MATEMÁTICA - WordPress.com · Irracionales: alguna de las variables es base de una raíz. Ejemplo...

PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA2.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075385ISBN 978-950-13-2594-2

III

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo2

• Expresiones algebraicas.

• Polinomios de variable x.

• Grado, coeficiente principal y término

independiente.

• Adición y sustracción de polinomios.

• Multiplicación de polinomios.

• Cuadrado de un binomio.

• Operaciones combinadas.

• Factorización de polinomios.

• Factor común.

• Diferencia de cuadrados.

• Trinomio cuadrado perfecto.

• Ecuaciones con números racionales.

• Inecuaciones. Intervalo solución.

Expresiones algebraicas


Teoría

Expresiones algebraicas. Polinomios

Calcular el valor de a para que cada polinomio cumpla con la condición pedida en cada caso.

Hallar el polinomio reducido y escribir el grado, el coeficiente principal y el término independiente

de cada uno de los siguientes polinomios.

Colocar I (irracional), R (racional) o E (entera) según corresponda.

a) 3x 5

b) 2m 8c1 +−

c) 2x 7y

9

d) 3 a 4 b

e) x 2y 3+−

f) 3x 21( )+ −

a) P(x) 4x 5x 2x 7 5x 25 3 5− + − − +

b) Q(x) 8 2x 6x 9x 8 x2 4 3 2− + − − +

c) T(x) 3x x 2 2x x2 3 3 2− + + +

d) M(x) x 5 3x 5x 1 3x2 4 2 4+ − + − +

a) El coeficiente principal de R(x) es 5.

R(x) 3 2x 6x ax2 2− − +

b) El grado de S(x) es 3.

S(x) 5x ax 2x 6x 92 4 3 4+ − − −

c) El término independiente de A(x) es 7.

A(x) 4x 1 3x a x3 2+ − + −

d) El grado de B(x) es 0.

B(x) 8 3x 5 ax2 2+ − +

3

2

1

– Una expresión algebraica es una combinación de números reales (coeficientes) y/o letras (variables) ligadas entres sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y la radicación.

– A las expresiones algebraicas enteras se las denomina polinomios y, en este libro, se va a trabajar con polinomios de variable x.

Cuando en un polinomio hay términos semejantes (x elevada al mismo exponente), se deben sumar o restar esos términos para obtener el polinomio reducido.

Ejemplo: P(x) 2x3 4x 2x2 10x 3 7x2 2x3 6x 3 5x2

Para un polinomio reducido, como el anterior, se verifica que:• Los coeficientes son los números que multiplican a las variables (2, 6, 3 y 5).• El grado es el mayor exponente de todas sus variables (3, por x3).• El coeficiente principal es el que multiplica a la variable de mayor exponente (2).• El término independiente es el que no está multiplicado por ninguna variable (3).

a) 5a 3b b) 12

m 3y2 3 c) x y

z

2 2

3 d) m 27

s4

ClasificaciónIrracionales: alguna de las variables es base de una raíz. Ejemplo d).

Racionales: ninguna variable es base de una raíz.Fraccionarias: alguna variable actúa como divisor. Ejemplo c).

Enteras: ninguna variable actúa como divisor. Ejemplos a) y b).

30


Teoría

Teoría

Valor numérico de un polinomio

Adición y sustracción de polinomios

La temperatura en una ciudad está dada por el polinomio T(x) 3x 7x 52 + − .

Calcular la temperatura en la ciudad para los distintos valores de x.

Hallar la expresión del perímetro del triángulo amarillo.

a) Para x 4 b) Para x 2

Hallar el perímetro y la superficie del rectángulo verde para x 2.

Calcular el valor de a, b y c para que K(x) Y(x) 3x 8x 12− + − .

k(x) ax b 2x

Y(x) cx 8 7x

2

2

= + −= + +

4

6

5

7

• El valor numérico de un polinomio resulta de reemplazar el valor de x por un número real. Por ejemplo, el valor numérico de R(x) 6x2 4x 5 para x 1 es: R( 1) 6 . 1 2 4 . 1 5 6 4 5 15 R( 1) 15

• El nombre de un polinomio reducido depende de la cantidad de términos:

Para sumar o restar dos polinomios, se debe sumar o restar sus términos semejantes.

Ejemplo: = + − −P(x) 7x 3x 4x 93 2 y = − + −Q(x) 2x 5x 6 3x2 3

En general, a los polinomios de más de 4 términos se los denomina polinomio de n términos.

1 término: monomio2 términos: binomio

3 términos: trinomio4 términos: cuatrinomio

a) + = − − −P(x) Q(x) 4x 2x 2x 33 2 b) − = − + −P(x) Q(x) 10x 6x 8x 153 2

Calcular el valor de m para que se cumpla que E( 3) 0.

E(x) x 2x 5x m3 2+ − +

Desafío

8

3x 8x x 13 2− + − +

−+

x21

4

−+

−

2xx

6x

9

3

2

−

+

−+

4x

2x

5

7x

2

3

− + −8 5x 2x 6x3 2

31


Teoría

Multiplicación de polinomios

Aplicar propiedades y calcular el resultado de las siguientes operaciones.

a) 3x . 5x3

b) 4x . 7x2 2− =

c) x . 8x3 7( )− − =

d) 6x . x . 3x3 4( )− =

a) b)

e) 2x 5x 4 . 3x3 2( ) ( )− + − =

f) 3x 2 . 4x 7( ) ( )− − + =

Hallar la expresión de la superficie de cada figura.

Calcular el valor de a y b para que L(x) . H(x) 6x2 11 x 35.

9

10

11

• Para multiplicar o dividir un polinomio por un número real, se debe aplicar la propiedad distributiva y multiplicar o dividir los coeficientes.

• Para multiplicar dos polinomios, se debe aplicar la propiedad distributiva multiplicando sus coeficientes y aplicando la propiedad del producto de dos potencias de igual base:

a) ( )= − − − =4 . G(x) 4 . 8x 5x 2x 93 2 32x 20x 8x 363 2

b) ( )= − + − =U(x) : 3 12x 7x 15 9x : 32 3 − + −4x 73

x 5 3x2 3

a) 2x2 5x 3 . 4x3 2 . 4 . x2 . x3 5 . 4 . x . x3 3 . 4 . x3 8x5 20x4 12x3

b) 3x2 4x5 . 6x 2x3 3 . 6 . x2 . x 3 . 2 . x2 . x3 4 . 6 . x5 . x 4 . 2 . x5 . x3 18x3 6x5 24x6 8x8

= +x . x xn m n m+x . x x=n mx n m+

L(x) ax 5

H(x) 2x b

= += +

− +5x 2x 4x3 2

3x

2x

2

− + −4x 6x 52

−+

2x

8

32


Teoría

Cuadrado de un binomio

12) Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

Hallar la expresión de la superficie del cuadrado.

a) x 4 x 162 2( )+ = +

b) x 3 x 6x 92 2( )+ = + +

c) x 2 x 4x 42 2( )− = + +

d) x 1 x x 12 2( )+ = + +

e) x 5 x 10x 252 2( )− = − +

f) x 6 x 12x 362 2( )− = − −

g) Resolver correctamente los que son falsos.

12

13

Para elevar al cuadrado un binomio, hay que multiplicarlo por sí mismo.

( ) ( ) ( )+ = + + = + + + = + + + = + +a b a b . a b a . a a . b b . a b . b a ab ab b a 2ab b2 2 2 2 2

Para resolver algunos cuadrados, es necesario aplicar la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación y la de potencia de otra potencia.

Por ejemplo: ( ) ( ) ( )( )+ = + + = + + =3x 5x 3x 2 . 3x . 5x 5x 3 . x 30x 5 . x3 2 2 3 3 2 2 2 4 2 3 2 9x 30x 25x2 4 6

( ) =ax a . xn n n ( ) =x xn m n . m

a) ( )+ = + + =x 8 x 2 . x . 8 82 2 2 x 16x 642 b) ( ) ( ) ( )− = + − + − =x 7 x 2 . x . 7 7

2 2 2 − +x 14x 492

Por lo tanto: ( )+a b2 a 2ab b2 2

Cuadrado de un binomio Trinomio cuadrado perfecto

a b2 22 b b

( ) = a . xn n nx ( ) x) =m n . m

Hallar el valor de a y b para que a b 2 9x2 24x 16.

Desafío

14

5x 3x2

33


Repaso

Reducir cada polinomio y escribir su nombre y grado.

Calcular la hipotenusa del triángulo para x 3.

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

Hallar la expresión del perímetro del siguiente triángulo isósceles.

Reducir a la mínima expresión aplicando propiedades.

a) 3x . 5x . x2 3− =

b) 2x . 7x32

2( )− =

c) 6x 3x 2x 12x3 2 4 7( )( )− − + =

d) x . x 2 x 2 x3 3( )( )+ − + =

a) E(x) 6 5x 2x 1 9x 4x3 3= + − − − +

b) D(x) x 3x 4x x 10x5 4 2 5 2= − + − −

c) B(x) x 3x 1 5x 4 6x 32= + − + + − −

d) H(x) 7x x x 8x 3 5x 85 2 2= − + − + − +

a) x x x2 2 4+ =

b) x x 03 3− =

c) x . x 2x

d) x . x x2 3

e) x x x x3+ + =

f) x . x x2 2 4

g) 5x 5x x2 2 2− =

h) x x25

7( ) =

i) x 1 x 12 2( )− = −

j) Resolver correctamente los que son falsos.

15

16

17

18

19

− +x x3 2

4x

3−

+

− + + −7 4x 5x 2x3 2

−

−

+

5x

3x

4x2

2

3

34


a)

ps 3x 2x 5

rs x 4x

2

2

= − −= −

b)

ac 1 4x 3x

bo 6x 2x

2

2 3

= + −= −

Hallar la expresión de la superficie de cada figura.

La expresión de la superficie de un cuadrado es x2 14x 49.

a) Hallar la expresión del lado del cuadrado.

b) Hallar la expresión de su perímetro.

c) Calcular la superficie y el perímetro del cuadrado para x 2.

Completar los siguientes desarrollos.

a) x 2 x2 x 100

b) x 2 x2 26x

c) x 22 x2 20x

d) x 2 9x2 24x

a) 3x . 5x 4x 7x 9x x 8x2 3 2 3 4 5( )− − + + + − =

b) 5x 9x 4x 3x x 2x4 5 2 2 3( )( )− + − − − =

c) 2x 5 x(7x 13) 12( )− − − + =

d) 4x 2x 6x x x6 5 4 2 32( )+ − − + =

Resolver las siguientes operaciones.

20

21

22

23

m r

p sa

b

co

35


Teoría

Factoreo de un polinomio. Factor común

Completar con el factor común que corresponda en cada caso.

a) 8 12x 20x2+ + = . 3x 5x 22( )+ +

b) x 1 x .2 3( )+ + x x x2 5 4= + +

c) 6x 12x 4x 2 .3 5 2( )+ = +

d) . 5x 3 2x 12x 30x 18x2 6 5 4( )− − = − +

a) 8 3 x 8x 242 2( )− = −

b) x x x . x 12 ( )− = − −

c) 5x . 4x 3 20x 15x2 3( )+ = +

d) 12x 18x 2 3x . 6x4 3( )+ = +

e) 1 x x x x x x2 2 4 3 2( )( )− − − = + −

f) 3x 2x x x . 2 x 32 4 2 2( )+ − = − +

a) P(x) . 2 5x 15x Q(x)2 5( )− = + b) 2x P(x) Q(x) . 3x 12 ( )+ = +

g) Factorear correctamente los que son falsos.


Factorear los siguientes polinomios.

a) 21x 49 56x3 − + =

b) 2x 8x 9x3 2 5+ − =

c) x 2x 2x 2x5 3 4 6− + − =

d) 20x 8x 28x 4x4 12 3 5− + − =

e) 5x 45x 5x 15x8 6 4 5− − + =

Hallar los monomios P(x) y Q(x), con coeficientes enteros, que cumplan con cada igualdad.

24

25

26

27

Factorear un polinomio, al igual que un número, es expresarlo como un producto de factores primos.Existen varios procedimientos para factorear un polinomio; uno de ellos es el factor común, que consiste en expresar un polinomio como el producto entre un monomio y un polinomio.

a) 20x2 35 5 . 2 . 2 . x2 5 . 7 5 . 4x2 7 b) 3x3 2x4 3 . x . x . x 2 . x . x . x . x x3. 3 2x x3 x3

c) 18x2 30x3 12x4 2 . 3 . 3 . x . x 2 . 3 . 5 . x . x . x 2 . 2 . 3 . x . x . x . x 6x2. 3 5x 2x2

6 x2 6 x2 6 x2

36


Factorear, si es posible, los siguientes trinomios.

Completar los casilleros para que los trinomios sean cuadrados perfectos.

a) x2 121

b) x2 12x

c) 16x 16

d) 25x2 4

e) 42x 9x2

f) 14x3 49

Factorear, si es posible, los siguientes binomios.

a) x 12

b) x 494

c) x 252

d) 36 x2− +

e) x 812

f) 16 x2

g) 100x 92

h) x 648

a) x x 12

b) x 6x 92

c) 100 x 20x2

d) x 4x 42

e) 12x 36 x2− + +

f) x 1 2x4 2+ −

g) 4x 6x 92

h) x 14x 496 2

30

29

28

Teoría

Diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto

Otros dos procedimientos para factorear un polinomio son la diferencia de cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto.

– Diferencia de cuadrados: expresar un binomio como el producto entre una suma y una diferencia.

+ − = − + − = − + − = −(a b) (a b) a .a a . b b .a b . b a ab ab b a b2 2 2 2

– Trinomio cuadrado perfecto: expresar un trinomio como el cuadrado de un binomio.

a) x2 25 x2 52 x 5 x 5 b) 9x6 100 3x3 2 102 3x3 10 3x3 10

a) x2 6x 9 x2 2 . 3 . x 32 x 3 2 b) 4x2 20x 25 2x 2 2 . 2x . 5 5 2 2x 5 2

Por lo tanto: a b2 2 ( )( )+ −a b a b Diferencia de cuadrados Producto entre la suma y la resta de dos términos

( )+ = + +a b a 2ab b2 2 2 a 2ab b2 2 ( )+a b

2

Trinomio cuadrado perfecto Cuadrado de un binomio

( )( ))(

a b2 22 b b ( )2

Demostrar geométricamente que a b a 2ab b2 2 2( )+ = + + .

Desafío

31

b

a

37


Ecuaciones con números racionales

Hallar el valor de x.

a) 23

x 1 1,5 16

+ = −

b) 3x 42

12

34

x+ = +

c) 49

38

x 916

1 0,25x( )− + = −

d) 15

x x 32

0,1x 25

+ − = +

e) 5x 42

3 2x3

1− − + =

f) 0,75x 1,5 23

3 . 29

x 49( )( )− + ⋅ = − − +

El perímetro del rectángulo azul es de 28 cm.

Calcular la longitud de la base y de la altura del rectángulo.

Plantear la ecuación y hallar el número que cumple con cada condición.

a) El anterior de su quinta parte es igual al

consecutivo de su sexta parte.

b) La cuarta parte de su consecutivo es dos

unidades menor que su tercera parte.

a) De un tanque lleno de agua, se saca la tercera

parte y, luego, la cuarta parte. Si aún quedan

100 litros en el tanque, ¿cuál es su capacidad?

b) Una persona gasta la sexta parte de su dinero;

luego, las tres quintas partes de lo que le queda;

y todavía, tiene $ 140. ¿Cuánto dinero tenía?

Plantear la ecuación y resolver los siguientes problemas.

32

33

34

35

ab 23

x 56

x

bc 3x 2cm4

= +

= +

b

c

a

d

38


Calcular mentalmente y escribir el intervalo solución.

a) x 3 7− + >

b) x 4 1− ≥

c) 2 x 10− ≤

d) 5x 30− <

e) x : 7 3( )− >

f) x : ( 9) 4− ≥ −

g) 2x 3 11− + ≤

h) 4 x : 3 8( )+ − ≤ −

Hallar el valor de m para que el intervalo solución sea el que se indica en cada caso.

a) mx 23

4− < S 7 ;( )= − +∞ b) 1 mx2

7+−

≤ S ; 3( ]= −∞

a) 3 5x2

14

x 7− > +

b) 5 3x4

7x 35

+ ≤ +

c) 1,5 . 43

0,8x 15 x3( )− < −

d) 25

x 0,32 : 415

2x 0,8( )− ≥ +

Hallar el intervalo solución de las siguientes inecuaciones.

36

37

38

Teoría

Inecuaciones. Intervalo solución

Las inecuaciones se resuelven como las ecuaciones, salvo que se multiplique o divida por un número negativo; en dicho caso, cambia el sentido de la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación es un intervalo real.

a) − <2 3x5

4 − <2 3x 20 − <3x 18 ( )> −x 18 : 3 x 6>− S 6 ;( )= − +∞

b) − ≥12

34

x 2 − +≥ −34

x 2 12

− ≥+34

x 32

( )≤+ −x 32

: 34

x −2≤ S ; −2( ]= −∞

Calcular y escribir el intervalo solución.

a) 2 x 5 9≤ + < b) 4 2x 10− < − ≤ c) 1 4 x 3≤ − ≤

Desafío

39

39


Repaso

Completar los siguientes factoreos.


Factorear, si es posible, los siguientes polinomios.

Hallar el perímetro de cada figura y factorearlo.

a) 8x2 20x4 4x2. x2 3x

b) x2 6x x 5

c) x2 22x x 2

d) x4 28x 7 2

e) 13 3x3

a) 2x 4x 8x 2x . 4 x 2x3 2 2( )+ − = − − −

b) 9x 10 3x 5 3x 52 ( )( )− = + −

c) 4x 81 36x 2x 62 2( )+ − = −

d) x 1 x 1 x 1 x 14 2( )( )( )− = + + −

a) b) c)

a) 21x 35x 49 14x3 2 5− + −

b) 8x 20x 4x 16x5 3 2 7− + −

c) 25x 492− +

d) x 10x 252

e) 36 x 12x2

f) 81 4x2− +

40

41

42

43

+ −6x 15x x2

4 313x

7x

5x

4

2

3

12x7x

8x

3

4

2

+ −15 x 7x2

+−

x3

5x

2

− +6x 15 5x2

2x

3x17

2

40


Factorear aplicando el o los procedimientos que correspondan.

a) x 9x3

b) 45 5x 30x2+ + =

c) 3x 484 − =

d) 25x x 10x3 2+ − =

e) 2x 98x5 3− =

f) 36x 96x 48x6 4 5+ − =


a) x 13

4 6x10

1− = − −

b) 34

x 1 1,5x 2x 13

2,5− = + − −

c) 2x 15

0,2x 13

32

x 5( )− − = ⋅ −

d) 0,7x 53

310

0,12x2x 5

395( )− ⋅ − − + =

a) 13 2x

316

x 2,5x 72

− + + ≤ − b) 1 5x2

14

x 0,25x 0,75+ − − ≥ +

a) Las dos terceras partes del anterior de un número son iguales al consecutivo de sus tres quintas

partes. ¿Cuál es el número?

b) Se recorren las tres octavas partes de un camino, y luego, la cuarta parte del resto. Si aún quedan

por recorrer trescientos kilómetros, ¿cuál es la longitud del camino?


Hallar el intervalo solución de cada inecuación.

44

45

46

47

41


Integración

Calcular el valor de m para que cada polinomio cumpla con la condición pedida en cada caso.

a) El coeficiente principal de H(x) es 4.

H(x) x 2x 2x 8x 8x mmxxx xxx3 22xx 32xx +++

b) El grado de T(x) es 2.

T(x) 5x5x5 6x6x6 2 7711 xx2 3 3 31 7x+ −+mxmxm 3mxm + ++ ++ +2x2xx3 +++

c) U(x) es un binomio.

U(x) 4x4x 7 337 xx x 222 xxx2+ −+ 777 + −+mmmxx ++

d) M(x) es un trinomio cuadrado perfecto.

M(x) 4 84 xx mxmxm288xxx

a) ¿Cuál es el costo de fabricar 20 baldes?

b) ¿Cuál es el costo de fabricar 50 baldes?

c) ¿Es más económico fabricar 30 baldes que 20?

d) ¿Es más económico fabricar 75 baldes que 50?

a)

rsrs 2x2x2x xx 3x3xx

prprr 4x4x4x 44 xx

3 23 5 3xx2 32 4 5 x

−−= 2x + −+ −555

−= 4x − ++55xxx5xx

b)

otott x xx x 2x2x2

tqtqq 2x2x2x x 3x 3x xx

3 22x22 333x

= x −−= 2x

c) Calcular el perímetro del triángulo para x 3.

d) Calcular el perímetro del paralelogramo para x 2.

a) 4x4x4x( )( ))))3x3xx 5x5x5x2 5x ( )( ))2x2x2 32x2 ( )( )(x 6x 6xxx3 46xx))5x ( − 4x((x = b) 8x8x 7x7x7x48x 33( )( ))5x5xx xxx2 3x ( )( xxx2 3x +++))3x3xx3xx =−− 7x

El costo de fabricar baldes de plástico depende de la cantidad x de baldes que se fabrique. El costo de

fabricarlos está dado por C(x) 1001000 xx 2002002 02− +++xxx2 ++ .

Calcular y responder.

Hallar la expresión reducida del perímetro de cada figura.

Resolver las siguientes operaciones y factorear el resultado.

48

49

50

51

ps

ro h

t q

42


Las longitudes de una caja de base cuadrada dependen del valor en cm que se le asigne a la variable x.

Observar la caja y responder.

a) ¿A qué intervalo real corresponden sus medidas?

b) ¿Cuánto más larga que alta es la caja?

Observar la caja y hallar.

c) La expresión de la superficie total de la caja.

d) La expresión del volumen de la caja.

e) Calcular la superficie total y el volumen para x 5 cm.

Colocar una D a las diferencias de cuadrados y una T a los trinomios cuadrados prefectos.

a) x 9x 992

b) 1616 88xx2+ −++ xxx

c) 100 xxx2− +++100100

d) x 2x 5 110x0xx2 − +++2255

e) x 4x 4x2xx

f) x 1x 2x2x22 + −++ 11

g) 225554− +++xxx

h) xx 114 2xxx2xx

i) 4x4x x 4x 4x2xx

a) 3x3x 14714711471 xxxxx3 ==− 1471 xx

b) 2020xxx 220x0x4 25 3+ −++ 55xxx5xx ==

c) 2x2x 2x2x2x99 ==− 2x

d) 2422422xx 2x2x23 5444 7− ++4444x4x5444x =

Factorear aplicando el o los procedimientos que correspondan.

Hallar la mínima expresión factoreada del volumen del prisma.

52

53

55

54

x 3 cm

x5

cm

−+

x6x 9

2

4x12

2x

182

43


Integración


Hallar el perímetro del rectángulo.

Hallar la longitud de cada lado del triángulo cuyo perímetro es de 39 cm.


a) Las tres quintas partes del siguiente de un número son dos unidades menor que sus dos terceras

partes. ¿Dé qué número se trata?

b) De un barril lleno de agua, se sacan 18 litros y, luego, los cinco séptimos del resto. Si aún quedan 12

litros de agua en el barril, ¿cuál es su capacidad?

c) Una persona gasta la cuarta parte del dinero que lleva y, luego, las dos terceras partes. Si todavía le

quedan $ 200, ¿cuánto dinero tenía?

Hallar el intervalo solución de las siguientes inecuaciones.

a) 2x 133

x 55− < −< xx b) 7 3xx44

12

00− ≤− ≤≤12

c) 2 x44

x 1x 233

≥≥ +

a) 65

xxx 13

2xx 35

:: 92( )( )188

55xx 99

44− =− == − −−− (( xx

b) 53

xx 2299

310

x 0x ,2222 . ( ))910

x 33x−−−−− 00 222 (( xxx

c) 12

0,75xxxx 4x 105

1,2x1 2x2==−−− 00 7575xxx − −−−

d) : 1: 11,225 055 ,3xxxx 7 3xx5

0,0 222( )( )x 778

−−00 33xxx ++

56

57

58

59

60

5x 1cm2

53

x 3 cm

2x

1cm

a

b c

7x4

cm3

2x 5 cm

44


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