Matemática para la Biogeografía

Matemática para la BiogeografíaMatemática para la Biogeografía

NivelaciónA c a d é m i c a

Ciencias Naturales: Biología-Geografía

Guía de Estudio

© De la presente edición

Colección:GUÍAS DE ESTUDIO - NIVELACIÓN ACADÉMICA

DOCUMENTO:Unidad de FormaciónMatemáti ca para la Biogeografí aDocumento de Trabajo

Coordinación:Dirección General de Formación de MaestrosNivelación Académica

Como citar este documento:Ministerio de Educación (2016). Guía de Estudio: Unidad de Formación “Matemáti ca para la Biogeografí a“, Equipo Nivelación Académica, La Paz Bolivia.

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NivelaciónAcadémic a

Matemática para la Biogeografía


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Datos del participante

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UE/CEA/CEE: .....................................................................................................................................................................................................

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ESFM: .....................................................................................................................................................................................................

Centro Tutorial: .....................................................................................................................................................................................................

Puntaje

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Índice

Presentación .................................................................................................................... 7Estrategia Formati va ........................................................................................................ 8Objeti vo Holísti co de la Unidad de Formación .............................................................. 10Orientaciones para la Sesión Presencial ........................................................................ 11Materiales Educati vos .................................................................................................... 12Parti endo desde Nuestra Experiencia y el Contacto con la Realidad. ............................ 13

Tema 1: La Matemáti ca en la Biología y la Geografí a .................................................. 15Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 151. Introducción a la matemáti ca para la biogeografí a ................................................. 152. Cálculo proporcional y proporciones en los recursos naturales porcentajes y escalas ..................................................................................................................... 163. Medición y cálculo de áreas .................................................................................... 184. Sumatorias y promedios .......................................................................................... 19

Tema 2: Conjuntos Matemáti cos en la Biogeografí a ................................................ 20Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 201. Conjuntos, elementos ............................................................................................... 202. Unión, intersección, complemento ......................................................................... 213. Aplicaciones en la Biología y la Geografí a ................................................................ 23

Tema 3: Funciones y Relaciones en la Comunidad .................................................. 24Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 241. Relaciones y funciones como aspectos interculturales ........................................... 242. Relaciones matemáti cas producti vas ....................................................................... 253. Funciones numéricas ............................................................................................... 264. Función lineal, exponencial y periódica ................................................................... 275. Función logarítmica ................................................................................................. 28

6. Aplicaciones en la Biología y la Geografí a ................................................................ 28

Tema 4: Ecuaciones y Resolución de Problemas ....................................................... 30Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 301. Igualdades, ecuaciones lineales, representación ..................................................... 302. Desigualdades .......................................................................................................... 323. Conjunto solución .................................................................................................... 334. Representación ......................................................................................................... 345. Situaciones problema ............................................................................................... 356. Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................... 367. Ecuaciones cuadráti cas ............................................................................................ 378. Aplicaciones en la Biología y la Geografí a ................................................................ 38

Tema 5: Determinación de Distancias en Lugares Inaccesibles ................................. 39 Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 391. Resolución de triángulos rectángulos ....................................................................... 392. Funciones de ángulos complementarios .................................................................. 403. Determinación de ángulos a parti r de las funciones ................................................ 424. Resolución de triángulos oblicuángulos. .................................................................. 435. Aplicaciones en la Biología y la Geografí a ................................................................ 44

Tema 6: Matrices para el impacto Académico ......................................................... 45Profundización a parti r del dialogo con los autores y el apoyo bibliográfi co ................. 461. Matrices ................................................................................................................... 462. Vectores ................................................................................................................... 463. Suma resta y productos de matrices ....................................................................... 474. Determinantes .......................................................................................................... 485. Inversa ...................................................................................................................... 486. Sistema de ecuaciones lineales ............................................................................... 507. Uso de matrices en la Biología y geografí a y ejemplos desarrollados ..................... 51

Orientaciones para la Sesión de Concreción .................................................................. 52Orientaciones para la Sesión de Socialización ............................................................... 55Bibliografí a ..................................................................................................................... 56Anexo

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Presentación

El proceso de Nivelación Académica consti tuye una opción formati va dirigida a maestras y maestros sin perti nencia académica y segmentos de docentes que no han podido concluir dis-ti ntos procesos formati vos en el marco del PROFOCOM-SEP. EL mismo ha sido diseñado desde una visión integral como respuesta a la complejidad y las necesidades de la transformación del Sistema Educati vo Plurinacional.

Esta opción formati va desarrollada bajo la estructura de las Escuelas Superiores de Formación de Maestras/os autorizados, consti tuye una de las realizaciones concretas de las políti cas de formación docente, arti culadas a la implementación y concreción del Modelo Educati vo Sociocomunitario Producti vo (MESCP), para incidir en la calidad de los procesos y resultados educati vos en el marco de la Revolución Educati va con ‘Revolución Docente’ en el horizonte de la Agenda Patrióti ca 2025.

En tal senti do, el proceso de Nivelación Académica contempla el desarrollo de Unidades de Formación especializadas, de acuerdo a la Malla Curricular concordante con las necesidades formati vas de los diferentes segmentos de parti cipantes que orientan la apropiación de los contenidos, enriquecen la prácti ca educati va y coadyuvan al mejoramiento del desempeño docente en la UE/CEA/CEE.

Para apoyar este proceso se ha previsto el trabajo a parti r de Guías de Estudio, Dossier Digital y otros recursos, los cuales son materiales de referencia básica para el desarrollo de las Unidades de Formación.

Las Guías de Estudio comprenden las orientaciones necesarias para las sesiones presenciales, de concreción y de socialización. En función a estas orientaciones, cada tutora o tutor debe enriquecer, regionalizar y contextualizar los contenidos y las acti vidades propuestas de acuerdo a su experiencia y a las necesidades específi cas de las y los parti cipantes.

Por todo lo señalado se espera que este material sea de apoyo efecti vo para un adecuado pro-ceso formati vo, tomando en cuenta los diferentes contextos de trabajo y los lineamientos de la transformación educati va en el Estado Plurinacional de Bolivia.

Roberto Iván Aguilar GómezMINISTRO DE EDUCACIÓN

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Estrategia Formativa

El proceso formati vo del Programa de Nivelación Académica se desarrolla a través de la moda-lidad semipresencial según calendario establecido para cada región o contexto, sin interrupción de las labores educati vas en las UE/CEA/CEEs.

Este proceso formati vo, toma en cuenta la formación, prácti ca educati va y expectati vas de las y los parti cipantes del programa, es decir, maestras y maestros del Sistema Educati vo Plurinacio-nal que no concluyeron diversos procesos formati vos en el marco del PROFOCOM-SEP y PPMI.

Las Unidades de Formación se desarrollarán a parti r de sesiones presenciales en periodos intensivos de descanso pedagógico, acti vidades de concreción que la y el parti cipante deberá trabajar en su prácti ca educati va y sesiones presenciales de evaluación en horarios alternos durante el descanso pedagógico. La carga horaria por Unidad de Formación comprende:

SESIONES PRESENCIALES

CONCRECIÓN EDUCATIVA

SESIÓN PRESENCIAL DE EVALUACIÓN

24 Hrs. 50 Hrs. 6 Hrs. 80 Hrs. X UF

FORMACIÓN EN LA PRÁCTICA

Estos tres momentos consisten en:

1er. MOMENTO (SESIONES PRESENCIALES). Parte de la experiencia coti diana de las y los par-ti cipantes, desde un proceso de refl exión de su prácti ca educati va.

A parti r del proceso de refl exión de la prácti ca de la y el parti cipante, la tutora o el tutor pro-mueve el dialogo con otros autores/teorías. Desde este dialogo de la y el parti cipante retroa-limenta sus conocimientos, refl exiona y realiza un análisis comparati vo para generar nuevos conocimientos desde su realidad.

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MATEMÁTICA PARA LA BIOGEOGRAFÍA

2do. MOMENTO (CONCRECIÓN EDUCATIVA). Durante el periodo de concreción de la y el parti cipante deberá poner en prácti ca con sus estudiantes o en su comunidad educati va lo trabajado (contenidos) durante las Sesiones Presenciales. Asimismo, en este periodo de la y el parti cipante deberá desarrollar procesos de autoformación a parti r de las orientaciones de la tutora o el tutor, de la Guía de Estudio y del Dossier Digital de la Unidad de Formación.

3er. MOMENTO (SESIÓN PRESENCIAL DE EVALUACIÓN). Se trabaja a parti r de la socialización de la experiencia vivida de la y el parti cipante (con documentación de respaldo); desde esta presentación de la tutora o el tutor deberá enriquecer y complementar los vacío y posterior-mente avaluar de forma integral la Unidad de Formación.

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Objetivo Holístico de la Unidad de Formación Una vez concluida la sesión presencial (24 horas académicas), la y el parti cipante deberá cons-truir el objeti vo holísti co de la presente Unidad de Formación, tomando en cuenta las cuatro dimensiones.

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Orientaciones para la Sesión Presencial

¡Bienvenido/a esti mado/a parti cipante!

En el desarrollo de la presente Guía de Estudio correspondiente a la especialidad de Ciencias Naturales Biología-Geografí a, se desarrollarán diferentes contenidos, planteados a parti r de diversas acti vidades, las cuales permiti rán alcanzar el objeti vo de aprendizaje, con carácter formati vo y evaluable.

Las/los parti cipantes trabajarán en la diversidad de acti vidades prácti co/teóricas programadas para el abordaje de las unidades temáti cas.

Para el proceso de desarrollo ópti mo de la presente guía deben remiti rse conti nuamente al material bibliográfi co (dossier proporcionado, ya que nos ayudará a tener una visión más amplia y clara de lo que se trabajará en toda la Unidad de Formación.

Para las sesiones presenciales debe tomarse en cuenta dos aspectos:

1. La organización del Aula: para comenzar el desarrollo del proceso formati vo es fundamental considerar la organización del ambiente, de manera que sea un espacio propicio y adecuado para el avance de las acti vidades planteadas. Tomando en cuenta el ti po de acti vidad o acti vidades que se realizarán durante la sesión, por ejemplo, conformación de equipos comunitarios de trabajo, organizar a los parti cipantes en semicírculo, etc.

2. Las acti vidades formati vas: considerando la profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co. Las acti vidades correspondientes a la Unidad de Formación “Matemáti cas para la Biogeografí a”, que a lo largo de los contenidos irán desarrollándose de acuerdo a las consignas en cada una de ellas, ti enen relevancia a parti r de las siguientes tareas:

- Parti r de las experiencias propias, pedagógicas o en el contexto.

- Resolución y ejecución de acti vidades.

- Descripción y construcción de gráfi cos o esquemas.

- Comparación de observaciones realizadas.

- Análisis y profundización de lecturas.

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Materiales Educativos

Descripción del Material/recurso educati vo Producción de conocimientos

Guía de entrevista Recolección de información en una dinámica de contacto con la realidad de la comunidad Análisis y comparación de información registrada, uso de técnicas de recojo de información.

Material de escritorio: calculadora, lá-pices, bolígrafos, marcadores, pliegos de pales sábana o papel bond.

Registro, grafi cación o representación de las estructuras obser-vadas en el proceso formati vo.

Bibliografí a (lecturas propuestas, ar-tí culos).

Interiorización y profundización con relación a los contenidos abordados.

Material audiovisual

Desarrollar capacidades y acti tudes mediante la presentación de abstracciones, grafi cación o proporción de experiencias es-ti mulando la atención y moti vando el proceso global de infor-mación que conti enen.

Pizarra interacti va: Computadora, proyector, parlantes.

Incrementar los niveles de interacción en el proceso formati vo, facilitando la comprensión, especialmente en el caso de con-ceptos complejos.

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Partiendo desde Nuestra Experiencia y el Contacto con la Realidad.

Iniciemos el abordaje de la presente Unidad de Formación, conformando equipos trabajo de acuerdo a la canti dad de parti cipantes y al criterio de la o el tutor, posteriormente desarrolla-mos las siguientes acti vidades:

De acuerdo a tu experiencia pedagógica, menciona cinco contenidos con los que arti culas el área la matemáti ca dentro de tu planifi cación.

Contenido Año de formación1.2.3.4.5.

Menciona dos estrategias con las que arti culas el área de matemáti cas con el de Biología- Geo-grafí a desarrolladas de acuerdo a tu planifi cación.

Estrategia 1 Estrategia 2

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GUÍA DE ESTUDIO

¿Por qué consideras necesario vincular las áreas de conocimiento con la Biología y la Geografí a, en este caso con la Matemáti ca?

Ahora observemos el video “Pastores incas matemáti ca básica” (00:01 - 03:58 min.), donde se muestra la forma en la que en nuestras culturas relacionaban los saberes y conocimientos con la Madre Tierra. Refl exionamos al respecto.

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“Las abejas, en virtud de cierta intuición geométrica, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material”. (Pappus de Alejandría. Siglo IV a.C.)

La Matemáti ca no es una ciencia inventada por cientí fi cos matemáti cos. Las Matemáti cas es una forma en que la Madre Tierra se expresa, se comunica y ordena el engranaje de cada una de sus partes, ya sea un átomo o una galaxia. Es sufi ciente observar nuestro entorno para encontrarnos con el lenguaje armonioso de las Matemáti cas en su relación con la Naturaleza.

Como podemos adverti r, la Biología y la Matemáti ca son ciencias ampliamente ligadas; es por eso que el presente tema, aplicable a todos los años de formación de Educación Secundaria Comunitaria Producti va, se desarrollará de forma complementaria al proceso formati vo de la/el maestro, pues contribuirá en la apropiación de conceptualizaciones matemáti cas, durante la prácti ca pedagógica. A través del cual las y los estudiantes lograrán desarrollar capacidades de análisis matemáti co con relación a los procesos biológicos, geográfi cos que suceden a su alrededor.

Profundización a parti r del diálogo con los autores y el apoyo bibliográfi co

1. Introducción a la matemáti ca para la biogeografí a

La aplicación del razonamiento matemáti co en la biología ha tenido un efecto de retroalimen-tación notable; la matemáti ca a menudo se ha inspirado en fenómenos biológicos y esto ha generado nuevos campos de estudio, mientras que la biología se ha benefi ciado en muchas de sus áreas del uso de su método y lenguaje, esto a pesar de la gran diferencia entre ambas

Tema 1La Matemática en la Biología y la Geografía

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GUÍA DE ESTUDIO

ciencias, la matemáti ca con enfoque riguroso y formal y la biología naturalista, en buena parte descripti va.

Para conti nuar con el abordaje de este contenido, analiza el documento (Rodríguez, 2011) “La matemáti ca y su relación con las ciencias como recurso pedagógico” (Pág. 41 – 42) y en base a el documento propuesto en ,el siguiente espacio redacta una conclusión refl exiva relacionada con el enfoque del modelo educati vo, sobre la forma de relación entre ambas ciencias.

¿Qué otras ciencias se dieron lugar al relacionar la matemáti ca y la biología?

2. Cálculo proporcional y proporciones en los recursos naturales porcentajes y escalas

Para iniciar con el desarrollo de este contenido, es fundamental realizar la defi nición de lo que se enti ende por “Razón” en el ámbito de las fracciones, que de acuerdo con Godino, J. y Batanero C. (2002) es un par ordenado de canti dades de magnitudes donde cada una de esas canti dades vienen expresadas mediante un número real y una unidad de medida.

Para interiorizarnos más en el contenido, revisa el documento (Cidead, s.f.) “Proporcionalidad” (Pág. 81 – 87) y a parti r de esta revisión desarrolla el siguiente cuadro:

ProporcionalidadProporción Regla de tres PorcentajeDefi nición Defi nición Defi nición

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Ejercicio propuestoHallar el cuarto proporcional:

x/6= 8/4

Si cada litro de leche cuesta 6 bs., ¿Cuánto costará 18 litros de leche?

Escribe en forma de:

-Fracción 38% =

-Decimal 80/100=

Resuelve el siguiente proble-ma:

-El 17% de los alumnos de la Unidad Educati va habla dos lenguas. Si hay 550 alumnos en la U. E. ¿Cuántos hablan dos lenguas?

Para abordar el tópico de escalas es necesario que analices el documento (Universidad de Va-lencia, s.f.)“Tema 5 Proporcionalidad y escalas” (Pág. 6 - 10), a conti nuación, en el siguiente espacio, elabora un gráfi co a escala E=1/2.

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GUÍA DE ESTUDIO

3. Medición y cálculo de áreas

En el área de la Biología y la Geografí a, el cálculo de área y medición de las mismas son de manejo coti diano más aún en el hábito de la investi gación. La medición de área es un trabajo matemáti co que data desde la anti güedad, se uti liza desde que los pueblos empezaron a esta-blecerse, como por ejemplo en la implantación de las extensiones de los espacios de culti vo.

Con la fi nalidad de profundizar en el contenido, analiza el documento (FAO, s.f.) “10 Medición de Áreas” (Pág. 1 – 6), para que posteriormente desarrolles el ejercicio propuesto en el siguiente cuadro:

Calcula el área y perímetro de los siguientes polígonos:

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4. Sumatorias y promedios

En nuestra prácti ca pedagógica, constantemente desarrolla-mos procesos de suma de datos y obtención de promedios, por ejemplo en el proceso de sistemati zación de califi caciones escolares.

Para el desarrollo del siguiente contenido será necesario que revises los documentos (Esupcom, s.f.)“Sumatoria” (Pág. 1 – 2), y (Noyola, s.f.)“Promedios y Media Aritméti ca” (Pág. 1 – 2) y el video “Cómo sacar sumatoria, promedio, nota máxima, nota mínima, mediana” (00:01- 02:57 min.), y en el siguiente cuadro mediante un diagrama de fl ujo, realiza la descripción y explicación del proceso de resolución de los siguientes ejercicios propuestos (un diagrama de fl ujo, es una prácti ca de representación gráfi ca del algoritmo o proceso de alguna acti vidad, te presentamos un ejemplo).

Sumatoria PromedioA conti nuación desarrolla la sumatoria de los números pares comprendidos entre el 1 al 50.

Obtener el promedio de los datos comprendi-dos entre el número 1 al 50.

Diagrama de fl ujo Diagrama de fl ujo

Fórmula Fórmula

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Tema 2Conjuntos Matemáticos en la Biogeografía

El estudio de comunidades y poblaciones ecológicas, como por ejemplo colonias en microbio-logía, análisis demográfi co; en fi n, disti ntos tópicos que son abordados por la especialidad de Bilogía – Geografí a están directamente relacionada con las matemáti cas, tal como indica Cañada (1991) “…la Historia de la Matemáti ca nos proporciona muy buenos ejemplos de teorías que nacieron de manera abstracta y que posteriormente han sido de gran uti lidad en el estudio de la Naturaleza y de otras teorías que nacieron y se desarrollaron por problemas concretos. Por ejemplo, la necesidad de explicar fenómenos de ti po vibratorio (como el problema de la cuerda vibrante) o el proceso de difusión del calor, moti vó, a J. Bernouilli y a J. Fourier a iniciar la teoría de Series de Fourier, que ha tenido una gran infl uencia en el desarrollo de muchos temas abs-tractos dentro del Análisis Matemáti co (Teoría de Conjuntos, Teoría de integración y medida, Operadores defi nidos en espacios de dimensión infi nita, etc.)”

Es así que éste tema se desarrollará de forma inmersa en la prácti ca pedagógica en todos los años de formación de Educación Secundaria Comunitaria Producti va, en la diversidad de contenidos propuestos de acuerdo al Programa de Estudio. Con la fi nalidad de que las y los estudiantes logren relacionar el análisis de conjuntos matemáti cos, a los procesos de estudio e indagación de los procesos biológicos y geográfi cos en la región donde viven.


1. Conjuntos, elementosEl abordaje de este contenido nos permiti rá apreciar con un enfoque más prácti co el análisis de la Ecología y Biología como tal, pues es la base para el estudio de poblaciones, relaciones inter – Intraespecífi cas, entre otras. Con la fi n de profundizar en el contenido revisa el documento

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(Escande, s.f.) “Conjuntos” (Pág. 1 – 8) y conti nuación desarrolla la siguiente tabla:

CONJUNTOSDefi nición Elementos

Tipos de conjuntos Ejemplos del contexto

2. Unión, intersección, complemento

Para el desarrollo del presente contenido será necesario que revises el documento (Escande, s.f.) “Conjuntos” (Pág. 9 – 16) en el que se realiza el abordaje respecto a la unión, intersección y complemento dentro el tema de conjuntos.

A conti nuación, en base a los siguientes datos, desarrolla las acti vidades propuestas en el cua-dro conti guo.

-En el hospital comunitario el doctor responsa-ble registró a diez pacientes con los siguientes síntomas, así como se observa en la imagen:

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GUÍA DE ESTUDIO

CONJUNTOSDefi nición Desarrollo

Unión Pacientes con fi ebre: F= {

Pacientes con cólicos: C={

Pacientes mareos: M= {

Intersección F ∩ C= {

Gráfi co

Complemento Todos los pacientes U={

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3. Aplicaciones en la Biología y la Geografí a

El manejo de los conjuntos en la Geografí a y la Biología se realiza, por ejemplo en el estudio de comunidades, poblaciones y ecosistemas, un claro ejemplo nos muestra el documento (Cu-baEduca, s.f.) “Diagrama de Venn” (Pág. 1- 4) donde se muestra de forma concreta la uti lidad de los conjuntos en la Biología.

En base al documento analizado, en el siguiente espacio, elabora tu propio diagrama de Venn, donde demuestres una comparación de dos o más conjuntos del contexto natural en el que te encuentres (con su respecti va interpretación). Ej. Insectos, plantas, aves.

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Tema 3Funciones y Relaciones en la Comunidad

Una función se asemeja a una máquina que transforma nú-meros, en el que se da un número x (Entrada o insumo), esta máquina (la función f) lo transforma y el producto (o salida) que se obti ene fi nalmente es otro número (único).

El presente tema se desarrollará de manera complementaria en todos los años de formación de Educación Secundaria Co-munitria Producti va, aplicable en contenidos referentes a la producti vidad del país, procesos ecológicos, y salud. Mediante el cual, la o el estudiante, desarrollará la capacidad de valorar las acti vidades socioproducti vas ligadas a las relaciones mate-máti cas, para explicar algunos fenómenos naturales y sociales que se desarrollan en el país.


1. Relaciones y funciones como aspectos interculturales Para el desarrollo de este contenido, observa el video “Las funciones y la vida coti diana” (00:01 – 15: 58 min ), el cual te permiti rá comprender las relaciones y funciones matemáti cas en el ámbito social. Luego de analizar el material audiovisual, redacta tu punto de vista respecto a la importancia que ti ene este contenido en la interpretación de sucesos que se desarrollan en el diario vivir.

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2. Relaciones matemáti cas producti vas

Para el abordaje del presente contenido iniciamos defi niendo “Relación” en el área de la ma-temáti ca, entendiéndose como un conjunto de pares ordenados que consta de dos elementos (a, b) donde el orden en que aparece (a antes que b) indica la relación R. Con el fi n de profun-dizar en este tópico, conti núa con la lectura del documento (Tecnológico de Monterrey , 2008) “Matemáti cas Discretas Relaciones y Funciones” (Pág. 2 – 5).

En base al análisis que realizaste, desarrolla los siguientes ejercicios propuestos:

Para A= {a, b, c, d, e, f, g} Representaciones gráfi cas de relaciones R1 = {…………

R1= {……………….

¿Cuáles son los ti pos de relaciones que se estudian en el documento?

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GUÍA DE ESTUDIO

3. Funciones numéricas

Conti nuando con el desarrollo del tema, ahora estudiaremos lo concerniente a las funciones numéricas, indicando que una función “es una regla que asocia elementos de un conjunto A con un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto”. Para profundizar en tus conocimientos, conti núa con el análisis del do-cumento (Tecnológico de Monterrey , 2008) “Matemáti cas Discretas Relaciones y Funciones” (Pág. 6 – 7).

En base a la lectura que realizaste, señala cuál de las siguientes corresponde o no a una función, en el cuadro posterior, indica las razones de tu aseveración.

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4. Función lineal, exponencial y periódica

Recordemos que una función es una relación entre un conjunto dado x (llamado dominio) y otro conjunto de elementos (llamado condominio), de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f (x) del co-dominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Ahora nos corresponde profundizar en el presente contenido, con este fi n revisa el documento de(Contreras & Del Pino, s.f.) “Funciones y Gráfi cas (1)” (Pág. 1 – 16). A conti nuación, caracteriza e identi fi ca cada una de las funciones representadas y señala sus parti cularidades:

.............................................. ............................................... ..............................................

Caracteriza cada una de ellas

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GUÍA DE ESTUDIO

5. Función logarítmica

Después de haber indagado en las característi ca de las funciones matemáti cas, en este conte-nido estudiaremos lo referente a la función logarítmica, que es la función inversa de la función exponencial. Para adentrarnos en el contenido analiza el documento (Competencias Matemá-ti cas, s.f) “Función Logarítmica” (Pág. 1 – 4) y en el siguiente cuadro señala las propiedades de dicha función:


Luego de haber estudiado lo referente a las funciones y los diferentes elementos que lo confor-man. Ahora, mediante la observación del video “Problema de aplicación de la función lineal” (00:01 – 05:58 min.), podremos apreciar un ejemplo de cómo se relaciona el tema de funciones con el área de la Biología y geografí a.

Luego del análisis del video desarrolla el siguiente cuadro sinópti co.

¿Con qué contenido de la especialidad se puede relacionar el problema planteado en el video?

Gráfi ca en el plano cartesiano.

Respuesta A. Respuesta B.

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En qué contenidos curriculares del área de la Biología – Geografí a consideras perti nente aplicar los contenidos anteriormente desarrollados.

Observa la siguiente imagen, señala a qué ti po de función corresponde, y realiza un análisis interpretati vo en el cuadro conti guo:

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Ecuaciones y Resolución de ProblemasTema 4

Dentro de las aplicaciones de la Matemáti ca en la Biología podemos señalar que en el campo de la investi gación y análisis es donde las ecuaciones nos permiten comprender la situación de propagación en datos específi -cos; tal como Rabatt e (2006), en su artí culo Ecuaciones diferenciales aplicadas al área de Ciencias de la Salud, indica:“…un proble-ma importante de biología y medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa; esto es, una enfermedad que puede transmiti rse de un individuo a otros. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología, y si un porcentaje grande no común de una pobla-ción adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia”.

Con este preámbulo indicamos que éste tema será desarrollado de forma complementaria, en todos los años de formación en Educación Secundaria Comunitaria Producti va, aplicable a la indagación de procesos, fenómenos biológicos, sociales o naturales, planteados de acuerdo al Programa de Estudios. Será de gran uti lidad para la o el estudiante, en cuanto al estudio, investi gación e interpretación de situaciones problemáti cas en su comunidad.


1. Igualdades, ecuaciones lineales, representación

Se considera una “igualdad” a la relación equivalente entre dos expresiones, numéricas o li-terales, que se cumple para uno, algunos o todos los valores y se representa por el signo (=). Cada una de las expresiones recibe el nombre de “miembro”. Para adentrarnos en el contenido es conveniente que analices el documento (Becerra, s.f.) “Ecuaciones y Desigualdades” (Pág. 1 – 3, 12 – 13) que te permiti rá desarrollar el siguiente cuadro:

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Igualdad Ecuación lineal Representación de una ecuación

Defi nición Defi nición Característi cas

Fórmula Fórmula Ejemplo

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GUÍA DE ESTUDIO

En el siguiente ejercicio identi fi ca los componentes de la ecuación problema:

Resuelve la siguiente ecuación, posteriormente procede a grafi carla:

En este espacio indica un ejemplo con cada signo:

≠ no es igual ...........................................

< menor que ...........................................

> mayor que ...........................................

≤ menor o igual que ...........................................

≥ mayor o igual que ...........................................

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2.Desigualdades

En el área de la matemáti ca se enti ende por “desigualdad” a una expresión que conti ene un signo de desigualdad. A conti nuación te presentamos los signos que denotan dicha situación:

Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que conti enen a la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para despejar la incógnita se divide por el valor del coefi ciente, teniendo en cuenta la segunda o tercera propiedad de las desigualdades, según el signo del coefi ciente. Para profundizar en el abordaje de este contenido, conti núa con el análisis del documento (Becerra, s.f.) “Ecuaciones y Desigualdades” (Pág. 14 - 16) y en el siguiente espacio desarrolla la siguiente acti vidad:

De acuerdo al análisis que realizaste, ¿cuáles son las propiedades de las desigualdades? se-ñala un ejemplo.

Resuelve el siguiente ejercicio de desigualda-des o inecuaciones enteras:

13x - 3x + 2 - 5x > -10 +2x + 6

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GUÍA DE ESTUDIO

3. Conjunto Solución

Para desarrollar el presente contenido es importante defi nir conjunto dentro de lo que son las ecuaciones, en este senti do se enti ende como conjunto al contenido de todas las soluciones de una ecuación, también llamado conjunto solución; tal es el caso que si una ecuación no ti ene soluciones, escribimos Ø (este signo signifi ca conjunto vacío) para el conjunto soluciones.

A conti nuación, analicemos el siguiente ejemplo obtenido de Varsity Tutors:

De acuerdo a lo anteriormente citado, analiza y desarrolla la siguiente desigualdad:

x + 2 > –3.

Restando 2 en ambos lados, obtenemos la desigualdad equivalente x > –5.

Así, el conjunto solución es {x | x > –5}.

En conclusión: “ x tal que x es mayor que cinco ne-gati vo.” El símbolo | signifi ca “tal que” en este caso.

Para fortalecer tus conocimientos, revisa el documento (Profesor en línea, s.f.) “Conjunto numérico de una ecuación” (Pág. 1 - 4) y en el siguiente espacio señala ejemplos de conjunto de números naturales, cardina-les, enteros y racionales:

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4. Representación

Al igual que en las ecuaciones de igualdad o de primer grado, las ecuaciones de desigualdad de primer y segundo grado ti enen característi cas propias en su representación gráfi ca. Para poder comprender más respecto a este contenido, revisa el documento (Becerra, s.f.) “Ecuaciones y Desigualdades” (Pág. 21- 22, 36 - 38) y desarrolla el siguiente cuadro comparati vo:

Analiza los siguientes ecuaciones.-De primer grado.

Desarrolla el gráfi co de la ecuación en el plano cartesiano:

36

GUÍA DE ESTUDIO

-De segundo grado. Desarrolla el gráfi co de la ecuación en el plano cartesiano:

5. Situaciones problema

Resolver una ecuación es llegar a encontrar el valor o valores de las incógnitas que hacen posible se cumpla la igualdad, estos valores reciben el nombre de raíces o soluciones de la ecuación. En este contenido abordaremos la prácti ca en la resolución de situaciones problema en ecuaciones. Para este fi n, realiza el análisis del documento (Becerra, s.f.) “Ecuaciones y desigualdades” (Pág. 9 - 12) y a conti nuación desarrolla el siguiente cuadro:

Planteamiento DesarrolloEl cuadrado de x

El cuadrado del doble de x

La mitad de x

Dos números pares consecuti vos

-

-

-

-

Erick ti ene un año más que el doble de la edad de Jorge y sus edades suman 97. ¿Qué edad ti enen ambos?

Realiza su representación gráfi ca:

37


El perímetro de un jardín rectangular es de 58m. Si el lado mayor mide 11m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jar-dín?

Realiza su representación gráfi ca:

6. Sistemas de ecuaciones lineales

El desarrollo de este contenido nos permiti rá estudiar el sistema de ecuaciones lineales enten-diendo como “sistema” al conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si ti enen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

Se denomina ecuación lineal a aquella que ti ene la forma de un polinomio de primer grado; es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multi plicadas entre sí, ni en el denomi-nador, así como indica el documento (Sauce.pnitc.mec, s.f.) “Capítulo 7 Sistema de ecuaciones lineales” (Pág. 1 – 8). A conti nuación, según el análisis que realizaste, desarrolla la siguiente acti vidad:

Tipo de sistema de ecuaciones Ejemplo

Eliminación por susti tución.

Eliminación por suma o resta.

Eliminación por igualación.

Por medio de determinantes.

7. Ecuaciones cuadráti cas

En primer lugar vamos a demostrar que todo número ti ene dos raíces cuadradas iguales pero de signos contrarios. Para ello es preciso tomar en consideración que si un número cualquiera, por ejemplo x, se eleva al cuadrado nos da otro número que llamaremos n, es decir:

x2 – n ; x2 - n – 0 esta igualdad también se puede expresar de la siguiente manera x2 - (√n )2 – 0

Para poder profundizar en este contenido estudia el documento (Becerra, s.f.) “Ecuaciones y Desigualdades” (Pág. 12 - 13), y a parti r de ello resuelve los siguientes ejercicios:

38

GUÍA DE ESTUDIO

Ecuaciones de segundo grado o cuadráti casEstas ecuaciones pueden ser de dos ti pos:

-

-Resuelve la siguiente ecuación que por sus característi cas es de ti po:

…………………………………………………………

ax2 + c = 0

Resuelve la siguiente ecuación que por sus característi cas es de ti po:

………………………………………………………….

ax2 + bx + c = 0


En el área de la Biología existen varias y diferentes maneras en el que la matemáti ca se aplica, tal como lo indica el documento (Sevilla & Echevarría, s.f.)“Tema 2 Ecuaciones diferenciales aplicadas a la Biología” (Pág. 1 – 21), donde podrás apreciar ejemplos claros de esta situación. Para profundizar más en el contenido, observa los videos “Crecimiento Poblacional (Aplicacio-nes Ecuaciones diferenciales de primer orden)” (00:01 – 24:53 min.) y “Crecimiento de una población de bacterias por medio de una ecuación diferencial” (00:01 – 14: 15 min.).

Basándote en todo el análisis que realizaste, en el siguiente cuadro señala dos contenidos a los cuales aplicarías estos conocimientos, además de la acti vidad que realizarías:

Respecto a Biología Respecto a Geografí a

39

Tema 5

Determinación de Distancias en Lugares Inaccesibles

El análisis de las edifi caciones que las grandes culturas desarrolladas en nues-tro territorio, nos muestran que el ser humano a lo largo del ti empo buscó la manera de modelar las estructuras con un grado de exacti tud impresionante, con tal precisión que sorprende anali-zarlas ya sean a través de la infl uencia religiosa en la edifi caciones de templos como también en la ingeniería con la construcción de acueductos, caminos y puentes.

El desarrollo de este tema se caracteriza por ser muy dinámico en el área de la Biología y Geografí a, que se desarrolla de manera inmersa el todo el proceso formati vo de Educación Secundaria Comunitaria Producti va, aplicable en contenidos de estudio de áreas protegidas y producción agropecuaria. Donde la/el estudiante, fortalecerá su capacidad de relacionamiento de las conceptualizaciones trigonométricas a los procesos producti vos de su región.


1. Resolución de triángulos rectángulos

Un triángulo es la región (cerrada) del plano delimitado por tres segmentos que se cortan dos a dos en sus extremos, cuyas partes son vérti ces, lados y ángulos como se puede observar en la imagen.

En la imagen señala con un color las partes de un triángulo

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GUÍA DE ESTUDIO

Con la fi nalidad de profundizar en el contenido en revisa el documento (Jara & Ruiz, s.f.) “Trián-gulos” (Pág. 10 – 13) el cual te permiti rá en el siguiente cuadro desarrollar los siguientes ejer-cicios:

De acuerdo a la siguiente representación desarrolla el teorema de Pitágoras:

El siguiente triángulo rectángulo se puede resolver según:

Ley de las alturas: Ley de los catetos:

2. Funciones de ángulos complementarios

En cuanto al desarrollo de la trigonometría los ángulos complementarios son los que suman 90o, y en los triángulos rectángulos los ángulos no rectos son complementarios. Tal como se menciona el documento (Quincena 7, s.f.) “Trigonometría” (Pág. 116 – 118) en cual te permiti rá desarrollar la siguiente acti vidad:

En el presente cuadro señala cada uno de los considerados ángulos complementarios y su ubicación el plano cartesiano.

Ángulos complementarios Ubicación en el plano cartesiano........................................................................

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........................................................................

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........................................................................

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........................................................................

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GUÍA DE ESTUDIO

3. Determinación de ángulos a parti r de las funciones

Una vez que ya nos familiarizamos con la resolución de triángulos rectángulos y la identi fi cación de los ángulos complementarios, ahora abordaremos la determinación de las funciones trigo-nométricas de dichos ángulos. Para ello es conveniente que revises el documento de (Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofí sicas, s.f.) “Módulo 5: Trigonometría” (Pág. 19 – 25).

Con relación al texto estudiado a conti nuación desarrolla el siguiente cuadro sinópti co:

Función trigonométrica Caracterización

43


4. Resolución de triángulos oblicuángulos.

En el transcurso del presente contenido analizaremos la forma de tratamiento de un triángulo que no es rectángulo, el cual recibe el nombre de oblicuángulo. Sus elementos son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respecti vos, opuestos a los anteriores, a, b y c. Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado).

Para profundizar en el abordaje de este contenido es conveniente que estudies el documento (Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofí sicas, s.f.) “Módulo 5: Trigonometría” (Pág. 34 – 37) que te permiti rá, en el siguiente espacio, desarrollar y demostrar el teorema del Seno, aplicable a los triángulos oblicuángulos.

Teorema del seno

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GUÍA DE ESTUDIO


Una vez realizado el desarrollo del tema, en este contenido observaremos cómo se aplican estos saberes y conocimientos al área de la Biología y Geografí a para este cometi do analiza el video “Geometría en la naturaleza” (00:01 – 06:35 min.) y luego de un proceso críti co - refl exivo en el siguiente espacio señala una estrategia con la que puedas arti cular los contenidos de la especialidad propiamente dicha con el área de matemáti ca, específi camente con este tema.

Estrategia propuesta

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Tema 6Matrices para el Impacto Académico

El área de la Biología – Geografí a que de acuerdo al Modelo Educati vo ti ene la característi ca holísti ca y arti culada con disti ntas áreas y campos de saberes de conocimientos en este caso con la Matemáti ca, ahora bien al hablar de Matrices cabe destacar el análisis que hace Rocael, (s.f.), indicando que: “la teoría de Matrices fue introducida en 1958 y ti ene hoy aplicaciones en campos como el control de inventarios en fábricas, cuánti ca en fí sica, análisis de costos en transportes y otras industrias problemas de estrategias en operaciones militares en y análisis de datos en psicología y sociología”. Tal como se muestra en las imágenes la aplicabilidad de las matrices en las ciencias es de forma prácti ca y dimámica.

Este tema por ser de carácter complementario al proceso formati vo en el área de Ciencias Naturales Biología- Geografí a, se desarrolla a lo largo de la prácti ca pedagógica en todos los años de Educación Secundaria Comunitaria Producti va, de acuerdo al Programa de Estudios, Con la fi nalidad de que la/el estudiante desarrolle capacidades analógicas en las acti vidades indagatorias de campo como también, en la interpretación de datos presentados en los estudios en el ámbito de la Biología, la Ecología y la Geografí a.

46

GUÍA DE ESTUDIO


1. Matrices

Para dar inicio al desarrollo de este contenido defi namos lo que en el ámbito matemáti co signifi ca “Matriz” entendiéndose como una tabla con m fi las y n columnas de números reales ordenados (m,n E N).

Se rige bajo la siguiente expresión:

Mnxm(R)

Considerando lo expresado, revisa el documento (Sauce.pnti c.mec., s.f.) “Capítulo 6 Matrices y Determinantes” (Pág. 82 – 85) donde podrás analizar las característi cas que hacen de las expresiones de matrices y los ti pos, como también su aplicabilidad.

En relación al estudio que realizaste desarrolla el siguiente esquema:

En el siguiente ejemplo señala los componentes de una matriz

2. Vectores

Un vector es un segmento orientado, queda determinado por dos puntos, de origen A y extremo B. tal como se muestra en la presente imagen. De acuerdo al estudio del documento (Alcaste, s.f. ) “Tema 7 Vectores” (Pág. 1 – 5) en el siguiente espacio señala los elementos de un vector.

47


3. Suma resta y productos de matrices

La suma de dos matrices de dimensión A y B es otra matriz que se denota como A+B con misma dimensión que las otras dos y defi nida como A+B=(aij)+(bij)=(aij+bij). Es decir A+B se obti ene sumando los elementos que ocupan la misma posición en las dos matrices que suman. Para profundizar en el contenido analiza el documento (Sauce.pnti c.mec., s.f.) “Capítulo 6 Matrices y Determinantes” (Pág. 86 - 89).

En base a la revisión detallada que realizaste, en el siguiente espacio señala las propiedades de la suma de Matrices con un ejemplo correspondiente:

Propiedad la suma de Matrices Ejemplo

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GUÍA DE ESTUDIO

4. Determinantes

“Una determinante es una forma multi lineal alternada de un cuerpo. Esta defi nición indica una serie de propiedades matemáti cas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos” (Wikipedia la enciclopedia libre, 2016). En una matriz 2 x 2 se defi ne el determinante de la matriz A, y se expresa como de (A) o bien |A|, como el número:

Con el propósito de indagar en el contenido te sugerimos revisar el documento (sauce.pnti c.mec., s.f.) “Capítulo 6 Matrices y Determinantes” (Pág. 95 - 100) y de acuerdo al análisis que realices en el siguiente espacio de desarrolla la acti vidad propuesta.

Realiza el cálculo de la siguiente matriz de orden 2:

Realiza el cálculo de la siguiente matriz:

5. Inversa

La matriz inversa de una matriz cuadrada AEMnxn(R) es otra matriz cuadrada de misma dimen-sión que se denota como A-1 E Mnxn(R) tal que se cumple:

A•A-1=A-1•A= Id con Id E Mnxn(R)

Para interiorizarnos en el contenido analiza el documento (Sauce.pnti c.mec., s.f.) “Capítulo 6 Matrices y Determinantes” (Pág. 90 - 94) y de acuerdo a dicho análisis en el siguiente espacio describe y ejemplifi ca los dos métodos por los cuales se pueden desarrollar el cálculo de ma-trices inversas.

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La Matriz inversaMétodo 1.

……………………………………………………

Método 2.

……………………………………………………

50

GUÍA DE ESTUDIO

6. Sistema de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales “son ecuaciones algebraicas donde los coefi cientes y las incógnitas son matrices” tal como lo indica el documento que debes revisar de forma detallada correspondiente a (Lorente, s.f. ) “Tema 8 Matrices” (Pág. 176 – 184).

Luego de realizar el análisis del documento propuesto, este cuadro indica con precisión las reglas que se deben tomar al desarrollar las ecuaciones de matrices, señalando un ejemplo:

51


7. Uso de matrices en la Biología y Geografí a y ejemplos desarrollados

Con el fi n de relacionar y analizar la forma en que se realiza el trabajo de Matrices en el área de Biología geografí a te invitamos a observar el video “Matemáti cas. Para qué sirven las ma-trices” (00:01 -06:54 min.) y en el cuadro siguiente elabora una lista de contenidos de acuerdo al Programa de estudios en los cuales podrías desarrollar contenidos arti culados con el área de Matemáti cas.

Contenidos del área de Biología Estrategias o acti vidades arti culadas con el área de matemáti cas (tema: Matrices)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

52

Orientaciones para la Sesión de Concreción

Para el desarrollo de este tercer momento, que se considera fundamental en la estrategia for-mati va, ya que se consti tuye en clave para el involucramiento de las maestras/os y estudiantes en el proceso de refl exión durante el ti empo en el que se desarrolla la prácti ca educati va en aula y comunidad, aplicando los conocimientos abordados en el desarrollo pedagógico de la unidad de formación.

Es este senti do se trabajará en la elaboración de una “Clase abierta en arti culación con el área de Matemáti ca”, donde podrás relacionar los contenidos desarrollados en la presente Unidad Formación con contenidos propios de la especialidad de Biología – Geografí a, el tema y la es-trategia innovadora propuesta será planifi cada y validada cono es correspondiente.

Para ello trabajaremos en base a tres aspectos esenciales:

• Acti vidad de autoformación para profundizar las lecturas complementarias, donde analizarás las lecturas de profundización sugeridas en la guía, o remiti rse al dossier bibliográfi co, que será importante para la realización del siguiente punto.

• Trabajo coordinado con los estudiantes y el involucramiento de la comunidad en la arti culación con la acti vidad curricular, se realizará en tres fases o etapas:

-Antes de la Clase y diseño de la estrategia: se deberá realizar un análisis del contexto y contenidos perti nentes esto nos posibilitará identi fi car los puntos específi cos para di-reccionar la estrategia educati va innovadora.

-La planifi cación de la clase: una vez identi fi cado la necesidad educati va y el tema o conte-nido, es el momento de diseñar la estrategia considerando el grado en el que se aplicará, para trabajar en el material que se hará uso para la socialización de los temas que se priorizarán, estos se elaborarán con materiales del contexto y reuti lizados. Cabe resaltar que este trabajo deberá ser validado por las autoridades convenientes e involucradas (como ser: director de la Unidad Educati va, presidente de la junta escolar, dirigente de la comunidad, profesional o especialista invitado, entre otros).

- La ejecución de la clase: donde se pondrá en marcha la ejecución de la estrategia diseñada, en el ti empo y espacio previsto, con la aplicación del material y recursos preparados.

53


• Narración de la experiencia educati va trasformadora. Finalmente, este aspecto será esencial, puesto que deberá narrar el proceso formati vo de la acti vidad de concreción y así poder consolidar nuestra experiencia educati va transformadora, para tu relato debes tomar en cuenta estos dos aspectos, ahora sí puedes considerar otros puntos que creas relevante y que contribuyan con el actual Modelo Educati vo.

En este espacio presenta las evidencias de concreción: (Fotografí as, plan de desarrollo curri-cular, diario de campo, etc.)

54

GUÍA DE ESTUDIO

En este espacio narra tu experiencia educati va respecto a la Feria Educati va Sociocomunitaria.

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Orientaciones para la Sesión de Socialización

Durante todo este proceso de formación planteado en la presente guía a través de diferentes acti vidades formati vas, debe tener como resultado la apropiación de los contenidos abordados.

La tutora o tutor a cargo deberá realizar la evaluación correspondiente a la Unidad de Formación “Matemáti ca para la Biogeografí a”, de acuerdo a los siguientes parámetros:

Evaluación de Evidencias

- La/el tutor a cargo debe hacer la revisión de toda la evidencia de la ejecución de las ac-ti vidades realizadas a parti r de la bibliografí a propuesta en la guía y otras que hubiesen sido sugeridas.

- También están las evidencias de la concreción, como ser: actas videos, fotografí as, cua-dernos de campo, hojas de relevamiento de datos, planes de desarrollo curricular, etc.

Evaluación de la socialización de la concreción

- Se debe socializar como y a parti r de qué se hizo la arti culación de los contenidos con la malla curricular, el plan de clase y el proyecto Socio Producti vo de la Unidad Educati va.

- El uso de los materiales y su adecuación a los contenidos.

- La aceptación e involucramiento de la comunidad en el trabajo realizado.

- El o los productos tangibles e intangibles, que se originaron a parti r de la concreción.

Evaluación Objeti va:

- Será una evaluación individual, en donde el parti cipante debe tomar en cuenta todo lo relacionado con:

- La matemáti ca en la biología y la geografí a.

- Conjuntos matemáti cos en la biogeografí a.

- Funciones y relaciones en la comunidad.

- Ecuaciones y resolución de problemas.

- Determinación de distancias en lugares inaccesibles.

- Matrices para el impacto académico.

56

Bibliografía

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• Profesor en línea . (s.f. ). Conjuntos numéricos de una ecuación . Obtenido de www.profesorenlinea.cl: htt p://www.profesorenlinea.cl/matemati ca/EcuacioConjuntonumerico.htm

• Quincena 7. (s.f.). Trigonometría. Obtenido de recursosti c.educacion.es/: htt p://recursosti c.educacion.es/secundaria/edad/4esomatemati casB/trigonometria/impresos/quincena7.pdf

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g. 1

– 8

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s.f.).

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Pág.

9 –

16)

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g. 1

- 4)

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ág. 6

-8)

58

GUÍA DE ESTUDIO

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(Pág

. 2 –

5)

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Te

cnol

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Mon

terr

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2008

). M

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iscre

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ione

s y Fu

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nes.

Mon

-te

rrey

, Méx

ico.

(Pág

. 6 –

7)

• Fu

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s.f.).

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ág. 1

– 1

6)

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s.f).

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Pág.

1 –

4)

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(Pág

. 1 –

5)

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e in

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1 –

3, 1

2 –

13)

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umer

ico.

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(Pág

. 1 -

4)

• Re

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enta

ción

Be

cerr

a, J.

(s.f.

). Ec

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y d

esig

uald

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. Mad

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e M

atem

áti c

as

de la

EN

P de

la U

NAM

. (Pá

g. 2

1- 2

2, 3

6 - 3

8)

• Si

tuac

ione

s pro

blem

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cerr

a, J.

(s.f.

). Ec

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esig

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a: C

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e M

atem

áti c

as

de la

EN

P de

la U

NAM

. (Pá

g. 9

- 12

)

59


• S

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mas

de

ecua

cion

es li

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Sauc

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s.f.).

Cap

ítulo

6 M

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inan

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ág. 1

– 8

)

• Ec

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Be

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a, J.

(s.f.

). Ec

uaci

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y d

esig

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. Mad

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a: C

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io d

e M

atem

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de la

EN

P de

la U

NAM

. (Pá

g. 1

2 - 1

3)

• Ap

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910.

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(Pág

. 1 –

21)

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o: C

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s dife

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– 14

: 15

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.) htt

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el

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itaria

Pr

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ti va,

apl

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le e

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área

s pro

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pro

duc-

ción

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opec

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La/e

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ante

med

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e el

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cont

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os,

fort

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erá

la c

apac

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de

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laci

onam

ient

o de

las

con

cep-

tual

izaci

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trig

onom

étric

as a

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s pr

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os p

rodu

cti v

os d

e su

re

gión

.

• Re

solu

ción

de

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ngul

os re

ctán

gulo

s.

Jara

, P.,

& R

uiz,

C. (

s.f.).

Triá

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ngul

os.p

df (P

ág. 1

0 –

13)

• Fu

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nes d

e án

gulo

s com

plem

enta

rios.

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7. (s

.f.).

Trig

onom

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. Obt

enid

o de

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s/se

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aria

/eda

d/4e

som

atem

ati c

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trig

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etria

/impr

esos

/qui

n-ce

na7.

pdf (

Pág.

116

– 1

18)

• De

term

inac

ión

de á

ngul

os a

par

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e la

s fun

cion

es.

Facu

ltad

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ienc

ias

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onóm

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y G

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icas

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f.). M

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onom

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/M

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Mod

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pdf

(Pág

. 19

– 25

)

• R

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os o

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as. (

s.f.)

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ría. O

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edu.

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Mod

ulos

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f (Pá

g. 3

4 –

37)

• Ap

licac

ione

s en

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Geo

grafí

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Vide

o: G

eom

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en

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– 0

6:35

min

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ps:

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GUÍA DE ESTUDIO

Mat

rices

pa

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o

Este

tem

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ráct

er c

ompl

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tario

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proc

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form

ati v

o en

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área

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Cien

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Nat

ura-

les B

iolo

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Geo

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a, s

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olla

a lo

larg

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prác

ti ca

peda

gógi

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n to

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s los

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s de

Educ

ació

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cund

aria

Co

mun

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Pr

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ti va,

de

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rdo

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rogr

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Co

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que

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el e

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cas e

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inda

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s de

cam

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tam

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én, e

n la

inte

rpre

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ón

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atos

pre

sent

ados

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los

estu

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en

el á

mbi

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Bio

logí

a, la

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a y

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eogr

afí a

.

La/e

l est

udia

nte

desa

rrol

lará

ca-

paci

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s ana

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cas e

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s acti

-vi

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s in

daga

toria

s de

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po

com

o ta

mbi

én, e

n la

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ta-

ción

de

dato

s pre

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en

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estu

dios

en

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mbi

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Bio

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gía,

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Geo

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(Pág

. 82

– 85

)•V

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(Pág

. 1 –

5)

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s.f.).

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ítulo

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Matemática para la Biogeografía

NivelaciónA c a d é m i c a


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Matemática para la Biogeografía

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