Dibujo Técnico II María Amián

Tema 15: Figuras, superficies radiadas.

Introducción.

Las superficies radiadas son aquellas que se generan cuando una recta, llamada generatriz, pasa por un punto o vértice y recorre una línea llamada directriz.

El vértice puede ser real (si está ubicado en el papel) o impropio (si se encuentra en el infinito)

Vértice real:

Si la directriz es un polígono, se generará una pirámide. Si la directriz en una curva cónica (incluyendo la circunferencia), se

generará un cono.

Vértice impropio:

Si la directriz es un polígono, se generará un prisma. Si la directriz es una curva cónica (incluyendo la circunferencia), se

generará un cilindro.

15.1 Pirámide

La pirámide está formada por aristas laterales, que son las rectas que unen el vértice con los vértices de la directriz o polígono.

Las pirámides pueden ser rectas u oblicuas, dependiendo de si el punto de intersección de la perpendicular trazada desde el vértice hasta la base coincide con el centro o no..

A la hora de dibujar una pirámide es importante que tengamos en cuenta su visibilidad, es decir, qué aristas quedan ocultas y, por lo tanto, se representan como una recta discontinua.

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Bloque II: Sistemas de Representación

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Sección de un plano a una pirámide:

Plano proyectante:1. En primer lugar dibujaremos la pirámide en sus dos proyecciones.2. Como el plano es proyectante, la proyección vertical de la

sección se obtiene directamente donde las aristas de la pirámide cortan con la traza vertical del plano. Tendremos por lo tanto: 1’,2’,3’…

3. Para hallar la sección en el plano horizontal bajamos los puntos anteriores mediante perpendiculares a LT hasta las aristas correspondientes. Tendremos por tanto: 1,2,3… En el caso de que las aristas se encuentren colocadas como rectas de perfil, para hallar los puntos de corte con el plano en la proyección horizontal, acudiremos al PP.

4. A continuación dibujaremos en línea discontinua aquellas partes de la pirámide que quedan ocultas bajo el plano de proyección.

5. Para obtener la verdadera magnitud de la sección, abatimos el plano y los puntos.

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Plano oblicuo:1. Efectuamos un cambio de plano vertical, de modo que el plano

oblicuo se transforme en plano proyectante vertical.2. Hallamos la nueva proyección vertical de la pirámide,

trasladando a la nueva LT, los puntos de la base y el vértice.3. Hallamos la sección de la nueva proyección vertical con el nuevo

plano proyectante.: 1’1, 2’1…

4. Bajamos los puntos de la sección hasta la proyección horizontal.5. Para hallar la sección del plano con la antigua proyección vertical,

subimos los puntos desde la proyección horizontal: 1’, 2’…

6. Si es necesario obtener la verdadera magnitud de la sección, realizaremos un abatimiento del plano proyectante.

Sección plano oblicuo a pirámide recta de altura h=60mm

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Plano paralelo a LT:1. En este caso, dibujamos la proyección de la pirámide en el PP,

para averiguar los puntos donde el plano corta a las aristas de la pirámide. (Teniendo que la posición en esta proyección es de perfil, no de frente)

2. Pasamos los puntos desde la proyección de perfil hasta las proyecciones vertical y horizontal.

3. Si queremos obtener la verdadera magnitud de la sección, abatimos el plano paralelo a LT sobre el PV o el PH.

Altura de la pirámide= 60mm

Intersección de una recta con una pirámide:

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Para hallar la intersección de una recta cualquiera con una pirámide:

1. Contenemos la recta en un plano proyectante vertical.2. Hallamos la sección que produce el plano en la pirámide, en sus

dos proyecciones3. Hallamos los puntos M y N de corte de la recta con la sección

en la proyección horizontal (la sección será un polígono).4. Subimos los puntos a la proyección vertical en las aristas que

corresponda.5. Dibujamos en línea discontinua la parte de la recta que queda

dentro de la pirámide.

15.2 Cono.

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Los conos pueden ser de revolución o no. Un cono de revolución es aquel que, cuando lo seccionamos con un plano paralelo a la base, o perpendicular al eje (recta desde el centro de la base hasta el vértice) y el resultado es una circunferencia.

Trabajaremos con conos de revolución. Para hallar secciones de planos e intersecciones con conos, seguiremos el

mismo procedimiento que con la pirámide, pero antes de realizar cualquier ejercicio, deberemos hallar varias generatrices que actúen como aristas:

1. Dividimos la circunferencia de la base en partes iguales, por ejemplo ocho.

2. Subimos cada uno de los puntos a la línea de tierra y los unimos con el vértice.

3. De este modo obtendremos generatrices que funcionarán como si fuesen las aristas de una pirámide.

Sección de un plano proyectante a un cono de revolución de altura h=60mm

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Sección de un plano oblicuo sobre un cono de revolución de altura h =60mm

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Intersección de una recta cualquiera con un cono de revolución de h=60mm

15.3 Prisma

En el caso del prisma, sus aristas son paralelas. Pueden ser prismas rectos u oblicuos, dependiendo de si las aristas laterales son perpendiculares o no al plano de la base (directriz).

Podremos encontrar en ocasiones prismas con huecos de diferentes formas. El procedimiento para hallar la sección de planos con prismas e

intersecciones con rectas es el mismo que seguimos con las pirámides.

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15.4 Cilindro

Las generatrices del cilindro son paralelas entre sí. Los cilindros pueden ser, al igual que los conos, de revolución o no. Nosotros trabajaremos con cilindros de revolución, así que, para poder

resolver ejercicios de secciones con planos e intersecciones, deberemos dividir su base en partes iguales para obtener generatrices que actúen como las aristas de un prisma.

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15.5 Esfera

La esfera es la superficie que se produce cuando una semicircunferencia rota alrededor de su diámetro. Entonces, el diámetro se convierte en el eje de la esfera, y sus extremos se llaman polos.

Si seccionamos una esfera, el resultado son diferentes circunferencias. Dependiendo de la zona donde el plano seccione a la esfera las circunferencias serán:

Meridiano: Es la circunferencia máxima (tiene el mayor diámetro posible) paralela al PV.

Ecuador: Es la circunferencia máxima paralela al PH.

Paralelo: Es la circunferencia paralela al PH.

Representación de la esfera en diédrico:

La esfera se representa a través de sus dos circunferencias máximas y el centro de cada una. Para diferenciarlas se numeran los extremos de sus diámetros.

Si observamos la imagen:

Los puntos 1’ y 2’, en el PV, se proyectan como un punto que coincide con el centro en el PH.

Los puntos 5 y 6 en el PH, se proyectan como un punto que coincide con el centro en el PV.

Tendremos también en cuenta que, una circunferencia se proyecta en la proyección opuesta como una recta.

Situar puntos en una esfera:

Como una esfera no tiene generatrices, para situar puntos, lo haremos a través de las secciones producidas por planos horizontales o frontales, que serán circunferencias en una proyección y rectas en la opuesta.

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En la imagen observamos cómo:

Al seccionar un plano horizontal a la esfera, en el PH, la sección es una circunferencia.

Si situamos un punto en el plano Horizontal, en el PH, se proyectarán como 2 puntos situados en la circunferencia.

Sección de un plano en una esfera:

Con un plano proyectante: La sección es una circunferencia, que en el PH se proyecta como una recta y en el PV como una elipse.

1. Dibujamos los diámetros de las circunferencias en el PV y el PH

2. En la proyección horizontal, el plano P corta a la circunferencia en los puntos a y b, por lo tanto en el PV, se situarán sobre el diámetro horizontal, paralelo a la LT.

3. Hallamos la mediatriz del segmento a-b y obtendremos otros dos puntos, c y d.

4. Los puntos c’ y d’, en el PV, se proyectan sobre la circunferencia.

5. Si unimos los puntos obtendremos la sección y abatiendo el plano P, su verdadera magnitud.

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Con un plano oblicuo: En este caso, realizamos un cambio de plano, para que P sea un plano proyectante y hallamos la sección en todas las proyecciones.

Para hallar los punto en el PV original, subimos los puntos a través de rectas horizontales.

Intersección de una recta con una esfera:

Recta horizontal- frontal:1. Contenemos la recta r en un plano P,

horizontal.2. Hallamos los puntos m’ y n’, donde el

plano P corta a la esfera en el PV. La sección se verá como una circunferencia en el PH, de radio om, on.

3. En el PH, hallamos los puntos a y b, donde r corta a la sección.

4. Subimos a y b al PV, y dibujamos en línea discontinua el segmento de r que queda dentro de la esfera.

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Recta oblicua.1. Giramos la recta hasta transformarla en una

recta frontal (también puede ser horizontal), usando el centro como eje de giro.

2. Hallamos la intersección con la nueva recta, los puntos a’1 y b’1.

3. Si llevamos los puntos a la proyección original, tendremos la intersección de r con la esfera.

Recta tangente a una esfera.

Si tenemos una esfera y el punto de tangencia A.

1. Hallamos la sección de un plano horizontal H (que contenga al punto) con la esfera, una circunferencia en el PH.

2. Por a, trazamos una recta que sea tangente a la circunferencia en el PH.

3. Trazamos la proyección vertical de r, que debe formar 90º con el segmento a’o’.

Plano tangente a una esfera: forma 90º con el centro de la esfera.

1. Trazamos una recta horizontal tangente a la esfera.

2. Contenemos la recta en un plano cuyas trazas formen 90º con el centro de la esfera.

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