5600cm2V51.000cm351ℓ

Todostienenigualcapacidad.Elección:R.L.

• Opción1:A5703,36cm2VVACÍO5401,92cm3

Opción2:A5896cm2VVACÍO5732,16cm3Elección:R.L.

2 R.L.

Actividades pág. 1791 • Treintamillonescuarentaycinco

mildoscientostres.

• Cuatrocientosdosmillonesochocientosmilnovecientosveinte.

• 27unidadesy803milésimas.

• 134unidadesy99centésimas.

2 • 5 3 102

• 79 3 102

• 2.506 3 10

3 • 3, 14,4

• 7, 57,8

• 8, 79,9

• 9, 99,10

4 • 1,2,3,4,6,12,24

• 80

• 2

Desarrollo de la competencia matemática

• LaaplicacióndelasMatemáticasauncontextorealycreativocomoel mundodeldiseñopermiteundesarrollomotivadordeestacompetencia.Esmuyimportante,alahoradeltrabajocooperativo,quelosalumnosde cadagrupoplanifiquendeformacuidadosaelprocesoquevanaseguirparaobtenerlasposiblesconfiguracionesdelenvaseylascaracterísticasde cadauna.Pídalestambiénquerazonenquéposibilidadcreenqueesla mejor.

22

179

REPASO ACUMULATIVO

1 Escribe cómo se lee cada número.

30.045.203 27,803

402.800.920 134,99

2 Expresa usando potencias de 10.

500 7.900 25.060

3 Calcula entre qué números está cada raíz cuadrada.

• 14 • 57 • 79 • 99

4 Calcula.

Todos los divisores de 24.

m.c.m. (8, 10 y 16)

m.c.d. (4, 12 y 14)

5 Ordena de menor a mayor cada grupo.

115

188

2,4 2,139

152

7,49 7,488 375

6 Expresa en la unidad indicada.

En dm: 0,5 km; 6 dam y 150 mm

En cl: 5.200 ml; 0,03 hl y 4 dal

En hg: 0,007 t; 3,2 kg y 2.900 cg

En h: 540 min; 43.200 s

En m2: 0,07 hm2; 5 dam2 y 800 cm2

7 Completa en tu cuaderno.


Un mueble de 2 m de longitud mide en un plano 4 cm. ¿A qué escala está hecho ese plano?

11 Lidia pagó 120 € por 4 cajas de manzanas de 15 kg cada una. Si el precio del kilo es el mismo, ¿cuánto habría pagado por 7 cajas de 20 kg cada una?

12 Concha ha hecho un viaje de 540 km. Sabe que, cada 100 km, gasta 7,1 ℓ de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina ha gastado?

13 En un depósito hay 5 kl y 4 hl de un líquido. En total pesan 4,86 t. ¿Cuántos kg pesarán 7 hl de ese líquido?

14 Si una parcela de 5 ha se divide en 8 trozos iguales, ¿cuántos dam2 tiene cada trozo?

15 En la piscina de Leo caben 12 m3 de agua. Ahora hay 4.000 ℓ. ¿Cuántos dm3 más caben?

9 Silvia contestó ayer 400 correos. Un quinto eran de compañeros suyos, el 60 % de clientes y el resto de su directora. ¿Cuántos correos de su directora contestó ayer?

10 Martín tenía un depósito de 5 hm3. Lo amplió y el volumen actual es un 20 % mayor. ¿Cuántos litros caben en el nuevo depósito?

Problemas

11

0,004 hm3 5 … m3

45.000 m3 5 … dam3

2.800 dam3 5 … hm3

1,5 dm3 5 … ℓ

80 cm3 5 … cl

4.000 ℓ 5 … m3

ES0000000001195 462607_U11_18705.indd 19 12/02/2015 17:18:21

UNIDAD 11

5 • 2,139 , 511

, 8

18 , 2,4

• 537

, 7,488 , 7,49 , 2

15

6 • 5.000 dm; 601,5 dm

• 520 cl; 4.300 cl

• 70 hg; 32,29 hg

• 9 h; 12 h

• 700 m2; 500,08 m2

7 4.000 m3

45 dam3

2,8 hm3

1,5 ℓ

8 cl

4 m3

8 200 : 4 5 50 La escala es 1:50.

9 1/5 de 400 5 80 60 % de 400 5 240 400 2 80 2 240 5 80 Contestó 80 correos de su directora.

10 5 hm3 1 20 % de 5 hm3 5 5 6 hm3 5 6.000.000.000 ℓ Caben seis mil millones de litros.

11 120 : (4 3 15) 5 2 Cada kilo cuesta 2 €. 7 3 20 3 2 5 280 Habría pagado 280 €.

12 540 : 100 5 5,4 5,4 3 7,1 5 38,34 Ha gastado 38,34 ℓ.

13 4.860 : 5.400 5 0,9 Un litro pesa 0,9 kg. 700 3 0,9 5 630 Pesarán 630 kg.

14 500 : 8 5 62,5 Cada trozo tiene 62,5 dam2.

15 12 m3 5 12.000 ℓ 12.000 2 4.000 5 8.000 Caben 8.000 ℓ más, es decir, 8.000 dm3.

Notas

Repaso en común

• UnavezrealizadaslasactividadesdelapáginadeRepaso,preguntea los alumnosconcuáleshantenidomásdificultadesydequétipohansidoestas.Repaselosprocedimientosyconceptosimplicadosenellasy propóngalesotrassimilaresparaasentarbientodoslosconocimientosdel curso.Tambiénpuedepedirlesaellosqueproponganesasactividadesextraderepasoasuscompañeros.

23

Estadística y probabilidad12

Contenidos de la unidad

SABERESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

• Variables estadísticas.

• Frecuencias absolutas y relativas.

• Media, mediana, moda y rango.

• Probabilidad.

SABER HACER

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

• Reconocimiento del concepto de variable estadística.

• Diferenciación entre variables estadísticas cuantitativas y cualitativas.

• Recuento de datos y obtención de tablas de frecuencias, calculando frecuencias absolutas y frecuencias relativas.

• Cálculo de la media aritmética y la moda de un conjunto de datos.

• Cálculo de la mediana y el rango de unos datos.

• Obtención de la probabilidad de distintos sucesos aleatorios.


• Determinación de varias soluciones a un problema.

• Resolución de problemas llevando a cabo un diagrama de árbol.

TAREA FINAL • Realizar un control de calidad.


• Valoración de la importancia del orden en el recuento de datos.

• Interés por presentar los datos y los resultados de una investigación de forma limpia y ordenada.

24






• Evaluación de contenidos. Unidad 12: pruebas de control B y A.







• Proyecto del tercer trimestre.





Aprendizaje eficaz






RECURSOS DIGITALES

LibroMedia


LibroNet

MATERIAL DE AULA

Láminas


Cuaderno del alumno

• Tercer trimestre. Unidad 12.

Solución de problemas. Método DECA

Abril JunioMayo

ES0000000001195 462607_Matematicas_6-3_20762

PRIMARIA

PRIMARIA

Ma

tem

áti

ca

s Matemáticas

Tercer trimestre

Matemáticas

Tercer trimestre

PRIMARIA

Tercer

trim

est

re


26/01/2015 11:48:22


PR

IMA

RIA

MatemáticasTercer trimestre

MatemáticasTercer trimestreP

RIM

AR

IA

CUADERNO

CUADERNO


25

Propósitos• Reconocer situaciones reales

donde aparecen medias de una magnitud.

• Recordarlosconceptosbásicosnecesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades• Enladiferenciacióndefrecuenciasabsolutasyfrecuenciasrelativas,señale que las primeras son un númeronatural,mientrasquelassegundassonfracciones.Trabajesiempreelcálculosimultáneode ambostiposdefrecuencias.

• Enelreconocimientodelasdistintas medidas estadísticas yelprocesoquesesigueparacalcularcadauna,dejeclaroel conceptodecadamedidayconquétipodedatospuedeobtenerse.Trabajeprimeroelcálculoconconjuntosdedatossencillosy luegocondatosmáscomplejos(datosrepetidos,datosdecimales…).Tieneespecialinteréseltrabajoconconjuntosdedatosconvariasmodas(conceptodifícilpara los alumnos).

Trabajo colectivo sobre la láminaPida a un alumno que lea la lecturaypreguntealaclasequésignificalapalabramedia. Pídales queaportenejemplospropiosde contextos en los que aparezca.

1 Laestaturamediaseobtienesumando todas las estaturas y dividiendoentreeltotalde datos. Nos da una idea del valorcentraldeesamagnitud.

No quiere decir que todas midiesenlomismo,esunamedidaquenosayudaa obtenerunaideadelvaloren tornoalcualestánsituadoslos datos.

2 Enungrupopequeñosíesposiblerealizaruncálculodirecto,midiendoatodas


• Pidaalosalumnosquebusqueneneldiccionariolapalabra«estadística»y comentesussignificados.Muestrequeenlasociedadactualesunaherramientaimportanteparaconocerlaopiniónpúblicayparapodertomardecisionesdetipocomercial.Dígalesqueaportenejemplosdeinformacionesque podrían determinarse mediante estudios estadísticos.

• Solicitealosalumnosquebusquenyrecorten(enperiódicosorevistas)noticiasenlasqueaparezcanresultadosestadísticos.Después,hagauna puestaencomúnsobrequésehaestudiado,losresultadosquesehan obtenido,quésignifican.

180

12 Estadística y probabilidad

¿Cómo ha evolucionado la estatura media de los seres humanos?

A lo largo de la historia, la estatura media del ser humano ha sufrido cambios debido a distintos factores, generalmente la alimentación y las condiciones sanitarias.

En el Imperio romano, los hombres más altos eran reclutados para la guardia del emperador y su estatura media no superaba 1,76 m. La estatura media del ciudadano romano era de 1,65 m.

Durante los siguientes siglos la caída en la calidad y cantidad de alimentos provocó un descenso de la estatura media.

Las armaduras de la Edad Media muestran que la estatura media era de 1,60 m y en el siglo XVIII los uniformes de soldados indican que no llegaban a 1,60 m.

Desde finales del siglo XIX hasta hoy las condiciones sanitarias y las mejoras alimentarias han hecho que la estatura media haya aumentado considerablemente.

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 20 12/02/2015 17:17:35

26

UNIDAD 12

las personas y obteniendo la media. En un grupo grande no es operativo, y se suele tomar una muestra representativa de la población.

3 Si son todos más altos, la estatura media aumentará.

4 Solo es posible obtener la media de variables que sean numéricas, ya que es necesario realizar una operación para obtenerla. Se puede obtener en estaturas, pesos, notas…, y no se puede en color favorito, mes de nacimiento…

¿Qué sabes ya?La técnica de agrupación de datos y recuento y el cálculo de la media son contenidos importantes para abordar con éxito la unidad. Asegúrese de que los alumnos los conocen y dominan.

1 • Dato:6,númerodeveces:2. Dato:7,númerodeveces:5. Dato:8,númerodeveces:2. Dato:9,númerodeveces:3.

• Dato:3,númerodeveces:5. Dato:4,númerodeveces:3. Dato:5,númerodeveces:4.

2 • Media513

• Media54

• Media52

• Media55

Notas

Competencias

• Competencia lingüística. En la actividad de Expresión oral, los alumnos debensercapacesderazonarsusopinionesdeformaclara.Anímelosa utilizar en la medida de lo posible términos matemáticos.

• Aprender a aprender. Comente con los alumnos los conocimientos queyateníandecursosanterioressobreestadísticayprobabilidad. Señale que en esta unidad van a seguir avanzando en ellos. Hágalessiempreconscientesdequeelaprendizajeesunproceso continuo.

181


1 ¿Qué quiere decir estatura media? ¿Significa que todas las personas miden lo mismo?

2 EXPRESIÓN ORAL. Explica cómo calcularías la estatura media de tu grupo de amigos y la de los habitantes de tu Comunidad Autónoma. ¿Puede hacerse de la misma forma?

3 Si a una clase de 6.º llegan varios nuevos alumnos más altos que todos los que hay ahora, ¿qué ocurrirá con la estatura media?

4 ¿Puedes calcular la media de cualquier característica? Di ejemplos de algunas en las que sí sea posible y de otras en las que no se pueda hallar.

¿Qué sabes ya?

TAREA FINAL


Al final de la unidad harás un control de calidad. Antes, trabajarás con la estadística y la probabilidad.

SABER HACER

Agrupación de datos en una tabla

Si tenemos que hacer cálculos con muchos datos, hay que contar cuántas veces aparece cada dato y después agrupar los resultados en forma de tabla.

Los puntos en 18 tiradas de dados son:

6, 2, 4, 3, 1, 5, 3, 1, 3, 4, 4, 3, 1, 3, 4, 6, 3, 4

Recuento:

1 III 3 veces

2 I 1 vez

3 IIII I 6 veces

4 IIII 5 veces

5 I 1 vez

6 II 2 veces

1 Haz el recuento y agrupa cada grupo de datos en una tabla.

6, 8, 9, 7, 8, 6, 7, 9, 7, 9, 7, 7

3, 5, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 4

Cálculo de la media

Para calcular la media de un grupo de números, sigue estos pasos:

1.º Suma todos los datos.

3 1 5 1 8 1 4 1 9 1 7 5 36

2.º Divide la suma entre el número de datos.

366

5 6

La media es 6.

2 Calcula la media de cada grupo de números.

10, 8, 12, 15, 20

2, 3, 5, 7, 6, 2, 4, 3

1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3

4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6

3 5 8 4 9 7

Puntuación N.º de veces

1 3

2 1

3 6

4 5

5 1

6 2

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 21 12/02/2015 17:17:39

Inteligencia

lingüística

27

Propósitos• Diferenciarentrevariablesestadísticascuantitativasyvariablescualitativas.

Sugerencias didácticasPara explicar.Dejeclarala caracterizacióndelostiposde variablesquepuedeestudiarla estadística:lasvariablescuantitativastienencomorespuestavaloresnuméricos,ylascualitativas,valoresquenosonnuméricos,sinode otrotipo.Pidaalosalumnosqueaportenalgúnejemplodecadatipode variable.

Para reforzar.Pidaalosalumnosquebusquenencuestasendistintasfuentes.Después,hagaunapuestaen comúncomentandolasvariablesquesehanestudiadoydequétiposon.

Actividades1 • Edad:cuantitativa.

• Nacionalidad:cualitativa.

• Comidafavorita:cualitativa.

• Peso:cuantitativa.

• Estatura:cuantitativa.

• Colordelosojos:cualitativa.

2 R.L.

3 • Deportefavorito;cualitativa.

• Colorfavorito;cualitativa.

• Númerodehermanos;cuantitativa.

• Frutafavorita;cualitativa.

• Dineroahorrado;cuantitativa.

Notas

Otras actividades

• Formegruposdetresocuatroalumnosypídalesqueelaborenunabateríadepreguntascuyasrespuestaspodránserdetipocuantitativoocualitativosegúnunadescripcióndadaporusted(porejemplo,3variablescuantitativasy4cualitativas).Cadagrupoentregarásuspreguntasaotrogrupoparaque lasresponda(analizandoprimerosielnúmerodevariablesdecadatipo eselindicadoporusted).

• Unavezrecopiladaslasrespuestasalaspreguntasanteriores,cadagrupodealumnosdeberárealizarunatablacalculandolasfrecuenciasabsolutasy lasfrecuenciasrelativascorrespondientesalosdatosobtenidos.

182

Paco trabaja en una agencia de viajes y quiere tener más información sobre los gustos y costumbres de los viajeros. Por eso, ha hecho una encuesta a varias personas sobre su último viaje. Como las preguntas son variadas, ha obtenido datos de distintos tipos.

La estadística se encarga de extraer información de los datos. El lugar visitado, la duración del viaje, el precio, el medio de transporte utilizado… son variables estadísticas. Hay de dos tipos:

Pregunta: ¿Cuántos días duró el viaje? Respuestas: 5, 20, 7, 14… Todas las respuestas son números. La duración de un viaje es una variable cuantitativa.

Pregunta: ¿Qué medio de transporte utilizó en el viaje? Respuestas: avión, coche, tren… Las respuestas no son números. El medio de transporte utilizado es una variable cualitativa.

1 Escribe qué pregunta harías para obtener información sobre cada variable y di si la variable es cuantitativa o cualitativa.

La edad. El peso.

La nacionalidad. La estatura.

La comida favorita. El color de los ojos.

2 Escribe tres variables cuantitativas y tres variables cualitativas.

3 Observa cada grupo de respuestas y escribe cuál puede ser la variable estadística y de qué tipo es.

8, 5, 7, 9, 5

fútbol, baloncesto, fútbol, tenis, kárate

rojo, azul, verde, rosa, azul

1, 2, 0, 1, 1

sandía, melón, ciruela, pera, piña

65, 32, 40, 89, 23

Variables estadísticas

La estadística recoge datos para extraer información de ellos.

Las variables estadísticas pueden ser cuantitativas (tienen valores numéricos) o cualitativas (tienen valores no numéricos).

RECUERDA

Piensa si las respuestas son numéricas o no.

La edad: ¿Cuántos años tienes? Es una variable cuantitativa.EJEMPLO

8, 5, 7, 9, 5

Variable estadística: notas de un examen. Tipo de variable: cuantitativa.

EJEMPLO

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28

UNIDAD 12

Propósitos• Diferenciarycalcularlasfrecuenciasabsolutasyrelativasdeunconjuntodedatos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Señalequelasfrecuenciasabsolutassonnúmerosy lasfrecuenciasrelativassonfracciones.

Muestrequelasumadelasfrecuenciasabsolutasessiempreigualalnúmerototaldedatos,ylasumade lasfrecuenciasrelativasesiguala1.

Para reforzar.Presentealosalumnostablasdefrecuenciasincompletas,enlasquetenganque rellenaralgunasceldasapartirde losdatosdeotrasceldasydelnúmerototaldedatos.

Actividades1 Perro;7,7/12.

Gato;4,4/12.Conejo;1,1/12.

• Lasumadelasfrecuenciasabsolutases12.Coincidecon eltotaldedatos.

• Lasumadelasfrecuenciasrelativases1.

2 R.L.


• 2

• 7

• 100

• 90

• 60

• 1.000

• 2.000

• 3.000

Notas

Otras actividades

• Pidaalosalumnosquerealicencálculosdefrecuenciasabsolutasyfrecuenciasrelativasdedatosobtenidosalazaromedianteexperimentación.Porejemplo:

– Anotareltercerdígitodelnúmerodeteléfonodetodoslosalumnosdelaclaseyestudiarlasfrecuenciasdelascifras.

– Lanzarunamonedaoundado10vecesyobtenerlasfrecuenciasdelosposiblesresultados.Siagrupaalosalumnosparaquerealicenel experimento,puedecomentarluegolasdiferenciasentrelasfrecuenciasdelosdatosdecadagrupoylasfrecuenciasdelosdatosglobalesdela clase(lasfrecuenciasrelativasdeestosúltimostomanvaloresmuysimilaresalaprobabilidaddecadaresultadoposible).

183

12

Isabel ha preguntado a 10 compañeros qué número de calzado usaban y ha anotado sus respuestas.

Observa el dato 34:

Aparece 3 veces. La frecuencia absoluta de 34 es 3.

En total hay 10 datos. La frecuencia relativa de 34 es 3

10.

Isabel cuenta las veces que aparece cada dato y construye la tabla de frecuencias.

Suma: 10 (número total de datos)

Suma: 1010

5 1

Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

1 Completa en tu cuaderno la tabla de frecuencias. Después, contesta.

Iván ha anotado la mascota favorita de sus doce amigos:

perro gato perro conejo

perro perro gato perro

gato perro perro gato

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿Con qué coincide?

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?

2 Tira un dado 10 veces y construye la tabla de frecuencias de los resultados. Lanza una moneda 12 veces y construye también la tabla de frecuencias.

Cálculo mental

20 % de 5 20 % de 500 20 % de 5.000

20 % de 10 20 % de 450 20 % de 10.000

0,2 3 35 0,2 3 300 0,2 3 15.000

Calcula el 20 % o multiplica por 0,2: divide entre 5

45 : 5 5 920 % de 45

0,2 3 45

La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que aparece.

La frecuencia relativa de un dato es el cociente entre el número de veces que aparece dicho dato y el número total de datos.

Mascota perro

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Número de calzado 34 35 36 37

Frecuencia absoluta 3 4 2 1

Frecuencia relativa3

104

102

101

10

Número de calzado

34 35 37 34 3535 36 35 36 34

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Inteligencia

naturalista

29

Propósitos• Calcularlamediaaritméticade variosdatosnuméricos.

• Determinarlamodaolasmodasde un conjuntodedatos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comenteelprocesoquehayque seguirparahallarlamediacondatosagrupados.Muestrelaimportanciade analizarlosdatosantesdecalcularparasabersiesnecesarioagruparlosprimero.Señalequelamediasecalculasolocondatosnuméricosy quenotieneporquécoincidirconalgunodelosdatos.

Indiquequelamodaeseldatoolosdatosconmayorfrecuenciaabsoluta.Dejeclaroquepuedehaberningunamoda,unamodaomásdeuna,dependiendodelconjuntodedatos.Muestrequelamodapuedecalcularseseanlosdatoscuantitativosocualitativos.

Para reforzar.Pidaalosalumnosquecreenconjuntosdedatosquecorrespondanaunadescripciónbasadaenlamediaylamodasimultáneamente.Porejemplo,solicitequeescribanunconjuntodecincodatosconmedia3ymodas1y5.

Actividades1 Media52

Moda52

• Lamediaylamodacoinciden.

• Nocoincidensiempre.

2 • Media56.Moda57

• Media53.Moda52

• Media510.Moda510

3 • Hay25alumnos.

• Mayorfrecuenciaabsoluta:7.Correspondeaxilófonoyflauta.Lasmodassonxilófonoyflauta,hay2modas.

• Nosepuedecalcularlamedia,yaquelavariablenoesnumérica.

Otras actividades

• Formegruposdetresalumnos.Pidaacadagrupoquepregunteadiezpersonassupeso(enkg)ysuestatura(encm).Deberánanotarlos resultados,tabularlos,calcularlasfrecuenciasabsolutasyrelativasy, después,lamediadelospesosydelasalturas.Realiceunapuestaen comúnparacomentarlosresultadosyhágalesobservarqueambasmediasdependendelaspersonasalasquehayanpreguntado(sisonniños,sisonadultos…)y delosvaloresextremosdelconjuntodedatos.

184

Media y moda

1 Calcula la media y la moda. Después, contesta.

Rocío ha anotado en la tabla el número de canastas que metió cada jugadora de su equipo en un partido.

¿Coinciden la media y la moda de los datos?

¿Deben coincidir siempre estos dos valores?

2 Calcula la media y la moda de los siguientes grupos de números.

3, 10, 7, 7, 4, 5

1, 5, 2, 4, 2, 3, 5, 2

10, 5, 15, 10, 20, 5, 10, 10, 5, 10

El entrenador ha anotado el peso de los 12 jugadores del equipo. Como algunos se repiten, agrupa los datos en la siguiente tabla:

¿Cuál es el peso medio?

Calcula la media de los datos:

1.º Multiplica cada dato por su frecuencia absoluta y suma los productos.

62 3 2 1 63 3 1 1 64 3 4 1 65 3 5 5 5 124 1 63 1 256 1 325 5 768

2.º Divide la suma entre el número de datos.

N.º de datos: 2 1 1 1 4 1 5 5 12 768 : 12 5 64

El peso medio es 64 kg.

¿Cuál es el peso que más se repite?

El dato que más se repite es 65, porque es el que tiene mayor frecuencia absoluta (5). Este dato se llama moda.

La moda de los pesos es 65 kg.

La media de un grupo de datos se obtiene al dividir la suma de los productos de cada dato por su frecuencia absoluta, entre el número total de datos.

La moda es el dato (o datos) con mayor frecuencia absoluta.

Peso en kilos 62 63 64 65


Número de canastas

0 1 2 3 4

Frecuencia absoluta

1 2 4 2 1

PRESTA ATENCIÓN

Si hay datos repetidos, agrúpalos en una tabla.

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30

UNIDAD 12

4 Respuesta modelo (R. M.).

• 2, 7, 11, 12

• 10, 10, 8, 8, 14

• 1, 2, 4, 4, 4, 7

• 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

5 • Precio medio: 16 €. Moda: 12 €.

• Distancia media: 3,5 km.

Saber másSi la media de los cuatro números es 8, eso quiere decir que su suma es igual a 4 3 8 5 32. Por tanto, la suma de los cinco números será: 32 1 3 5 35, y la media de los cinco será: 35 : 5 5 7.

Razonamiento• Pueden ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

• Menor valor: 1 (si todos los resultados son 1). Mayor valor: 6 (si todos los resultados son 6).

• Puede ser un número que no haya salido; si saca cinco veces 2 y cinco veces 6, la media será 4. Puede ser también un número decimal; si saca cinco veces 1 y cinco veces 2, la media será 1,5.

Notas

Otras actividades

• Pida a los alumnos que calculen la moda o las modas de los resultados de los experimentos realizados en el apartado Otras actividades de la página 29.

• Proponga a los alumnos actividades que les permitan profundizar sobre el número máximo de modas que puede tener un conjunto de datos, en función de cuántos datos haya. Por ejemplo, tras realizar la actividad 4, pídales que intenten escribir un conjunto de 8 datos con 1 moda, 2 modas, 3 modas...

185

12

3 Observa la tabla de frecuencias absolutas y contesta.

En clase de Música han anotado el número de alumnos que tocan cada instrumento.

¿Cuántos alumnos hay en la clase de Música?

¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta? ¿Qué datos la tienen? ¿Cuáles son las modas? ¿Cuántas hay?

¿Puedes calcular la media de los datos? ¿Por qué?

4 Piensa y escribe.

Cuatro números cuya media sea 8.

Cinco números cuya media sea 10.

Seis números cuya moda sea 4.

Siete números que tengan dos modas.

Problemas

5 Resuelve.

Mila ha comprado varios libros de estos precios (en €):

10 12 26 12 16 12 20 16 20

¿Cuál es el precio medio de los libros? ¿Cuál es la moda de los precios?

Elisa ha hecho esta semana varios recorridos en bici. Las distancias en kilómetros han sido:

3,2 5,4 1,6 4,5 2,8

¿Cuál es la distancia media de los recorridos?

Piensa y contesta.

David lanza un dado 10 veces y anota los resultados.

¿Qué valores pueden tener los datos?

¿Cuál es el menor valor que puede tener la media? ¿Y el mayor?

¿Puede ser la media un número que no le haya salido ninguna vez? ¿Puede ser un número decimal?

Razonamiento

La media de cuatro números es 8. Si añadimos un 3, ¿cuál es la media de los cinco números?

SABER MÁS

Instrumento Frecuencia

Pandero 5

Xilófono 7

Platillos 3

Flauta 7

Claves 3

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31

186

Mediana

1 Calcula la mediana de cada grupo de números.

5, 8, 6 10, 14, 7, 15

2, 9, 18, 2, 15 20, 30, 60, 20, 50, 60

7, 3, 4, 2, 3, 4, 9 8, 5, 6, 10, 12, 5, 10, 11

2 Piensa y escribe.

Cinco números cuya mediana sea 10.

Seis números cuya mediana sea 8.

3 Resuelve.

Begoña ha comprado 5 camisetas para sus sobrinos, de las tallas 3, 4, 5, 8 y 10 años. ¿Cuál es la media de estas tallas? ¿Y la mediana?

Carlos tiene en el jardín 4 cubos llenos de agua, de 25 ℓ, 16 ℓ, 32 ℓ y 27 ℓ de capacidad. ¿Cuál es la media de estas capacidades? ¿Y la mediana?

PRESTA ATENCIÓN

Al ordenar los datos, escribe todos los números aunque se repitan.

Patricia ha cortado tiras de papel para adornar un farolillo:3 tiras azules de 25 cm, 15 cm y 20 cm, respectivamente,y 4 tiras rojas de 12 cm, 18 cm, 14 cm y 16 cm.¿Cuál es la mediana de las longitudes de las tiras azules?¿Y de las tiras rojas?

Para calcular la mediana de las 3 tiras azules:

1.º Ordena los datos.

2.º Busca el dato que ocupa el lugar central.

15 20 25

Dato central

La mediana es 20 cm.

Para calcular la mediana de las 4 tiras rojas:

1.º Ordena los datos.

2.º Busca los dos datos centrales y calcula su media.

12 14 16 18

Datos centrales

La mediana es 15 cm.

La mediana de un grupo con un número impar de datos es, una vez ordenados, el dato que ocupa el lugar central.

La mediana de un grupo con un número par de datos es, una vez ordenados, la media de los dos datos centrales.

14 1 16

2 5 15

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Propósitos • Calcular la mediana de un conjunto de datos.

Sugerencias didácticasPara explicar. Señale la necesidad de ordenar los datos antes de calcular la mediana. Haga hincapié en que deben considerar todos los datos, aunque estén repetidos.

Comente con los alumnos que la mediana es un parámetro interesante, ya que nos permite afirmar que el 50 % de los datos está por encima de él y el 50 % por debajo, mientras que con la media no podemos saber nada sobre la distribución de los valores de los datos.

Para reforzar. Escriba en la pizarra ejemplos (unos correctos y otros no) de cálculo de medianas. Pida a los alumnos que detecten los ejemplos que son erróneos y los corrijan.

Actividades1 • Mediana 5 6

• Mediana 5 9

• Mediana 5 4

• Mediana 5 12

• Mediana 5 40

• Mediana 5 9

2 R. M.

• 9, 9, 10, 11, 12

• 4, 6, 6, 10, 11, 12

3 • Media 5 6 años Mediana 5 5 años

• Media 5 25 ℓ Mediana 5 26 ℓ

Notas

Otras actividades

• Organice la clase en grupos de alumnos, de forma que en unos grupos el número de alumnos sea par y en otros impar. Indíqueles que cada miembro del grupo debe decir, por ejemplo, el número de días a la semana que realiza alguna actividad extraescolar. Deberán anotar los datos y calcular su mediana.

• Enuncie en voz alta cuatro números. Pida a los alumnos que añadan un número a esos cuatro, el que ellos elijan, y calculen la mediana de los cinco números obtenidos. Comente en común distintos resultados, y muestre cómo el valor de la mediana varía en función de la relación del número que ellos han elegido con los que usted había enunciado (si es mayor que ellos, si es menor, si está comprendido entre ellos…).

32

1 Calcula la media y el rango de cada grupo de datos.

12, 20, 5, 7 8, 10, 7, 8, 7 7, 9, 5, 9, 7, 11

15, 9, 16, 24 7, 5, 13, 5, 5 12, 9, 20, 14, 20, 15

2 Resuelve.

Alicia ha anotado los minutos que tardan en llegar los autobuses de dos líneas para ver cuál de las dos funciona mejor.

¿Cuál ha sido el tiempo medio de espera en cada línea? ¿Y el rango de los tiempos de espera?

¿En qué línea ha variado más el tiempo de espera de unos autobuses a otros? ¿En cuál el rango es mayor?

187

12Rango

1 Calcula la media y el rango de cada grupo de datos.

12, 20, 5, 7 8, 10, 7, 8, 7 7, 9, 5, 9, 7, 11

15, 9, 16, 24 7, 5, 13, 5, 5 12, 9, 20, 14, 20, 15

2 Resuelve.

Alicia ha anotado los minutos que tardan en llegar los autobuses de dos líneas para ver cuál de las dos funciona mejor.

¿Cuál ha sido el tiempo medio de espera en cada línea? ¿Y el rango de los tiempos de espera?

¿En qué línea ha variado más el tiempo de espera de unos autobuses a otros? ¿En cuál el rango es mayor?

Daniel está estudiando cómo varía la temperatura a lo largo del día en dos pueblos.

Calcula la temperatura media de cada pueblo.

Marazul 11 1 13 1 14 1 15 1 13 1 12

6 5 13

Campol 8 1 11 1 17 1 18 1 14 1 10

6 5 13

La temperatura media es igual en los dos pueblos.

Después, calcula el rango de los datos de cada pueblo. El rango es la diferencia del dato mayor y el menor.

Marazul

El dato mayor es 15 y el menor es 11.

15 2 11 5 4 El rango es 4.

Las temperaturas no varían mucho: los datos están próximos a la media.

Campol

El dato mayor es 18 y el menor es 8.

18 2 8 5 10 El rango es 10.

Las temperaturas varían bastante: algunos datos están lejos de la media.

El rango da idea de la proximidad de los datos a la media. Se calcula restando el dato menor al dato mayor.

Cálculo mental

25 % de 4 25 % de 800 25 % de 4.000

25 % de 12 25 % de 120 25 % de 8.000

0,25 3 40 0,25 3 320 0,25 3 16.000

Calcula el 25 % o multiplica por 0,25: divide entre 4

32 : 4 5 825 % de 32

0,25 3 32

Minutos de espera

Línea A Línea B

5

8

6

6

5

3

4

14

7

2

Temperaturas en ºC

Marazul 11 13 14 15 13 12

Campol 8 11 17 18 14 10

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UNIDAD 12

Propósitos • Hallarelrangodeunconjuntode datosnuméricos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Expliquequeelrangodaideadelaproximidaddelosdatosalamediayquesucálculoserealizarestandoeldatomenoralmayor.Repaseconsusalumnoslosparámetrosestadísticosestudiadosa lolargodelaunidadparaquequedenclaraslasdiferenciasentreellosyelmododecalcularlos.

Para reforzar. Propongaasusalumnosaveriguarelrangodelosgruposdedatoscomolasedadesde losmiembrosdesufamilia,latalladecalzadodelaclase…Dígalesquedeberánplanificarcómoobtenerlosdatosytabularlos,y despuésrealizarloscálculosparamostrarlosasuscompañeros.

Actividades1 • Media511.Rango513

• Media516.Rango515

• Media58.Rango53

• Media57.Rango58

• Media58.Rango56

• Media515.Rango511

2 • MedialíneaA56minRangolíneaA53minMedialíneaB56minRangolíneaB512min

• Lamediaeslamisma,peroel rangoesmuchomayoren la líneaB,alsermásvariableeltiempodeespera.


• 3

• 10

• 200

• 30

• 80

• 1.000

• 2.000

• 4.000

Notas

Competencias

• Competencia social y ciudadana. Lasituaciónplanteadaenlaactividad2,unestudiosobrelostiemposdeesperaendoslíneasdeautobuses,permiterealizarconlosalumnosundebatesobrevaloresrelacionadosconla competencia.Comente,porejemplo,laimportanciadecomportarsecorrectamenteenlosmediosdetransportepúblicosydecederelasientoa laspersonasquemásloprecisen,lanecesidaddepotenciarporpartede todoselusodeltransportepúblico…

33

188

Probabilidad

1 Calcula y escribe para cada caso la probabilidad correspondiente.

Manuel saca una fruta al azar.

Sacar una manzana roja.

Sacar una naranja.

Sacar una pera.

Sacar una manzana.

Sacar una fruta de color verde.

¿Qué fruta es más probable obtener: manzana, naranja o pera? ¿Cuál es la menos probable?

2 Calca en tu cuaderno y colorea para que las oraciones sean ciertas.

Hay bolas verdes, azules y rojas.

La probabilidad de sacar bola verde y azul es la misma.

Sacar bola roja es lo menos probable.

Hay bolas verdes, azules y rojas.

La probabilidad de sacar bola roja es mayor que un medio.

Sacar bola verde es el doble de probable que sacar bola azul.

Casos menores que 5Casos posibles

Estrella tiene un dado y lo lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea menor que 5?

El resultado al lanzar un dado depende del azar. No podemos saber qué resultado concreto saldrá, pero sí saber, para cada resultado, la probabilidad de que ocurra.

La probabilidad es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Casos favorables: 1, 2, 3, 4

Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Probabilidad de sacar un número menor que 5 46

La probabilidad de sacar un número menor que 5 es 46

.

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Propósitos• Calcularprobabilidadesde sucesos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Señalequelaprobabilidadesunamedidamatemáticadelaposibilidaddequeunsucesoocurra,peroquenosignificaqueesesucesovayaa tenerlugar,yaquelosfenómenosenlosqueseaplicasonaleatorios.Así,unaprobabilidadde2/3quieredecirque,enungrannúmerode repeticionesdeesefenómeno,2 decada3vecesocurriráesesuceso,peronoindicaqueen3 repeticionesesesucesoocurra2 vecesnecesariamente.

Definalaprobabilidadcomoun cocientemenorquelaunidad,e indiqueque,parapoderaplicarla fórmula,todoslossucesoselementalesdebentenerlamismaprobabilidad.Trabajeloscasosde sucesoscompuestos,formadosporlaunióndevariossucesoselementales(porejemplo,sacarreyocaballo)olanegacióndeunsuceso(nosacaroros),puestienenespecialcomplejidad.

Actividades1 • 3/11

• 2/11

• 2/11

• 7/11

• 6/11

Másprobable:manzana.Menosprobable:peraynaranja.

2 • 1bolaroja,2azulesy 2 verdes.

• 5bolasrojas,2verdesy 1 azul.

3 • 8/40

• 3/40

• 12/40

• 6/40

• 9/40

Otras actividades

• Dibujeenlapizarracuatroruletasdivididasendiezpartesiguales.Forme cuatrogruposdealumnosypidaquecadaunocoloreelibrementeunadelasruletasconcoloresrojo,azul,amarilloyverde.Entregueacadagrupocuatrotarjetasparaqueescribanenellas,confracciones,la probabilidaddequeensuruletasalgacadacolor.Mezclelasdieciséistarjetasypidaavariosalumnosque,pororden,cojanunatarjetaalazar,la muestrenydiganparaquéruletaoruletassecumpleloescritoenlatarjeta.

• Pidaalosalumnosqueproponganactividadessimilaresalaactividad2,de maneraquesuscompañerostenganquecompletarunarepresentacióngráficaquecumplaunasciertascondiciones(sedaránenfunciónde probabilidades).

34

2

189

12

3 Calcula cada probabilidad al sacar al azar una carta de una baraja española.

Un rey o un as.

Un caballo que no sea de bastos.

Un 3, un 4 o un 5.

Un as, un tres o un rey que sean de oros o copas.

Una figura que no sea de espadas.

Problemas

4 Resuelve.

Maite lanza 3 monedas diferentes. ¿Qué es más probable: sacar al menos una cara o sacar dos cruces?

Pedro y Bruno tienen una bolsa con tarjetas numeradas del 1 al 20. Sacan un número al azar. Gana Pedro si sale un divisor de 20 y gana Bruno si sale un número par mayor que 10. – ¿Es un juego justo? ¿Por qué? – ¿Qué probabilidad hay de que ganen los dos?

¿Y de que no gane ninguno?

En un espectáculo de magia hay 215 asistentes. Si se elige un espectador al azar, halla la probabilidad de que:

– Sea niño o niña. – Sea de sexo femenino.– No sea un hombre. – No sea chico o chica joven.– Sea adulto. – No sea hombre ni joven.

Piensa y contesta.

En un grupo de 16 personas que tienen mascota, la probabilidad de elegir a una persona que tenga

un perro es 1016

y la probabilidad de elegir una

que tenga un gato es 8

16. ¿Cómo es eso posible?

Razonamiento

Un dado tiene 4 caras con 2 puntos, 1 cara con 1 punto y 1 cara con 3 puntos.

Halla la probabilidad de que al lanzarlo salga:

– Un 2.– Un número par.– Un 1 o un 2.

SABER MÁS

Un rey o un asCasos favorables: 4 reyes y 4 ases, 8 en totalCasos posibles: 40 (n.º de cartas)

Probabilidad de un rey o un as: 840

EJEMPLO

70 niños65 niñas20 chicos jóvenes15 chicas jóvenes30 mujeres 15 hombres

ESPECTADORES

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UNIDAD 12

4 • P (al menos una cara) 5 7/8 P (dos cruces) 5 3/8 Es más probable sacar al menos una cara.

• P (gane Pedro) 5 6/20 P (gane Bruno) 5 5/20 No es un juego justo. P (ganen ambos) 5 1/20 P (ninguno gane) 5 10/20

• 135/215 110/215 200/215 180/215 45/215 165/215

Saber másP (un 2) 5 4/6

P (un número par) 5 4/6

P (un 1 o un 2) 5 5/6

RazonamientoEs posible porque hay 8 personas que tienen perro, 6 personas que tienen gato y 2 personas que tienen perro y gato.

Notas

Otras actividades

• Introduzcaenunacajacuatrotarjetasdecartulinaconlosnúmeros1,2,3y 4,respectivamente,ymuéstreselaalosalumnos.Expliquequevanajugarasacar,sinmirar,dostarjetasdelacajaalavez,yplanteelassiguientespreguntas,uotrassimilares,pararazonarycontestardeformacolectiva:

– ¿Cuáles son los resultados posibles de este juego? ¿Cuántos hay?

– ¿Quéprobabilidadhaydequelosnúmerosdelasdostarjetasquesaquesean el 3 y el 4?

– ¿Ydequeenunadelastarjetasquesaqueestéel1?

35

190

En un banco de alimentos han recogido 2.500 kg de comida. Un porcentaje lo han aportado supermercados, pero la mayor cantidad ha sido aportada por ciudadanos. ¿Cuántos kilos de comida han aportado los supermercados?

El problema tiene muchas soluciones posibles. Puedes dar un valor al porcentaje aportado por los ciudadanos. Fíjate bien en que debe ser mayor que el porcentaje aportado por los supermercados, es decir, debe ser mayor del 50 %. Con ese valor halla después la solución.

Porcentaje aportado por los ciudadanos: 80 %.

80 % de 2.500 5 2.000

2.500 2 2.000 5 500

Solución: Los supermercados han aportado 500 kg.

Da tú otro valor al porcentaje de los ciudadanos y halla la nueva solución.

Determinar varias soluciones a un problema


Halla dos soluciones para cada problema.

1 En una ruta de senderismo hubo 120 personas. Un quinto eran mayores, y del resto había más adultos que niños. ¿Cuántos adultos más que niños hubo?

2 Miguel tenía 250 €. Gastó un 60 % en comprar una cafetera y una batidora, y el resto lo usó para comprar una bicicleta. ¿Cuánto gastó en la cafetera menos que en la bicicleta?

3 Laura es mayor que su hermano Raúl. Dentro de 5 años, las edades de los dos sumarán 37 años. ¿Cuántos años es mayor Laura que Raúl?

4 Los dos tercios de las fotos hechas por Marisa eran de animales y el resto de plantas. De las fotos de animales, la mayoría eran fotos de aves y el resto de anfibios. Si Marisa hizo 120 fotos, ¿cuántas fotos de aves más que de plantas hizo?

5 Una página web tuvo 5.000 visitas. Menos de la mitad fueron de Europa, un 20 % más fueron de América y el resto de Asia. ¿Cuántas visitas tuvo de América más que de Asia?

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Propósitos • Obtenerdistintassolucionesdeunproblemavariandolosdatos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Trabajeelproblemaresueltoseñalandoquelasolucióndel problemavaavariarenfuncióndelvalorquedemosal porcentajeaportadoporlosciudadanos.Muestrelanecesidadde quelosdatosqueseinventenverifiquenlascondicionesdel resultadoytengansentidoen la situacióndelproblema.Llamela atenciónsobrelaimportanciade comprobarquelasoluciónobtenidatienesentido.

Actividades• Porcentajeaportadoporlosciudadanos:70%.70%de2.50051.7502.5002 1.7505750Lossupermercadoshanaportado750kg.

1 R.L.Comenteencomúnvariasdelaspropuestasdelosalumnosvalorandosucorrección.

2 R.L.

3 R.L.

4 R.L.

5 R.L.

Notas

Otras actividades

• Pidaalosalumnosqueformenpequeñosgruposyproponganproblemassimilaresalostrabajadosenlaspáginas190y191.Deberáncomprobar,antesdepasarlosasuscompañeros,queesposibleresolverlos.Realiceuna puestaencomúnconalgunosdeellos,verificandolacorreccióndelosplanteamientosy,enelcasodelosdiagramasdeárbol,quepuedenresolverseutilizandoesatécnica.

36

Resuelve estos problemas haciendo un diagrama de árbol.

1 ¿Cuántos caminos diferentes se pueden seguir para ir desde A hasta E?

2 Sole ha ido de compras. Está dudando entre las siguientes posibilidades: comprar una falda o un pantalón. Si elige la falda, puede ser azul o verde. Si elige el pantalón, puede ser corto o largo. Hay pantalones cortos azules y rosas, y pantalones largos blancos, azules y verdes. ¿Cuántas prendas distintas puede comprar Sole?

3 Marcos tiene dos cajones en su escritorio. En el primero hay 4 rotuladores rojos y 3 azules. En el segundo hay 3 rojos, 2 azules y 5 verdes. Si elige al azar un rotulador de cada cajón, ¿qué probabilidad hay de que no haya ninguno azul?

4 INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página que se resuelva más fácilmente haciendo un diagrama de árbol.

191

12

Resuelve estos problemas haciendo un diagrama de árbol.

1 ¿Cuántos caminos diferentes se pueden seguir para ir desde A hasta E?

2 Sole ha ido de compras. Está dudando entre las siguientes posibilidades: comprar una falda o un pantalón. Si elige la falda, puede ser azul o verde. Si elige el pantalón, puede ser corto o largo. Hay pantalones cortos azules y rosas, y pantalones largos blancos, azules y verdes. ¿Cuántas prendas distintas puede comprar Sole?

3 Marcos tiene dos cajones en su escritorio. En el primero hay 4 rotuladores rojos y 3 azules. En el segundo hay 3 rojos, 2 azules y 5 verdes. Si elige al azar un rotulador de cada cajón, ¿qué probabilidad hay de que no haya ninguno azul?

4 INVENTA. Escribe un problema similar a los de esta página que se resuelva más fácilmente haciendo un diagrama de árbol.

¿Cuántos caminos diferentes se pueden seguir para ir desde el pueblo A hasta G sin pasar dos veces por el mismo pueblo?

Para resolver el problema, realiza un diagrama de árbol, completando por orden todos los caminos posibles.

Desde un pueblo, escribe el pueblo o los pueblos a los que se puede ir. No olvides ningún camino.

Desde A se puede ir a B; desde B a D y luego a G, o bien a E y luego a G.

Desde A se puede ir a C y luego a G, o bien a C y luego a F y a G.

Solución:

Hay 4 caminos posibles: ABDG, ABEG, ACG y ACFG.

Hacer un diagrama de árbol


A

B

C

D

G

G

G

G

E

F

A

C

BD

G

F

E

AC

B D

E

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 31 12/02/2015 17:18:02

UNIDAD 12

Propósitos • Resolverproblemashaciendoundiagramadeárbol.

Sugerencias didácticasPara explicar. Comenteelproblemaresuelto,mostrandolautilidaddeldiagramadeárbolparanoolvidarningúnposibleresultado.Indiquesuutilidadenlosproblemasdeprobabilidad,paraobtenertodoslossucesosposibles,ytrabajeencomúnlaactividad2,realizandoeldiagramadeárbolasociadoencomún.

Actividades1 Hay4caminosdiferentes:

ABDE,ABDCE,ACE,ACDE.

2 Puedecomprar7prendasdistintas:faldaazul,faldaverde,pantalóncortoazul,pantalóncortorosa,pantalónlargoblanco,pantalónlargoazul,pantalónlargoverde.

3 Hay12casosrojo-rojo,8casosrojo-azul,20casosrojo-verde,9casosazul-rojo,6casosazul-azuly15casosazul-verde.P(ningunoazul)532/70

4 R.L.

Notas

Competencias

• Iniciativa y emprendimiento.Alahoradequelosalumnosplanteenactividadessimilaresalastrabajadasenlaspáginasdesoluciónde problemas,anímelosa utilizarsituacionesrealesycreativas,estimulandoenelloslainiciativaylacapacidaddeemprender,yresuelvaalgunasdeellasencomúncontodalaclase.

Inteligencia

intrapersonal

37

192

ACTIVIDADES

1 Clasifica cada variable estadística en cuantitativa o cualitativa.

Número de cromos de una colección.

Edad.

Sexo.

Localidad donde vive.

Número de alumnos de una clase.

Helados vendidos en un puesto un día.

Mes de cumpleaños.

Altura en centímetros.

2 Completa la tabla de frecuencias en tu cuaderno y contesta.

Julio ha preguntado a sus amigos cuál es su color preferido y han contestado: 6 el rojo, 5 el azul, 3 el verde, 4 el negro, 4 el rosa y 1 el naranja.

Color

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

¿Cuál es la suma de las frecuencias absolutas? ¿A cuántos amigos preguntó Julio?

¿Cuál es la suma de las frecuencias relativas?

3 Haz un recuento y construye la tabla de frecuencias.

Ester ha anotado la talla de las camisetas que ha vendido hoy en su tienda:

10 8 6 12 14 6 14 8

12 10 12 8 12 12 10 8

4 VOCABULARIO. Explica cómo se halla cada medida estadística y pon un ejemplo con este grupo de números.

5 7 8 6 5 6 10 12 5 6

5 Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de estos grupos de números.

6, 9, 7, 4, 9

10, 12, 20, 16, 12, 20

13, 10, 15, 10, 15, 13, 15

12, 8, 10, 12, 10, 8, 12, 8

5, 9, 6, 5, 4, 9, 4, 10, 2

6 Observa la tabla y calcula.

En una clase de Infantil hay varios puzles de distinto número de piezas.

N.º de piezas del puzle

4 6 9 12

Frecuencia absoluta

1 7 10 2

¿Cuántos puzles hay en la clase?

¿Cuál es la media del número de piezas de los puzles? ¿Y la moda?

¿Cuántos puzles hay con menos piezas que la media? ¿Y con más piezas?


¿Puede ser la media de un grupo de números un número distinto a todos?

En un grupo de tres números, ¿tiene que ser la mediana uno de ellos? ¿Y en un grupo de cuatro números?

¿Puede tener un grupo de cinco números tres modas? ¿Y dos modas?

8 Calcula cada probabilidad.

Se elige al azar un número del 1 al 30.

Es un número par.

Tiene dos cifras.

Es impar o mayor que 25.

Tiene dos cifras que suman 5.

No es par ni múltiplo de 3.

Media Moda MedianaRango

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 32 12/02/2015 17:18:05

Propósitos• Repasarloscontenidosbásicosdelaunidad.

• AplicarlasMatemáticasendistintoscontextos.

Actividades1 • Cuantitativa.

• Cuantitativa.

• Cualitativa.

• Cualitativa.

• Cuantitativa.

• Cuantitativa.

• Cualitativa.

• Cuantitativa.

2 Frec.abs.:6,5,3,4,4,1.Frec.rel.:6/23,5/23,3/23,4/23,4/23,1/23.

• Lasumaes23.Preguntóa23amigos.

• Lasumaes1.

3 Dato F. abs. F. rel.

6 2 2/16

8 4 4/16

10 3 3/16

12 5 5/16

14 2 2/16

4 R.L. Media57.Modas55y6Mediana56.Rango57

5 • Media57.Moda59Mediana57.Rango55

• Media515.Modas512y20Mediana514.Rango510

• Media513.Moda515Mediana513.Rango55

• Media510.Modas58y12Mediana510.Rango54

• Media56.Modas54,5y9Mediana55.Rango58

6 • Hay20puzles.

• Media58piezas.Moda59piezas.

• Hay8puzlesconmenospiezasquelamediay12puzlesconmás.

Otras actividades

• Propongaalosalumnosactividadesdeinvestigaciónconlasquepuedantrabajarlasvariacionesenlosvaloresdelasmedidasestadísticasenfuncióndelasposiblesvariacionesquehayaenlosdatos.Porejemplo:

– Escribidcuatronúmerosycalculadsumedia.Sumadelnúmeroque queráisacadaunodeloscuatronúmerosycalculadlamediadelosnúmerosresultantes.¿Quérelaciónhayentrelaprimeramediaylasegunda?

– Escribidseisnúmerosycalculadsumediana.Multiplicadlosnúmerospor 2ycalculadlamedianadelosnúmerosresultantes.¿Quérelaciónhay entrelasmedianas?¿Quéocurresienlugardelasmedianascalculamoslosrangos?

38


Elsa está participando en un torneo de seis partidos de tenis. Ha jugado ya cinco partidos, con las siguientes duraciones:

¿Cuál es la media de las duraciones en minutos de los cinco partidos jugados? ¿Es más o menos de 1 hora? ¿Cuál es la mediana y el rango de dichas duraciones?

¿Cuántos minutos debe durar el sexto partido?

– Para que la media sea 1 hora. – Para que la mediana sea 59 minutos.

– Para que la moda sea 46 minutos. – Para que el rango sea 38.

193

12


Los pesos en kilos de las mochilas que llevan un grupo de amigos son:

Peso en kilos 4 5 6 7


– ¿Cuánto pesa la mochila más pesada? ¿Y la más ligera?

– ¿Cuál es el rango de los pesos?

– ¿Cuántas mochilas llevan? Escribe los pesos ordenados de mayor a menor. ¿Cuál es la mediana?

La edad de cinco primos es 8, 9, 3, 4 y 6 años. ¿Cuál es la edad media? ¿Cuál será la edad media de los 5 primos dentro de dos años? ¿Qué relación hay entre las dos medias?

10 Resuelve.

En una floristería venden 10 macetas con flores a estos precios en euros:

15 18 20 15 14

18 15 12 18 15

Halla la media, la moda, la mediana y el rango de los precios.

En una bolsa hay 10 tarjetas verdes y 5 tarjetas rojas. Se van sacando tarjetas al azar y no se devuelven. Calcula la probabilidad de que:

– La primera tarjeta sea verde.

– Si la primera ha sido verde, la segunda también lo sea.

– Si las tres primeras han sido rojas, la cuarta sea verde.


Elsa está participando en un torneo de seis partidos de tenis. Ha jugado ya cinco partidos, con las siguientes duraciones:

¿Cuál es la media de las duraciones en minutos de los cinco partidos jugados? ¿Es más o menos de 1 hora? ¿Cuál es la mediana y el rango de dichas duraciones?

¿Cuántos minutos debe durar el sexto partido?

– Para que la media sea 1 hora. – Para que la mediana sea 59 minutos.

– Para que la moda sea 46 minutos. – Para que el rango sea 38.

12 La media de cinco números es 6. ¿Qué número hay que añadirles para que la media de los seis números sea 8?

13 Lorena tiene en un cajón 6 calcetines rojos y 8 azules. ¿Cuántos debe sacar sin mirar para estar segura de tener dos del mismo color?


Problemas

1.er partido 46 minutos

2.º partido 58 minutos

3.er partido 1 hora y 5 minutos

4.º partido 42 minutos

5.º partido 1 hora y 14 minutos

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 33 12/02/2015 17:18:08

UNIDAD 12

7 • Sí; por ejemplo, el conjunto 1, 4, 10 tiene como media 5.

• Enungrupode3númerossí,enunode4númerosno.

• Nopuedetener3modas,yaque3 3 2 5 6 .5,perosí 2modas;porejemplo,elconjunto1,2,2,3,3tiene comomodas2y3.

8 • 15/30

• 21/30

• 18/30

• 2/30

• 10/30

9 • Máspesada:7kg. Másligera:4kg. Rango53kg Llevan7mochilas. Lamedianaes5kg.

• Media56años Mediaen2años58años Lamediaaumentaen2años respectoalamediaanterior.

10 • Media516€.Moda5 15 € Mediana515€.Rango58€

• P (primera verde) 510/15 P(segundaverde)59/14 P (cuarta verde) 510/12

11 • Media557minutos Esmenosde1hora. Mediana558minutos Rango532minutos

• Media1hF75min Moda46minF 46 min Mediana59minF 60 min Rango38minF36min

Demuestra tu talento12 Susumaes:5 3 6 530.

Silamediadelosseises8, susumadebeser:63 8 548. Portanto,esenúmerodebeser: 48230518.

13 Sisacasietecalcetinesesseguroquetendrádosdelmismocolor.

Notas

Competencias

• Competencia social y cívica.Elcontextodelaactividad11,untorneode tenis,facilitarealizarunacharlaoundebateconlosalumnossobrediferentesvaloressocialesycívicos.Puedecomentaraspectoscomola importanciadeladeportividadyeljuegolimpioylaprácticacuidadosadel deportedeacuerdoanuestrascircunstanciasfísicas,elrespeto alasinstalacionesdeportivasynormasdeltorneo,lanecesidad delaprácticadeportivaparanuestrasalud…

39

194


Los procesos de fabricación industrial están sometidos a un control de calidad.

El control de calidad consiste en analizar, durante todas las etapas de la fabricación, distintos datos que informen de si todo está funcionando como debe.

En muchos casos se toman varios ejemplares de los objetos fabricados y se mide su longitud, peso, tamaño… Si se detecta algún error considerable, se retira ese lote y se revisa el proceso.

1 Calcula y resuelve.

En una fábrica de quesos la temperatura de la leche debe estar en torno a 39 ºC. Toman la temperatura de los depósitos cada cinco minutos. Si la media de las temperaturas en ese tiempo se aparta más de medio grado de los 39 ºC, la leche del depósito se desecha.

Analiza si estos depósitos deben ser desechados:

En la planta de envasado de manzanas se analiza el rango de sus diámetros. Si en un lote el rango es mayor que 2 cm, se reclasifican las manzanas de nuevo.

Estudia qué lotes deben reclasificarse:

Lote 1: 7, 6, 7, 5, 9, 7, 6Lote 2: 8, 6, 7, 7, 8, 8, 6Lote 3: 8, 7, 5, 7, 8, 6, 8

2 TRABAJO COOPERATIVO. Elegid y proponed.

Elige con tu compañero un producto industrial y proponed un criterio de control de calidad basado en medidas estadísticas. Exponedlo a la clase con ejemplos de lotes aceptados y rechazados.

SABER HACER

Depósito 3 38,5º 39,5º 39º 39,5º 38,5º

Depósito 1 38º 39º 39º 40º 39º Depósito 2 40º 39º 40º 40º 41º

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 34 12/02/2015 17:18:12

Propósitos • Desarrollarlacompetenciamatemáticaresolviendoproblemasreales.

• Repasarcontenidosclave.

Actividades pág. 1941 • Depósito1.Media539ºC

Nodebedesecharse.Depósito2.Media540ºCDebedesecharse.Depósito3.Media539ºCNodebedesecharse.

• Lote1.Rango54cmDebereclasificarse.Lote2.Rango52cmNodebereclasificarse.Lote3.Rango53cmDebereclasificarse.

2 R.L.

Actividades pág. 1951 • 7U.demillón18CM1

19DM15D14USietemillonesochocientosnoventamilcincuentaycuatro.

• 3D.demillón14U.demillón11 5CM12UM16UTreintaycuatromillonesquinientosdosmilseis.

• 2C.demillón1 1D.demillón11 6U.demillón18DM113UM19C12DDoscientosdieciséismillonesochentaytresmilnovecientosveinte.

• 6C.demillón14U.demillón11 7CM14D11USeiscientoscuatromillonessetecientosmilcuarentayuno.

2 • 128

• 243

• 10.000

• 7

• 8, 75,9

3 • 35

• 60

• 2

• 5

4 • 85

• 2012

• 6,15

• 10,102

• 0,7

• 0,009


• LaaplicacióndelasMatemáticasauncontextorealdelmundodelaindustriapermiteeldesarrolloadecuadodeestacompetencia.Señalelaaplicacióndelaestadísticaencontextosrealescomoelmostrado.Alahoradelarealizacióndeltrabajocooperativo,pidaalosalumnosque planifiquenconcuidadoelprocesoquevanaseguirytratende proponersituacionesreales(investigandocontextosenlosquesellevea caboelcontrol).Pídalesqueseanclarosalahoradeexponerelcriteriode selecciónyloscálculosrealizadosconlosdistintoslotesomuestras.

Inteligencia

interpersonal

40

195

REPASO ACUMULATIVO

1 Descompón cada número y escribe cómo se lee.

7.890.054 216.083.920

34.502.006 604.700.041

2 Calcula.

27 35 104 • 49 •75

3 Calcula.

m.c.m. (5 y 7) m.c.d. (8 y 10)

m.c.m. (10 y 12) m.c.d. (15 y 20)

4 Escribe con cifras.

Cinco octavos Siete décimas

Doce veinteavos Nueve milésimas

Seis unidades y quince centésimas

Diez unidades y ciento dos milésimas

5 Calcula.

712

1 4

15

89

2 5

18

34

3 67

9

10 :

26

6 Calcula.

8,54 3 26 9,12 : 8

73 3 9,06 345 : 4,6

35,7 3 8,5 61,36 : 5,9

7 Calcula.

3,5 3 (25,7 2 8,46)

21,95 1 9,01 : 5,3

702 : 6,5 2 14,93 3 0,8

8 Completa en tu cuaderno las siguientes igualdades.

0,6 dam2 5 … m2 9,23 m3 5 … dm3

5 dm2 5 … mm2 48 dm3 5 … cm3

2.470 cm2 5 … m2 150 dm3 5 … m3

9 Calcula.

El área y el volumen de un cubo de 12 cm de arista.

El área y el volumen de un cilindro de radio 10 cm y altura 20 cm.

12 Un televisor que costaba 400 € incrementó su precio un 10 %. Después, el nuevo precio se redujo en un 10 %. ¿Cuánto costaba el televisor al final? ¿Es cierto que el precio final era un 99 % del inicial?

13 En un laboratorio han recibido 4 bolsas de 2 hg y 5 dag de un compuesto. Necesitan 0,7 kg y 20 g para un experimento. ¿Cuántos miligramos les sobrarán tras el experimento?

14 En un mapa la distancia entre dos ciudades es 8,5 cm. La escala del mapa es 1 : 400.000. ¿Qué distancia las separa en la realidad? Dos ciudades separadas 800 km, ¿a qué distancia estarán en el mapa?

10 En una piscina de bolas hay diez mil bolas. Cada una tiene 8 cm de diámetro. ¿Qué volumen tienen en total? ¿Qué área de plástico se ha gastado para fabricarlas?

11 Jaime pagó en una tienda 7,65 € por 4,5 kg de patatas y 10,72 € por 8 kg de cebollas. ¿Cuánto habría pagado en total por 10 kg de patatas y 9 kg de cebollas?

Problemas

12

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 35 12/02/2015 17:18:15

UNIDAD 12

5 6051

1811

149

1027

6 • 222,04

• 661,38

• 303,45

• 1,14

• 75

• 10,4

7 • 60,34

• 23,65

• 96,056

8 60 m2

50.000 mm2

0,247 m2

9.230 dm3

48.000 cm3

0,15 m3

9 • A 5 6 3 (12 cm)2 5 864 cm2 V 5 (12 cm)3 5 1.728 cm3

• A 5 2 3 p 3 (10 cm)2 1 1 2 3 p 3 10 cm 3 20 cm 5 5 1.884 cm2

V 5 p 3 (10 cm)2 3 20 cm 5 5 6.280 cm3

10 VBOLA 5 4 3 p 3 (4 cm)3 : 3 5 5 267,94 cm3 V 5 267,94 cm3 3 10.000 5 5 2.679.400 cm3 ABOLA 5 4 3 p 3 (4 cm)2 5 5 200,96 cm2 A 5 200,96 cm2 3 10.000 5 5 2.009.600 cm2

11 7,65 : 4,5 5 1,7 10,72 : 8 5 1,34 10 3 1,7 3 9 3 1,34 5 29,06 Habría pagado 29,06 €.

12 400 3 1,1 5 440 440 3 0,9 5 396 Costaba 396 €. Es cierto, era un 99 %.

13 4 3 250 g 5 1.000 g 0,7 kg y 20 g 5 720 g 1.000 g 2 720 g 5 280 g Les sobrarán 280.000 mg.

14 1 cm 5 4 km 8,5 3 4 5 34 Las separan 34 km. 800 : 4 5 200 Estarán a 200 cm de distancia.

Notas

Repaso en común

• Propongaalosalumnosquepreparenochocuestionesrelacionadas conloscontenidosestudiadosenestaunidadysusrespuestascorrespondientes.Cadaalumnoformularálaspreguntasquehapreparadoa uncompañero,despuésledirásisusrespuestassoncorrectas, yleexplicarásuresoluciónencasodeexistirdificultadesosilacontestacióneserrónea.Expongaalgunasdeellasalaclaseyaprovecheparadespejarlasposiblesdudasqueexistan.

41

196

1 Observa el gráfico anterior. Después, contesta.

¿Qué platos fueron los preferidos en septiembre y octubre? ¿Por qué crees que ocurrió así?

Juan, el camarero, comentó que la gente que eligió pasta fue aumentando desde agosto hasta octubre. ¿Tenía razón según el gráfico?

María, la cajera, creía que a partir de septiembre sería mejor no servir ensalada hasta la llegada del verano. ¿Crees que tenía razón? ¿Por qué?

2 Razona y contesta.

En el restaurante tienen que hacer la compra este año para los meses de agosto, septiembre y octubre. Han anotado estas decisiones. ¿Crees que tienen razón a partir de la información del año pasado?

Comprar la misma cantidad de verduras para ensalada los tres meses.

Comprar la misma cantidad de pasta para agosto que para octubre.

Ir aumentando la cantidad de ingredientes para guisos a medida que avance el otoño.

Incluir gazpacho en el menú a partir de septiembre.

Tratamiento de la información

Analizar gráficos de barras

En el gráfico está representado el número de personas que pidió cada tipo de primer plato en el restaurante Comecome en tres meses del año pasado.

Fíjate en que en agosto más gente prefirió los platos frescos (ensaladas) a los platos más calientes.

Agosto

Septiembre

Octubre

0 200 30010050

Ensalada GuisoPasta

Mes

N.º de personas

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 36 12/02/2015 17:18:18

Propósitos • Analizarcríticamentegráficosde barras.

Sugerencias didácticasPara explicar.Recuerdeconlosalumnoslascaracterísticasmásimportantesdelosgráficosdebarras.Muestresuutilidadparasintetizarinformaciónyseñalequeenestapáginavamosatrabajartantola interpretación(analizandolacorreccióndedistintasafirmaciones),comolatomadedecisionesapartirdelainformaciónqueaportanlosgráficos.

Actividades1 • Guiso.

Probablementeporqueeltiempoeramásfrío.

• Noaumentótodoeltiempo,deagostoaseptiembredisminuyó.

• Quitarlaensaladanoesconveniente,yaqueinclusoen octubre50personasla pidieron.

2 • Incorrecta,enseptiembrey octubredeberíancomprarmenos.

• Incorrecta,hayunavariacióngrandeenelnúmerodeclientesquelapiden,aunquecomola pastanoseestropeapodríanaprovecharla.

• Correcta,elnúmerodeclientesquepideguisovaaumentando.

• Incorrecta,elnúmerode clientesquepideplatosfrescosdisminuyeapartirde agosto.

Notas

Otras actividades

• Preparedistintosgráficosdebarras,utilizandoalgúntipodeprogramainformáticoobientomándolosdedistintasfuentes(periódicos,Internet…).Entréguelosalosalumnosypropóngalesquehaganunanálisissimilaral realizadoenestapágina,tantoenunciandofrasescorrectascomotomandodecisionesparaelfuturoenbasealosdatosaportadospor el gráfico.

42

UNIDAD 12

197

12

1 Observa el gráfico anterior y contesta.

¿Qué ha ocurrido con el reciclaje de vidrio en Valdeluz en estos meses? ¿Y con el reciclaje en Solana?

¿En qué mes comenzó a reciclarse más en Solana que en Valdeluz?

El Ayuntamiento piensa llevar algunos contenedores de vidrio desde Solana a Valdeluz. ¿Crees que hace bien? ¿Por qué?

2 Fíjate en el gráfico, lee el texto y contesta.

¿Quién ahorró más en mayo que en enero?

Laura ¿ha ido ahorrando más de mes en mes? ¿Y Sara?

¿Quién crees que debe hacer un esfuerzo para cumplir su propósito?

En el Ayuntamiento están estudiando los datos de reciclaje en la ciudad. El gráfico muestra los kilos de vidrio reciclados en dos barrios en varios meses.

Fíjate en que de agosto a septiembre aumentó el número de kilos de vidrio reciclados en los dos barrios.

Analizar gráficos lineales

Laura Sara

180

140

100

60

20

E MyAMF

Din

ero

ah

orr

ado

(€)

4.000

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

500

0A DNOS

Valdeluz Solana

3.5003.700

3.4003.200 3.400

2.6002.800 2.900 2.900

2.700

Nú

mer

o d

e ki

los

Mes

Mes

Dos amigas, Laura y Sara, se han propuesto ahorrar cada vez más en sus gastos. En el gráfico han representado el dinero que han ahorrado cada mes.

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 37 12/02/2015 17:18:22

UNIDAD 12

Propósitos • Analizarcríticamentegráficoslineales.

Sugerencias didácticasPara explicar.Recuerdeconlosalumnoscómoseinterpretabanlos gráficoslineales.Muestresuutilidadparamostrarlaevoluciónde variablesalolargodeltiempo,y trabajelainterpretacióndelgráficoofrecidoenlapáginaconlosalumnos.

Actividades1 • EnValdeluzhadisminuido

la cantidaddevidrioreciclado,mientrasqueenSolanahaaumentado.

• EnnoviembreSolanaempezóa reciclarmásqueValdeluz.

• R.M.Seríabuenomotivar alosvecinosdeValdeluzareciclar,perollevarmáscontenedoresnoesquizálo mejor.Privarademása Solanadecontenedorespuededisminuirlaprogresiónqueestáhabiendo enelreciclaje.

2 • Saraahorrómásenmayo queenenero,yLauratambién.

• Lauracomenzóahorrandomás,peroenmarzobajósuahorroy semantuvoconstantedesdeentonceshastamayo. Saraempezódisminuyendosu ahorroenfebrero,perodesdeentonceshastamayolo fueaumentando.

• Lauradebeesforzarsemás.Sarasíqueestáahorrandomás demesenmes.

Notas

Otras actividades

• PuedeutilizarlosgráficoslinealespresentadosenTratamiento delainformacióndelasunidades2y4dellibropararealizar conlosalumnosactividadessimilaresalaspresentadasenestapágina.Pídalesqueelaborenconclusionescorrectasapartirdeellosylosanalicendeformacrítica.

43

198

1 Observa el pictograma de arriba y contesta.

¿Cuántos envíos repartieron en 2014 y 2015?

El número de envíos ¿creció o disminuyó entre esos años?

En la empresa de mensajería han decidido comprar más furgonetas para repartir. ¿Por qué piensas que lo han hecho?

2 Fíjate en el pictograma, lee el texto y contesta.

En el gráfico tienes las empanadas vendidas en una tienda en los últimos días según su tamaño (grandes, 8 personas; pequeñas, 4 personas).

Al verlo, en la tienda han tomado estas decisiones. Indica si te parecen correctas o no y por qué.

Los miércoles y jueves harán las mismas empanadas de cada tipo.

El día que más empanadas grandes harán será el sábado.

Harán siempre 3 empanadas pequeñas.

Ningún día harán menos de 2 empanadas grandes.

Harán siempre 3 empanadas grandes.

En el pictograma se han representado los envíos repartidos por una empresa de mensajería los últimos años.

Fíjate en que en 2012 repartieron 2.500 envíos, y en 2013 repartieron 1.000 envíos más.


Analizar pictogramas

8 personas 4 personas

X SVJ

Año

Día

20132012 20152014

500 envíos1.000 envíos

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 38 16/03/2015 11:47:33

Analizar pictogramasPropósitos • Analizarcríticamentepictogramas.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comenteconlosalumnoselpictogramapresentado,recordandoquecadasímbolotieneunvaloryque,paraobtenerelvalortotalencadames,hayquerealizaruncálculo.Indiquelassimilitudesydiferenciasconlosgráficosdebarras.

Actividades1 • 2014F5.000envíos

2015F5.500envíos

• Elnúmerodeenvíoshaidoaumentandodeañoenaño.

• Porquepiensanqueenlospróximosañosaumentaráel númerodeenvíosy necesitaránmásmediospara repartir.

2 R.M.

• Correcta,elnúmerode empanadasdecadatipoes muysimilar.

• Correcta,eldíaenquemásempanadasgrandesvendenes elsábado.

• Incorrecta,puedequehayadíasenquelessobrealguna.

• Correcta,todoslosdíasvenden 2omás.

• Incorrecta,haydíasquevendenmenosde3empanadas.


• Agrupealosalumnosenparejasypídalesqueinventenydibujenun pictogramasimilaralostrabajadosenestapágina.Señalequetodoslos pictogramasdeberánincluirlaleyendayestarcorrectamenterotulados.Después,pídalesqueredactenafirmacionessobreélydecisionesapartirdel mismo(correctaseincorrectas).Mástardeselosintercambiaránentresíy cadaparejadeberádetectarlasafirmacionesydecisionesincorrectasdel gráficoqueharecibido.

44

UNIDAD 12

199

12

1 Observa el histograma anterior y contesta.

En la empresa usan unas cajas para envíos que pesen entre 100 g y 500 g. ¿Cuántas cajas de ese tipo utilizaron ayer?

El encargado dice que hubo más envíos mayores de 200 g que envíos de peso menor. ¿Tiene razón?

El peso total de los envíos menores de 200 g, ¿pudo ser mayor de 6 kg? ¿Por qué?

2 Observa el histograma, razona y contesta.

Un científico ha elaborado un histograma con el número de frutos en un tipo de planta. Razona si cada frase es cierta o no.

Lo más común es que la planta tenga entre 5 y 8 frutos.

Lo menos común es que tenga menos de 5 frutos.

Hay más plantas con menos de 8 frutos que con más de 8.

El histograma muestra los envíos entregados ayer por la mensajería clasificados según sus pesos.

Fíjate en que solo 12 envíos pesaron 500 o más gramos. El grupo más numeroso fue el de los envíos que pesaban menos de 100 gramos.

Analizar histogramas

21

18

15

12

9

6

3

0Menos de 100

De 200 a 500

De 100 a 200

Más de 1.000

De 500 a 1.000

Nú

mer

o d

e en

vío

s

Peso en gramos

280

240

200

160

120

80

40

0

De 1 a 5

De 8 a 10

De 5 a 8

Más de 15

De 10 a 15

Nú

mer

o d

e p

lan

tas

Número de frutos

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 39 18/02/2015 9:51:52

Propósitos • Analizarcríticamentehistogramas.

Sugerencias didácticasPara explicar.Recuerdeconlaclaselascaracterísticasdeloshistogramas:sudivisiónenintervalosdelavariableycómoelvalorsuperiordecadaintervalonoseincluyeenél,sinoenelintervalosiguiente.Comenteel histogramadelejemployrealicealgunaspreguntasparaasegurarsede quelosalumnosrecuerdancómosetrabajabaconellos.

Actividades1 • Utilizaron33cajas.

• Notienerazón,hubo39envíosmenoresde200gy27envíosde200gomás.

• Sehicieron39envíos;si,porejemplo,todoserande pesomayorque154g,entonceselpesototalsuperaríalos6kg.

2 • Cierta,eselintervaloconmayornúmerodeplantas.

• Falsa,lomenoscomúnesquetenga15omásfrutos.

• Falsa,hay320plantasconmenosde8frutosy360plantascon8frutosomás.

Notas

Otras actividades

• PuedeutilizarloshistogramaspresentadosenTratamientodelainformacióndelasunidades7y9dellibropararealizarconlosalumnosactividadessimilaresalaspresentadasenestapágina.Pídalesqueelaborenconclusionescorrectasapartirdeellosylosanalicendeformacrítica.

45

200

1 Observa el gráfico de sectores anterior y contesta.

¿Qué medio de transporte es el más utilizado?

María piensa que vienen más empleados en sus propios vehículos que en transporte público. ¿Tiene razón?

El próximo mes el aparcamiento de la empresa va a estar en obras. ¿Sería una buena idea poner más autobuses de la empresa? ¿Por qué?

2 Observa el gráfico de sectores, razona y contesta.

En una empresa de helados han dado a probar cuatro nuevos sabores a 720 personas para que elijan el que más les guste.

El gráfico muestra los resultados.

¿Cuántas personas más han preferido los sabores de fruta a los sabores no frutales?

¿Crees que sería una buena idea hacer un único sabor frutal, mezclando naranja y limón? ¿Por qué?

La empresa ha decidido fabricar solo los sabores elegidos por más de 200 personas. ¿Qué sabores fabricará?

El gráfico de sectores muestra los medios de transporte que usan los 1.440 trabajadores de una empresa para llegar a su trabajo.

Llegan a trabajar en autobús de la empresa 600 trabajadores. Es el segundo medio más utilizado.

Calcula tú cuántos trabajadores llegan en el resto de medios de transporte.


Analizar gráficos de sectores

Autobús de empresa

Tren y metro

Coche

Moto

Naranja

Nata

Limón

Chocolate

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 40 16/03/2015 11:47:37

Analizar gráficos de sectoresPropósitos • Analizarcríticamentegráficosde sectores.

Sugerencias didácticasPara explicar.Recuerdeconlaclaselascaracterísticasdelosgráficosdesectores,cómoseobtienelaamplituddecadasectorylaposibilidadque brindanderealizarcomparacionescualitativasdeformarápida.Realiceencomúnelcálculodelostrabajadoresquelleganentreny metro,ypídalesquehaganporsímismoselrestodecálculos.

Actividades• TrenymetroF80ºF320trabajadoresCocheF150ºF600trabajadoresMotoF20ºF80trabajadores

1 • Seutilizamáselcoche.

• Notienerazón,ensusvehículosvienen680trabajadoresyentransportepúblico(incluyendoel autobúsdeempresa)760.

• Esbuenaideaporqueloscochesymotosnopodránaparcary,así,lostrabajadorespodránllegardeformamássencilla.

2 NaranjaF120ºF240personasNataF60ºF120personasLimónF100ºF200personasChocolateF80ºF160personas

• Hanpreferido160personasmáslossaboresfrutalesalosnofrutales.

• R.M.Podríaserinteresanteexperimentarunnuevosabor,dadoquelosfrutalesgustanmucho,perosindejardeproducirnaranjaylimón.

• Fabricarásolonaranja.

Otras actividades

• Preparedistintosgráficosdesectores,utilizandoalgúntipodeprogramainformáticoobientomándolosdedistintasfuentes(periódicos,Internet…).Entréguelosalosalumnosypropóngalesquehaganunanálisissimilaral realizadoenestapágina,tantoenunciandofrasescorrectascomotomandodecisionesparaelfuturoenbasealosdatosaportadospor el gráfico.

46

UNIDAD 12

201

12

1 Observa el climograma anterior y copia las oraciones que sean verdaderas.

Solo en cinco meses las precipitaciones superaron los 80 mm.

Las temperaturas de enero a junio fueron siempre en aumento.

Las máximas temperaturas coinciden con las mínimas precipitaciones.

Si en un mes llovió más de 100 mm, la temperatura nunca superó los 15 ºC.

2 Fíjate en el siguiente gráfico y razona si las afirmaciones son correctas.

En el gráfico de sectores se muestra el número de turistas del año pasado según su procedencia y con los pictogramas, el dinero gastado por todos ellos.

Los turistas españoles gastaron 90.000 €.

Hubo más turistas extranjeros que españoles.

La media de gasto por persona en los turistas americanos fue de 500 €.

La media de gasto por persona en los turistas españoles fue mayor que la media de los turistas americanos.

El Ayuntamiento debe hacer una campaña para potenciar el turismo asiático, ya que es el que más gasta por persona.

En el climograma están los datos de precipitaciones y temperaturas en una ciudad cada mes del año pasado. Las precipitaciones están indicadas en el gráfico de barras y las temperaturas en el gráfico lineal.

Fíjate en que en el mes de junio no llovió nada y la temperatura fue de 22 ºC.

Analizar gráficos mixtos

Turistas en Playazul

América1.200

€ €€ €

€ 20.000 € € 10.000 €

€€ €€ €

€€ €

Asia900

España1.500

400

350

300

250

200

150

100

50

0

28

24

20

16

12

8

4

0E

150

14

J

0

22

My

25

20

O

50

20

A

50

18

D

150

16

S

25

24

M

100

N

100

18

A

0

26

F

125

15 15

Jl

0

26

Pre

cip

itac

ion

es (

mm

)

Tem

per

atu

ras

(ºC

)

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 41 12/02/2015 17:18:35

Propósitos • Analizarcríticamentegráficosmixtos.

Sugerencias didácticasPara explicar.Comentealosalumnosquetambiénpodemosrealizargráficosmixtos,esdecir,gráficosenlosqueaparezcaninformacionesdedistintostiposmezcladas.Señalequeenestecasoaparecenunidosungráficodebarrasconlasprecipitacionesyungráficolinealconlastemperaturas.Hágalesverqueparainterpretarlostenemosqueconsiderarelejeverticalpertinente,aunqueenestecasoaparecentodoslosvaloresrotuladosparafacilitareltrabajodelosalumnos.

Trabajetambiénencomúnelgráficoqueapareceenlaactividad2,dondesemezclanungráficodesectoresy unpictograma.

Actividades1 Esverdaderalaterceraoración.

2 • Falsa,gastaron80.000€.

• Cierta.

• Falsa,fuede50€.

• Cierta.

• Cierta.

Notas

Otras actividades

• Pidaalosalumnosquepreparengráficosmixtossimilaresalostrabajadosenestapágina(puedeninclusovariarlosvaloressimplemente)ypreparenoracionesqueseancorrectaseincorrectas.Después,selosintercambiaránentresíyanalizaránlasoracionesdesucompañero.Realiceunapuestaen comúndeaquelloscasosenlosquesurjandiscrepancias.

47

Repaso final

NÚMEROS

1 Escribe cómo se lee. 2 Escribe con cifras.

5.099.204 154

612

Treinta y dos millones doce mil.

28.902.113 7,95

675.000.870 24,016

903.070.015 305,607

3 Aproxima cada número al orden indicado.

A las centenas de millar: 387.915; 4.678.113 A las unidades: 4,76; 13,292; 309,714

A los millones: 6.600.129; 13.299.999 A las décimas: 9,28; 37,386; 426,098

4 Compara en tu cuaderno. Coloca el signo adecuado.

35.090.126 35.100.032 54

65

1,86 1,9 23 29

176.234.892 176.240.625 54

65

2,134 2,134 24 11

5 Dibuja unos ejes cartesianos y representa estos puntos.

A (23, 12) B (25, 24) C (11, 13) D (1 2, 25) E (23, 0) F (0, 15)

6 Ordena cada grupo de números de menor a mayor.

OPERACIONES

7 Calcula.

78.999 1 16.741 1.235 3 349 65.117 : 704

84.006 2 9.878 6.127 3 890 86.450 : 934

9 3 (5 2 4) 20 : 5 2 (8 2 4) 12 : 6 1 3 3 5

18 2 9 : 3 (9 1 6) 3 2 2 13 20 2 2 3 (8 : 2)

8 Halla estas potencias y raíces.

74 107 19 • 16 • 100 • 39

85 93 56 • 25 • 49 • 70

202

Cuatrocientos millones ochocientos mil uno.

Dieciséis doceavos. Ocho veinteavos.

Tres unidades y doce milésimas.

148

1,8 125

2 3,4 3 25

165

3310

4,52 451100

4,6 4.5081.000

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 42 12/02/2015 17:18:39

Propósitos • Repasarcontenidosclave.

Números1 • Cincomillonesnoventaynueve

mildoscientoscuatro.

• Veintiochomillonesnovecientosdosmilcientotrece.

• Seiscientossetentaycincomillonesochocientossetenta.

• Novecientostresmillonessetentamilquince.

• Quincecuartos.

• Seisdoceavos.

• 7unidadesy95centésimas.



2 • 32.012.000

• 400.800.001

•1216

•208

• 3,012

3 • 400.000;4.700.000

• 7.000.000;13.000.000

• 5;13;310

• 9,3;37,4;426,1

4 • ,

• ,

• .

• .

• ,

• 5

• .

• ,

5

6 •8

14,1,8,2,

512

•5

16,

1033

,3,45352

•..

1 0004 508

,100451

,4,52,4,6

A

E

B

F

C

D

48

UNIDAD 12

9 Halla.

Tres múltiplos de 9. m.c.m. (8 y 20) m.c.m. (6, 10 y 5)

Todos los divisores de 24. m.c.d. (10 y 9) m.c.d. (20, 12 y 16)

10 Opera con fracciones.

47

1 29

154

2 86

52

3 37

113

: 46

212

2 54

: 23

611

1 2 308

2 3 95

3 2 215

: 2 203

2 ( 38

: 4) 3 25

11 Calcula.

3,099 1 2,76 28,2 : 3 3,8 3 1,9 2 2 : 0,4 1 2

7,8 2 2,195 185 : 2,5 1,8 : (8,468 2 3,2 3 2,64)

4,76 3 2,94 10,927: 4,9 8,9 3 1,023 2 11,78 : 6,2

12 Divide, obteniendo en el cociente las cifras decimales indicadas.

2 cifras 27,13 : 9,2 85,4 : 17,6 3 cifras 3,45 : 0,127 19,4 : 2,6

MEDIDA

13 Completa en tu cuaderno cada cambio de unidad.

14 Ordena cada grupo de medidas de mayor a menor.

9.084 cm 0,0087 km 9 m 910 dm

2,6 dal 0,27 hl 256 ℓ 2.600 dl 25.800 cl

890.000 mg 88 kg 871 hg 91 dag

30.000 s 4 h y 7 min 210 min 4 h y 500 s

0,09 ha 1.100 m2 1.300.000 cm2 12 dam2

475 ℓ 480 dm3 479.000 cm3 481.000 ml

203

0,091 km 5 … dm

135.000 cm 5 … hm

9.700 dm 5 … dam

7.200 s 5 … min 5 … h

4 h y 5 min 5 … s

30.000’’ 5 …º, …’ y …’’

0,12 dal 5 … ml

250.000 cl 5 … kl

1,32 kl 5 … dl

45.000 cm2 5 … m2

0,08 dam2 5 … cm2

3,7 ha 5 … m2

0,075 t 5 … kg

37.000 mg 5 … dag

241.000 dg 5 … kg

30.000 dm3 5 … m3

0,07 m3 5 … kl

4.000.000 cm3 5 … ℓ

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 43 16/03/2015 11:47:39

Operaciones7 • 95.740 • 431.015

• 74.128 • 5.453.030

• c592,r5349 • c592,r5522 • 9 • 0 • 17 • 15 • 17 • 12

8 2.401 10.000.000 1

32.768 729 15.625

4 10 6, 39 ,7

5 7 8, 70 ,9

9 • 0,9,18 • 40 • 30

• 1,2,3,4,6,8,12,24

• 1 • 4

10 •6350

•1229

•1415

•211

•8

69

•1128

•43 •

518

•1021

•.240

1 591

11 • 5,859 • 9,4 • 4,22

• 5,605 • 74 • 90

• 13,9944 • 2,23 • 7,2047

12 • c52,94;c54,85

• c527,165;c57,461

Medida13 • 910dm 13,5hm 97dam

• 1.200ml 2,5kl 13.200dl

• 75kg 3,7dag 24,1kg

• 120min52h 14.700s 8°209

• 4,5m2 80.000cm2 37.000m2

• 30m3 0,07kl 4.000ℓ

14 • 910dm.9.084cm.9m. .0,0087km

• 2.600dl.25.800cl.256ℓ. .0,27hl.2,6dal

• 88kg.871hg. .91dag.890.000mg

• 30.000s.210min. .4hy500s.4hy7min

• 12dam2 .1.100m2 . .0,09ha.1.300.000cm2

• 481.000ml.480dm3 . .479.000cm3 .475ℓ

49

44

Repaso final


Marcos ha dibujado un plano a escala 1 : 500. En él ha trazado una línea de 4 cm. ¿Cuántos metros mide esa línea en la realidad? ¿Qué dimensiones tendrá en ese plano una piscina de 30 m de largo y 10 m de ancho?

En el mapa de Leonor 1 cm representa 4 km en la realidad. ¿Cuál es la escala numérica de ese mapa? Dibuja su escala gráfica.

GEOMETRÍA

16 Halla el área de estas figuras planas.

Un cuadrado de lado 6 cm. Un círculo de diámetro 24 cm.

Un romboide de base 8 cm y altura 4 cm.

Un triángulo de base 15 cm y altura 10 cm.

Un hexágono regular de lado 9 cm y apotema 7,8 cm.

17 Clasifica cada cuerpo geométrico.

18 Calcula el área y el volumen de cada cuerpo geométrico.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

19 Calcula la media, mediana, moda y rango de cada grupo de números.

18, 12, 22, 14, 22, 14 17, 19, 17, 19, 14, 19, 14

13, 15, 13, 15, 11, 11, 15, 11 4, 3, 4, 8, 5, 9, 1, 8, 3

20 Halla cada probabilidad al elegir al azar un número del 1 al 30.

Que sea impar. Que sea mayor de 20 o divisor de 10.

Que sea par y múltiplo de 6. Que no sea par ni múltiplo de 3.

204

9 cm 18 cm18 cm

15 cm

9 cm

12 cm

9 cm

20 c

m

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 44 12/02/2015 17:18:42

15 • 1cm55m Lalíneamide20m. Tendrá6cmdelargo y2cmdeancho.

• 4km5400.000cm Laescalaes1:400.000.

0 4 8 12

kilómetros

Geometría16 • A 536cm2 • A 5452,16cm2

• A 532cm2

• A 575cm2

• A 5210,6cm2

17 Prismacuadrangular;octaedro;poliedro;cilindro;pirámidecuadrangular;cono;esfera.

18 • A 5486cm2;V 5729cm3

• A 5864cm2;V 51.296cm3

• A 55.024cm2; V 533.493,3cm3

Estadística y probabilidad19 • Media517;mediana516;

moda522;rango510

• Media513;mediana513; modas511y15;rango54

• Media517;mediana517; moda519;rango5 5

• Media55;mediana54; modas53,4y8;rango58

20 • 15/30

• 5/30

• 14/30

• 10/30

21 • 2/5de8005320 30%de8005240 800232022405240 Hay240fresnos.

• Hubo15gradosdediferencia.

• 527,45:75 75,35 75,35 3 1451.054,9 75,35 3 95678,15 14cámarascostarán1.054,90 €,y9cámaras,678,15 €.

50

UNIDAD 12

45

2

21 Resuelve.

En el parque hay 800 árboles. Dos quintos son chopos, un 30 % pinos y el resto fresnos. ¿Cuántos fresnos hay?

El martes la temperatura mínima fue de 23 ºC y la máxima de 12 ºC. ¿Cuántos grados de diferencia hubo entre ambas?

Un lote de 7 cámaras fotográficas iguales cuesta 527,45 €. ¿Cuánto costarán 14 cámaras? ¿Y 9 cámaras?

Mónica va al peluquero cada 20 días y Carlos cada 30. Hoy han coincidido allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir por primera vez?

En el almacén tenían 5 t y 4 q de naranjas. Las envasaron en bolsas de 4 kg y medio cada una y cada bolsa la pusieron a la venta a 2 €. Si vendieron cinco sextos de las bolsas, ¿cuánto dinero obtuvieron?

Miguel ha pegado 49 fotos cuadradas formando un cuadrado. ¿Cuántas fotos hay en cada lado del cuadrado?

Sonia compró 12,5 kg de manzanas por 17 € y Pablo compró 10 kg por 14 €. ¿Cuál obtuvo un mejor precio por kilo?

El sueldo de Alejandro en 2013 era 1.700 € al mes. En 2014 aumentó un 2 % y en 2015 aumentó un 1 %. ¿Cuánto cobraba al mes en 2015? ¿Cobraba un 3 % más que en 2013?

Un examen constaba de dos partes. En la primera Tania tardó 1 h y 28 min y en la segunda tardó 39 min y 40 s menos que en la primera. ¿Cuánto tardó en la segunda parte? ¿Y en total?

En una parcela de 90.000 m2 se reservarán 6 parcelas de 40 dam2 cada una para viviendas y el resto se dividirá en 5 zonas verdes. ¿Cuántos metros tendrá cada zona?

Un depósito esférico de 20 m de diámetro está lleno por la mitad de zumo. Se va a envasar el zumo en envases de 200 ml cada uno. ¿Cuántos envases se podrán llenar?

Marisa tiene anotado el número de clientes que visitó cada restaurante las dos pasadas semanas. Hubo 30 visitantes 5 días, 28 visitantes 2 días, 24 visitantes 2 días y 22 visitantes 5 días. ¿Cuál fue la media de clientes? ¿Y la mediana? ¿Y el rango?

205

ES0000000001195 462607_U12_19027.indd 45 12/02/2015 17:18:45

• m.c.m. (20 y 30) 5 60 Pasarán 60 días.

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Notas

51

SOLUCIONARIO

Fin de etapa

Índice

Descubre las Matemáticas en…

Los números en China .................................................................... 210

Los números gigantes .................................................................... 211

El sudoku ....................................................................................... 212

Los números perfectos ................................................................... 213

Los cuadrados mágicos ................................................................. 214

Las fracciones egipcias .................................................................. 215

Los círculos decimales de Simon Stevin ......................................... 216

Los decimales chinos ..................................................................... 217

El maratón ...................................................................................... 218

El cálculo de las medidas de un cuadro .......................................... 219

Las unidades de medida especiales ............................................... 220

Las señales con pendiente ............................................................. 221

Los ángulos en las estrellas dobles ................................................. 222

El triángulo egipcio ......................................................................... 223

Los pentominós .............................................................................. 224

El tamaño DIN A ............................................................................. 225

La forma de las baldosas ................................................................ 226

El truco de Arquímedes .................................................................. 227

Los rompecabezas con áreas ......................................................... 228

La relación entre área, volumen y calor ........................................... 229

Las medias engañosas ................................................................... 230

Las audiencias televisivas ............................................................... 231

55

Actividades

1 12

56

534

790

869

972

2 212

214

245

Notas

Los números en ChinaLos chinos utilizaron distintas formas de representar números. Una de las más populares consistía en la escritura de palos verticales y horizontales. Observa cómo representaban los números del 1 al 9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Verticales

Horizontales

Para no confundir los palos que representaban cada cifra con los de la cifra siguiente, utilizaban la notación vertical para las unidades y las centenas, y la horizontal para las decenas y los millares. De ese modo se alternaban verticales con horizontales. Así escribían los números 18, 394 y 5.627:

1 8 3 9 4 5 6 2 7

También utilizaban dos formas de escribir los números negativos.

Primera forma. Utilizaban el color rojo para los números positivos y el negro para los negativos. Fíjate en estos ejemplos.

Segunda forma. Tachaban la última cifra de los números negativos, como puedes ver en este ejemplo.

9 29

1 Representa con la notación china de palos horizontales y verticales estos números.

2 Representa estos números enteros de las dos formas que has visto en esta página.

12 534 86956 790 972

Primera forma ▶ …

Segunda forma ▶ …

12



214



245

32 232

210

ES0000000001195 462607_Proy_Fin de Etapa_6_prim_U13_19662.indd 50 12/02/2015 17:13:36

56

SOLUCIONARIO

Actividades 1 • 3 3 100.000 5 300.000

Hay 300.000 bacterias.

• 4 3 5.000.000 5 20.000.000 Hay 20 millones de glóbulos rojos.

• 31.680 : 24 5 1.320 En una hora parpadeamos 1.320 veces.

2 • 3 CM Trescientos mil.

• 2 D. de millón Veinte millones.

• 1 UM 1 3 C 1 2 D Mil trescientos veinte.

3 • R. M. En un minuto, 20 respiraciones. En una hora, 1.200 respiraciones. En un día, 72.000 respiraciones. En un año, 26.280.000 respiraciones.

• R. M. En un minuto, 70 pulsaciones. En una hora, 4.200 pulsaciones. En un día, 252.000 pulsaciones. En un año, 91.980.000 pulsaciones.

4 Un 1 seguido de 24 ceros.

Notas

Los números gigantesPara encontrar números muy grandes, basta con observarnos detenidamente:

En la cabeza podemos llegar a tener más de 100.000 pelos.

Una porción de nuestra piel del tamaño de un euro tiene unas 100.000 bacterias.

En una gotita de sangre hay unos 5.000.000 de glóbulos rojos.

En un día podemos parpadear unas 31.680 veces.

1 Lee y calcula.

¿Cuántas bacterias hay en una porción de piel equivalente a 3 monedas de euro?

¿Cuántos glóbulos rojos hay en 4 gotitas de sangre?

¿Cuántas veces parpadeamos en una hora?

2 Descompón y escribe cómo se lee cada uno de los números que has obtenido en la actividad 1.

3 Lee y calcula.

Con ayuda de un reloj, cuenta las veces que respiras en un minuto.

¿Cuántas respiraciones habrás hecho en una hora? ¿Y en un día? ¿Y en un año?

Con la ayuda de un reloj, cuenta el número de pulsaciones que tienes por minuto.

¿Cuántas pulsaciones tendrás en una hora? ¿Y en un día? ¿Y en un año?

4 Lee y contesta.

– Un 1 seguido de 6 ceros es un millón.

– Un 1 seguido de 12 ceros es un billón.

– Un 1 seguido de 18 ceros es un trillón.

¿Cómo se escribirá un cuatrillón?

211


Inteligencia

naturalista

57

El sudokuEl sudoku es un pasatiempo que se popularizó en Japón en 1986, aunque su origen está en Estados Unidos.

El sudoku es una cuadrícula de 9 filas y 9 columnas, dividida en 9 cajas iguales de 3 filas y 3 columnas. En ella aparecen números del 1 al 9.

El juego consiste en:

Completar cada fila y cada columna con los números del 1 al 9 sin que aparezca ninguna cifra repetida en cada fila o columna.

Los nueve números de cada una de las nueve cajas han de ser todos distintos.

1 Copia en tu cuaderno y completa el sudoku de arriba.

2 Piensa en cómo está organizado un sudoku y contesta.

¿Cuál es el valor de la suma de los números que forman una fila cualquiera de un sudoku? ¿Y de los números de una columna? ¿Y de los números de cualquiera de las nueve cajas?

¿Cuánto vale la suma de los 81 números que forman el sudoku? ¿Hace falta sumar los 81 números? ¿Cómo puedes calcularla de manera rápida?

¿Cuánto vale el producto de los números de cada fila? ¿Y el producto de los 9 números de cada caja?

5 3 7

6 1 9 5

9 8 6

8 5 6 3

4 2 8 3 1

7 1 2 6

6 2 8 4

2 4 1 9 5

3 8 7 9

212


Actividades1

5 3 4 6 7 8 9 1 2

6 7 2 1 9 5 3 4 8

1 9 8 3 4 2 5 6 7

8 5 9 7 6 1 4 2 3

4 2 6 8 5 3 7 9 1

7 1 3 9 2 4 8 5 6

9 6 1 5 3 7 2 8 4

2 8 7 4 1 9 6 3 5

3 4 5 2 8 6 1 7 9

2 • Entodosloscasossuman 45.

• Suman405(45 3 9). Bastaconmultiplicar las9filasporelvalorde lasumadecadafila.

• Ambosproductosvalen 362.880.

Notas

58

Los números perfectosUn número es perfecto cuando es igual a la suma de todos sus divisores, sin incluir el propio número.

Veamos algunos ejemplos.

¿Es el 6 un número perfecto?

1.º Calculamos todos los divisores de 6.

Divisores de 6 1, 2, 3 y 6

2.º Sumamos todos los divisores del número, menos el 6.

1 1 2 1 3 5 6

6 5 6

El número 6 es un número perfecto.

¿Es el 8 un número perfecto?

1.º Calculamos todos los divisores de 8.

Divisores de 8 1, 2, 4 y 8

2.º Sumamos todos los divisores del número, menos el 8.

1 1 2 1 4 5 7

7 Þ 8

El número 8 no es un número perfecto.

1 Calcula los divisores de cada número y averigua cuál es un número perfecto.

10 2 25 12 14 28

2 Lee estos criterios de divisibilidad y calcula.

Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4.

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3.

PrEsta atEnción

La propiedad de ser un número perfecto la tienen pocos números.

Los nÚmEros divisibLEs Por 4

270 439 504

2.094 6.124 8.022

Los nÚmEros divisibLEs Por 6

240 325 416

1.248 2.720 4.632

3 Piensa y escribe.

Cinco números divisibles por 2 que no sean divisibles por 3.

Cinco números divisibles por 3 que no sean divisibles por 5.

Cinco números divisibles por 4 y otros cinco números divisibles por 6.

213


SOLUCIONARIO

Actividades1 • 1,2,5,10

112155 8 No es perfecto.

• 1,2 No es perfecto.

• 1,5,25 1155 6 No es perfecto.

• 1,2,3,4,6,12 11213141 6 516 No es perfecto.

• 1,2,7,14 11217510 No es perfecto.

• 1,2,4,7,14,28 1121417114528 Es perfecto.

2 Divisiblespor4:504y6.124. Divisiblespor6:240,1.248y 4.632.

3 • R.M.4,8,16,20,28

• R.M.6,12,18,24,36

• R.M.12,16,20,24,28 12,18,24,30,36

Notas

59

Los cuadrados mágicosUn cuadrado mágico es una cuadrícula en la que figuran números colocados de forma que la suma de cada fila, columna y diagonal es siempre la misma. Ya se conocían en China hace más de 4.000 años.

En el famoso grabado Melancolía, de Durero, aparece un cuadrado mágico, con la peculiaridad de que al juntar los números de las dos casillas centrales de la última fila (1514) aparece el año en que se realizó este grabado.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

1 Copia el cuadrado mágico anterior y comprueba que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal es igual a 34.

2 Copia en tu cuaderno y completa los siguientes cuadrados mágicos con fracciones.

223

423

323

623

817

317

517

217

Los números que faltan son fracciones de denominador 23.

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal

es igual a 1523

.

Los números que faltan son fracciones de denominador 17.

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal

es igual a 1517

.

214


Actividades1 Todas las filas, columnas

y diagonales suman 34.

2

232 23

9 23

4

237 23

5 23

3

236 23

1 23

8

178 17

1 17

6

173

517

17

7

174 17

9 17

2

Notas

60

Las fracciones egipciasLos egipcios solo utilizaron las fracciones de numerador 1, y el resto de fracciones las escribían como combinación de estas.

Cualquier fracción se puede expresar como suma de fracciones de numerador 1.

Observa algunos ejemplos:

1 Suma en tu cuaderno las fracciones de numerador 1 y averigua qué fracción expresan.

2 Observa el ejemplo y calcula la fracción de numerador 1 que falta en estas sumas.

3 Calcula todas las fracciones que se obtienen al multiplicar dos fracciones de cada grupo.

12

1 14

5

15

1 17

5

14

1 18

5

15

1 110

5

13

1 5 25

18

1 5 940

13

1 14

1 15

5

12

1 17

1 14

5

15

1 5 1130

12

1 5 35

12

1 5 35

5 35

2 12

5 110

12 1

3

14

15

17

13 1

6

15 1

9

18

111

112

12

1 13

5 36

1 26

5 3 1 2

6 5

56

12

1 14

1 120

5 1020

1 520

1 1

20 5

10 1 5 1 120

5 1620

Suma de fracciones de numerador 1

Suma de fracciones de numerador 1

215


SOLUCIONARIO

Actividades

1 •43

•3512

•83

•103

•6047

•2825

2 • 5 151

• 5 101

• 5 61

• 5 1

10

3 •81

101

61

201

121

151

•451

151

401

271

721

241

•1 1 1 1 1 1

84 42 77 72 132 66

Notas

61

1.º Colocaba los números poniendo en la misma columna los círculos con el mismo número.

2.º Sumaba como si fueran números naturales, poniendo en el resultado, debajo de la columna de cada círculo, el círculo correspondiente.

1 Escribe estos números decimales usando la notación de Simon Stevin.

2,34 34,9 15,76 6,078 2,195

2 Calcula las siguientes sumas y restas usando el procedimiento de Stevin.

9,71 1 45,1

21,8 2 7,34

23,9 1 8,67

432,75 2 17,8

2,78 1 34,6 1 2,123

Los círculos decimales de Simon StevinEl belga Simon Stevin (1548-1620) es uno de los padres de la actual forma de escritura de los números decimales.

Simon Stevin indicaba la parte entera de un número decimal situando detrás un 0 dentro de un círculo; las décimas las señalaba con un 1 dentro de un círculo; las centésimas, con un 2; y las milésimas, con un 3.

Así, el número decimal 3,785 lo escribía así:

3,785 ▶ 3 0 7 1 8 2 5 3

Observa cómo calculaba 5,239 1 7,651 usando esta notación.

5 0 2 1 3 2 9 3 1 7 0 6 1 5 2 1 3

El resultado de la suma 5,239 1 7,651 es 12,890.

Para calcular restas de decimales seguía un procedimiento similar a la suma. Observa este ejemplo: 12,59 2 9,32.

El resultado de la resta 12,59 2 9,32 es 3,27.

5 0 2 1 3 2 9 3 1 7 0 6 1 5 2 1 3

5 0 2 1 3 2 9 3 1 7 0 6 1 5 2 1 3

12 0 8 1 9 2 0 3

12 0 5 1 9 2

2 9 0 3 1 2 2

3 0 2 1 7 2

216


Actividades1 • 20 3 1 4

• 340 9 1

• 150 7 1 6 2

• 60 0 1 7 2 8 3

• 20 1 1 9 2 53

2 1

9 0 7 1 1 2 450 1 1

540 8 1 1 2

1

230 9 1 8 0 6 1 7 2

320 51 7 2

1

20 7 1 8 2 34 0 6 1 20 1 1 22 3 3

39 0 51 0 2 3 3

2

210 8 1 7 0 3 1 4 2

14 0 4 1 6 2

2

4320 7 1 52 17 0 8 1

414 0 9 1 52

Notas

62

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 100 1.000 10.000

Observa cuál es el valor de este número.

3 3 10.000 1 2 3 1.000 1 6 3 100 1 9 3 10 1 7 5 32.697

Para escribir los números decimales tenían un símbolo para expresar las décimas, otro para las centésimas y otro para las milésimas.

Observa cómo se escribe el número decimal 0,379.

Se escribe el 3 junto con el símbolo de las décimas, después el 7 junto con el símbolo de las centésimas y por último el 9, con el símbolo de las milésimas.

0,379 ▶

3 0,1 7 0,01 9 0,001

Los decimales chinosOtra forma de escribir los números en China, diferente a la que ya has visto, usaba estos símbolos. Fíjate en su valor:

1 Escribe cada número que hay representado.

2 Expresa con símbolos chinos los siguientes números decimales.

4,26 1,098

0,004 0,578

123,05 6,983

15,06 59,007

Décimas Centésimas Milésimas

▼ ▼ ▼

0,1 0,01 0,001

217


SOLUCIONARIO

Actividades1 0,213

2,45 234,098

0,591 29,368 76,007

2 •

•

•

•

•

•

•

•

Notas

63

1 Lee el texto anterior y contesta.

¿Cuántos kilómetros recorrió Filípides desde Maratón a Atenas? ¿Cuántos metros eran?

¿En qué año se incluyó el maratón en los Juegos Olímpicos? ¿Cuántos años hace que se incluyó?

2 La vara es una unidad antigua de longitud que equivale a 0,836 m. Calcula la longitud en metros de cada circuito.

¿Qué circuitos tienen una longitud mayor que la distancia recorrida en un maratón?

3 Lee y calcula.

El ganador del maratón de Berlín 2008 fue el etíope Haile Gebrselassie, que empleó unos 3 minutos, aproximadamente, en recorrer cada kilómetro.

¿Cuántos minutos, aproximadamente, empleó en correr el maratón si la distancia recorrida fue de 42 km?

¿Cuántas horas y minutos tardó?

¿Cuánto tiempo más que Dennis Kinetto tardó Haile Gebrselassie?

El maratónEn el año 490 a. C. el soldado griego Filípides recorrió a pie unos 40 km, desde Maratón a Atenas, para anunciar la victoria sobre el ejército persa. Tras recorrer esta distancia, Filípides murió de fatiga.

En honor a la hazaña de Filípides, se creó una competición con el nombre de maratón, que fue incluida, por primera vez, en los Juegos Olímpicos de Atenas en 1896.

Actualmente, la carrera de maratón consiste en recorrer una distancia de 42,195 kilómetros y se realiza en diversas ciudades a nivel popular.

El récord del mundo lo tiene el keniata Dennis Kinetto, que en 2014 recorrió esta distancia en 2 horas, 2 minutos y 57 segundos.

1.500 varas 50.000 varas 60.000 varas

218


Actividades1 • Recorrió40km,40.000m.

• Seincluyóen1896, hace120años(tomando comofecha2016).

2 1.500 3 0,83651.254m 50.000 3 0,836541.800m 60.00030,836550.160m Eltercercircuitotieneunalongitudmayorquelamaratón.

3 • Empleóaproximadamente126 minutos.

• Tardó2horasy6minutos.

• Tardó5minutosy 3segundosmás.

Notas

64

El cálculo de las medidas de un cuadroLara mira, en un folleto, información sobre la próxima exposición de pintura. Estos son algunos de los cuadros que se podrán ver.

La vendimia (Goya) Escala 1 : 30

Muchacha de espaldas (Dalí) Escala 1 : 12

1 Lee y contesta.

¿A qué escala está hecha la foto del cuadro La vendimia? ¿Qué significa una escala 1 : 30?

¿A qué escala está hecha la foto del cuadro Muchacha de espaldas? ¿Qué significa una escala 1 : 12?

2 Calcula en metros.

El largo y el ancho real del cuadro La vendimia.

El largo y el ancho real del cuadro Muchacha de espaldas.

El perímetro de cada cuadro.

El perímetro en el folleto de cada cuadro.

3 Calcula.

El área que tiene cada cuadro en el folleto.

El área real de cada cuadro.

219


SOLUCIONARIO

Actividades1 • Escala 1:30. Un centímetro

en la página son 30 cm en la realidad.

• Escala 1:12. Un centímetro en la página son 12 cm en la realidad.

2 • 9,2 cm 3 30 5 276 cm 6,3 3 30 5 189 cm Mide 276 cm de largo y 189 cm de ancho.

• 9,2 cm 3 12 5 110,4 cm 6,3 3 12 5 75,6 cm Mide 110,4 cm de largo y 75,6 cm de ancho.

• 2 3 276 1 2 3 189 5 930 La vendimia tiene un perímetro de 930 cm. 2 3 110,4 1 2 3 75,6 5 372 Muchacha de espaldas tiene un perímetro de 372 cm.

• 2 3 9,2 1 2 3 6,3 5 31 Ambos cuadros tienen un perímetro de 31 cm.

3 • 9,2 cm 3 6,3 cm 5 57,96 cm2

Ambos tienen un área en el folleto de 57,96 cm2.

• 276 cm 3 189 cm 5 5 52.164 cm2

La vendimia tiene un área de 52.164 cm2. 110,4 cm 3 75,6 cm 5 5 8.346,24 cm2

Muchacha de espaldas tiene un área de 8.346,24 cm2.

Notas

65

Las unidades de medida especialesLas unidades de longitud que conocemos (km, m, dm…) nos sirven para expresar multitud de medidas que nos encontramos en la vida cotidiana.

Sin embargo, para expresar la distancia entre dos estrellas o la longitud de una bacteria, estas unidades resultan demasiado pequeñas o demasiado grandes. Por eso, utilizamos otras unidades más adecuadas.

Para expresar la distancia entre dos estrellas utilizamos el año luz.

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año y es igual a 9.468.000.000.000 km.

1 año luz 5 9.468.000.000.000 km

Para expresar el ancho de una bacteria utilizamos la micra.

Una micra es la milésima parte del milímetro.

1 micra 5 0,001 mm

1 Lee y calcula.

2 Resuelve.

Mercurio es el planeta más cercano al Sol y está a una distancia de 57.900.000 km. ¿Cuántos minutos y segundos tarda en llegar la luz del Sol a Mercurio?

La distancia del Sol a la Tierra es aproximadamente 150.000.000 km. ¿Cuántos minutos y segundos tarda en llegar la luz del Sol a la Tierra?

La estrella más cercana a nuestro sistema solar es Próxima Centauri, que está a 39.700.000.000.000 km de la Tierra. ¿A cuántos años luz está esta estrella de la Tierra?

La estrella polar está a unos 300 años luz de la Tierra. ¿A cuántos kilómetros está esta estrella de la Tierra?

¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto? ¿Y en una hora?

¿Cuántos kilómetros recorre la luz en una décima de segundo? ¿Y en una centésima?

Velocidad de la luz

La luz recorre 300.000 km en un segundo.

220


Actividades1 • En1minutorecorre

18.000.000km. En1horarecorre 1.080.000.000km.

• En1décimarecorre 30.000km. En1centésimarecorre 3.000km.

2 • Tarda3minutos y13segundos.

• Tarda8minutos y20segundos.

• Estáa4,19añosluz.

• Estáaunadistanciade 2.840.400.000.000.000km, unos2.840billonesdekm.

Notas

Inteligencia

naturalista

66

Las señales con pendientePosiblemente hayas visto, alguna vez, una señal similar a la que aparece en la foto en algún tramo de carretera. ¿Sabes qué significa?

Esta señal nos indica que por cada 100 metros recorridos en la carretera descendemos 10 metros de altura.

10 m

100 m

1 Copia en tu cuaderno y completa en cada esquema el significado de la señal.

2 Observa cada esquema, copia la señal en tu cuaderno y escribe en ella el porcentaje.

100 m 100 m 100 m 100 m9 m 7 m 8 m 6 m

221


SOLUCIONARIO

Actividades1 100 m

10 m

100 m 4 m

100 m 6 m

100 m12 m

2

9 %

7 %

8 %

6 %

Notas

67

Los ángulos en las estrellas doblesSi miras al cielo en una noche estrellada, podrás ver estrellas muy próximas unas de otras. A dos estrellas que aparecen muy próximas, vistas desde la Tierra, las llamamos estrellas dobles.

Las dos medidas que definen a las estrellas dobles son:

Separación: es la distancia entre las dos estrellas (línea verde).

Ángulo de posición: es el ángulo que forma la línea que une las dos estrellas con el norte (ángulo naranja).

N

O

S

E

1 Mide el ángulo de posición de las siguientes estrellas dobles.

2 Copia y dibuja el ángulo de posición de estas estrellas dobles. Después, escribe su medida.

3 Lee y calcula.

La separación entre dos estrellas dobles es igual a 8.138". ¿Cuántos grados, minutos y segundos son?

La separación entre dos estrellas dobles es la longitud de un arco y se mide en segundos.

222


Actividades1 70º 65º 85º

2 110°

120°

130°

3 Son 2º, 159 y 380.

Notas

68

SOLUCIONARIO

El triángulo egipcioEl triángulo sagrado egipcio es el triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades.

En el antiguo Egipto utilizaban este triángulo para obtener ángulos rectos en diversas construcciones.

El triángulo egipcio tiene propiedades notables:

Plutarco comprobó que el cubo de su área es igual a la suma de los cubos de sus lados.

Pitágoras demostró que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

1 Observa el triángulo y comprueba en tu cuaderno la afirmación de Plutarco.

2 Comprueba en cada triángulo la propiedad que demostró Pitágoras.

Área del triángulo ▶ …

Área del triángulo al cubo ▶ …

Cubos de los lados ▶ …, …, …

Suma de los cubos de los lados ▶ … 1 … 1 … 5 …

3 Calcula el cuadrado del lado mayor.

3 cm 3 cm

5 cm3 cm

4 cm

6 cm 9 cm

12 cm 15 cm

5 cm5 cm

10 cm15 cm

16 cm 20 cm

4 cm 4 cm

8 cm 12 cm

223


Actividades1 Área 5 6 cm2

Área al cubo 5 216 cm2

Cubos de los lados 5 27 cm3, 64 cm3, 125 cm3

Suma de los cubos 5 216 cm3

2 • (6cm)2 1(8cm)2 5 100 cm2 (10cm)2 5 100 cm2

• (9cm)2 1(12cm)2 5 225 cm2 (15cm)2 5 225 cm2

3 • (12cm)2 1(16cm)2 5(20cm)2

• (15cm)2 1(20cm)2 5(25cm)2

Notas

69

1 Reproduce las doce piezas en un papel cuadriculado y recórtalas. Usa cuatro cuadraditos para cada cuadrado de la pieza. Haz también un tablero de 8 por 8 casillas en la forma que se indica en el dibujo.

2 Juega una partida con tu compañero utilizando el material que has construido en la actividad 1.

3 Utiliza las doce piezas e intenta completar el siguiente rectángulo.

Los pentominósEn 1953 el norteamericano Solomon Golomb dio a conocer el juego de los pentominós.

Consta de doce piezas, que son los doce polígonos que se pueden construir a partir de cinco cuadrados iguales, uniendo sus lados entre sí.

Cada pentominó recuerda a una letra del alfabeto.

Para jugar una partida se necesita un tablero de 8 3 8 casillas, cada una del mismo tamaño que los cuadrados de los pentominós.

Las piezas se sitúan al alcance de ambos jugadores, que van colocando las piezas por turnos.

Cada pieza se coloca sobre el tablero, de manera que tape cinco casillas, sin solaparse una pieza con otra. Pierde el primer jugador que no pueda colocar ninguna pieza.

F

P

W

I

T

X

L

U

Y

N

V

Z

224


Actividades1 R. L.

2 R. L.

3 R. M. Hay 368 soluciones.

Notas

70

SOLUCIONARIO

1 Observa el dibujo anterior y calcula.

¿Cuántos centímetros de largo mide un DIN A4? ¿Y un DIN A5?

¿Cuántos centímetros de ancho mide un DIN A4?

¿Cómo calcularías el ancho de un DIN A5 a partir de un DIN A4?

¿Cuántos centímetros de ancho mide un DIN A5?

2 Observa los dibujos y calcula. ¿Cuál es el largo de un DIN A6?

¿El largo de un DIN A6 es igual al ancho de un DIN A5?

¿Cómo calcularías el ancho de un DIN A6?

¿Cuál es el ancho de un DIN A6?

Partiendo del DIN A6, ¿sabrías dibujar el DIN A7? ¿Cuáles serían sus medidas?

El tamaño DIN AEn la mayor parte del mundo, los tamaños de papel se acogen a la norma DIN. El tamaño DIN A4 es igual a 29,7 cm de largo por 21 cm de ancho.

Observa cómo se forma el DIN A5 a partir del DIN A4.

DIN A4

29,7 cm

21 cm

DIN A5

DIN A5

21 cm

DIN A6 DIN A6

DIN A5

DIN A6

225


Actividades 1 • Largo DIN A4: 29,7 cm.

Largo DIN A5: 21 cm.

• Ancho DIN A4: 21 cm.

• Dividiendo el largo del DIN A4 entre 2.

• Ancho DIN A5: 14,8 cm.

2 • Largo DIN A6: 14,8 cm.

• Sí, ambos coinciden.

• Dividiendo el largo del DIN A5 entre 2.

• Ancho DIN A6: 10,5 cm.

• Largo DIN A7: 10,5 cm. Ancho DIN A7: 7,4 cm.

DIN A6

DIN A7

DIN A7

Notas

71

1 Con la ayuda de una regla y un transportador, averigua cuáles son polígonos regulares y escribe en tu cuaderno la medida de sus ángulos.

2 Dibuja un diseño con baldosas en el que en un vértice coincidan las siguientes figuras.

Dos hexágonos regulares y un cuadrado.

Tres hexágonos regulares.

Seis triángulos equiláteros.

¿Con cuál de estas tres combinaciones puedes cubrir una superficie plana?

La forma de las baldosasRecuerda que un polígono regular es el que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Los polígonos regulares más sencillos son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el pentágono.

Las baldosas con forma de polígono regular se pueden combinar de muchas formas para cubrir una superficie plana sin dejar huecos ni solaparse una con otra. Solo debe cumplirse que en el vértice donde coinciden las baldosas la suma de todos los ángulos sea igual a 360°.

Observa el siguiente ejemplo, en cada vértice coinciden dos cuadrados y tres triángulos equiláteros.

60° 1 60° 1 90° 1 60° 1 90° 5 360°

60°60°

90° 90°

60°

60°

90°

60°90° 90°

108°

108° 108°

108° 108°

60°

90°

A B C D E

60° 90° 120°

226


Actividades1 Son regulares B, D y E.

2 •

•

•

• Se puede cubrir una superficie plana con los diseños de tres hexágonos y seis triángulos.

Notas

72

SOLUCIONARIO

1 Aplica la idea de Arquímedes y aproxima el área de cada figura, siguiendo los pasos que se indican.

2 Aproxima el área de cada figura utilizando el procedimiento de Arquímedes.

Área polígono rojo 5 …

El área de la figura inicial es

de … aproximadamente.

El truco de ArquímedesA Arquímedes se le considera uno de los grandes matemáticos de la historia y fue el que encontró un método para calcular el área del círculo.

Este método consistía en ir dibujando dentro del círculo polígonos cada vez con más lados. Al aumentar el número de lados del polígono, su área se aproximaba más al área del círculo.

1.º Dibuja alrededor de la figura una línea poligonal lo más próxima al borde de la figura dada (línea poligonal roja).

2.º Cuenta los cuadrados que encierra esa línea poligonal y escribe su área. El área de la figura inicial está muy próxima a la del polígono rojo.

227


Actividades1 Área polígono rojo 5 31

El área de la figura inicial es de 31 aproximadamente.

2

Área polígono rojo 5 18 El área de la figura inicial es de 18 aproximadamente.

Área polígono rojo 5 29 El área de la figura inicial es de 29 aproximadamente.

Área polígono rojo 5 31,5 El área de la figura inicial es de 31,5 aproximadamente.

Notas

73

Los rompecabezas con áreasYa sabes calcular el área de muchas figuras. Conociendo estas áreas, puedes averiguar el área de otras que, a simple vista, parecen muy complicadas. Solo tienes que pensar en cómo descomponer la figura en otras figuras de área conocida.

¿Cuál es el área de la zona azul? Observa cómo lo resolvemos.

2 cm

2 cm

El área de la zona azul es igual a 3,14 cm2.

1.º Dibujamos el círculo de centro A y radio 1 cm.

2.º La figura dada está formada por cuatro partes iguales. Cada una es la cuarta parte del área del círculo.

3.º El área de la figura dada es igual al área del círculo de radio 1 cm.

Área del círculo

p 3 12 5 3,14 cm2

1 cm1 cm

1 cm

A

G

F

1 Calcula el área de cada figura. Piensa antes de calcular.

2 Calcula el área de las siguientes figuras.

2 cm 2 cm

1 cm

2 cm 2 cm

2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

228


Actividades1

El área rosa es 2 veces el área rayada, que es igual a la cuarta parte del área de un círculo de radio 2 cm menos el área del triángulo de base 2 cm y de altura 2 cm.

ARAYADA 5 p 3 (2 cm)2 : 4 2

2 (2 cm 3 2 cm) : 2 5 1,14 cm2

Luego el área de la zona rosa es: 2 3 1,14 5 2,28 cm2

El área rosa es igual a la cuarta parte del área del círculo de radio 2 cm menos el área de las tres zonas rayadas. A 5 p 3 (2 cm)2 : 4 5 3,14 cm2

AZONAS 5 (1 cm)2 1 1 p 3 (1 cm)2 : 4 1 1 p 3 (1 cm)2 : 4 5 2,57 cm2 AROSA 5 0,57 cm2

2

El área amarilla es la diferencia de las áreas de dos triángulos. A 5 (1 cm) 3 (2 cm) : 2 2 2 (1 cm) 3 (1 cm) : 2 5 0,5 cm2

El área verde es igual al área de medio círculo de 1 cm de radio. A 5 p 3 (1 cm)2 : 2 5 1,57 cm2

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

1 cm

74

SOLUCIONARIO

La relación entre área, volumen y calor¿Qué animal se enfría antes: un ratón o un elefante? Se sabe que los cuerpos pierden calor más rápidamente si su área es mayor que su volumen. Observa los cubos de la figura.

Este cubo tiene 6 caras que son cuadrados de 1 cm de lado.

A. de una cara ▶ 1 cm 3 1 cm 5 1 cm2

A. de 6 caras ▶ 6 3 1 cm2 5 6 cm2

V. ▶ 1 cm 3 1 cm 3 1 cm 5 1 cm3

Comparamos el número correspondiente al área y al volumen, y vemos que el del área es mayor que el del volumen.

Área ▶ 6 . 1 ◀ Volumen

Este cubo pierde calor rápidamente.

Este cubo tiene 6 caras que son cuadrados de 8 cm de lado.

A. de una cara ▶ 8 cm 3 8 cm 5 64 cm2

A. de 6 caras ▶ 6 3 64 cm2 5 384 cm2

V. ▶ 8 cm 3 8 cm 3 8 cm 5 512 cm2

Comparamos el número correspondiente al área y al volumen, y vemos que el del área es menor que el del volumen.

Área ▶ 384 , 512 ◀ Volumen

Este cubo conserva el calor más tiempo.

1 cm

1 cm1 cm

8 cm

8 cm8 cm

1 Calcula el área y el volumen de estos cubos.

2 Compara el área y el volumen de los cubos de la actividad 1 y contesta.

Si tuvieras que coger un cubo que pierda calor rápidamente, ¿cuál elegirías? ¿Por qué?

¿Y si tuvieras que elegir un cubo que conservara el calor mucho tiempo? ¿Por qué?

1 cm 3 cm 5 cm7 cm

A B C D

229


Actividades1 A 5 6 3 (1 cm)2 5 6 cm2

V 5 (1 cm)3 5 1 cm3

A 5 6 3 (3 cm)2 5 54 cm2

V 5 (3 cm)3 5 27 cm3

A 5 6 3 (5 cm)2 5 150 cm2

V 5 (5 cm)3 5 125 cm3

A 5 6 3 (7 cm)2 5 294 cm2

V 5 (7 cm)3 5 343 cm3

2 • Pierden calor los cubos A, B y C, ya que su área es mayor que su volumen.

• Conserva el calor el cubo D, pues su área es menor que su volumen.

Notas

75

Las medias engañosasA la hora de calcular la media de unos datos hay que pensar bien qué queremos calcular y qué datos hay que tener en cuenta. Fíjate en el siguiente ejemplo.

Se ha preguntado a cuatro personas cuántos libros leen al año y sus respuestas han sido:

30 16 0 14

Podríamos pensar en calcular la media de libros leídos por cada persona:

30 1 16 1 0 1 144

5 604

5 15

Cada persona lee 15 libros de media, según los datos. Pero, si nos fijamos bien, hay una persona que no lee nada y la media se aleja mucho de ese valor (0). Podríamos también calcular la media de libros leídos por las personas que sí leen.

La media en ese caso es: 30 1 16 1 143

5 603

5 20

Esta media se aproxima más a los datos de las personas que sí leen y es un resultado más adecuado que la media anterior.

1 En cada caso, indica qué dos medias puedes calcular y calcúlalas. Explica cuál de las dos es más adecuada.

Las piezas de fruta que consumió cada niño a la semana fueron: 8 4 0 3 5

El número de veces que fueron al cine el año pasado fue: 9 0 7 0 0 8

El número de hermanos que tiene cada niño es: 3 1 0 0

El número de días que faltó cada niño al colegio el año pasado fue: 8 5 2 0 7 8

230


Actividades1 • Podemos hallar la media

de piezas de fruta en general, 4 piezas, y la media de piezas de fruta de los niños que comieron alguna fruta, 5 piezas. Es más adecuada la segunda.

• Podemos hallar la media de hermanos en general, 1 hermano, y la media de hermanos de los niños que tienen algún hermano, 2 hermanos. Es más adecuada la segunda.

• Podemoshallarlamediade veces en general, 4 veces, y la media de veces de las personas que fueron alguna vez al cine, 8 veces. Es más adecuada la segunda.

• Podemoshallarlamediade faltas en general, 5 faltas, y la media de faltas de los niños que faltaron alguna vez, 6 faltas. Es más adecuada la segunda.

76

SOLUCIONARIO

Las audiencias televisivasPara averiguar la audiencia televisiva, se elige una muestra de 10.000 personas que represente la población del país.

En cada hogar, se instala un pequeño ordenador conectado a la televisión que registra en todo momento qué canal se sintoniza.

Con esta información se calcula el rating y el share, que estiman el éxito o fracaso de un programa. Observa cómo se calculan.

Rating 5 Número de hogares que ven el programa en un momento dado

Número total de hogares de la muestra

Share 5 Número de hogares que ven el programa en un momento dado

Número total de hogares que están viendo la televisión en ese momento

1 Observa la muestra de 20 hogares y el canal que sintoniza cada uno. Las casas en negro tienen el televisor apagado.

2 Lee y calcula.

En una muestra de 100 hogares, el canal 2 lo están viendo en un momento determinado 35 hogares.

¿Cuál es el rating de este canal?

El canal 4, en ese momento, tiene mayor rating que el canal 2. ¿Cuántos hogares, como mínimo, están viendo ese canal?

El canal 6, en ese momento, lo están viendo 54 hogares y hay 1.200 hogares que tienen puesta la televisión. ¿Cuál es el share del canal 6?

¿Cuántos hogares ven cada canal?

¿Cuántos hogares no ven ningún canal?

¿Cuál es el rating del canal 2? ¿Y el del canal 4?

¿Cuál es el share del canal 1? ¿Y del canal 5?

¿Cuál es el rating y el share del canal 3?

2

3

2

5

2

1

5

5

4

5

3

4

5

2

1

231


Actividades1 • Canal 1: 2 hogares.

Canal 2: 4 hogares. Canal 3: 2 hogares. Canal 4: 2 hogares. Canal 5: 5 hogares.

• No ven ninguno 5 hogares.

• Rating canal 2 5 204

Rating canal 4 5 202

• Share canal 1 5 152

Share canal 5 5 155

• Rating canal 3 5 202

Share canal 3 5 152

2 • Rating canal 2 5 10035

• Lo están viendo como mínimo 36 hogares.

• Share canal 6 5 .1 20054

Notas

77

SOLUCIONARIO

Lo esencial

TAREA 11 • Ochomillonessetecientoscincomildoscientos

cuatro.

• Tresmillonesnuevemilquinientossetentay ocho.

• Veintisietemillonestreintayunmildoscientoscincuenta.

• Cincuentamillonescientoochentaysietemilcuatro.

• Trescientosveintemillonesquinientossesentay sietemildoscientostreintaynueve.

• Novecientossetentayunmillonesochentamilseiscientos.

2 • 407.830.112

• 219.020.700

• 800.037.040

TAREA 23 • 7U.demillón14CM15DM16UM18C1

19D11U57.000.0001400.0001 150.00016.000180019011

• 1D.demillón13U.demillón17DM1 15UM18C18D12U510.000.0001 1 3.000.000170.00015.000180018012

• 4C.demillón15D.demillón16U.demillón1 18CM12C14U5400.000.0001 150.000.00016.000.0001800.000120014

• 9C.demillón18D.demillón15DM17UM1 14D11U5900.000.000180.000.0001 150.00017.00014011

TAREA 34 • ,

• ,

• ,

• ,

• .

• ,

5 • 98.760.654.9.876.564.9.807.654. .9.768.564

• 3.699.999,32.730.126,32.760.123, ,36.102.884

TAREA 46 • 5.000;9.000;18.000;29.000;376.000;

402.000

• 7.000.000;10.000.000;38.000.000; 674.000.000

7 • R.M.27.888;27.892;27.914;27.904;27.899

• R.M.339.999;338.777;341.222;343.888; 337.666

TAREA 58 • sexto • duodécimo • vigésimooctavo

• noveno • decimoséptimo • trigésimonoveno

• 6.º

• 5.º

• 11.º

• 16.º

• 22.º

• 36.º

9 Acabóeneloctavolugar.

TAREA 610 • 37 2.042 94 16.250

• XXXIV CDXIX MMDCXXXV LXXXIX CMLXXIV VIIICMLXXXVI

TAREA 711 • 28

• 220

• 130

• 140

• 250

• 212

• 27

• 270

• 114

TAREA 812 • ,

• ,

• .

• .

• .

• ,

• .

• .

13 • 29, 28, 24,0, 12, 13

• 211, 27, 25 , 11, 14, 112

TAREA 914 • A (13,0),B (14,13),C (12,14),D(0,12),

E (23,12),F (23,0),G (24,22),H(0,24), I (14,23)

15 BE H

C A

G F

D

• PuntosA,C,F y H.

• PuntoB.

TAREA 1016 • divisor

• múltiplo/divisible


• divisor

• nomúltiplo

• divisor

• nodivisor


80

17 R.M.

• 0,4,8,12,16

• 0,7,14,21,28

• 0,6,12,18,24

• 0,9,18,27,36

TAREA 1118 • Divisiblespor2:18,40,90,48,180.

Divisiblespor3:18,90,45,15,48,180. Divisiblespor5:40,90,45,15,180. Divisiblespor9:18,90,45,180. Divisiblespor10:40,90,180.

TAREA 1219 • Div(17)51,17.Primo.

Div(28)51,2,4,7,14,28.Compuesto. Div(13)51,13.Primo. Div(20)51,2,4,5,10,20.Compuesto. Div(19)51,19.Primo. Div(25)51,5,25.Compuesto. Div(34)51,2,17,34.Compuesto.

TAREA 1320 • 15

• 24

• 36

• 35

• 30

• 18

TAREA 1421 • 10

• 4

• 6

• 1

• 2

• 4

22 • Elm.c.m.eselmayordeellosyelm.c.d. eselnúmeromenordeambos.

• No,silosdossonpares,elm.c.d.sería comomínimo2.

23 • m.c.m.(2,4y10)520 Pasarán20días.

• m.c.d.(40y28)54 Pondrá4piezasencadabolsa.

TAREA 15

24 • 921 6

31 3

43 4

51 6

61 4

109

• 7

15

314

274

845

7

65

979

TAREA 16

25 • 411

5243

6

10 51

64

29

5421

26

TAREA 1727 • Parejassegunda,tercerayquinta.

28 • 2

10 55 •

636

56 •5

90 518 •

372

524

29 R.L.

30 R.M. •146

5 219 •

422

5 633

•108

1512

5

• 1618

2427

5 •620

930

5

31 •23 •

715

•23 •

710

•21

TAREA 18

32 • ;4842

4816

2421

248

y y • ;162144

162117

1816

1813

y y

• ;1233

1280

1233

1280

y y • ;2050

2018

1025

109

y y

•.

,.

; ,.

.1 296756

1 296 36541 944

1 296720

3621

3620

y y

TAREA 1933 • , • . • , • , • ,

TAREA 2034 • 42centésimas:0coma42.

• 175milésimas;0coma175.

• 9centésimas;0coma09.

• 8unidadesy4décimas;8coma4.

• 6unidadesy83centésimas;6coma83.

• 9unidadesy136milésimas;9coma136.


• 46unidadesy34milésimas;46coma034.

• 135unidadesy9décimas;135coma9.


35 • 0,7

• 0,09

• 0,042

• 3,4

• 2,15

• 6,008

• 9,5

• 3,04

• 8,295

TAREA 2136 • 1d13c50,110,03

• 7d12c19m50,710,0210,009

• 1U13c15m5110,0310,005

• 2D19U17d5201910,7

• 6U12d14c5610,210,04

• 3D12c18m53010,0210,008

• 8D12U14d5801210,4

• 7D12U11m5701210,001

• 4C17D16c540017010,06

• 3C19U15m53001910,005

81

TAREA 2237

0

3

1

3,1

2

3,2

3

3,3

4

3,4

5

3,5

TAREA 2338 • .

• .

• ,

• ,

• ,

• ,

• .

• .

39 • 3,654.3,645.3,546.3,465.3,456

• 9,4.9,323.9,32.9,316.9,288

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TAREA 25

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2,49.100

1 6280,479

43 • R.M.100893

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• 12,9

47 • 115

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• 999

• 5,45

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55 • Doscifras: • 1,14 • 2,91 • 1,75 Trescifras: • 1,125 • 1,494 • 1,123

TAREA 30

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,0,9

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14 ,2,83

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• 2

• 1

• 4

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• 6

82

60 • 631015

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• 4 3 104 13 3 102 12

61 • 5 • 8, 80 ,9 • 6 • 4, 20 ,5

• 5, 26 ,6 • 9 • 7, 50 ,8 • 10

62 • 7

• 64

• 2

• 5

• 81

• 3

TAREA 3263 • 2

• 7,58

• 7

• 14,364

• 32

• 25,174

• 51,957

• 16

• 12,08

• 0,047

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• 100

• 12,8

• 4,5

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• 2.700

• 15,2

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TAREA 34

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10

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18

• 4

17

•1573

• 8

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66

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•845

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1 85

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1 54

TAREA 35

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• 54

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• 9

13

• 29

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•38

•8

19

69 •56

• 14

• 1011

•27

•2

49

•67

70 • R.M.8

17 2

86 • R.M.

527

2 52

TAREA 36

71 • 821

•1033

•165

• 6

•7

30

•427

• 12

• 49

TAREA 37

72 • 3

14

•1522

•45

•9827

•73

• 12

• 20

• 451

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3 32

• R.M.9

12:

31

TAREA 38

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17

• 154

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•152

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1009

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• 15

• 90

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• 2.380

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78 • 20%de30,30%de40,30%de90, ,45%de90

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83

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• 5ºy209 ,5ºy1.4000 ,20.000

87 • 7h44min 8h7min17s

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92 • Hayqueañadir9.950m2.

• Hayquerestar1,3m2. Hayquerestar0,8m2.

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de 2€,1de1€,1de20cts.,1de10cts.y 1de5cts.

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• 1billetede500€,1billetede200€,1billetede 100€,1billetede50€,1billetede20€,1 billetede10€,1billetede5€,1moneda de2€,1monedade1€,1monedade50cts.,1monedade20cts.,1monedade10cts.,1 monedade5cts.,1de2cts.y1de1cént.

• 1billetede500€,2billetesde200€, 1monedade20cts.y1de5cts.

96 • Faltan140,50€.

• Faltan65,40€.

• Faltan264,40€.

TAREA 4697 • R.L.

98 • Paralelas:tyu.Secantes:rys,ryt,ryu,syt,s yu.Perpendiculares:syt,syu.

99 • Rectar: tangentea2ysecantea1. Rectas: secantea2ysecantea1. Rectat: exteriora2yexteriora1.

TAREA 47100 • 80º:agudo;120º:obtuso,150º:obtuso.

101 • R.L.

84

102 Adyacentes,adyacentes,consecutivos,consecutivos.

103

TAREA 48

104

105

TAREA 49106 • R.L.

107 • Triánguloregular;cuadrilátero;eneágono;octógono;decágono;heptágonoregular;hexágono;pentágonoregular.

108 • Isóscelesacutángulo;escalenoobtusángulo;isóscelesrectángulo;escalenoacutángulo;equiláteroacutángulo;isóscelesobtusángulo;escalenorectángulo.

109 • R.L.

110 • A:trapezoide;B:trapezoide;C:trapecio; D:paralelogramorombo;E:paralelogramocuadrado;F:paralelogramoromboide; G:paralelogramorectángulo;H:trapecio; I:trapezoide;J:trapecio.

111

112 • Triángulo:40º.Cuadrilátero:70º.

113 • Miden55ºcadauno.Medirán20ºcadauno.

TAREA 50114 • P 510cm;A 56,25cm2

P 510cm;A 56cm2 P 512,56cm;A 512,56cm2

115 • A 5(5 3 10cm 3 6,9cm):25172,5cm2

• A 5(12cm 3 10cm):2560cm2

• A 5(20cm 3 8cm):2580cm2

• A 540cm 3 15cm5600cm2

• A 5 p 3 (4m)2 550,24m2

116 • P 516cm P 512cm

117 • A 53cm 3 0,8cm1(3cm 3 2,5cm):25 56,15cm2

• A 5 p 3 (2cm)2 2 4 3 (1cm)2 58,56cm2

TAREA 51118 • Poliedro,esfera,poliedro,poliedro,cono,

poliedro,poliedro,cilindro.

119 • Pirámidehexagonal:7caras,7vértices,12aristas.Poliedro:5caras,6vérticesy9aristas.Prismahexagonal:8caras,12 vértices,18 aristas.Prismacuadrangular:6caras,8vértices,12aristas.

120 • Cubo;prismatriangular;pirámidepentagonal; cilindro;cono.

TAREA 52121 • A 52 3 6 cm 3 3 cm12 3 6 cm 3 10cm1

12 3 3 cm 3 10cm5216cm2

• A 59cm 3 9 cm14 3 (12cm 3 9 cm):25 5297cm2

• A 5(6 3 8 cm 3 6,9cm):21 16 3 (8cm 3 12cm):25453,6cm2

• A 52 3 p 3 (5cm)2 12 3 p 3 5 cm 3 10cm5 5471cm2

• A 5 p 3 (6cm)2 1 p 3 6 cm 3 10cm5

5 301,44cm2

• A 54 3 p 3 (7cm)2 5615,44cm2

122 • V 5(6cm)3 5216cm3

• V 5(10cm 3 10cm 3 8 cm):35266,6cm3

• V 5(6 3 10cm 3 8,7cm):2 3 15cm53.915cm3

• V 5 p 3 (5cm)2 3 10cm5785cm3

• V 5 (p 3 (8cm)2 3 12cm):35803,84cm3

• V 5(4 3 p 3 (10cm)3):354.186,6cm3

123 • A 510m310m365600m2 V 510m310m310m51.000m3

• A 543 p 3(20dm)2 55.024dm2 V 543 p 3(20dm)2:3533.493,33dm3

• (200cm)3]4343 p 3(10cm)3:35 57.923,253,34cm3

• A 5 p 3(10dm)2 123 p 310dm31dm5

5376,8dm2

85

Contenidos de la unidad

SABERNÚMEROS Y OPERACIONES

• Reducción a común denominador.

• Comparación de fracciones.

• Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.

SABER HACER

NÚMEROS Y OPERACIONES

• Reducción de fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados y del m.c.m.

• Comparación y ordenación de fracciones.

• Suma de fracciones.

• Resta de fracciones.

• Multiplicación de fracciones.

• División de fracciones.

• Cálculo de operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

• Cálculo de operaciones con fracciones, números mixtos y números naturales.

• Resolución de problemas con fracciones.


• Elección de la representación gráfica que corresponde a una situación.

• Resolución de problemas con fracciones representando la situación.

TAREA FINAL • Estudiar la pureza de una joya.


• Interés por conocer las relaciones entre los números.

• Valoración de la utilidad de las operaciones con fracciones para resolver cuestiones prácticas en la vida diaria.

Fracciones. Operaciones5

86





• Evaluación de contenidos. Unidad 5: controles B y A. Primer trimestre: pruebas de control B, A y E.







• Proyecto del primer trimestre.





Aprendizaje eficaz






RECURSOS DIGITALES

LibroMedia


LibroNet

MATERIAL DE AULA

Láminas


Cuaderno del alumno

• Primer trimestre. Unidad 5.

Solución de problemas. Método DECA.


Octubre DiciembreNoviembre

ES0000000001166 454649_Matematicas_6-1_20760

PRIMARIA

PRIMARIA

Ma

tem

áti

ca

s Matemáticas

Primer trimestre

Matemáticas

Primer trimestre

PRIMARIA

Primer

trim

est

re


26/01/2015 11:44:25


PR

IMA

RIA

MatemáticasPrimer trimestre

MatemáticasPrimer trimestreP

RIM

AR

IA

CUADERNO

CUADERNO


87

Propósitos• Reconocer situaciones reales donde aparecen fracciones.

• Recordar los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de la unidad.

Previsión de dificultades• Trabaje el concepto de fracciones equivalentes al comienzo de la unidad mostrando cómo reconocerlas y obtenerlas. Indique que hay infinitas fracciones equivalentes a una dada.

• La reducción de fracciones a común denominador es un proceso fundamental en el que algunos alumnos tienen dificultades. Asegúrese de que todos lo dominan antes de abordar el resto de la unidad.

• La realización de operaciones en las que hay números naturales y fracciones puede plantear dificultades. Haga hincapié en que expresen los números naturales como fracciones de denominador la unidad y operen después.

• Al realizar operaciones combinadas con fracciones, señale a los alumnos la importancia de tener en cuenta tanto la jerarquía de las operaciones como el correcto cálculo de estas.

Trabajo colectivo sobre la láminaLea la lectura o pida a un alumno que lo haga. Luego, pídales que comenten sus impresiones sobre ella. Plantee después actividades similares con el sistema monetario del euro.

1 1 sestercio 5 1

4 denario.

Se lee un cuarto.

Numerador: 1. Denominador: 4.

2 1 denario 5 4 sestercios.

3 1 sestercio 5 4 ases. R. L.

4 1 as 5 1

4 sestercio. R. L.


• Trabaje de forma manipulativa o gráfica la de la lámina inicial y las preguntas planteadas. Para ello forme grupos de alumnos, deles varios cuadrados de papel divididos en cuatro partes iguales y cada una de estas cuatro partes en otras cuatro y pídales que, tras leer la lectura, escriban en cada cuadrado pequeño, mediano y grande su equivalencia (cada pequeño es un as, cada mediano un sestercio y cada grande un denario). Después, puede hacer actividades de compra y venta dividiendo algunos de los cuadrados en sus partes más pequeñas.

70

5 Fracciones. Operaciones

¿Cuánto valían las monedas que usaban los romanos?

En la época de los romanos ya se utilizaban monedas en la vida cotidiana. El valor de las monedas dependía del peso y de los tipos de metal que contenía cada moneda.

Aunque había monedas de oro, por ejemplo, el áureo, las más utilizadas por los romanos en su vida diaria eran las monedas de plata, bronce y, en menor medida, cobre.

El denario era la moneda de plata más grande y con ella se suelen comparar las demás monedas.

Otra moneda utilizada era el sestercio, cuyo valor era la cuarta parte de un denario. Una moneda muy común, hecha de bronce, era el as

y su valor era 116

de denario, es decir, 1 denario eran 16 ases.

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 70 02/02/2015 12:25:10

88

UNIDAD 5

5 1 denario 5 1

25 áureo.

Se lee un veinticincoavo.

6 1 áureo 5 100 sestercios.

1 áureo 5 400 ases.

¿Qué sabes ya?Trabaje estas actividades para recordar con los alumnos el concepto de fracciones equivalentes y sus procedimientos relacionados (amplificación, simplificación y obtención de la fracción irreducible).

1 • 3

2 5

30

20

• 8

7 5

40

35

• 7

14 5

35

70

• 9

3 5

54

18

2 R. M.

• 50

40 5

100

80 5

25

20 5

5

4

• 18

12 5

36

24 5

9

6 5

3

2

• 28

14 5

84

42 5

14

7 5 2

• 36

100 5

72

200 5

18

50 5

9

25

• 42

30 5

84

60 5

21

15 5

7

5

NotasCompetencias

• Competencia lingüística. Cuando trabaje con los alumnos las preguntas de la lectura, y en especial la de Expresión oral, pídales que razonen de forma clara sus respuestas y que usen términos matemáticos en esas explicaciones.

• Aprender a aprender. Recuerde con los alumnos todo lo que ya conocían sobre las fracciones. Deje clara la idea de progreso en el saber mostrándoles que en esta unidad van a aprender a realizar todas las operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.

71


1 Expresa, con una fracción, el valor en denarios que tenía un sestercio. ¿Cómo se lee esa fracción? ¿Cuáles son sus términos?

2 ¿Cuántos sestercios valía un denario?

3 ¿Cuántos ases valía un sestercio? ¿Cómo lo has averiguado?

4 EXPRESIÓN ORAL. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un as en sestercios? ¿Cómo lo has hallado?

5 Un áureo valía 25 denarios. ¿Puedes expresar en forma de fracción el valor de un denario en áureos? ¿Cómo se lee esa fracción?

6 ¿Cuántos sestercios valía un áureo? ¿Y ases?

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si expresan una misma cantidad. Si al multiplicar sus términos en cruz los resultados coinciden, son equivalentes.

23

5 812

porque 2 3 12 5 3 3 8 5 24

Podemos obtener fracciones equivalentes a una dada, multiplicando sus términos por un mismo número distinto de cero (amplificación) o dividiendo los dos términos entre un mismo divisor común (simplificación).

128

Amplificación 128

5 2416

5 3624

128

Simplificación 128

5 64

5 32

La fracción equivalente a una dada que no se puede simplificar se llama fracción irreducible.

1 Completa en tu cuaderno para que las fracciones sean equivalentes.

32

5 20

87

5 40

14

5 3570

9

5 5418

2 Obtén fracciones equivalentes a cada una por amplificación y simplificación.

5040

1812

2814

36100

4230

TAREA FINAL


Al final de la unidad estudiarás la pureza de distintas joyas. Antes, aprenderás a sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

SABER HACER

¿Qué sabes ya?

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 71 02/02/2015 12:25:14

Inteligencia

lingüística

89

Propósitos• Reducir fracciones a común denominador por los dos métodos.

Sugerencias didácticasPara empezar. Recuerde con los alumnos el método de reducción a común denominador de los productos cruzados.

Para explicar. Muestre la importancia de obtener primero el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común de las fracciones equivalentes, y más tarde obtener los numeradores. Pídales que comprueben que las fracciones obtenidas son equivalentes a las fracciones dadas.

Actividades

1 • 6

10 y

4

10 •

50

140 y

42

140

• 21

60 y

18

60 •

15

48 y

18

48

• 42

63,

36

63 y

35

63

• 24

60,

18

60 y

35

60

2 • Productos: 64

28 y

63

28.

m.c.m.: 64

28 y

63

28.

• Productos: 144

216 y

90

216.

m.c.m.: 24

36 y

15

36.

Es mejor, en general, el método del m.c.m. porque los términos de las fracciones equivalentes que se obtienen son menores y eso nos facilitará más tarde el trabajo al operar con fracciones.

3 • Es posible reducir cualquier grupo. Basta con calcular el m.c.m. de los denominadores y aplicar el método visto.

• Las fracciones obtenidas son equivalentes a las dadas y por tanto siguen siendo menores (o mayores) que la unidad.

Otras actividades

• Profundice con los alumnos en la comparación de los dos métodos de reducción a común denominador, pidiéndoles que reduzcan varias parejas de fracciones usando los dos métodos. Por ejemplo:

3

5 y

2

7

2

3 y

7

8

4

15 y

3

25

7

12 y

5

18

7

24 y

5

8

Pídales que aporten sus ideas sobre la mayor o menor facilidad de uno u otro método en función de los denominadores de las fracciones (si son números bajos o no…). Pídales que comprueben que, aunque los resultados a veces varían con el método usado, ambos son válidos, pues las fracciones encontradas son equivalentes.

72

Silvia quiere obtener dos fracciones equivalentes a 56

y 38

y

que tengan ambas el mismo denominador. Observa cómo lo hace.

1.º Halla el denominador común.

Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

56

y 38

m.c.m. (6 y 8) 5 24

2.º Obtén el numerador de cada fracción.

Divide el denominador común entre el denominador de cada fracción, y multiplica el resultado por el numerador.

56

24 : 6 5 4; 4 3 5 5 20 56

5 2024

38

24 : 8 5 3; 3 3 3 5 9 38

5 924

56

y 38

Fracciones equivalentes con el mismo denominador 20

24 y 9

24

1 Reduce a común denominador por el método del mínimo común múltiplo.

35

y 410

514

y 620

23

, 47

y 59

720

y 930

516

y 924

25

, 310

y 712

2 Reduce a común denominador por los dos métodos y contesta.

167

y 94

1218

y 512

¿Qué método crees que es mejor? ¿Por qué?


¿Es posible reducir cuatro fracciones a común denominador? ¿Cómo lo harías? ¿Podrías reducir cualquier grupo de fracciones?

Si se reducen a común denominador dos fracciones menores que la unidad, las fracciones que obtienes ¿son siempre menores que la unidad? ¿Qué ocurre si reduces dos fracciones mayores que la unidad?

Método del mínimo común múltiplo

Reducción a común denominador

RECUERDA

El m.c.m. de dos o más números es el menor múltiplo común a todos ellos distinto de cero.

RECUERDA

Método de reducción de los productos cruzados

Multiplica los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra.

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 72 02/02/2015 12:25:17

90

UNIDAD 5

Propósitos• Comparar fracciones.

Sugerencias didácticasPara empezar. Recuerde con los alumnos la comparación de fracciones cuando tenían algún término en común. Señale que ahora van a aprender a comparar cualquier grupo de fracciones.

Para explicar. Deje claro el procedimiento a seguir: primero, analizar si existe algún término común, y después, en caso contrario, reducir a común denominador y aplicar entonces la técnica para fracciones con denominador común. Pídales que tengan especial cuidado al ordenar grupos e indique que en el caso en el que aparezcan números naturales o números mixtos, deberán expresar estos como fracciones y comparar después.

Actividades

1 • 1

4 ,

2

3 •

2

7 ,

3

8

• 5

8 .

1

6 •

3

10 ,

5

12

• 2

5 ,

7

15 ,

9

10

• 7

12 5

14

24 ,

5

8

2 • 21

5 .

20

5

• 22

7 ,

23

7

• 17

4 .

15

8

Cálculo mental• 35 • 44 • 25 • 17

• 18 • 26 • 24 • 16

• 39 • 17 • 27 • 25

• 22 • 15 • 28 • 13

Otras actividades

• Comente otra forma de comparar dos fracciones con distinto denominador y numerador: multiplicar los términos en cruz y comparar los productos obtenidos. Por ejemplo:

3

5 y

4

7

3 3 7 5 21

4 3 5 5 20 21 . 20 F

3

5 .

4

7

Si lo cree conveniente, razone con los alumnos que hacemos lo mismo que al reducir las dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados, aunque, como sabemos que el denominador común será el mismo, podemos comparar los numeradores sin necesidad de hallar dicho denominador.

73

5Comparación de fracciones

Marcos está comparando distintas parejas de fracciones. Para ello mira si tienen algún término igual.

Fracciones con igual denominador

Es mayor la fracción que tiene el numerador mayor.

58

y 78

58

, 78

porque 5 , 7

Fracciones con igual numerador

Es mayor la fracción que tiene el denominador menor.

83

y 85

83

. 85

porque 3 , 5

Fracciones con distinto numerador y denominador

Primero, se reducen todas las fracciones a común denominador y, después, se comparan los numeradores.

25

y 46

25

5 1230

y 46

5 2030

1230

, 2030

25

, 46

1 Compara en tu cuaderno escribiendo el signo correspondiente.

14

y 23

27

y 38

58

y 16

310

y 512

715

, 25

y 910

58

, 712

y 1424

2 Compara. Primero expresa los números naturales y mixtos como fracciones.

215

y 4

227

y 3 27

174

y 1 78

Resta por compensación: suma el mismo número a los dos términos para que el segundo sumando sea una decena

Cálculo mental

54 2 19 72 2 28 42 2 17 43 2 26

47 2 29 64 2 38 51 2 27 52 2 36

78 2 39 85 2 68 84 2 57 71 2 46

81 2 59 93 2 78 95 2 67 99 2 86

HAZLO ASÍ

3 y 125 3 5 15

5 15

5 . 12

5 3 . 12

5

2 13

y 83

2 13

5 2 3 3 1 1

3 5

73

73

, 83

2 13

, 83

63 2 27 5 66 2 30 5 36

1 3

1 3

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 73 02/02/2015 12:25:19

91

74

Suma de fracciones

1 Suma las fracciones. Fíjate en si sus denominadores son iguales o no.

27

1 37

49

1 59

35

1 16

58

1 46

310

1 64

23

1 34

1 16

2 Calcula estas sumas de fracciones y números naturales.

2 1 34

5 1 57

1 46

43

1 4 610

1 5 1 34

5 1 38

3 1 75

1 4

3 Resuelve.

Emilio compra filetes de ternera que pesan cinco sextos de kilo y filetes de cerdo que pesan medio kilo. ¿Qué fracción de kilo pesan en total los filetes? ¿Pesan más o menos de un kilo?

Leandro tiene un terreno con árboles frutales. En dos quintos del terreno tiene naranjos y en un cuarto, manzanos. ¿Qué fracción del terreno tiene árboles frutales?

Suma 25

y 14

1.º Como las fracciones tienen distinto denominador, las reducimos a común denominador.

25

y 14

m.c.m. (5 y 4) 5 20

25

5 820

14

5 520

2.º Sumamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común.

25

1 14

5 820

1 520

5 8 1 520

5 1320

Tienen árboles frutales 1320

del terreno.

Para sumar dos o más fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se suman los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

HAZLO ASÍ

1.º Escribe cada número natural en forma de fracción con denominador la unidad.

2.º Suma las fracciones obtenidas.

3 1 25

5 31

1 25

5 155

1 25

5 175

PRESTA ATENCIÓN

Al operar con fracciones, simplifica siempre al máximo la fracción del resultado.

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 74 02/02/2015 12:25:21

Inteligencia

naturalista

Propósitos• Sumar fracciones.

• Resolver problemas de suma de fracciones.

Sugerencias didácticasPara empezar. Recuerde con los alumnos cómo se realizaba la suma de fracciones de igual denominador. Puede trabajarla gráficamente si algunos alumnos tienen dificultades.

Para explicar. Comente el ejemplo resuelto, indicando la necesidad de analizar los términos de las fracciones antes de operar. Señale que para poder sumar fracciones, todas deben tener el mismo denominador. En el caso de suma de fracciones y números naturales, indique que deben expresar estos como fracciones de denominador 1 y operar después.

Llame la atención de los alumnos sobre la importancia de simplificar los resultados de las operaciones.

Para reforzar. Plantee a los alumnos preguntas como las siguientes para que practiquen la suma e investiguen: la suma de dos fracciones menores que la unidad ¿es siempre menor que la unidad? ¿Y si las dos fracciones son mayores que la unidad? La suma de dos fracciones con distintos denominadores ¿puede ser igual a un número natural?

Actividades

1 • 5

7 •

9

9 5 1 •

23

30

• 31

24 •

9

5 •

19

12

2 • 11

4 •

134

21

• 16

3 •

127

20

• 43

8 •

42

5

3 5

6 1

1

2 5

4

3

Pesan en total 4

3 kg.

Pesan más de 1 kg.

Otras actividades

• Escriba en la pizarra varias sumas de fracciones cambiando el orden de los sumandos y pregunte a los alumnos si piensan que el resultado será el mismo. A continuación, calcúlelas en común y comente al final que la suma de fracciones también cumple las propiedades conmutativa y asociativa. Por ejemplo:

3

7 1

5

6 y

5

6 1

3

7

( 2

3 1

5

3) 1

9

4 y

2

3 1 ( 5

3 1

9

4)

92

75

5Resta de fracciones

1 Resta. Fíjate bien en los términos de cada resta.

69

2 59

27

2 19

814

2 26

5 2 37

4115

2 2

58

2 38

35

2 310

72

2 103

6 2 58

195

2 3

2 Calcula en tu cuaderno estas operaciones combinadas con fracciones. Sigue el mismo orden que en las operaciones con números naturales.

23

1 14

2 12

12

2 12

5

35

2 12

1 23

10

1 23

5

( 34 1

15 ) 2

12

2 12

5

65 2 ( 2

3 1 12 )

2 5

Explica y calcula.

¿Cómo harías la resta 83

2 34

2 712

? ¿Y la resta 2 78

2 104

?

Razonamiento

Marina necesita medio kilo de chocolate negro y tres cuartos de kilo de chocolate blanco. ¿Qué cantidad de chocolate blanco más que de chocolate negro necesita?

Resta 12

a 34

1.º Como las fracciones tienen distinto denominador, primero las reducimos a común denominador.

12

y 34

m.c.m. (2 y 4) 5 4

12

5 24

34

5 34

2.º Restamos los numeradores y dejamos como denominador el denominador común.

34

2 12

5 34

2 24

5 3 2 24

5 14

Necesita 14

de kilo de chocolate blanco más que de chocolate negro.

Para restar dos fracciones, primero se reducen las fracciones a común denominador si es necesario. Después, se restan los numeradores y se deja como denominador el denominador común.

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UNIDAD 5

Otras actividades

• Proponga a los alumnos que completen los siguientes cuadrados mágicos, de modo que la suma de las fracciones de cada fila, columna y diagonal sea siempre el mismo número:

4/8 2/8

5/8

6/8

1 10/3 5/3

8/3

3

Al corregirlos en la pizarra, pida a los alumnos que escriban la suma calculada para averiguar el total común y la suma y resta combinadas para hallar el número de cada casilla.

Propósitos• Restar fracciones.

Sugerencias didácticasPara empezar. Recuerde con los alumnos cómo se realizaba la resta de fracciones de igual denominador.

Para explicar. Comente el ejemplo resuelto, mostrando las similitudes con la suma, tanto al operar con fracciones como si intervienen números naturales o números mixtos.

Para reforzar. Entregue a cada alumno una tarjeta de papel para que escriba una fracción y junte todas las tarjetas formando un montón. Saque dos tarjetas al azar, lea las fracciones en voz alta e indique a los alumnos que calculen su suma y su diferencia. Hágales ver que antes de escribir la resta, deben averiguar cuál de las dos fracciones es mayor, para usarla como minuendo.

Actividades

1 • 1

9 •

11

63 •

5

21 •

32

7 •

11

15

• 1

4 •

3

10 •

1

6 •

43

8 •

4

5

2 • 11

12 2

1

2 5

5

12

• 1

10 1

2

3 5

23

30

• 19

20 2

1

2 5

9

20

• 6

5 2

7

6 5

1

30

Razonamiento• En primer lugar se restarían las dos primeras fracciones y luego al resultado obtenido se restaría la tercera fracción:

23

12 2

7

12 5

16

12 5

4

3• En primer lugar se expresaría el número mixto como fracción y luego se restarían las dos fracciones:

23

8 2

10

4 5

3

8

93

76

En la habitación de Borja, la mitad de una pared está pintada de verde. Borja tiene colgados varios pósteres que cubren tres quintos de la zona verde. ¿Qué fracción de pared cubren los pósteres?

Zona verde 12

de la pared

Zona con pósteres

35

de 12

de la pared 5 310

de la pared

Calcula 35

de 12

, es decir, multiplica 35

por 12

El numerador es el producto de los numeradores.

El denominador es el producto de los dos denominadores.

Los pósteres cubren 310

de la pared.

Multiplicación de fracciones

1 Calcula en tu cuaderno.

34

de 58

57

de 23

56

de 29

23

3 15

3 46

35

3 19

3 26

34

3 27

210

3 58

56

3 35

35

3 43

3 78

29

3 38

3 16

2 Calcula estas multiplicaciones de números naturales y fracciones.

5 3 49

59

3 6 47

3 5 3 38

9 3 37

78

3 9 67

3 29

3 5

3 Completa en tu cuaderno para que las igualdades sean ciertas.

3

3 7 5 2435

5 3 6

5 4240

25

3 4

3 6 5 3260

35

3 12

5 3 3 15 3 2

5 310

Para multiplicar dos o más fracciones se escribe como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

RECUERDA

Expresa el número natural como una fracción y luego opera.

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 76 02/02/2015 12:25:26

Propósitos• Multiplicar fracciones.

• Resolver problemas de multiplicación de fracciones.

Sugerencias didácticasPara empezar. Recuerde con los alumnos cómo se obtenía la fracción de un número.

Para explicar. Presente la situación inicial y muestre cómo se obtiene la solución de forma gráfica. Comente que la expresión «tres quintos de un medio» es lo mismo que calcular el producto de ambas fracciones. Señale que en la multiplicación no es necesario reducir las fracciones a común denominador, aunque sí simplificar el resultado obtenido. Muestre que si aparecen números naturales, se siguen expresando estos como fracciones de denominador 1.

A la hora de trabajar las operaciones combinadas, señale que la jerarquía de las operaciones es la misma que ya conocían para los números naturales y decimales.

Actividades

1 • 15

32 •

10

21 •

5

27 •

4

45 •

1

45

• 3

14 •

1

8 •

1

2 •

7

10 •

1

72

2 • 20

9 •

10

3 •

15

14

• 27

7 •

63

8 •

20

21

3 • 3

5 3

8

7 5

24

35

• 7

5 3

6

8 5

42

40

• 2

5 3

4

2 3

4

6 5

32

60

4 • 3

5 3

13

24 5

13

40

• 2

7 1

3

8 5

37

56

• 11

2 2

4

15 2

5

3 5

5 157

30 2

5

3 5

107

30

Otras actividades

• Escriba en la pizarra la expresión a 3 b 5 c. Comente que, al multiplicar dos números naturales (excepto 0 y 1), el producto es mayor que los factores, pero con las fracciones no siempre ocurre así. Escriba varios ejemplos y compruebe en común que:

2 Si b es un número natural, c siempre es mayor que a.

Ejemplo: 3

5 3 2 5

6

5,

6

5 .

3

5

2 Si b es una fracción mayor que 1, c siempre es mayor que a. Si b es una fracción menor que 1, c siempre es menor que a.

Ejemplos: 4 3 7

3 5

28

3,

28

3 . 4

5

2 3

3

4 5

15

8, 15

8 ,

5

2

94

77

5

4 Calcula las siguientes operaciones combinadas.

Problemas

5 Resuelve.

Para su cumpleaños, Lola compra pasteles. Tres quintos de los pasteles son de chocolate y cuatro séptimos de los pasteles de chocolate llevan crema. ¿Qué fracción de los pasteles tienen chocolate y crema?

Una empanada pesaba tres cuartos de kilo y Olga compró la mitad. ¿Qué fracción de kilo pesó el trozo de empanada que compró Olga?

En un parque hay 90 bancos. Cuatro novenos de los bancos son de madera, y de ellos, un octavo es de madera de chopo. ¿Qué fracción de los bancos es de madera de chopo? ¿Cuántos son?

Calcula:

45

de 23

de 30

815

de 30

¿Qué observas?

SABER MÁS

Resta por compensación: resta el mismo número a los dos términos para que el segundo sea una decena

Cálculo mental

35 2 11 45 2 22 64 2 23 75 2 24

46 2 31 63 2 42 75 2 33 66 2 34

79 2 51 74 2 52 86 2 53 79 2 54

80 2 61 81 2 62 92 2 63 82 2 74

HAZLO ASÍ

Haz los cálculos en este orden:

1.º Operaciones de los paréntesis.2.º Multiplicaciones en el orden en que aparecen.3.º Sumas y restas en el orden de aparición.

23

2 12

3 35

5 23

2 310

5 2030

2 930

5 1130

23

2 ( 12

1 14 ) 3

26

5 23

2 34

3 26

5 23

2 624

5

5 1624

2 624

5 1024

5 512

35

3 ( 38

1 16 ) 2

7 1 1

4 3 3

2 11

2 2 1

3 3 4

5 2 5

3

59 2 23 5 56 2 20 5 36

2 3

2 3

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UNIDAD 5

5 •3

5 3

4

7 5

12

35

Tienen chocolate y crema 12

35

de los pasteles.

• 3

4 3

1

2 5

3

8

El trozo pesó 3

8 de kg.

• 4

9 3

1

8 5

1

18

Son de madera de chopo 1

18

de los bancos.

1

18 de 90 5 5

Son de madera de chopo 5 bancos.

Saber más4

5 de

2

3 de 30 5

4

5 de 20 5 16

8

15 de 30 516

Ambas expresiones son equivalentes,

ya que 4

5 de

2

3 5

8

15. Calcular

varias fracciones de un número consecutivas equivale a hallar el producto de esas fracciones y aplicarlo a ese número.

Cálculo mental• 24 • 23 • 41 • 51

• 15 • 21 • 42 • 32

• 28 • 22 • 33 • 25

• 19 • 19 • 29 • 8


• Agrupealosalumnosporparejas.Cadaalumnodeberáescribir una operación combinada con sumas, restas y multiplicaciones de fracciones sinparéntesisyotraoperaciónquesíincluyaparéntesis.Después,lapasaráasucompañeroparaquelaresuelva.Mástarde,cadaalumnocomprobaráque su compañero ha resuelto bien la operación que él le planteó. Compruebe en común algunas de las operaciones y sus resoluciones.

95

78

Elena tiene una caja con 3 kilos y medio de fresas. Las reparte en cestas de un cuarto de kilo cada una. ¿Cuántas cestas prepara?

Fresas 3 kg y medio 3 12

72

Cestas de 14 kg 1 kg 5 4 cestas 14 cestas

Calcula cuántos 14

hay en 72

, es decir, divide 72

entre 14

El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda.

El denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

Elena prepara 14 cestas con fresas.

División de fracciones

1 Calcula estas divisiones.

43

: 67

53

: 26

49

: 73

310

: 54

711

: 25

32

: 23

2 Calcula la fracción que falta y completa en tu cuaderno.

34

: 5 38

56

: 5 5

24 3

8 : 5

1516

79

: 5 7

12

3 Divide estas fracciones y números naturales.

23

: 5 67

: 8 4 : 16

9 : 23

4 Halla la fracción inversa de cada fracción dada.

38

52

117

814

72

: 14

5 7 3 42 3 1

5 282

5 14

Para dividir dos fracciones se multiplican sus términos en cruz.

HAZLO ASÍ

La fracción inversa se obtiene dividiendo 1 entre la fracción, es decir, cambiando el numerador por el denominador.

37

73

Fracción

inversa

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 78 02/02/2015 12:25:30

Propósitos• Dividir fracciones.

• Resolver problemas de división de fracciones.

Sugerencias didácticasPara explicar. Presente la situación de forma similar a lo hecho con la multiplicación, comentando primero la resolución gráfica y después su equivalente numérico. Indique que, para dividir, no es necesario reducir a común denominador.

Deje claro el concepto de fracción inversa y la posibilidad de dividir con el algoritmo usual o multiplicando la primera fracción por la inversa de la segunda.

Comente que las operaciones combinadas con fracciones siguen la misma jerarquía que las operaciones con naturales.

Para reforzar. Escriba en la pizarra varias parejas de fracciones (o de número natural y fracción). Pida a los alumnos que dividan la primera fracción entre la segunda. Luego, indique que dividan la segunda fracción entre la primera. Corrija en la pizarra las dos divisiones obtenidas y pida a los alumnos que expliquen la relación que existe entre ambos resultados: son fracciones inversas.

Actividades

1 • 14

9 •

30

6 5 5 •

4

21

• 6

25 •

35

22 •

9

4

2 • 3

4 :

2

1 5

3

8 •

3

8 :

2

5 5

15

16

• 5

6 :

4

1 5

5

24 •

7

9 :

4

3 5

7

12

3 • 2

15 •

3

28 • 24 •

27

2

4 • 8

3 •

2

5

• 7

11 •

14

8

5 • 3

8 3

9

4 5

27

32

Otras actividades

• Plantee a los alumnos varios problemas de multiplicación o división de fracciones, para que tomen nota de los datos (si tienen dificultad, puede hacerlo un alumno en la pizarra), elijan la operación correspondiente y los resuelvan. Por ejemplo:

2 Roberto empaqueta 6 kg de alitas de pollo en bandejas de 3/4 de kilo. ¿Cuántas bandejas puede hacer?

2 Julia vende en un trozo las tres quintas partes de un queso que pesa 3/4 de kilo. ¿Cuánto pesa el trozo de queso vendido?

2 Celia empaqueta 2 kg y 3/4 de kg de patatas fritas en bolsas de cuarto de kilo. ¿Cuántas bolsas prepara?

96


83

2 25

: 16

72

3 23

: 14

53

: ( 25

2 16 ) 8

5 2 ( 3

4 : 2

3 ) 1 38

118

: ( 34

2 12 ) 1 5

6

Problemas

7 Resuelve.

Tomás reparte 8 kg de mandarinas en mallas de tres cuartos de kilo cada una. ¿Cuántas mallas obtiene?

Julia reparte la mitad de un bizcocho en 4 partes iguales. ¿Qué fracción de bizcocho es cada parte?

Para adornar dos tartas, Mario ha utilizado tres cuartos de kilo de fresas y medio kilo de cerezas. En cada tarta ha puesto la misma cantidad. ¿Qué cantidad de fruta ha puesto en cada tarta?

79

5

5 Convierte cada división en una multiplicación y calcula.


83

2 25

: 16

72

3 23

: 14

53

: ( 25

2 16 ) 8

5 2 ( 3

4 : 2

3 ) 1 38

118

: ( 34

2 12 ) 1 5

6

Problemas

7 Resuelve.

Tomás reparte 8 kg de mandarinas en mallas de tres cuartos de kilo cada una. ¿Cuántas mallas obtiene?

Julia reparte la mitad de un bizcocho en 4 partes iguales. ¿Qué fracción de bizcocho es cada parte?

Para adornar dos tartas, Mario ha utilizado tres cuartos de kilo de fresas y medio kilo de cerezas. En cada tarta ha puesto la misma cantidad. ¿Qué cantidad de fruta ha puesto en cada tarta?

¿Qué ocurre si divides una fracción por otra fracción menor que la unidad? ¿Cómo es el resultado: mayor o menor que la fracción inicial?

SABER MÁSHAZLO ASÍ

Otra forma de dividir fracciones es multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.

45

: 37

5 45

3 73

5 4 3 75 3 3

5 2815

38

: 49

85

: 6 11

127

: 68

57

: 310

PRESTA ATENCIÓN

1.º Paréntesis.

2.º Multiplicaciones y divisiones.

3.º Sumas y restas.

Lee y contesta.

Isabel ha dividido dos de estas fracciones y ha obtenido como resultado una fracción cuyo numerador y denominador son el cuadrado de un número.

¿Cuáles son esas fracciones?

¿Cómo es una respecto de la otra?

¿Ocurre lo mismo siempre con este tipo de fracciones?

Razonamiento

87

78

83

35

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 79 02/02/2015 12:25:32

UNIDAD 5

• 8

5 3

11

6 5

88

30 5

44

15

• 12

7 3

8

6 5

96

42 5

16

7

• 5

7 3

10

3 5

50

21

6 • 8

3 2

12

5 5

4

15

• 14

6 :

1

4 5

56

6 5

28

3

• 5

3 :

7

30 5

150

21 5

50

7

• 8

5 2

9

8 1

3

8 5

19

40 1

3

8 5

5 34

40 5

17

20

• 11

8 :

1

4 1

5

6 5

44

8 1

5

6 5

5 152

24 5

19

3

7 • 8 : 3

4 5

32

3 5 10

2

3

Obtiene 10 mallas completas, le sobran dos tercios de malla, es decir, medio kilo.

• 1

2 : 4 5

1

8

Cada parte es 1

8 de kg.

• 3

4 : 2 5

3

8

En cada tarta pone 3

8 de kg

de fresas.

• 1

2 : 2 5

1

4


4 de kg

de cerezas.

• 3

8 1

1

4 5

5

8


8 de kg

de fruta.

Saber másEl resultado es siempre mayor que la fracción inicial.

Razonamiento

• Son las fracciones 8

7 y

7

8.

• Son fracciones inversas.

• Al dividir una fracción entre su inversa, siempre ocurre así.

Competencias

• Aprender a aprender. Es muy importante para el desarrollo de esta competencia que los alumnos aprecien en las Matemáticas una coherencia y un progreso en la construcción de su conocimiento del área. Comente con ellos cómo han ido avanzando en el estudio de las operaciones con los diferentes tipos de números y cómo las mismas reglas que ya conocían para las operaciones combinadas de naturales se vuelven a aplicar ahora en las fracciones.

97

80

Averigua qué representaciones corresponden a cada situación y, después, resuelve cada problema.

1 En una asociación de senderismo, un cuarto de los socios son jubilados. De ellos, tres cuartos son mujeres. ¿Qué fracción de los socios son mujeres jubiladas?

2 Miguel decoró ayer cuatro décimos de los pasteles con naranja. Después, añadió virutas de chocolate a la mitad de los que tenían naranja. ¿Qué fracción de los pasteles es de naranja con virutas de chocolate?

Mariola es alfarera. Los tres octavos de las vasijas que ha hecho las ha pintado de color rojo, y la mitad de las vasijas rojas las ha adornado después haciendo dibujos con rayas.

¿Qué representación de las siguientes es correcta? ¿Qué fracción del total de vasijas son rojas y tienen rayas?

Al resolver problemas con fracciones es útil representarlos. Debes revisar siempre que lo has hecho correctamente.

La primera representación no es correcta, ya que se han hecho rayas en los tres octavos rojos, y no en su mitad. En la segunda sí se ha rayado la mitad, pero ha sido de la parte no roja. No es correcta.

La tercera representación es la correcta, la que corresponde a la situación del problema.

Resuelve tú el problema en tu cuaderno. Haz primero una representación correcta diferente a la de arriba.

Determinar la representación gráfica de una situación


ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 80 02/02/2015 12:25:34

Propósitos• Elegir la representación gráfica que corresponde a una situación en la que aparecen fracciones.

Sugerencias didácticasPara explicar. Razone en común el ejemplo resuelto, mostrando por qué la primera y la segunda representaciones no son correctas. Indique que son posibles múltiples representaciones de la situación y que esta es una técnica que nos puede ser útil para entender y resolver algunos problemas con fracciones (como se verá en la página siguiente).

Deje que trabajen el resto de actividades por sí solos y después corrija en común.

Actividades• R. M.

3

8 : 2 5

3

16

Son rojas con rayas 3

16

de las vasijas.

1 Es correcta la representación central.

3

4 de

1

4 5

3

16

Son mujeres jubiladas 3

16

de los socios.

2 Son correctas la primera y la tercera representaciones por la izquierda.

4

10 : 2 5

4

20

Son de naranja con virutas

de chocolate 4

20 de los pasteles.

Notas

Otras actividades

• Entregue a los alumnos distintas representaciones gráficas, similares a las trabajadas en esta página, y pídales que inventen y resuelvan problemas que correspondan a cada representación. Después, pídales que dibujen otra representación diferente que corresponda también a cada problema.

98

Resuelve cada problema representando primero su enunciado.

1 Los dos tercios de los componentes de una compañía de teatro son mujeres. Si en total hay 14 mujeres, ¿cuántos componentes tiene la compañía?

2 En una exposición de cuadros hay 64 de paisajes, y estos representan dos quintos del total. ¿Cuántos cuadros hay en la exposición?

3 Sergio ha enviado hoy cuatro novenos de los correos electrónicos que tiene que enviar esta semana. Si todavía le quedan por enviar 15 correos, ¿cuántos correos tenía que mandar en total durante la semana?

4 Yolanda es veterinaria y hoy ya ha atendido a tres octavos de los animales que tenía citados. Si todavía le quedan por atender 35, ¿cuántos animales en total tenía citados hoy?

5 Luis se ha apuntado a un curso de informática por horas. Ya ha ido a 16 horas de clase y esta cantidad representa dos novenos del total de horas. ¿De cuántas horas se compone el curso?

6 INVENTA. Escribe un problema similar a los propuestos en esta página de forma que representar la situación te ayude a resolverlo.

81

25

Resuelve cada problema representando primero su enunciado.

1 Los dos tercios de los componentes de una compañía de teatro son mujeres. Si en total hay 14 mujeres, ¿cuántos componentes tiene la compañía?

2 En una exposición de cuadros hay 64 de paisajes, y estos representan dos quintos del total. ¿Cuántos cuadros hay en la exposición?

3 Sergio ha enviado hoy cuatro novenos de los correos electrónicos que tiene que enviar esta semana. Si todavía le quedan por enviar 15 correos, ¿cuántos correos tenía que mandar en total durante la semana?

4 Yolanda es veterinaria y hoy ya ha atendido a tres octavos de los animales que tenía citados. Si todavía le quedan por atender 35, ¿cuántos animales en total tenía citados hoy?

5 Luis se ha apuntado a un curso de informática por horas. Ya ha ido a 16 horas de clase y esta cantidad representa dos novenos del total de horas. ¿De cuántas horas se compone el curso?

6 INVENTA. Escribe un problema similar a los propuestos en esta página de forma que representar la situación te ayude a resolverlo.

Virginia compró un ordenador a plazos. Pagó al contado tres quintos del total y todavía le quedan por pagar 180 €. ¿Cuál era el precio del ordenador?

Representa el precio total del ordenador mediante un dibujo dividido en 5 partes iguales. Marca la parte que pagó y la parte que le queda por pagar.

35

Pagó al contado.

25

5 180 Le queda por pagar.

1.º Calcula el dinero que representa cada parte. 2 partes son 180 €, luego 1 parte serán 180 : 2 5 90 €.

2.º Calcula el precio total del ordenador. Como 1 parte son 90 €, 5 partes serán 90 3 5 5 450 €.

Solución: El precio del ordenador era de 450 €.

Representar la situación

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 81 02/02/2015 12:25:37

Inteligencia

intrapersonal

UNIDAD 5

Competencias

• Iniciativa y emprendimiento. El desarrollo de esta competencia está ligado, de manera muy directa en Matemáticas, con la invención de problemas. Anime a los alumnos a ser creativos a la hora de plantearlos, a presentarlos de formas variadas y en contextos diferentes, siempre de manera correcta y comprobando que su resolución es posible y se puede realizar con la estrategia presentada en la página.

Propósitos• Realizar representaciones gráficas para entender y resolver problemas con fracciones.

Sugerencias didácticasPara explicar. Trabaje en común el ejemplo resuelto, dejando claro que la representación elegida es solo una de las posibles. Señale la utilidad de esta técnica y cómo el objetivo es determinar el valor de cada una de las partes.

ActividadesCompruebe que las representaciones que realizan los alumnos son correctas.

1 14 : 2 5 7

Cada parte son 7 personas. 3 3 7 5 21. La compañía tiene 21 componentes.

2 64 : 2 5 32.

Cada parte son 32 cuadros.

5 3 32 5 160. Hay 160 cuadros.

3 15 : 5 5 3.

Cada parte son 3 correos.

3 3 9 5 27. Tenía que mandar 27 correos.

4 35 : 5 5 7.

Cada parte son 7 animales.

8 3 7 5 56. Tenía citados 56 animales.

5 16 : 2 5 8.

Cada parte son 8 horas.

9 3 8 5 72. El curso se compone de 72 horas.

6 R. L.

Notas

99

82

ACTIVIDADES

1 Copia y calcula.

25

1 15

3 1 27

46

1 36

1 26

14

1 32

38

1 6 25

1 32

1 46

67

2 27

112

2 3 710

2 2

10

35

2 14

7 2 18

46

2 25

2 Multiplica.

43

3 25

27

3 59

38

3 59

3 3 56

810

3 3 27

3 34

3 12

3 VOCABULARIO. Explica qué es la fracción inversa de otra dada y cómo se obtiene.

4 Divide.

18

: 37

69

: 34

57

: 38

4 : 27

7 : 48

810

: 4

5 Calcula.

54

2 23

2 16

32

2 27

1 114

2 1328

54

2 ( 23

2 16 ) 7

4 2 ( 2

5 1 1

3 ) 2 1160

6 Escribe cada número mixto en forma de fracción y calcula.

3 13

1 45

5 13

3 45

4 37

2 23

3 29

: 23

7 Completa los números que faltan para que las igualdades sean ciertas.

37

1 7

5 57

511

1 11

5 911

89

2 9

5 39

1015

2 15

5 315

43

3 7

5 1621

9 3 7

5 3527

25

: 9

5 1815

10

: 3

5 2750

8 Calcula. Piensa bien el orden.

( 14

1 32

) 3 16

( 15

1 23

) : 35

13

1 29

3 34

95

2 28

3 49

59

: ( 27

1 14

) 65

2 27

: 38


Si multiplicas dos fracciones mayores que 1, el resultado ¿puede ser mayor que 1? ¿Y menor?

¿Qué ocurre si las dos fracciones son menores que 1?

10 Observa el dibujo y calcula qué fracción de tableta es.

Una tableta de chocolate negro y 5 onzas de ese chocolate.

Una tableta de chocolate con leche y 2 onzas de ese chocolate.

Dos tabletas de chocolate blanco y 1 onza de ese chocolate.

3 onzas de chocolate negro, 1 tableta de chocolate con leche y 1 onza de blanco.

1 tableta de chocolate con leche, 2 onzas de negro y 1 onza de blanco.

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 82 02/02/2015 12:25:41

Propósitos• Repasar los contenidos básicos de la unidad.

• Aplicar las Matemáticas en distintos contextos.

Actividades

1 • 3/5 • 23/7 • 3/2

• 7/4 • 51/8 • 77/30

• 4/7 • 5/2 • 1/2

• 7/20 • 55/8 • 4/15

2 • 8/15 •10/63 • 5/24

• 5/2 • 12/5 • 3/28

3 R. L.

4 • 7/24 • 8/9 • 40/21

• 14 • 14 • 1/5

5 • 7

12 2

1

6 5

5

12

• 5

4 2

3

6 5

9

12 5

3

4

• 17

14 1

1

14 2

13

28 5

5 18

14 2

13

28 5

23

28

• 7

4 2

11

15 2

11

60 5

5 61

60 2

11

60 5

50

60 5

5

6

6 • 10

3 1

4

5 5

62

15

• 31

7 2

2

3 5

79

21

• 16

3 3

4

5 5

64

15

• 29

9 :

2

3 5

87

18 5

29

6

7 • 2 • 4

• 5 • 7

• 4 • 5 y 3

• 3 • 9 y 5

8 • 7

4 3

1

6 5

7

24

• 1

3 1

6

36 5

18

36 5

1

2

• 5

9 :

15

28 5

140

135 5

28

27

• 13

15 :

3

5 5

65

45 5

13

9

Otras actividades

• Pida a los alumnos que inventen y calculen una suma, una resta, una multiplicación y una división de dos fracciones y de una fracción y un número natural. A continuación, indique a cada alumno que copie en una hoja las ocho operaciones desordenadas, pero sin escribir el signo de la operación realizada, y se la entregue a un compañero. Este deberá averiguar qué operación se ha hecho en cada caso.

100

83

5

11 Resuelve.

En la primera etapa de una carrera ciclista se recorren dos novenos del total y en la segunda, tres quintos. ¿Qué fracción del camino se recorre entre las dos etapas?

La bandeja de pasteles pesa tres cuartos de kilo. Tiene pasteles de crema y pasteles de nata. Si un sexto de kilo son de crema, ¿qué fracción de kilo son pasteles de nata?


Pablo reparte tres quintos de su colección de monedas antiguas en partes iguales entre sus cuatro nietos. ¿Qué fracción del total de las monedas le corresponde a cada uno?

En un parque, dos quintos de los árboles son castaños. De ellos, un cuarto tienen una plaga. ¿Qué fracción de los árboles del parque son castaños que no tienen plaga?

13 Resuelve.

Alejandro tenía dos fincas iguales.

La finca 1 la dividió en 8 parcelas iguales y vendió 3 de las parcelas.

La finca 2 la dividió en 12 parcelas iguales y vendió 5 de ellas.

¿Qué fracción de cada finca le queda por vender a Alejandro?

¿De cuál de las dos fincas ha vendido más terreno?

¿Qué fracción de terreno ha vendido más de una finca que de otra?

¿Qué fracción representa la parte que ha vendido en total?

Un cuarto de la parte vendida en la finca 1 se dedicará a sembrar trigo. ¿Qué fracción de la finca 1 es?

Dos tercios de la parte vendida en la finca 2 se dedicarán a construir chalés y el resto a jardines. ¿Qué fracción de la finca 2 se dedicará a jardines?

14 El jueves me comí un quinto de las nueces que tenía. El viernes me comí tres cuartos de las nueces que me habían quedado del jueves. El sábado tenía 4 nueces. ¿Cuántas nueces tenía el jueves?


Problemas

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 83 06/02/2015 7:51:00

UNIDAD 5

• 9

5 2

8

72 5

608

360 5

76

45

• 6

5 2

16

21 5

46

105

9 • Es mayor que 1 siempre.

• Es menor que 1 siempre.

10 • 1 1 5

6 5

11

6

• 1 1 2

4 5

6

4 5

3

2

• 2 1 1

2 5

5

2

• 3

6 1 1 1

1

2 5

12

6 5 2

• 1 1 2

6 1

1

2 5

11

6

11 • Se recorren 37

45 del camino.

• Son de nata 7

12 de kilo.

12 • A cada uno le corresponden 3

20

del total.

• Son castaños sin plaga 3

10

de los árboles.

13 • Finca 1: 5

8. Finca 2:

7

12.

• De la finca 2 ( 3

8 ,

5

12).

• Ha vendido 1

24 más de la

finca 2.

• Ha vendido 19

24 en total.

• Se dedicarán 3

32 a trigo.

• Se dedicarán 5

36 a jardines.

Demuestra tu talentoRayado: lo comido el jueves.

Punteado: lo comido el viernes.

Cada parte que queda sin puntear ni rayar (4 partes) representa 1 nuez, ya que quedaron 4 nueces sin comer, luego en total había 15 nueces el jueves.

Competencias

• Competencia social y cívica. En la actividad 13 aparece un contexto en el que se pueden plantear debates sobre distintos aspectos relacionados con esta competencia: la explotación de los recursos naturales, el medio rural y sus peculiaridades, la compraventa… Pida a los alumnos que comenten sus impresiones sobre ellos y anímeles a actuar siempre como ciudadanos responsables.

101

84


Seguro que alguna vez has visto un anillo de oro, y tal vez pensaste que se trataba de oro puro. Normalmente, el oro se mezcla con otros metales. Para medir la pureza de las joyas hechas en oro o plata se utiliza el quilate.

El quilate nos indica la parte de oro que hay en una joya. Un quilate significa que, de cada 24 partes del peso de una joya, 1 parte es de oro y las otras 23 partes son de otros metales con los que se ha mezclado el oro.

De este modo, si vamos a una joyería y compramos un anillo de oro de 18 quilates,

eso significa que son de oro los 1824

del peso total de la joya.

1 Piensa y responde a estas preguntas.

¿Qué es un quilate? Exprésalo como fracción.

¿Qué significa oro de 15 quilates? ¿Y de 12 quilates? ¿Cuál contiene más parte de oro?

¿De cuántos quilates tiene que ser una joya para que sea toda de oro? Escribe la fracción que lo representa.

2 Observa el peso y los quilates de estas joyas y calcula los gramos de oro que contiene cada una.

3 Resuelve.

Lucía compra una pulsera de oro de 16 quilates cuyo peso es de 54 gramos.

Si un gramo de oro puro cuesta 130 €, ¿cuánto cuesta el oro de la pulsera?

¿Qué parte del peso de la pulsera no es de oro? ¿Cuántos gramos son?

4 TRABAJO COOPERATIVO. Resuelve con tu compañero.

Imagina que tú y tu compañero queréis comprar un anillo de oro. En la joyería os dan a elegir entre uno de 18 quilates y otro de 20 quilates, ambos de igual precio. ¿Cuál debéis elegir? ¿Qué necesitaríais saber para elegir el mejor anillo?

SABER HACER

ORO 18 quilates8 g

ORO 20 quilates18 g

ORO 16 quilates54 g

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 84 02/02/2015 12:25:50

Propósitos• Desarrollar la competencia matemática resolviendo problemas reales.

• Repasar contenidos clave.

Actividades pág. 841 • Un quilate es la forma

de expresar la fracción de oro que tiene una joya.

1 quilate 5 1

24

• Oro: 15

24. Oro:

12

24.

Contiene más parte de oro el oro de 15 quilates.

• Debe ser de 24 quilates.

24

24 5 1

2 8 3 18

24 5 6; 54 3

16

24 5 36

18 3 20

24 5 15

Los pendientes tienen 6 g de oro, el collar 36 g y el colgante 15 g.

3 • 54 3 16

24 5 36

36 3 130 5 4.680

El oro cuesta 4.680 €.

• No son de oro 8

24.

54 2 36 5 18

No son de oro 18 g.

4 R. L.

Actividades pág. 851 • 18 3 2 2 18 : 3 5 36 2 6 5 30

• 7 1 60 2 3 5 64

• 9 1 7 2 8 1 25 5 16 2 8 1 25 5 5 8 1 25 5 33

• 18 2 12 1 5 2 7 5 6 1 5 2 7 5 5 11 2 7 5 4

2 34; 104; 4 3 4 3 4 3 4 3 4; 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10; 11 3 11 3 11

3 • 210 , 27 , 23 , 22 ,

, 14 , 15

• 212 , 211 , 29 , 0 ,

, 15 , 18


• El contexto de la página es interesante y ofrece una situación cotidiana en la que aplicar los contenidos trabajados en la unidad. Muestre a los alumnos la utilidad de sus aprendizajes y la posibilidad de su concreción en la vida diaria. Pídales que por parejas planteen actividades similares a las de esta página y resuelva algunas de ellas en común, aprovechando para detectar y corregir posibles conceptos erróneos.

Inteligencia

interpersonal

102

85

REPASO ACUMULATIVO

1 Calcula.

(14 1 6 2 2) 3 2 2 18 : 3

42 : 6 1 12 3 5 2 3

9 1 21 : 3 2 4 3 2 1 25

18 2 4 3 3 1 25 : 5 2 7

2 Copia y completa en tu cuaderno.

3 Ordena de menor a mayor cada grupo.

14, 22, 27, 15, 23 y 210

15, 212, 29, 18, 211 y 0

4 Escribe todos los números enteros comprendidos entre 28 y 18.

5 Escribe.

Los diez primeros múltiplos de 5.

Los diez primeros múltiplos de 10.

Los divisores de 12.

Los divisores de 18.

6 Calcula.

m.c.m. (10 y 25)

m.c.m. (2, 8 y 15)

m.c.d. (20 y 12)

m.c.d. (14, 16 y 18)

7 Estudia la divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10 de estos números.

11 El día 4 se constiparon 16 personas en una clase. Cada día se constiparon el doble de personas que el día anterior. ¿Cuántas personas se constiparon el día 7?

12 A las 9 de la mañana la temperatura en Valcorto era de 28 ºC. A las 12 horas era dos grados mayor, a las 15 horas tres grados más que a las 12, y a las 21 horas nueve grados menos que a las 15 horas. ¿Qué temperatura había cada hora?

8 En la feria de artesanía Paula vendió un total de 60 pulseras. La mitad las vendió a 18 € cada una, un tercio a 15 € y el resto a 9 €. ¿Cuánto recaudó Paula por la venta de las pulseras?

9 Una furgoneta de reparto lleva 24 cajas de refrescos. En 13 cajas lleva 12 refrescos y en el resto, 18 refrescos en cada una. En un supermercado deja un tercio de las cajas. ¿Cuántos refrescos, como máximo, quedan en la furgoneta?

10 Paco tiene un helecho que riega cada 5 días y un cactus que riega cada 12 días. Hoy ha regado las dos plantas. ¿Dentro de cuántos días volverá a regar las dos plantas por primera vez? ¿Cuántas veces habrá regado el cactus?

Problemas

5

Producto Potencia

3 3 3 3 3 3 3

10 3 10 3 10 3 10

45

106

113

15

30

270

45

20

40

120

135

ES0000000001166 454649_U05_18089.indd 85 02/02/2015 12:25:52

UNIDAD 5

4 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

5 • 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45

• 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 ,70, 80, 90

• 1, 2, 3, 4, 6, 12

• 1, 2, 3, 6, 9, 18

6 • 50

• 120

• 4

• 2

7 Por 2: 20, 270, 120, 30, 40.

Por 3: 15, 270, 120, 30, 45, 135.

Por 5: 15, 20, 270, 120, 30, 40, 45, 135.

Por 9: 270, 45, 135.

Por 10: 20, 270, 120, 30, 40.

8 60 2 60 : 2 2 60 : 3 5 10

30 3 18 1 20 3 15 1 10 3 9 5 5 930

Recaudó 930 €.

9 24 : 3 5 8

(13 2 8) 3 12 1 11 3 18 5 258

Como máximo quedan 258 refrescos (todas las cajas que deja son de 12 refrescos).

10 m.c.m. (5 y 12) 5 60

Pasarán 60 días hasta que riegue ambas de nuevo.

Antes de ese día habrá regado el cactus 11 veces.

11 16 3 2 3 2 3 2 5 128

Se constiparon 128 personas.

12 A las 12 h: 26 ºC.

A las 15 h: 23 ºC.

A las 21 h: 212 ºC.

Notas

Repaso en común

• Forme grupos de cuatro alumnos y pida a cada grupo que inventen un problema utilizando una o más operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división, y lo resuelvan. Recoja los problemas propuestos y plantee algunos de ellos, para que todos los alumnos los resuelvan en el cuaderno. Uno de los alumnos del grupo que lo inventó lo hará en la pizarra para corregirlo.

103

Repaso trimestral

NÚMEROS

1 Descompón cada número y escribe cómo se lee.

3.450.902 85.026.004 408.521.207

7.053.081 60.701.500 910.600.040

2 Expresa cada producto en forma de potencia y escribe cómo se lee.

4 3 4 3 4 9 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

6 3 6 3 6 3 6 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3 Compara y escribe el signo . o ,.

12 y 15 23 y 0 12 y 29 22 y 26

27 y 23 0 y 14 15 y 25 28 y 13

4 Dibuja unos ejes cartesianos y representa los puntos.

A (22, 11) C (12, 15) E (22, 0) G (0, 25)

B (24, 23) D (14, 23) F (0, 14) H (13, 0)

5 Ordena cada grupo de menor a mayor. Expresa primero todos los números en forma de fracción.

OPERACIONES

6 Calcula.

95.286 1 18.089 278 3 897 70.794 : 621

104.093 2 6.578 3.075 3 650 41.640 : 382

4 3 (7 1 2) 18 : 2 2 (5 2 3) 9 : 3 1 2 3 4

20 2 10 : 2 (7 1 2) 3 3 2 8 12 2 6 3 (10 : 5)

7 Calcula estas potencias y raíces.

74 85 107 46 19 • 4 • 9 • 64 • 25 • 45

93 29 36 64 104 • 1 • 16 • 100 • 81 • 24

125

114

2 2 16

106

73

3 27

4 12

6014

86

ES0000000001166 454649_Repaso 1erTRM_18090.indd 86 02/02/2015 12:24:14

Actividades1 • 3U.demillón1 4 CM 1

1 5 DM 1 9 C 12U

Tresmillonescuatrocientoscincuentamilnovecientosdos.

• 7U.demillón1 5 DM 1 1 3UM1 8 D 11U

Sietemillonescincuentaytresmilochentayuno.

• 8D.demillón15U.demillón1

1 2 DM 16UM14U

Ochentaycincomillonesventiséismilcuatro.

• 6D.demillón17CM1 1 1UM1 5 C

Sesentamillonessetecientos unmilquinientos.

• 4C.demillón18U.demillón1

1 5 CM 1 2 DM 11UM1 2 C 17U

Cuatrocientosochomillonesquinientosveintiúnmildoscientossiete.

• 9C.demillón11D.demillón1

1 6 CM 1 4 D

Novecientosdiezmillonesseiscientosmilcuarenta.

2 • 43;4alcubo

• 64;6alacuarta

• 92;9alcuadrado

• 55;5alaquinta

• 36;3alasexta

• 27;2alaséptima

3 • , • , • . • .

• , • , • . • ,

4

5 • 2, 12

5 ,

11

4

• 10

6 , 2

1

6 ,

7

3

• 32

7 ,

60

14 , 4

1

2

12

12

11

11

25

25

13

13

24

24

15

15C

F

A

E

B

H

D

G

2121

22

22

14

14

23

23

104

8 Calcula y escribe.

Los tres primeros múltiplos de 9. Cuatro divisores de 24 y cinco de 40.

Los seis primeros múltiplos de 2. Todos los divisores de 12 y de 20.

m.c.m. (4 y 10) m.c.m. (5 y 15) m.c.m. (3, 4 y 8)

m.c.d. (5 y 9) m.c.d. (8 y 20) m.c.d. (4, 6 y 8)

9 Calcula.

25

1 34

113

2 76

28

3 35

69

: 23

133

2 76

: 512

72

1 3 154

2 2 37

3 4 810

: 2 152

2 ( 23

: 2) 3 74

PROBLEMAS

10 Resuelve.

En una exposición de bonsáis hay 300 árboles. Un tercio son sabinas, y del resto, un cuarto son pinos. ¿Cuántos pinos hay en la exposición?

Manuel va a su pueblo cada 14 días y Sara, cada 21. Hoy se han visto los dos allí. ¿Cuántos días pasarán hasta que vuelvan a verse de nuevo en el pueblo?

Merche fue a la frutería y compró 2 kg y medio de naranjas, 3 kg de manzanas y tres cuartos de kilo de ciruelas. ¿Qué cantidad de fruta compró en total?

En un coche la temperatura interior es 117 ºC y en la calle es 27 ºC. ¿Cuántos grados es mayor la temperatura interior que la exterior?

Un puzle cuadrado está formado por 81 piezas cuadradas iguales. ¿Cuántas piezas hay en cada lado del puzle?

Lía quiere repartir en vasos 50 fresas y 30 moras, de manera que en todos los vasos haya el mismo número de frutas, que todas sean del mismo tipo y que no sobre ninguna. ¿Cuántas frutas como máximo puede poner en cada vaso?

En un colegio había 40 cajas de bolígrafos con 15 bolígrafos cada una. Pasado un trimestre quedaban 27 cajas enteras y faltaban 4 bolígrafos para completar otra. ¿Cuántos bolígrafos se habían utilizado?

Esta mañana, en la pastelería de Manuel, se han envasado 5 kg y medio de pastas de chocolate y 4 kg y tres cuartos de pastas de crema. ¿Qué cantidad de pastas se ha envasado?

PRIMER TRIMESTRE

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ES0000000001166 454649_Repaso 1erTRM_18090.indd 87 02/02/2015 12:24:17

6 • 113.375 • 97.515

• 249.366 • 1.998.750

• c 5 114 • c 5109,r5 2

• 36 • 7 • 11

• 15 • 19 • 0

7 • 2.401;32.768;512; 10.000.000;729;4.096;1.296;1;10.000

• 2 3 8 5 6, •45 ,7

1 4 10 9 4, • 24 ,5

8 • 0,9,18

• 1,2,3,4;1,2,4,5,8

• 0,2,4,6,8,10

• 1,2,5,10;1,2,4,5,10,20

• 20 • 15 • 24

• 1 • 4 • 2

9 •23

20 •

5

2 •

3

20 • 1

•13

3 2

84

30 5

46

30 5

23

15

•13

2 •

7

4 •

12

7 •

2

5

•15

2 2

1

3 3

7

4 5

83

12

10 •1

4 de

2

3de300550

Hay50pinos.

• m.c.m.(14y21)5 42 Pasarán42días.

• 2 1

2 131

3

4 5

25

4 56

1

4

Compró6kgycuarto.

• Es24gradosmayor.

• •8159.Hay9piezas.

• m.c.d.(50y30)510.Puedetomarcomomáximo10frutas.

• 40 3 155600

27 3 151115416

60024165184

Sehabíanutilizado184bolígrafos.

• 51

2 1 4

3

4 5

41

4 510

1

4 Sehanenvasado10kg ycuarto.

105

Matemáticas...3 La pirámide de base cuadrada que hay al fondo del dibujo, ¿cuántos vértices...

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